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混合有限元的区域分解算法 摘要 区域分解算法是求解偏微分方程最有效的数值计算方法之一，通常它主要 应用于标准的有限元方法。本文主要考虑将其应用于非标准的有限元，即混合有 限元方法的情形。本文共万五章，第1 章首先介绍了有限元及将其应用于偏微 分方程求解的步骤，然后引入混合有限元和区域分解算法及本文所要解决的主 要问题。第2 章介绍混合有限元的基础理论，我们介绍了混合有限元的存在唯 一性理论，然后给出了一些方程的混合有限元格式及它们的解的存在唯一性的 结论。第3 章介绍区域分解算法，我们介绍了重叠型和非重叠型区域分解算法， 对于重叠型区域分解算法，我们介绍了基于l i o n s 框架的s c h w a r z 交替法，对 于非重叠型区域分解算法，我们介绍了基于s t e k l o v p o i n c a r e 算子的d - n 交替 法。第4 章介绍混合有限元的区域分解算法，我们引入一种基于s c h w a r z 交替 法的区域分解算法，给出了计算格式及相应的有限元离散，并且在分别基于 l i o n s 框架和极值原理的基础上，证明了它在不同范数下的收敛性。第5 章，我 们作了简要的总结及阐述了下一步的工作。本文表明区域分解算法也适用于混 合有限元。 关键词：有限元，区域分解，混合有限元，存在唯一性，s c h w a r z 交替法， 收敛性，有限元离散 d o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o do fm i x e df i n i t ee l e m e n t a b s t r a c t d o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o di so n eo ft h em o s te f f e c t i v en u m e r i cm e t h o d so n s o l v i n gp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i ti sg e n e r a l l yu s e d 、析mn o r m a t i v e f i n i t e e l e m e n tm e t h o d i nt h i sp a p e r , w em a i n l yc o n s i d e ra p p l y i n gi tt on o n n o r m a t i v e f i n i t ee l e m e n tm e t h o dw h i c hi sc a l l e dm i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d t h ep a p e r c o n t a i n sf i v ec h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，w ef i r s ti n t r o d u c ef i n i t ee l e m e n ta n dt h es t e p s h o wt oa p p l yi tt os o l v ep a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，t h e nb r i n gi nm i x e df i n i t e e l e m e n ta n dd o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d ，f i n a l l y , w er i s et h em a i np r o b l e mw h a t w ew a n tt os o l v ei nt h ep a p e r i nc h a p t e r2 ，w ei n t r o d u c et h eb a s i ct h e o r i e sa b o u t m i x e df i n i t ee l e m e n t w ei n t r o d u