（物理海洋学专业论文）波群中波包络相互作用及波群特性的研究.pdf

波群中波包络相互作用及波群特性的研究 波群中波包络相互作用及波群特性的研究 摘要 海浪波群的研究对海浪理论和海洋工程都具有重要意义。在海浪的非线性问 题中，对海浪组成波之间的非线性相互作用迄今已有大量研究。海浪组成波之间 的非线性相互作用会导致波面各特征量的统计分布具有不对称性。然而在海浪研 究中，对波群之间是否存在非线性相互作用以及波群波包络线是否具有不对称性 这一问题目前研究较少。虽然很多研究者依波包线理论对海浪波群的统计性质进 行大量研究，但这些学者在其研究中一般都假定波群包络线具有对称结构，没有 考虑波群间可能存在的非线性相互作用以及由此引起的波群波包络线的不对称 性的问题。 本文将风浪视为由多种不同的简单波群叠而成。风浪观测结果表明，风浪不 能被视为简单波群的线性叠加。风浪不是由简单波群线性叠加构成意味着风浪场 中简单波群之间存在非线性相互作用。迄今对波群波包络演化的大量研究表明， 波群波包络的演化遵从非线性薛定谔方程。这意味着可以以非线性薛定谔方程为 基础研究波群波包络的非线性问题。本文以非线性薛定谔方程为基础采用摄动法 研究波群之间的非线性相互作用。理论研究结果表明，简单波群之问的非线性相 互作用使波群波包络线具有不对称性，波群波包络线f j 部陡峭后部平缓。进一步 研究波群波包络线的变形程度与谱宽和波陡的关系发现，谱有越宽的结构，波包 络线的变形程度越大，平均波陡越大波包络线的变形程度越大。 对风浪波包络线的实验研究发现，波包络线的变形程度与理论结果相当。实 验结果表明，波包络线的这种不对称性足以导致波群内最大波高提前一个波长出 现，波包络线的变形程度随着谱宽度和平均波陡的增大而增大。对波群内单个波 的波陡分布以及波群内的波破碎等问题进行了实验研究。结果表明，波群前部的 单个波比后部单个波更易出现大的波陡，波群内前部单个波破碎率大于后部单个 波的破碎率。 关键词：波群，非线性，波包络线不对称性 波群中波包络相互作用及波群特性的研究 一 。 1 e n v e l o p ei n t e r a c t i o nl nw a v eg r o u pa n d w a v e g r o u pp r o p e r t i e ss t u d y a b s t r a c t r e s e a r c ho i lo c e a nw a v eg r o u pi s i m p o r t a n tf o ro c e a nw a v et h e o r y a n do c e a n e n g i n e e r i n g r e s e a r c ho no c e a nw a v en o n l i n e a r i t yi sa ni m p o r t a n tr e a l mo fo c e a n w a v es t u d y t h en o n l i n e a rw a v e w a v ei n t e r a c t i o n sa r es t u d i e di n t e n s i v e l y i n t e r a c t i o n b e t w e e nw a v ec o m p o n e n t sc a u s e sa s y m m e t r yo fw a v es u r f a c e h o w e v e r , t h e r ei sl i t t l e r e s e a r c ho nw h e t h e rt h ew a v eg r o u p si n t e r a c tw i t he a c ho t h e ra n dt h ea s y m m e t r yo f w a v eg r o u pe n v e l o p e m o s to fr e s e a r c h e r ss t u d yw a v eg r o u pb a s e do nt h ee n v e l o p e s t a t i s t i c a lt h e o r y t h ee n v e l o p ei sa s s u m e dt ob es y m m e t r i c a li nt h o s ed o c u m e n t s h o w e v e r , t h ep o s s i b i l i t yo fi n t e r a c t i o nb e t w e e nw a v eg r o u p sa n dt h ea s y m m e t r yo f w a v eg r o u pe n v e l o p ea r en o ts t u d i e d t h e w i n d w a v ef i e l ds h o u l db et r e a t e da ss u p e r p o s i t i o no fm a n yk i