（概率论与数理统计专业论文）最优再保险及投资.pdf

摘要 不论是保险监管，还是保险公司本身为减少所面临的风险，都 会对赔付进行再保险安排，同时保险公司还会对盈余进行风险投资， 从投资中获得大量的收益来提高自己的偿付能力，增加盈余。2 0 0 8 年由美国次贷危机引起的引发的全球金融危机，导致了全球对于金融 衍生产品的深刻反思。保险业作为完整金融链条中不可或缺的组成部 分，也不可避免受到巨大冲击。迄今为止，保险业遭受的损失主要来 自于投资和承保两个方面。因此，寻找最优的再保险及投资策略，对 保险公司来说，十分重要。 本文一方面研究了当保险公司采取变换损失再保险时，如何取定 分保函数参数，进而使调节系数最大，即破产概率最小。另一方面当 保险公司将盈余投资到常数弹性变差( c e v ) 模型描述的风险资产和 无风险资产时，得到了不同的效用函数准则下，保险公司的最优的再 保险及投资策略，及相应的终值财富的最大效用函数的明确表达式。 并通过数值计算给出了不同参数对最优再保险和投资的影响。 关键词变换损失再保险，常数弹性变差模型，随机控制，效用函数， h a m i l t o n j a c o b i b e l l m a n 方程，最优投资 a bs t r a c t i n s u r a n c es u p e r v i s i o na n dt h er i s k r e d u c t i o no ft h ei n s u r a n c e c o m p a n ya l s on e e dt h ei n s u r a n c ec o m p a n yt op u r c h a s er e i n s u r a n c e a t t h es a m et i m e t h ei n s u r a n c ec o m p a n yc a ni n v e s ti nt h ef i n a n c i a lm a r k e t s t oi m p r o v et h ea b i l i t yo fc o m p e n s a t i o na n di t ss o l v e n c y i n2 0 0 8 ，t h e g l o b a lf i n a n c i a l c r i s i sc a u s e db yt h eu n i t e ds t a t es u b p r i m em o r t g a g e c r i s i sl e dt od e e pr e f l e c t i o nf o rf i n a n c i a l d e r i v a t i v e s t h ei n s u r a n c e i n d u s t r ya sap a r to f t h ef i n a n c i a lc h a i nm u s ti n e v i t a b l yb eam a j o rs h o c k t h ei n s u r a n c ei n d u s t r y l o s s e ss u f f e r e dm a i n l yf r o mt w oa s p e c t s o f i n v e s t m e n ta n du n d e r w r i t i n g t h e r e f o r e ，i t i s v e r yi m p o r t a n tf o r t h e i n s u r a n c ec o m p a n yt of i n dt h eo p t i m a li n v e s t m e n ta n d r e i n s u r a n c e p o l i c i e s i nt h i sp a p e r , w em a i n l ys t u d yt w oi s s u e s ：f i r s t l y , a s i n s u r a n c e c o m p a n ya d o p t sc h a n g e l o s s r e i n s u r a n c ep o l i c y , h o wt o d e c i d et h e p a r a m e t e r s o fr e i n s u r a n c ef u n c t i o n t om a x i m i z et h e a d ju s t m e n t c o e f f i c i e n t ，t h a