（应用数学专业论文）一类具有利率保障的投资连结保单的定价问题.pdf

摘要 p 主1 6 6 2 2 传统的保单定价方法对于不依赖于存在随机波动因素的保单已有了比较成 熟的方法，然而对于依赖于随机阕素的投资连结保单，这种方法显然难以胜任。 近年来金融经济学理论的4 i 断发展和成熟，为包括保单在内的金融产品的定价 删一 提供了十分巧妙的方法。) 本文就是结合金融经济学与精算学知识，分析了一类 常见的保险产品投资连结保单的定价问题，导出了保单价格的数学模型并 以偏微分方程的形式表述出来。 全文主要分为两部分，第一部分讨论了不存在自由退保时的情况，建立了 相应的偏微分方程模型，进而采用厂两种不同的方法定价保单。( 第一种方法是 对偏微分方程直接进行求解，通过变量代换使得方程化为标准的热传导方程， 然后由热传导方程的柯西问题解的公式求得方程的解析解，即保单的价格。第 二种方法是结合金融经济学理论中的风险中性概念，将传统的期望贴现方法进 ，r 行推广，从而求得保单的价格。这两种方法得到的结果完全一致。y “ 第二部分则着重讨论了存在自由退保且退保仅依赖于退保受益是否大寸二当 时的保单价值时的情况，这时保单价格的偏微分方程模型就引入了一个自由边 界。f 首先在理论上对参数对自由边界的存在性的影响进行了讨论，自由边界的 存在情况分为三种：不存在，存在条和存在两条；然后通过将自由边界问题 转化为“线性互补问题”将自由边界隐藏起来；最后采用有限差分方法进行数 值求解，并清楚地求得在不同的参数设置下自由边界的位置，而且数值求解与 ， 理论分析完全一致。y 7 7 “ 关键词：无套利原则；e d v 方法；i t 6 s 引理：自由边界问题；线性互补问题 有限差分方法。 ， 中图分类号：0 1 7 s 国f 8 4 0 6 7 a b s t r a c t r e l a t i v e l ym a t u r em e t h o dh a sb e e nd e v e l o p e di nt r a d i t i o n a lp r i c i n gt h e o r yo f t h ei n s u r a n c e p o l i c yw h o s ep r i c ed e p e n d so nt h e f i x e d p a t t e r n o fs o m ef a c t o r s h o w e v e r i th a sm a n yp r o b l e m st od e a lw i t hw h e ni tc o m e st ot h ev a l u a t i o no ft h e p o l i c i e s w h o s ep r i c e s d e p e n d o nm a n ys t o c h a s t i cf a c t o r si nr e c e n t y e a r s t h e d e v e l o p m e n ta n dt h ep e r f e c t i o no f t h ef i n a n c i a lp r i c i n gt e c h n i q u e sp r o v i d e se f f i c i e n t t o o l st h a ti l l u s t r a t et h es t o c h a s t i cn a t u r eo f m a n yp o l i c e s ，e s p e c i a l l yt h ee q u i t y l i n k e d p o l i c y o n eo f t h em o s tc o m m o ni n s u r a n c ep r o d u c ti nt h i sp a p e rt h ee q u i t y l i n k e d p o l i c yi s c o n s i d e r e du s i n gt h ef i n a n c i a l p r i c i n gt e c h n i q u e s a sw e l la st h ea c t u a r i a l s c i e n c ea n di t sm a t h e m a t i c a lm o d e li nf o r m so f p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o ni sd e r i v e d t h e p a p e ri sd i v i d e di n t ot w op a r t s t h ef o c u si nt h ef i r s