（应用数学专业论文）非线性光子晶格模型解的存在性.pdf

河南大学硕士学位论文 摘要 在非线性光子周期晶格领域中，物理学家使用光诱导法在感光物质中干扰两个 或多个平面波去建立一个二维光子晶格在这个光子晶格中形成一个晶格孤立子，对 这种二维离散孤立子的研究，只有实验观察结果在本文中，应用变分原理、山路 引理和不动点原理等方法，对二维孤立子模型稳态解的存在性，进行了详细的讨论 其结果为光子晶格、晶体中的实验和研究提供了理论依据本文的方法同样适用于 波色爱因斯坦凝聚中的拟晶格孤立子( p r o p o s e dl a t t i c es o l i t o n s ) 存在性的研究 另外，本文的第三部分应用山路引理研究了二维几何约束磁墙模型解的存在性 在边界是周期的情况下，它可以描述一种磁晶体结构 全文共分三章第一章简要介绍了文章的有关背景、主要结果；第二章详细讨论 了在各种参数下光子晶格模型解的存在性；第三章证明了二维几何约束磁墙模型解 的存在性 关键词：光子晶格模型；变分法；山路引理 河南大学硕士学位论文 a b s tr a c t i nt h ef i e l do fn o n l i n e a rp h o t o n i cl a t t i c e ，p h y s i c a ls c i e n t i s t su s eo p t i c a li n d u c t i o n ，t h e i n t e r f e r e n c eo ft w oo rm o r ep l a n ew a v e si nap h o t o s e n s i t i v em a t e r i a l ，t oc r e a t ea2 d p h o t o n i cl a t t i c ei nw h i c ht h es o l i t o n sf o r m o nt h i st w o - d i m e n s i o n a ld i s c r e t es o l i t o n r e s e a r c h ，w eh a v eo n l yt h ee x p e r i m e n t a lo b s e r v a t i o n s i nt h i sp a p e r ，w eu s et h ep r i n c i p l e o fv a r i a t i o n a lm e t h o d ，m o u n t a i np a s sl e m m a ，f i x e dp o i n tm e t h o dt os h o we x i s t e n c eo f s t e a d y s t a t es o l u t i o n si nt w o - d i m e n s i o n a ls o l i t o nm o d e l o u rr e s u l tp r o v i d e sa t h e o r e t i c a l b a s i sf o rav a r i e t yo fe x p e r i m e n t sa n dr e s e a r c hi np h o t o n i cl a t t i c e sa n dc r y s t a l s f i n a l l y , o u ra p p r o a c ha l s oc a nb ea p p l i e dt or e s e a r c ht h ep r o p o s e dl a t t i c es o l i t o n si nb o s e - e i n s t e i n c o n d e n s a t e s b e s i d e s ，i nt h i sp a p e r ，t h et h i r dc h a p t e ru s e sm o u n t a i np a s sl e m m at op r o o fe x i s - t e n c eo fs o l u t i o n si nt w o - d i m e n s i o n a lg e o m e t r i cc o n s t r a i n tm a g n e t i cw a l lm o d e l i nt h e c a s eo fp e r i o d i cb o u n d a r y , i tc a nd e s c r i b eam a g n e t i cc r y s t a ls t r u c t u r e t h ew h o l et h e s i sc o n s i s t so ft h r e ec h a p t e r s 。