（计算数学专业论文）矩阵方程的扰动分析.pdf

目录 符号表3付丐霰 第一章绪论4 1 1 引言4 1 2 相关的几个概念5 第二章矩阵方程a x b = d 的扰动理论7 2 1 预备知识和引理7 2 2 矩阵方程a x b = d 的扰动9 2 3 矩阵方程a x b = d 的向后误差1 3 第三章矩阵方程a t x + x a x r x = 一q 的向后误差2 1 第四章矩阵方程a t x a = d 的条件数2 5 参考文献2 9 致谢3 1 2 符号表 c | n “仉 r m n s r n x n u n n c 竹 冗n c a t a 1 a + i d i a g ( a x ，a n ) a = a l ，a n l i a i l 2 i i a i i f i i x l l 2 k 2 ( a ) v a ( ) 0 ao b = ( a i j b ) v e c ( a ) = ( 砰，n ：) t 所有mx 礼阶复矩阵的全体 所有m n 阶实矩阵的全体 所有佗xn 阶实对称矩阵的全体 所有nx 礼阶酉矩阵的全体 所有复n 维列向量的全体 所有实n 维列向量的全体 所有复数的全体 矩阵a 的转置 矩阵a 的逆 矩阵a 的广义逆 单位矩阵 对角元为a ，o n 的对角矩阵 矩阵a 的第i 列为列向量a t 矩阵a 的谱范数 矩阵a 的f r o b e n i u s 范数 向量z 的2 范数 矩阵a 的条件数 任意给定的 元素属于 a 为半正定( 正定) 矩阵 k r o n e c k e r 积 若a = 【a l ，a 。】 3 l i i ii iii i i iii l li i i iiil 17 6 8 3 3 7 第一章绪论 1 1 引言 本文的主要内容涉及有关矩阵方程解的扰动分析矩阵方程解的扰动分析是 矩阵扰动分析研究的课题之一所谓“矩阵扰动分析”就是研究矩阵元素的变化 对于矩阵问题的解的影响这个课题的研究，不仅对于矩阵论和算子理论，而且 对于矩阵计算，都有重要意义 矩阵方程解的扰动可以分为向前扰动和向后扰动当矩阵方程中已知的矩阵 发生扰动时，对矩阵方程的解有多大的影响，我们称为向前扰动当我们用某种 数值方法计算出矩阵方程的一个近似解时，是不是存在范数很小的扰动矩阵， 使得该近似解为扰动后方程的精确解如果这样的扰动存在，则我们称为向后扰 动我们常用向后误差去判断一个计算解是否向后稳定向后误差是w i l l k i n s o n 在2 0 世纪6 0 年代提出的一个重要概念，对向后误差的估计已经成为判断一个计 算解的质量的基本工具之一 近年来，关于各类矩阵方程的扰动分析已取得了不少进展早在1 9 9 3 年， h i g h a r n 1 】利用k r o n e c k e r 积研究了矩阵方程a x x b = c 的向后误差和敏感性 分析1 9 9 4 年，k a g s t r o m 2 1 给出了广义s y l v e s t e r 矩阵方程的向后误差和扰动理 论分析随后，在1 9 9 5 年到2 0 0 9 年g h a v i m i 和l a u b ，孙继广等人研究了r i c c a t i 矩阵方程的条件数，向前扰动和向后扰动( 见文 3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，9 ) 2 0 0 3 年，刘新国 1 0 研究了对称矩阵方程q - 4 - b k s + ( b k s ) 丁+ b k r k t b t = 0 近似解的向后误 差2 0 0 7 年和2 0 0 8 年杨兴东分别研究了矩阵方程a 丁x a = d 的条件数与向后 误差和两类矩阵方程s y l v e s t e r 与l y a p u n o v 的向后误差( 见文 1 1 ，1 2 ，1 3 ) 本文主要研究了三类特殊矩阵方程的扰动理论； 第一类矩阵方程是 a x b = d ( 1 1 ) 其中a r m n ，b r 似p ，d r p 该方程在许多领域有其应用背景，如在工 程振动反问题和结构模型修正，现代控制理论等都有着重要的应用关于矩阵方 程( 1 1 ) 的解已经有了许多好的结果( 例如见文 1 4 ，1 5 ，1 6 ，1 7 ，1 8 ) 但是，有关矩阵 方程( 1 1 ) 解的扰动，目前尚没有研究本文主要研究了当矩阵方程( 1 1 ) 的系数 矩阵和右端项矩阵发生很小的扰动时，方程( 1 1 ) 解的扰动界限我们知道，关 于线性方程组a x = b ，其中a r m 佗，b r m 粗，解的相对误差不仅与a 和b 的 相对误差程度有关，还与矩阵a 的条件数有关对于矩阵方程( 1 1 ) 我们也有相 4 同的结果 另外，还研究了矩阵方程( 1 1 ) 近似解的向后误差，本文给出了矩阵方程( 1 1 ) 向后误差的上界和下界，是文献 1 1 的一个推广 