tp a r ti st od i s c u s s t h ep o l i c yw i t hn os u r r e n d e rn a t u r et h e nt w om e t h o d sa r eu s e dt og i v ea n a l y t i c a l s o l u t i o nt ot h ep a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o na n dt h et w os o l u t i o n sa r ei d e n t i c a l t h ef o c u si nt h es e c o n dp a r ti st o a n a l y z et h ep o l i c yw i t hs u r r e n d e rn a t u r e a n dt h ei n s u r a n ts u r r e n d e r so n l yw h e nt h es u r r e n d e rb e n e f i ti sg r e a t e rt h a nt h ec u r r e n t p r i c e o ft h e p o l i c y t h ef r e e b o u n d a r yi s i n t r o d u c e di nt h e p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u m i o nm o d e l f i r s t l y , t h ei n f l u e n c eo f t h ep a r a m e t e ro nt h ee x i s t e n c eo ft h ef l e e b o u n d a r y i sa n a l y z e d ；s e c o n d l gt h ep d ew i t hf r e eb o u n d a r yi st r a n s f o r m e dt oal i n e a r c o m p l i m e n t a r yp r o b l e m ；t h i r d l y , t h e f i n i t ed i f f e r e n c em e t h o di su s e dt o p r o v i d e n u m e r i c a ls o l u t i o na n dt h el o c a t i o no ft h ef r e eb o u n d a r yt h en u m e r i c a lr e s u l t m a t c h e s v e r yw e l lw i t h t h et h e o r e t i c a lr e s u l t k e y w o r d s ：n o a r b i t r a g ep r i n c i p l e ；e d vm e t h o d ；t 6 s l e m m a ；f r e eb o u n d a r y p r o b l e m ；l i n e a rc o m p l e m e n t a r yp r o b l e m ；f i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d 复旦大学硕士学位论文 1 。1 投资连结保险介绍 第一章引言 在国际保险市场上，保险产品的发展一般经过了三个发展阶段，即从储蓄型产 品到保障型产品，再从保障型产品发展到投资型产品。投资连结保险问世2 0 多年， 已经成为欧美国家人寿保险的主流险种。其快速增长的因素有：银行及债券利率长 期偏低，对传统产品造成压力，保险人和投保人需要不受利率波动影响的投资理财 型产品；股票市场的发展提高了客户对产品的接受程度；人口老龄化增加了社会对 养老金和投资产品的需求，政府为了减少社会养老福利的开支，鼓励个人养老计划； 客户需求由单一保障产品改为要求更加个性化，要求提供更多功能的理财保障结合 型产品。 与传统的保险产品相比，投资连结保险最大的特点就是兼具保险保障和投资理 财双重功能。传统的寿险产品都有一个固定的预定利率，保险合同一旦生效，无论 保险公司经营状况如何，预定利率都固定不变。而投资连结保险则没有预定利率， 投资回报具有不确定性。在资金的运用方面是以有价证券为中心，投资帐户的资产 价值随着投资项目的业绩表现而波动，一方面，由于经济增长和资金运用得当可以 获得高额的投资回报；另一方面，期满保险金和退保金是没有确定保证的，客户需 要承担一定的风险。 