（计算数学专业论文）矩阵分解在矩阵扰动理论中的运用.pdf

摘要 矩阵分解在矩阵理论中有着极其重要的作用，尤其在矩阵的扰动理论研究中。 本文的主要工具是矩阵的奇异值( s v d ) 分解和( 广义) c s 分解。利用这两个强有力的 工具，本文主要讨论了如下问题： i ) 矩阵“义极分解的扰动等式：利用奇异值分解，本文分别讨论了加法扰动 和乘法扰动下矩阵广义极分解在任意酉不变范数下的扰动界，并首次以恒等式的形 式给出了酉极因子和半正定因子的扰动界。 2 ) - 一类新的酉不变度量：本文推广了文 2 2 中的结论，定义了类新的酉不变度 量。并利用( “义) c - s 分解，给出了这类新的酉不变度量的上下界。由此，得到两个特 殊的酉不变度量的恒等表达式。 3 ) 标准予空间的扰动分析：本文给出了矩阵的酉分解中酉因子的最小扰动界。 并在此基础上，重新讨论了文( 3 0 】中标准子空间的扰动界，对 3 0 中的结论作了进一 步的改进。 4 ) 两个新的证明；利朋( 广义) c - s 分解，对孙继广在矩阵扰动分析中的两 个定理给出了新的证明，简化了以前的证明方法。 关键词：奇异值分解，( 广义) c s 分解，广义极分解，酉不变范数，酉不变度量。 a b s t r a c t t h em a t r i xd e c o m p o s i t i o np l a y sv e r yi m p o r t a n tr o l ei nm a t r i xt h e o r y ，e s p e c i a l l yi n t h es t u d yo fp e r t u r b a t i o na n a l y s i so fm a t r i c e s t h em a i nt o o li nt h i sp a p e ri ss i n g u l a r v a h l ed e c o m p o s i t i o na n d ( g e n e r a l i z e d ) c sd e c o m p o s i t i o n b ya p p l y i n gt h e s et w ot o o l s ，w e m a i n l yd i s c u s st h ep r o b l e m sa sf o l l o w s ： 1 ) p e r t u r b a t i o n i d e n t i t i e sf o rt h eg e n e r a l i z e dp o l a rd e c o n l p o s i t i o n ：b ya p p l y i n gs i n - g u l a rv a l u ed e c o m p o s i t i o n ，w es t u d yt h ep e r t u r b a t i o nb o u n d so ft h eg e n e r a l i z e dp o l a r d e c o m p o s i t i o nu n d e ru n i t a r yi n v a r i a n tn o r m sw h e na i sp e r t u r b e db ya d d i t i o no rn m l t i p l i c a t , i o n ，r e s p e c t i v e l ym i dg i v eo i l yb o u n d s i ni d e n t i t i e s 2 1ac l a s so fn e wu n i t a r yi n v a r i a n tm e t r i c s ：t h i sp a p e rg e n e r a l i z e dac l a s so fn e w u n i t a r i l yi n v a r i a n tm e t r i c sa n dg i v et h eu p p e r b o u n d sa n dl o w e r b o u n d sb y ( g e n e r a l i z e d ) c - sd e c o m p o s i t i o n b a s e do nt h a t ，t w op a i 。