c et h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s st h e o r e mo fm i x e d f i n i t ee l e m e n t ，a n dt h e ns h o wm i x e df i n i t ee l e m e n tf o r m u l aa b o u ts o m ee q u a t i o n s a n dt h ec o n c l u s i o nw h e t h e rt h es o l u t i o no ft h ef o r m u l ai se x i s t e n c ea n du n i q u e n e s s i n c h a p t e r3 ，w e i n t r o d u c ed o m a i n d e c o m p o s i t i o n m e t h o d w ei n t r o d u c e s u p e r p o s i t i o na n dn o n s u p e r p o s i t i o nd o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o da p a r t a b o u t s u p e r p o s i t i o nd o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d ，b a s e d o nl i o n sf r a m e w o r k , w e i n t r o d u c es c h w a r z a l t e r n a t i n g m e t h o d ， a b o u t n o n - s u p e r p o s i f i o n d o m a i n d e c o m p o s i t i o nm e t h o d ，b a s e do ns t e k l o v p o i n c a r eo p e r a t o r , w ei n t r o d u c ed - n a l t e r n a t i n gm e t h o d i nc h a p t e r4 ，w ei n t r o d u c ed o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o do f m i x e df i i l i t ee l e m e n tm e t h o d w ei n t r o d u c eam e t h o dw h i c hb a s e do ns c h w a r z a l t e r n a t i n gm e t h o d ，w es h o wt h ec o m p u t i n gf o r m u l aa n dr e l a t i v e d i s c r e t e f i n i t e e l e m e n t ，a n db a s e do nl i o n sf r a m e w o r ka n de x t r e m u mp r i n c i p l er e s p e c t i v e l y , w e p r o v ei t sc o n v e r g e n c ei nd i f f e r e n tn o r m s i nc h a p t e r5 ，w em a k eab r i e fs u m m a r i z e a n dw h a tw ew i l ld oi nn e x tp h a s e i nt h i sp a p e r , i ti ss h o w e dt h a td o m a i n d e c o m p o s i t i o nm e t h o dc a n a l s ob eu s e dw i t hm i x e df i n i t ee l e m e n t k e yw o r d s ：f i n i t ee l e m e n t ，d o m a i nd e c o m p