ti s ，t om i n i m i z et h ep r o b a b i l i t yo fr u i n s e c o n d l 5 w e s t u d yt h eo p t i m a li n v e s t m e n ta n dr e i n s u r a n c ep o l i c i e s w h i c hm a x i m i z e t h ee x p e c t e du t i l i t yo ft h ei n s u r a n c ec o m p a n yu n d e rt h er i s k y a s s e t f o l l o w i n gc e vm o d e l w eo b t a i n t h ec l o s ef o r me x p r e s s i o n so ft h e o p t i m a lr e i n s u r a n c ea n di n v e s t m e n tp o l i c i e sa n dt h em a x i m a le x p e c t e d u t i l i t yf u n c t i o nu n d e r d i f f e r e n tu t i l i t yp r i n c i p l e s f i n a l l y , t h er e l a t i o n s h i p s i l b e t w e e n o p t i m a l i n v e s t m e n ta n dr e i n s u r a n c e p o l i c i e s a n ds o m e p a r a m e t e r sa r eg i v e nb yn u m e r i c a lc a l c u l a t i o n k e y w o r d s ：c h a n g e l o s sr e i n s u r a n c e ，c o n s t a n te l a s t i c i t yo fv a f i a n c e m o d e l ，s t o c h a s t i cc o n t r o l ，u t i l i t yf u n c t i o n ，h a m i l t o n j a c o b i b e l l m a n e q u a t i o n ，o p t i m a li n v e s t m e n t l l i 硕十学位论文 第一章绪论 1 1 问题的提出背景 第一章绪论 风险对于保险公司而言，是一把双刃剑，处理得当就意味着滚滚利润；一旦 失手，公司将陷入破产深渊。为了能够持续盈利，更为了永久生存，保险公司一 方面会逐步完善风险管理的技能，以避免灾难性的损失；同时也要不断拓展业务， 进而承担了更多的风险 在保险实务中，由于保险行业竞争h 趋激烈，保险公司不仅会采取再保险的 方式规避风险，还会对对盈余进行投资，从投资中获得大量的收益来提高自己的 偿付能力。 2 0 0 8 年由美国次贷危机引起的引发的全球会融危机，导致了全球对于金融 衍生产品的深刻反思。保险业作为完整金融链条中不可或缺的组成部分，也不可 避免受到巨大冲击。迄今为止，保险业遭受的损失主要来自于投资和承保两个方 面。在投资方面，全球最大的保险公司美国国际集团( a i g ) 由于采取了激进的投 资策略，在次贷支持类债券、信用违约互换和其它衍生品方面进行了大量投资， 蒙受了巨额亏损，陷入了破产的边缘，不得不向关联储求救；在承保方面，次贷 危机使得董事高管责任和错误遗漏保险、住房按揭保险、债券保险等业务的赔款 支出显著增加，许多公司陷入困境。由于危机尚未结束，对保险业的影响目前还 没完全凸现出来，然而它的影响还绝非仅体现在短期的亏损方面，还将会对全球 保险业未来数年的盈利能力、监管框架、偿付能力、会计准则等产生重大影响。 因而我们必须在强化保险公司的风险管理能力同时，还必须平衡承保活动和投资 活动之间的关系。 因此，怎样进行投资和再保险，使得自身的破产概率最小或者期望财富效用 最大已经成为每个保险公司都必须面对的问题，也成为风险理论的一个新的研究 热点。 保险公司的最优投资和再保险策略是当今金融数学研究的热点问题之一，它 的理论不仅丰富和发展了现代金融理论，而且也沟通了各个数学分支与金融学， 保险学之间的联系，对数学的发展起了推动作用。本文就有关保险公司的再保险 硕士学位论文第一章绪论 策略及最优投资策略的研究现状和研究方法进行综述。 1 。