（概率论与数理统计专业论文）连续环群的第一betti数.pdf

刘沈荣；连续环群的第一b e t t i 敷 摘要 设g 是连通的紧李群，其单位元为e 令l 。( g ) 为固定在e 处的连 续环群，地为其上的布朗桥测度我们证明了当g 具有非平凡的中心 时，三e ( g ) 上的研丛的第一b e t t i 数6 1 是无穷大； 此外，对3 - 正则平面图上的一致椭圆乘积随机环境中的随机游走 c r w r e ) ，我们证明了其沿某固定方向或其反向趋手无穷远具有0 - 1 律 关键词： 第一b 毗i 数连续环群布朗桥测度随机环境中的随 机游走0 - 1 律 ，高校在职攻读硕士学位论文 a b s t r a c t l e tgb eac o n n e c t e dc o m p a c tl i eg r o u pw i t hau n i te l e m e n te ，l e ( g ) t h ec o r r e s p o n d i n gc o n t i n u o u sl o o pg r o u pp i n n e da tea n d 比t h ep i n n e dw i e n e r m e a s u r eo nl c ( g ) t h e nt h ef i r s tb e ：t t in u m b e r6 lf o r 茧k b u n d l eo v e rl e ( g ) i s i n f i n i t ep r o v i d e dg i so fn o n t r i v i a lc e n t e r m o r e o v e r ，f o rr w r e o n3 - r e g u l s rp l a n a rg r a p h sw i t hu n i f o r m l ye l l i p t i cp r o d - u c tr a n d o me n v i r o n m e n t s ，t h e0 - 1l a wf o ri tt e n d i n gt oi n f i n i t ya l o n gaf i x e d d i r e c t i o no ri t si n v e r s ed i r e c t i o nh o l d s k e yw o r d s ：t h ee r b tb e t t i 砌b 口c o n t i n u o u sl o o pg r o u p p i n n e dw i e n e r m e 蚴彤釉0 - 1 l a w 高校在职攻读硕士学位论文 学位论文原创性声明与版权使用授权书 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文 不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研 究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完 全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：酬谊i 毛j m 6 年，月，j ，日 i 7 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同 意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允 许论文被查阅和借阅。本人授权湖南师范大学可以将本学位论文的全 部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描 等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 i 、保密0 ，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密0 ( 请在以上相应方框内打” ”) 作者签名：剀柳u 考 铷獬：翩昂 日期：“年7 月“日 日期：和口6 年i ；月矽日 刘沈荣；连续环群的第一b e t t i 数 第一章基础知识 1 1 布朗运动 布朗( b r o w n ) 运动是1 9 世纪英国生物学家r o b e r tb r o w n 在观察花粉 微粒在水面无规则运动时发现的，并首次提出b r o w n 运动的数学模型 随后，w i e n e r 与l e v y 等人进一步研究了b r o w n 运动；w i e n e r 提出了在 b r o w n 运动轨道空间上定义测度与积分，从而形成了w i e n e r 空间的概 念此后对b r o w n 运动及其泛函。半群的广泛研究，逐渐形成了现代概 率论的重要基础 1 1 1b r o w n 运动的定义 设概率空间( n ，只p ) 上的一连续适应过程w = 肌；死0 t o 。