第二类矩阵方程是连续时间代数r i c c a t i 方程 a r x + x a x r x = 一q ( 1 2 ) 其中a r 似n ，r 形跏，q r 似n 在1 9 9 5 年，g h a v i m i 和l a u b 提出了新的向 后误差判别准则及敏感度分析方法用以估计连续时间代数p d c c a t i 方程，随后， 孙继广等人讨论了该方程的扰动理论( 见文 3 , 4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，9 ) 本文利用文 1 2 的思 路给出了矩阵方程( 1 2 ) 的向后误差的上界和下界 第三类矩阵方程是 a t x a = d ( 1 3 ) 其中a r 似n ，d r 似n 该矩阵方程来源于振动反问题和结构修正模型，2 0 0 7 年杨兴东在文 1 1 中利用广义逆的性质，给出了该方程对称半正定解的条件数的 一个估计以及向后误差的上界和下界而本文利用k r o n e c k e r 积研究了矩阵方程 ( 1 3 ) 对称正定解的条件数，这些结果是对文献 1 1 的一个补充，方便于模型修正 的计算 1 2 相关的几个概念 定义1 1 设z 伊，则称忙忆2 、兰慨1 2 为向量z 的2 - 范数 定义1 3 设a c m 黼，则称1 a i i f = l a i j 2 为矩阵a 的f r o b e n i u s 范 vz , 3 = 1 笆卦n q 定义1 6 设a = ( a i j ) c m 黼，则向量v e ca 定义为 v e ca = ( a 1 1 ，a m l ，a 1 2 ，a m 2 ，a 1 竹，：，a m n ) 丁 定义1 7 一个定义在c m 黼上的非负实值函数j fl l 叫做c m 加上的酉不变范 数，如果它满足下列条件： 1 ) a 0 号l i a i i 0 ， 2 ) | l q 刮= i q | | i a i i ，v a c ， 3 ) f i a + b i i f i a i i 十i i b i i ， 4 ) i i u a v i i = l i a i i ，vu u n n ，vv u n 佗， 5 ) i i a i i = i a l l 2 ，va 满足r a n k ( a ) = 1 其中a ，b 为c 仇黼中的任意矩阵 矩阵的谱范数和f r o b e n i u s 范数都是酉不变范数另外，以下式子经常在文中被 引用： i i a ij f = i i v e c ( a ) 1 1 2 ，i i a 1 2 i i a i i f ， f i a b i i f i i a i l 21 i b i i f ，f i a b ij f i i a i i fi i b i l 2 6 有解 并且在有解的情况下，其通解为 x = a + d b + + y a + a y b b + 。 其中y c n p 是任意的 引理2 2 倚异值分解定理j 【2 0 】设a c m 黼，若r a n k ( a ) = r ，则存在u u m m ，v u 似佗使得 u 4 a y = ( 吉三) ， 其中r = d i a g ( a l ，西) ，o 1 听 0 是a 的奇异值 设a r m 跏，b 形舯，d r m 口，a ，b 的奇异值分解分别为 a = p ( 0 吕) q t ，b = w ( q 0 三) y t 将p ，q ，彬v 进行分块，p = p 1p 2 ，q = q 1q 2 ，w = 【啊】，v = v 1 ， 分块与，q 的阶数相一致，再设k = w 2 r q l 的奇异值分解为 k = w t q l = t ( a o ：p 对矩阵t ，s 进行分块，t = 阢乃】，s = s t & 分块与a 的阶数相一致 7 引理2 3 1 5 1 设a ，b ，k 的s v d 分解如上，则矩阵方程a x b ：d 有对称正 定解的充分必要条件是 a a + d b + b = d ，露q a + d b + q 1 岛 0 ， 并且在有解的情况下，其通解为 x = q i y + q 2 q t ( q i y ) t + q 2 q t y t ( y q l ) 一1 y q 2 q ；+ q 2 m q 多， 其中y = q a + d b + + h k + 仉万一q t a + d b + q 1 k + w 可+ n ( i k k + ) w t ， h = q t a + d b + q ls 2 s r 2 + & s t q ( a + d b + ) t 骈岛s + & 卵q a + d b + q 1 s 2 ( s 罗q t a + d b + q 1 & ) 一1 s t q t ( a + d b + ) t q l s l s + s 1 冗s f m ，兄为任意对称正定矩阵，为任意矩阵 引理2 4 1 9 】设a ，e r m 黼，五= a + e ，并且r a n k ( a ) = r a n k ( a ) ，则 j i 五+ 一a + 三喾i i a + 忆l i 五+ 忆i i e l l 2 并且l i a + 1 1 2 1 1 e l l 2 1 ，则 刎z 刊糍赢 引理2 5 【2 0 】设a r m 黼，b r n 口，d r m x p ，x 冗n 跏，则 a x b = d 兮( b to a ) v e c ( x ) = v e c ( d ) 引理2 6 2 0 】设a r n 黼，b 冗佗黼，= 苎墨忍歹。