2 研究现状 在保险数学，也称精算数学的范畴内，破产论是风险论的核心内容。现已公 认，破产论的研究溯源于瑞典精算师l u n d b e r g 在1 9 0 3 年发表的博士论文，至今 已有近百年的历史。s t o c k h o l m 学派的领导人物c r a m e r 在完善l u n d b e r g 的数学 工作中发挥了重要的作用，同时也从这一研究出发，对概率论和数理统计的发展 做出了重要贡献。之后f e l l e r ( 1 9 7 1 ) 推广了c r a m e “1 9 5 5 ) 的结果给出了更新论 证。g e r b e r ( 1 9 6 9 ，1 9 7 0 ) 也推广了c r a m e r 的结果，给出了用鞅方法研究破产问题。 继c r a m e r 后，g e r b e r 成为当代研究破产论的领先学者。他不仅将鞅方法引入到 破产论的研究中，而且深化了经典破产论的研究内容。 虽然经典c r a m e v l u n d b e r g 模型近似于保险公司的现实状况，但在经典 c r a m e r - l u n d b e r g 模型中，很多问题无法得到确切的显式解，故近年来，很多文 献将其近似为扩散模型，且当保险公司盈余过程相对于单个理赔来说较大时，扩 散风险模型也确实能很好的模拟保险公司的动态盈余过程。b r o w n e ( 1 9 9 5 ) 研究了 扩散风险模型的最优投资问题，他在股票价格服从几何布朗运动且与保险公司的 扩散风险模型中的布朗运动不独立时，得到了在破产概率最小限制下的最优投资 策略是常数，并利用光滑粘贴条件详细计算了最小破产概率。s c h m i d l i ( 2 0 0 1 ) 研 究了扩散风险模型中的最优比例再保险策略，他得到了此时的最优策略是一个常 数，并给出了此常数值以及破产概率的具体形式。t a k s a r 和m a r k u s s e n ( 2 0 0 3 ) 假 定公司现金流过程为扩散过程，公司盈余全部投资于股票市场( 股票价格服从几 何布朗运动) 时，在破产概率最小限制下保险公司所采取的最优比例再保险策略。 h o j g a a r d 和t a k s a r ( 1 9 9 7 ) 考虑了扩散模型中，在预期折现红利收益最大限制下的 最优比例再保险策略。 对于再保险问题，一般主要集中在比例再保险和超额损失再保险的研究上。 s c h i m i d l i ( 2 0 0 1 ) 分别研究了此模型下的最优比例再保险策略和超额损失再保险下 的最小破产概率的c r a m e r - l u n d b e r g 近似。h i p p 和v o g t ( 2 0 0 3 ) 研究了最优超额损 失再保险，且证明了相应的h j b 方程存在光滑解，并给出了h j b 方程的检验定 理，对指数理赔分布p a r e t o 分布给出了数值解。 2 硕十学何论文 第一章绪论 近年来，效用函数的研究也为保险数学的研究热点之一。y a n g 和z h a n g ( 2 0 0 5 ) 考虑了跳扩散风险模型的最优投资问题。他们考虑的是指数效用函数，获得了 最优的期望折现指数效用，和最优的投资策略。他们的唯一不足是没有考虑再保 险。当然保险公司可以在采取再保险策略的同时采取投资策略。l i a n g ( 2 0 0 8 ) 研 究了最优投资和再保险问题，在指数效用下，他得出了投资总比不投资好的结论。 并给出了一些参数对最优策略和值函数的影响。g u o 和b a i ( 2 0 0 8 ) 研究了多个风 险资产的最优投资和再保险问题。在指数效用下，获得了最优投资和再保险策略 以及值函数。i r g e n s 和p a u l s e n ( 2 0 0 4 ) 把风险资产推广到服从跳一扩散过程，在指 数、对数、幂想、效用函数下给出了最优投资和再保险策略以及值函数。 描述投资的风险资产价格的模型也越来越复杂，越来越贴近市场。 b r o w n e ( 1 9 9 5 ) 使用的是几何布朗运动( g b m ) 模型；c o x 和r o s s ( 1 9 7 6 ) 贝1 首提出了 常数弹性变差( c e v ) 模型，c o x ( 1 9 9 6 ) ，d e t e m p l e 和t i a n ( 2 0 0 2 ) ，j o n e s ( 2 0 0 3 ) ， g a o ( 2 0 0 9 ) 都是使用c e v 模型来描述风险资产的价格；c o x - i n g e r s o l l - r o s s ( 1 9 8 5 ) 提出了c i r 模型；l i u ( 2 0 0 1 ) 贝, q 使用了h e s t o n 模型；l i 和w u ( 2 0 0 9 ) 贝q 考虑了既有 随机利率又有随机变差的模型等等。