i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w ei n t r o d u c et h e r e l a t i v eb a c k g r o u n dk n o w l e d g ea n dt h em a i nr e s u l t h lc h a p t e r2 u n d e rt h ev a r i o u s p a r a m e t e r s ，w ed i s c u s si nd e t a i lt h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n si nt h ep h o t o n i cl a t t i c em o d e l i nc h a p t e r3 ，w ed i s c u s st h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n si nt w o - d i m e n s i o n a lg e o m e t r i cc o n s t r a i n t s o fm a g n e t i cw a l lm o d e l k e y w o r d s ：p h o t o n i cl a t t i c em o d e l ；v a r i a t i o n a lm e t h o d ；m o u n t a i np a s sl e m m a i i 关于学位论文独立完成和内容创新的声明 了蜊僦嘶袁蓼；，麓、萋醚黪! 、i 学位备冬汝喾位诊羔謦膏，。蔷毒：鳖：茎；亟3一 詹赢藉鞴簇骘 篱。戋毛学位论文著作杈使用授权书荔霪 甏舻鬻阪纛菇，。黪缝荔多多箩 学住获得者( 学位论文作者) 签名： 霍王：蟊 2 00 7 年石月石日 学位论文指导教师签名： 2 0 第一章前言 1 1背景 非线性周期系统在自然界中是普遍存在的，它所表现出的性质与线性介质中物 质的性质是不同的 8 ，9 】波在非线性介质中的传播与一系列令人振奋的现象联系在 一起，而这些现象在其它介质中没有对应非线性周期晶格发生在很多系统中，例 如，生物分子系统、非线性光学波导系统、固态系统和波色爱因斯坦凝聚等在这 些系统中，最让人感兴趣的情况是离散的自局部状态一离散孤立子实际上，这些 局部状态描述了一个整体激发链，是非线性和线性耦合效应平衡的结果在这两方 面的平衡能引起自局部态，它就是一个晶格离散孤立子近几年来，在几个科学分支 中，如，生物物理、非线性光学、玻色一爱因斯坦凝聚物、固态物理，离散孤立子已 经成为一个研究热点f 2 1 一般地，波在周期晶格中的传播与波在同种介质中的传播是不同的，对于光以 某个角度口= k 关于阵列传播时，晶格的周期性变得非常重要，就像相应 的布洛赫动量( b l o c hm o m e n t u m ) 在布里渊区域能满足b r a g g 放射条件，引起衍射管理 和交错孤立子现象【4 】这些只是孤立子在非线性周期结构中的一些基本方面二维晶 格孤立子最简单的实现形式是在第一个布里渊区域的相位孤立子 1 6 这在理论上 可以通过非线性薛定谔方程得到，而到目前为止，晶格离散孤立子的研究仅仅在非 线性介质中被报道，而且2 维晶格孤立子的研究只有实验观察结果 在感光物质中，光子晶格通过干扰平面波诱导出来，使我们的系统完全有能力 控制修复衍射和非线性，而这些只能在动力系统中完成光诱导技巧允许任何几何 阵列、布喇菲对称，包括缺损状态和三维结构f 1 3 ，1 4 ，1 5 】这种实验观测结果在光子晶 格、晶体中为一类非线性局部现象的实现铺平了道路此外，这种实验的观测结果 与玻色一爱因斯坦凝聚凝聚中拟晶格孤立子有关因此，对这种观测结果给出这种合 理科学的理论证明是非常重要的 河南大学硕士学位论文 在非线性介质中，离散孤立子一直被预测存在非线性波导阵列和光子晶体耦合 嵌入式微腔中，因此，非线性几何波导阵列为离散孤立子的观察和实验提供了肥沃 的土壤【17 在2 维晶格孤立子的实验中，首先使用光诱导法建立一个2 维光子晶格， 在这种晶格中，形成一个孤立子，这种孤立子与波色一爱因斯坦凝聚中的晶格孤立子 有直接的联系 在这篇文章中，我们详细的证明了在合适的基于偏光折射晶体中存在离散晶格 孤立子，这些孤立子是通过几何诱导波导周期晶格所确立的平面波干涉产生的 1 3 我 们的证明方法为一类1 d 和2 d 中的波在周期晶格中传播提供了理论依据；这种研究 方法为在毫瓦功率水平下研究一类新类型空间孤立子提供依据，包括在二维中自聚 焦和散焦的不同组对称的离散孤立子，耦合向量孤立子，光学双原子链 在几何光学中，晶格孤立子的研究是几何光学重要的一部分对于一维晶格孤 立子的研究，在参考文献【1 ，3 ，7 j 中，已经做了大量的观测结果，在 