砺，其中，r n n ， 0 = l = = l i ，j 位置上的元素为j ，其余元素为0 则 且= t = i i 一1 v e c ( a t ) = i i v e c ( a ) ， b o a = t ( a b ) n ， 8 2 2 矩阵方程a x b = d 的扰动 定理2 1 设a ，a r m n ，b ，a b r p q ，d ，a d r r n x q ，五= a + a a ， 豆：b + a b ，西：d 十a d 且a ，b ，d ，a ，b ，d 满足如下条件： r a n k ( a ) = r a n k ( a ) = 佗，r a n k ( b ) = r a n k ( b ) = p ， a a + d b + b ：d ，五五+ 西豆+ 豆：西 若x 为矩阵方程以j ，的解，贾= x + a x 为矩阵方程 a y b = 西，( 2 1 ) 的解，则 丽i i a x h i i 硎。l z ( 1 l 川眺雠圳驯m + i i a i l 2 l l a b j 2 + i a a i l 2 i i a b i l 2 ) ( 2 2 ) 并且i i a + 1 1 2 1 1 a i l 2 1 ，i i s + 1 1 2 1 1 b 1 1 2 1 ，则 盟 i i x i l 2 一 t c 2 ( a ) t c 2 ( b ) l k 2 ( a ) 雠1 一k 2 ( b ) 锵 十丽i i a b i l 2 + 雠+ i i i a a l l 2i i i a b 1 2 i d i l 2i a l l 2i b i l 2 ， ( 2 3 ) 。忙1 1 2 i。i 厂、_ 7 证明：由引理2 j 可知矩阵方程p 砂和俾j ，均有唯一解，由定理的假设可知 ( a + a a ) ( x + a x ) ( b + a b ) = d + a d 将上式展开得 设 ( a + a a ) a x ( b + a b ) = a d a a x b a x a b a a x a b ( 2 4 ) 则侣可化为 因为 e = d 一a x b a x a b 一a x b ( a + a a ) a x ( b + a b ) = e r a n k ( a ) = n ，r a n k ( b ) = p ， 9 ( 2 5 ) 由引理2 j ，有 x = ( a + a a ) + e ( b + a b ) + ( 2 6 ) 对俾纠两边取范数可得 i i a x i l 2 l i ( a + a a ) + 1 1 2 1 1 ( b + z x b ) + 1 1 2 1 1 e 1 1 2 i i ( a + a a ) + 1 1 2 1 1 ( b + a b ) + 1 1 2 ( 1 1 d i l 2 + | | a i l 2 | i xj 1 2 | j b i | 2 + i i a i l 2 i l x l l 2 i i a b i l 2 + i i a i l 2 i i x i l 2 | j b l l 2 ) ， 上式两边同乘以赤有 砸i i x 矿1 1 2 t i ( a + a a ) + i i z i i ( b + x b ) + 1 1 2 ( 砸i i a d 面1 1 2 + i i x a i l 2 1 1 b i l 2 + j i a i l 2 1 1 a b i l 2 + l i a a i l 2 1 1 x b i l 2 ) ， 因为 。 1 | i a i l 2 1 1 b i l 2 f i x i l 2 。：l i d i b 所以 面i i a x i l 2 j i 伊i i z ( 1 1 制i b j f 2 i i 雠+ i i b i l 2 i i a a i i z + i i a i l 2 i i a b i l 2 + j i a a i l 2 1 1 x b i l 2 ) ( 2 7 ) 若 j | a + 1 1 2 i i a a i l 2 1 ，i i b + i i = i i a b i l 2 1 ， 则由引理2 4 ，我们有 1 1 - 冱+ 1 1 。