（运筹学与控制论专业论文）时滞广义系统的稳定与镇定.pdf

at h e s i si no p e r a t i o n s t a b i l i 毋a n d 、- 1-_， 独创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。论文中取得 的研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人己经发表或撰写过 的研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料。与我一同工 作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢 = 正 恧。 学位论文作者签名：宋缺 日 期：如f 卑l q ，多日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学位论 文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和 磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人同意东北大学可以将学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索、交流。 ( 如作者和导师不同意网上交流，请在下方签名；否则视为同意。) 学位论文作者签名： 签字日期： 导师签名： 签字日期： 0 上 ? i l 东北大学硕士学位论文摘要 时滞广义系统的稳定与镇定 摘要 在一些实际领域，许多问题都是以广义系统来建模的，像捕食系统、电力系统、人 口增长模型等。相对于状态空间系统广义系统能更好地描述物理系统。另一方面，时滞 常常出现在各类系统中，如化学、生物、神经及其它自然系统。它通常是控制系统不稳 定和性能下降的根源。同时，在各种物理、工业和工程系统中，由于模型简化、环境变 化和元件老化等原因，不可避免地会出现各种不确定性，因此，对时滞广义系统，特别 是不确定时滞广义系统的分析与综合具有十分重要的理论和实际意义。 本文内容概况如下： 第一章：介绍了广义系统的背景、理论发展和研究现状。 第二章：介绍了广义系统的一些基础知识，以及后面研究工作用到的定义、定理及 引理。 第三章：针对多时滞广义系统研究了其容许性问题。通过构造新的l y a p u n o v 泛函， 首先给出了全新的多时滞广义系统的稳定性判据，之后，在此基础上得到了时滞相关状 态反馈镇定控制器的设计方法。 第四章：通过利用i ，y a p l m o v 1 昀s o v s k i i 方法和增广模型变换方法，首次得到快变时 滞广义系统的导数积分比例反馈镇定方法；针对含有范数有界的不确定性的有界快变时 滞广义系统，得到其导数积分比例反馈鲁棒镇定方法。 第五章：对全文的工作做了总结，同时也对进一步的研究工作进行了展望。 关键词：广义系统；多时变时滞；有界快变时滞；鲁棒镇定；时滞相关；l m i ；p i d - 东北大学硕士学位论文 j 6 i b s 仃a c t s t a b i l i t ya n ds t a b i l i z a t i o nf o rsi n g u l a rs y s t e m sw i t l lt i m e d e l a y a l b s t r a c t h lm a i l yp r a 矾c a l6 e l d s ，i th 嬲b e 饥f - 0 u n d 吐l a tm a n y p r o b l e m sa r em o d e l e db ys i n g u l a r s y 呶= i n s ，跚c h 嬲p r c d a t o 雌i r e yi n t 黜t i o 船，p o w e rs y s t e m s ，p o p u l a t i o ng r o w t l lm o d e l sa n ds o o n s i r 留j 1 a rs y s t e m sc a nb e 自c e rd e s c r i b ep h y s i c a ls y s t e m sm 觚r e g u l a ro n 销o nt l l eo m c r h a n d ，t i i i l e - d e l a yi so r 饥c o u n t e r o di nv 撕。