（应用数学专业论文）抽象方程解的存在理论及应用.pdf

抽象方程解的存在理论与应用 王秀荣( 应用数学) 指导教师：宋光兴( 教授) 摘要 本文的研究主要分为三个方面：抽象空间中微分方程周期边值 问题、两点边值问题以及微分方程反向上下解问题首先，详细的 讨论了一般b a n a e h 空间中，积一微分方程周期边值闯题最大解最小 解的存在性本文分别在正则锥与正规锥中，只存在上解或下解的 条件下研究积微分方程周期边值问题，得出一系列定理得到近似解 的单调迭代逼近序列减弱了定理满足的条件，扩大了定理的适用 范围其次，分两种不同情况研究抽象空间中不连续二阶非线性微 分方程边值问题解的存在性：不含有微分项甜的二阶微分方程与含 有微分项项的二阶微分方程当二阶微分方程不含有微分项时， 利用混合型单调算子的理论与性质，得到了相应解的单调迭代序列 及近似解的相应误差估计式；而当二阶微分方程含有微分项项时 利用积分变换将含有微分项的二阶微分方程转化为一阶积微分 方程，利用单调迭代方法给出了广义解的单调迭代序列与近似解的 误差估计式最后，分别讨论一阶与二阶微分方程反向上下解的问 题对反向上下解问题的研究主要是构建不同的比较定理( 极大值 原理) ，解决证明过程中出现的一些问题然后利用反序上下解方法 与单调迭代方法得到解的存在性定理 关键词；积微分方程，上下解，单调迭代方法，周期边值问题，正 规锥 m t h e t h e o r y a n d a p p l i c a t i o n o fs o l u t i o na b o u t a b s t r a c te q u a t i o n s w a n g x i u - r o n g ( a p p l i e dm a t h e m a t i c s ) d i r e c t e db yp r o f e s s o rs o n gg u a n g - x i n g a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，t h em a i nr e s e a r c hm c l u d e st h r e ea s p e c t s ：t h ep e r i o d i c b o u n & r yv a l u ep r o b l e m ( p b v p ) ，t h et w o - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ( b v p ) a n dr e v e r s e du p p e rl o w e rs o l u t i o n sf o rt h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i na b s t r a c ts p a c e s a tf i r s t , i no r d i n a r yb a n a c hs p a c e s ，u n d e rt h ec o n - d i t i o n so ft h en o r m a lc o n eo rt h er e g u l a rc o n ea n do n l ye x i s t e n c eo n e u p p e rs o l u t i o no ro n el o w e rs o l u t i o n , t h ee x i s t e n c eo ft h em a x i m a la n d m i n i m a ls o l u t i o n sa n dt h ei t e r a t i v es e q u e n c eo fc o r r e s p o n d i n gs o l u t i o n s o ft h ep e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o ri n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a - t i o n sa r ei n v e s t i g a t e d i na b s t r a c ts p a c e s ，w h e nt h ee q u a t i o n si sd i s - c o n t i n u o u st h ee x s i s t e n c eo fs e c o n do r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sv a l u e p r o b l e m i si n v e s t i g a t e d f o rt h i sp