司，1 1 豆+ 1 1 z 可 故 趔 i i x i l 2 。 a + 1 1 2i i b + 1 1 2 1 一i i a + 1 1 2 1 1 a a i l 21 一l i b + 1 1 2 1 1 a b i l 2( i i a i l 2 忙1 1 2 雠 + i i b i l 2 1 1 a a i i z + i a i l 2 1 1 x b i l 2 + i i x a i l 2 1 1 x b i l 2 ) a l l 2l i a + 1 1 2 1 一i i a + 1 1 2 1 1 a a i i z1 l i b i l 2 1 1 b + 1 1 2 一i i b + 1 1 2 1 1 a b i l 2 ，i i a a i l 2 。| i x b i l 2 f i a a i l 2l i x b i l 2 、 j i a i l 2 l i b i l 2 l i a i l 2j i b i l ：7 n 2 ( a ) t c 2 ( b ) 1 一k 2 ( a ) 雠1 一k 2 ( b ) 雠 ，i i x b i l 2 f i a d i l 2 。j i a a i i ，i l a b 1 2 、 i i b i l 2 。1 i d i i ：。i i a i l 2l i b i i ：广 1 0 了 证毕 注2 1 当r a n k ( a ) n 或r a n k ( b ) p 时，矩阵方程( 1 1 ) 解的相对误差可能 无界事实上， a x = ( a + a a ) + e ( b + a b ) + + y 一( a + a a ) + ( a + a a ) y ( b + a b ) ( b + b ) + 因为矩阵方程( 2 5 ) 的解不唯一，所以由y 是任意的nxp 阶矩阵，可使得i i a x l l 2 任意大 然而如果考虑矩阵方程的极小f 一范数解，则其极小f 一范数解是唯一的， 即为x ：a + d b + 定理2 2 设a ，a r m 跏，b ，a b 形x a ，d ，a d r m q ，五= a + a a ， 百= b + a b ，西= d + a d 且a ，b ，d ，a ，b ，d 满足如下条件： a a + d b + b = d ，五矛西豆+ 雪= 西， r a n k ( a ) = r a n k ( a ) ，r a n k ( b ) = r a n k ( b ) ， a + 1 1 2 1 1 a a i l 2 1 ，l i b + 1 1 2 1 1 x w l l 2 1 ， 若x 为矩阵方程以! ，) 的极小f 一范数解，且贾= x + a x 为矩阵方程俾矽的 极小f 一范数解，那么 l i a x i i z i i x l l 2 k z ( a ) 雠 1 - 4 - 雌塑业 1 i i d l l 2 l ! 垒旦 + f 丽i i d 瓣1 1 2 + l k 2 ( b ) 嵯辨 1 一仡z ( a ) 雠1 一k 2 ( b ) 雠 l + 佰k 2 ( b ) 雠 2 1 一k 2 ( b ) 雠 ( 2 8 ) 证明：由引理2 j 知，矩阵方程以j ) 和偿纠均相容，则相应的唯一极小f 一范 数解分别为 x = a + d b + 贾= 五十西亩+ 则 x 贾一x ：五十西豆+ 一a + d b + 五+ 西百+ 一a + 西画+ + a + 西豆+ 一a + d 豆+ + a + d 秀+ 一a + d b + ( 五+ 一a + ) 西直+ + a + ( 西一d ) 3 + + a + d ( 豆+ 一b + ) ( 2 9 ) 1 1 对偿砂两边取范数有 | i x | 2 i i 矛一a + | 1 2 f i 西1 1 2 i i 豆+ 1 1 2 + i i a + 1 1 2 l i b d i l 2 1 1 豆+ 1 1 2 + 1 1 - 4 + 1 1 2 i i d i l 2 | | 豆+ 一b + 1 1 2 ( 2 1 0 ) 由引理2 彳有 a x l l 2 学1 1 矛1 1 。i i 珊i 。i l o l l 2 l 。 + i i a + 1 1 2 慷+ 1 1 2 i l z x d i l 2 + 学幅+ 1 1 2 i i b + 1 1 2 i i x b i l 2 i i 矿i i 。 l s l l 2 上式两边同乘以僻1 而及赢肾有 印 些挚 l i x l l 2 。 i i a x 1 1 2 j i x l l 2 l + 怕1 1 石+ 1 1 2 i i a + 1 1 2 i i a i l 2 i i a a i l 2 1 1 豆+ 1 1 2 i i b i l 2 1 1 1 5 1 1 2 t 可石一 i a + 1 1 21 1 a 1 1 2i i b + 1 1 2i i b i l 2i i x d l l 2 j i d i l 2 + 三喾 i a i i ：i i a + 1 1 2j l 唐+ 1 1 2 i i b + i i 。