o s i t i o n ，m i x e df i n i t ee l e m e n t ， e x i s t e n c ea n d u n i q u e n e s s ，s c h w a r za l t e r n a t i n g m e t h o d ， c o n v e r g e n c e ，d i s c r e t ef i n i t ee l e m e n t 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写 过的研究成果，也不包含为获得 金胆王些盍堂或其他教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明 并表示谢意。 学位论文作者签名：功惩诲西! 己 签字日期：矽圹年阳8 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解金胆王些太堂有关保留、使用学位论文的规定，有权保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权金 目墨王些太堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：邻诲硬 签字日期：矽甲年甲月占日 学位论文作者毕业后去向：茑砖业， 工作单位：中糸鱼讯瞄榔众亏 通讯地址锄于南新酲摩出稚7 d 吕 导师签名： 日8月 午 年 叩 期字 话编 签 电邮 致谢 在论文完成、毕业即将来临之际，我就要离开学习和生活了近七年的 工大校园，想自己从当初的懵懂青年成长为掌握了一技之长即将踏入社会 工作岗位的一位硕士毕业生，心里的感激之情难以言表。 首先我要特别感谢我的研究生导师王寿城老师的热情关怀和悉心指 导。在我读研的近三年间，得到了王老师的精心指导，无论是在研究课题 的选题、构思和资料的收集方面，还是在论文的研究方法以及成文定稿方 面，王老师给了我许多富有成效的建议和帮助，他的悉心指导是我完成毕业论 文不可或缺的，特别是王老师广博的学识、严谨的治学精神和一丝不苟的 工作作风给我留下深刻的印象，将使我终生受益，在此表示真诚的感谢。 其次非常感谢数学系的师友。我的本科和研究生阶段都是在数学系度 过的，在这里，我遇到了很多的良师益友。首先非常感谢唐烁老师，他是 我本科毕业论文的指导老师，是他把我带入学术研究的大门。其次感谢大 学七年来我的所有任课老师，朱功勤老师，苏化明老师，檀结庆老师等等， 他们毫无保留地将他们的学识和做人经验传授给我。最后感谢我的所有同 学，在研究生阶段对我的工作和学习给了很大的支持和帮助，同时也非常 感谢那些默默地关心、支持、帮助过我的其他师长和朋友。 最后，向在百忙中抽出时间对本文进行评审并提出宝贵意见的各位专 家表示衷心地感谢! 作者：姚海波 2 0 0 9 年0 3 月1 0 日 第一章导论 在许多工程领域的应用中，问题的最终求解都归结于偏微分方程的求 解，如船舶，一般机械，巨型建筑和水利设施的设计，流体动力学，电磁 场等非应力分析问题。求偏微分方程的定解问题可以先求出它的通解，然 后再用定解条件确定出函数。但是一般来说，在实际中通解是不容易求出 的，用定解条件确定函数更是比较困难的。但是，在实际应用领域的偏微 分方程大多是很复杂的线性或非线性偏微分方程或方程组，要得到其理论 上的精确解，是根本没有办法的。 ： 一般情况下，这些偏微分方程都需要用数值方法去求解，即只能求解 其在某些点上的值。因而研究偏微分方程的数值解法具有非常重大的意 义。在对偏微分方程有关数值解法的研究中，形成了许多行之有效的方法， 如差分法，边界元法和有限元法等，其中有限元方法已在工程力学界广泛 应用于各种定常结构问题的数值求解上，同时，在数学上已建立了一套完 整的理论体系，现在已经发展得相当成熟，并且出现了应用有限元求解偏 微分方程的应用软件。有限元方法已经成为偏微分方程数值求解应用中最 常用和有效的解法之一。 1 1 有限元简介 有限元方法又称为有限单元法，它是在古典的r i t z g a l e r k i n 变分方 法的基础上，以分片插值多项式为工具，结合电子计算机的发展与推广而 迅速发展起来的一种求解偏微分方程的数值解法。