4 】中，给出了一些 理论研究由于科学技术的发展和先进的设备仪器的使用，在国外几何光学领域中， 做出了大量的实验，得到了很多较为详细的实验观察结果在一维几何光学系统中， 有很多工作者致力于这方面的研究，所以理论和实验都是比较完善的但是在二维 中，二维非线性周期晶格的形成主要依赖于光诱导技巧，这种技巧可以在非线性介 质中生成一个二维波导阵列，这仅仅是实验观测的结果，还未进行详细的理论论证， 也没有对所观测的方程进行深入的研究大量的文章通过实验数据显示，在适当的 导向偏光折变晶体中，光学离散孤立子可能存在，这主要是通过光诱导周期波导晶 格干涉平面波完成的对这样一类通过光诱导所得到的离散孤立子一般都缺少严格 的理论证明 二维非线性光子晶格的形成主要依赖于一个光诱导技术，光诱导技术能在非线 性介质中产生一个二维波导阵列光诱导法是非常一般地允许在任何非均匀感光介 质中生成最简单的光子晶格理论上沿z 轴的动态发展系统是有两个耦合方程所决定 的，这两个耦合方程描述了沿着x 轴和y 轴的周期格子波v 和孤立子形式的探针u 的 2 河南大学硕士学位论文 缓慢幅角的变化在合适的条件下，这个系统能被简化成的薛定谔方程组f 1 6 j t 瓦o u + 虿1 ( 0 2 u 十e 酽g v ) 一咖( 缈= 。， ( 1 1 ) 。瓦+ 虿。+ 否万一n 1 【。j u 2 u ， ( l 1 i 警+ 麦( 豢+ 酽0 2 v ) 一肛。 m 2 ) 。瓦+ 砺i 、否万+ 否7 一n 1 ( 。) v 2 u 【l 2 ) 在这里，下标表示正交极化方向，n 1 和n 2 分别是折射指标，k 1 = k o n l ，尼2 = k o n 2 ， a n l 和a n 2 是由总密度，= i v l 2 + l y l 2 所7 1 起的非线性指标的变化在这篇文章中， a n l ：垃毫亟( 1 + ，) 一1 和a n 2 ：塑连堂( 1 + ，) 一1 是由光折射屏蔽非线性所引起的 指标的变化密度j 是通过单位背景照明来测量的在表达式中岛是应用场， 凡1 = 他，r a a 和 礼2 = n o ，r 1 3 是异常极化探针束u 和通常极化阵列波v 的折射指标和电子 光学系数本文主要研究参数在不同情形下，方程组( 1 1 ) 、( 1 ，2 ) 的稳态解 1 2预备知识与主要结果 为了叙述山路引理的方便，先介绍p s 条件 p s 条件若假设x 是希尔伯特空间，f c 1 ( x ，r ) ，在x 中任意序列 u n ) ，当礼_ ，f ( u n ) _ q ，f d i ( u 几) l i x 一0 时，使得序列 钆n 】- 的一个子序列在x e p 是强收敛的 山路引理若假设x 是希尔伯特空间，i c 1 ( x ，r ) ，满足p s 条件除此之外，泛 函i 也必须满足以下条件： ( i ) i ( o ) 一o ； ( i i ) 存在常数a ，r 0 ，使得当恢= r 时，i ( u ) a ； ( i i i ) 存在一个元素u x ，使得当l x r 时，i ( v ) 0 ； 定义从x 的中一t 二 0 v 的路径为：7 - = g ( c o ，1 】，x ) l g ( o ) = o ，g ( 1 ) = ”) ，则正数e = 盼i n f ，u m 。a o ) ，使得对所有的h x ，t 【0 ，1 ，i l h l l x c ，满足h = t t ( h ) ，则t 有 一个不动点 3 河南大学硕士学位论文 强列紧性理设qc 舻为一有界区域，1 p 0 ，q 0 ，a 0 或p 0 ，q 0 ，a 0 时，方程组( 1 3 ) 、( 1 4 ) 只有 零解 定理2 2 当p o ，q 0 ，a 0 ，q 0 ，入 0 或p o ，q 0 ，入 0 时，则方程组( 1 3 ) 、( 1 4 ) 只有零解 若p 0 ，q 0 ，a 0 ，用一u 代替u ，用一钞代替u ，根据以上两个等式，仍然可知，方 程组( 1 3 ) 、( 1 4 ) 只有零解 定理2 2 当p o ，则能量泛函( 1 5 ) 可以写成： 讹，垆z 【一；1i v 砰一言i v u l 2 + li n ( 1 小1 2 仆n 一扣2 一垒q 2 定义允许集为： 彤= ( u ， ) ( u ，口) w 1 , 2 ( q ) ，( u ，钉) 0 设t = 钆+ 口，令 g ( t ) = 垒a t 一1 n ( 1 + ) o ， 其中o = m a x p ，口】- ，则f ( t ) g ( t ) 因为g 他) = a 一而1 ，g 7 心) = 而1 严0 ，所以g 有 最小值，从而f 有最小值即f c 令j ( u ，口) = 一z ( u ，钉) ，则 m ，垆上_ 三l v u l 2 + 石1i v 口1 2 - i n ( 1 + i u l 2 + i 呐i + 扣2 + 汁) 出 = 上【三l v u l 2 + 吉i v u l 2 + 龛i 让1 2 + 龛2 一l n ( 1 + i 乱1 2 + i 印) + 龛i u l 2 + 龛l u l 2 ) 如 q i | u l l w l ，2 ( q ) + q 忪| 1 w - ，z ( q ) + 岛 即泛函j ( u ，v ) 在w 1 , 2 ( q ) 中是有下界的，从而泛函j ( u ，v ) 有下确界按照下确界的 定义，必存在( u 七，讥) w 1 2 ( q ) ，使得七1 i r a o 。