（计算数学专业论文）非线性对流扩散方程的经济差分格式.pdf

山东大学硕士学位论文 非线性对流扩散方程的经济差分格式 温永艳 ( 山东大学数学学院，济南，山东2 5 0 1 0 0 ) 中文摘要 本文提出了一类经济差分格式，用来求解非线性对流扩散方程对传输项 象+ 取z ，可) v t l 通过沿特征线的离散得到，采用交替方向法可以把问题分解 成若干个一维问题求解特征线方法可以应用两种插值算子。分别是分片双 线性插值和九点乘积型双二次插值用能量分析方法分析了稳定性和收敛性 本文讨论下面的非线性对流扩散方程： 考一v ( ，l ( z ，t ，f 1 ) v ) + 取z ，j 5 ，) v f l = ，( z ，j 5 ，) ，o ，? 5 ) q ，( o ：丁】， t i ( z ，掣，0 ) = u o ( z ，) ，( z ，) q ，= 0 ， u ( z ，! ，1 ) = 0 ，( z ，可) 浇2 ，( 0 t 1 其中q = ( o ，1 ) ( 0 1 ) ，i = ( 6 1 ( z ，耖) ，b 2 ( x ，) ) ，a c 3 ( f i r 1 ) ，b 1 ( 尹( q ) b 2 一( q ) ，伊( q ( 0 ，7 1 ) ，1 1 0 俨( q ) 均为已知函数，假定a ( x ，拶，) 有正的上下界 已知i i 层的近似解f 严，通过两个一维问题求解，获得如下特征一交替 方向有限差分格式， 旦窆警一如( n ( ( ，n ) 以) f 骂+ 一岛( n ( ( ，n ) 如) f 荡：荡+ - 掣一如( ( u f l ) 如) ( 吣一嵋) ：。 山东大学硕士学位论文 全文共分为四章 第一章是对对流扩散方程的概述 第二章给出了一类沿特征线修正的交替方向差分格式 第三章给出了两种可供选择的插值方式一种是分片双线性插值，另一种 是九点乘积型双二次插值 第四章利用能量方法分析了基于不同插值的特征线修正交替方向差分格 式的稳定性和收敛性 本文的主要结果为如下定理： 分片双线性插值的情形。 九点乘积型双二次插值的情形z m a xt t n u ”l l s t i s r t ” 1 吨( t l 一u “) 1 1 2a t m ( a t 2 + i t , 2 ) i 也( 乱”一u “) 0 2a t a t ( a t 2 + h 4 ) 关键词；非线性对流扩散方程；特征线修正方法；交替方向差分格式； 稳定性；收敛性 驰 +u u 搿 、，一 驰脚 + 2 l 山东大学硕士学位论文 a ne c o n o m i c a ld i f f e r e n c es c h e m e f o rn o n l i n e a rc o n v e c t i o n d i f f u s i o n e q u a t l 0 n s w e ny o n gy a n ( s c h o o lo fm a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y , j i n a n ，s h a n d o n g2 5 0 1 0 0 ，p r c h i n a ) a b s t r a c t a ne c o n o m i c a ld i f f e r e n c es c h e m ei sp r o p o s e dt os o l v en o n - l i n e a rc o n v e c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t j 。璐t h et r a n s p o r tt e r m 瓦o u + 取z ，y ) v t li sd i s c r c t i z e db yt h em e t h 。d o fc h a r a e e r i s t i c s ，t h e nt h ed i f f e r e n c es y s t e r mf l f l r ed o c o m p o s e dt os e v e r a lp r o b l e m so f i n d i v i d u a lv a r i a b l eu s i n ga l t e r n a t i n gd i r e c t i o nm e t h o d t w ok i n d so fi n t e r p o l a t i o n o p e r a t o r sa l es u p p h e df o rt h et e c h n i q u eo fc h a r a c t e r i s t i c s t h es t a b i l i t ya n dc o n v c r - g e n c ea r ea n a l y s e db ye n e r g ym e t h o d r h i sp a p e rd i s c u s