它是5 0 年代首先在连 续体力学领域一飞机结构静、动态特性分析中应用的一种有效的数值分析 方法，随后很快广泛的应用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问 题。有限元方法与差分法相比，主要有以下几个特点：( 1 ) 从数学物理问 题的变分原理出发，而不是从微分方程出发，因而是从问题的整体描述而 不是从问题的局部描述出发；( 2 ) 对所考虑的问题的区域( 以二维情形为 例) 作三角形( 或其他简单多边形) 剖分，而不是仅仅作矩形剖分；( 3 ) 用剖分区域上的简单函数( 例如分片多项式) 去逼近原问题之解，而不是 只在剖分节点上的数值逼近。有限元方法最初是用在求解椭圆边值问题， 随着其理论的发展，它也适用于求解抛物方程等初值问题。有关有限元方 法的具体理论，参考文献 1 】，【2 】，【3 ， 4 】。下面以l a p l a c e 方程的齐次 d i r i c h l e t 问题说明有限元方法的具体实施过程。 考虑方程 一鼍2 兰的求解，其中q 是平面r z 中的一个有界区 l u 。u 优2 域，施为其边界，厂是q 中给定的光滑函数，从经典意义上讲，f c o ( q ) ， 解函数“c 2 ( q ) 。下面我们考虑用有限元求解这个方程。 1 、给出方程的变分形式 由极小位能原理或虚功原理0 1 ，可以得到方程一a u = 厂对应的变分形 式为：求“磁，使得口( “，) = ( 厂，v ) 对v v 磁都成立。其中，磁为s o b o l e v 空间，口( 川) = 上n g r a d u 。g r a d v d x d y ，( 厂，1 ，) = 加叻。 2 、选定单元形状，对求解区域q 进行剖分 在此，为简单计，假定q 为多边形，对区域作三角剖分，h 为剖分单 元的最大直径，设剖分区域为q 。，q ：，q 。 3 、构造基函数或单元形状函数，形成有限元空间 我们选择在节点上的一次多项式作基函数组成空间圪，即圪是由在边 界施上为0 的分片一次多项式作为基函数组成的空间。由于剖分固定后， k 就是一个有限维的空间，它具有有限个基函数，并且这些基函数在某个 节点处值为1 ，而在其它节点处为0 的分片一次多项式函数。于是变分方 程变为求k ，使得a ( u h ，v h ) = ( 厂，) 对弧k 成立，方程的求解从无限 维空间转化为在有限维空间的求解。 4 、形成有限元方程 不妨设仍0 ) ，仍( x ) ，仍( x ) ，纵( x ) 为虼的基函数，则可表示为 ， = q 仍( z ) ，其中q 为未知数，取v h 分别为仍( x ) ，汪l ，2 ，n ，则方程 a ( u 。，v h ) = ( 厂，v h ) 可变为： 芝ql ，矿口d 纺( x ) g r a d ( p i ( x ) 出= l 厂仍出，江1 ，2 ， 即k u = f ， 其中k = ( 屯) l 鲥；，蜊，乃2l g 阳d 仍( 工) 。g r a d ( o i ( x ) d x ， “= ( q ，口2 ，) r ，f = ( l 仍出，厂仍出，l 厂出) 1 。在力学中，k 称之 为刚度矩阵。 5 、求解有限元方程 由有限元方法导出的线性方程组k u = f ，由基函数的性质及k 的计 算过程，不难看出k 是对称的、正定的，而且k 是稀疏的，即k 中大量元 素为0 ，这从下述事实即可看出设仍( x ) 是对应于节点p 的函数，伊，( x ) 是 对应于节点q 的函数，则只当p ，q 为相邻节点时，即p ，q 属于同一个 2 三角形单元时，0 ，否则为0 ，k 的这些性质给数值求解带来了极大 的方便。求解线性方程组k u = f ，即可得到方程的近似解。 1 2 混合有限元和区域分解算法的引入 有限元方法是基于变分方法的基础之上的，我们称之为标准的有限元 方法，标准有限元对有限元空间的光滑度要求都较高i l l ，特别是四阶双调 和方程的协调元的有限元空间的光滑度要求更高，例如对重调和方程 三，其变分形式为”血出= l 声出，其中“，v 瑶，对研 空间要求基函数的插值次数至少三次以上，这对实际应用将产生许多困 难。因而数值分析学者引进了一种非标准的有限元方法，称之为混合有限 混合有限元方法是一种基于限制，或者约束条件的变分形式的有限元 方法。混合有限元法的一般理论是由b a b u s k a 和b r e z z i 于2 0 世纪7 0 年 代初创立的，其主要结果就是所谓的b b 条件。