正是由于投资连结保险与众不同的特征，所以其优越性十分明显： 对保险公司而言，不仅可以完全解决传统寿险产品资产与负债不匹配的问题， 避免业务经营随银行利率起伏而大幅波动，而且拓宽了服务领域，促进了业务的增 长。对投保人而言，不仅可以借助专家理财，投资利润完全归自己所有，而且可变 保费的缴付方式满足了不同经济状况下的不同需求。 1 2 保单定价问题的历史和现状 在处理本文的投资连结保险产品的定价问题之前，首先介绍一下与之相关的保 复旦大学硕士学位论文 证收益以及保单的期权因素。一些保单具有所谓的欧式的期权因素，也就是这种保 单合同在保单生效期间不存在自由退保。这种特点与保单期限内存在自由退保的所 谓的具有美式期权因素的保单相反。而保单的保证收益包括保证到期收益( m a t u r i t v g u a r a n t e e ) 以及保证利率( i n t e r e s tr a t eg u a r a n t e e ) 。到期收益保证是指在保单生效期 末时保险金额有一个最低的限度，例如是期初保费的8 0 ，而保证利率则是指在 保单生效期内投保人有一个最小的收益率。 最初的定价方法是传统的精算定价方法，它主要是建立在一系列确定性的假设 的基础上的，例如假定死亡效力为确定性的函数或服从确定的生命表，假定利率的 变化是确定的，等等。然而在实际中，影响保单价格的因素常常是不确定的，例如 投资连结保单的投资帐户的资产价值。此时传统的定价方法就显得难以胜任，需要 新的能够对这些随机性的因素进行处理的较好的方法。 随着金融经济学理论的迅速发展和逐步完善，运用金融经济学中衍生证券的定 价技巧对保险产品进行定价成为保单定价领域一个非常活跃的课题，尤其是期权定 价理论中处理随机因素的技巧为依赖于随机过程的保单的定价提供了强有力的方 法。例如，s h i m k o 就运用这种方法建立了在理赔额和理赔频率均为不确定的基础 上的一类具有多重理赔的保单定价模型。 1 3 内容简介 本文即应用了金融经济学理论中的期权定价技巧与精算学知识相结合的方法， 引入了投资连结保险的投资资产价值的随机性。首先在不考虑退保因素的情况下建 立数学模型，归结出一般形式的偏微分方程，并在资产价值服从几何布朗运动的假 设下采用两种方法进行求解：第一种方法是通过一系列的变量代换，将方程化为标 准的热传导方程进行直接求解，第二种方法是将精算贴现的方法与“风险中性”的 概念相结合，即运用推广的e d v 方法求解。 其次将退保因素纳入考虑之中，得到具有自由边界的偏微分方程。首先分析了 自由边界存在的必要条件，然后将这种自由边界问题转化为“线性互补”问题，采 用有限差分法求得数值解，并分析各参数对自由边界的存在性的影响。 复旦大学硕士学位论文 第二章不存在自由退保情况下的保单定价 保单定价问题，尤其是我们在本文中要着重讨论的投资连结保单的定价问题， 与期权定价问题之间有一定的相似性。如果我们将投资帐户的资产作为基础资产， 投资连结保单的价值作为依赖于该基础资产的衍生资产的话，很显然，这种保单正 是一种期权形式。而本章中所讨论的不存在自由退保的情况即对应了所谓的“欧式 期权”，下一章将要讨论的存在自由退保的情况则对应了所谓的“美式期权”。 2 1 模型的建立 本节将给出不存在自由退保的投资连结保单的定价模型，在建立保单定价的 般模型之前，首先给出以下的符号和假设： ( 1 ) 记7 1 为保单期限，x 为被保险人参加保单计划时的年龄，t 为从被保险人参加 保单计划开始的时间，显然有f 0 ，t 】。 ( 2 ) 假定f 时刻投资帐户资产的市场价值为a 。，且a 。满足以下的随机微分方程： d a ，= c t ( t ，a ) a t + 盯( f ，a ) a w ， 其中口( f ，爿) 为资产价值的增长率，仃( f ，a ) 为随机波动率，两者均依赖于时 间，和资产价值a ，而w ，为布朗运动，满足研咖， = 0 。 ( 3 ) 在保单合同的责任有效期内，保单的保险责任为： 生存保险金：若被保险人于保单生效期满时仍生存，则可以得到一次性支付的 生存保险金s ( t ，a ，) ； 身故保险金：若被保险人在保单生效期内的某个时刻f 身故，则可以得到一次 性支付的身故保险金b ( t ，a ) ，保单立即终止。 ( 4 ) 在本文中，假定无风险利率为常数，并记为，。并记段( ，) 为x 岁参加保险的人 在x + t 岁时的死亡效力，同样假定以( ，) = 为常数。 复旦大学硕士学位论文 下面在以上假设的基础上建立模型： 记f 时刻的保单价格为v ( t ，爿) 。