s e st h ef o l l o w i n gn o n l i n e a rc o n v e c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o n 豢一v ( n ( 啪t ) vt i ) + 酏) v t i = m ，) ，( 舢) q f ( o ，卅， u ( z ，矽0 ) = 护( z ，可) ，( z ：可) q ，t = 0 ， 乜( z ，y ，t ) = 0 ，( z ，y ) 尻2 ，t ( 0 ，明 q = ( o ，1 ) ( o ，1 ) ，i = ( 6 l ( z ，y ) ，b 2 ( x ，掣) ) ，n c 3 ( q r 1 ) ，b l c 呻( q ) ，b 2 c 町( 壳) f l 尹( 晓( o ，卅) ，u 0 c o ( - 1 ) a r ek n o w nf u n c t i o n a s s u m e do ( z ，y ，u ) h a sp o s i t i v e u p p e ra n dl o w e l - b o u n d s t h en - l a y e ra p p r o x i m a t es o l u t i o ni sk u o w n b ys o l v i n gt w oo n e - d i m e u s i o l m l p r o b l e m s ，o b t a i nt h ef o l l o w i n ga d i s c h e m e ： 丝兰掣一如( 口( 沪) 如) 呓一南( 口( u 九) 屯) 叼：甥+ - i i i 山东大学硕士学位论文 五_ r u i t 一吾 南( 。( u n ) 毛) ( 叼“一) ：。 t h ef u l lt e x ti sd i v i d e di n t of o u rc h a p t e r s ： t h ef i r s td l a p t e ri sa b o u tt h eb a s i co u t l i n eo ft h ea d v e 航i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o n i nc h a p te ri i af o r m a ld i f f e r e n c ew h e m ei se a t ，a b l i s h e db yu s i n gt h em e t h o do f c h a r a c t e r i s t i c sa n da l t e r n a t i n gd i r e c t i o ni m p l i c i tm c 吨h o d i nc h a p t c ri i i ，觚o p t i o n sa r ep r o v i d e df o ri n t e r p o l a t i o nm e t h o d s o n ei sp i o ( ：e - w i s eab i l i n e a ri n t e r p o l a t i o na n dt h eo t h e ri st h en i n ep o i n t sb i q u a d r a t i ch l t e r p o l a t i o n o fp r o d u c tt y p e i nc h a p t e r t h es t a b i l i t ya n dc o n v e r g e n c ei sa n a l i z e db ye n e r g ym e t h o df o r t h es c h e m e se s t a b l i s h e da b o v e t h em a i nr e s u l t so ft h i sp a p e ra r et w ot h e o r e m s ： t h et h e o r yo b t a i n e db yt h ec a s eo ft h ep i e c e w i s eab i l i n e a xi n t e r p o l a t i o n t a t 脚m 娜a x 。i i 矿刈刈；+ 三ie u ( 矿川洲) l l & 鲥( 舻埘) t h et h e o r yo b t a i n e db yt h ec a s eo ft h en i n ep o i n t sb i q u a d r a t i ci n t e r p o l a t k m k c 3 1 v o r d s ：n o n - l i n e a rc o n v e c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o n ：c h a r a c t e r i s t i c sm e t h o d ； a 。