r o b l e mi n c l u d e st w oa s p e c t s ：w i t h o u t 矿i t e r na n dw i t h1 i t e m w h e nt h es e c o n do r d e rd i f f e r e n t i a l 即u a - t i o n sw i t h o u tu 7i t e m ，b yu s eo ft h et h e o r ya n dp r o p e r t yo fm i x e d m o n o t o n eo p e r a t o r , t h ei t e r a t i v es e q u e n c eo fs o l u t i o n sa n dt h ee r r o r e s t i m a t i o n sf o rt h ea p p r o x i m a t i o ns o l u t i o n sa r e 西v e n 瞩h e t lt h e d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t h 材7i t e ma p p l y i n gt h ei n t e g r a lt r a n s f o r m ，t h e e q u a t i o n si sb e c a m eai n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t h o u t 甜i t e m ，t h e i v i t e r a t i v es e ( 1 u 铋c co fg e n e r a l i z e ds o l u t i o n sa n dt h ee r r o re s t i m a t i o n sf o r t h ec o n v e r g e n ti t e r a t i v es e q u e n c ea r ea s l oo b t a i n e d , a p p l y i n gm o n o t o n e i t e r a t i v em e t h o d t h el a s t , d i s p a r tt w oc o n d i t i o n s i n v e s t i g a t et h e r e v e r s e du p p e rs o l u t i o n sa n dl o w e rs o l u t i o n s t h ef i r s to r d e rd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sw i t ht h en o n l i n e a rb o u n d 甜yc o n d i t i o ni si n v e s t i g a t e d i nt h i s c o n d i t i o n s ，b y e s t a b l i s h e dan e wc o m p a r a t i o nt h e o r e m s o l v i n gt h e p r o b l e mi nt h ec o u r s eo fp r o v e b ye s t a b l 蛐an e wc o m p a r a t i o n t h e o r e m , a p p l y i n gt h em o n o t o n ei t e r a t i v em e t h o di n v e s t i g a t et h ep e r t e d i c b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o rs e c o n do r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n si nb a n a c h s p a c e st h er e g u l a rc o n ew h e nt h eu p p e rs o l u t i o n si ss m a l lt h a nt h el o w e r s o l u t i o n s ，e r i t e r ao nt h ee x i s t e n c eo fm a x i m a ls o l u t i o n sa n dm i n i m a l s o l u t i o n sa r eo b t a i n e d k e yw o r d s ：i n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，m