n d so fs i m p l ew a v e g r o u p s r e s u l t so fw i n dw a v ee x p e r i m e n t ss h o wt h a tw i n dw a v ef i e l di sn o tl i n e a r s u p e r p o s i t i o no fs i m p l ew a v eg r o u p s ，w h i c hm e a n st h a tt h e r ei sn o n l i n e a ri n t e r a c t i o n b e t w e e nd i f f e r e n ts i m p l ew a v eg r o u p s r e s u l t so fm a n yt h e o r e t i c a lr e s e a r c h e ss h o w t h a tt h ee v o l v e m e n to fw a v eg r o u pe n v e l o p ei sc o n t r o l l e db yn o n l i n e a rs c h r o d i n g e r e q u a t i o n t h i sm e a n st h a tt h ei n t e r a c t i o nb e t w e e nw a v eg r o u pe n v e l o p e sc a nb e s t u d i e di nt h ef r a m e w o r ko fn o n l i n e a rs c h r o d i n g e re q u a t i o n n o n l i n e a ri n t e r a c t i o n b e t w e e nd i f f e r e n ts i m p l ew a v eg r o u p si ss t u d i e db a s e do nn o n l i n e a rs c h r 6 d i n g e r e q u a t i o nt h e o r yi nt h i sw o r k i ts h o w st h a tt h ei n t e r a c t i o nb e t w e e nd i f f e r e n ts i m p l e w a v eg r o u p sc a u s e st h ew a v eg r o u pe n v e l o p eb e c o m ea s y m m e t r i c n ea s y m m e t r y c a u s e db yt h ei n t e r a c t i o nb e t w e e ne n v e l o p e si n d u c e st h a tt h eh i g h e s ti n d i v i d u a lw a v e h a p p e n so n ew a v el e n g t hi na d v a n c e t h et h e o r e t i c a lr e s u l t sa l s os h o wt h a tt h ed e g r e e o fe n v e l o p ea s y m m e t r yi n c r e a s e sa st h es t r u c t u r eo fs p e c t r u mb r o a d e n i n g ，a n d i n c r e a s e sa st h ea v e r a g es t e e p n e s si n c r e a s i n g t h ee x p e r i m e n t a lr e s u l t ss h o wt h a tw i n dw a v eg r o u pe n v e l o p ei sa s y m m e t r i c t h e d e g r e eo ft h ew i n dw a v eg r o u pe n v e l o p ea s y m m e t r yc o r r e s p o n d st ot h et h e o r e t i c a l r e s u l t t h ea s y m m e t r yo fw i n dw a v eg r o u pe n v e l o p ec a u s e st h eh i g h e s ti n d i v i d u a l w a v eh a p p e n i n go n ew a v el e n g t hi na d v a n c e 1 n h ee x p e r i m e n t a lr e s u l t sa l s os h o wt h a t t h ed e g r e eo fe n v e l