d 。i 。s c h e m e ：s t a b i l i t ya n dc o n v e r g e n c e i v h + 产：呈 一 沪 一 u 也 驰耐 +u u 粉 一 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立 进行研究所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果对本论文 的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明 本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：湿垂整日期：出丛生日：三日 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许 论文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制 手段保存论文和汇编本学位论文 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 做作者猕逊聊躲避乏日期：趔i 山东大学硕士学位论文 第一章引言 对流扩散方程是一类基本的运动方程，它可以用来描述许多物理变化过 程，例如可描述质量，热量的输运过程、溶液中溶质的输运过程、空气污染与 水污染以及反应扩散过程等众多物理现象 寻找稳定、快速实用的数值方法，有着重要的理论和实际意义标准的差 分方法或有限元方法对它常常失效，关键在于。对流项。的处理【1 】提出了 解对流扩散方程的特征线修正技术，这一方法考虑沿着特征线( 流动方向) 的 离散，利用了对流扩散问题的物理力学性质，可以有效地克服数值振荡，保证 数值解的稳定，尤其对。对流占优”的问题，这方法有显著的优越性这方 面已有大量的理论和应用研究成果【2 3 ，7 】对大规模科学与工程计算问 题，尤其是高维、大范围、长时问的数值模拟，计算工作量是十分巨大的，因 此在保证计算精确度的前提下，构造高效、经济实用的数值格式以提高计算 效率，是十分必要的 本文研究二维区域上的非线性对流扩散方程，在特征线修正技术的基础 上，通过增加人工扰动项，得到了算子乘积型的有限差分格式，通过算子分裂 可以实现交替方向求解，这样就把高维问题转化成了多个一维问题求解，而一 维问题的求解可采用简便易行的追赶法我们提出的计算格式易于实现，实际 计算效率大大提高，而且计算稳定，较好的保持了问题的物理性质，克服了数 值振荡，适用于大规模科学与j 二程计算 本文提纲如下，第二章给出了一类沿特征线修正的交替方向差分格式；由 于特征线修正差分格式依赖于插值类型的选取，在第三章给出了两种可供选 择的插值方式，一种是分片双线性插值，另一种是九点乘积型双二次插值；第 四章利用能量方法分析了基于不同插值的特征线修正交替方向差分格式的稳 定性和收敛性 关于抛物型方程交替方向差分格式的构造及收敛性分析，可参阅【4 ，5 ， 6 ，8 】 若无特别说明，本文采用索伯列夫空间常用记号 1 山东大学硕士学位论文 第二章交替方向特征差分格式 考虑二维空间中的非线性对流扩散方程； 等v ( “( 删u ) v u ) + b ( x , y ) v u = f ( x y , 1 ) ，( 删) i 2 ，( o ，卅，( 2 1 ) 牡( z ，掣0 ) = , 1 0 ( z ? ) ，( z y ) 2 = 0 ，( 2 2 ) u ( x ，y t ) = 0 ( z ，剪) d q ，l ( 0 ，卅( 2 3 ) 其中q = ( 0 ，1 ) ( 0 ，1 ) ，i = ( b l ( z ，j ，) ，b 2 ( x ，剪) ) ，d c 3 ( f ixr 1 ) ，b 1 c 帕( q ) 8 2 c o ( f i ) ，f c o ( f ix ( 0 ，t 1 ) ，i , 0 c o ( f i ) 均为已知函数，假定a ( x ：耖，t 1 ) 有正的上下界 令h = 嘉，n 为正整数，x 盯= ( 旎，j h ) a t 为时问步长，t ”= n a t ， 三u ( x 巧j 俨) 考虑沿特征方向7 - 的导数 考= 丢( 塞“v 们， 一= 一i 一十仃v t i i 打曲、挑” 。7 妒= 、1 + i h i 2 记 则 其中 戈巧= x u 一取x 巧) ， ( 2 ，1 ) i ，筹( 州) ：掣+ d ( i 雾m ( 2 5 ) 丁：万而f 为( t n + 1 ) 到( 黾，t ”) 的距离 记 2 a ( u 0 ) = o ( ) 。