j ( 札_ i c ，) 5w i ，n ，：f ( q ) j ( 缸，u ) - 序列【( u 知，) ) 称 为泛函的极小化序列 因为1 i mj ( u 七，讥) 存在，所以存在常数m 0 ，使得j j ( u 七，饥) lsm ，代入上式得： c 1i l 让i | w 1 2 ( q ) + c 2 j l 1 ，2 ( q ) c ， 即序列 ( 妣，) 】- 在w 1 , 2 ( q ) 中有界于是序列 ( u 七，) ) 存在一个弱收敛子列，不妨仍 记为 ( ，) ) ，即在1 ，2 ( q ) 中( u 七，v k ) 一( u ，u ) ( k o 。) 河南大学硕士学位论文 下证：泛函j ( u ， ) 在w 1 ，2 ( q ) 中是弱下半连续的即对w 1 , 2 ( q ) 中任何序列 ( 让凫，讥) ， 若在w 1 ，2 ( q ) ( u k ，v k ) 一( u ，v ) ( k 一) ，贝, l j j ( u ，口) s l i mj ( u k ，讥) 七o o 事实上，由l 2 范数的弱下半连续性，我们有 i v v l 2 d xs 堕v 魄1 2 d x ，nk - - - , c o q 又因为序列 ( 也知，) ) 的弱收敛性，所以有 上h ( 1 仆| 2 + 川2 ) d x = 熙上l n ( 1 仆胛十蚓2 ) d x 将上面两式带入泛函j ( u ，口) 的表达式中，可以得到： j ( 仳，口) 上堕j ( u k ，讥) 所以根据变分法的理论，j ( u ，口) 存在一个极小值又因为j ( u ，v ) = 一j ( u ，口) ，所p a i ( u ，移) 存 在一个极大值，即方程组( 1 3 ) 、( 1 4 ) 至少存在一个解 2 2 定理2 3 的证明 定理2 3 当p 0 ，q 0 ，入 0 ，a 充分小时，则方程组( 1 3 ) 、( 1 4 ) 至少有一个非 平凡解 先证明两个引理 取a = 一6 ，能量泛函( 1 5 ) 可以写为： 讹，沪 v u l 2 + q i v u l 2 + l a ( 1 仆| 2 + m 一知2 一扣2 记矿= ( u ，u ) ，定义i i v u i l l ：( n ) = 击l l w , l l l z ( q ) + 剀v 训l ：( n ) ， i i u i i l ：( n ) = 刍l i u | | l ：( q ) + 古l 旧| | l ：( n ) ，则 ，( u ) = _ i v v l 2 + i n ( 1 + i v l 2 ) 一6 l u l 2 ) d z ( 2 1 ) 引理2 1 若x 是希尔伯特空间，i c 1 ( x ，r ) ，对在x 中的任意序列 ) ，当j ( ) _ q ，i i d i ( v n ) l l x _ 0 ( n _ o ( 3 ) 时，使得序列 ) 的一个子序列在x 中是强收敛的 河南大学硕士学位论文 而 证明：让 ) 是引理中所描述的一个子序列，则 j ( ) = 八j v f 2 + l n ( 1 + i v l 2 ) 一6 i 1 2 ) 出一q ( 礼_ 。) ( 2 2 ) ，q l 以酬y 肛i 上( v - v v + 器一刚) d z l s 刮m 增 ( 2 3 ) 在( 2 3 ) 式中，让v 三1 ，有 l 上揣d x - 5f u n d x 刮邮 因为 i v _ 1 = l 丽1 上6 如i 志i 互( 6 一揣i + 丽1 器酬 意+ 丢 所以，利用p o i n c a r 6 不等式，有 l 巩1 2 d x = 1 一丝+ 垃1 2 d x ，nj q 2 五i 一u n j 2 d x + 2 点l 垃j 2 d z，q，n c l f l v 1 2 如+ q ( 2 4 ) 由( 2 2 ) 式，知，( ) l 口l - 4 - 1 又因为 x ( g ) = | 1 v 1 2 + l n ( 1 + i u l 2 ) 一6 l 巩1 2 ) d z ，q ( i v g l 2 6 i 1 2 ) d x 二i v 1 2 出一6 c 五j v 1 2 出一6 岛 9 