i i b i i 。l | b i i 。， 1 + 以，c 2 ( a ) j | 矛f 1 2 i i a a i l 2 i i 豆+ 1 1 2 i i b i l 2 i i d i l 2 2 i i d i l 2 十竺丞兰!坚翌掣丛坚型业+业k2(a)k2(b)lib+112iiabil2(211，idii2 2 “。、。1 7 “。、一 。 一。、1 7 又因为 忸+ i i 。而，i i 豆+ i i z ， 所以偿j j ) 可化为 l i x x l l 2 l i x l l 2 生笪生丝鳖竺璺j 一2 卜k 2 ( a ) 雠1 一k 2 ( b ) 雠 i d + a d i l 2 f i d i l 2 + 嵩赫崆i i de i 。+ 学筹 仁 。1 一k 2 ( b ) 雠 2 1 一，c 2 ( b ) 雠 卜“纠 即可得到似圳证毕 1 2 2 3 矩阵方程a x b = d 的向后误差 设a r m 跏，b r n x 口，d r m 跏，贾为矩阵方程( 1 1 ) 的一个近似对称 正定解令 叩= ( a ，a b ，a d ) i ( a + a a ) x ( b + a b ) = d + a d ， 叩( 贾) = ( 触觚m i n d ) 一i ( 了a a ，可a b ，竽川f ， ( 2 1 3 ) 其中q ，p ，7 为正参数 注2 2 在( 2 1 3 ) 中若取口= i i a i i f ，p = i i b i i f ，7 = l i d i i f 则得相对向后误差； 若取o = p = ，y = 1 则得绝对向后误差 定理2 3 设a r m 黼，b r n 口，d r m p 满足引理2 3 的条件，则当 p l o ，j ，所以 乃对= ( 2 1 8 ) ( 摹) 西：r m nor n por m p _ r m nor n por m p 1 4 a 拳 a 拳 丑 注意到在范数0 怙- y ，尼“”。o r ”x po 冗”p 是一个b a n a c h 空j 日j ，田似j 彰习 以看出映射西满足 j i ( 等，可a b ，a ，y d ) i f = 孵眦( 五一a a a b ) i 2 附伽( 五) i i t ? i 1 2 i i a 枷i i f ， ( 2 1 9 ) 设 1 p 2 孵伽( 跳 f 12 而2 ， 则侣i 砂可化为 i i ( a a a ，等，竽川f p 1 + 扯五胡| f ( 2 2 0 ) 由范数不等式和柯西不等式有 a a a b i f i i a 互i i f i i a b i i f 丢( 1 l a , i l l 刍+ i i a d i i 刍) = 却l 等l l 刍拶i l 等i i 刍) 丢肛万饥争川l 争刍 ：1 4 l y 4 q ( a 42 圳等缈 三而川等i i 刍刊等l l 刍圳竽l l ；) = 三而队等，可a b ，了a d 惦 ( 2 2 1 ) 设t 二邗虿，从而俾2 砂可化为 i l ( 等，可a b ，a 7 d ) i f 0 考虑方程 t q 2 2 2 1 + 2 1 1 p l = 0 ， 】5 ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 当p l 0 ，此时方程偿2 s ) 有解，其较小的正解为 z 1 一 瑶一2 1 1 p i t q = o 一 令 s = ( 等，等，a ，y d ) 胪n 。p 。胪i ( i a a ，可a b ，了a d 川f 埘， 则s 是r m x n o 冗n p o r m p 的有界闭凸集，由偿2 剀知连续映射将s 映到s ，则 由s c h a u d e r 不动点定理但2 1 ，6 圳，映射西在s 中有不动点( 警，一a 口b ，学) 满足 胍竽，丁a b , ，下a d , ) 怙氮 ( 2 2 4 ) 因为 a + = 五更f t ，a b + = 贾f 1 豆+ ，a d + = a d 一+ l l x i - 1l j 2 ， 由范数不等式有 i i a 。l l f | | 贾f l l l 2 | | 彳。i f ， l i 百+ i i f i l 爱f 1r 1 2 i i x 唐。i i f ， 从而 设 v ( x ) 俨f 引竽州附引i 等m 引i 竽懵 一讪警州l 丁a 百, 慷2 圳竿睁 1 1 2 c 1 靠 ：1 1 2 f 1 单 与上面的证明类似我们可得下界 d = l i x l l l 2 a d ， 1 6 互 丙霉鬻 i e 墓 c w r w 一 一 盯 删 口 凹 如 i i c = 中其 因为u 是正交矩阵，所以u t u = ，偿e g ) 两边左乘u t ，有 ( q ，0 ，0 ) y t = u t v e c ( 庭- k a o a b o ) ( 2 3 。) 