8 0 年代初，f a l k 和o s b o r n 提出了一种改进的方法，扩展了混合有限元方法的适应性。混合有限元方 法的优点是通过引入中间变量( 一般它们也具有实际的物理意义) ，可以 将高阶微分方程降阶，从而也就能够降低有限元空间的光滑性要求。例如 象b u r g e r s ，k d v ，r l w ，k d v b u r g e r s 方程和双调和方程等，通过降阶使有 限元插值空间简化，同时可以求到一些有意义的中间变量，方法也因而方 便和容易实现。此外，许多问题本身自然的变分形式逼近就只能通过混合 有限元，例如s t o k e s 问题的有限元逼近。 从1 1 的例子可以看出，有限元方法最终要求解一个线性方程组，在 线性方程组的形成过程中，涉及到大量的积分计算，例如将区域剖分为 1 0 0 个小区域，则应计算约五千个积分才能得到系数矩阵k ，对于区域剖 分得很密，则计算量是很可观的。 不管是标准的有限元还是混合有限元，在形成线性方程组时都要涉及 大量的计算，但是，可以看到，当剖分节点很少时，其计算量是可以接受 的。随着并行计算方法理论和方法的发展以及并行计算机的出现，在有限 元方法的应用中，出现了一种可并行计算的方法，称之为区域分解算法【6 1 。 区域分解算法将大区域划分为若干小区域，在小区域上运用有限元方法， 然后在各个子区域上并行计算，再将子区域的运算结果归并成为整个大区 域的解。在每个小区域上的计算量相对于整个区域而言是很小的，并且在 各个小区域上可以并行计算，因而可以减少计算量( 相对于每台并行运算 的计算机而言) ，减少计算时间。区域分解算法具有其它方法无以比拟的 坠锄 = 甜 优越性，首先，它把大问题化为若干小问题，缩小计算规模，其次，如果 子区域形状规则( 如长方形) ，在该区域上就可以使用熟悉的快速算法， 如快速f o u r i e r 变换，谱方法等，再次，允许使用局部拟一致网格，无需 用整体拟一致网格，甚至各子区域可以用不同离散方法进行计算，并且算 法是高度并行的，即计算的主要步骤是在各子区域内独立进行的。 正是基于区域分解算法的上述诸多优点，它已经成为当今计算数学的 热门领域，将区域分解算法丁有限元方法结合起来，取得了很多研究成果， 成为偏微分方程数值求解最为有效、快速的方法之_ 。 1 3 本论文的研究内容、拟解决的关键问题 可以看到，对于求解偏微分方程的区域分解算法，大多是基于标准的 有限元的，对于混合有限元格式的区域分解算法，还没有太多相关的讨论。 从区域分解算法应用于标准的有限元中可以看到，区域分解算法实施是否 成功的关键在于将区域分解后，在各个子区域上，偏微分方程的变分弱解 形式的弱解序列是否是收敛的，如果能证明其收敛性，那么就可以应用区 域分解算法。但是，对于混合有限元，相对于标准有限元，它一般是要在 两个空间中考虑收敛性，首先，混合有限元的变分形式的收敛性就要求它 的两个解空间满足所谓的b b 条件，即它对解空间是有条件的，如果不 满足条件，它的解就不是存在且唯一的，就不能使用混合有限元来求解该 方程，更谈不上应用区域分解算法了。 对于标准有限元的区域分解算法，其研究已经相当完善了，也取得了 很多的成果。本文主要从现有的区域分解算法理论出发，研究能否将区域 分解算法也应用于混合有限元中，即研究能否将标准有限元上的区域分解 技术推广到混合有限元的求解上。关键的问题在于能否证明在混合有限元 的特殊的解空间中，区域分解后得到的解序列是收敛的。在本文中，作者 引入一种基于s c h w a r z 交替法的混合有限元区域分解算法，并讨论其收敛 性。文 7 】是本文作者对重调和方程的混合有限元的区域分解算法的一些 研究结果，作者给出了给出了计算格式及相应的有限元离散，并且讨论了 收敛性。从文 7 】可以看到，对于重调和方程，标准有限元的区域分解算 法的相关理论可以作很少的改动便可以推广到重调和方程的混合有限元 方法的求解中。本文将在文 7 基础上，对混合有限元相关的区域分解算 法理论作相关的总结和进一步的讨论。 本文首先将会介绍混合有限元的基础理论，随后介绍区域分解技术， 最后将区域分解技术应用到混合有限元中。在本文中，主要研究的是重调 和方程的区域分解算法，从本文可以看出，对于某些偏微分方程的混合有 限元，也可以应用区域分解算法。 