（计算数学专业论文）循回逆m矩阵的结构.pdf

循回逆i | 卜矩阵的结构 摘要 逆m 一矩阵和循回矩阵是两类重要的矩阵。逆妒矩阵常常出现在有 关线性系统、非线性方程和特征值问题等多个领域。其中包括偏微分方 程的有限差分法、经济中的投入产出和增长模型、数值分析中的迭代法 以及概率论和数理统计中的马尔可夫过程。循回矩阵通常用作t o e p l i t z 线性系统的预处理矩阵，因为循回矩阵很容易求逆和有超快速的计算方 法。 本文获得了循回逆m 一矩阵的一个重要结论：如果一个n ”非负循回 矩阵 。 a = c i r c c o ，c l ，c 】i c o0 1c 2 c p l1 c 。一c 。c 。 c 。一：f c ： c 。一c 。c 。i c lc 2 c ”一1c o 不是一个正矩阵且不等于，则a 是逆m - 矩阵的充分必要条件是 ( 1 ) 存在一个正整数k ，且k 是n 的真因子，使得 c i o ，当f = 弦，j = 0 ，l ， 二n _ - k 】，n c , ：0 ； 席 ( 2 ) c i r c c o ，q ，4 】是逆妒矩阵。 这个结论可推广到所谓的广义循回逆m _ 矩阵的情形。 关键词：非受矩阵；循回矩阵：逆矩阵 s t r u c t u r e so fc i r c u l a n ti w c e r s e m m a l t r i c e s a b s t r a o t i n v e r s em - m a t r i c e sa n dc i r c u l a n tm a t r i c e sa r et w oc l a s s e so f i m p o r t a n tm a t r i c e s i n v e r s em - m a t r i c e so f t e n o c c u ri nr e l a t i o nt o s y s t e m so fl i n e a ro rn o n l i n e a re q u a t i o n so re i g e n v a l u e sp r o b l e m si n aw i d ev a r i e t yo fa r e a si n c l u d i n gf i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d sf o r p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，i n p u t o u t p u tp r o d u c t i o na n dg r o w t h m o d e li ne c o n o m i c s i t e r a t i v em e t h o d si nn u m e r i c a la n a l y s i s ，a n d m a r k e rp r o c e s s e si np r o b a b i l i t ya n ds t a t i s t i c s c i r c u l a n tm a t r i c e s a r eo f t e nu s e da sp r e c o n d i t l o n e rf o rt o e p l i t z1 i n e a rs y s t e m ss i r i c e t h e yc a nb ee a s i l yi n v e r t e da n ds u p e r f a s tc o m p u t e d i nt h i sp a p e r ，a ni n t e r e s t i n gr e s u l to nt h es t r u c t u r e so fc i r c u l a n t i n v e r s em m a t r i c e si sp r e s e n t e d i ti ss h o w nt h a ti ft h en nn o n n e g a t i r ec i r c u l a n tm a t r i x a = c i r c c o ，c 1 ，c 。- 1 】5 o oe l c 2 一l c oq c 2巳一l c lc 2 c n _ 1 已一2 。