t i c u l a ri n d e n t i t i e so fu n i t a r i l yi n v a r i a n t m e t r i c sa r eo b t a i n e d 3 ) p e r t u r b a t i o na n a l y s i s o ft h ec a n o n i c a ls u b s p a c e s ：t h i sp a p e rg i v e st h el e a s t p e r t u r b a t i o nb o u n d o ft h eu n i t a r yf a c t o ro nt h eu n i t a r yd e c o m p o s i t i o nb a s i n go nt h a t ， w ed i s c u s st h ep e r t u r b a t i o nb o u n d so ft h ec a n o n i c a ls u b s p a c e s ) w h i c hi m p r o v et h er e s u l t s i n 3 0 卜 4 ) t w o n e wp r o o f ：b ya p p l y i n g ( g e n e r a l i z e d ) c - sd e c o m p o s i t i o n ，w ep r o v et w o t h e o r e m so fs u n si n 3 8 】，w h i d li m p r o v e sh i sp r o o f k e yw o r d s ：s i n g u l a r v a l u ed e c o m p o s i t i o n ，( g e n e r a l i z e d ) c - sd e c o m p o s i t i o n ，u n i t a r i l y i n v a r i a n tn o r m s lu n i t a r yi n v a r i a a tm e t r i c s 选奎握硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位备注 揍孵雅兹脒t上涵趟懈 主席 薛挥工赦拯复旦则懈 租j 雷咕缴挺肇乐怍勘蟪确 陈果殷赦授鳜删裟磁翱 - i 。 詹关识教援缘恫戡黝 黄瑛删辛乐堍酵蛹：私弗 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发 表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中 作了明确说明并表示谢意。 作者签名：越日期：墨丝：垒2 l 学位论文使用授权声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留 学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权将学 位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有权将学 位论文的内容编入有关数据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出 版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 学位论文作者签名：黼 日期；丛：2 7 导师签名：囊花 日期：碰量生 第一章引言 对任。复矩阵a c ? ( n z n ) ，存在半正定矩阵日和次酉矩阵q ，满足 a = q h 这个分解我们称为矩阵a 的f 一义极分解，q 称为次酉极因子通常，当 ( 12 )r = r a n k ( a ) = n ( 11 ) 称为极分解，q 称为酉极因子。( 11 ) 的分解可以通过奇异值分解来给出。 