o n o t o n ei t e r a t i v et e c h - n i q u e , l o w e ra n du p p e rs o l u t i o n s ，p e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m , t h e n o r m a lc o x l e 、l 中国石油大学( 华东) 硕士论文 符号 符号 本文所用符号，除文中特殊说明外，均按如下规定： l e 表示属于，v 表示任意，j 表示存在 2i | | | 表示肋，嘏幽空间中的范数 3 盯( ) 表示非紧性测度 4 皇表示定义 5 名( 回表示算子b 的谱半径 5 2 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包 含为获得中国石油大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示了谢意。 关于论文使用授权的说明 本人完全了解中国石油大学有关保留、使用学位论文的规定， 即：学校有权保留送交论文的复印件及电子版，允许论文被查阅和 借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印 或其他复制手段保存论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 学生签名： 导师签名： 9 , o o7 年r , e j “e t 渺7 年f 月，5 日 中国石油大学( 华东) 硕士论文第l 章引言 第1 章前言 1 1 课题来源研究背景及其研究意义 本课题来源于石油大学基础研究资助项目 伴随着近代物理学和应用数学的发展，在许多应用学科中出现 了新的非线性问题引起了人们的关注，从而使非线性分析成果不断 积累，逐步形成了现代分析数学的一个重要的分支学科一非线性泛 函分析 非线性泛函分析是现代数学的一个重要学抖，抽象空间微分方 程理论则是近二三十年来发展起来的一个重要分支，它把微分方程 理论和泛函分析理论结合起来，利用泛函分析方法研究抽象空间中 的微分方程它的理论在无穷常微分方程组、临界点理论、偏微分 方程、不动点定理等多方面都有广泛的应用 由于在无穷维空间框架中，处理分析学的非线性问题的方式有 着无穷的潜力近年来，非线性泛函分析已经成为研究数学、物理、 航空航天技术、生物技术中非线性问题的一个重要的工具它的基 本方法有拓扑度方法、变分方法、解析方法、半序方法、上下解方 法、单调迭代方法等 二十世纪以来，非线性泛函分析的发展取得了重大突破首先 b a n a c h 压缩映象原理、l e i - a y s c h a n d e r 拓扑度理论、抽象锥的不动 点理论、临界点理论的提出，促进了非线性常微分方程、偏微分方 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章引言 程边值问题的研究，加速了非线性分析的发展 将具体问题概括为抽象空间方程问题，其本质在于：用抽象空 间语言把所给问题加以改写；然后，借助泛函分析方法对这个抽象 问题尽可能完善的加以分析；最后再把所的结果进行“翻译”，以回 到原来的问题这种方法去掉了无关紧要的枝节，更易于揭示和分 析问题的核心，而且表面上看来不同的问题可以用同一空间理论来 处理因此有关抽象空间的一些问题已就显得非常重要，而其方程 解的问题又是研究空间问题的核心问题它不但对数学的基础理论 有着推动作用，而且应用于解决几何学与物理学中的一些实际问题， 推动自然学科的发展另外，自然科学和工程技术中大量非线性现 象组成的各类非线性积分微分算子又为抽象空间方程的发展提供了 基本素材 利用抽象空间各类方程，对问题进行研究和解析是一个十分巧 妙而又应用广泛的方法抽象方程理论应用在许多数学领域，也正 是由于这些应用，抽象方程理论才得以更迅速发展 另外，非线性泛函分析理论的研究及完备化具有非常重要的意 义，尤其是近几十年来，国内外的许多研究学者对非线性问题的研 究做了大量工作 郭大钧先生在专著 1 中对非线性泛函分析的几个重要课题及 其应用，诸如某些经典的非线性算子、h a m m e r s t e r s t e i n 型积分方程、 常微分方程和偏微分方程、迁移方程、锥理论及非线性算子方程的 正解、非线性算子拓扑度和不动点以及固有值、解的个数与分支， 都作了系统的概括和总结 2 中利用锥理论讨论了多种非线性闯 2 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章引言 题，主要是近几年来发展起来的最新成果 3 ，4 则讨论了各种多 样的积分方程解的存在性其中内容可谓是丰富多采，包括了非线 