其中c e v 模型可以看做g b m 模型的一个 推广，但它具有较强能力去捕捉到隐含波动性的倾斜度，且分析更易处理。 现在需要研究的问题还很多，不同的理赔分布会对应不同的破产概率和不同 的确定时刻的预期累计收益，故可从理赔分布方面来研究：不同的效用函数会对 应不同的确定时刻的预期累计收益，故也可从效用函数方面来研究；还有不同的 风险资产模型也会对破产概率和确定时刻的预期累计收益产生影响，从而也形成 了许多不同的研究方向。市场中常见的股票价格模型有很多，如：多维扩散模型， 跳扩散模型，随机波动率模型等，故还可从不同的股票价格模型来进行考虑。由 此看来最优再保险及投资问题仍然是一个亟待解决的问题，本文将给出作者在这 方面的一些研究。 1 3 论文结构 本文针对保险公司的最优再保险策略及投资策略的选择问题进行研究。重点 研究了变换损失再保险及c e v 模型下的最优投资和再保险。研究使得调节系数 最大准则下最优变换损失再保险，以及在不同的效用准则下的最优比例再保险和 硕+ 学位论文第一章绪论 投资策略，并利用数值计算的方法分析了多种参数对最优策略的影响。 本文共分为五章，其主要内容如下： 第一章是绪论，主要简单介绍了保险业的研究近况和研究现状，以及本文所 做的工作。 第二章是基本概念和基本理论，主要介绍了一般的风险模型，再保险及投资 的方式，最优准则以及随机控制理论的相关知识。 第三章主要研究的是在调节系数准则下的最优变换损失再保险。给出了分保 函数的参数如何确定的一种计算方法，得出当再保险公司保费按方差准则收取 时，分保函数的参数满足的具体表达式，并用数值计算的方法比较了不同再保险 方式的优劣，为保险公司如何进行再保险提供了理论上的依据。 第四章我们不仅考虑了再保险，还考虑将财富盈余投资于满足c e v 模型的 金融市场。在不同的效用准则下，利用求解对应的h j b 方程得出最优投资、比 例再保险策略和最优期望财富效用函数的明确表达式，并给出相应的数值计算和 图表分析最优策略和参数之问的关系。 第五章，总结与展望。总结本文主要工作，探求其不足之处及进一步研究的 问题。 4 硕十学位论文第二章基本概念和基本理论 2 1 一般风险模型 第二章基本概念和基本理论 假设所有的过程和随机变量都定义在概率空间( q ，尸) 上，且在概率空间 ( q ，f ，尸) 上有一个满足通常条件的盯一代数f ：f = 鼻，r o 是右连续的，且磊 包含所有的零测集。 2 1 1 经典风险模型 经典风险模型中保险公司在时刻t 的盈余由下式给出 n ( t ) u ( f ) = u + c t - z ，f o ， 其中甜0 表示保险公司的初始资本；c 0 是保险公司单位时间的保险费率。 ( f ) 表示到时刻f 为止的总的索赔发生次数， ( ，) ，t o ) 是参数为五( 兄 o ) 的泊 松过程。 五，k = l ，2 ，) 是一列独立同分布的( 严格) j 下值随机变量，其共同分布 为g ( x ) ，g ( 0 ) = 0 ，期望值为t = e ( 墨) ，表示第k 次赔付的大小。u ( ，) 表示保 险公司在时刻r 的盈余，由于未来时刻的盈余是未知的，因此 u ( 班， 0 便是一 个连续时间的随机过程。保险公司为运做上的安全还要求 ( r ) e ( c t - x t ) = ( c - _ , t t ) t o ，t 0 ， 设c = ( 1 + 口) 舡，其中0 0 ，称为相对安全负载。 注2 1 实际操作中费率c 的确定有很多准则，主要准则有： ，( ，) ( 1 ) 期望准则：c t = ( 1 + 9 ) e ( 置) ，p 0 n ( t ) ( ，) ( 2 ) 方差准则：c t = e ( z ) + a y ( 五) ，0 0 硕十学位论文 第二章基本概念和基本理论 注2 - 2 用来描述赔付大小的分布也主要有下列几种： ( 1 ) 指数分布，保险中作为赔付的最基本的分布，分布密度为 f ( x ) = 1 t e 一胪， 其中参数土既是数学期望又是方差， t t矩母函数为肼( ，) = 方鸶o o ，口 。， 融p a r e t o ( 口，旯) 。帕累托分布的数学期望为e ( x ) = ：乌， 鼢k 艏为哳( 玲斋一圮。 ( 3 ) 对数正态分布。