月= u ( 乏1 ：) y 4 = 仉e ，w ， 则 ( 13 ) h = v 1 e 1 ，( 7 = u l k + 其中，= ( u i ，u 2 ) c r e “m , v = ( m ，) ”是酉阵，巩舅1 ”，k 印”，l = d i a g ( a t o i ) 满足口1 o - 2 口， o 对于任意a c ? “，存在一个唯一的极分解， 但是对任意a c “，矩阵的广义极分解是不唯一的。 矩阵的极分解和广义极分解的扰动界，国内外许多专家、学者已作过研究。值得 注意的足矩阵的次酉极因子的扰动界和该矩阵的奇异值、矩阵的秩及维数密切相 关。 1 9 8 9 年r 孙继广、陈春晖 1 3 1 曾得到下列结果： 设a c 。”和a c ，。”，且 a = q h ，a = q h ， 其中e = a a 则 ( 14 ) i i q 一国l | f 五；彳丽2 0 e | | f ，l i 膏一0 f 以i i e l l f a 。，i = 1 ，2 ，r 是指 的奇异值满足5 l 5 2 茸 0 第一章引言 1 9 9 3 年，李仁仓 9 】得到下列结论： ( 1 - 5 )f i q q i j f m i n s r , o r i i e i i f 结论( 1 5 ) 虽比( 14 ) 有所改进但是，对于一些大规模的计算问题m i n j - ，听) 可能会很小 对于酉极因子的扰动界( 当r = n ) ，b a r r l u n d 1 ，b h a t i a 3 ，b h a t i a ： 1 1 m u k h e r j e a 4 ， c h a t e l i n 和g r a t t o n 5 ，m a t h i a s 1 1 ，f l o 】都曾作过研究。 对于特殊情形，m = n = r 和i l e i k d 。时，m a t h i a s 1 1 得到如下结果： ( 1 6 ) l l q - 训一勰l o g ( 1 一i i e 1 1 2 ) 其中| | 指酉不变范数，”i l 。指谱范数。而针对上述满秩情形，李仁仓在文 i o l e e 给 出如下扰动界： ( 1 7 ) l q q l 瓦_ 瓦| | e i i 界( 1 7 ) 要比( 16 ) 来得精确。然而它只有在特殊条件r = m = n 时才得到。当r = n 。，r m i n t m ，n ， 则对于c m “上的任一酉不变范数n 有 l i a i i = | | e 叭 特别地，如果a c “”的非零奇异值为口l ，o 2 ，听，则 a j 1 2 = m a x 以i i a i i f = 可见，酉不变范数必是奇异值的函数。 定义2 2 一个定义在瓞“上的实值函数妒叫做对称规度函数( s y m m e t r i cg a u g e f u n c - 5 第二章预备知识 t i o n ，以下简称为s g 函数) ，如果它满足下列条件： i ) x 0 号( z ) 0 z ) 咖( p z ) = 1 p 1 咖( z )k p r i i i ) 咖( z + y ) $ ( z ) + 咖( ) i v ) ( j z 。) = 毋( z ) v ) 垂( e 1 ) = 1 其中z 与是任意的实n 维列向量。”是1 ，n 的任一排列，j 是对角线元素为1 或一l 的 对角阵，c l - ( 1 ，u ，o ) 引理2 3 设妒( z ) 是黔上的s g 函数户= ( 1 ，矗) t 则对于osp 。1 有 咖( p l h ，。) 咖( 一 ，矗) 引理2 4 设咖( z ) 是r ”上的s g 函数，x = ( h 一，矗) 7 ，则 。m 、a xi f , 1 州s 阱 t 2 l 引理2 , 5s g 函数是舯上的连续函数 定理26( v o n n e u m a n n ) 设咖是r “上的s g 函数，则咖( a ) 是c “”上的酉不变范数反 之，对于c “上的每一个酉不变范数，必存在靴上的s g 函数妒，使得i i a i l = 毋( 一) ，v a c m 。“ 根据定理2 6 ，我们还可得到酉不变范数具有一些重要性质 定理2 7 设a ，b c “，它们的奇异值分别为口1 靠o 和7 1 0 如 果吼t ，i = 1 ，n ，则对c “上的任一酉不变范数”扎必有i i a i l l i 口m 对于任一aec m 。