j = n ( x ，u ) o = n ( 扎，( 粕) ) ， n ( 坞+ 专) = 如( ( x 圳) ) + n ( “( 如) ) 】， 山东大学硕士学位论文 如( n ( 1 ) 疋u ) 巧= h - 2 【n ( 牡件如) ( v 件1 j 一咄，j ) 一a ( u i 一j ) ( 岫，j 一纰一1 ，j ) 】， v ( u ( u ) v _ l u ) d = 砖( 0 ) 疋u ) u + 岛( ( 札) 屯u ) i j ， 如= 半， 类似定义嘞( 口( 札) 毛u ) 巧，岛“b 、e ( u i ，n ) 等不致混淆时，v ( n ( 札) v w ) t j 也可写为v h ( a ( u ) v h ) u 0 用u 表示差分近似解利用( 2 5 ) 将特征方向导数沿特征方向离散，可得 如下特征线修正差分格式【1 】 竖掣吨v = ， ( 2 6 ) 其中u “是网格函数。因天巧不一定在网格点上。u “( 贾巧) 必须通过插值算子 靠( 见第三章) 得到 在( 2 6 ) 左端附加扰动项a t 2 如( n ( 扩) 以) 南( 口( 扩) 毛) 旦互 1 1 - 1 妄盐r 后，写成算 子乘积形式。得 ( 1 - a t 如( 口( u n ) 如) ) ( 1 - a t 如( ( u n ) 屯) ) 学 = t l j - ( 1 x 豆, j ) - 一u , 3 + 【南( n ( r l ”) 瓦) + 岛( r 上( f ，”) 以) 】f 伤+ 局+ 1 ( 2 7 ) 引进过渡函数u n + ，则( 2 7 ) 等价于如下交替方向计算格式 ( 1 一如( 口( u n ) 以) ) 生乏：监 = 墨旦羔a 生t 盥+ 【峙( n ( ，“) 如) + 南( 。( f ，。) 如) 】叼+ 尼， ( 1 - 南( ( ) 毛) ) ，u n 4 1 产u n ：孛 3 山东大学硕士学位论文 或者等价的写为 型掣删砥一以蜉专吲俐驯偿：，( 2 8 ) 掣吲妒蚴( 一 ( 2 9 ) 格式( 2 8 ) ，( 2 9 ) 均由若干个一维问题组成，每个一维问题均具有三对角 系数矩阵，可用追赶法求解；顺序是，先由( 2 8 ) 解出泸+ 专，再由( 2 9 ) 求出 i + 1 边界条件为齐次d i r i e h l e t 边界条件 4 山东大学硕士学位论文 第三章二类插值算子及插值误差 本节给出了两种可供选择的插值方式，一种是分片双线性捕值，另一种是 九点乘积型双二次插值，下面分两节给出具体的介绍 3 1 分片双线性插值 首先考虑分片双线性插值算子 若( z ，y ) 陬一1 ，x , k 】x 【饥一1 ，y l 】，记 z 知一z饥一y n z5t ，2 f ，l 。 ，l 定义 哦r = n l ，“攉一一一1 + ( 1 一n ) “堰一吖， = 0 ：1 ， ( 3 1 ) i i u ( x ，y ) = q 霉“一l + ( 1 一q z ) 以 ( 3 2 ) 应用泰勒展式易得 l 。( z ，y ) 一j l u ( z ，y ) l k0ui i i 馏( n ) h * h 其中h + = m 越 i n j n iz z i 一1i ，iz 一丁知i ，m i n i iy y t 一1i 1y y tf ) ) 引理3 1 1 对本文问题，若贾巧如前( 2 4 ) 定义，则 it ”( 贾玎) 一，1 u “( 贾u ) i 冬k 札”i i l k ( n ) h * h ? ( 3 3 ) 其中h + = 嘶n ( e ，k a t ) ，k = s u p b1 z z 3 2 九点乘积型双二次插值 下面定义局部乘积型九点双二次插值算子如设( z ：y ) 落在以咒j 为中 心，以2 h 为边长的小矩形中，令风= 三，岛= 生，定义算子如 1 2 v 以及二维捕值算子，2 三，考p ( z ，缈+ ，) + u ( z 协一) 】+ ( 1 一砖) u 。约) + 三玩【巾，协+ 。) 一u ( z ，蜘) 】 5 山东大学硕士学位论文 ，红u ( 刈) = 主f 犰( 研删) + u ( x i - 1 , y ) 】+ ( 1 一鹰) u ( 以，可) + 乏良p ( 坼删) 一u ( x i - - 1 , ) 】， 2 = 1 2 2 1 翰 引理3 2 1 1 对一雒二次插值算子k ，如果z = 以一一( z ) ，a t = o ( h 2 ) 则 lu ( z ) 一( ，2 。u ) ( z ) i ki i ui l 仲譬( p 。一。，毛+ ，】) h a t ( 3 4 ) ski f 钉| | 峨，( 陬“承+ 。j ) h 2 a t 对1 2 掣有类似结论利用该引理可直接得出二维插值算子1 2 的误差阶 引理3 3 如果贾巧= x 巧一攻x d ) a t ，a t = o ( h 2 ) ，则 iu ( 贾“) 一，2 u ( 叉妇) ki lu | j w 曼( n ) h 2 a t ( 3 5 ) 证明。插值误差可作如下分解 iu ( 贾0 ) 一，2 。( 贾0 ) i = if u ( 贾0 ) 一，。u 如3 i ，) 】+ ，丛p ( z ：剪) 一如u ( z ：曼，) 】| 人，l l lu ( ，耖) 慨r j + 丢钏u ( 坼) 岫勺) + | i 。