旷( 萋w ) 眨叫 ( q ，0 ，0 7 ) y 丁 再由( 2 s o ) ，可得 即 于是，陀s 1 ) 可化为 旷( o ，o 叫 f r y = u t v e c ( h a 5 , o a 晟) ， y = q 一1 u t 移e c ( 五一a 五b o ) 耋vec(bo)vec(ado)- q l l 一 口i j y j ( 摹 “( q 一1 u t u ( q 一1ut钞ec孽夤，o豆。) c 2 3 2 ， ) | | f = 杪t ( 封v e c ( a g o ) f e c ( r 一 五曲曲卜 i l q 一1 u t v e c ( h a a o a b o ) 1 1 2 、2、2 量量赴 一口一卢剑一7 亟亟坐， 一口一致一7 、2、2 盈盈萤 一d一口剑一7 ，i，l z j 丝 竺 似一 一。一致一7 ，。一 z = i iy n 一1u t v e c ( h 一五亩o ) 1 1 2 = i i 珂口e c ( 袁一五豆o ) 1 1 2 i i 砑u e c ( 五) l i z i i 珂j 1 2 | i 五晟| l f ， p z 刮时优c ( 砒 j 2 2 南。 i i x a o z x b o l l f 孤竽，丁a b o ，a 7 d o ) 1 1 2 0 ，i i x l l 2 = 1 ，贝1 jz t a 一1 z ( x t a x ) 设a ，r ，q r , t x n ，且a 为稳定矩阵，r 0 ，q 0 ，贾为矩阵方程( 1 2 ) 的一个 近似对称正定解，设 r = 【( a ，a r ，a q ) i ( a + a a ) t 2 + x ( a + a ) 一x ( r + z x r ) x = 一( q + a q ) ，a + a 为稳定矩阵，r + a r 0 ，q + q o ) 叩( 贾) = ( a ，r a 死i n l l ( i a a ，可a r ，a 7 q ) t i f ， ( 3 1 ) 其中0 t ，p ，7 为正参数 注3 1 在( 3 1 ) 中若取o l = l i a l i f ，p = 忙l i f ，7 = 旧怯则得相对向后误差； 若取口= p = ，y = 1 则得绝对向后误差 定理3 1 设a ，r ，q r , t x n ，且a 为稳定矩阵， r 0 ，q 0 ，贾为矩阵方 程以剀的一个近似对称正定解，则 芦：鼍 毒坚型兰：彳叩( 贾) ：i l t + v e c ( r ) 1 1 2 l i t + i | 2 i i 五| | f ， v 2 a 2 | i x 幢+ p 2 i i x l l 2 + ，y 2 其中 t = ( q ( 厶 贾+ ( 戈。厶) ) ，z ( 2o 贾) ，y ( 厶 厶) ) ， 豆= 一q a t 2 一贾a + 2 n 2 证明：由矩阵方程( a + a a ) t 2 + x ( a + a a ) 一2 ( r + z x r ) y ；= 一( q + a q ) 可得 a a t x + x a a 一2 a r 2 + q = 一q a t 2 2 a + 2 , r 2 ( 3 2 ) 设 五：一q a t 贾一2 a + 2 r 2 ， 由引理2 5 知， p 剀可化为 q 贾+ ( 贾。厶) 】t ，e c ( a ) 一( 贾。贾) u e c ( r ) + ( i nq - r , o v e c ( x q ) ： e c ( 五) ( 3 3 ) t = ( 口( 厶 贾+ ( 贾。厶) ) ，一z ( 2 圆贾) ，一y ( 厶。厶) ) ， 肚( 封 z = t + 秽e c ( 五) + ( 厶n 2 一t + t ) fv y r 3 矿 ( 3 5 ) 另一方面，由于t + 口e c ( 直) 与( 1 3 n z t + t ) y 正交，从而 t l z i i ；= l i t + v e c ( - 矗) 1 1 2 + 1 1 ( 1 3 n 。一t + t ) y i i ；i i t + v e c ( r ) l l ；， 于是 叩( 戈) i i t + v e c ( 五) 1 1 2 ， 叼( 贾) = l i t + u e c ( 蠢) 怯 i l t + v e c ( 础邛c ( 鳓t t + v e c ( t 1 ) 锏陪警( t 甲t + 需( 3 6 ) ( 矿) t t + = ( t t t ) 一1t t t ( t t 丁) = ( t t t ) ， i i t + v e c ( 础娟i 刍警( 竹1 需 i i t + v e c ( 五州；l i 五| i 刍( ( t t 口e c ( 豆) ) t t t v e c ( 元) ) 一1 = 燕， i i t + v e c ( r ) 1 1 2 嵩， 似r 糍”卜瓦， = ( q t ( 厶。