性泛函分析这一领域各个方面的成果 本课题正是在上述背景下提出的，通过研究抽象空间中各类方 程解的理论，希望找到使相应方程解存在且较容易验证或检验的条 件；同时努力构造逼近一致收敛于解的迭代序列，以及给出相应解 的误差估计式 1 2 国内外现状分析 抽象空间中的常微分方程是近二三十年来发展起来的一个新的 教学分支，它把微分方程理论和泛函分析理论结合起来，利用泛函 分析方法研究抽象空间的微分方程郭大钧和孙经先合著文献f 5 】是 这一课题的集大成之作，概括了b a n a c h 空间常微分方程理论【6 】6 全面综述了抽象空间内非线性微分方程各个分支的内容，包括证明 解的存在性时所使用的方法以及解的某些性质，【7 】则是一篇综合报 告，概括了微分方程发展的一些最新成果 在专著【1 】中，郭大钧先生对非线性泛函分析的几个重要课题和 应用作了系统的概括和总结文献 3 ，4 ，8 ，9 讨论了多种非线 性问题，主要是近年来发展起来的一些最新成果，包括了非线性分 析这一领域各个方面的成果文献 9 则利用非线性分析研究常微 分方程解的存在性，唯一性及多解性，其中使用了非线性泛函分析 中的许多理论和方法例如拓扑度理论，半序方法，上下解方法等文 献【1 0 】在抽象空间中研究了各种非线性积分方程解的存在性和唯一 3 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章引言 性问题 研究解的存在性的理论方法有多种：压缩映象原理、变分原理、 单调算子理论、不动点理论、拓扑度理论但其侧重点不一样其 中，压缩映象原理重点在于讨论非线性算子方程解的存在性与唯一 性；拓扑度方法要求算子全连续且只能给出解的个数 现阶段，单调迭代方法、上下解方法以及拓扑度方法是研究热 点利用上下解方法、单调迭代方法不仅可以得出解的存在性，而 且可以获得方程的最大解、最小解以及一致收敛于解的迭代逼近序 列更好的结果是我们能够得到相应近似解的误差估计式但上下 解方法和单调迭代方法对方程要求条件较高，面拓扑度方法只能给 出解的存在性，一般不能给出逼近解的迭代序列因此，如何在较 广的空间中，较弱的条件下利用上下解方法与单调迭代方法得到我 们想要的最完美的结果是世界上许多数学工作者非常感兴趣的研究 问题之一宋光兴( 本课题指导教师) 以及国内外一些数学专家在这方 面做出了许多具有一定开创性的工作，这些工作中的基本思想对本 课题的研究有着重要的启发 1 3 主要研究内容和目标 本课题主要是充分利用上下解方法和单调迭代方法研究抽象空 间方程的解存在性和构造逼近解的迭代序列以及相应误差估计式 由于空间方程的许多存在性在定理都可作为适当的不动点定理 的特殊情况来处理，所以，首先我们讨论抽象空间中几类非线性算 子方程不动点的存在性、唯一性、最大不动点和最小不动点的存在 4 中国石油大学( 华东) 硕士论文 第1 章引言 性以及迭代序列的不动点的收敛问题 下面定义空间中几类重要的非线性算子： p 是实b a n a c h 空间e 中一个锥，从而在e 中引入半序设似s ) 是半序b a n a c h 空间设d c e ，算子4 ：d e 定义1 3 1 增算子 ( f ) 若毛，x 2 d ，而s x 2j 如如，则称a 是d 上的增算子； ( 豇) 若为，而d ，而x 2j 如 如，则称a 是d 上的严格减 算子 定义1 3 3 混合单调算子 p 是实b a n a c h 空间e 中一个锥，从而在e 中引入半序s 乘积空 间e x e 是一个b a n a c h 空问，其中范数取i i j ，) 忙n 姒硼x l i ，i l y l l j 设 d ce ，于是d d c e e ，设算子a ：d d e v ( x ，力e e ，若a ( x ，y ) 关于x 增关于j ，减( u p 而，而，乃，n d x a s 而，乃躬j 4 ( 五，m ) 彳( 恐，y o ) ，则称a 是d x d 上混合单调算 子 一般隋况下，我们通常以这几类非线性算子模型为理论依据， 将其应用到微分方程、积分方程以及微分积分方程中，就是郭大钧 5 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章引言 先生所提出的将半序方法应用到抽象方程求解问题中这样既使得 抽象问题具体化，也便于我们对问题分类，将不同的问题用共同的 空间算子模型来解决 主要研究的方程有以下几种： 算子方程 一元非线性算子方程 二元非线性算予方程 抽象微分方程 一阶微分方程的初值问题 一阶微分方程周期边值问题 二阶微分方程的初值问题 二阶微分方程周期边值问题 t u = 甜： r ，甜) = 材； f x - - f ( t , x ) ； 卜“) = 10 = ，q ，如 1 x ( o ) = x ( 2 万) f ，= 厂( f ，x , x 7 ) ； 石“) = ； 【，( f o ) = 而 鬈按 【一( o ) = ，( 2 石) 抽象积分方程 烈功= 【k ( x , y ) f ( x , q o ( y ) ) d y 抽象积分微分方程 一阶非线性积微分方程周期边值问题 6 中国石油大学( 华东) 硕士论文 第1 章引言 i u t = ，( f ，“，t u ，鼢) ； 卜( o ) = 甜( 2 万) 二阶非线性积微分方程初值问题 f 矿= 以1 1 9 群：死) ； 卜( o ) = 而，“( o ) = 五 二阶非线性积一微分方程周期边值问题 i 矿= f ( t ，“，t u ，鼬) ； 甜( o ) = u ( 2 x ) ，u ( o ) = u ( 2 7 r ) 其中死( f ) = 七( 柚) “( s ) 西，勋( f ) = f 矗( ) 甜o ) 凼，f ，= 【o ，2 石】，h c i x i ，e 】，d = o ，j ) i x i , t j ，k ( t ，j ) c d , r + 】，h ( t ，s ) ， k ( t ，s ) 为连续的非负函数 本文将按照上面叙述作为具体实现的内容和目标，来详细地论 述得到的相应的研究结果 本文具体内容共分为五章第l 章为本文的前言部分，阐述了 论文课题的主要研究内容、目标和国内外研究现状，简单的介绍了 论文的研究背景；第2 章与第3 章是针对不同类型的微分方程两点 边值问题与周期边值问题进行研究；第4 章是对方程反向上下解的 情况进行的讨论；第5 章是全文的结论部分，是对论文的整体内容 进行的概括和总结 7 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章b a n a c h 空间中一阶周期边值问题 第2 章b a n a c h 空间中一阶周期边值问题 2 1 引言 混合型周期边值问题近年来成为非线性泛函分析的研究热点问 题，且已取得了一定的成果但在研究周期边值解的过程中我们一般 都是假设b a n a c h 空间中锥p 为正则锥，且上解和下解都存在的情况 如文 1 4 1 5 本文通过建立一个新的引理，在b a n a c h 空间中正规锥p 的条件 下只存在上解或下解的情况研究下研究一阶积微分方程 i 厂o ，! ，t u , s u ) ，缝，； ( 2 1 ) 【“( o ) = 甜( 2 石) 的周期边值问题 2 2 预备知识及引理 本文假定e 是实b a n a c h 空间，6 是e 中的范数在实b a n a c h 空 间中考虑混合型积一微分方程( 2 1 ) 的周期边值问题( p b v p ) 这里 c 1 x e x e x 丘占】，i = o , 2 ；r 】并且 死 = j = i o ，s ) u ( s ) d s ，鼬 = r 。 似s 弦( s ) d s ，k ( t ，力c d , r + 】， h c i x i ，e 】，d = o ，力i x ，t s ，令k o = m a x k ( t ，j ) ：( j ) d ， = m a x h ( t ，曲：o ，s ) i x d 记 8 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章b a n a c h 空间中一阶周期边值问题 c i ，e 】红i ”( f ) ：i 一肠包r 上连续 ， c 1 【，e 】_ 扣i “( f ) 在，上有一阶导数) 对甜= 越( f ) q ，明，i i “i l = o ：笋陋( f ) 乱显然c 【，司在。下为b a n a e h 空间 设，是e 中的锥，“”是由j p 导出的半序对 甜= 甜( f ) ，1 ，= “f ) c s ，司若对任何t 1 有u ( t ) v 则记做材仇 称p 是正规的，如果存在常数 o 满足p 苫s y 辛8 捌眇j | 称p 是正则的，如果e 中每个按序有上界的递增序列必有极限 即若 矗) c e 满足 x a 为s 磊j ， ( j ，是e 中某元素) ，必有x e f e l i x 一x 0 寸0 0 斗o o ) 2 3 主要引理及证明 引理2 3 1 1 1 5 】设p c 1 p ，明满足 p 一坳一v 劢一i 印，v t ，；p ( 0 ) p ( 2 力 其中m 0 , n 0 ，l o 是满足下列条件之一的常数 ( 乜) 2 j r ( 慨o + 1 ) ( p 2 槲- 1 ) s 以 ( 2 n ( m + 2 ，r n k o + 2 万1 ) 1 贝u p ( f ) s 0 ，v t l 9 生里互塑奎堂! 