- , 如果口( a ) = 以 满足0 1 ，o ，。o ，则由j i a i i k = 口1 + + o - k ，k = 1 ，n ，v a c “所定义的”) 是c “上的酉不变范数。通常把”) 叫 做c ”“上的特殊的酉不变范数。显然有 i i a i i ( 1 1 = i i a i l 2 ，v a c “ 下面的定理说明了特殊的酉不变范数的重要意义。 定理2 8 设a ，b c “，贝j i i a i j i b i i 对于c “上所有的酉不变范数均成立的 必要与充分条件是对于每个特殊的酉不变范数”】，均有 l i a i l ( k ) i i b i i ( k ) ，k = 1 ，一，n 6 第二章预备知识 2 2 矩阵分解 矩阵分解在矩阵理论中有着极其重要的作用，尤其是在矩阵的扰动理论研究中下 面介绍本文所用到的两个矩阵分解：奇异值分解和( 广义) e s 分解 1 奇异值分解 定理2 9 设a c ”，则存在酉阵u 。与矿阮，使得 ( 2 1 ) u ”a v = 其中1 = d i a g ( g t ，( r r ) ，j l 若设u = ( u 1 ，u 2 ) ，v = ( u ，) ，其中u ，分别是c ，v 的前r 列a 有u y u = ，v ，u = 则( 2 1 ) 可进一步写成 ( 2 2 )a = u i e l 印 2 ( 广义) c - s 分解 定理2l o 2 3 1 如果 ( 2 3 ) 是n ( 2 4 ) ( 2 5 ) n 酉矩阵的任意2 ( 掣掣) ( 2驯兄凡) ，r 2 使得 = ( 乏 7 o & 0 r ，一 口 一 2 r 岛、rc ；斛 n 酉 q q 在 ，一存 | f 赃 q 射分 o t ( 盘一，i + 盯 b 2 一 s l t 0 h f 】( c l - on j 0 ( r 2 一c 1 + t ) x 2 一r ：1 + 一一q 一 l jo ( c l 一! ) ( r 1 一 ) 第二章预备知识 其中 ( 26 ) c = d i a g ( ，1 8 ) ，1 7 l 仉 0 s = d i a g ( ，一，如) ，0 盯l - 以 0 。若令 ( 3 2 )q = u ，铲，h = 1 叩， n a = q h 被称为月的广义极分解。般来说，a 的广义极分解不唯一。 第j 章矩阵j - 义极分解的扰动界 ( 3 3 ) 定理3 2 设a c ，“则在 j r ( 0 ”) = n ( h ) 的限制下，a 的广义极因子q ，h 唯一确定，并由( 32 ) 给出。 证明设 的奇异值分解如( 31 ) 式给出对v psk 茎m i n m ，n ) 记 上，t = ( ：f ：) t ：k 巩= u h - ，u k 】c m ，v k = 【u h - ，v k c 州 n ( 3 1 ) 可写成 1 已 1 q k = = u k d k 彬 = ( u d * 蟛) ( 魄v ) = ( u k 昭) ( y k d k 馏) u “0 ，h k = v k d k v 0 。 n a = 仉巩也是a 的广义极分解，吼足次酉矩阵，风是半正定矩阵 由于仇还可写成 h k = v d k 咿+ l 妲1 这表明，若r o 定义 ( 3 5 )亩= 口。e 8 ，疗= 访妻- 译 则五= 国疗是a 的j “义极分解， 引理3 1 假设a ，a = a4 - e 印一，a 和i 的奇异值分解分别如( 31 ) 和( 3 4 ) 则 ( 36 )口l 竞1 1 西”一u 1 e 1 ”= e 且 ( 3 了) ( 38 ) 囊。e k o # u l 1 = d j f = r e m ， e ”h e l 一壹l o ? u 1 = 一e “e “u 1 妻，印k = d ，e k 昭7 0 ，壹- = 婵e 访 译e 1 = 一铲e h u l 西u i e l = 一凹e k 1 2 第一章矩阵义极分解的扰动界 。、l l 国一q l l = i i ( 。f 。e v e i - 娄e h 。f 8 u 。妻i 1 譬e k ) l l 。9 1 刮磊p 旧1 ( 3 1 0 ) 即 8 q q ，| 从( 37 ) ，我们得到 = i i o ”( 0 1e h 一阢u ”) v l i = ”( 印警仉誓k ) ” = i i u “( d 。