雩羞蚕豢q 厶) 】口e “豆”) 1 i t t 秽e c ( 五) 幢 =q2 i i n ( i n 圆戈) t u e c ( 蠢) - 4 - ( 贾p 厶) 秽e c ( 五) l l 刍 + 卢2i i ( ) c 戈) 钞e c ( 五) l i 刍+ 7 2l | ( 厶oi 竹) v e c ( r ) 1 1 2 f i t t v e c ( 蠢) 1 1 2 = q 2 f i 蠢t 贾- 4 - 五戈| i 多- 4 - p 2 l i 贾五戈l | 刍- 4 - 3 , 2 l i 蠢l 陪 1 i t t v e c ( 蠢) l l ；l l 五l i 刍( 2 q 2j i 贾幢+ p 2 i i 趸幢+ 7 2 ) ， i i t t v e c ( r ) i i f 剑矶厄币丽再砸面再， 私) 丽、2 a 罱- 4 - i - 更丽1 1 2 l i x 悒 p 2 i 2 + ，y 2 又显然 证毕 例3 1 设 叩( 贾) = l i t + v e c ( k ) 1 1 2 i i t + 1 1 2i l kj i f a = ( 一0 1 三) ，r = ( ；4 2 ) ，q = ( 1 2 ，- - 7 ) ， 贾：f乏向1 0 0_ = l 0 2 0 01 为矩阵方程a t x + x a x r x ：一q 的近似对 一1 0 2 0 0 1 1 0 0 0 。 称正定解在定理3 j 中取q = i i a i i f ，p = i i r i i f ，7 = i i q i i f 通过m a t l a b 计算得 叩( 戈) = l i t 十w c ( 蓖) 1 1 2 = 0 0 4 2 0 ， o 0 2 0 4 ：些堡些三：一卵( 戈) l i t + 1 1 2 i i r i i f ：o 0 5 3 6 v 2 a 2 1 1 2 1 1 ；+ f 1 2 1 1 2 1 1 2 + 7 2 “一 “ = d 的条件数 阵方程p 砂有唯一对称正定解 n ，a d s r n 肌x 为矩阵方程 ( a + a a ) t ( x + x ) ( a + a a ) = 解的条件数为： 惋( ) ： 塾iiaxifi螋limsup，i = 1 ，2 ，3 e 。0 a i ， 惋( ) = 川y l l 一，= 1 ， ee “ i i f 其中 1-li(学，丁iiadiif州22=一3刊学，丁liadiir) q ，p 为正参数 定理4 1 设a 与a = a - i - a a 为n 阶非奇异矩阵，d 与西= d = 1 - a d 为扎 阶对称正定矩阵，j 1 1 t 巨_ 阵方程以到解的条件数为 州舭笮铲， ( 4 1 ) 以舻壁掣警业， ( 4 2 ) 州) m i n 慨- ( 蛾赤) ， ( 4 3 ) 其中 z = ( a a ) t ，s = ( 一( 厶圆a t x + ( a t xo 厶) ) ，厶z ) ， s l ：s d i a g ( o t i n 。，p 厶z ) ，5 = q i i z 一1 ( 厶oa t x + ( a t xo 厶) ) 1 1 2 + n l l z 一1 1 1 2 证明：将扰动矩阵方程( a + a a ) r ( x + a x ) ( a + a a ) = d - - i - a d 展开，我们有一 阶展开式偬略其它高阶项j a t a x a a d a r x a a 一a t x a ，( 4 4 ) 由引理2 5 知， 似可化为 ( a o a ) t v e c ( a x ) ( i no i n ) v e c ( a d ) 一 ( 厶 a 丁x ) + ( a r x 圆i n ) l - i ) v e c ( a a ) ( 4 5 ) z = ( a 圆a ) t ，s = ( 一( 厶0a t x + ( a 丁x 厶) n ) ，厶：) ， 则似砂化为 z v e c ( a x ) s ( v e c ( a a ) ) c 4 6 ， 由于a 非奇异，则( a 圆a ) t 非奇异，于是似矽化为 设 则似矽化为 v e c ( a x ) , z - - 1 s ( $ 1 = s d i a g ( c d n 2 , p i n 2 ) , ”( 对以砂两边取范数得 v e c ( a x ) z 一1 s 1 r 1 ( 4 7 ) ( 4 8 ) l i a x i i f = i i v e c ( a x ) 1 1 2 i i z _ 1 & r i l l 2 j i z s 1 1 1 2 1 1 r 1 1 1 2 ( 4 9 ) 由条件数的定义，当i = 1 时，忱1 1 2 = x 1 e ，有 l i a x i i f l i a x i i f l i z _ 1 s 1f 1 2 1 1 r l1 1 2 i i z - 1 s 11 1 2 而石丽面瓦丽面一21 面f 从而( 毒1 ) 或i 在心矽中，设 当i = 2 时， r 2 - - - - ( v e c ( a a ) ) ， 挑i i = 舡函而面= 。