，w o = o ，其中五= 口 职；5 亡) ，满足 1 ) 任给0 t z t 2 t ，l ，n 睨l 一眠，一一l 为相互独立的随机变量， 2 )任给0 8 t ，l 畋一w o 一( o ，t 一。) 则称此随机过程为( n ，p ) 上的一标准b r o w n 运动，简称b r o w n 运动 在实际应用中，要验证一随机过程是不是b r o w n 运动，我们经常采 用如下的等价定义： 设概率空间( q ，p ) 上的一连续适应过程w ； 帆；五；0 t o o ，w 0 = o ) ，其中五= 口 ；s s 磅，满足 3 1 4 ) 则称w 为b r o w n 运动 w = w 0 是一g a u s s 系， 曰m = 0 ，即亿职】= t a s ， 生 高校在职攻读硕士学位论文 1 1 2b r o w n 运动的性质 1 若w o = 0 ，w ； w t ；t r + ) 遵从b r o w n 分布，即满足1 1 1 中的条 件1 ) 2 ) ，则 1 ) 阢一职；t 矿 仍遵从b r o w n 分布( 晴限停时r o ) ； 2 ) 去矸；t r + 仍遵从b r o w n 分布o ) ； 3 )o ；t 矿 ( # ：o 时理解为o ) 仍遵从b r o w n 分布； 4 ) 昕一一岍；0 8 t 仍遵从b r o w n 分布( 订o ) 2 令矗是与口( 磁；t o 相互独立的一代数，五：= 蜀v 一 眠；t o 则 f 敝，五) 是鞅if 孵一幺五 是鞅i e l m 一1 2 砘，五 是鞅，姒r 1 ； ( e 月1 嘶+ 1 21 “，五 是鞅，r 1 其中2 ) 与3 ) 分别是 w d 遵从b r o w n 分布的充要条件 3 ( w t ；t r + ) 几乎处处关于连续，但处处不可微 1 1 3b r o w n 运动的刻划 基于上节中的性质2 ，我们可以得到b r o w n 运动的鞅刻划定理 定理1 ：设x 为一维五适应过程，且x o = 0 则以下命题等价 1 )x 是磊一b r o w n 运动； 2 )x 是局部鞅，且 t = t ； 3 )r 1 ，露- 唧 孔磁+ 1 2a h ( t o ) 为五一鞅 刘沈荣：连续环群的第一b e t t i 数 1 2 随机微分方程 考虑舻上的随机微分方程 慧z b ( x t 胪) d t + “剐眠瞳0 l 2 1弱解和强解的定义 1 弱解的定义 设b ：妒一胛及一：胪一胛o 为b o r e l 可测映射若存在概率空 间( q ，) 。，p ) 及d 维五b r o w n 运动w ，m 维连续矗适应过程置满足 1 )b ( x ) c k ( 冗”) ：= 凰月巴日= ) # o 为可测五一适应过程且 r t、 oi 风陋 o ，3 k r o ，对一切满足r ，驯r 的$ ，有 8 口( z ) 一d 0 ) 0 2 + 陋( 。) 一b ( y ) 1 2 曼k r x 一口1 2 ， 则称其满足局部l i p 乩t z 条件；若存在常数k 0 ，对任意$ r m ，有 0 ( 。) 1 1 2 + 归( z ) 1 2 k ( 1 + i 1 2 ) ， 则称其满足线性增长条件 注1 ：l i p s c h i t z 条件可以推出局部l i p s c h i t z 条件和线性增长条件 定理2 ：若方程( 1 ) 的系数b 和。满足l i p s c h i t z 条件，则此方程有唯 一强解 定理3 ：若方程( 1 ) 的系数b 和，满足局部l i p s c h i t z 条件和线性增长 条件，则此方程有唯一强解 1 3 李群 挪威数学家李( m ”i ms h o p h u sl i e ) 将微积分与群论结合起来，长期从事 连续变换群及其不变量的研究，是连续变换群理论的创始人这种理 论后来称为“李群理论”李群在微分几何、微分方程中有重要的地位 1 3 1 有限维李群的定义及性质 刘沈荣t 连续环群的第一b e t t i 数 1 有限维李群的定义 定义，d 维李群是具有下列性质的集合g ： i ) g 是一个群； 2 )g 是个d 维解析流形； 3 )从乘积流形gx 铡g 的映射( q ，) 一列解析 2 李群的性质 1 )从李群g 到g 的映射。一z - - i 解析； 2 )李群g 对其解析结构诱导的拓扑是拓扑群； 3 ) g 是李群，则( z ，v ) 一卸。是从g g 到g 的解析映射； 4 )连通李群g 的拓扑满足第二可数公理即在g 中有可数基。 李群g 有可数基当且仅当g 的连通分支至多可数个 3 李代数 i 定义：李群g 的所有左不变量向量场的集合g 构成的李代数，称 为李群g 的李代数 性质：李群g 的李代数d 与g 在e 处的切空间疋( g ) 在映射 x _ x i 。