o p ea s y m m e t r yi n c r e a s e sa st h es t r u c t u r eo fs p e c t r u mb r o a d e n i n g ， a n di n c r e a s e sa st h ea v e r a g es t e e p n e s si n c r e a s i n g t h et h e o r e t i c a lr e s u l t sa c c o r dw i t h t h ee x p e r i m e n t a lr e s u l t s d i s t r i b u t i o n so fi n d i v i d u a lw a v es t e e p n e s si nw a v eg r o u pa r e a n a l y z e d i ti sf o u n dt h a ti n d i v i d u a lw a v ew i t hs m a l l e rs e q u e n c en u m b e ri ss t e e p e r t h a nt h a tw i t hb i g g e rs e q u e n c en u m b e r t h i sp h e n o m e n ac o r r e l a t ew i t ht h ea s y m m e t r y o fw a v eg r o u pe n v e l o p e i ti sf o u n dt h a ti n d i v i d u a lw a v e si nt h ef r o n to fw a v eg r o u p s a r eo fl a r g e rb r e a k i n gp r o b a b i l i t y k e yw o r d s ：w a v eg r o u p ，n o n l i n e a r i t y , a s y m m e t r yo fe n v e l o p e i i 独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含未获得或其他教育机构的学位或证 书使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：高态一签字同期：训夕年6 月乒日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人 授权学校可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用 影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。同时授权中国科学技术信息 研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通过网络向社会公 众提供信息服务。( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位敝作者答名：高志一 别帷 签字目期：硼7 年6 月孕同 签字日期：年, e 1日 波群中波包络相互作用及波群特性的研究 0 引言 海浪波群的研究对海浪理论和海洋工程都具有重要意义。迄今已对波群进行 了大量研究。关于波群的理论研究发现波群是影响波破碎的重要因素【1 ，2 】，畸 形波的生成也与波群有密切关系【3 5 】。m i z u g u c h i 矛l l t o i t a 6 ，l i u 7 的研究表明， 波群激发的二阶低频长波可引起海港共振，波群对水工建筑物、船舶、锚系体及 锚链等有巨大的破坏作用。近几年的研究还发现波群在近岸搬沙输运过程中也起 重要作用【8 】。 非线性问题是海浪研究的一个重要领域。在海浪的非线性问题中，对海浪组 成波之间的非线性相互作用迄今已有大量研究。海浪组成波之间的非线性相互作 用会导致波面各特征量的统计分布具有不对称性，例如波面高度分布以及波面坡 度分布的不对称性等【9 1 2 1 。然而在海浪研究中，对波群之间是否存在非线性相 互作用以及波群波包络线是否具有不对称性这一问题目前研究较少。虽然 l o n g u e t - h i g g i n s 1 3 - 1 5 】，n o l t e 和h s u 1 6 ，e w i n g 1 7 等依波包线理论对海浪波群 的统计性质进行了大量研究，如对波群平均历时长度、平均连长以及波群波包络 上跨水平数的研究等【1 5 1 7 ，但这些学者在其研究中一般都假定波群包络线具有 对称结构，没有考虑波群问可能存在的非线性相互作用以及由此引起的波群波包 络线的不对称性的问题。 z a k h a r o v 1 8 在水波慢变调制问题的研究中，基于小振幅假定证明，波群波 包络的演化遵从非线性薛定谔方程。