其分布密度为 o 0 ) 盯2 对数j 下态分布的数学期望和方差分别为e ( x ) = p 胪了，v a r ( x ) = e 2 9 + a 2 ( p “一1 ) ( 4 ) 伽马分布( g a m m ad i s t r i b u t i o n ) ，它也常用来分析风险的异质性。其分 布密度为 m ) = 雨兄a x o t - ip ，刚 其中参数口 0 ，五 0 ，r ( 口) = f x a - | e - x d x ，记为g 口朋垅口( 口，兄) 。伽马分布的数 学期望和方差州班暑，哳( 耻- 口- # ，矩母函数枷) = ( 1 一矿。 特别的，当口= l 伽马分布就是以见为参数的指数分布。 6 訾 去 卜似 硕十学位论文第二章基本概念和基本理论 2 1 2 扩散风险模型 ( ，) 为了使盈余函数具有连续性，我们用标准布朗运动去逼近赔付过程五， 得到扩散风险模型中保险公司在时刻t 的盈余 u ( t ) = z f + 舀+ 仃彬 u ( t ) 表示保险公司在时刻，的盈余，”表示保险公司的初始资本； 是保险公司 单位时问的保险费率；彬为一标准布朗运动，o r 为一常数。 需要指出的是扩散模型在大的保单中可以更好的逼近经典风险模型，因为此 时单个赔付额相比较整个盈余要小的多。而且有如下关系存在： 否= c e ( x ) ，o r 2 = e ( x 2 ) 2 2 再保险及投资 保险公司通常会选择再保险和投资的方式来提高自己的竞争力，进而规避风 险扩大赢利，本节将对此进行介绍。 2 2 i 再保险方式 再保险就是保险公司对投保人的风险向再保险公司进行保险。保险公司支付 一部分保费给再保险公司，再保险公司分担投保人的索赔。当第k ( k = 1 ，2 ，) 次 索赔发生时，我们用丘表示原保险公司应给投保人的赔付金额；e 表示原保险 公司实际赔付金额；乙表示再保险公司赔付金额，则有k + 乙= t 。原保险公 n ( t ) 司支付的累积理赔】，( ，) = r ，般称为自留额。 常用的再保险方式有如下三种： ( 1 ) 比例再保险( p r o p o r t i o n a lr e i n s u r a n c e ) ：原保险公司与再保险公司按一定的比 例分担赔付金额。即若假定原保险公司承担比例为a ( o 口1 ) ，则有 硕十学何论文 第二章基本概念和基本理论 k = 嘁，乙= ( 1 一口) 鼍， ( 2 ) 超额损失再保险( e x c e s s - l o s sr e i n s u r a n c e ) ：每次赔付，原保险公司在没 有超过再保险合同中约定的自付额时全部赔偿，在超过再保险合同中约定的自付 额时，再保险人就超过部分负责赔偿。即若假定自付额为6 ，则有 k = m i n ( x k ，6 ) ，乙= m a x ( t - b ，0 ) ( 3 ) 变换损失再保险( c h a n g e 1 0 s sr e i n s u r a n c e ) ：原保险公司先进行超额损失 再保险，再进行比例再保险。即若假定超额损失再保险自付额为b ，比例再保险 原保险公司承担比例为口，则有， z ( x ) = a ( x - 6 ) + ，0 0 ，使得u ( t ) 0 ，使得u ( t ) o ，使得【，( ，) t p ( t ，) e 一肋= e t x ( t ) it ，】尸( r r ) + e 【x ( f ) it t i p ( t ，) 注意到t ，时，u ( t ) 0 ，所以彳( ，) l 。由单调收敛定理及控制收敛定理我们 有：当，寸o o 时，e 廿“= e x ( t ) it o o p ( t o o ) + e x ( o o ) lt = o o p ( t = o o ) 再因l i m u ( t ) = + o o a 矗，故知x ( o o ) = 0 a 矗从而有 e 一= e x ( t ) it o o p ( r 0 ，u ( ，) 0 ) = e ( t o o ) = e - 托, e 一1 i x ( t ) it o o 】 f f 百u ( t ) 0 ，e 制r 0 ，3 u ( t ) 0 ) 并且为严格凹的( v ” 0 ，厌恶风险；，( x ) 0 爱好风险；，( x ) = 0 ，风险 中性。 注2 - 5 我们常用的效用函数有以下几种： ( 1 ) 幂效用函数( c u ) ： 其中o o 是常数。该效用函数的风险厌恶系数为，( x ) ：! 随着x 的增大而减 小，比较符合实际。 ( 4 ) 二次效用函数： = x 一防x 。是常数。该效用函数的风险厌恶系数为r ( x ) = 1 - 型2 l f i x 。 