= 五，x 岔 下是同构的线性空间因此d i m g = d i m g , 且可在疋( g ) 中定义换位运算 如下： l 磁，k 1 = ，l ，k ，v 墨，k 疋( g ) ， 其中x ，y 是左不变向量场，在e 处的值分别为墨，k ， 记号： 第二章连续环群的第一b e t t i 数：引言与主要结果 g ：单位元为e 的d 维连通紧李群 蛋：具有a d ( 6 0 不变内积( ，) 及范数的g 的李代数 r ( g ) = ( - r ：【0 ，1 1 一g 1 1 为连续映射，7 ( o ) = e ， 其上赋予一致收敛拓扑， l e ( g ) = 7 p c ( g ) i r 0 ) = e ) 工( g ) ：l e ( 研中的光滑环 m ：k ( g ) 上的w i e n e r 测度 日= 绝对连续 ：l o ，】一。l ( 。) = o ，z 1 h 2d t 。 1 r l = h 日lh o ) = o 虬：凰关于凰一度量的完备化( o 。1 ) ，其中h 上的吼度量 定义为胁f 曙= o j 0 1 ( ( 一) ；酢) ，( 一) ；绯) ) 疵( = 嘉) 、 7 、r ， ，c o 。( 工c ( g ) ) = ：l e ( g ) 呻r 1 i ( 7 ) = ，( 7 ( “) ，一，1 ( t 。) ) ， v ，c ( g 孵) ，v o t t k 1 ，y n ) i有限1 ，g 。( 咒( 厶( g ) ) ) = x ：l e ( 回一“l x = 脚b ，坳卵。( g ) ) ，h j m 【 f 倒 j 其中m 为任意线形空间 众所周知，量子场论及弦论中的映射空间、瞬子空间是无穷维的，几 何可以研究光滑的映射空间而随机分析可用于研究连续的映射空间 黎曼流形上的路径( 环) 空间上的随机分析，在某种意义上，可以看作 m a l l i a v i n 分析的非线性推广对于环空间，一个长远目标是建立h o d g e 分解定理，以便研究环空间的几何与同调理论并为弦论及超对称量子 场论中的f e y n m 一积分提供严格的数学基础 刘浇荣；连续环群的第一b e t t i 敷 7 我们将考虑连续环群的拓扑信息( 第一b e t t i 数) 众知，无穷维流 形的光滑结构通常并不包含非平凡胸拓扑信息，除非给其附加额外的 几何结构；而p e ( g ) 与l 。( g ) 是以b a a a c h 空问为切空间的无穷维的光滑 李群注意p c ( g ) 是一可收缩的拓扑空间因此一个自然的问题就是研 究l j c ) 的几何及拓扑信息 对于环空间上的几何。我们常常考虑所一度量与曩度量f e e d 2 】 研究了在h l 度量下的光滑环群的c h e n a 类；d r i v e r 与l o h r e n z 1 1 研究了 历度量下的连续环代数与连续环群的几何；s h i g e “w a 6 利用子流形方 法研究了匝一度量下的r i c c i 曲率此外，s h i g e k s w a 与t a a i g u c h l t l 利用 l e ( g ) 上的布朗桥测度肛e 的分都积分公式，计算了一度量下的t l i c c i 曲率 尽管在啦度量下，环群上。( g ) 有k h l e r 结构；但对任意的柱形光 滑函数f 鼻g o 。( 厶g ) ) 而言，一般不能定义梯度d f ( g ) 也，使 d f c g ) ，甘) 一些凳e - - 1 f ( g d h lf 0 ) ) ，v h 日 ，v g l e ( g ) ， 其中( 扩“) ( t ) = d h t ，0 t 1 因此，按通常方式定义的厶( g ) 上的日；度量下的“外微分”在每点 9 l 。( g ) 处是无界算子；从而对l e g ) 上的如丛， “外微分”没有定 义 然而，对厶( g ) 上的风丛，外微分是有定义的从同伦的观点来 说，l ( g ) 与l e ( g ) 是一样的注意d er h a m 上同调是微分流形的拓扑 不变量因此，工。( g ) 上的巩一丛的d er l m m 上同调有某种非平凡性质 等价于工( g ) 上的日l 一丛的d er h a m 上同调的某种非平凡性在k ( g ) 上有布朗桥测度及与之相关的随机分析来研究厶( g ) 本身，且厶( g ) 及 球( g ) 上的能量泛函是关于曰。一度量的。因此，研究厶( g ) 上的矾一丛 的上同调理论( 第一b e t t i 数) 是有意义 本文研究厶( g ) 上的第一b e c t i 数b 1 这里b e t t i 数是按通常的方式 高校在职攻读硕士学位论文 来定义的，即为外微分d 的核空间关于其象空间的商空间的维数所 考虑的微分形式关于p 。是l 。