d a v e y 和s t e w a r t s o n 1 9 在研究有限深水条 件下的三维水波慢变调制问题时，用多重尺度分析法证明三维水波波群包络的演 化也遵从非线性薛定谔方程。g r i m s h a w 等【2 0 1 在研究长波模型的波群时，从 e k d v ( e x t e n t e dk d v ) 方程出发，采用多重尺度分析法证明变深度区域传播的 波群包络演化遵从修正的非线性薛定谔方程。波包络演化遵从非线性薛定谔方程 意味着可以以非线性薛定谔方程为基础研究波群波包络的非线性问题。本文以非 线性薛定谔方程为基础，研究波浪场中简单波群之间的非线性相互作用。研究结 果表明，波浪场中简单波群之问的非线性相互作用可导致波群波包络线的不对 称，这种不对称性足以使波群内的最大波高提前一个波长出现，这一结果具有重 波群中波包络相互作用及波群特性的研究 要理论和应用意义。本文第1 、2 章为海浪理论中波群和非线性问题研究的综述。 第3 章为本文的理论研究，以非线性薛定谔方程为基础，采用摄动法研究简单波 群之间的非线性相互作用。结果表明，简单波群之间的非线性相互作用会导致波 群波包络线前部陡峭后部平缓。进一步研究波群波包络线的变形程度与谱宽和波 陡的关系发现，谱有越宽的结构波包络线的变形程度越大，平均波陡越大波包络 线的变形程度越大。第4 章通过对风浪波包络线的实验研究发现，波包络线前部 陡峭，后部平缓，呈现出明显的不对称性，波包络线变形程度随着谱宽度和平均 波陡的增大而增大，与理论结果相符。实验结果还表明，波群内单个波的波陡分 布与其在波群中的位次有关，波群后部的单个波出现大波陡的概率小于前部单个 波出现大波陡的概率；在波群内，前部的单个波的破碎率更大。第5 章为结论。 2 波群中波包络相互作用及波群特性的研究 1 波群研究综述 海浪常以群的形式出现，这是它的重要特性。关于海浪波群的研究在海浪研 究中占有重要地位。近年来的研究结果表明，波群对波破碎起着重要作用【1 ，2 ，1 5 ， 2 1 1 ，畸形波的生成也与波群有密切联系【3 5 】。由波面记录估计的波浪要素的稳 定性也会受海浪群性的影n l l l 2 2 1 。水工建筑物、船舶、锚系体及锚链等物，常常 是在波群作用下遭到破坏或受到威胁【2 3 2 6 1 。近年来的研究还发现波群在近岸搬 沙输运过程中也起着重要的作用8 1 。 1 1 随机波群统计理论综述 现已提出的随机波群统计描述和分析方法有多种，其中主要有三种：波包络 线方法、m a r k o v 链方法和波能过程线方法。这三种方法中最常用的是波包络线 方法。徐德伦 2 5 1 综述了这方面的研究进展和结果，文圣常等 2 6 1 t g j 娃行了详细 的讨论。 1 1 1 基于波包络理论研究波群 大多数作者都是根据波包线理论以谱的概念研究波群。这种方法是r i c e 2 7 ， 2 8 就在电路噪声研究中提出的，l o n g u e t h i g g i n s 1 3 ，1 4 n y e 将这种研究方法 引入海浪波群研究中。n o l t e 和h s u 1 6 】以及e w i n g 1 7 等运用该方法取得较好的 结果。我国学者也采用该方法进行了大量的理论和实验研究 2 4 ，2 5 ，2 9 3 3 1 。 ( a ) 随机波群研究中的基本概念 在波包络理论中，假设海表面高度；可以表示为时间t 的平稳随机函数，相 干函数为 妒( f ) = ，( f ) 厂( t + f ) ( 1 1 1 ) ( 上横线表示对f 的平均值) 。能谱e ( 仃) 与妒( f ) 的关系： 3 波群中波包络相互作用及波群特性的研究 因此 e ( 仃) = 办c o 妒( f c o s a t d f ( 1 1 2 ) 妒( f ) 一f e ( 仃) c o s o r d t 7 并假定有限时间问隔( 一号r ，吉丁) 内，函数；可以表示成f o u r i e r 和的形式 考= 荟c nc o s ( o rt + e n ) ( 1 1 3 ) ( 1 1 4 ) 其中吒一2 n 万t ，位相s 。是( o ，幼) 上的均匀分布的随机变量，并且振幅巳表示 为 频谱的，阶矩m ，定义为 由( 1 1 1 ) 式 脚1 2 c 。一e ( 仃) d 仃 m rz 矗d e ( o ) a o ( 1 1 5 ) ( 1 1 6 ) 聊。= f e ( o ) d o 一妒( o ) = ( 1 1 7 ) 表示均方根波面高度，并以下式 万一m 1n o( 1 1 8 ) 表示平均频率。若以表示e ( 仃) 关于平均值的，阶中心矩，即 则有 并且定义谱宽度参数1 ， 心t 一引e ( o ) e 。o ( 1 1 9 ) 心一m o ，j c l l = o ，j 1 2 = ，咒2 一所；m o( 1 1 1 0 ) 当1 ，2 口1 时则称谱为窄谱。 ，2 。竺蔓了；m 2 m _ o 一一1 | l o 口 m i 4 ( 1 1 1 1 ) 波群中波包络相互作用及波群特性的研究 其中 将( 1 1 4 ) 式写成下面形式就可以定义复包络彳( f ) 考= r e a ( t ) e 面 ( 1 1 1 2 ) 彳= , c nb x p f 【( 吒一万) f + e n 】) = p ( 1 1 1 3 ) 这里p ( f ) 是实包络函数( 或波动振幅) ，( f ) 是位相。