啪锄菩n 硎n gs y s t e m s ，跚c h 勰c h e i i l i c a l ， b i o l o 西c a l ，n 即r a l 觚do 廿l e rn a t u r a ls y s t 锄s ，a n di ti s 姐i i l l p o r t a n ts c r u eo fi 1 1 s t a b i l i t ya n d p o o rp e r 南衄a n c e a l s 0 ，u n c e r t a i n _ t i 懿i n 嘶t a ：b l ye x i s ti na 1 1k i n d so fp h y s i c a l ，i i l d l l s t r i a la n d e n g i l l e c 时i 冯s y s t e m sb e c a 邺eo fm es i i i l p l i f i c a t i o no fm o d e l ，c h a n g eo fr u l l l l i n g 瓴l v i r o 如m 饥t ， 觚da g ：i i l go fe l e c t r i c a le l 锄伽t sa n ds oo n t h e r e f o r c ，m e 锄a l y s i sa n ds y n m 鼯i sf 0 rs i i l g u l a r s y s t 锄sw i mt i i i l e d e l a y ，e s p e c i a l l yf o ru i l c e r t a i ns m g i l l a rs y s t e m sw i 也t i r n e - d e l a ya r e i i i l p o r t 锄tb o mi nt l l e o r y 锄l dp r a c t i c e t h em a i nc 0 n t 朗t so f t l l i sp 印e ra r ea sf o l l o w e d ： ( 1 ) h lc h a p t e r1 ，m eb a c 蜒印u 1 1 d ，t 1 1 ed e v e l o p m 锄to f l em e o r ya n dr e s e n tr e s e 鲫c h a c h i e v e m e n t so fs i n g u l a rs y s t e m sa r ei n 缸d d l l c e dr e s p e c t i 、r e l y ( 2 ) h lc h a p t e r2 ，m ef h l l d 锄e n t a ll 【1 1 0 w l e d g eo fs i n g u l a rs y s t e m si si 蛐的d u c e d s o m e d c f 血t i o 邶，m e o 豫n s 锄dl 伽m 勰讹c hw i l lb el l s e dla t i e ra r ep r e s 锄t e d ( 3 ) h lc h a p t e r3 ，n l ep r o b l e mo fa d i i l i s s i b i l i t ) ，f o rs i n g i l l a rs y s t e i n sw i t hm u l t i p l e t i m 争v a 聊n gd e l a yi ss t u d i e d b yc o n s 仃i l c t i n gan e wl y a p l l l l o vf i m c t i o n ，f i r s t ，w ed e v e l o pa d e l a y - d 印e n d e n t 跚伍c i e n tc o n d i t i o i l ，砌c hg u a r 锄t e e sm a tn 地s y s t e mi sa d m i s s i b l e t h e i l b a s e do nn l i s ，ad e l a y - d 印e n d e n ts u 伍c i e n tc o n d i t i o nf i ”l ee x i s t c eo fa 幽l t ef e e d b a c k c o 曲l l 口w 1 1 i c hg u 鲫田1 t e 锶也a tm ec o r r e s p o n d i i l gc l o s e d - l o o ps y s t e mi s 砌s s i b l ei s p r e s e n t e d ( 4 ) h lc h 印t e r4 ，f o rs i n g u l a rs y s t e m sw i mb o u i l d e df 如tt i m 争v 卿n gs t a t et i m e - d e l a y ，b y u s i l l gl y a p u n o v k r a s o v s k i im 劬o da n da u g m 髓t e dm o d e l ，ad e l a y - d e p e n d e i l tc r i t e