可积的，且沿研方向无穷次可微及各 阶导数连续( 但不必有界) 参看定义4 4 ，定义4 6 及注记2 2 主要结果如下： 定理2 1 设g 的中心是非平凡的则l e ( 研上的皿丛的第一b e t t l 数 6 l ，即l 。( g ) 上的h l 一丛的1 阶d e r h m 上同调群的维数，是无穷的 我们的证明利用了g r 遍历定理( 【3 】定理2 8 ) m a l l i a v i n 4 写道： 。a l s o ，g e n l l i n e l yn e wp h e n o m e n aa p p e 衄o nl o o p8 p a c e s w e1 i m i to u r s e l v e st ot h e f 0 h w 咄g r o s 8e r g o d i c i t yt h e o r e mw h i & h 缸r e a c h i n gc o n 宕e q u e n c e ：”这里我们 给出了g m m 遍历定理的一个应用 注记2 2 ，在有限维情形，为定义d er h a m 上同调，要求微分形式具有 紧支撑；显然此时微分形式是有界的且关于m e m a n n 体积元是l 2 一可积 的 注意在一定意义下，舰可视为厶( g ) 上的r i e m a n n 体积元非紧空 间l 。( g ) 没有单位分解，为定义d ey a m 上同调，假设微分形式要么有 界连续要么l 。可积且连续是自然的但下面的事实排除微分形式有 界连续这种可能 考虑抽象w i e n e r 空间( b ，h ，p ) ，取一非零h b ( b 的对偶空间) ， b 视为h 的子空间考虑对应于h 的i 形式 ) = h ， b 显然d = 0 ，其中d 为外微分；且 d f = u h ，f ( w ) = 其中 是bx b 上的连续典型双线性型，它在h b 上的限制恰 好是h 的内积d f = 的所有解可写成f ( t t ，) + 常数的形式 刘沈荣：连续环群的第一b e t t i 数 t 9 若要求f ( f 的0 阶导数) 有界，则d f = u h 将无解因为f ( ”) 是” 的非零线性泛函，是无晃的；且在此要求下，锄是不恰当的，从而第 一b e t t i 数非零但这与b 的通常的第一b e t t i 数为0 不相吻合 注意f ( ”) 连续且属于l 2 ( b ，p ) 若要求f l 2 ( b ，p ) 且连续，则d f = u h 有解且“一是恰当的 1 0 高校在职攻读硕士学位论文 第三章连续环群的第一b e t t i 数：准备知识 3 1 一些记号 ( 1 ) 砰o = 月1 ，矸“= 带，矸o = 噬帆；印4 = 日。m 。日产：从即 到日p 的所有h i l b e r t s c h m i d t 算子 ( 2 )2 1 ：蚤z r 一，即。t z 当且仅当。：e 。为有限个非零项的 r m ， = 0 和，其中，。丁p 4 对任意的口= e a 。，芦= 风。n ，定义 ( 所l2e ( m 风n ) 甲一 ( 3 ) 令g 慨( g ) ) ) 为所有从厶( g ) 到h i l b e r t 空间咒的连续映射构成的空 间。将c ( r 1 ( 三。( g ) ) ) 简记为c ( l 。( g ) ) 对任意x c ( 三。( g ) ) ) ，e ( 研) 及1 l 。( g ) ，定义 x t ( ，y ) = 躲e 一1 u ( 似x h ) 一u ( 1 ) ) ，若极限存在 其中 ( e x 竹) ) ( t ) = e e x 竹) ( o ，0 t s l 特别地v h h ，令e 为h 的左不变扩张，则 缸( 7 ) = 慨e - 1 托吐) 一u ( 7 ) ) ，若极限存在 易知：对任意的 x ，e 。( z h ( l e ( g ) ) ) ，u ( 们= ，( ，y ( t 1 ) ，7 ( “) ) ，g ”( 厶( g ) ) ， 成立 x t ( 7 ) = ( x h ) 他) ，) ( 7 ( 1 ) ，7 ( t ，i ) ) ， i 舰( 7 ) = ( ) ( ，) ( 1 ( t 1 ) ，7 ( 圳 了 其中o 玩1 i n ，为伊上如下的左不变向量场： ( 。t ) o l ，一，鲰) = ! 觋一1 ，0 1 ，m 一1 ，m e f 4 ，甄“，鲰) 一，( g l ，鲰) ( 4 )令莎( l 。( g ) ) ) 为从工。( g ) 到h i l b e r t 空间“的满足如下条件的所 有映射x 构成的空间：x 沿h 。方向k 次可微，且r 阶方向导数关于 池力日p 厶连续，其中o r ! 