4 第二章混合有限元简介 建立在极小位能原理或r i t z g a l e r k i n 变分原理上的有限元方法，无 论在理论上还是在实践中都取得了巨大的成功，不但相应的数学理论完全 地建立起来【l 】，而且把众多的标准有限元软件系统投入技术市场，服务于 社会。除此之外，基于h e l l i n g e r r e i s s n e r 变分原理的混合有限元方法， 也得到了迅速的发展1 5 1 。利用混合有限元有很多优点，例如在技，弋多孔介 质流时，通常要计算速度，如用通常的有限元方法，只能先求出压力，然 后求导得到速度，这样做精度将降低，而利用混合有限元方法求解，可同 时求出压力和速度，提高了离散解的精度。此外，许多问题本身自然的 g a l e r k i n 逼近就只能采用混合有限元，如s t o k e s 问题的有限元逼近。混合 有限元通常涉及两个有限元逼近空间，而且要求这两个空间要满足一定的 条件，这也是混合有限元能否成功的关键。 本章主要介绍混合有限元的基本理论。首先，我们给出常见偏微分方 程的混合有限元的变分形式，并给出其广义解；其次，介绍混合有限元的 广义解存在并唯一的条件，即混合有限元两个逼近空间所要满足的条件， 这是混合有限元的理论基础；最后，给出若干偏微分方程的混合有限元的 变分形式的广义解的存在唯一性。有关这些结果的详细论述，可以参看 1 】， 5 】， 8 一 1 7 】。 2 1 混合变分形式 下面给出几个经典偏微分方程的混合变分形式。 2 1 1 重调和方程的混合变分形式 首先，考虑齐次的情形，考虑重调和方程 篓羔0黜 ， 1 “：丝：在孢上 ) l锄 其中，q r ”是有界区域，厂r ( q ) 为已知函数，n 是m 上的单位 外法向量。 令沙= 一a u ，则问题( 2 1 ) 等价于下述问题，求u 和y 满足 - a g = f a u + 9 = 0 “= = o 在q 内 在q 内 在觚上 ( 2 2 ) 以缈日1 ( q ) 乘( 2 2 ) 第2 式两端，以1 , t e 剜( q ) 乘( 2 2 ) 第1 式两端， 然后在q 上积分并利用g r e e n 公式有： v 9 置15 7 ) ( 2 3 ) v ve 磁( q ) 由( 2 3 ) 的第1 式知，y 缈磁( q ) c 日1 ( q ) ，可得 j 竺岬= o v 妒叫( q ) ( 2 - 5 ) 【l 豢砸舢 v 驴甜1 ( q ) 一 黔荔兰。黜 6 ， 1 “= = o 在弛上 “内 令口( ，伊) = 卿出，6 ( 伊，v ) = 一v 妒v 出，g ( v ) = 一，出，则( 2 1 ) 的混合变分形式可表示为：求( “，) 磁( q ) 日1 ( q ) 满足 j 口! y ，篡) + 6 ( ：”) = o v o e h l ( q ) ( 2 7 ) 【6 ( ，v ) = g ( v )v v 磁( q ) 一 a 2 u = f o u u 2 g l ，= 一29 2 o n 在q 内 在硷上 ( 2 8 ) 由偏微分方程的理论知，f ，g l ，9 2 至少要满足厂h _ 2 ( q ) = ( 瑶( q ) ) 。， g 。日( 弛) ，g ：日( 勰) ，由迹定理可知，存在h 2 ( q ) 在在弛上 满足r o u g = g l ，f l u g = 9 2 ，令w = u - - u g ，代入( 2 8 ) 中，得 慝o w 0 黜 9 ， 1w ： ：在讹上 一“7 即( 2 8 ) 可转化为齐次形式( 2 9 ) 来求解。 6 础触 l= 2 1 2p o i s s o n 方程的混合变分形式 设q 是r “( 7 = 2 ，3 ) 的有界凸区域，考虑问题 u 三0 黜 1 0 ) l =在讹上 7 令沙= v u ，则( 2 1 0 ) 等价于 在q 内 在q 内 在讹上 ( 2 1 1 ) x y ( d i v ) = 矽r ( q ) i 旃坤r ( q ) ，n ( d i y ) 称为散度空间，其范数定义 为0 缈i i 。硪，= 4 妒惦+ o 访v 妒惦 伊n ( d i v ) 和1 ，r ( q ) 乘以 g r e e n 公式可得： ，可以证明，h ( d i v ) 为h i l b e r t 空间。