( 也一l ：) i i 叼( 勺) 】+ ( 1 一腭) i i 。( 孔：) 1 1 w 2 ( 勺) + 互1 l 乞j ( 以+ l ，) 岫勺) + i | u ( b 扎) 慨勺) 】) 其中兀= f i - i _ 件1 】，勺= 协一1 班+ 1 】，由此利用引理3 2 可得( 3 5 ) 式。 6 山东大学硕士学位论文 第四章能量模先验误差估计 本章针对n = 1 1 和死= ，2 情形分别给出按离散，1 模的稳定性和收敛 性我们从方程( 2 7 ) 出发来分析为避免边界处理的冗繁，我们假定问题对 每一个空问方向是周期的 l 2 离散内积及模定义为 ( u ，。) 三九2 o 离散h 1 范数定义为 0 s i i , = ( s ，一) + 如s ，如s ) + 岛一，岛一) 1 吾， si 。l = 【( a ( u ) 如s ，如s ) + ( a c u ) 6 霸s ：岛8 ) 专： 忪1 1 , 1 = f i is1 1 2 + is 圭， 其中无( t ) = 仃( 件扣) 矗( f t 巧) = n ( t z 蚶+ ；) ，由于假定n ( z y f 1 ) 有正的上下 界，0 l t 1 是和0 等价的 4 1 分片双线性插值情形 先考察n = ，l 的情i f 令( 2 7 ) 与d , u 计1 作离散l 2 内积，记也s 卅1 三 葛有 ( 曼! ：- = 掣西u n + ) 一( v ( u ( ，n ) v u n + ，) ，吨u n + t ) + t 2 ( 如( n ( u ”) 屯) 如( ( 矿。) ) 以u ”+ 1 ，以u “+ 1 ) = ( ，叶1 ，d t u n + 1 ) ，( 4 1 ) 其中左端记为a 1 ，a 2 ，a 3 ，有端记为b 1 4 t = d t l ”1 1 以u ”i1 ) + ( 兰! - = 掣，也u “- 1 ) 三月：+ 月；( 4 2 ) 7 山东大学硕十学位论文 a i 是非负的对任意给定的( i ，j - ) 以及有限整数( r s ) ，不失一般性设r , 8 0 ， 有 r 一1 一蛾州+ 。i i 啪j 一吣i + l = o 片一1 o j i + r d + 七一u t + r j + k + li ， 对a ，要求a t = o ( h ) ，h = o ( a t ) ：设r , j 落在以( ，j ) ，( i + l ，j 7 + 1 ) ， ( i 7 + 1 ：j 7 ) ，( i i , j + 1 ) 四点围成的小矩形内，由i t 的定义得， 喵一，扩( 而) = 叼一 r ，摹7 = 0 t r l , s 暖，j ，= r ，5 7 = o = 1 ， r ，廿7 = 0 ii i j jf ，l ( ) ia t h + 1 ， 肛咖，( 一叼j 锄，) ， 歹一歹7i i6 2 ( x 巧) ia t l h + 1 。 利用b l ( z ，剪) ，5 2 ( r ，y ) 的有界性、周期性假定以及n ( z ，j ! ，t 1 ) 有正上下界的性质。 故有 m z 戮_ , t xt i j ，z + ( 如叼) 。】丽h 4 i j一 a ，荨k ( 嘤如) ( 瞧叼) ：+ 州乞一吾) ( 岛) 2 】磐， l j 。 一。 a ：0d t u 州1 1 2 + a ，iu ” ：1 利用周期性假定，分部求和以及三角不等式 8 a 2= 【( 五( ，竹) 如u ”+ 1 ，d t 6 孟u “+ 1 ) + ( a ( u ”) 如，“+ 1 ，d 吒6 0 u ”+ 1 ) 】 ( 4 3 ) ( 4 4 ) 扣( a v 圳n + l6 i l j n + 1 ) + ( 训川彬广1 ，训1 ) 】 ( 4 5 ) 如i ：。 脚 山东大学硕士学位论文 现在开始分析a 3 a 3 = a t 2 ( 如( a c t “) 疋) 南( n ( f ”) 以) 也，”+ 1 ，也r ，n + 1 ) = a t 2 ( 屯( n ( c ，“) 毛) d t u “，屯( n ( u “) 以) d “+ 1 ) = a t 2 住口( 扩) 6 唾u ”+ 1 + a ( u ”) g 6 y d t u “， 如“( n ) 以也u n + 1 + a ( u n ) 疋屯( f ，蚪1 ) = a t 2 ( 屯n ( u ”) 如d c u “+ 1 ：5 | ，a ( u ) 6 z d t u “+ 1 ) ( 4 6 ) + ，2 ( 以n ( f ，n ) 也，蚪1 ，a ( w “) 疋也，n + 1 ) + a t 2 ( n ( 厂”) 以毛也f ，n + 1 ，6 y a ( u n ) 瓦以u n + 1 ) + a t 2 ( o ( 泸) g o v d t u + t , a ( u “) g s , d t u 1 ) = a ；+ a ；+ , 4 3 3 + a ； a 3 