硕十学位论文第二章基本概念和基本理论 2 3 2 随机控制理论 随机最优控制已广泛用于管理，保险金融等领域，其主要依托b e l l m a n 动态 规划理( t h et h e o r yo f d y n a m i cp r o g r a m m i n g ) 。b e l l m a n 把动态规划原理表述如下： 一个最优策略具有这样的性质，不管初始状态如何，相对于初始策略产生的状态 来说，其后的策略必须构成最优策略。也就是，每个最优略只能有最优子策略组 成，由此我们经常得到b e l l m a n 动态规划方程，然而这个方程在很多情况下比较 难解。有关的内容可参f l e m m i n g 和s o n e r ( 1 9 9 3 ) 。 我们考虑最优问题： j ：l ( x ( f ) ，( f ) ，f ) 出+ g ( 玎丁) ) 专最大值，( 2 - 1 ) 满足条件 膏( r ) = 厂( x ( r ) ，“( f ) ，r ) ，x ( t o ) = x o ( 2 2 ) 其中状态x ( ，) 是属于r ”的一个开子集x ，控制函数“( ，) 是取值于r ”的一个闭子 集u 上的一个可测有界函数。f ：x x u xr 专r ”，g ：x r 和l ：x x u xr - - - r 是对应于状态变量的连续函数。 为了解决上面的最优控制问题，我们先考虑集族f ( x ，r ) ，x x ，t 【t o , t 的 控制问题： ，o ，x ，“) = f 三( x ( f ) ，“( f ) ，r ) d f + g ( x ( t ) ) - - - m a x ( 2 - 3 ) 满足条件 戈( f ) = 厂( x ( f ) ，“( r ) ，f ) ，x ( t ) = x ( 2 4 ) 一个轨迹控制点( x ( ，) ，“( ，) ) ( t r t ) 是关于f ( x ，) 是可行的，如果x ( ，f ，x ，“) 是相应于控制“( f ) ，r 【，t 】的( 2 4 ) 的一个解，j t ( 2 3 ) 的积分值是有限的。所有的 可行轨迹控制点( ( ，) ，“( ，) ) o f 0 使得 且 f e p x f ( x 试 0 即 a 2 e ( a 2 ( x 一6 ) + 2 ) 0 再由l i mf p “厂( x 边= o o 得 ，口一挪 l i mg ( r ) = o o r _ 口一 故( 3 - 5 ) 有正根的充要条件为 g ( o ) - - - m rv ( x ) 出 0 ( 3 - 6 ) 又有 e ( ) = c p 一2 e ( x ) + 2 e z ( x ) 】；c 一2 e ( x ) 一a 2 e ( a 2 ( x 一6 ) + 2 )( 3 - 7 ) 命题得证。 1 6 硕十学位论文 第二章最优变换损失再保险 由此可见当盈余函数( 3 1 ) 中所收的保费费率满足相对安全负载的条件时，调 节系数就会存在。 ? 注3 - 1 我们还可以用图象更加清晰的说明定理3 1 的证明。见图3 1 g 、 r r 一 图3 - 1 引理3 1若a , b 使得调节系数最大，记为e o ，则a , b 使得e e x p ( - r o l ) 】 达到最小且值为1 。 证明r 是调节系数故研e x p ( 一r ) 】_ 1 ，若存在石，6 使e e x p ( - r o ) r ( 这里的证明同定理3 1 ，不再详细阐述) 。故引理3 3 成立 注3 - 2 本定理的逆命题依然成立，详见文献m a n u e l 和c e n t e n o ( 2 0 0 8 ) 定理3 2 若a ，b 使得调节系数达到最大r ，则口，b ，r 满足方程组 r 。( x 一6 ) 厂( x ) 出+ 2 口r 口( x - - b ) 2 厂( x ) d x = r ( x 一6 ) p 工一“删凡厂( 工) d x r 厂( xf a ( ) d x + 2 a fa ( x b ) f ( x ) d x ：r e l x - a x + a , ) & f ( x ) d x ( 3 8 ) 上( x 一 。