e ”一u - v f ) 矿0 f ，哗阢一印西一印托 刮l i u f o 。o 豆。( e ”一口p u ) + ( 玩”一d ，“) e = 口f e 一e ”日”u l 厅；( e h 一d 1 7 u ) 叼+ ( e h u 一口f u - ) 蚶o = ( d f e 一记h e u - ) u 所以有下列等式 ( 铲u 一卵仉) 玎= 壶( 卵e u 一印e ”吣， 1 3 第j 章矩阵j 。义极分解的扰动界 这样就得到 ( 3 1 1 )e ”u 一口p 矿l = k ( o f e v , 一e h e ”u i ) 从( 3 8 ) 我们可得到 ( 3 1 2 )e ”k = 妻i 1 卵e k ，一呼e ，l = 噔e i 1 似旧划i ：一t ( + ( o 。鬻f e v - f z e 踟h u l ) ， ( 31 4 ) i i 国一q | | ：= i i l l k k 。* + ( o ( u ”。e e v 矿- 一v y h h e e h u ) 1 1 0 ) 1 、7 = i l k ( u h e 矿一y h e h 1 4 第一章矩阵j 义极分解的扰动界 3 3 加法扰动下半正定因子的扰动界 本节我们将推出半正定因子在酉不变范数下的扰动等式。 定理34 假设a ，a c p n ，a = q h ，_ = 国直分别如( 3 1 ) 一( 3 2 ) 和( 34 ) 一( 35 ) 坝0 l l f z - h i i 刮( 聃岛疗篙岫1 ) 其中k = ( 。，) ，。， 证明因为 所以 ( 3 1 6 ) k o = 丽i h = 1 u “，青= 访宝1 e ” 疗一日 f = | | 矿”( 疗一h ) v 从等式( 37 ) ，我们可以推得 因此 ( 宝1 e 一v 译1 - f 4 。h l 童1 譬k ) 妻 印一印 = 妻，( 妻。e ”一r ”h - ) 十( 竞- e ”一v x ”- ) - = 妻。( 妻。印一卵仉e - ) 一( e ”- 一曼- 痧，巩) e 。 = 妻l 口，e + e 胃e 何u i e l ( 子；+ o ) ( 宝1 优h u t h e 1 ) u = ( 妻l o f e v , 十e e h u l 1 ) 玎 即 ( 3 1 7 )竞l 印一印l = k ( 叠1 0 $ e v l + 印e ”u l 1 ) 把( 3 8 ) 和( 3l r ) 联系起来，我们就推得等式( 31 5 ) 当a 和a 是满秩时，我们得到下列结果 推论3 4 假设a ，a 四。“a = q h ，_ = 国疗分别如( 3 1 ) 一( 3 2 ) , 1 1 ( 34 ) 一( 35 ) 则 ( 3 1 8 )i i 疗一h | | = i i k ( 妻。疗，e y 十矿e 片u i z l ) 1 5 、 日 0 h 一u 箜二童堑堕竖塑坌竖笪垫垫昼 一二1 6 3 4乘法扰动下矩阵广义极分解的扰动界 本节我们研究乘法扰动模式下广义极分解的扰动等式。 设 = d f ，a d 2 印，其中d l ，d 2 为非奇异方阵，即乘法扰动。 下面先给出一个引理： 引理32 假设一，a = d p a d 2 c 7 “，a 和a 的奇异值分解分别如( 31 ) 和( 34 ) 则 ( 3 1 9 ) 且 ( 32 0 ) 0 ，- 印= d f u l e - 妒d 。 卵昕”0 t 宝- = - 叩d 2 访 u ，( ，一d i - ”) 玩妻。= ( 哆玩妻 。印( ，一d z ) 吃= - 印吃 证明在( 31 9 ) 两边左乘d i “得 f 32 1 ) 妻。e “d i l = d f d f f 己，- - 0 t l d f ) u 1 e 、= 0 2 u , e 、 妻。印k = 意t 邗( ，一巧1 ) k d i 8 0 l 妻1 印= u 1 e l 印d 2 在( 32 1 ) 两边分别左乘叫有乘戗得( 32 0 ) 的第一式 在( 32 1 ) 两边分别左乘u ，右乘吃得 ( 3 2 2 )e l 衅d 2 诧= 0 ( 3 2 1 ) 两边分别左乘皑右乘吼得 ( 3 2 3 )皑所h 0 1 妻l = 0 由( 32 2 ) ( 3 2 3 ) g p 得( 32 0 ) 的第二、三式。 