a 的实部和虚部为 仅由初始函数；( t ) 即可以计算上式。 从( 1 1 1 3 ) 式可以看出- = d a d t 包含因子( 吒一万) ，因此有 阿2 | 4 | 2 2 ( 1 1 1 4 ) ( 1 1 1 5 ) 并且当谱较窄，在平均意义下，包络a 相对载波e 衙缓慢变化。在1 ，的量级上， 波面基本接近正弦曲线，局地波高可以用两倍包络2 p 表示。 ( b ) 波包络计算 海浪波群研究中通常采用h i l b e r t 变换方法计算波包络，该方法是m e l v i l l e 3 4 】 首次引入到水波研究中来的。具体计算步骤如下。 表面高度；( t ) 的等时间间隔离散记录，要计算波包络线函数 p = ( 考2 + 叩2 ) u 2 ( 1 1 1 6 ) 需要波面高度当( f ) 和它自身的h i l b e r t 变换叩( f ) 。对较长记录可能使用离散形式 的公式 叩( t ) ：托辔凼 ( 1 1 1 7 ) 其中f 表示积分主值。对一般长度的波面记录，如ms1 0 4 ，使用傅立叶分析更方 便。 5 厶 厶 + + 弘p 一盯 一仃 一 一 吼 吒 陋陋 0 仪 姐 q 厶 。 = = 谚 郴 洫 一 d p 波群中波包络相互作用及波群特性的研究 其中 定义考( t m ) 为厶，并且 特殊地 容易得到 ；。c o s m a ls i n m t r 。 吒一2 n ：r m ( 1 1 1 8 ) ( 1 1 1 9 ) 一吉靠；。 ( 1 1 2 。) 厶善( a n c o s m 吒+ 吃s i n 朋)( 1 1 2 1 ) 作等式代换可以省略上半频率( ，l 丢m ) m 2 乙= 2 善( a nc o s 优+ 吃s i n m o n ) - ( 一1 ) 盯口妒+ ( 1 1 2 2 ) 则得到h i l b e r t 变换结果 m 2 4 2 善( a n s i n m 一吃c o s m 吒)( 1 1 2 3 ) 实际研究中，低频分量通常对峰谷波高没有贡献，因此有必要滤波 一2 ( 口。c o s 历q + 吃s i n m o r n ) ：。 ( 1 1 2 4 ) ，7 二z2a s i n m c r 一吃c o s m c r ) 最后得到滤波后的波包络 p = ( ，7 2 + 考2 ) v 2 ( 1 1 2 5 ) ( c ) 与观测结果的比较 l o n g u e t h i g g i n s 1 5 采用外海波浪资料分析了h i l b e r t 变换在海浪波群研究中 6 m州mv名 1 一m 1 一m 皇 ； 吃 波群中波包络相互作用及波群特性的研究 的应用方法。l o n g u e t h i g g i n s 指出以波包络线分析波群时，不需要考虑波长相当 于主导波半波长的波，也不需要考虑缓变的平均水平面高度，l o n g u e t - h i g g i n s 通过比较认为带通滤波范围取0 5 1 5 谱峰频率比取0 2 5 1 7 5 倍谱峰频率更合 适。 懿01 7 o2 0 04 0 06 0 0 捧 图1 1 - 1l o n g u e t - h i g g i n s ( 1 9 8 4 ) 由实测波面记录得到频谱 p | 文p | 忒 图1 1 2 滤波截断频率对波包络上跨水平数的影响。左图为滤波截断频率取0 5 1 5 倍 谱峰频率的结果，右图为滤波截断频率取0 2 5 1 7 5 倍谱峰频率的结果。 7 波群中波包络相互作用及波群特性的研究 p | | 氏 图1 1 - 3 参考水平对平均总体连长和平均高波连长的影响。左图为参考水平对平均总体 连长的影响，右图为参考水平对平均高波连长的影响。 图1 1 - 4 图a 为原始波面，图b 显示截断频率为0 5 1 5 倍谱峰频率滤波结果，图c 显 示滤波后波面和波包络叠加结果，图d 同图c 但截断频率为0 2 5 。1 7 5 倍谱峰频率。 8 波群中波包络相互作用及波群特性的研究 根据h i l b e r t 变换方法得到波包络线p ，即可依波包线理论研究波群的统计 性质，如：波浪群性因子，波群的平均长度，高波连长，波群连长分布，相邻波 高之间的相关性等问题。 ( d ) 波包络线p 的平均上跨水平数 参照波面平均上跨零点数的研究方法，波包络线p 的平均上跨水平数有相应 的结果： p ( p ) 一, oe x p ( 一p 2 2 肛。) ( 1 1 2 6 ) t o 和 p ( p ) = ( 却：) 。1 佗e - 声v 2 m ( 1 1 2 7 ) p 和p 分别符合瑞利分布和正态分布，且 p ( p ，p ) 一p ( p ) p ( p ) ( 1 1 2 8 ) 包络p 单位时间上跨水平的跨点数： = f p ( p ，p ) 彬户= ( ：幼) “2p ( p ) ( 1 1 2 9 ) 当p ( j d ) 是最大值时，n 取最大值，即p = j 胆时 二。