堡查) 硕士论文第2 章b a n a e h 空间中一阶周期边值问题 引理2 3 2 8 ，1 1 设h c c ，司是可数的有界集，则口( ( f ) ) l i ，r + 】并且 口( j ：“f ) 出：工何 ) 2 工口( h ( f ) ) 出 引理2 3 3 8 ，1 1 若胃是q i ，明中的有界等度连续集，定义 r e ( t ) = 口( b o ) ) ，t i 则m ( t ) 是t i 上的连续函数，且 口( j ：日( ，) 面) f 口( 日o ) ) 以 引理2 3 4 i 发r e ( t ) c l r + 】，口1 o , a 2 o ，且满足q 0 2 砘一1 ) 啦，若 r e ( t ) o i 2 。聊o ) d s + 呸j = 所o ) d s ， 则r e ( t ) = 0 证明令 t t m o ) 2 j ：m ( s ) d s ，鸭o ) = 嘲( f ) p 呻， 则 0 ( f ) = ( o ) 一a 2 r r h ( t ) ) e 一掣- o a ( 2 n ) e 一吨， 那么 ( f ) q ( 2 石) r p 一吒西2 啊( 2 万) 鲁( 1 一p 一) ， 因此 m l ( 2 x ) e 2 4 = m 2 ( 2 n - ) - m 一( u - v ) n t ( u - v ) n , s ( u 一； ( 2 3 ) 一一一 ，1 ： 、 ( f f ) 当f j 甜，v q = | i ，c s ，e t w g v o ，材 ，时( 2 3 ) 式成立 这里m o , n 0 ，n j o 是常数，满足( 2 2 ) 式中( a ) 或( b ) ，且有 n k o + 1 m ( 2 4 ) ( 也) o ) 存在g q ) c p ，明使得v “g 有 f ( t ，“，t u ，j 渤) + m u z ( 力，t i ； 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章b a n a c h 空间中一阶周期边值问题 ( 峨) 存在常数c l o ，q o - 和c 3 0 使得对任何有界集以，以 c e ， t r ( f ( i ，u ，呸，”c i 口( u ) + c 2 盯( ) + q 口( u ) 其中a ( e 2 ”- 1 ) f 此处f = 2 【( c i + m ) + 4 ，r ( c 2 + 2 n ) k o l ， 盯= 堑幽堡坠攀鲁监竺监苎 定理2 4 1 设e 是实b a n a c h 空问，户是e 中的正规锥若条件 ( q ) ，( 见) ( f ) ，( t 3 ) ( 0 和( 日。) 满足，则p b v p ( 2 1 ) 在g 中有最小解 “且存在单调递增序列 g 关于t ，一致收敛于盯这里 u n ( f ) 0 = 1 ，2 ，) 满足 ( f ) = p - u , 1 孑；j 巧1 且f 【器一1 ( s ) 一朋k ( d m s o ) p 。凼 ( 2 5 ) + n 岛。( s ) - n t u a s ) 一l s ( j ) 豳) ， 其中 一 一 肛f g - l ( s ) = ( j ，i o ) ，k ( s , r ) u _ l ( r ) d r ，域j ，f ) l ( r ) d r ) + m u ，i ( s ) + r 七o ，f ) 一。( r y f + r 4 h ( s ，_ f 弦( f ) d r 定理2 4 2设e 是实b a n a c h 空间，p 是e 中的正规锥若条件 ( 日1 ) ( 回，( h 2 x i i ) ，( 羁) ( f f ) 和( 日。) 满足，则p b v - p ( 2 1 ) 在q 中有最小 解，且存在单调递减序列以) q 关于，一致收敛于矿这里 k ( f ) = l 2 ，) 满足 1 2 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章b a n a c h 空问中一阶周期边值问题 甜( f ) = e - m r ( 南r 7 【毋s ) 一n t v ( j ) 一l s k 。) 】e m s 凼 + f g ；。( ，) 一n t v ( s ) 一m ( s ) p ”5 a s ) ， 其中 g 。一。( j ) = ，( s ，。( s ) ，j ：七o ，f ) 匕q ( f ) d f ，f 。联岛f ) _ ( f ) c 打) + 纯一。( s ) + r 七( 邑f ) k 一。o ) d f + jf 。厅o ，f ) 。