： c 0q c 一一1 c o i sn o tap o s i t i v em a t r i x8 耐n o te q u a lt oc o l ，t h e na i sa ni n v e r s e m - m a t r i xi fa n do n l yi ft h e r ee x i s t sap o s i t i v ei n t e g e rk ，w h i c hi s ap r o p e rf a c t o ro fms u c ht h a t c 弦 o f o rj = o ，l ，p 】，t h e o t h e r sqa r ez e r oa n dc i r c c o ，q ，q i 】i s a ni n v e r s em - m a t r i x t h er e s u l ti st h e ne x t e n d e dt os o c a l l e dg e n e r a l i z e dc i r c u l a n ti n v e r s e m - m a t r i c e s k e yw o r d s ：n o n n e g a t i v em a t r i c e s ：c i r c u l a n tm a t r i x ：i n v e r s e m - m a t r i c e s 2 第一章：前言 1 1 选题背景 随着现代科学技术的迅猛发展和计算机的普遍运用，数学的独特魅 力在解决科技生产中的重大实际问题的过程中得到了充分的体现。随着 数学理论的日趋完善和成熟，数学的思想和新的数学方法在各个领域得 到了广泛的应用。矩阵是数学上的一个重要概念，由于它描述问题具有 表达简洁，实质刻画深刻等优点，因此是近年来在数学建模中，在解决 实际问题时常用的一种工具。许多著名的数学学者参与又为矩阵理论的 发展提供了有力的智力支持，而工程技术人员和科技人员的加入为矩阵 理论的应用开辟了广阔的前景。本文涉及到的两类矩阵：逆m - 矩阵和循 回矩阵是两类重要的矩阵。逆m 一矩阵常常出现在有关线性系统、非线性 方程和特征值问题等多个领域。其中包括偏微分方程的有限差分法、经 济中的投入产出和增长模型、数值分析中的迭代法以及概率论和数理统 计中的马尔可夫过程。循回矩阵通常用作t o e p l i t z 线性系统的预处理 矩阵，因为它们很容易求逆和有超快速的计算方法 1 。 1 2 循回矩阵与逆 矩阵的研究现状 循回矩阵的概念是t w u i r ( 2 】) 于1 8 8 5 年首先提出的，随后 他对循回矩阵进行了初步研究( 3 卜 6 ) 。1 9 5 0 年至1 9 5 5 年，i j g o o d 等又分别对循回矩阵的逆、行歹唾式以及特征值( 7 卜 1 1 ) 进行了进一步 的研究。近年来，循回矩阵类己成为矩阵理论和应用数学领域中一个非 常活跃和重要的研究方向，在现代科技工程领域中被广泛地应用。例如 在信号处理、图像处理、小波变换、优化设计、自回归滤波器设计等领 域常常要用到这类特殊矩阵。另外，应用数学和计算数学中也常常运用 循回矩阵类的许多特殊而良好的性质和结构。如最优化、矩阵分解、多 目标决策、图论、傅氏变换等。在对循回矩阵的深入研究的同时，各种 新的循回矩阵也被相继提出。 逆m 一矩阵是近年来计算数学研究的较为热门的一类特殊矩阵，目 3 前对它的研究主要集中在两个方面：一是研究它本身的数学性质；二是 研究与它有关的逆m 一矩阵。1 9 7 2 年，t l m a r k h a m 首先提出了逆m 一矩阵的概念并对它作了研究( 1 2 ) ，随后著名的矩阵理论专家m n e u m a n n 等作了进一步的研究，文章( 1 3 一 1 7 ) 也给出了逆m _ 矩阵 的许多性质。但是它和m 一矩阵众多的等价条件和性质相比还处在较为 初级的阶段，还有许多工作待于进一步的完善和发展。确定一个非负矩 阵是否是逆m _ 矩阵是一个长期的公开问题，至今还没有一个令人满意的 答案。与m 矩阵的判定相比，逆一m 矩阵的判定比较困难，这就导致了 对特殊矩阵的研究。t l m a r k h a m 首先给出了一类特殊的对称矩阵( d 一型矩阵) ，并证明了其为逆m _ 矩阵的条件。为了进一步了解满足逆m 一 矩阵的条件，很多专家又对判断一个非负矩阵是否为逆m _ 矩阵的充分必 要条件进行了研究。1 9 7 7 年r a w i l l o u g h b y ( 1 8 ) 给出了一个 判断非负矩阵为逆m 一矩阵的充分条件。1 9 7 7 年w i l l o u g h b y 提出把非负 矩阵的逆是m 一矩阵的一类矩阵定义为逆m 一矩阵。逆m 一矩阵在经济学、 计算方法等学科中有着重要作用，许多实际问题的应用，最后也都归结 到逆m _ 矩阵的判定问题上，因此，国内外许多学者都在研究逆m _ 矩阵 的判定。但是，对于较高阶矩阵来说求逆的工作量较大，直接利用原矩 阵进行判定又有一定的困难，所以，对此问题的研究进展不是很快。