为了将随机过程爿，调整为“风险中性”状态， 引入资产的风险价格五( f ，a ) ，并定义： 毋( f ，a ) = a ( t ，a ) 一a ( f ，a ) 仃( f ，a ) ，及d w j = d w ，+ k ( t ，a ) d t ，( 211 ) 则根据假设( 2 ) 有： d a ，= o ( t ，a ) d t + 盯( f ，a ) ( d w ，+ 五( ，a ) m ) ， 即：d a ，= o ( t ，a ) d t + 盯( f ，a ) d w ( 212 ) 在市场无套利的假设下，必然存在一个风险中性的概率测度q ，使得w ? 在此概率 测度下为标准的布朗运动，即在q 之下，成立： e 。 咖门= 0 。( 213 ) 一方面，由金融经济学理论可知，在“风险中性”的状态下，【f t + 加 时间段 内保单价值变化的期望值等于该时间段内由无风险利率，所产生的增值r v d t 减去此 时间段内由死亡而引起的期望风险净值( 6 ( ，a ) 一v ) m ，即： e o 【咖】_ r v d t i t ( b ( t ，a ) 一v ) m ；( 214 ) 另一方面，由式( 212 ) 及脚5 引理，可得： 咖= ( 害+ 即，椰嘉+ 三盯2 ( f ，锄筹矽十呻棚言咖。 ( 21 5 ) 综合式( 213 ) ( 215 ) ，两边消去讲可得： 茅毗爿) 言+ 扣卅) 筹_ ( ，训v 圳卅) - o 。 ( 21 6 ) 而生存收益为s ( t ，a ，) 则决定了该模型的终值条件为： ，= t ：v = s ( v ，a ，) 。( 2 17 ) 这样，我们就得到了一般的投资连结保单的基本模型： 4 睁，生+ 1 2 c r 2 ( f 爿番廿训v 喇卅) _ o ， ( 2 1 8 ) i ，= t ：v = s ( r ，a ，o 在以上一般模型的基础上，我们进一步假定： ( 1 ) 假设资产的市场价值服从几何布朗运动，即： d a ，= a a d t + c r a d w ，f 2 19 1 这里的口和盯均为常数，且定义：0 = 口一2 0 r ( 五为资产的风险价格) 。 ( 2 ) 生存收益具有最低的利率保障，即： s ( t ，a 7 ) = m a x g e 。1 ，a r ) ， 这里的保障利率亿满足：七 r ，g 为一确定值。 ( 3 ) 身故保险金与当时的投资帐户的资产价值成正比，即 b ( t ，a ) = c a ， 比例系数k 满足：0 0 ，均有a ， 0 。因 此若某个时刻的资产价值a ，= 0 ，那么必然有：a ，= 0 ，v t 0 。因此此时的方程 化为一阶常微分方程： 掣d t 廿删，i o ) _ o ，( 2 22 1 ) f 1 ) i f = t ：v ( t ，0 ) = g e ， 复旦大学硕士学位论文 简单求解可以得到：v ( t ，o ) = g e r o t e 小+ ”。“。 ( 222 ) 显然从精算知识的角度来考虑保单的价格可以得到完全一致的结果： 此时在保单责任有效期内，身故保险金为b ( t ，a ) = k a = 0 ，生存保险金为 s ( t ，a ) = g e w 。若记r ( x ) 为r 岁参加保单计划的人的剩余寿命，则由精算数学的 知识可知该被保险人在活过x + f 岁的条件下存活到保单期末的概率为： ( 咖，( 7 1 ) = p 一”。“，因此有： v ( t ，0 ) = e 7 g e 。7 e7 7 一 = g e 。7 e 7 e 一”7 = g e r g t e 一+ ”“7 。 当a 趋于无穷大时，总假定v ( t ，a ) 满足 下面我们在这些假定的基础上具体求解方程： 记西( f ) = g e 。7 巾+ “。7 。，并取u ( t ，a ) = v ( t ，a ) 一巾( f ) ，原有的p d e 模型化为 坐+ 翻 日 t = t ： 爿0 0 + 删= 0 ， ( 2 23 ) 根据线性方程的迭加原理，方程( 2 23 ) 的求解可以化为以下两个方程的求解 鲁删告+ 三盯2 彳2 等吨蝴一o ， ，= t ：。( 7 1 ，爿) = m a x a g e 。7 ，o ) ， ( 224 ) 彳一阱懈； ( ，+ m 2 + 叫= 0 而方程( 2 23 ) 的解 即为：”= “l + “2 。 ( 225 ) 邶 生胡 咖 哆 + 一 厂 p g 锄扦壮 钎 舢 砒 盯 = h q卜剿删酬 堕掰 m 一 + 4 l1l甄触舢陪 叫 瑚 叫弘岛 复旦大学硕士学位论文 - 下面首先求解方程( 2 2 4 ) 作变量代换： 玩= “1 e 6 o 彳：a g ， r = 叩( r ) ， 在新的变量下，有以下关系式成立 c。u2l玎8(0、瓦簖1ut玎，( f ) + 鲁d a 矾沪醐f ) )d r 堕= e6 0 ) g 们，鸳以及垫= e - 8 ( t ) e 2 ( ( t ) 粤 础翩剖2训2 十是万程化为： 以，) 鲁删讣嘲鲁+ 2 鲁_ ( ，w 矾，) ) 。 