河南大学硕士学位论文 取6 充分小，使6 c 1 1 ，则有 上i v 1 2 d x 豁 r 时，j ( y ) 0 ； 证明：( i ) 因为j ( u ) = 矗 i v u t 2 + l n ( 1 + l u l 2 ) 一6 1 u 1 2 d x ，所以j ( o ) = 0 ，即( i ) 成 ( i i ) 由2 维空间的嵌入定理知： f l u 4 d x al i u i f l 2 一仍 由工( u ) = f n i v u l 2 + i n ( 1 + i v l 2 ) 一, ，l u l 2 ) d z ，有 x ( v ) ( i v v l 2 6 例2 ) 如 ，n c 1 l l u l l l 。一6 | | 矿i l 羔：+ c 2 c 1 l r 一6 l 灸一c 2 在这里l r 三i n f l l u l l l 2 i v w 1 , 2 ( q ) ，i i v l l w - ，。( q ) = r - o p 8 ，由二次函数的知识 可以做到：i ( u ) a 0 ，所以( i i ) 成立 ( i i i ) 因为j ( u ) = f q i v u i 2 + l n ( 1 + i c 厂1 2 ) 一6 i u l 2 ) 如，取u = c ( c o 的常数) ， 当c _ + 。时，( 让) 一一0 0 即存在一个元素y w 1 , 2 ( q ) ，使得彬i | w z ：( q ) r 时，( y ) 0 ，( i i i ) 得证 定理2 3 的证明：使用引理中的记号假设6 0 是适当小，则由e j l 理2 1 和引 理2 2 知，能量泛函i 满足山路引理的全部条件若定义从x 的中心到v 的路径为： 下= 9 ( c o ，1 】，x ) 1 9 ( o ) = o ，9 ( 1 ) = 钉】， 则总存在一个点t 9 ( o ，1 ) ，使得怕( g ) i i = r 因此， c = i n fm a xj ( 夕( ) ) a g 1 - o ( o ，q o ，a 0 ，a 充分小，则方程组( 1 3 ) 、( 1 4 ) 至少有一个非平凡 解 证明：若记危= ( 珏，钌) ? ，a = 再南( 只q ) ，则方程组1 3 ) 、( 1 4 ) 可以写成向量的 形式： a h ：a h + a h ( 2 7 ) 1 2 河南大学硕士学位论文 当q 0 ，a 0 时，由定理2 1 知，口= 0 则方程( 1 3 ) 可以写为： u = 再p 面u + a u ， ( 2 8 ) 将( 2 8 ) 式两边乘以瓦，然后分部积分，可以得到： zf v 钍1 2 如；一p 五r 者孑如一z a u 如， 由上面方程可以看出，当a 充分小时，方程( 2 8 ) 除零解外，还存在非零解所以j h i 2 = i u l 2 + 川2 0 ，即九0 因此，该定理所得到的解是非平凡解 下面分四个步骤验证s c h a e f e r ，8 不动点定理的条件 ( i ) 定义x = w 1 , 2 ( q ) ，t ：x x ，h = t ( 口) 和u 之间的关系由下式确定： a h = a v + a 移= ，( 钌) 由此可知，当”l 2 ( q ) 时，( 口) l 2 ( q ) 由椭圆方程的正则性定理知：h w 2 , 2 ( q ) ，且 ij h l l w 2 。2 ( q ) c l l f n l 2 ( f 1 ) ( 2 9 ) ( i i ) 断言：t ：x _ x 是连续的 事实上，若序列 v k ) cx ，定义h = t ( v k ) ，h = 丁( 口) ，当j 慨一口l l - ，：f n ) 一 0 ( 惫_ o 。) 时，i f 一圳l 。( q ) 一0 一) 由椭圆l 2 估计： l l h k h l l w ：, 2 f n ) c i i f ( v k ) 一f ( v ) l l l = ( n ) = c i i a ( v 毛一口) + 入扣k v ) l l l z ( a ) c i i a ( v k v ) i i l 2 ( a ) 十c 1 1 ) , ( v k v ) i i c 。( q ) c i i a i i l = ( a ) i i u 七一r i l l 2 ( q ) + a i j 口七一口| | l 2 ( q ) _ 0 ( k 一。) 所以，算子t 是连续的 ( i i i ) 断言：t 是紧的， 1 3 河南大学硕士学位论文 事实上，i f t v 七) 是w 1 ，2 ( q ) 中的有界序列则= t ( v k ) ，满足 a h k = a r k + x v k = f ( v k l 由椭圆l 2 估计： i i h k l l w 2 ，2 ( n ) 酬，( ) 怯f n ) 0 ，f 7 0 1 5 河南大学硕士学位论文 3 2主要结果及证明 能量泛函( 1 6 ) 的欧拉一拉格朗日方程是： s ( z ) a u ( x ) + v u ( x ) v s ( x ) 一s ( z ) f 7 ( 乱) = 0 ， 其中v = ( 茜，两0 ) 定理3 。