一( 2 a e ) 。1 胆( ：l , 。) 1 心 ( 1 1 3 0 ) ( e ) 波群的平均长度 由于使用波包络最大值点统计波包络时会涉及四阶矩，该量对谱的截断频率 很敏感。因此定义低阶波群长度z 为：波包络上跨选定水平的两个相邻上跨点之 间的时间间隔为波群长度。可得平均群长 z = i n ( 1 1 3 1 ) f 明显依赖于人为选定的水平p 。然而存在一个特定水平使取最大值，在该 水平上相对p 的小变化f 是平稳的。根据经验确定厂时在这个特定水平上确定的 9 j 堕壁! 婆皇些堡旦丝垫登堑丛箜盟窒 平均波群长度对选取水平的误差不罐感。在该水平得到最小平均波群长 乏i i l = ( 劢g ) “2 ( l , ：) 2 ( 1 1 3 2 ) 由于对窄谱情形， 对于1 f 。该长度几乎是常数，其中 i 懈一( h ) 。陀( 所：m 。) “2 ，则波群中的波动个数的平均值为 g f f i 吒一( 兢) 。1 胆m ：) u 2 ( ：7 2 届) e p 2 2 脚( 1 1 3 3 ) 根据参数，有 召= ( 幼) 。1 佗( 1 + ，2 ) u 2 夕1 ( 以7 2 知) e p 2 2 ( 1 1 3 4 ) 当 ，很小时，上式反比于y 。p ；：7 2 时，有最小波群长 瓦。= ( 1 h ) “2l + v ) 2 夕一o 6 5 7 7 ( 1 + ，z ) u 2 夕 ( 1 1 3 5 ) ( f ) 局波连长 高波连长h ( p ) 定义为，相邻的每个波的波高都超过参考水平的系列波。 r i c e 【2 8 】为得到高波连长h ( p ) 的平均值，由波包络超过给定水平的概率： 口( p ) = f ；p ( p ) d p , = e - p z 2 ( 1 1 3 6 ) 因此高波连的平均长度为 ，一q l - q n ( 1 1 3 7 ) 由式( 1 1 2 6 ) 和( 1 1 2 8 ) 得到 厂一( 驯：) “2 鳓p ( 1 1 3 8 ) 为估计高波连内的波动平均个数疗，用平均上跨率j 。乘以7 - t 得到 厅一( h ) q 胆m ：) 2 以7 2 p ( 1 1 3 9 ) 或得到高波连内波动平均数厅与参数 ，的关系 霸；( 加) 。1 位【( 1 + 吖2 夕弦p ( 1 1 4 0 ) 如果选取参考水平p = ：佗，则 1 0 波群中波包络相互作用及波群特性的研究 i - 7 = 0 。3 9 8 9 ( 1 + v 2 vl v ( 1 1 4 1 ) ( g ) 波群连长分布 波群长度定义为波包络p ( f ) 相邻两个上跨点的间距。除了7 _ 以外，通常难以 获得z 的统计分布【2 8 】。然而，对窄谱情况，注意到p 的谱主要是低频，可以预 期上跨点是不相关的( 至少在z 很大时成立) ，从而可以将z 的分布近似为随机散 布在时间轴上的“冲击作用”，单位时间内冲击作用的平均频率为 a 一1 厂 ( 1 1 4 2 ) 已知该过程的概率密度p ( 1 ) 为 p ( 1 ) = a e 卅 ( 1 1 4 3 ) 这是一个负幂次指数 3 5 】。l o n g u e t h i g g i n s 给出上式的直接证明，将给定区间 ( t , t + z ) 分成相等的m ( m 为一个大数) 个区间，j d 在任意次区间内没有上跨水 平的概率为( 1 一州聊) “，取极限聊_ 得到 p ( i ) = e 以 ( 1 1 4 4 ) 概率密度p ( 1 ) 则随之应用于通式 p ( 1 ) = ( 1 z ) d2 p e 1 2 ( 1 1 4 5 ) 其中a 是单位时间内平均上跨水平数【3 6 】。 若( 1 1 4 4 ) 成立，则有 p ( 1 ) = 瓦一 ( 1 1 4 6 ) 并且完整波群内的波动个数g 的概率为 p ( g ) = 面一g g ( 1 1 4 7 ) 其中召由( 1 1 3 4 ) 式给出。 上述公式波群中包含分数个波动也具有物理意义。当p 超过参考水平的时间 很短时，有可能发生这种情况。在该区间内有可能出现波峰也可能不出现波峰， 波群中波包络相互作用及波群特性的研究 分数个波动仍然是波峰在时间间隔内超过某个指定水平概率的量度。事实上，由 于重力波的频散性，相速大于群速。因此波动从波包络后部进入波包络，相对波 包络以1 2 的相速穿过波包络，波包络任意部分至少在某些时刻包含一个波峰。 为估计高波连的概率密度p i h ) ，l o n g u e t - h i g g i n s 假设各个高波连h 总体上 比例于相应波群长度g ，那么有h = q g ，其中g 由( 1 1 3 6 ) 给定。于是可得h 的分布 p ( m ) 一晟圳h ( 1 1 4 8 ) ( h ) 相令b 波商i 司的相关性 u h l e n b e c k 3 7 和ir i c e 2 7 ，2 8 】给出固定时间间隔f f 2 一f 1 的两个时刻包络 岛一p ( ) ，戊= p ( t 2 ) 的联合概率密度。