是非负的，la 3l m a t 2l l 如以1 孵 a 5 = a t 2 ( 6 ，“( u n ) 毛d c u n + 1 ：如( u “) g d t u ”+ 1 ) = a t 2 ( r z ( d “) 如u “6 ，d t u “+ 1 ，o ( 1 j r “) 6 y u “g d l u “+ 1 ) = ( 口n ) a 西( 严丢告7 也以u ”+ 1 n 7 ( d “) ，尸屯”丢警儿以以u n + 1 ) ，+ l l 也，”+ 11 1 2 9 山东大学硕士学位论文 a ；= a t 2 ( 疋8 ( u ”) 勺噍u “+ 1 a ( u “) 疋毛吨u ”+ 1 ) = a t 2 ( n 7 ( 驴”) 以r 厂n 毛也【，外1 ，( ( u “) 疋屯d t u 计1 ) ： ( n ，( 口忭) 扩以u n 凳 如画厂n + 1a ( u n ) 疋如西己严+ 1 ) m a t 2i i l k 毛也“+ 11 1 2 + s0 也“+ 10 2 ， a ；=a t 2 ( 口( ，“) 疋“反u ”+ 1 ，矗n ( u ”) 以五u 8 + 1 ) = a t 2 ( ( u n ) 疋毛c 2 u n + 1 u ( d “) 屯u n 6 x d t u n + 1 ) ：a t e ( 口( n ) 瓦屯盔n + l ? 8 ，( 驴n ) 。句u n 丢龛笔地盔u “+ 1 ) m a t 20 以毛也f “+ 11 1 2 + c0a , u “+ 11 1 2 ， 综合以上三项可得， i 以；+ 以；+ a jf m a t 2f f 以以r 厶f ，“+ 10 2 + el l 画f ”+ 11 1 2 ， h 7 ) b li i if 厶”+ 11 1 2 + j ri i ，“+ 10 2 利用前述估计，s 取适当小，可得， 则有 1 0 钏d t l j 州i | 2 + d r f ，1i ：l sm ( iu n + 11 2 1 + iu 竹1 2 l + i l ，竹+ 1i | 2 ) ， ( 4 8 ) 譬i id 1 1 1 2 + ( 1 一m i 扩+ 1 1 2 。 冬( 1 + m a t ) i ”i ：1 + m a ti i ，竹+ 1 酽 ( 4 9 ) 山东大学硕七学位论文 注意到 0u ”+ 10 2 0 ( ，“0 2 2 1 u “+ 1 ，以u “+ 1 ) a t 有 2 ( d t u 1 ，d t u 1 ) a t 2 + 2 ( 沙，d t u n + 1 ) a t s2 ( a t 2 + e a t ) 0d d ：11 1 2 + 2 m a t0f 严1 1 2 ， 0u n + 11 1 2 ( 1 + 2 m a t ) 0u n0 2 + m ( a t 2 + z a t ) 0 也f ，严+ 10 2 ( 4 1 0 ) 将( 4 1 0 ) 加到( 4 9 ) 上，c 取适当小， lu “十1i l n l ( 1 + m a t ) i iu “肥1 + fi | ，n + 10 2a t n + l ( 14 - a i a t ) 10u o 幅+ ，三i f 尸l 2a t ( 4 1 1 ) m 2 l n + 1 s ，0 ，oi i ：l + m l i ，”i | 2 ， m = 1 定理4 1 令参数满足h = d ( ，) a t = o ( h ) ，假定n 有正的上下界， 那么当死选为分片舣线性插值时，特征线修正交替方向差分格式( 2 7 ) ( 或 ( 2 8 ) ( 2 9 ) ) 的解按离散，1 范数是稳定的 为证明收敛性，将原方程在( 托j ，叶1 ) 离散为如下形式 一v j l ( ( 乱”+ 1 ) v h u ”+ 1 ) 巧= 蜀+ 1 + r l ， ( 4 1 2 ) r l 为截断误差，包括特征方向导数离散误差、扩散项离散误差和扰动项 r 11 5m ( i i 其中丁为特征方向 i l 一o ，1 1 ；l * ( q ) ) ) + m ( i i “l f l 一( ( o ，t 1 ；h 篙( n ) ) ) ( 2 a t ) ， 山东大学硕士学位论文 丝：l二型：鱼!一v(n(，rt)vun+，)巧at - 、， 。 j j + ：岛( n ( n ) 屯) 岛( u ( f n ) 屯) 里芝芸 塑 记f = t l u ，令( 4 1 2 ) 减去( 4 1 3 ) ，有 即 伊1 ， ( 4 1 3 ) 笠型笔螋吨( 0 ( 1 ) v h u - + 1 ) u + v h v 一t 。如( n ( u n ) 以) 西( n ( u n ) 毛) 旦芝 笪：r 。， ! ；：二掣一v ( n ( u n + 1 ) v 牡n + 1 ) 巧+ v ( n ( ”) v h u + 1 ) 幻 一。