七 或o sr 知= 当爿= 且1 时，记萨何他( g ) ) ) = g ( 厶( g ) ) 刘沈荣；连续环群的第一b e t t i 数 1 1 弘2g 值布朗运动 令b = 扣( ；os ts1 ) 与b = t b ( t ) ；o t 1 为两个起始于0 的9 值 布朗运动即对任意的，_ 9 ， e i ( b ( s ) ，o ( b c t ) ，q ) j b o a f ) 健，目) = e c s ( s ) ，f ) ( b ( t ) ，口) 】 考虑g 上如下的随机微分方程： 由( 8 ) = d 6 ( b ) o g ( 8 ) ，9 ( o ) = e ，记g = j ( 6 ) ； 句( s ) = g ( 8 ) o d b ( f ) ，9 ( o ) = e ，记9 = j ( b ) 注意j ( 和，( b ) 分别为左g 值布朗运动和右g 值布朗运动，它们在 足( g ) 上有相同的分布：w i e n e r 测度p 3 3g 上的布朗桥 设g 为g 上如下的随机微分方程的解； 由( t ) = 9 ( t ) 。r i b ( t ) + g r a d t o g p , 一t 臼( t ) ) d t ，0 s t s l ；口( o ) = & 其中只( z ) 为g 上布朗运动的热核，g r a d ，表g 上函数，的梯度则g 为g 上的布朗桥，其分布为 高校在职攻读硕士学位论文 第四章连续环群的第一b e t t i 数：关于日1 度量的外微分d 记号：设f ：曼毋k c t ( t d l 。( g ) ) ) 满足如下的条件： i = 0 毋g 1 ( l 。( g ) ) ，k 噩，l l l h = 1 ，( k ，b ) 1 = 0 j 则 i f = ( 只) _ i i i c ( t i ( l 。( g ) ) ) ，vh 日1 令d f ( g ) 为满足 ( d f 0 ) ， ) l = 元f 0 ) ，v h n ， 的唯一的n 中的张量对任给x = 口j b c ( h i ( l 。( g ) ) ) ，若 吩c ( l 。( g ) ) ，b 历，i l l j l l = l ，( k ，如) 1 = 0 ，i j ， 则定义： 贾f = q ( 弓f ) 注记4 1 算子贾是有定义的 事实上，若x = q b = 0 ，则 j f f f ( g ) = 面( 9 ) ( 弓f ) o ) = a j ( g ) ( d f ( g ) ，b h jj = ( d f o ) ，o ) b ) l = 0 j 定义4 2 坂，y c 1 ( h i ( l 。( g ) ) ) ，令 p 【，g l l 。( g ) = 贾y 一矿x + 【x ，卅 其中，y 】( 9 ，8 ) = x c g ，s ) ，v ( g ，s ) 1 由i l l 知： x y y x = i x , y k ( 研 刘沈荣；连续环群的第一b e t t i 数 1 3 定理4 3 ( c o 。( h i ( l 。( g ) ) ) ，【，- 】l ( g ) ) 是一李代数 证明：只须证懈，y ，z c 。( h 1 伍。( g ) ) ) ， 【x ，瞰z l l 。( g ) k ( g ) + 瞰阮圈k k + 瞄阢y j l , ( o ) i l 。= 0 一 事实上，直接计算可得： 【y ，z 】k ( g ) = y z z y + 瞰刁， p 【，阢司l 。( g ) k 。( 回= x ( y z ) 一y z x x ( z y ) + ( z y x ) + p l 矿司一i x , 2 y + 安【y ，翻一i y t z l x + i x , v , z l l = 贾p z 一戈牙y 一【多两二。( g ) x + 【x ，p z 】 一i x ，宏y 】+ 扛 k 司+ f z , t z l + i x ， y z 】 同理t 瞰【z ，x 】k ( g ) 】厶( 6 。互穸牙x 一矿戈z 一【掰】l ( g ) y + 【e 牙圈 一m 贾z 】+ i p 互x 】+ i z , 矿圈+ i y ，【z , x l l ， i z 【x ，y 】l ( g ) 】l , t g ) = 牙贾y 一身矿x l 莉, n l 。( 回z + 【z ，f c y 一l z ，p 硎+ 1 2 x , y l + p r ，2 y + 【z ，i x ，y i 】 注意对地， g * ( 日l ( l 。( g ) ) ) ，耐一讹= i 硒k ( 研和用关于【 j 的j a c o b i 恒 等式，可知 i x ，i y z l k ( g “k ( g ) + 瞰【z ，x i l 。( g “l 。( 回+ 【互i x ，y 】厶( g ) 】厶( 回。0 定义4 4 外微分d 令角( 衅k ( 回) = 似鄹。( 碍o ( g ) ) ) l 以) 反对称 对任给月口o o ( a p 如( g ) ) ，定义d u 弼。( a r l l 。( g ) ) 如下； p + l d u ( x 1 ，轴1 ) = ( 一1 ) “1 x i ( t ( x l ，寇，坼1 ) ) = 1 + ( 一1 ) 钾u ( 阮，玛j l 。