1 9 9 5 年，m c d o n a l d n e u m a n n s c h n e i d e ra n dt s a t s o m e r o s ( 1 9 ) 1 9 9 6 年，j o h n s o n ，s m i t h ( 2 0 ) 1 9 9 9 年，c h a r l e sr j o h n s o n ，r o n a l d ls m i t h ( 2 ”) 。等用图解的方法对特殊条件的矩阵讨论了逆m 一矩阵的 一些判定方法。 1 3 本文的主要绩粜和结构 本文给出了循匾逆卅矩阵的一个判定方法这个判定方法基于我们 在文 2 4 中获得的循回逆m _ 矩阵的一个重要结论： 如果一个斤 的非负循回矩阵 c oc lc 2 c n i c lc 0q - c n - 2 c 2c h 一1c oc 1 c l0 2 c - 1 不是一个正矩阵且不等于c 。i ，则a 是逆m 一矩阵的充分必要条件是： ( 1 ) 存在一个正整数k ，且k 是n 的真因子，使得 c ； 0 ，当f = 弦，j = o ，l ，【n - 一k 】，否贝0 c ，= 0 ； 厍 ( 2 ) c i r c c o ，c 。_ 】是逆m 一矩阵。 这个结论还被推广到所谓的广义循回逆m 一矩阵的情形。 本文余下的两章内容如下：在第二章，我们给出本文涉及到的一些 概念和特殊矩阵的定义及其基本性质第三章先给出矩阵的图及其性 质，然后给出本文的主要结果。 第二章基本概念及性质 2 1 定义 定义2 1 若疗糟实矩阵a ，满足d f o ( a o ) ，( i ，j2 l ，2 ，n ) ，则 称a 为正( 非负) 矩阵，记作a 0 ( a 0 ) 。 定义2 2 设a r ，如果a 的任意阶子式是非负( 正) 的，则称a 是 全非负( 全正) 矩阵。 定义2 3 设一= ( g ) r ，若0 ( i i ，j = 1 , 2 ，h ) ，则称a 为z 一 矩阵，记为a z 。 定义2 4 若a r ，a ：s i b ，实数s 0 且b 0 ，如果p ( b ) 0 ，所以嘞= 0 a 从而一2 与a 有相同的零位模式。 ( 充分性) 设- 2 与a 有相同的零位模式，则4 ，一2 ，一，有相同的零位模 式。即a 是幂不变的零位模式，取 占 以爿) ，这里p ( 彳) 为，4 的谱半径，则( 留+ 一) 。存在，且 ( 凹圳= 吾( ，一i i 彳+ 嘉一2 一嘉一3 + ，) 因此，我们需证明存在j p ( a ) ，使得 d i a g ( 否1 以一歹1a z + 1 万，a 3 ) o 由引理2 1 、引理2 2 可知a 。是正的。 ( 证毕) 第三章：主要结论 本章给出了循回逆m 一矩阵结构的重要结果。证明了非负且非正循回矩阵 c i r c c o ，q ，c 。】( c o ，) 是逆m _ 矩阵的充分必要条件是存在一个正整数k ，且 k 是n 的真因子，使得。m o , j = 0 ，1 ， n - _ k 】，其余的c 等于0 且 c i r c c 。，c k ，- - c 。】是逆卅矩阵。并将该结论推广到了广义循回逆卜矩阵的情 形。 在下一节中，从有向图的定义和基本性质出发，并引入了本文要用到的 一个新的有向图。在第二节中，给出本文的重要结果。在最后一节中，将该 结论推广到广义逆一m 矩阵的情形。 3 1 矩阵与图 设 = 1 ，2 ，r 1 ) ，有向图g = ( n ，e ) 由n 个顶点1 ，2 ，n 构成的顶点集 n 及有向边集e = ( f ，j ) l f ，j n ) 构成。 有向图g = ( n ，e ) 的路径是一个顶点序列： f 1v 2 ，v t ，u + l 叶且( v ，v j 十1 ) e ，i = 1 ，2 ，k ，除了可能v l = 咋+ i 外，其余 的顶点均不相同。如果在路径中v 。= v 。，则称该路径为一个圈，记为 y l ，v 2 ，以+ l ( = v 1 ) ，它的长度为k 。如果对g = ( n ，e ) 的任意两个顶点e ，v ， 在g 中存在一条从h 到v ，的路径，则称该有向图g 是连通的，否则称g 是不 连通的。易知，长度为n 的圈是连通的。 一个有向图g = ( ，岛) 的子图是有向图h = ( ，e 。) ，其中 ，e h 如且当“，v 时( 打，v ) e h 。 矩阵a = ( a 。) r 的有向图记为d ( a ) = ( n ，e ) ，其中顶点集是n = 且边 集是e = ( f ，j ) i a 。0 ) 。 给一个矩阵的图的顶点重新标号就相应于对矩阵作一个置换相似变换。 因为逆m _ 矩阵在置换相似下是闭的，我们可以给一个逆m 一矩阵的有向图以 所需的标记。