r i o nw k c h g u a r 趾t e e sm a tm ec o n e s p o n d i n gd o s e d - l o o ps y s t e m si sn 0 衄a l 锄ds t a _ b l ei sp r e s e n t e d a n d f o r s i i l g u l a rs y s t 锄sw i mb o u 砌e df a s t 劬e - v 邺，i i l g s t a t ed e l a ya n dn o m l - b o u i l d e d l l i l c e n a i n t i e s ，r o b u s tp i dc 0 i l t r o l l e rc a na l s ob ed e s i 弘e d ( 5 ) h lc h 印t c r5 ，ac o n c l u s i o ni s 百v 既a n dt l l ep e r s p e c t i v c0 nn l e 缸曲e 衄o r es t u d yi s a l s op r o p o s e d 东北大学硕士学位论文 a b s 仃a c t l ( e yw o r d s ：s i i l g u l a l rs y s t e l l l s ；m u l t i p l e 血n 争v a r y i n gd e l a y ；b o u i l d e d 触v 邺，i i l gt i m e - d e l a k r o b u s ts t a b i l i z 撕o n ；d e l a y d e p e i l d e n t ；l m i ；p i d 东北大学硕士学位论文 目录 目录 独创性声明i 摘要 a b s 仃a c t i i i 目录v 第1 章绪论1 1 1 研究背景1 1 2 时滞广义系统的研究现状及存在的问题3 1 3 广义系统鲁棒控制的研究现状及存在的问题4 1 4 本文的主要工作6 第2 章预备知识及引理8 2 1 广义系统的基础知识8 2 2 线性矩阵不等式( l m i ) 9 2 3 几个引理1 0 第3 章多时滞广义系统的稳定与镇定1 2 3 1 问题描述1 2 3 2 稳定与镇定1 3 3 2 1 稳定性分析1 3 3 3 数值算例1 9 3 4 小结2 1 第4 章有界快变时滞广义系统的稳定与镇定2 2 4 1 问题描述2 2 4 2p d 镇定2 3 4 2 1 稳定性分析2 3 4 2 2 鲁棒镇定2 8 4 3 数值算例3 0 4 4 小结3 2 v 东北大学硕士学位论文 目录 第5 章总结3 3 参考文献3 4 致谢3 9 硕士期间完成的论文情况4 0 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 研究背景 时滞是客观世界及工程实际中普遍存在的现象，即事件的发展趋势不仅与当前的状 态有关，而且还依赖于事件过去的信息，如气液体的长管道传输、各种化工生产过程、 极缓慢的过程或复杂的在线分析仪等均存在时滞现象。一般地，在控制系统中，元件老 化、机械磨损、物质或信息的传递和能量的转换往往会导致时滞现象的产生。因此，通 信系统、生态系统、环境系统、电力系统、工业工程系统等都是典型的时滞系统。 时滞常常是系统不稳定和控制性能下降的一个重要原因，时滞的存在往往使系统的 分析和综合变得更加地复杂和困难；而且，在系统设计中有时会人为地引入时滞的作用， 使系统具有所期望的性能。因此，对时滞系统的研究引起了理论与实际工作者的广泛关 注，并取得了全面的进展【卜1 0 】。同时，随着时滞系统研究的日趋深入，与时滞系统相关 的研究成果被大量地应用于交通、通讯、电力、经济、生态等众多领域【5 ，6 ，u 】。 与此同时，随着现代控制理论在实际工程系统中应用的深入以及向其他学科如能 源、网络、电力、生态、人口等领域的渗透，人们发现了一类更具广泛形式的动力系统， 即广义系统。广义系统在文献中又被称为奇异系统( s i n g u l a rs y s t e m s ) 【1 2 1 、微分代数系统 ( d i 侬僦t i a l a l g e b r a i cs y s t 锄s ) 【13 1 、半状态系统( s 锄i 。s t a t es y s t e m s ) 【1 4 】、隐式系统( h i l p l i c i t s y 呶= l i l s ) 【15 1 、描述系统( d e s 嘶p t o rs y s t e m s ) 【1 6 】等。 一般认为，广义系统最早是由r o s 饥b r o c k 于1 9 7 4 年提出的【1 。7 1 ，其描述的实际背景 是复杂的电网络系统。