( f ) d l 定理2 4 3 设e 是实b a n a c h 空间，p 是e 中的正则锥若条件 ( q ) ，) ( 力和( 凰) 满足，则定理2 4 1 成立 定理2 4 4 设e 是实b a n a c h 空间，p 是e 中的正则锥若条件 ( q ) ( f f ) ，( 吼) ( f f ) 和( 皿) ( f f ) 满足，则定理2 4 2 成立 其中定理2 4 3 与文献【1 5 】中的定理2 1 很类似，都是在正则锥中讨论 问题，但定理2 4 3 只要求存在上解，定理2 1 要求上下解都存在 2 5 主要定理的证明 下面主要对定理2 4 1 进行证明 证明首先考虑线性周期边值问题 ：黧+ ：! ：o ：。一胁。卜i 鼬( f ) + g ( f ) ， ( 2 6 ) 【甜( o ) = 扯( 2 万) ； 一 此处g o ) = 。，| ( f ，x ( o ，t x ( t ) ，s h f ) ) + 岔( f ) + 呵x ( 力+ ：s x ( t ) 显然方程( 2 6 ) 等价于 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章b a n a c h 空间中一阶周期边值问题 础) = e - m r ( 击r 。【g ( 沪n t u ( s ) 一n 。s u ( s ) 】5 西 + j ： g ( j ) 一n t u ( s ) 一 鼬( s ) 5 d s ) a _ f u ( t ) 可以验证f ：c 【，e - + c i ，明，易得4 而一y v l l 。奎 m + l i i i “一1 ，阽， v u ，1 ，c z ，明由( 日2 ) 知f 是压缩算子，由b a n a c h 不动点定理， 有唯一解uc i ，e 】这个解是p b v p ( 2 6 ) 在c 1 【，e 】的唯一解令 u = a x ( t ) 则当且仅当x 是彳的不动点即x ( t ) = 出( f ) 时x ( f ) 是 p b v p ( 1 ) 的解令“。= j 4 “。，( n = 0 ，1 ，2 ，) ，其中甜。的表达式如( 2 5 ) 式，下证 u o 撕= a u o ( 2 7 ) 由( 2 7 ) 式和( 日。) ( d 有 f ( ( f ) 一嘶o ) ) - m ( u 。( 力一砘( f ) ) 一丁( ( 力一( f ) ) 一j s ( ( f ) 一z l o ”， l , o i o i 一( o ) z 乇( 2 力一岣( 2 力； 由( 2 2 ) 式根据引理2 3 1 ，则有( t ) - u 。伊即蚝( 2 7 ) 式得 以证明，且g ， 假设i ，e g , u k - 1 u k 则由( 2 6 ) 7 5 2 ( n 2 ) 知 ( u k 一魄+ 1 ) ( f ) 一 ，( 魄一“k + 1 ) ( 力一丁( 蚝一l f “l x o 一 i s ( z 气一u k + l x f ) ， ( 一“) ( 0 ) ( z f k u k + 1 ) ( 2 石) 由( 2 2 ) 式根据引理2 3 1 知魄一) ( 力幺f l 即毪+ l g 且 1 4 皇雪石油大学( 华东) 硕士论文第2 章b a n a c h 空间中一阶周期边值问题 机_ i t i + 1 综上所述 u os u 2s u 3s s s ( 2 8 ) 令曰= ( i n = o ，1 ，2 ， 下证曰有界且是相对紧集 由于f s ，则p ”p “由缸。) 非递减和( 只) ( f ) ， u o ( t ) u n ( t ) g 胁( 南7 b e ( 鹕，k ，观- 1 ) + 朋k 。妙出 + i ：忡，巩，。) + 朋护凼 g 9 南r 。琊) 凼+ j ：h ( s ) d s ，眦 由( 2 9 ) 式和p 的正规性知缸。 是c 【，司中的有界序列由( 日，) ( f ) f ( t ，“。，t u 。，s u 。) f = 0 , 1 ，2 ，) 是有界的，那么存在c o 0 使 0 厂( f ，球。，t u 一。，s u 。一。) + 胁，。一丁( 一l 。) 一l s ( 一，。) 1 1 - - 0 ，帆p ) 是p 的共轭锥令 t i ，e = u l u - * g 强- - i s u ，g i u ( t ) i l 1 ，r + 】1 对【，司，定义。= j ：卜( t ) l d t ，口i u l i ，e 在l l i i 。构成”埘幽空间 3 2 不含有u 项的二阶微分方程 3 2 1 引言 这部分考虑e 中非线性二阶微分方程 j 叫。