我们知道：矩阵a 是不可约的充分必要条件是a 的有向图d ( a ) 是连通的或者o ( a ) 包含一个连通的子图。 为了研究循回矩阵的结构，下面我们引入一个新的有向图和一些记号。 设g c d ( n ，k ) 是两个正整数r l ，k 的最大公约数， 即设i ；x ( m o d 刀，面：行) ，d = g c d ( n ，k )f ：三 ( 3 1 ) d 定义3 1 如果一个有向图的顶点集是 且它的边集是 ( 1 ，k + 1 ) ，( 2 ，k + 2 ) ，( 七十行) ，其中1 k 仃- 1 ，则称该有向图为c ：有向 图。根据定义，我们有 a ) 若a a ( i 是单位阵，o 是一个数) 是一个循回矩阵，则d ( a ) 一定 由一些c ：作为它的子图构成。 b ) 有向图q 是一个长度为r l 的圈，所以如果c ：cd ( a ) ，则a 是不可约 的。 c ) 若c ：d ( 一) ，贝r l c 2 “d ( a 7 ) 由c ) 知在讨论c 中只须将k 限定在1 七 刍中。下面给出本文中有 向图c 的一个重要性质： 引理3 2 ( 2 3 ) ：有向图钟是由d 个长度为t 的相互独立的圈组成。其中 d ，t 满足( 3 1 ) 式。 证明：设g = ( n ，e ) 是口有向图，用( 3 1 ) 式中的记号章，g 的边集为： e = u + ( - ，一1 ) 七，i + 弦) i l i d ；1 j ，) 注意到i + t k = i ，不难证明有向图g 是由下面d 个相互独立的长度 为t 的圈组成： ( 1 ，l + k ，l + 2 k ，l + ( ，一1 ) 七，l + 捕 2 ，2 + 七，2 + 2 七，2 + o 1 ) _ i ，2 + 腩) 3 ，3 + 七，3 + 2 k ，3 + o 1 ) 七，3 + f 七) ( 3 2 ) l ，n ，k 没有大于等于2 的公约 数即d = l ，则t = n ) 。 注记3 2 由引理，对任意n 弹矩阵a ，根据( 3 2 ) 得到一个置换相似于a 的 矩阵 例如：设a = 1 0 01 00 0 4 0 0 0 5 。l 0 0 0 c 2 0 1 0 岛 01 0 ool a 的图是口，是一个长为5 的圈，对顶点 l ，3 ，5 ，2 ，4 重新标号为1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，易证a 置换相似于 b = 1 q 01 00 00 0 4 0 000 。) 0 0 1 c 5 0 0 1 。2 0ol 3 2 循回逆l 卜矩阵的结构 本节，我们给出了循回逆舭矩阵的结构。在下面的讨论中，我们通常不 考虑两种特别情形：循回逆妒矩阵c j r 4 c 。，q ，c 。】= c o ，和 c i r c c o ，q ，c 】 o 的情形 孳l 理3 3 如果a = c i r c c 。，c i ，0 1 1 岛j 是一个逆m _ 矩阵且存在一个正整数 k 得c t 0 ，d = g c d ( k ，胛) = 1 ，尉a 是正的。 证明：由假设，c ：cd ( 一) ，因为d = l ，讲图是一个长度为n 的圈，从而a 是不可约的，所以由引理2 1 得a 0 ( 证毕) 注意：d = g c d ( k ，n ) = 1 包含三种情形：k = l ：n 是一个素数且k l ：n 和k 不 存在超过2 的最大公约数。 引理3 4 设a 是以 循回矩阵：c i r c c o ，q ，c 】且n 不是一个素数，则存 1 ， 在一个正整数k ( k 2 ) ，使得a 置换相似一个带有循回块矩阵的块t o e p l i t z 阵： b = ( 3 3 ) 这里所有的最都是循回矩阵 r b s 。c 沁 。矿，。丽捂】，。0 ，l ，小1 ( 34 ) 【覆州2 c i r c c ：。，c 鬲，而面】，= 1 2 ，d 一1 其中s 2 n d + j ，此外，若a 是逆m - 矩阵，k 是使得唧0 的最小整数，则b 。是 正逆m 一矩阵。 证明：因为n 不是素数，则存在一个正整数k 2 使得d = g c d ( n ，k ) 2 ，根据 ( 3 2 ) 将顶点重新标号以及由引理3 2 ，a 置换相似于个d d 的分块矩阵 b = ( 曰口) ，其中易是f f 矩阵，下面证明b 是( 3 3 ) 的形式a 设o ( b 。) = ( 一，巨) ，i = 1 , 2 ，d 则= f ，f + t ，f + ( ，- d k 注意到 彳= c ，是循回矩阵，且嘞= ：二一， ，；：，经过适当的处理，不难证明 b f ，i ，= l 2 ，d - 1 能被写为b s 一。