随着对广义系统认识的加深和计算机技术的发展及其在工程实际 中的应用，越来越多的人认识到广义系统对系统理论研究的重要性，发现了广义系统模 型广泛存在于经济系统、电力系统、工程系统、社会系统、宇航系统等诸多领域中，并 起着不可替代的作用。如经济系统中著名的动态投入产出模型( l e o n t i e f m o d e l ) 【1 8 】、大型 电力系统中的网络结构保持模型、石油裂化模型以及纽曼模型【1 6 】都是典型的广义系统。 因此，广义系统模型的提出具有深刻的实际应用背景，对广义系统理论的研究具有十分 重要的理论意义和实际意义。 与正常系统相比，广义系统具有很多独有的特点，如下： ( a ) 广义系统的解通常不仅含有正常系统所具有的指数解( 对应于有穷极点) ，还含 有正常系统解中所没有的脉冲解和静态解( 对应于无穷极点) ，以及输入的导数项。如 果考虑离散广义系统，则解中不仅包含f 时刻的信息，还需要f 时刻以后的信息，即广义 系统不再具有传统的因果性； 东北大学硕士学位论文第l 章绪论 ( b ) 正常系统的动态阶为刀( 等于系统的维数) ，而广义系统的动态阶在数值上等于 导数矩阵的秩； ( c ) 正常系统的传递函数是严格真的，而广义系统的却未必，有可能含有次数大于 1 的多项式矩阵； ( d ) 正常系统的齐次初值问题的解存在且唯一，但广义系统的齐次初值问题却可能 不是相容的。解可能不存在，即使存在也可能不唯一； ( e ) 广义系统的数学模型中，不仅含有动态方程( 微分或差分方程) ，还具有静态方 程( 代数方程) ，而正常系统只有动态方程； ( f ) 广义系统的极点除g = d e g d e t ( 姬一彳) 个有穷极点外，还有正常系统没有的力一g 个无穷极点( 以为系统维数) 。这些无穷极点又包括了脉冲模和静态模； 经过三十多年的发展，广义系统理论的研究已经取得了长足的进展，阶段性的成果 时有发表【1 9 】【2 7 1 。应该说，广义系统的研究已经从基础向纵深发展，涉及了从线性到非 线性，从连续到离散，从确定到不确定，从无时滞到时滞，从线性最优控制到皿和也 控制等各个方面。但对广义系统理论，特别是时滞广义系统理论的研究还有许多问题需 要进一步的讨论、完善与发展。 时滞广义系统在文献中又常被称为时滞微分代数方程、隐式时滞系统和奇异时滞 系统，实质上是由矩阵时滞微分方程和矩阵微分代数方程耦合在一起的系统，在宇宙飞 船姿态控制、经济系统、化工系统、大型电网控制和无线传输线路等领域有着广泛的应 用【2 4 1 。 下面介绍几个具有实际应用背景的时滞广义系统。 例1 1 冽：某企业有两种产品，在t 时刻库存分别为五( f ) ，屯( f ) 。设 x ( z ) = 【 ( f ) ，恐( f ) 】2 ， 另 “( f ) = 【“。( f ) ，屹( f ) 】2 为这两种产品的生产率， j ( f ) = b ( f ) ，屯o ) 】7 为这两种产品的销售率，则有 戈o ) = 一s o ) + “o )( 1 1 ) 一般说来，销售率j ( f ) 与产品在t 时刻与t - 1 时刻的库存量x ) ，工o 一1 ) 有关，且与 t 时刻库存率j ( f ) 有关，设j o ) = 戤( f ) 一出( f ) 一擞o 一1 ) ，代入( 1 1 ) 得 ( ，+ d j ( f ) = 出o ) + 擞( f 1 ) + “o ) 这是一个典型的连续时滞广义系统。 例1 2 1 1 9 i i 冽：根据经济需求平衡原理，并考虑市场环境的影响，则多部门的l e 0 觚e f 动态投入产出模型为 最x ( 七+ 1 ) = ( ，一彳) 工( j | ) + 戤( 七一，) 一形( j | ) 一d ( 七) 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 其中工( 尼) 彤为七时刻刀个部门的产量，彳，口尺删“分别表示消耗系数矩阵和投资系数矩 阵；形( 后) + d ( 尼) 为k 时刻最终产量，其中形( 尼) 表示市场波动对消费的影响，d ( 七) 表示 计划中的消费量；，是正整数。 这是一个典型的离散时滞广义系统。 另一方面，在实际控制问题中，为了有效地进行控制系统的设计，往往会用一个相 对简单的模型来描述一个复杂的动态系统。而模型的简化常常会导致系统不确定性的产 生。此外，在建模误差、对系统某些特性或环节缺乏足够的了解、环境的变化和某些物 理参数的漂移等因素的作用下，系统的不确定性也是客观存在的，因此，基于精确模型 所取得的结果在实际应用中会不尽人意。所以为了使时滞广义系统理论能在实际应用中 发挥更有效的作用，同时也使时滞广义系统理论得到进一步的发展，很有必要对不确定 时滞广义系统的鲁棒控制理论进行深入地研究。事实上，这已成为当前系统控制理论研 究的一个热点。 1 2 时滞广义系统的研究现状及存在的问题 在时滞系统的研究中，可按照不同的需要对所研究的时滞系统进行划分。