取：j ( f ) = p + ) ( 丁一t ) ， f ( f ) = ( 臼一妄盯2 ) ( ，一，) ， 叩( f ) = 去盯2 ( 7 一f ) ， 于是方程( 2 2 4 ) 化为： 晏：j 粤+ jz 婆，( o 彳。+ 。) a r别翩2 f = 0 ：玩( o ，j ) = m a x , 4 一g d c r , 0 ， j = 0 ：磁( r ，o ) = 0 ； 再作代换：j = e y ，方程( 2 21 1 ) 化为最终形式： ( 一 y f 。 记】，= 盯( w ：一w ? ) 一了0 - 2 一f ) ，z = 盯( w ；一w ? ) 一t 0 - 2 ( r f ) ，则y 并i z 均为正态 分布，均值分别为了0 - 2 0 f ) 和一了g r 2 ( r f ) ，方差分别为仃2 0 f ) 和仃2 ( r f ) 。此 时a 。= a , e “，a r = a t e ”。 根据双重期望理论和精算贴现思想，可以得到 。坠兰堡圭堂竺堡苎 ”( ，爿，) = e q 陋m b 【未来受益在f 时刻的贴现值扣，】 = e q m b m a x g e 。r a r “+ 触t ( x ) e - r ( t ( x ) t ) 帆 = e 。咖 m a x g e o r a t e z + o ( r - o “+ m t e r + o ( r ( x ) t ) er ( t ( x ) t ) “】。( 232 ) 而e 。 e 7 。m m a x g e 。7 ，a ，p 2 + 。7 卅) p 叫7 卅i 爿， 压孑百丽 jm a x g er 8 t - r ( t - t ) ，a f 幽。 。扩川。 2 一”2 一出 + ?( m ( ，r ) o ) 。 ：攀“n - - + r g t a ( v - t ) 。一掣沈 2 砸2 ( ，一t ) 之 。 其中笔：兰竺l n - - a + r a t f - o ( t - t ) 。哼筹沈 2 舾2 ( 7 一，) 二 l n 里a + r g r 目( ，f ) + 1 2 d 2 ( r r ) f 。 ：一g e 。r 手( r i + p x t - t i ) 扣。r p 萼出 一；2 = = = = = = 一 lp d r , 2 疗o2 ( t 一，) 三 ( 233 ) = g e 7扩”p，_ft一妒c!：i!_=：喾)， c zz 。， ： a t e - ( r + i # - o x t - t ) 矗一喘掣出 2 砸2 ( 丁一f ) 。生。毛h ) 1 0 踹 焉 墨呈奎兰塑主堂堕堡兰 篆出 2 2 ( 7 一7 ) m 暑憎叫基以t - t m月 一 a , e 一+ “。7 妒( n 虿a t 堋+ ：盯2 ) ( 7 1 - f ) 一，g 7 1 盯2 ( 7 1 一，) 丽il h s e p 2 砂= 1 ，因此有 。一( y + j2 ( 卜f ) ，2 】2 e 。 e 7 。卜 k a ，p 7 p 。7 州7 。川1 1 a ， = e 7 。p k a ，p 8 一肌e 电7 】 ( 235 ) i k a t e f o r x s t ) 胪州“怔羔”e ( ，f 川肌勺。 皿。s ， 由上述的式( 2 32 ) ( 236 ) 可得最终结果为 v ( f ，爿) = a e - c u - a 】( rt ) o ( d - ) + g e r g t - ( r * , u x r - t ) ( i 一妒( d 。) ) + 7 j ；笔! 万( 1 其中的d 和d 2 分别为： l “万a 一七7 1 + ( 目+ ：盯：) ( ，一，) 或：j l ；芸兰二二 d2 ( ，一f ) d ：= d ，一扛而i 。( 237 ) 显然，我们这里得到的结果与上节中的结果( 2 21 9 ) 完全一致。 复旦大学硕士学位论文 第三章存在自由退保情况下的保单定价 本章所讨论的是存在自由退保的投资连结保单的定价问题，被保险人仅在退 保受益大于等于保单价值的时候选择退保。类似于美式期权的处理方法，模型中引 入自由边界，此时的解析解无法解出，必须借助数值解法求解。 3 1 模型的建立 本章着重处理的是存在自由退保时的保单定价。在第二章的基础上，我们进一 步作如下假定： ( 1 ) 被保险人在时刻， 0 ，t 退保的受益为： 厅c r ，爿，= m a x t m a x g e o , a ，。l ，c s ， 即保单只允许在一定的时间范围【矗，】中退保。 ( 2 ) 投资帐户的投资资产为可交易资产，则由参考资料【8 可知：0 = r 。 ( 3 ) 被保险人仅在退保受益大于等于当时的保单价值时选择退保。 