且b i 是( 3 4 ) 中的形式a 如果a 是逆m - 矩阵，因为b 是置换相似于a 的，而风( o r b ，) 是b 的主 子矩阵，则风是逆m 一矩阵。因为q # 傀口qcd ( ) ，而b o 是不可约的，所 以由引理2 1 ，玩是正逆卅矩阵，从而该引理得证。 注记3 3 在( 3 4 ) 中，存在5 1 使得占。，= 岛j ，_ ，= 1 , 2 ，d 一1 这里 跏舻禺肺 钆 岛甄 届且j卧廓仉；卧卧 j = ol0o o0l0 oo01 lo 00 是转移矩阵，特别当d = k 时，s = l 例3 1 在引理3 4 中，设n = 1 5 ，k = 6 由( 3 1 ) 式可得d ：3 ，t = 5 则a = c i r c ( c o ，c l ，c 1 4 ) 是一个置换相似于( 3 3 ) 中的矩阵， 且 e = c i r c c ，c i + 6c f + 1 2 ，c i + 3c m 】， i = 0 , i ，2 ； 匝i = c i r c c m 。，c6 _ l ，c 1 2 c 3 _ f ，c 9 一，】 i = 1 , 2 易证厦= b j j 3 , i = 1 , 2 由引理3 4 易得下面推论： 推论3 5 设a = c i r c c o ，c 1 ，c h 】是逆m - 矩阵，n 有真因子：n = p q ， ( p 2 ，q 2 ) ，则循回矩阵：c i r c c o ，。，。( q fj p 】，c i r c c o ，q ，。( ，_ l j q 】是 逆m 一矩阵。 下面我们给出本文最主要的结果： 定理3 1 设a = c i r c c o ，c 1 ，c 】0 ，a 非正且a c o l ，则a 是逆m 一矩阵充 分必要条件是存在一个正整数k ，且k 是n 的真因子， 使得聪= o 弘, i 北j k 川2 ，【孚】， ( 3 5 ) 且循回矩阵c = c i r c c o ，q ，c ( t - 1 ) 】 ( 3 6 ) 是正逆m 一矩阵。 证明：( 必要性) 由条件知a 是逆m 一矩阵且非正，由引理3 3 知c = o , 2 因为a c o l ，则 存在最小的正整数k 2 使得c i o 或c ：d ( 4 ) 因为a 是逆m - 矩阵，可以证 明k 一定是n 的真因子。 第一，如果k 与n 无公约数，则群是一个长度为n 的圈，由定义3 1 的 b ) ，a 是不可约的，而由条件a 是逆m - 矩阵，所以由引理2 1 ，a o ，这与c l = 0 矛盾，所以k 2 是n 的真因子，从而d = g e d ( n , k ) 2 ，由引理3 4 ，a 置换 相似于( 3 3 ) 中的块t o e p l i t z 矩阵b ，8 中的块是循回矩阵。且( 3 4 ) 中 的风是正逆m 一矩阵。 第二，设k = s d ，因为k n ，d = g c d ( r l ，k ) ，n = t d ，所以s t 且g c d ( s ，t ) = 1 设”= m i n j l , 声 ，显然有u 2 ，下面我们要用反证法证明：s = 1 ，如果 s 2 ，则易证u t 一1j j u s d = u k 0 ，这与 假定q = 0 , 0 o ，j = 0 , 1 ，一1 ， ( 3 5 ) 中的第一式获证。 对于( 3 5 ) 中的第二式因为c l = c 2 一一c h = 0 ，由引理2 4 有 b “= b + 2 一一皿m 1 ) = 0 ，这样当i j k ，j = l ，2 ，d - 1 时可知( 3 4 ) 式 中的c = 0 ，从而( 3 5 ) 式成立。 ( 充分性) 由假设条件，显然n 不是一个素数，所以由引理3 4 ，a 置换相似于( 3 3 ) 的块t o e p l i t z 矩阵b ，其中b 的每块是( 3 4 ) 中的循回矩阵。由条件( 3 5 ) 成立，则( 3 3 ) 中的b 是对角矩阵诫曙( 风，风，岛) ，因为a 置换相似于b ， 而鼠是逆 矩阵，所以a 是逆 矩阵。 该结果表明：只有当c f 0 且c ，的下标是一个算术序列时，非负循回矩 阵一= c i r c c o ，c ，岛。】c o l 2 - 有可能是逆m 一矩阵。它可简便地判断一个非负 但非正的循回矩阵是否为逆舻矩阵。 3 3 广义循回逆_ 矩阵的结构 本节，我们将定理3 i 的结果推广到更一般的情形，首先推广循回矩阵的概 忿 定义3 6 设一h 矩阵a 的有向图为d ( a ) ，如果当d ( a ) 包含某些有向图口的 一个边时d ( a ) 包含有向图嘭的所有边，则a 称为广义循回矩阵。为了方便， 我们用记号t 表示向量( q ，c 。，c 。) ，即j ，= ( c 。