同理可证( 3 2 0 ) 的四、五、六式。 根据引理3 2 中的( 3 2 0 ) 式，可直接得到下面的推论。 推论3 5 假设a ， = d f | 4 d 2 c ，一，a 和a 的奇异值分解分别如( 3 ，1 ) 和( 34 ) 则 c 。以，言篇兰二篓黑三篇! 三篙桨。+ 幅o f ( 铲d r 。玩- 0 叫u l z 访, 第j 二章矩阵义极分解的扰动界 江zs，|亩一q“!：lz*m薷+lf*篆n：en一(i-：d，io；|二。，也)一 其中 一 三钷) 2 ( 焘) ， m = e “( ，一d i l ) h 一口，( ，一d f l ) u 1 证明m ( 3 ，2 4 ) 我们得到 ，垒、 、方t + 盯1 7 = e “( ，一d ，) 一卵( ，一d f ) u 宝，( e “一护，骗) + ( e ”一口，u 。) 一 = 宝l e ( ，一d i l ) k + 疗】h ( d f i ) u , e l 一意l 驴，( ，一d f l ) u l e 日( d ，一i ) v - e = 。【t h ( ，一d i l ) 一疗，( ，一d f l ) u 1 十f e h ( ，一d ，) 一d ，( ，一d h ) u 。】e 。 即 吼( v 一, - 一0 u 1 ) 订+ ( 铲m 丑 e ”( 一d i l ) h d f ( ，一 从而得到 也即 ( 3 2 6 ) ( e k o u , ) ”= 5 。生+ l a j l 一1 h x ，一d i l ) k 一疗，( ，一d f l ) u 】旬 + 百辛i 【印( ，一d ，) v 1 一d f = ( ，一d f ) u - 】；， e h 一d f u i = 三丰m + l 分别把( 32 6 ) ( 3 2 0 ) 代入( 3l o ) 日p 得( 3 2 5 ) ， 当r = n 即a ，a 是列满秩时，诧为空此时我们有下面的推论 1 7 o 仉 h ， d ph 一v u 日2 d一 。嵋 胁一 哪m d 第五章矩阵义极分解的扰动界 c。，|囝q“二：5：l。*+mz第+l!*苫n：i巍。，)ii c s 。咖刮( 瑚，厶眦。蟊讯一k ) 耻熹肌珊熹俐_ ，) + 蔫俐何1 ) 1 8 第一章矩阵j - 义极分解的扰动界 证明由( 32 0 ) 可得下列等式 壹 e ”一e ” = 妻- ( 妻，e “ 所以 从而 妻 即( ，一奶 印k 。) + ( 妻。印m 一铲v l z ，) 一 1 ) h + l d ，( d f d i l ) u l l + e 月( d ，一，) u 最( 宝1 玩”h 一玩“h 1 ) 。+ ( 意l 印m 一豇”v 1 e q j a j = 砰 e “( ，一d ；1 ) 1 。+ 氓【驴，( d f = r d i - 1 ) 叽 。o + 【印( d f 一，) 】。q 2 f 3 加1 ( 竞印u 一9 f v , - ) ”2 煮- 2 旧( ，一巧1 ) a + 南【印( d ， 、 + 善鲁【驴，( d h d i l ) 【，l 】u 结合( 3 1 6 ) ( 32 0 ) ( 33 0 ) 即得( 32 9 ) 式 类似地，当a ，a 为列满秩矩阵时，有下面的推论 推论38 假设 ，a = d r d 2 印。ha = q h ， = 国由分别如( 3 1 ) 一( 32 ) 和( 34 ) ( 3 5 ) 则 f 33 1 1h h l i = i i p 1 9 第四章一类新的酉不变度量 4 1酉不变度量的定义 复投影空间上的度量，在矩阵扰动分析中显得愈来愈重要( 参考 2 5 卜 2 8 】) 。国内 外许多学者曾月j 不同的办法在卯上引进度量。下面先列举几个常见的度量形式。 第，一个例子是陆启铿 2 9 】引进的度量。 对于卯中任意二点z 与w ，令 ( 4 1 ) 目( z ，w ) f l i - c c o s 丽历i d e 荡t z h 丽w l 丽，。口； 和 ( 4 2 ) 幽e ( z ，w h l 一煮淼一 定理4i 2 9 1 由( 4 ，1 ) 和( 4 2 ) 式所定义的o ( z ，) 与s i n o ( z ，w ) ，都是g ；1 上的酉不变 度量。 