上 ( 3 - 8 ) f e - e , , l f ( x 1 出= l 证明由引理3 - 3 可知，只需证明若a ，b 使得e e x p ( 一心l ) 】最小，则a ，b 满足 下面的方程组 ir o 一6 ) 厂( x ) a x + 2 a r 口 一6 ) 2 厂( x ) 出= r ( z 一6 ) p 卜册曲凡厂( c ) a x 旷似) a x + 2 口r 口( x 一6 ) 几) d x = j _ 叫砌溅m ) d x 硕士学位论文 第二章最优变换损火雨保险 由式( 3 1 ) 可得 e e x p ( 一r 三) 】：e x p ( e o c + r o p ) e e x p 【心兰( 置一z ( 五) ) 】) 墨e x p ( 一心f + r p4 - 砸i e x p ( 民( x z ( x ) ) 卜五) 因此如果a , b 使得e e x p ( - r o l ) 2 最d 、，则a , b 使r p + 2 e e x p ( r o ( x z ( 义) ) j 最小。 令 f ( a b = 民尸+ , t e e x p ( r ( j z 。，丁a 2 f ( a , b ) 。，所以当a ，b 使得f ( a ，b ) 最小时，有 = 0 = 0 厩豆，化简即得 旷( x 一6 ) m ) d x + 2 口r 砸卅2 厂o ) d x = 厂( x 一6 ) 叫砌) m ) a x if _ f ( x ) d x + 2 c t a ( x b ) f ( x ) d x ：r e ( x - a r + a b ) r of ( x ) d x i 上 一 = 上。 注3 - 3 从证明过程易知当再保险为比例再保险，即b = o 时，口，r 满足： lf o 矿( x ) d r + 2 口r 似2 ( x ) d x = r 船“煽厂( x ) 出 ir p 吨m ) d r = i 当再保险为停止损失再保险，即a = l 时，口，r 满足： lr 厂( x ) 出+ 2 c r f ( x 一6 ) 厂 ) d x = r 杪厂 ) d r ir p 吨似) 出= 1 这与d i c k s o n ( 2 0 0 4 ) 的研究结果一致。 1 8 ”一 ”一 掣等 硕十学位论文 第二章最优变换损失再保险 3 3 数值计算 本节利用数值计算的方法，在调节系数达到最大时，对几种再保险方式的调 节系数和参数进行比较。 假设赔付额服从参数为1 的指数分布，即 ( x ) = e ，z 0 保险公司单位时间的费率为c ：( 1 + 秒) e ( n i 工) ：1 2 2 ，口：o 3 ，则比例再保险，超 出损失再保险，变换损失再保险方式下调节系数r 与a , b 关系分别如图3 2 ，3 3 ， 3 - 4 所示。 当调节系数达到最大r 时： 比例再保险：z ( x ) = 0 3 5 3 5 x ，r = 0 2 5 0 7 停止损失再保险：z ( x ) = ( x 一2 5 1 6 4 ) + ，g o = 0 1 8 6 8 变换损失再保险：z ( x ) = 0 3 7 8 7 ( x o 1 3 8 7 ) + ，g o = 0 2 5 1 4 由上述数据可以看出变换损失再保险的调节系数最大，即风险最小；而比例再保 险也不一定会给保险公司带来更大的风险。 图3 - 2 比例再保险 1 9 图3 - 3 超出损失再保险 硕十学位论文 第三章最优变换损失再保险 0 3 02 o 1 0 一o 1 一一 1 o 5 图3 4 变换损失再保险 、。、i 又一一1 0 8 一 i 、一2 、 一2 、 一d 。 一u 、 产 ， 硕十学位论文 第四章c e v 模型下的最优再保险及投资 第四章c e v 模型下的最优再保险及投资 保险公司为了追求更大利润，更好的规避风险，不仅会选择再保险，还会考 虑将盈余投资到金融市场。通常金融市场中风险资产价格用几何布朗运动( g b m ) 模型去模拟。然而常数弹性变差( c e v ) 模型具有更强能力去捕捉隐含波动性的倾 斜度，这让我们可以考虑当投资者意识到含有波动性的倾斜度的斜随机波动模型 时怎样去投资，且c e v 模型的分析更易处理。因此，在c e v 模型的基础上，可 以分析检验波动性的倾斜度对投资者的最优策略的影响。而且g b m 模型还可以 看作是c e v 模型的一个特例，所以本章将讨论的是c e v 模型在不同效用准则下 的最优再保险及投资。 4 1 模型 假设保险公司盈余过程是扩散风险模型，即 c ( t ) = x + c t + 仃彬 其中c 0 ，仃 0 为常数， r e , ，t 0 ) 是标准布朗运动。 假设f 时刻保险公司的比例再保险水平为1 一q ，a t 称为风险暴露。如果保险 公司的风险暴露a 已确定，则保险公司支付每次索赔额的1 0 0 a ，而剩下的 l o o o 一口) 由再保险公司赔付，同时保险公司要支付部分保费给再保险公司，记 为( 1 一口) 五，兄为再保险公司单位时间的保费收入。