c 。，c 。) ，用 c i r c i o ，c t ，瓦一。】表示广义循回矩阵， 即c i r c 7 o ，五，瓦一1 】= 如果爿：c i r c i 。，瓦，i 。】是广义循回矩阵，则t 0 意味着t 的每个元素都 不为零。 例如：矩阵 0 c 4 、 c 2 ，2 0 0 c 2 _ 3 10 。4 5 1 ( 3 7 ) 是广义循回矩阵，如果c 2 。o ，c 。，0 ( 3 7 ) 可记为c 押( i ，o ，a z ，0 ，矗) ，其 中i = ( 1 ，1 ，1 ) 定理3 2 设_ = c i r c f o ，瓦，瓦一l 】2 0 非正并且不是一个对角阵。则a 是逆m 一 矩阵的充分必要条件是存在一个正整数k ，k 是n 的真因子，使得 鼍端i 竺州如，t 字8 ， 且广义循回矩阵 c f = c i r c ；o o ) , 瓦”，计】，i = l 2 彳 ( 3 9 ) 是正逆m 一矩阵，这里i ，= h ，”2 ”，c + ( f 1 ) 】 本定理的证明与定理3 1 类似，故略去，我们举例说明之。 七： 扩 时 哪； “ 一 “ n 一 一 钆； 啪? 训 j o 1 屯o c c 0，“o缸 2 4 o气o 倒2 ：由定理3 2 ，( 3 7 ) 式的矩阵并非是逆m 矩阵，广义循回矩阵 c i r c i ，0 ，c 2 ，o ，c 4 0c 60 】= 是逆m 一矩阵，当且仅当以下两矩阵 f 1 c 2 ，c 4 ；c 6 ，1 c j = 帆限以。“1 ) 2 慨1 。岛卜c 4 i + 2i ，z 是逆峨 i c 2 ， 6c 4 ，h 6c 6 ，f + 6 1 j = p q ，( p 2 ，q 2 ) 则循回矩阵： c f ，c 【厅。“，五。”，五。( q i ) p 】，i = l 2 ，q 和c i r c b o j ) , b q ”，弘 p 1 ) q 】，= l 2 ，p 是逆m - 矩阵，其中 面j “= 【c ，c ，f + 2 p ，c 删g 却】，b j = h 。，c ，舳q ，c 删，一i h 】 17 o彬。州oo，ooo。o ooo；o彬 o o ，口 印o o彤o。oo o 。o 彬d o o。o甜oo 。o聊o o 哪o 参考文献 1 t c h a n ，a no p t i m a lc i r c u l a n tp r e c o n d i t i o n e rf o rt o e p l i t zs y s t e m s ， s i a mj s c i s t a t i s t c o m p u t ，9 ( 1 9 8 8 ) ，p p 7 6 6 7 7 1 2 m u i rt ，n o t eo nt h ef i n a le x p a n s i o no fc i r c u l a n t s m e s s m a t h ( n s ) 1 8 8 5 ，1 4 ：1 6 9 1 7 5 3 m u i rt ，t h et h e o r yo fc i r c u l a n t si nt h eh i s t o r i c a i o r d e ro f d e v e l o p m e n tu pt o1 8 6 0 p r o c r s o c ：e d i n b u r g h 1 9 0 6 。2 6 ：3 9 0 3 9 8 4 m u i rt t h et h e o r yo fc i r c u l a n t sf r o m1 8 6 1t o1 8 8 0 p r o c r s o c e d i n b u r g h 1 9 11 ，3 2 ：1 3 6 1 4 9 5 m u i rt ，t h et h e o r yo fc i r c u i a n t sf r o m1 8 8 0t o1 9 0 0 p r o c r s o c e d i n b u r g h 1 9 1 5 ，3 6 ：1 5 1 1 7 3 6 m u i rt 。t h et h e o r yo fc i r c u l a n t sf r o m1 9 0 0t o1 9 2 0 p r o c r s o c e d i n b u r g h 1 9 2 3 。4 4 ：2 1 8 2 4 1 7 g o o di j ，o nt h ei n v e r s i o no fc i r c u i a n tm a t r i c e s b i o m e t r i c a 1 9 5 0 ， 3 7 ：1 8 5 - 1 8 6 8 s i l v aj a ，at h e o r e mo nc y c l i cm a t r i c e s d u k em a t h j 1 9 5 1 。 