1 能量泛函( 3 1 ) 存在非零的临界点，即方程( 1 。7 ) 存在非平凡解 为了应用山路引理，将能量泛函e ( u ) 修改为如下形式： x ( u ) = ( i v 钆1 2 + f ( u ( z ) ) 一f ( o ) ) s ( x ) d x ( 3 1 ) ，z 引理3 i ( p s 条件) 能量泛函( 3 1 ) 满足p s 条件换句话说，如果序列 u n 】_ 是w 1 ，2 ( q ) 中的一个序列，使得( i ) 当n _ o o 时，j ( 让n ) _ o ；( i i ) 当n _ o o 时，i | d ，( u 几) l l x _ o ，那 么序列 u n ) 存在一个子序列在1 ，2 ( q ) 中是强收敛的 证明：让( ) 是引理中所描述的一个序列，则 j ( 乜n ) = ( 1 v 1 2 + f ( 铭n ) 一f ( o ) ) s ( x ) d x _ & _ o 。) ( 3 2 ) - ，s 2 而 以洲) = d i ( 洲) = 溉堕坐学 ：l i m 兰! 兰211 1 兰2 ! 里! ! ! 兰! ! 里1 2 二! 里塾罡二! ! 兰2 2 1 塑 ：i i m 玉兰! 兰21 11 里丝：! 里! 兰兰! 里! 竺! 兰! ! 里1 2 二竺! 兰2 2 2 塑 = f s ( z ) ( 2 v v u + f 7 ( u n ) 口) 如 l ，( u n ) ( ) l = l 正s ( z ) ( v v v + f 7 ( 札n ) 口) d z l e n i l v l l w ，。( q ) ( 3 3 ) j n 所以，根据( 3 2 ) 式，由极限理论可以得到： l ( i v 1 2 + f ( ) f ( o ) ) s ( x ) d x l 0 ，使得当i i u l l x = r 时，j ( u ) a ； ( i i i ) 存在一个元素u x ，使得当h v l l x r 时，( ”) 0 ； 证明：仿照引理2 2 的证明可得结论 定理3 1 的证明：使用引理中的记号，由引理3 1 和引理3 2 知，能量泛函i 满足山 路引理的全部条件若定义从x 的中一t ：, n v 的路径为： 7 - = 9 ( c o ，1 ，x ) l g ( o ) = o ，g ( 1 ) = 钉) ， 则总存在一个点t 9 ( 0 ，1 ) ，使得( 幻) 1 1 = r 因此， c = i n f m a ，x ，( 夕( t ) ) a g e t0 t 1 一 因为c 是i 的一个临界点，即泛函( 3 1 ) 有一个临界点u w 1 , 2 ( q ) ，使得，( 钍) = c ，缸是非 零的根据椭圆正则性定理，缸是方程的一个古典解即方程( 1 7 ) 存在一个非平凡解 1 8 参考文献 【1 】x i e ，a ，v a n d e rm e e r ，l ，h o f f ，w ，a u s t i n ，r h l o n g l i v e da m i d eiv i b r a t i o n a lm o d e si nm y o - g l o b i n j p h y s r e v l e t t 8 4 ，5 4 3 5 - 5 4 3 8 ( 2 0 0 0 ) 【2 】t r o m b e t t o n i ，a ，s m e r z i ，a d i s c r e t es o l i t o n sa n db r e a t h e r sw i t hd i l u t eb o s e - e i n s t e i nc o n d e n - s a t e s j p a y r e v l e t t8 6 ，2 3 5 3 - 2 3 5 6 ( 2 0 0 1 ) 【3 】m a l o m e d ，b a ，k e v e r k i d s ，p g d i s c r e t ev o r t e xs o l i t o n s j p h y s r e v e6 4 ，0 2 6 6 0 1 ( 2 0 0 i ) 【4 】s c o t t ，a c ，m a c n e i l ，m l b i n g d i n ge n e r g yv e r s o sn o n l i n e a r i t yf o ra ”s m a l l ”s t a t i o n a ys