根据系统 中所含时滞的个数，可分为单时滞系统和多时滞系统；根据时滞是否与时间有关，可分 为常时滞系统和变时滞系统；根据系统中函数的性质，可以分为线性时滞系统和非线性 时滞系统；根据时滞的表现形式，可以把时滞系统分为离散时滞系统和分布时滞系统等。 由于时滞广义系统既是广义系统又含有时滞，故对这类系统的分析与综合比时滞正常状 态空间系统要复杂和困难得多。我们既不能仅从时滞系统的观点进行考虑，也不能仅从 广义系统的观点进行考虑，而应该从两类系统相结合的角度进行研究和分析。目前，关 于时滞广义系统的研究结果并不是很多。 早在1 9 8 0 年，c 锄p b e l l 【2 9 1 在初始函数无穷次可微的条件下，给出了线性定常时滞 广义系统存在无穷次可微解的充分条件，但这一条件太强。后来，刘永清等3 明及蒋威删 分别在其专著中利用不同的方法讨论过这一问题。徐胜元等在文献 3 2 】中指出：对线性 时滞广义系统 臌( f ) = 血( f ) + 4 ( 卜f ) ，0 、 工( f ) = o ) ，f 卜f ，o 】 若( f ) 为连续向量初始值函数且矩阵对( e ，4 ) 正则、无脉冲，则系统( 1 2 ) 在 0 ，叫上 存在唯一解且解不含脉冲。这一结果的提出，将时滞广义系统解的存在唯一性与矩阵对 ( e ，彳) 的正则无脉冲性联系在了一起。在文献 3 0 】中，刘永清将传统意义下的l y a p 咖o v 3 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 稳定性定义推广到了时滞广义系统，给出了系统关于解的向量函数稳定及渐近稳定的定 义。在此基础上，解决了线性定常时滞广义系统在几种特殊情形下的稳定性问题。文献 【3 3 以矩阵谱半径的形式给出了含有小时滞的广义系统鲁棒稳定的充要条件，文献【3 4 】 则研究了时滞广义系统的特征值与稳定性的关系。文献【3 5 】和 3 6 】讨论了时滞广义系统 的以控制问题，但其中关于时滞无关型稳定性结果的证明仍需完善。 2 0 0 2 年，徐胜元等【3 2 】冯俊娥等【3 7 1 各自独立的推导出了时滞广义系统正则、无脉冲且渐 近稳定的时滞无关型充分性条件，满足该条件时，则时滞广义系统( 1 2 ) 正则、无脉冲 且零解渐近稳定。这一条件以受限等价形式给出，在数值计算上是稳定的。基于此条件， 状态反馈鲁棒镇定问题【3 2 1 ，基于观测器的动态输出反馈控制器与补偿器设计问趔3 8 1 ，及 保性能控制问题【3 。7 ”1 分别得以研究。但上述结果均是时滞无关型的，这具有较大的保 守性，特别是在滞后较小的情形。在工程实际中，一般可得到关于滞后的值的范围信息， 这启发我们去研究较少保守性的时滞相关型判据。目前关于时滞广义系统的时滞相关型 稳定性判据的文章还很少。文献 4 0 】从频域的角度讨论了时滞扰动对广义系统稳定性的 影响，并指出时滞广义系统稳定性的研究较正常系统要复杂得多。文献 3 2 】对时滞无关 稳定条件进行了讨论，但其中关于时滞无关型稳定性结果的证明仍需完善。文献 4 1 】讨 论了小时滞对广义系统稳定性的影响，获得了时滞相关稳定条件，( 该条件具有较大的 保守性) ，并推出了时滞广义系统的一个新的时滞相关型稳定性判据，并且指出，当s = o 时，此判据可保证时滞广义系统的渐近稳定性。文献 4 3 】对于时滞广义系统的一个等价 模型，利用i 羽p l m o v 第二方法，以l m i s 的形式给出了系统的稳定性条件，但仅就一类 特殊的分布滞后情形给出了时滞相关型稳定性条件。文献 4 4 通过将系统分解成快慢两 个子系统并利用l ，m i s 技巧，得到了一类时滞广义系统的时滞相关型稳定性条件及状态 反馈镇定控制器的设计方法。文献【4 5 】将广义时滞系统转化为一个带约束条件的中立型 系统，然后利用i ，y a p l l n o v 第二方法，获得了基于l m i 的时滞相关稳定充分条件。 目 时延项 有关有 至可以 1 3 在 面又要 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 应地，在研究不确定广义系统的鲁棒镇定问题时，也是不仅要考虑闭环系统的鲁棒稳定 性，还要考虑其正则性及无脉冲性。所以，对不确定广义系统来说，其鲁棒稳定性分析 及鲁棒镇定都要比正常系统复杂得多。 文【4 6 】首次对广义系统的鲁棒稳定性及镇定问题进行了研究，该文指出，广义系统 的鲁棒稳定性分析及鲁棒镇定问题是相当复杂的。它考虑了当摄动矩阵中各个元的摄动 界是可以得到时( 结构扰动) ，广义系统的鲁棒稳定性及鲁棒镇定问题。利用模矩阵的 性质，得到了使连续不确定广义系统鲁棒稳定的摄动的最大上界。文 4 7 】利用最大模原 理及模矩阵的性质改进了上文的结果。对于离散广义系统，文 4 8 】利用类似的分析工具 得到了相应的结论，并在此基础上进一步提出了鲁棒镇定控制器的设计算法。