一般结果为 p ( m z ) 2 薛与唧 一( 彳训2 纵2 ，州壶等) ( 1 1 4 9 ) 其中 ( x 2 + 】，2 ) 1 胆 ( 1 1 5 0 ) x f e ( o ) o o so r 一( y ) t d f ( 1 1 5 1 ) y = ：e ( 盯) s i no r 一万) z d f ( 1 1 5 2 ) ，o 是修正的零阶b e s s e l 函数 ，。( z ) = 去f 4 e x p ( z ) c o s 伽 ( 1 1 5 3 ) 当r = 0 时p ( 肛，戊) 退化成两个瑞利分布的乘积p ( 肛) p ( 戊) 。 假设时间间隔f ；2 o ，则n 和p ：近似为相邻两个波动的振幅。相关系数7 ， 定义m 。( m 加m 舵) 1 佗，其中 m 朋= f f ( n 一万) p ( p ：一万) 9 p ( n ，p 2 ) d p l d p ： ( 1 1 5 4 ) 1 2 波群中波包络相互作用及波群特性的研究 u h l e n b e c k 3 7 ，m i d d l e t o n 3 8 分析得到 ，； ， 1 、 【1 - 百万j 其中e 和k 是完全椭圆积分： e ( 七) = f ( 1 帮s i l l 2 口) u 2 d o k ( 七) = f 41 搿s i n 2 日) 。1 胆d o 图1 1 5 说明y 是k 2 的函数。 ( 1 1 5 5 ) ( 1 1 5 6 ) ( 1 1 5 7 ) 图1 1 5p l 和p 2 之间的相关系数与r 2 的函数关系 对于取值很接近1 的r 可以得到 1 3 波群中波包络相互作用及波群特性的研究 一筹 并且上式可以用盯；1 处的切线来表示( 如图1 1 5 ) 。然而，容易看出对于r 2 小于0 6 的值，y 可以近似为 ，鲁r 2 对应着图1 1 5 中的对角线。 将上述结果应用于窄谱。从( 1 1 1 0 ) 和( 1 1 7 ) 式得到 戚t 蠹e e 时) d 仃d c t 从( 1 1 5 1 ) 和( 1 1 5 2 ) 式类似地得到 x 2 + y 2 = f f e ( 仃) e ( 仃c o s ( 仃一仃) f d o d ( ：r 因此由( 1 1 5 0 ) 式有 ( 1 1 5 9 ) 彳( 1 一r 2 ) t 斫f e ( 盯) e ( 叫s i n 2 ( 仃一仃) a a a a ( 1 1 6 2 ) 对于窄谱，形式上将( 1 1 6 2 ) 中的三角函数项用其一阶展开项代替。 则得到 s i n zf ! 二! ! ! 1 2 簟1 ( oo ) 2 1 7 2m 三 ( 一万) 2 一( 仃一万) 2 f 2 ( 1 1 6 3 ) ；( 1 一七2 ) 皇丢( ：盹一2 彳+ 鳓：) t 。，2 ( 1 1 6 4 ) 由于他一0 ，因此得到 t | h la 从( 1 1 6 4 ) 可以看出，在最低阶有 从) ，一1 一石l _ k 2 得到 1 一七2 ：! 王了2 ；4 万v 2 , u o ，口1 4 5 9 9 v 2 ( 1 1 6 6 ) ( 1 1 6 7 ) 因为上式中包含系数锄2 ，仅当， o 1 时该式是充分的。以展开式中 ( 口一仃) 2 2 2 1 4 波群中波包络相互作用及波群特性的研究 项代替( 1 1 6 2 ) 中的j 下弦项也对，的取值范围有限制。这至多对i 口一仃卜 万成 立。对( 1 1 6 2 ) 双重积分号内的代换，要求l 仃一仃l 至少达到谱宽度( ：f , 。) u 2 两 倍，因此 2 ( 肛：f , o ) u 2r 2 1 - j l ( 1 1 6 8 ) 其中以( 1 1 6 5 ) 中给定的f ，上式等价于 ( ：l , 。) “2 吉万 ( 1 1 6 9 ) 即 ， 0 1 2 5 如果要计算间隔一个波的波高间相关性，：，将f n 4 n r t y 带入( 1 1 6 4 ) 式中， 因此f 翻倍并且1 ， h 1 。这里g o d a 假设相邻波高之间不存在 相关性，然而实际实验证明相邻波高之间存在相关性【4 7 】。因此，b2 时g o d a 的理论预测值偏小。我国研究者对我国近海的波群性质进行了统计研究并与上述 理论结果进行比较发现理论值小于实测值【3 1 - 3 3 1 。 为了解决上述问题，一些研究者根据m a r k o v 链理论给出高波波群连长分布 的理论 4 5 1 。这种理论中考虑了相邻波高之间的相关性对波群连长分布的影响。 1 6 波群中波包络相互作用及波群特性的研究 ( a ) 向波连长分命 将波高序列看作m a r k o v 链。选定临界波高h ，是将波高h 分为两种类型， 其一是h h + 。以下标1 和2 区分这些状态，m a r k o v 链的转换 矩阵p 为 p 2 暖易p 1 2 ) ( 1 1 7 2 ， 其中弓( f ，j = 1 ，2 ) 是经过一次转移由状态礴专换成状态，的概率。