o l i t o n j 】 p h y s l e t t a9 8 ，8 7 8 8 ( 1 9 8 3 ) 5 】s h o u x i nc h e n ，y i s o n gy a n g p h a s et r a n s i t i o ns o l u t i o n si ng e o m e t r i c a l l yc o n s t r a i n e dm a g n e t i cd o m a i nw a l lm o d e h n o n l i n e a r i t y ，s u b m i t t e d 【6 】l a w r e n c ec e v a n s ，p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s m a m e r i c a nm a t h e m a t i c a ls o c i e t yp r o v i d e n c e ，r h o d ei s l a n d 4 3 1 4 8 6 【7 】l e d e r e r ，f ，d a r m a n y a n 。sk o b y a k o v ，a i ns p a t i a ls o l i t o n s m ( e d st r i l l o 。st o r r u e u s s ，w ) 2 6 9 - 2 9 2 ( s r i n g e r ，n e wy o r k ，2 0 0 1 ) 【8 】e f r e m i d i s ，n k ，s e a r s sc h r i s t o d o u l i d e s ，d n d i s c r e t es o l i t o n si np h o t o r e f r a c t i v eo p t i c a l l y - i n d u c e dp h o t o n i cl a t t i c e s j p h y s r e v l e t t 8 5 ，1 8 6 3 1 8 6 6 ( 2 0 0 0 ) 【9 】g r e i n e r ，m ，m a n d e l ，0 ，h a n s h ，t ，w ，b l o c h ，i c o l l a p s ea n dr e v i v a lo ft h em a t t e rw a v ef i l e do f ab o s e - e i n s t e i nc o n d e n s a t e j n a t u r e4 1 9 ，5 1 5 4 ( 2 0 0 2 ) 【1 0 】d a v y d o v ，a sk i s l u k h a ，n i s o l i t a r ye x c i t a t i o n s i no n e - d i m e n s i o n a lm o l e c u l a rc h a i n s j p a y s s t a t u ss o l i d ib 5 9 ，4 6 5 4 7 0 ( 1 9 7 3 ) 【11 】c h r i s t o d o u l i d e s ，d n ，i o s e p h ，r i d i s c r e t es e l f - l o u s i n gi nn o n l i n e a ra r r a y so fc o u p l e dw a v e g - u i d e s j o p t l e t t 1 3 ，7 9 4 - 7 9 6 ( ( 1 9 8 8 ) 【1 2 】s u ，w p ，s c h i e f f e r ，i r ，h e e g e r ，a j s o l i t i o n s i np o l y a c e t y l e n e j p a y s r e v l e t t4 2 ，1 9 6 8 1 9 7 1 ( 1 9 7 9 ) 河南大学硕士学位论文 【1 3 】l e i s c h e r ，i w ，c a r t o o n ，t s e g e v ，m ，e f f e m i d i s ，n k ，c h r i s t o d o u l i d e s ，d n o b s e r v a t i o no fd i s c r e t es o l i t o n si no p t i c a l l y - i n d u c e dr e a l t i m ew a v e g u i d ea r r y s j p h y s r e v l e t t 9 0 ，0 2 3 9 2 0 ( 2 0 0 3 ) 【1 4 】c h r i s