，两，扁，岛，研i ) ( 4 1 ) l j l w r l 1 4 高校在职攻读硕士学位论文 其中戈表示x 被略去，且每噩c ”( h i ( l 。( g ) ) ) ( 1 曼p + 1 ) 一般地，令m ( 蟑( g ) ) ) 表示从l 。( g ) 到矸0 所有满足如下条件的 可测映射u 全体： 口h ) 为反对称的， 厶( g ) 定义d o r a p ( d ) 为满足如下条件的”c ( a p ( 工。( g ) ) ) 全体： 3 d u m ( a p l ( k ( g ) ) ) 使( 4 1 ) 成立 显然 ，口。( a p ( 厶( g ) ) ) cd o m p ( d ) n 俨o ( q ( k ( g ) ) ) 且对任一u d o m p ( d ) ，d u 是唯一的这里d 的定义与( 7 | 中的定义稍有不 同；但限制在左不变外形式上，二者相同由定理4 3 ，类似f 7 】，可证d 2 = 0 注记4 5 ( 1 ) 事实上，l 。( g ) 上的日l 一丛在7 l ( g ) 处为( “) 矾其中 l ，：厶( q 厶( g ) 为逐点左乘积，( “) 。为相应的切映射由于 ( k ) 。：奶+ ( “) h i 为一同构映射，为方便计，在7 厶( g ) 上的丛被视为日1 而不是( b ) h i ( 2 ) 定义4 2 中的l i e 括号及定义4 4 中的外微分d 恰好是厶( g ) 上日1 一丛的l i e 括号和外微分 定义4 , 6 d e r h a m 上同调回顾注记2 2 令d p d d 为d m p ( d ) n c 。( a p 慨( g ) ) ) 中所有l 2 - 可积( 关于) 的闭形式；岛。为d d m p ( d ) nc ”( a p ( 工。( g ) ) ) 中满足如下条件的护一可积形式”构成的集合； 1 ：d v 口d d t n p 一1 ( d ) nc * ( f 1 ( 二。( g ) ) ) 且妒一可积 注意，d p , 。耐d p ，d 。鲥商空间 丑乏( l e ( g ) ) 净d p , d 呻耐m p ，岛耐 中的每一个点为l 。( g ) 上的风丛的一个p 阶d e 趾上同调；第p 个 b e t t i 数6 p 就是月乏阢( g ) ) 维数 刘沈荣：连续环群的第一b e t t i 敷1 5 第五章连续环群的第一b e t t i 数：主要结果的证明 第一步令c 为李代数蛋的非平凡中心；( ) ( o s t 1 ) 为一c 值的凰 路径则矿h i 关于皿一度量的对偶) 满足d 矿= 0 事实上，设豫1 1 i r o ( 1 sr o 田为c 的一正交基则在研中， 矿= 登瞄，其中也( ) = ( ( ) ，最) ，6 研由定义4 4 知，任给v ，f 1 1 ， i = 0 = 五( ) 一敢 ) 一 = ( 咖，l h ，q ) 1 = 一( 五( t ) ，i ( t ) ，l o ) 】) 出 j 0 f 1 ，1 = ( 【h ( t ) ，戎( t ) 】，r ( t ) ) d t + ( i s c t ) ，识( t ) 】，l ( t ) ) d t = 0 j 0 ，d 因此 = 一触，瞻j ! 】) l = o 此外，对任意的 七丘 x = 玛b ，l ，= 巧b 沪( 日l ( 厶( g ) ) ) ， j = lj = l 其中玛，巧g * ( 工。( g ) ) ，b h 1 ；若 ，则由计算直接可得 函) = x ( ) ( 曲一y ( ) ( 力一 ( = 乃b ) ( 而k ) ( g ) ，h 。) - 一k o ) ( k 而) ( 力( 以h j h - j , sj , a 厂、 i 以码( 9 ) ( 岛k ) o ) k 一k ( 力( a 玛) ( 口) bl 一 如 j , s 1 而( 9 ) k ( 9 ) ( 妒，h 。】) 1 且 = 一玛q ) k ( 9 ) ( ，h o l h = 0 j , s 进一步由连续性知，当k = 时，仍有 = 0 第二步令妒( t ) ( o t s l ) 为一c - 值俨一函数且妒( o ) = 0 ，o ( 0 ，1 ) i 驴( t ) = o ) 为有限集对任意固定的s ( o ，1 ) ，取一研一路径 。( t ) ： j k c t ) = l p ( t a b ) 一t i p o ) ，0 s t 1 ； 高校在职攻读硕士学位论文 并令 扫) = z 5 c 驴c t ) ，d b ( 啪，9 乩( g ) ， 其中b 为9 值布朗运动，g 为g 上布朗桥( c f 驺2 3 3 ) 则 d e ，p ( 9 ) = k 舰一d 9 这里d f , ，6 q ) 是e ，关于甄一度量的梯度由第一步可知 知d 1 d 删 由于乃，l 2 ( l 。