可以说， 用模矩阵的性质来解决广义系统的鲁棒稳定性问题是成功的。事实上，早在1 9 9 0 年， c h o u 【4 9 】就利用模矩阵的性质讨论了正常系统在结构摄动下的鲁棒稳定性问题，而文【4 6 】 与【4 8 】则是将文 4 9 】的结果推广到了广义系统。利用类似的思路，文 5 0 】将正常系统鲁棒 控制中使用极为广泛的结构奇异值理论( 或称为理论) 应用于区间广义系统的鲁棒稳 定性分析中，利用线形分式变换( l f t s ) 将鲁棒稳定性问题转化为具有实结构不确定性 的分析问题，从而得到了该类系统正则、无脉冲且鲁棒稳定的充要条件；分析表明， 所提出的方法对连续与离散区间广义系统的鲁棒稳定性分析都是行之有效的。而文【5 l 】 则考虑了所谓具有单向扰动的广义系统的鲁棒稳定性问题，在假设标称广义系统正则、 无脉冲且稳定的情形下，将所考虑的问题转化为一个鲁棒矩阵秩问题，从而通过一些简 单的计算得到了使广义系统鲁棒稳定的单向摄动的精确界，此结果也可认为是正常系统 情形文【5 2 】所得结果向广义系统的自然推广。文 5 3 】对于不确定项满足广义匹配条件的 广义系统，得到了闭环系统容许的充要条件。文 5 4 】针对具有结构不确定性的离散广义 系统，得到了鲁棒稳定的充分条件，并进一步得到了所考虑系统具有鲁棒极点集的条件。 张庆灵【5 5 】利用频域根轨迹方法和代数方法，考虑了不带输入项的结构不确定广义系统， 得到了一些不确定广义系统鲁棒稳定的简明结果。 当摄动矩阵中各个元的摄动界是不能得到的，而摄动矩阵的范数界是可以得到( 非 结构扰动) 的情况下，广义系统的鲁棒稳定也取得了一定进展。事实上，早在1 9 9 0 年， 王朝珠等【5 6 】就对具有上述结构摄动的一类联系广义系统，利用状态反馈进行了鲁棒控制 器的设计，由于设计过程涉及到系统矩阵的分解，而且步骤较多，故设计过程较为繁琐。 文 5 7 】也研究了不确定广义系统的脉冲鲁棒控制，并运用代数方法研究了一类不确定广 义系统的状态反馈式稳定鲁棒控制，后来文【5 8 】又用i 归p 1 1 n o v 稳定性理论和矩阵范数性 质，在不同的情况下，给出了广义系统的状态反馈式稳定鲁棒控制和动态补偿式稳定鲁 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 棒控制，而且提出了在多个稳定鲁棒控制器中寻找具有最大的不确定量范数界的控制器 方案。类似地，文 5 9 】得到了使系统不稳定的摄动的最小范数界。 对正常系统来说，利用l y 印u i l o v 函数并基于m c c a t i 方程给出鲁棒稳定及鲁棒镇定 的条件是相当普遍的。具体地说，1 9 8 5 年，b a n = i l i s h 【删在讨论正常系统的鲁棒稳定性时 利用i ，y a 讲m o v 理论，提出了“二次稳定 的概念，其实质是构造一个l y 印u n o v 函数y ( j ) ， 沿着系统讨论矿( x ) 吨1 2 位 o ) 的可能性。而在讨论鲁棒镇定时，其思想是借助于“二 次稳定 的概念，所以文献中大量地利用所谓的“二次可镇定的概念。 对于连续广义系统，在不确定性是时不变的情况下，虽然文 6 l 】也提出了“二次稳 定”的概念，并基于此提出了“二次可镇定”的概念，但该概念首先假设所考虑的不确 定广义系统正则且无脉冲，从而限制了其适用范围，而且，该文也仅得到了广义二次稳 定的充分条件。文 6 2 】利用同样的概念，通过砌c c a t i 不等式讨论了当导数项的系数矩阵 也存在扰动时的广义不确定系统可二次镇定地充分条件。文 6 3 】同样是针对连续情形的 不确定广义系统，利用二次稳定的概念研究了鲁棒镇定问题。对于离散情形，文 6 4 】在 一些假设条件下，得到了广义二次镇定地充分条件。文 6 5 】通过代数融c c a t i 不等式，得 到了二次稳定的充分条件。徐胜元，杨成梧【6 6 】【碉系统深入地研究了此类问题( 连续或 离散) ，得到了大量的用线性矩阵不等式表示的二次稳定的充分或充要条件；文 6 9 】在此 基础上，利用线性矩阵不等式得到了不确定性满足广义匹配条件的广义系统的鲁棒镇定 地充分条件。 综上所述，广义系统的鲁棒稳定性及鲁棒镇定问题已取得了一定的研究成果，但还 有很多问题需要进一步研究、完善与深化；而正常系统鲁棒控制理论丰富的研究成果， 为广义系统鲁棒控制理论的进一步研究提供了可行的思路与研究手段，同时广义系统鲁 棒控制理论的不断发展也为广义大系统的理论发展奠定了基础。 1 4 本文的主要工作 本文结合广义系统理论、鲁棒控制理论，采用蚴p u n o v 方法，l m i 等技术深入地 研究了时滞广义系统的稳定性及相关控制问题。主要工作如下： 第一章：介绍了广义系统的背景、理论发展和研究现状。 第二章：介绍了广义系统的一些基础知识，以及后面研究工作用到的定义、定理及 引理。 