第二个例子是p a i g e 2 2 1 i 进的度量。 对于卯上的任意二点z 与w ，蜀，啊如( 28 ) 式给出令 ( 4 3 ) 南( z , w ) 2 翻隅一瞰拈， 则有下面的定理： 定理4 2 由( 4 3 ) 式所定义的d p ( z ，) 是卯上的酉不变度量 为了今后使用上的方便，特地记 如( z ，w ) = | | s i n e ( z ，w ) 忆 ( 4 4 ) d l ( z ，w ) = s i n o ( z ，) ，其中z ，w 卵 d f ( z ，w ) = | | s i n o ( z ，) 怙， 本节在( 4 3 ) 的基础上，当取f 一范数为任意酉不变范数时，定义了类新的酉不变度 量 定义4 1 对于卵中任意二点z 与令 z i = z ( z “z ) ，w i = w ( w “w ) 一； 2 0 第四章一类新的酉不变度量 定义 ( 4 5 )d ( z ，w ) 2 c i n f i i z l 一q 下面我们将证明( 45 ) 式所定义的度量足酉不变度量 引理41 1 3 9 1 设a ，i 是n 阶方阵，则 1 ，7 1 , ) 2 1 其中仉( 一) 是a 的第i 大奇异值 引理4 2f 维酉矩阵集合是一个有界闭集 证明对v q m ，有 i q l l 2 = 1 由范数的等价性知，q 足有界的假设 q 。) 是 一个收敛矩阵列，且l i mq 。= q o ，下证q o 由极限的定义知v c o ，j 当n 时，有| | q 。一q o l i n 时， | | q o q 。一q g q o | | = f i o z ( q 。一o o ) 十( q 。h q g ) q o | | jp q h i l 2 1 i q 。一o o | | 十i i q 掌一q g l i q o l l2 2 1 1 q ，。一q o l l o ，存在d = 如果| | q l q 2 f 1 2 6 ，则根据奇异值扰动理 论 吼( z 一m q ) 一o i ( z l m q 2 ) l l w t q 2 一w x q l i l 2 = l l q 2 一q 1 1 1 2 七日 几 十a口 。 0 ， q 1 = - = q 。= 1 ， ( 5 4 )s = d i a g ( f l t + l ， ，岛十j ) ，0 c r c + 1 ( o ，( = 1 ，2 ) 对某一整数s ，0 s 2 q ( 2 = l ，2 ) ，则 ( 5 8 )i i u ，0 d l z 刮u 绷。等川垆矿旷i ii i v , k 1 1 。5 锣 其中 ( 5 9 ) 日= m 一删咿( g g ) 矿，。| i 。，i i 垆( g g ) 嵋| | 。，i i u7 ，( g g 7 ) 仉i i 。，1 1 0 ，? ( g o ) v 4j ：) 且对i = 1 ，2 ( 5 1 0 ) p ；、互6 。= m i n o - ( i 1 一以? 。，一“一a 耸，) = m a x m i n a 5 ”一一，一一a ，m i n o 5 i ”一一辨。，a ”一一黝) 注5 , 2 我们用条件6 z 2 q 来保证( 5 8 ) 式成立例如：若o 以= 2 e ，而l i u “：| | 2 = 1 ，i i q l u 2 i i2 = l 5 3 标准子空间的扰动分析 本节中，我们给出矩阵( a ，b ) 的标准子空间的扰动界首先，我们给出下列结论 定理52 3 4 ，3 7 】设a 腿“，b r m x lp = r a n k ( a ) ，q = r a n k ( b ) a ，b 的酉分解 为 ( 5 1 1 ) 其中u x u 为 f 5 1 2 1 a = u a r a ；b = u b r b ，v 譬u b = ，r a ，r b 分别是秩为nq 的行满秩矩阵设u 2 u b 的s v d 分解 g = u 2 = u e v 7 蔓互童壁堡：至窒塑塑垫垫坌堑一一2 9 其中e = d i a q ( c v ，o ，) ，满足1 = l = 值，= m i n p ，q ) 阢y 为酉阵，则oc ，( t = 1 = o 。 