分别用 ( 2 1 1 ) 的第1 和第2 式并在q 上积分，利用 丫胙量卿 ( 2 1 2 ) v v r ( q ) “ 可以证明( 2 1 0 ) 与( 2 1 2 ) 等价。 令口( y ，伊) = l 卿出，6 ( 伊，v ) = l v d i v f o d x ，g ( v ) = 一l 声出，于是p o i s s 。n 方 程( 2 1 0 ) 的混合变分形式为：求( “，y ) 日( 咖) r ( q ) 满足 凇a ( v , v ) = f o ) + g b ( ( v ) f o , u 卜。孑了嚣舅 【6 ( y ，v ) = g ( v )v v r ( q ) 2 1 3 定常的s t o k e s 问题的混合变分形式 满足 设q 是r ”( 刀= 2 , 3 ) 的有界凸区域，考虑定常的s t o k e s 问题，求( “，p ) 誉归 在q 内 在q 内 在勰上 ( 2 1 4 ) 其中”= ( u 。，u 2 ，u ) 是流体的速度向量，p 为压力， 0 为常数， 7 o 厂 = | | 1 y 矿 叫甲。 乳确 归 ，(，k 箝 叱拈 出 缈 卿 胁 = ( 彳，五，厶) 是已知外力密度向量。令日= ( 纠( q ) ) ”， 必= 己( q ) = q r ( q ) f d x = o 。类似前面方法可以证明，问题( 2 1 4 ) 等价于下面问题：求( 甜，p ) h x m 满足 彳2 ：肛一胁z 茎z 【上g 优础= o 均鲋 “州 记口( “，v ) = l v “v v d x ，6 ( v ，g ) = 一l q d i w d x ，f ( ，) = l 出，则定常的s t 。k e s 问题的混合变分形式为：求( “，p ) h x m 满足 d“：v三乞v，p=fv孑gveilb(uq m ( 2 t 6 ) 【，) = o v g 从上面各个方程的混合变分形式可以看出，尽管偏微分方程不同， 当它们的混合变分形式有相似的形式，因而可以归结为下面的混合有限元 的广义解。 设日和m 是两个分别具有范数f | | f h 和f f f | m 的h i l b e r t 空间，口( ，) 是 h x h 上的对称连续双线性泛函，6 ( ，) 是h xm 上的连续双线性泛函， f ( ) 和g ( ) 分别是h 和m 上的连续双线性泛函，抽象问题的混合广义解 为：求( “，l ；f ，) h x m 满足 撬謦护h d v v e ilb(u v e e m 【，妒) = g ( 伊) 现在的问题是，混合变分形式( 2 1 7 ) 的广义解是否存在唯一? 需 要满足什么条件才能保证它的存在唯一? 本节介绍b a b u s k a 和b r e z z i h 1 提出的理论，它是l a x m i l g r a m 定理和c e a 引理【1 1 的推广，也是混合有限元方法的理论基础，即广义解存 在唯一性的条件。 2 2 1b a b u s k a 理论【1 1 1 1 3 1 首先介绍由b a b u s k a 于1 9 7 2 年给出的一个引理，它可以看成是 l a x m i l g r a m 定理的推广。 定理2 1 【1 i 设h 和m 是h i l b e r t 空间，6 ( ，5 f ，) 是定义在h xm 上的连续双 8 线性泛函，又设b ( v ，5 c ，) 满足下列条件： ( 1 ) 1 6 ( v ，y ) f 口0 v j l1 1 弘 1 1 吖 v veh ，v 沙m 凹哿洲p l i v v e h ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) ( 3 ) s u p b ( v ，) i o v y o( 2 2 0 ) v e h 其中口，为常数，又设g em ( 即m 的对偶空间) 。则存在唯一的1 ，h 满足 ： 6 ( v ，y ) = g ( y ) v 妒, e m ( 2 2 1 ) i i v l 圩加1 1 m ( 2 2 2 ) 定理2 1 表明，对于混合变分形式( 2 1 7 ) 的第二个方程b ( u ，伊) = g ( 伊) ， 若b ( u ，缈) 满足条件( 2 1 8 ) ，( 2 1 9 ) 和( 2 2 0 ) ，则该方程是存在唯一解的， 并且解的范数以函数g 的范数为界。 说明：( 1 ) 若h = m ，定理2 1 即为l a x - m i l g r a m 定理。 ( 2 ) h ，m 满足( 2 19 ) ，通常称日，m 满足i n f - s u p 条件或b b 条件。 下面考虑( 2 2 1 ) 的g a l e r k i n 逼近。设巩c y h ，cm 是有限维空 间，考虑下列问题：对给定的g m ，求巩满足： b ( v h ，) = g ( 杪)v y 心 ( 2 2 3 ) ( 2 2 3 ) 即为( 2 2 1 ) 的g a l e r k i n 逼近。 定理2 1 1 假设双线性型b ：h m 专r 满足定理2 1 的假设，巩，是有 限维空间满足( 2 1 9 ) ，( 2 2 0 ) ，则 卜科+ 芳i n f l l v - k ( 2 2 4 ) 定理2 2 表明( 2 2 1 ) 的广义解与其g a l e r k i n 逼近解的误差至多是广义解 与其在有限元空间巩的最小逼近之间差的若干倍，这样，有限元的误差 估计可以归结为插值误差估计，这是因为i n f 0 t j - - k | i v 一h v 1 1 h ，其 中h 。：h 专h 。的分片多项式插值算子，因此可以转化为标准单元上的插 值误差估计。 说明：若日= m ，定理2 2 即为c e a 定理。 9 2 2 2i n f - s u b 条件( b b 条件) 在定理2 1 中，要求b ( v ，沙) 满足s u p l b ( v ，) i o ，但在混合有限元中， 通常不满足该条件。故在定理2 i 中证明提到的g ：h 专m 不能确定1 ，和沙 之间的一个同构。下面我们给出条件不成立时，i n f - s u b 条件的一些性质。 令h ，m 为h i l b e r t 空间，b ( v ，) 为h xm 上的有界线性泛函，令 日o = v 日1 6 ( v ，沙) = o ，v y 肘) ，记风的正交子空间为日+ ，又设h ，m 7 为h ，m 的对偶空间，且定义凰的极集日。= g h i g ( 1 ，) = o ，v ，风) 。 对于给定的1 ，eh ，b ( v ，y ) 确定了m 中的元素l ，使l ( ) = 6 ( y ，) ， v g e m 。令l = b v ，即( b y ，y ) m = 6 ( 1 ，y ) 。于是，b ：日寸m 是一个有界 线性算子。同理，对于给定的m ，b ( v ，沙) 确定了h 中的元素兄使得 矗( 沙) = 6 ( ，) ，v v h 。令兄= b g ，则b ：m 专是b 的对偶算子，即 ( b v ，g ) m = 6 ( v ，) = ( v ，s g ) h 。 下面不加证明地给出定理2 3 f5 1 ，该定理给出了和b b 条件成立时的 等价条件。 定理2 3 【习下面三个条件等价 ( 1 ) 连续b b 条件 哿可b ( v , g ) 删l v 5 c ，m ( 2 2 5 ) ( 2 ) 算子b 是m 到日。的一个同构，且 0 b y k ，0 0 肘v y e m ( 2 2 6 ) ( 3 ) 算子b 是日+ 到m 的一个同构，且 粉k - i v l l v v e h( 2 2 7 ) 2 2 3 存在唯一性理论 设口( v 。，吃) 是日日上的双线性泛函且i 口( v l ，吃) b 口l i v l 如f l y 2 1 1 ，b ( v ，) 是日x m 上的线性泛函且1 6 ( v ，g ) l 硎v ki i 妒 1 1 m 。设fe l l ，gem ，考虑下 1 0 歹ui 司趑：求u h ，缈m ，满足 j 口( “，缈2 + 6 罗：沙) = 厂( 妒) v 矿日 ( 2 2 8 ) l b ( v ，) = g ( v ) v v e m 一一 下面我们给出混合变分问题广义解的存在唯一性定理。 定理2 4 f 1 1 设( 1 ) 存在口 0 ，使得 a ( u ，) 口：，v u e h ( 2 2 9 ) ( 2 ) 存在声 0 ，使得 磐眢帅b v 沙m 3 。， 则问题( 2 2 8 ) 存在唯一解”，沙，且满足 i l u l l + 驯乙- o ，使得a ( u ，“) 口：，v u 。 ( 2 ) 存在胪。，使得淝掣驯，v 心 “e 疗h 一厅 则问题( 2 3 3 ) 存在唯一解，且满足 i u - u h i + f f 沙一f l c fi n f