第三章：针对多时滞广义系统研究了其容许性问题。通过构造新的l y a p u i l o v 泛函， 首先给出了全新的多时滞广义系统的稳定性判据，之后，在此基础上得到了时滞相关状 态反馈镇定控制器的设计方法。 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 第四章：通过利用l y a p u l l o v - l 【r a s o v s k i i 方法和增广模型变换方法，首次得到快变时 滞广义系统的导数比例反馈镇定方法；针对含有范数有界的不确定性的有界快变时滞广 义系统，得到其导数比例反馈鲁棒镇定方法。 第五章：对全文的工作做了总结，同时也对进一步的研究工作进行了展望。 7 - 东北大学硕士学位论文第2 章预备知识及引理 第2 章预备知识及引理 2 1 广义系统的基础知识 一般地，实际的连续广义系统的状态空间描述如下： 删戈o ) = 九z m m 】 ( 2 1 ) y o ) = g 石o ) ，“o ) ，f 】 其中，f o 为时间变量，x ( f ) 掣，“( f ) 尺”和y ( f ) f 分别为状态变量、输入变量和 输出变量；厂( ) ，g ( 宰) 分别为以维和历维向量函数；e ( f ) r 似“为奇异矩阵。 特别地，对于连续时间的线性时不变广义系统，其状态空间描述一般表示为 刚荆= 出( ) + 曰“( f ) ( 2 2 ) y ( f ) = ( f ) + d “( f ) 其中，e ，4 r ，召r ”椭，c 尺& 4 ，d 尺投肘皆为定常矩阵；e 为奇异矩阵，e 的 秩满足= g o ，存在6 ( 7 ) o ，使得对于满足s u p 愀f ) 0 6 ( 丁) 的任意相 一d s f 0 容初始条件口( f ) ，系统( 2 3 ) 的解工( f ) 满足i i 石( f ) 0 丁o o ) ，且工( f ) 一oo _ + o 。) ， 则称系统( 2 3 ) 是稳定的。 东北大学硕士学位论文第2 章预备知识及引理 2 2 线性矩阵不等式( l ) 在线性矩阵不等式使用之前，许多控制问题是用黜c c a t i 方程或不等式方法来解决， 而鼬c c a t i 方程或不等式的求解带有一定的保守性。解黜c c a t i 方程或黜c c a t i 不等式时， 有大量的参数和正定对称矩阵需要预先调整。而线性矩阵不等式方法给出了问题可解的 一个凸约束条件，因此，可以应用求解凸优化问题的有效方法来进行求解，不需要预先 调整任何参数和正定对称矩阵，大大降低了问题可解的保守性和方便性。同时这种凸约 束条件的任意一个可行解都是满足设计要求的控制器，这一性能在求解系统的多目标控 制问题时是特别有用的。 脚工具箱可以处理具有以下一般形式的线性矩阵不等式： r 三( 五，以) 肘r 尺( 五，以) m ( 2 4 ) 式中，五，以是具有一定结构的矩阵变量，左、右外因子和膨是具有相同维数的 给定矩阵，左、右内因子( ) 和尺( ) 是具有相同分块结构的对称块矩阵。那么确定这个 线性矩阵不等式的命令有l “v a r 和l m i t e n i l ，返回到这个线性矩阵不等式系统的命令用 g e t l i i l i s ，内部表示命令l m i s y s 也成为是储存在机器内部的线性矩阵不等式系统的名称。 而1 1 1 1 i v a r 用来定义矩阵变量五，x k ，l i i l i t 锄则描述了每一个线性矩阵不等式中各项 的内容。命令的具体解释可参考文献 7 0 】或者在m a t l a b 软件的编辑器中直接键入 h e l p + 命令再回车即可。 l m i 工具箱提供了用于求解如下3 个标准问题的线性矩阵不等式求解器： ( 1 ) 可行性问题( l m i p ) ，对应的求解器函数f e a s p ( ) 的一般表达式如下： p m i n ，咖s 】_ 乃唧( 砌站筘，印加凇，f a r g e f ) ， ( 2 5 ) 求解器f i e a s p ( ) 是通过求解如下的一个辅助凸优化问题 m i i l f s j 么( x ) 一曰( x ) ， ( 2 6 ) 来求解线性矩阵不等式系统l m i s y s 的可行性问题； ( 2 ) 特征值问题( e c p ) ，对应的求解器函数i 血c x ( ) 的一般表达式如下： c 叩f ，聊f 】= m i n 甜( 砌如筘，c ，叩砌瑚，妫2 订，f a 唱甜) ( 2 7 ) 求解器i i l i i l c x ( ) 求解的优化问题如下： m m c 工 s j ，( 功 0 ( 2 8 ) 这是一个具有线性矩阵不等式约束的线性目标函数的最小化优化问题； ( 3 ) 广义特征值问题( g e v p ) ，对应的求解器函数g e v p 的一般表达式如下： 东北大学硕士学位论文第2 章预备知识及引理 鲫7 f ，】- g g 甲( 砌如筘，刀蜘，印巧d 凇，砌豇，砌戤f a 唱p f ) ( 2 9 ) 对于给定的两个相同阶数的对称矩阵g ( x ) 、f ( 功和标量入，如果存在非零向量y ，使得 g 少= 坳，则a 称为是矩阵g 和f 的广义特征值。