我们把最优退保时刻的条件作为偏微分方程的自由边界条件，即 a = a ，( ， v ( t ，a ) = h ( t ，爿) ， v ( f ，爿) = h ( t ，a ) ， 其中a ，代表自由边界。 于是相应的偏微分方程为： ( 3 1 2 ) ( 313 ) 复旦大学硕士学位论文 詈+ 一生0 4 + 土2 幽2 票0 4 训v + 脚= oa ， 2 、。 t = t ：v ( r ，一) = 厅( 丁，爿) ， 爿= a r ：v ( t ，彳) = h ( t ，彳) ， v _ ( f ，a ) = h 月( r ，爿) ， 4 一吲 悯。 3 2 参数选取对自由边界存在性的影响 ( 3 1 4 ) 在以上归结出的模型中，包含有许多参数，如r ，_ ，g ，t ，7 0 ，2 ，盯，k 等。这些参 数的选取无疑会对自由边界的存在性以及保单的价格产生影响，本节就从理论分析 的角度讨论参数的选取对于自由边界的影响。 根据金融经济学中的市场无套利原则和决定提前退保的因素的唯一性当且 仅当提前退保的受益大于等于保单当时的价格的情况下，被保险人退保。表述为数 学形式为： 肛州言+ 圭幽2 筹- ( r 训v + 脚虬 ( 3 z 。) i v ( t ，a ) ( r ，爿) ， 且对于任何的时刻，我们都可以将爿轴分为两个互不相交的区域，退保区域 和不退保区域。在退保区域中，满足： w ，舻m ，饥詈+ 州嘉+ 圭盯2 爿2 筹( ，训v + 脚 姒饥詈+ 一言+ 吉幽2 筹训v + 脚_ 0 。 ( 3 2 3 ) 假定自由边乔存在( 我们仅考虑允许退保的时间范围【兀，刀) ，那么必然存在 退保区域，在其中满足： 复旦大学硕士学位论文 当嵋，爿) = 矗( ，爿) = 争m a x ( g e w ，爿) 时，以下不等式成立 至0 t 十删立0 4 厶22 爿2 筹_ ( ，训v + 脚( o o翻2 、 以下在( r ，a ) 平面上分为两个区域讨论自由边界存在的必要条件 ( 1 ) 在区域( ( 刮g 1 + ( ，一r o ) ，即 ， 瓦+ ! + 七( ，一瓦) 。 u 而，r ，因此有： 百赢 f 324 ) ( 325 ) ( 326 ) ( 327 ) 以上讨论说明，若在区域 ( f ，爿) i wc 爿 中存在退保，那么参数必然满足 式( 327 ) ，且自由边界只在f ( t o + 一1 + k ( t 一瓦) ，力中存在。 ( 2 ) 在区域，爿) l g e 。 4 ) 中，v = 事睾。 同样代入不等式( 3 24 ) 可得： 器( 1 ( r + p - r 。) + 倒 t o + l ，又， f ；一( r - r g ) 。 f 百一 ) 。( 3211 ) 而在参数满足式( 329 ) 时，总存在区域使得不等式( 3 2l o ) 与g p 甘 a 同 时成立，具体分为两种情况： 若尘竺二雩墨至i 尘土 1 ，如图( 1 ) 所示： 肚( 7 一瓦) 若坠竺二丛三二玉! 二! 肚( 7 1 一瓦) 了与一( ，一名) ，且自由边界只在f ( 兀+ 7 _ 孑i ，明中存 复旦大学硕士学位论文 在。 注：与第二章相同，这里的参数，和女满足约束条件：， r g ，0 k 1 。 综上所述，( 3 27 ) 与( 321 1 ) 分别为区域 ( f ，a ) i g e w a ) 中 存在自由边界的必要条件。具体而言： 当c f 与一( ，一，g ) 时，式( 3 27 ) 与( 321 1 ) 均不满足，因此不存在自由边 界，即没有退保的可能； 当7 专一p 一龟) 爿) 中均可能存在自由边界，且 ( f ，a ) g e w 爿 中 的自由边界出现在时间范围f ( 瓦+ 7 _ 号i ，卅中，而“f 棚i g 驴 棚中的自由 r + h r 。 、 边界出现在时间区间f ( t o + 土+ k ( t 我们以上所讨论的是自由边界存在的必要条件，实际上，运用变分法可以证明， 这也正好是自由边界存在的充要条件，有关内容另外讨论。本文将在第四节中采用 数值求解方法考察自由边界的存在性。 特殊情况下的自由边界的局部分析： 我们在参数满足条件了与一驴一，6 ) 百桶且 墨呈盔堂堕堂堡笙皇 ( r + 一o ) ( r 一瓦) ! 1 ( 即 爿) 中对自由边界作进一步的讨论。 此时方程( 3 1 4 ) 化为： 生o t + 删业c 3 a + 三2 幽2 祟0 4 呻+ ) v + 脚= 。 2 、。 _ ，= t ：v ( ，a ) = g e 。7 ， a = a 1 叫叫) = 器”， v 月( ，a ) = 0 ， 爿斗。o ：引 作变换 旧一亡， 一2 盯。 a = g p e 。