i i ( t l a i i f ，i i d i i f ) 1 1 。 e i i ( i i a i i f ，i i d i i f ) 1 1 2 = e 舡而而而 2 6 、ll、，、， a d ， 钞 ” 孝 l l x | i f | | z 一1 s l l l 2 l i r l i l 2 = i i z 一1 s 1 | f 2 d i i a d i i ；, - ， ( 4 1 。) 因为 学+ 学 i i a a a i i f ，学) ， 所以心1 0 ) 可化为 i f 峤栌i l x l l f 州半，学) = 讵雄怯州蛾 卯 坠坐扼k 1 ( 咖) ( 4 1 1 ) e l l x l l f 。1 、r 7 、 另一方面， 以别可写成 u e c ( x ) , , - a z - 1 ( 厶 a t x + ( a 丁x 圆厶) ) v e c ( 口a a ) ，+ p z - 1 ( 厶。厶) 竺丛拿盟 于是 i i a x l l f a i i z - 1 ( 厶。a t 誓州t x 。枷川2 学+ p l l z - 1 1 1 2 学 ( 4 1 2 ) 由a a = e = m 。z ( 悭磐，学) ，有 i i a x i i f ( q i i z 一1 ( 厶oa t x + ( a t x oi n ) u ) 1 1 2 + p | | z 一11 1 2 ) ， ( 4 1 3 ) 印 币i i a x 石i i f 赤i x i i f ， ( 4 “) e l i x 恬一l 、7 其中 6 = 0 ：l | z 一1 ( 厶oa t x + ( a t x0 x , ，) n ) 1 1 2 + p l l z 一11 1 2 由( 4 h ) 和( 4 i 4 ) 即可碍烈 以佻胁 讵州蛾赤) 证毕 下面给出一个例子来说明定理4 1 的结果，所有的运算都是使用m a t l a b7 0 得到 的 例4 1 设 a = ( ：) ，。= ( 詈：) ，a a = x d = ( ：10 ：1 2 ) 半1 。一8 ， 在定理彳_ 中，取q = ij a i i f ，p = l i d i i f 则矩阵方程以圳的解为 x = ( 一主订 通过m a t l a b 计算我们有 表2 i ! 垒茎恒 k 1 ( ) 1 圪2 ( ) 2k 3 ( ) 3 u x i i f 7 5 3 3 5 e 0 0 91 1 7 8 9 e 0 0 81 5 4 8 4 e 0 0 81 5 5 8 6 e 0 0 8 ? ： p x b = c 【j 】 m a t r i xe q u a - t i o n j s i a mj o u r n a lo nm a t r i xa n a l y s i sa n da p p l i c a t i o n s ，1 5 ( 1 9 9 4 ) ：1 0 4 5 1 0 6 0 a r g h a v i m i ，j l a u b b a c k w a r de r r o r ，s e n s i t i v i t y , a n dr e f i n e m e n to fc o m p u t e d s o l u t i o n so fa l g e b r a i cr i c c a t ie q u a t i o n s j n u m e r i c a ll i n e a ra l g e b r aw i t ha p - p l i c a t i o n s ，2 ( 1 9 9 5 ) ：2 9 4 9 j i g u a n gs u n ，b a c k w a r de r r o rf o rt h ed i s c r e t e - t i m ea l g e b r a i cr i c c a t ie q u a t i o n j l i n e a ra l g e b r aa n di t sa p p l i c a t i o n s ，2 5 9 ( 1 9 9 7 ) ：1 8 3 2 0 8 j i g u a n gs u n p e r t u r b a t i o nt h e o r yf o ra l g e b r a i cr i c c a t ie q u a t i o n