( g ) ，p 。) ，若存在l 。( g ) 上连续二2 一可积函数，满足彤= 嵋， 即d = h j p ；则 d c r , 舻一，) = 0 ，p 。一口文；( e 帮一，) l 2 ( l e ( g ) ，p c ) 由g r o s s 遍历定理( 【3 】定理2 8 ) ，可知在l 。( g ) 的每一个连通分支上， b 。一，是常数，地一一；即e ，幽) 必须有关于g 的连续修正注意g 是紧的，b 。是b 的非零线性泛函( 光滑泛函) ，但不存在9 的连续版 本矛盾! 因此，对任意固定的s ( o ，1 ) ，闭形式 ：，是不恰当的，且陋：，】是 k ( g ) 上h 。一丛的一个非晖1 阶d er h a m 上同调；其中雌，】是商空间 毗( g ) ) = d i , d 。耐d l ，“中蝣，的等价类。 第三步对任意一自然数n ，取n 个c 值班函数- ，忱，使之满足 怫( 0 ) = 0 ，0 ( o ，1 ) 1 也( t ) = o 为有限集，1 i s f i ， 协( t ) ，t i o ，籼) 鍪1 在c a m e r o n - m a r t i n 空间 ，= 辟对连续函鼽1 ，一c 掷i1 2 出 o 的分 布( z + 为非负整数集) 设岔是v z + 上的乘积一代数，定义( n v z + ，蛋) 上的概率p 如 丁： ， p ( f g ) = f 础( g ) p ( 山) ，v f 只g e 岔 j f 易知在平面上，若用相同的边长为1 的正k 边形来铺满整个平面， 则k 3 ，4 ，6 注意k = 4 对应的平面正则图为z 2 ，k = 6 对应的平面正 则图为( 砭e ) ，而k = 3 对应一个6 - 正则平面图上的r w r e 每一步 可以朝d 个方向或它们的反方向游走，而( ke ) 上的r w r e 无此特征 因此从理论上来说，( v , e ) 上的r w r e 是有意义且值得研究的 取r 2 科，令a c ：= t 舰。= 士* ) 我们的结果如下： 定理 p ( a f u a f ) t o ，1 ) 类似地，对由全等的边长为1 的正三角形铺满整个r 2 所得到的6 正则乎面图上的r w r e ，可得相同的结果 定理的证明：为简单计，不妨设f = ( 1 ，o ) 令n 为自然数全体，t = o ) u 他) 鏊。及丁为t 上的n 代数在 ( n t 。v n , ，t 9 ) 上定义一概率测度f ( 山如如) = p ( d c ，) 。铂( 出) 。或；( 如) ： 取f 日g ) = 上上或，( g ) 铂( 如) p ( 幽) ，v f 兀h e t g 6 蛋 料毙荣；连续环群的第一b e t t i 数 其中q a 为r 上具有如下性质的乘积概率：z 上的坐标序列s 钕瑶， 在轨下是i i d 的且 仍g l = 龟) = 最 = l ，2 ，3 ，q 6 ( i = o ) = 1 3 j a 带； 而对任意的) n ，e 吼( o ) ，l 0 ，或。( x o = o ) = 1 ， 或，+ 1 = z - t - k e f = z ) = l f 。+ ，。 + p 缸，。+ c ) 一司i 等 易证x ；( 矗) 。o 在f 和p 下在( y 矿，g ) 上具有相同的分布 第1 步对任意的s 0 令r = 砒 n 20 ：弱 0 事实上，若p ( r = o o ) = 0 ，则p ( r 0 ，由( ) 知p 撺n m t ) = 0 因此为证p ( 霉) = o ， n 只需证p ( 霍n 肘= o o ) = 0 首先，注意到p ( 皿n ( m = o o ) ) = f ( 皿n f j l f = ) ) 其次，令y o = 0 ， o n = 口( ( 矗，x d ，t n ) ，定义如下的即停时列： 孔= i n f n y k ：x j o ，v 0 ， 氓+ l m - i n f n t k ：，f m a x x m f ：f r i t i ) ，v 七0 显然所有停时在山上都是有限的 令口表示时间和空间的平移，则 f m o o ) f m o o ，t o 。 o o ) = f m ，t o 。7 x v z o o ，x y z = z ) = 勋。( 冠，( t o 0 0 ，如；：，m ；n ) 砗坩。( t o 删) ：v n e _ 由霹矿。( t o n ) 可溯， 或。( t o 0 0 ，如= 毛m = t 1 ) 关于一：$ 一f z 一1 ) 一慨，f n ) 可测及p ( 山) 的乘积性，知 f m c o ) 蓦【陬。 ，( t o m ，砘i i = n ) ) x ：y b 重复此过程，有 。 ， m ) ) ( f ( 硒 o o ) ) 2 ( f ( r o o ) ) 2 f ( 皿n m = o o ) 曼佩疋 0 时，p ( 皿) = 0 第4 步若p ( a u a c ) 0 使得 p ( x n l l 一口，t d 无穷次) 0 因此p ( 皿) 0 ，易知p ( a 一) = p ( a t ) = 0 口 壹堡垒坚垄堡塑主兰垒笙圭：堑： 参考文献 ( 1 j ib k d r i v e r ，t l o h r e n z ，l o g a r i t h m i cs o b o l e vi n e q u a l i t i e sf o rp i n n e dl o o pg r o u p s ，j f a n c t a n a l 1 4 0 ( 1 9 9 6 ) ，3 8 1 4 4 8 ( 2 id s f r e e d ，t h eg e o m e t r yo fl o o pg r o u p s , j d 冠c m o n l 2 8 ( 1 9 9 8 ) ，2 2 3 - 2 7 6 1 3 】l g r o s s ，u n i q u e go f g r o u n ds t a t e sf o rs c h r o d i n g e r0 p 口a 抽bo v e rl o o pg r o u p s ，j f u n c t a n a l 1 1 2 ( 1 9 9 3 ) ，3 7 3 - 4 4 1 阁 p m a l l i s v i n ，。s t o c h a s t i ca n a l y s i s 。，s p r i n g e r ，1 9 9 7 嘲a ，n p r e s s l e y , t h ee n e r g yf l o wo nt h el o o ps p a c eo fac o m p a c tl i eg r o u p ，j l c l n d o n m a t h s o c 2 6 ( 2 ) ( 1 9 8 2 ) ，5 5 7 - , 5 6 6 6 】i ，s h i g e k a w a , d i f f e r e n t i mc a k m i n so nab a s e dl o o pg r o u p ，i n n e wt r e n d si ns t o c h a s t i c a n a l y s i s 。( e l w o r t h ye t c ，e d s ) ，p p 3 7 5 - 3 9 8 ，1 9 9 7 f 7 】i s h i g e t m w aa n ds t a n i g u c h i ，ak a h l e rm e t r i co na b a s e dl o o pg r o u pa n dac o v a r i a n t d i f f e r e n t i a t i o n ，i n 。i t o ss t o c h a s t i cc 捌衄dp r o b a b j i 铮t h e o r y 。( mi k e d a ，s w s t a n a b e ，m f u k u s h i m a ，h k u n i t ae d s ) ，p p ，3 2 3 4 6 ，s p r i n g e r ，1 9 9 7 【8 1e h s p a 丑i e r ，。a l g e b r a i ct o p o l o g y 。，s p r i n 学盯，1 9 9 6 f 9 lf w w a r n e r ，。f o u n d a t i o n s o f d i f f e r e n t i s b l e m a n i f o l d s a n d l i e g r o u p s ，s p r i n g e r - v e r l a g ， 1 9 8 3 【l o l 严士健刘秀芳著测度与概率北京t 北京师范大学出版社，1 9 9 4 1 1 ，1 7 4 - 2 0 5 1 1 l 黄忘远著，随机分析学基础北京：科学出版社，2 0 0 1 【1 2 1 严加安等著随机分析选讲北京；科学出版社，2 0 0 0 ，4 0 - 8 4 【1 3 i 钱敏平、龚光鲁著随机过程论北京大学出版社，2 0 0 4 1 1 4 1 m pwz e r n e r ，a n df m e r k l ，az e r o - o n el a wf o rp l a n a rr a n d o mw a l k si nr a n d o m e n v i r o n m e n t ，a n n a l sp r o b a b 2 0 0 1 ，2 9 ：1 7 1 6 - 1 7 3 2 。 ( 1 5 1 o z e i t o u n i r a n d o mw a l k si