1 8 ：8 2 1 8 2 5 9 g r e e n s p a nd m e t h o d so fr r i a t r i xi n v e r s i o n a m e n m a t h m o n t h l y 1 9 5 5 ，6 2 ：3 0 3 3 0 8 1 0 o r e0 ， s o m es t u d i e so nc y c l i cd e t e r m i n a n t s d u k em a t h j 1 9 5 1 ， 1 8 ：3 4 3 3 5 4 1 1 v a r g ar s ，e i g e n v a l u e so fc i r c u l a n t s ：p a c i f i cj m a t h 1 9 5 4 ， 4 ：1 5 l 1 6 0 1 2 m a r k h a m ，t l ， n o n n e g a t i v e m a t r i c e sw h o s ei n v e r s e sa r e m - m a t r i c e s j ，p r o c a m e r m a t h s o c ，3 6 ( 1 9 7 2 ) ，p p 3 2 6 3 3 0 1 3 a b e r m a na n dr j p l e m o n s ，n o n n e g a t i v em a t r i c e si nt h e m a t h e m a t i c a ls c i e n c e s ，s i a mp r e s s ，p l ，1 9 9 4 【1 4 m l e w i n ，o ni n v e r s em - m a t r i x ，l i n e a ra l g e b r aa n di t sa p p l i c a t i o n s ， 11 8 ( 1 9 8 9 ) ，p p 8 3 9 4 18 【15 1 tc l l a 峨a no p t i m a lc i r c u l a n t 脚o n d i t i o n e rf o rt o e p l i t zs y s t e m s ，s l a m j s c i s m f i s t 1 6 g h g o l u ba n dc f v a nl o a n ，m a t r i xc o m p u t a t i o n s ，3 r de d j o h n sh o p k i n su n i v e r s i t yp r e s s 。b a l t i m o r e ，m d ，1 9 9 6 1 7 c r j o h n s o n ，i n v e r s em - m a t r i c e s ，l i n e a ra l g e b r a a n di t s a p p l i c a t i o n ，4 7 ( 1 9 8 2 ) ，p p 1 9 5 2 1 6 1 8 w i l l o u g h b y ，r a ，t h ei n v e r s em m a t r i xp r o b l e m ，l i n a l g e b r aa n d i t sa p p l i c a t i o n ，1 8 ( 1 9 7 7 ) ，p p 7 5 9 4 1 9 m c d o n a l d ，mn e u m a n n ，i is c h n e i d e r ， e va 1 i n v e r s em - m a t r i xi n i j q u a l i t i e sa n d g e n e r a l i s e du l t r a m e t r i cm a t r i x e s ，l i n e a r a l n e b r aa p p l i c a t i o n ，1 9 9 5 ，2 2 0 ：3 2 1 3 4 1 ， 2 0 c rj o h n s o n ，r ls m i t h ，t h e c o m p l e t i o n p r o b l e mf o r m - m a t r i xa n di n v e r s em - m a t r i x ，l i n e a ra l n e b r aa n d i t s a p p l i c a t i o n ，1 9 9 6 ，2 4 1 2 4 3 ，6 5 5 6 6 7 2 1