岛( 8 ( u n ) 疋) 南( n ( p ) 如) ! ；二；妄堡 t l “( 只j ) 一n ，“( 兄) 注意到引理3 1 + r 1 i 业学 先考察t h = j l 的情形 o ( h + ) 令( 1 1 4 ) 与( f “+ 1 作离散内积，记反时1 三f n l + i 盯二f n 一 1 2 (至：二掣，西“+1)一(v一(。(u”+1)vt。n士1)也(”+1) ( 4 1 4 ) + ( v ( n ( ，n ) v u n 一1 ) ，d 。”+ 1 ) 一a t 2 ( 如( n ( u n ) 以) 岛( o ( ，”) 屯) 也u “+ 1 ，认“+ 1 ) 掣：( f 。f 托+ 1 ) + ( 兄。，以”+ 1 ) 山东大学硕七学位论文 其中左端记为a 1 ，a 2 ，a 3 ， ：( c + i - t h c ( j t q ) ，d t n + 1 ) ，a =f i f， t 一、7 a 2 = 一( v h ( a ( u ”+ 1 ) v h u “+ 1 ) ，也”+ 1 ) + ( v ，l ( ( ，”) v h u “+ 1 ) ，以”+ 1 ) ? a s = - - a t 2 ( 如( n ( u “) 如) 如( 口( u “) 屯) 函u ”+ 1 ，也n + 1 ) ， 右端记为曰1 ，膨， 其中 耻( 巡掣 1 ) 岛= ( r l ，盔1 ) a a = ( f 1 一n p ( x i j ) a t ，也时1 ) = ( 画n + l ：盔“+ 1 ) + ( c - t 凸h c 。( x q ) ：函“+ 1 ) = ( 画 ：盔“+ 1 ) + ：函“+ 1 ) = a + l ， l 是非负的对于q 重复稳定性中的证明可得 a i e0 以f ”+ 10 2 + ，if “i ：1 现在开始分析月2 和a 3 ， a 2 = ( 一v h ( a ( u “+ 1 ) v h u “+ 1 一v h ( a ( u n ) v h u “+ 1 - f v h ( a ( u “) v h u “+ 1 + v h ( a ( u “) v h u “+ 1 ：也f “+ 1 ) = 一v ，i ( “( “+ 1 ) 一a ( u “) ) v _ l u “+ 1 以f ”+ 1 ) 一( v h ( a ( u “) v ”+ 1 ，以蚪1 ) = a ；+ a ；， 1 3 山东大学硕士学位论文 1 4 a ；= ( - v j l l ( o ( 1 n + 1 ) 一a ( u ”) ) v 心计1 ，也叶1 ) = ( m ( u n + 1 ) 一( t n ) + n ( u n ) 一a ( u ”) v h u n + 1 ，v ，i d t n + 1 ) = ( 【n ( 矿+ 1 ) 一a ( u ”) 】+ 0 ，( u ”一v - ) v h u “+ 1 ，v h 4 ( “+ 1 ) m a t 2 + 0v 也f ”+ 11 1 2 + m0f ”1 1 2 ， a l = 一( v h ( a ( u ”) ) v “+ 1 ，d ”+ 1 ) = ( 砜n + 1 ，以磊“+ 1 ) + ( 嗨f “+ 1 画南 ：“+ 1 ) = 主也i ”+ 11 2 。+ 虿a l 愀f i + l i ：， 月3 = 一a 1 2 ( 如( n ( ，严) 疋) 南( 仃( f 尸) 凡) 也f ，1 ，也f “+ 1 ) = a t 2 ( 如( f i ( n ) 疋) 南( 佗( f p ) 毛) 西p + 1 ，口k “) 一a t 2 ( 西( n ( u ”) 以) 如( q ( u ”) j v ) d l u ”+ 1 ，西p + 1 ) = a j + a ； 5= a t 2 ( 如( 。( u “) 疋) 岛( n ( ，”) 屯) 也“+ l ，d t “) = a t 2 ( 如( n ( f ，”) ) 西( n + 1 一0 ( f ，“) ) 也f ”十1 ) = a t 2 ( 以血( u ”) 屯也“+ 1 + a ( u ”) 疋毛c f t n + 1 ， 屯o ( u ”) i f 。d + 1 + a ( u “) 疋c f t f ”+ 1 ) 山东大学硕士学位论文 = ，2 ( 疋n ( u ”) 毛也f 时1 ，j y a ( u “) 以西“+ 1 ) + a t 2 ( 如o ( l p ) 如也f 1 ：a ( v n ) 如“也 “+ 1 ) + a t 2 ( 口( ，”) 瓦屯吨“+ 1 6 a ( u “) 矗西f ”+ 1 ) + a t 2 ( o ( u n ) 疋屯也f ”+ 1 ：n ( ”) 如画p + 1 ) = a ；1 + a 3 2 + 月；3 + 4 擎 我们需要参数限制a t = o ( h 1 + 口) 傲归纳假定， h 。06 。