求解器g e v p ( ) 给出了优化问题 m i i l 入 s j g 一入f 0 ( 3 o ) 的全局最小值却f 和决策向量工的最优解泖f 。 控制系统中的一些性能指标、稳定性判据可以转化为肌口的以上三类标准问题，其 原因是：一方面l y a p m l o v 方法易得到凸的或拟凸的条件；另一方面m 打本身能表示范 围广泛的不同类凸约束。 2 3 几个引理 定义2 3 i 硐考虑一个对称矩阵s r ，并将s 进行分块， s = 陵窆 其中墨。是，维的，假定墨。非奇异，则是：一甄1 s ：为墨。在s 中的s c h u r 补。 引理2 1 1 2 6 1 对给定的刀维对称矩阵s = 陵卦耻，以下三个条件等价： ( 1 )s 0 。 ( 2 ) 墨l o ，一靠1 s 2 o ； ( 3 ) o ，墨l 一墨2 剐 o 。 以上的等价关系说明了应用矩阵的s c h _ u r 补性质，一些非线性矩阵不等式可以转化 成线性矩阵不等式，从而可以利用现有的软件m a t l a b 中的l m i 工具箱直接对问题求解。 引理2 2l 硐广义系统( 2 2 ) 是容许的，当且仅当存在矩阵p r 脚满足下列不等 式 e r p = ，e 0 彳r p + p r 彳 o 引理2 3 吲给定适当维数的矩阵e ，r ，三，其中e 为对称矩阵( e = e7 ) 则 e + 职p ) 三+ 三7 ，r p ) r r 0 满足 e + r r r + 一1 三r 三 0 使得 眵( f ) l qf 【o ，o 。】进而妒在 o ，o 。】上一致连续。 引理2 6 【3 2 1 ( b a 小a l a t si ，锄加a ) 对于函数妒：r + 叶尺，如果妒一致连续且 上”妒( s ) 凼 o o 则熙妒( f ) = o 。 东北大学硕士学位论文第3 章多时滞广义系统的稳定与镇定 第3 章多时滞广义系统的稳定与镇定 二十世纪七十年代以来，广义系统在经济、电力、机器人等领域的广泛应用，引起 了国内外学者的关注，有关广义系统的理论也日趋完善；关于时滞广义系统的研究已经 取得了一定的进展，但多数成果都集中在离散时滞广义系统上。针对连续时滞广义系统 的成果并不是很多，针对带有多时滞的连续广义系统的成果更是少之又少。 另一方面，稳定是控制系统能够正常运行的前提，稳定性是表征系统运动行为的一 类重要结构特征。按照系统设计的不同要求，系统稳定性可分类为基于输入输出描述的 外部稳定性和基于状态空间描述的内部稳定性。而对于线性时不变正常系统，内部稳定 性即为渐近稳定性，渐近稳定性是稳定性理论中最具重要性和普遍性的研究问题。广义 系统的稳定性理论较正常系统更为复杂。由于广义系统的解不仅包含如正常系统的指数 解，而且还含有脉冲解，后者经常会破坏系统的正常运行。因此，广义系统的内部稳定 性已不只是通常意义下的渐近稳定性，还要求保证无脉冲性，这种稳定性称为容许性。 本章便是针对带有多时滞的连续广义系统研究其容许性问题。大体结构如下：首先 给出了使系统为容许的时滞相关的充分条件，其次，在此基础上给出了使相应闭环系统 为容许的控制器的求法，最后给出两个数值算例，证明了此法的有效性。 3 1 问题描述 考虑如下描述的时滞广义系统： 戤( f ) = 血( f ) + 善如x ( f 一岛( f ) ) + b “( f ) ( 3 1 ) 工( f ) = 矽( f ) ，f 【一 ，o 】 其中x ( f ) 尺“是系统状态，“( f ) r 肿是系统控制输入。e r 脚是奇异矩阵且 朋础( d = ， o 为系统的状态时滞， = 麟 哆( f ) ) ，( f ) 为满足容许初始条件的连续向量函数。 时滞广义系统( 3 1 ) 的自治系统可以写成如下形式： 戤( f ) = 血( f ) + 九石( ，一鸟( f ) ) ( 3 2 ) f i l 本文目的：针对o 岛o ) o ( 3 4 b ) l - plj t ，( 如一e ) ，( 厶一e ) j i l 夏巧 一( 1 4 ) q o 曩兹石铝蜀 ；。 ； i； 一( 1 一九) q 啊磊五4 巧 也石 o i! ； ：。 ! - 。 一瓦 o ，所以忍：磊：元笠一磊笼 o ， 于是我们得到 ( 3 7 ) ( 3 8 ) ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 )o 恐一q谚 一 0 一 致 一如 一如厶叶 闽 控刁 + 控一如五 耐 控刁 东北大学硕士学位论文第3 章多时滞广义