在考虑比例再保险策略q 下， 保险公司的财富盈余过程可以表示为 v ( t ，口) = x + 【f 一( 1 一t l t ) 力】，+ a 刁，彬 假设投资的金融市场有一个无风险资产( 债券) 和一个风险资产( 股票) 。无风 险资产f 时刻价格b ( t ) 满足 d s ( t ) = r b ( t ) d t 风险资产t 时刻价格s ( ，) 用常数弹性变差模型( c o n s t a n te l a s t i c i t yo f v a r i a n c e ，c e v ) 模型来描述，即s ( t ) 满足 2 l 硕十学位论文第四章c e v 模犁卜的最优再保险及投资 i d s i ( t ) ：斫+ k s ( 伽彬， s ( ，) 。 其中 ， 0 ， 投资和比例再保险策略石f ) = ( q ，岛) 由保险公司选择。当保险公司选择投资和再 保险策略万( ) 时，保险公司在，时刻的财富过程z 可以表示为 d x , = ( c 一( 1 一q ) a ) 出+ q 盯d 彬+ 6 f x ，( 衍+ k s , p d w , ) + ( 1 6 f ) 工r d t( 4 1 ) x o = x 一个策略刀( - ) 称为是可行的，如果q 和包是关于f 可料的，并且q 和6 ，满足 下面的条件： ( 1 ) 0 a t l ， ( 2 ) 尸 p 2 衍 o o ) = l 所有的可行策略组成的集合记为人。 保险公司的目标是选取合适的策略万( ，) = ( q ，包) ，使得保险公司在t 时刻财 富的期望效用达到最大，即 m a x e v ( x 7 ) 】 ( 4 2 ) x ( t l e 其中y 为保险公司的效用函数。 4 2h j b 方程 定义目标函数为 h ( t ，s ，x ) = s u p e w ( g ) i x , = x ，s = s 】) ，0 ， 0 且 o ，t - = 1 时，使得保险公司的期望财富效用最大的最优投资 盯d 硕+ 学位论文第四章c e v 模型+ 卜的最优雨保险及投资 策略为 最优再保险策略为 = 错e x p m 叼 西= 1 以及最大期望财富指数效用为 h ( t ，s ，x ) = 一e x p f ( t ) x + a ( t ) s 一2 p + 云( ，) ) 其中f 。，a 4 ，b 。1 圭1 ( 4 1 8 ) 决定。 4 3 2 数值计算及经济分析 下面研究各种参数对最优策略的影响。 1 、最优再保险策略的影响因素 由定理4 1 知道风险暴露( 自留额) 为 茚= 【孚i e x p p ，o 一7 1 ) 】人lq2 【而厂【一。) j 人1 由此可见： ( 1 ) 风险暴露水平与再保险的费率五成正比例，其随见增长而增长，直到 为l 。因为再保险的费率旯越大，公司采取比例再保险的费用越高，所以保险公 司自留风险就越多。 ( 2 ) 风险暴露水平与无风险利率r 成指数衰减，其随着r 减小而增长，直 到为l 。无风险利率r 越小，公司将更愿意承担风险，所以风险暴露水平越高。 ( 3 ) 风险暴露水平与指数效用的参数即风险厌恶系数万成反比例，其随着 万减小而增大，直到为l 。艿越大，保险公司的风险厌恶程度越高，因此保险公 司自留风险越少，分出更多。， ( 4 ) 风险暴露水平与盯2 成反比例，其随着矿2 减小而增大，直到为l 。仃2 代表着赔付大小的波动，仃2 越大，保险公司面临大的索赔的概率越大，保险公 司公司为使风险控制在一定水平，应分出更多的风险，自留更少。 2 、最优投资策略的影响因素 硕士学位论文第四章c e v 模型卜的最优再保险及投资 由定理4 1 知，最优投资策略为 茚= 学e x p ，( 坩) ， 其中 郇) = 镨( 1 一p 2 似h ) ) ) 先假定七= 1 6 ，t 一= 5 ，x = 1 0 。 ( 1 ) 取= o 1 2 ，= 0 0 4 ，万= 0 0 5 ，由最优投资策略公式得到酊与j 碹险资产的 变差系数之问的关系如图4 - 1 所示。 由图4 - 1 可以看出6 随增大而减小。由于变差系数越大，代表风险资产 的风险越大，所以投资于风险资产的比例应越小。 0 9 0 8 07 0 6 0 5 0 0 3 0 2 0 1 3 图4 - 1 与变差系数之间的关系图4 - 2 耳与变差系数万之间的关系 ( 2 ) 取= 0 1 2 ，= 0 0 4 ，= 一l ，由最优投资策略公式得到耳与指数效用的 参数，即风险厌恶系数万之间的关系如图4 2 所示。 由图4 2 可以看出矿随艿增加而减小。由于艿是风险厌恶系数，其越大代表 保险公司越厌恶风险，因此艿越大，投资到风险资产的比例应越少。 (