n0 l a o 1 ， 胪i l 球“i b 1 下面对于 r a j 2 ，a 扩、a r 分别进行分析 f= a t 2 ( 如口( u ”) 如以p “：毛o ( 【厂”) 如d c f “+ 1 ) = t 2 ( o ( 1 了n ) 以f n 如也f n + 1 n 7 ( 痧”) 勺f ，“疋d f “+ 1 ) = a t 2 ( n 7 ( 刀n ) ( 疋n 一瓦 ”) 以d 。f 冲1 ，( d ”) ( 毛1 ，一以p ) 屯以f ”+ 1 ) = 丽a t 2 ( 口，( 驴n ) 胪( 以t 正n 一如( ”) 画“+ l ，n ，( d ”) 胪( 屯矿一如“) 也n + 1 ) i ic f n + 1 1 5 2 =a t 2 ( 疋a ( u “) 屯喀“+ 1 ，a ( u 竹) 如d “+ 1 ) = a t , 2 ( ( 7 ( 口n ) 以u n 5 v d f n + 1 a ( u n ) 毛瓦以1 ) = 2 ( n ( 口”) ( 矗“九一以”) 如也叶1 ，n ( ”) 如以以“+ 1 ) 1 5 山东大学硕士学位论文 = ( 币a 丙t n 7 ( d “) 胪( 以t ，一以“) d t n + l n ( u “) 毛瓦也f “+ 1 ) sf0 函毛再+ 11 1 2 + c a t 2 | | 如屯盔“+ 11 1 2 ， 4 f = a t 2 ( n ( ，“) 疋西d f 叶1 ，以n ( ，“) 以也f 叶1 ) = a t 2 ( a ( u ”) 如屯也“+ 1 ，n 7 ( d “) 如u “以也f ”+ 1 ) = a t 。( n ( ，n ) 瓦0 矾f ”+ l ，0 7 ( d ”) ( 如u “一毛p ) 疋画n + 1 ) ： ( 钯( u n ) 疋以画 n + l 7 丁a 石t 口( 痧n ) 。( 毛牡”一毛f 拜) 盔”+ 1 ) i i 以p + 11 1 2 + e a t 20 毛屯也n + 11 1 2 ， 由于a r 正定有下界，可得 m a t 2f i 如如也p “0 2 a ； = 一a t 2 ( 岛( n ( r ，n ) 疋) 岛( n ( ”) 屯) 也f l “+ 1 喀f ”“) = 一a t 2 ( 屯( n ( f ，”) 屯) 西 ”+ 1 毛( n ( f p ) 疋) 也叶1 ) = 一2 ( 疋n ( f ，“) 屯以t t “+ 1 + a ( u ”) 疋屯以t l n + 1 屯口( ”) 蠢五“+ 1 + n ( u ”) 疋如反 ”+ 1 ) = a ；1 + a 挈+ a 字+ a 争： a ；1 = - - a t 2 ( 疋( ，”) 如也t “+ 1 ，6 u a ( u n ) 以也 ”+ 1 ) 1 6 = 一a t 。- ( a 7 ( c s ，t ) 以，”毛d t l “+ 1 ，e ( o “) 毛u “疋也计1 ) ：一1 2 ( a ，( 厅n ) ( 如n 一以f ”) 屯以仳计1 n 7 ( d ”) ( 如矿一岛p ) 以以p + 1 ) 山东大学硕士学位论文 = - a t 2 ( 0 ，( 口”) 瓦t 。“如也乱叶1 ，n 7 ( 疗“) 毛矿以也叶1 ) + a t 2 ( n ，( 口“) 露n 也，u n + 1 ，n ，( d ”) 6 y u n 以也 “+ 1 ) + 2 ( o ( 口“) 疋矿s y d t u ”+ 1 ，口7 ( d “) 万式”疋也f “+ 1 ) - - a t 2 ( n ，( 驴n ) 如仆如吨，n + 1 ，n 7 ( 力“) 屯p 如d f ”+ 1 ) ， 分为四部分，分别进行分析 = - a t 2 ( ( 口n ) 疋扎n 屯磊f “+ l ，n ( 痧“) 屯t ”屯也“+ 1 ) ， i 筋l m a l 2 + e0 以”+ 1 | 1 2 = a t 2 ( n ，( d “) 如“t ，y d t l t n + l , ( d 8 ) t t “如也1 ) 1 兄ism0 矗“0 2 + ，20 以f ”+ 11 1 2 = a t 2 ( 口( 口n ) 如札n 毛d t t i n + 1 ，( d ”) 如“疋也f 1 ) ： 昂l m0 毛p0 2 + e 3 t 2i i 也f ”+ 11 1 2 = - - a 1 2 ( ，( 口”) 如f ”如f f 扩+ 1 ( d “) 屯f ”以以 ：“+ 1 ) = 一( n 7 ( 厅“) 如“毛以，“卅1 ，( d n ) 。屯f “击 以以f ”+ 1 ) ， i 髓i m a tl i 如“0 2 + ci l 函n + 10 2 以争 = - a t 2 ( 也，l ( ，n ) 屯以f t ”+ 1 ，i ( ，n ) 以屯而f “+ 1 ) = - a t 2 ( n 7 ( 力“) 瓦f ，“凡r 厶“”+ 1 ，a ( u “) 毛以西f ”+ 1 ) = - a t 2 ( n 7 ( 口”) ( 屯u “一疋f ”) 5 妒d t u n “，a ( u “) 如如也”+ 1 ) 1 7 山东大学硕十学位论文 4 i