a 件l ，a ，o 为( ，：u b 的奇异 ，r ) 是( a ，b ) 的标准相关 ( 5 1 3 ) a x = u a u e t ，b y t2u b v e t 分别是( a ，b ) 对应于a f 的标准向量 在本节中戒们令 妒l = 4 h ；。( 妒( a ，a ) ，r ( b ) ) ，妒2 = 妒。m ( b ，b ) ，兄( a ) ) 其中妒( a ，a ) 是r ( a ) n r ( a ) 在兄( 4 ) + 兄( 4 ) 中的正交补，妒( b ，b 7 ) 足r ( 口) n r ( b 7 ) 在只( 日) + r ( b ) 中的正交补 下面我们给出标准子空间的扰动定理我们首先考虑矩阵( ，口) ，( 一7 ，口7 ) 具有不 同的标准相关的情形 定理53 设a ，a 7 = a + a a r m 。”，b ，b = b + b 碾m 别 p = r a n k ( a ) = r a n k ( a 7 ) q = r a n k ( b ) = r a n k ( b ) 设( a ，b ) ( a ，b ) 的标准相关为( 这里记以兰口；( 肖，b ) ，口：i 叽( a ，b ，) ) a x j ，b 和a 呓 o ，1 ，一，p ，一- ( 5l 曲 则 盯。 咋20 ，盯：- 0 日彰0 = 1 ，p ) 分别为( a ，b ) ( 川，b 7 ) 的标准向量埘于i2 1 ，2 ，j q ，口? ，西如( 57 ) 式所定义，并且对某整数s ，0 s a 抖。- i 口 文 2 w ( a ，b ) = o ( z = 1 ，2 ) 墨i iv 2 ( i - c o , s e ( u a , u a , ) i i l 2 +舒c。s妒iiv2i-cose(g,u-,)ll。十c。s妒ziiv嘎口。=二。石五琶吁西iiz?；iii。： 剑以矿乏瑟乖厕l l z + 镑州铜= 丽可硒研c 。s 删铜f 丽砸蕊瓢 第五章标准子空间的扰动分析 其中“，d 。0 = 1 ，2 ) 如( 51 0 ) 所定义e t ( 4 ，a ) 记为佗( a ( z ”l ，x t ) ) 和佗( a ( z ：，z ：) ) 的 标准角，e t ( 8 ，b 饥己为冗( b ( 弘十1 ) ，玑) ) 和n ( r ( 爨，碰) ) 的标准角 证明设a ，a ，b b7 的酉分解分别为 a = u a r ，a = u a ，尺月，日= u n r u ，b = u 口，j r 酽 使得 i i u a u a 川。= 1 1 2 r c o s o ( u a ，) 1 l u b 一，t h = l i 2 ，一c o s e ( u e ，) | | 2 设g = 嵋【名，g 7 = u j ：u 口，则 l l g g 川。= | | 暇u b u 互, u b ，l l 。 = i i ( 呀吩) + 蜉( 一，) 1 1 。 l i u 舌( u a u a ，) 1 1 2 十i i u 蚤( u b u 8 t ) l ： sc o s 妒m i 。( 妒( 一，a ) ，r ( b ) ) i i u a u a ，1 1 2 + c o s ，。( 妒( b ，b 7 ) ，r ( a ) ) l le b 一b ，i i z = c d s 砂l i i u 一u a 川2 + c 0 8 咖l i u 一u j f z = c o s t # - i i 撕矿i 礤耵厕| | 。十c o s 妒z i i 讵矿i 舔耵网l l ： 若g ，g 的s v d 如( 5 6 ) 式，仉q 分别表示u 的第s + 1 列到第列则根据引理52 有 i i o h u ；i i ：s 鲁1 1 g g 川。 由于( 叱仉，u a y t ，u ) 是酉阵，根据定理52 ，u = a ( x 。+ l j 一，现) ，哦= a ( z 0 ，。：) 则 我们有 i l s i n o , ( a , a ) i i z = “( ( u a 簖g i 尸) ： 刮( 警卜喇+ ( 警) z 第五章标准了空间的扰动分析 同理可得 3 1 i s i n o t (