2 ，以甜，缈，； (31，lu ( o ) = 而，u o ) = x a 、7 的两点边值问题其中1 = 【o ，l 】，x o ，五e ，f ：l x e x e 哼e 文【1 7 】就f ( t ，五力连续的情况对方程( 3 1 ) 的解的存在唯一性及 误差估计式进行讨论，文 1 9 1 利用半序理论，在e 是弱序列完备的 b a n a c h 空间中且( ，功连续以及满足增性条件证明了一阶初值问 题的最大最小解，且给出了一致收敛于解的迭代序列但文【1 9 】没有得 到唯一解及一致收敛于解的迭代序列的误差估计式文【2 0 】在实 b a n a c h 空间中讨论了f ( t ，曲满足弱c a r a t h 6 d o r y 条件时广义解的唯 2 0 中国石油大学( 华东) 硕士论文第3 章二阶微分方程两点边值问题 一性并证明了分别以，v o 为初始元的迭代序列在，上依e 中的范数 一致收敛于矿且给出了误差估计式文 2 l 】研究了一般序b a n a c h 空 间不连续非增型积分方程的迭代唯一解，并给出了一致收敛于唯一 解得迭代序列的误差估计式 本文首先是在一般的b a n a e h 空间中，不假定f ( t ，五力连续，也不 假定f ( t ，工，y ) 满足弱c a r a t h & t o r y 条件的情况下，在半序条件下研究 了方程( 3 1 ) 的唯一解的存在性，并给出了相应广义解的误差估计式 3 2 2 主要引理 为证明本文主要结果。首先给出下列引理 引理3 2 1 1 2 】设x o ) ：，一e 连续，则任意a ，当颤f ) 在，上递增时 有口j ：x ( f ) 出e x ( f ) 衍 引理3 2 2 1 2 】设砧( f ) c 2 ，e 】若存在m o ，使对任意f i 有 纛篙未伊 c s 2 ， l 站( 0 ) 只群( 1 ) 伊 则“( r ) 口，t i 3 2 3 主要结果及证明 当f ( t ，“，“) 连续时，方程( 3 1 ) 的解等价于积分方程 2 1 中国石油大学( 华东) 硕士论文第3 章二阶微分方程两点边值问题 却( f ) = x o + t ( 一) + f j = r 厂( 马“( j ) ，( s ) ) 出 ( 3 - 3 ) 一j ：毋r ，( 删( s ) ，( s ”叔 故当f ( t ，“，甜) 不连续时，我们把积分方程( 3 3 ) 定义为( 3 1 ) 的广义解 定理3 2 1 设p 是实b a n a c h 空间e 中的正规锥，若，以薯j ，) 满足下 ( h o 由f ( t ，墨力：i x e x e e 确定的抽象n e m y t s k i i 算子 f ( u ，v ) = f ( t ，“( f ) ，v ) 算子把连续函数甜，映为强可测函数； ( 皿) 存在，c 2 ，明，u o v o ，使得当f 1 时，有 - u o ( f ) f ( t , u o ( t ) ，o ) ) ，“o ( o ) x o ，u o ( 1 ) 五； 叫( f ) f ( t ，v o ( t ) ，( f ) ) ，v o ( 0 ) x o ，v o o ) 五； 厂( u o ( t ) ，v 0 ( f ) ) l i ，明； ) 存在常数0 l 6 ，使得对任意u o u 2 v o ，u o v t v 2s v o ，有 0 f ( t , u 2 ，吃) 一f q ，缸l ，v 1 ) l ( u 2 - u 1 ) ，v t i 则两点边值问题( 3 1 ) 在【，】上存在唯一的解矿，且对任意 风，q o ，】迭代序列 删2 7 “x i - x o “r 毋肌础概凼( 3 4 ) 一d 驴r 厂( s ，见一。o ) ，吼一。( 曲) 凼， 胛= 1 ，2 ， 。 中国石油大学( 华东) 硕士论文第3 章二阶微分方程两点边值问题 吼( f ) = x o + t ( 而一而) + fj = 毋r 厂( 只吼一( 占) 办一一( s ) ) 凼 ( 3 5 ) 一【办r ，( s ，吼一( j ) ，风一，o ) ) 凼， 以= l ，2 ， 在，上都依e 中范数一致收敛于矿o ) 特别地，对任意w o 【，v o 】迭 代序列 ( d = x o + t “一而) + f j ：毋r 厂( 最一- ( s ) ，1 _ ( s ”出 ( 3 6 ) 一r 毋r 厂( s ，一，o ) ，一，( s ) ) 西， 九= 1 ，2 ， 在，上都依e 中范数一致收敛于矿( f ) 并且对任意名( 詈，1 ) ，存在自 然数，使得当”时有 ， 8 以( 或吼，) 一w l l 。 2 n a ”l i f o u o l l ( 3 7 ) 其中n 为锥p 的正规常数 证明定义算子 4 ( “o ) ，v ( f ) ) 2 而+ f ( 一而) + fj = 西r 厂。，群( s ) ，“s ) ) 凼 ( 3 8 ) 一f 西l m ，“( s ) ，v ( s ) ) 凼 下面分部来证明 o ) a 是映 ，v o 】 ，v o 到c 【，司的混合单调算子 对任意，1 ，【，v o ，由( h ：) 知f ( u ，v x t ) = f ( t ，“( f ) ，v ( f ) ) 是强可 测的，由( n 3 ) 知 p f ( “，v x t ) - f ( u o ，v 0 ) ( f