则经过万次转移 后状态概率为 只一( 弓，昱) ( 1 1 7 3 ) 其中置= p r 办 ，b = p r bh 】有 只一只p “( 1 1 7 4 ) 其中层是初始概率矩阵，为( o ，1 ) 。由于一个波群连总是从第一个波高超过鬼的 波开始的。得到连长分布概率为 只( z ) = 砭( 1 一：) ( 1 1 7 5 ) k i m u r a 研究中弓由二维联合瑞利分布给定。如果相邻波高之间没有相关性则上 式退化为类似g o d a 4 6 的结果 p ( i ) = ，。1 ( 1 一尸) ( 1 1 7 6 ) 其中p 是p r 矗2 】o ( b ) 总体连长分布 总体连长是由波高首次超过临界波高到第二次超过临界波高的长度决定的。 其概率为 驰) = 掣( 中罐1 ) ( 1 1 7 7 ) 其中l o 是总体连长，号。是相邻两个波高都小于临界波高的概率。 1 7 波群中波包络相互作用及波群特性的研究 ( c ) k i m u r a 理论的进一步简化 j l 图1 1 - 6 图a 为包含j 个波动的高波连( j = 5 ) ，图b 为包含j 个波动的波群( i _ 4 ，j = 6 ) l o n g u e t h i g g i n s 指出k i m u r a 的理论可以进一步简化。选择水平h ，假设某 波高j i l ，超过j i i ，令以表示其随后的波高 ：也超过厅的概率。考虑长度为j 的高 波连，第一个波高超过 ，随后u 1 ) 个波高也超过办，而随后的波高小于j i l ， 假设各概率之间独立，得到联合概率： p ( h ) 一p ：。1 ( 1 一p + ) ( 1 1 7 8 ) 得到高波连的平均连长： 厅2 辜归一百1 ( 1 1 7 9 ) 为找到总连长的分布，长，的总连中，前i 个波是高波，构成连长f 的高波连，后 ( j - f ) 个波构成连长( j 一i ) 的低波连。这个事件发生的概率： p ? 0 - p + ) p ! 一以( 1 一p 一)( 1 1 8 0 ) 其中p 一表示 ，l 。时，h 2 j i i 的概率。对上式从f 一1 到f j - 1 求和得 p ( g j ) = ( 1 训1 哏) 譬( 1 1 8 1 ) 当2 时，总连长的平均长： 1 8 波群中波包络相互作用及波群特性的研究 6 2 霉胛f ) = 专+ 壶 其中p 和p 一要由波浪记录确定。 ( 1 1 8 2 ) k i m u r a 假设p ( h l ，h 2 ) 可近似为二维瑞利分布。若假设h l = 2 p ，h e = 2 p 2 ，则 k i m u r a 的假设是合理的。p 和p 一的条件概率可由下式直接计算 p + ；正i i 正_ i - p _ ( p l p 2 ) d p d p 2 f o 正。p ( n ，p 2 ) d p l d p z p y ；f o p ( p l ，p ：) d p l d p ： 其中p + 一z i l 。这些概率仅是r 2 的函数。 图1 1 7p 和p 一与k 2 之间的函数关系 p + = e x p ( 一亭2 2 ) p 一= 1 一e x p ( 一芋2 2 ) 1 9 ( 1 1 8 3 ) ( 1 1 8 4 ) ( 1 1 8 s ) ( 1 1 8 6 ) 波群中波包络相互作用及波群特性的研究 亭一p # o “。若用过( 1 ，1 ) 点的抛物线近似图1 i - 7 中的曲线，有 1 一p ：( 1 - e - 亭2 肛) ( 1 一，) 1 2 1 1 一p 一：e 彳，z ( 1 一佗， 由；= ：o o 。：o o 。 ) d o d c r ，得( 1 一2 量( 1 - k2 ) 班= k ，由 1 一七2 ；兰生f 2 。4 万2 ，2 得 , t o 1 一p + ；z , r v ( 1 - e - ；2 止) 1 1 一p 一一撕e 2 佗j 代入厅；辜j p ( h ，) 一万1 得 即击器 代入万一霉加( g ，) 一i i l+ 瓦1 得 q = 丽1 葡e x 丽p ( 亭z ) 汶必表沃式亮明f 7 和昂令都后比千1 ，喜宣卜若v 2 可绍略i i 石，研1 学亭- 1 e x p ( 蛳 ( 1 1 8 7 ) ( 1 1 8 8 ) ( 1 1 8 9 ) ( 1 1 9 0 ) 厅= 酽1 学p 可分别写成 ( 1 1 9 1 ) ( 1 1 9 2 ) ( 1 1 8 9 ) 和( 1 1 9 0 ) 中亭的函数关系与上两式十分不同。然而数值比较表明， 两组近似式计算结果差别小于1 0 ，因此在，和亭的一定范围内，波包络理论和 m a r k o v 链理论给出十分接近的结果。 波包络线理论和m a r k o v 链理论结果基本一致。第一种方法，1 ，趋于o 时有 效。第二种方法，对中间宽度谱有效，当， 0 1 时，不相邻波高之间相关性显著。 2 0 p 一 一： i j l 一严 西 五拱喃 飞 厅 波群中波包络相互作用及波群特性的研究 第一种方法严格适用于线性波动