， v g 驴( 器州) ) ， 则方程化为 时( 如图( 2 ) ) ，在区域 ( 3 2 1 2 ) ( 3 21 3 ) 筹= 窘+ c 专叫面o u 一等亿班 b z “， 22 1 这里的一o o x 0 ，0 f 妻盯2 t 。且对于任意的x 0 ，有： ( 州飞耵喝一专h 即，加争2 _ 声 一盯 乏盯( 1 1 。j 假定在某一时刻自由边界存在( 称之为x = h ( r ) ) ，那么在此边界上有 ( 3 2 1 5 ) ( 3 2 1 6 ) 7 复旦大学硕士学位论文 ”( t , x f ) = 罢( 州呦= o 。 不等式崆) ( 此帆卅) = 葛g ) 化为 ( 321 7 ) ( 321 8 ) h ( r ，r ) 的性质对于自由边界有很大的影响。实际上，由式( 321 6 ) 所给出的函 数h ( r ，x ) 的存在性保证了自由边界的存在。为了说明这一点，让我们进一步考虑 胃( o ，x ) 的图像( 见图( 3 ) ) 。 记xo=in盟群at1 1 ， l一j 图( 3 ) ( 32 1 9 ) 显然， 为( 。，x ) 的零点。由参数满足条件尘等囊苦掣 l 可知 0 ，且当x x o 时，h ( 0 ，r ) 0 ；而j , 2 0 x 0 。 如果不存在自由边界，对于x 0 ，由( 3 21 5 ) 可知 ( o ，x ) ：昙! ( o ，x ) ：呈：；( o ，x ) ：o 。n n m ( 321 4 ) ，在r = o 时，有 c k出 竺：h ( o ，x ) 。 ( 322 0 ) r 对于任意的r ( x 。 x 0 ，n n n r 由零逐渐增大，”将迅速变 为正值；对于x x o ，h ( 0 ，x ) 0 ，”则随着f 由零逐渐增大迅速变为负值。但是 后者与条件( 32 1 8 ) 矛盾。如果在x x 。我们继续持有保单，保单的价值将会小于 复旦人学硕士学位论文 当时的退保受益，这对于我们本章所讨论的投资连结保单来说是不可能的。因此 我们可以得到结论：此时自由边界必然存在。 而且，从以上的分析中可以清楚地得到自由边界x ，( f ) 的出发点。毫无疑问 x ( o + ) = 。，因为 ，x ) 的单调性保证了是唯一满足“( o + ，x ，( 0 + ) ) = 的点。i x h ( 0 0 且这对应了 a ，( t ) g e ，- o r ! ! 些= 鱼丛二堡! 二! 肚( 丁一t o ) 我们可以称之为自由边界的终止点。 3 3自由边界问题与线性互补问题的转化 ( 3 2 2 1 ) 上节我们i f , 经提到，根据金融经济学中的市场无套利原则和决定提前退保的因 素的唯一性，保单价值v ( t ，a ) 满足： 争一言+ 丢幽2 砑a 2 v - ( r + j ) v + 脚 o a r 巩2 。 。 当矿( r ，y ) g ( r ，y ) 时，被保险人选择继续持有保单，1 7v ( r ，y ) 满足 ( 3 3 9 ) 号 ”p 生-： 堕矿 筇万 复旦大学硕士学位论文 孚一窑卅”) ：o 。 a r 西2 所谓的“线性互补问题”是指具有以下形式的问题 a b = o ，a 0 ，b 0 。 本文中 a - 孚一磐一弛，y ) ，b ：秽( 叫) 一g ( 圳) ， d rc 桫。 其中a 和b 关于矿，f ( r ，y ) 和g ( r ，y ) 是线性的。 于是( 337 ) 化为如下的“线性互补问题”： ( 孚一窑一m 蒯矿( r ，y ) 一g ( w ) ) ：o d r6 v 。 ( 331 0 ) 矿( r ，y ) 一g ( r ，y ) 0 ， ( 331 】) l i mv ( r ，j ，) = l i mg ( r ，y ) ，l i r av ( r ，y ) = g e 。7 。 y y + v 3 4 有限差分方法求数值解 有限差分法( f i n i t e d i f f e r e n c em e t h o d ) 是用于求解偏微分方程及“线性互补问题” 的强有力的技巧，如果运用得当，可以得到非常精确的结果。本节中采用这种方法 来求解“线性互补问题”( 3 3 1 1 ) 。 为了用有限差分近似( 3 31 1 ) 的线性互补问题，我们将y 轴和f 轴等距离划分， 间距分别为咖和品。这就将( r ，y ) 平面划分为等距离的网格，网格点为( m f i r ，n s y ) ( 见 图( 4 ) ) 。 复旦大学硕士学位论文 j y n 8 m 0 tf 图( 4 ) 记v ? = v ( m f i r ，n a y ) ，r = f ( m f i r ，n a y ) ， 本文中采用c r a n k n i c o l s o n 差分格式， 问，即： 一a ys y n + a y ， 这里一和+ 为足够大的整数。 差分格式如下： 筹y 5 r ) = 呈o + d ( ( 埘) ，d rzf ! 盯2 t 簖= g ( m f r ，n a y ) 以及m = o 。 6 f 并截断y 轴使y 处于砂与+ 毋之 ( 3 41 ) ( 3 42 ) 雾”一f r ，= 丢( 坠器盟m 警 + d ( ( 洲。a 。， 忽略高阶项。( ( 西) 2 ) 和。( ( 谚) 2 ) ，不等式雾一雾一厂( l j ，) 。近似为： 昭“一吉口( 蝶+ 1 2 玎“+ 醒n 蹭+ j 1 a ( 蝶。一2 蹭+ 硭) + 出r ， ( 344 ) 其中口2 丽f i r ，可以证明，对v a 0 时，c r a n c 。l s 。n 差分法都是靛的见 4 ) 。 记z ? = 玎+ j 1 口( 醒。一2 ”+ 醒，) + 所r ，n ( 3 4 4 ) 式化为： 曙“一三口( 碟1 2 昭“+ 睇j 1 ) z ? 。 ( 345 ) 不等式订f v 、一2 行v 、0 被近似为： 复旦大学硕士学位论文 ：一g ：0 。 而边界条件和初始条件则被近似为 帮：= g e 啦，哥：+ = g ：，萄：= 醵。 以寻和g ”表示在埘曲时刻的近似值的向量，即 并记 b m 曝。 ： 曝 z ：一+ ： z ： ； z ：+ 一 g ”= 1 + 一口 g e 七7 0 ： 0 g ：1 ( 346 ) ( 347 ) ( 348 ) ( 349 ) ( 341 0 ) 则式( 3 4 4 ) ( 34 1 0 ) 的“线性互补问题”的离散近似为以下的矩阵形式： ( m 1 。b “) ( 爷”l g 1 ) = o ，( 3 41 1 ) i m 每“一b “o ，每“+ 1 一g “0 。 、 。 可以看到，向量b “所包含的在m 衍时刻的信息决定着+ z ) s r 时刻的爷”1 值。在每一个时刻州所，我们可以求出向量g “的值，并从己知的爷的值求得b 。 这样我们只需求解问题( 341 1 ) ，而这可以运用调整的逐次超松弛迭代法，即 p r o j e c t e ds o r 方法来求解。 。 ； 。川：旧 一 1 旺 一2 一 口 o一2 一 口 口 口 一2“一2 一 口 口 ，一2 0 ； o 复旦大学硕士学位论文 3 , 4 1 p r o j e c t e ds o r 方法 首先，如果对于矩阵问题m 审1 = b “采用s o r 方法，迭代公式如下( 曙，为 蹭第，次迭代的值) ： 川= 而1l ”。m + i 1 口( 畔川+ 谢切， ( 341 2 、 玎“。“= 盯“。+ o ”1 一玎“) 。 在处理本文中的“自由边界问题”时，( 3 41 1 ) 中的约束条件使得需要对以上 的s o r 方法作一些调整，使其能够处理带有约束的问题，从而引入了p r o j e c t e ds o r 方法。调整后的迭代公式为： 川= 而1 ( 6 7 + j 1 a - i j 1 + 科切， ( 34 1 3 ) ”“”1 = m a x 霹“。+ 万”1 一蹭“。) ，g ) 。 这样得到的迭代结果即为约束问题( 3 41 1 ) 的解。可以证明，用迭代公式 ( 3 41 3 ) 求解“线性互补问题”( 3 411 ) 是收敛和稳定的( 见 1 1 】和 1 2 ) 。 3 4 2 算法步骤 记爷m + 1 j =那么在时间步埘+ 1 ，我们从初始猜测值审”1 o 出发，运用 p r o j e c t e ds o r 方法，依次求出审“。的值。当j 寸0 0 时，审u _ i ”1 。以下是算 法步骤： 给定审，由( 3 4 9 ) 得到b “，由( 3 3 ，6 ) 得到g ”。 由审“o = m a x 哥“，g ) 得到初始猜测值。 随着下标行的逐渐增大，首先通过式 y l = r 芝( + i 1 口( 醒+ 1 。+ 1 + 醒1 。) ) 构造y ，然后取 2 4 瞩；联 复旦大学硕士学位论文 卵“。“= m a x 蹭“，+ w ( y 2 “”1 一 “) ，g ) 。 这里的万为超松弛参数，满足：0 叮 2 。 检验眵“扎一审“。| fs 占是否成立，若成立，则转到：否则，回到，继 续进行迭代。 当审”1 1 1 达到收敛要求时，取寻”1 = 寻l j “。 回到第一步继续求下一个时间步的v 值直至完成。 3 5 数值结果及参数分析 本章第二节中对方程中所出现的各个参数进行了讨论，分析了参数的取值范围 对自由边界存在性的影响，本节将运用上节所介绍的算法对方程进行求解，并将参 数分为三个范围给出具体的数值结果以及存在自由退保时的自由边界位置。 假设参数盯= 0 4 ，= 0 1 5 ，r o = o1 ，k = o6 ，t = 3 0 ，r 0 = 2 0 ，