（课程与教学论专业论文）中学数学开放题开发研究.pdf

摘要 长期以 来， 开放题在数学教育界受到了广泛关注。 与具有唯一正确答案、 甚 至唯一正确解题方法的传统问题相比，前者显然更有利于学生创造能力的培养。 开放题的 学习， 能够调动学生学习 的积极性， 激发学生的学习兴趣， 拓展学生的 思维空间， 有利于培养学生的表达能力和评价能力， 有利于提高学生的数学应用 能力。 数学开放的学习， 还直接关系到学生的数学观及其在数学学习中的态度和 信念。这些都与当前素质教育的要求是相吻合的。 本文在对数学开放题概念、分类、 特点、 功能等分析的基础上， 给出中学数 学开放题开发的一般过程和具体过程， 同时给出一些开放题开发的具体例子， 最 后给出中学数学开放题的评价，并提出今后的研究课题。 本文采用理论研究与文献资料研究相结合的方法 ， 在以下几方面提出了自己 的观点: ( 1 ) 、中学数学开放题开发的一般过程; c 2 ) 、中学数学开放题开发的具体过程， 其中包括:基于数学课本内容的 开放题开发;基于实际生活问题的开放题开发; ( 3 ) 、开发出了几个典型的开放题。 最后，对于中学数学开放题评价，我们给出了一些结论。 关键词:数学开放题数学开放题开发数学开放题评价 abs t r a c t o p e n - e n d e d p r o b l e m s h a v e o b t a i n e d a n e x t e n s i v e a tt e n t i o n o f m a t h e m a t i c a l e d u c a t i o n i s t s f o r a l o n g p e r i o d . c o m p a r e w i t h t r a d i t i o n a l p r o b l e ms t h a t h a v e o n l y o n e r i g h t a n s w e r e v e n o n l y o n e r i g h t s o l v i n g w a y , o p e n - e n d e d p r o b l e ms a r e m o r e u s e d t o d e v e l o p s t u d e n t s c r e a t i v i t y . t o s t u d y o p e n - e n d e d p r o b l e ms c a n m o b i l i z e s t u d e n t s e n t h u s i a s m , a r o u s e t h e i r i n t e r e s t o f s t u d y i n g a n d e x p a n d t h e i r t h i n k i n g . t o s t u d y o p e n - e n d e d p r o b l e m s i s b e n e f i c i a l f o r d e v e l o p i n g s t u d e n t s a b i l i t y o f e x p r e s s i o n , e v a l u a t i o n a n d a p p l i c a t i o n o f m a t h e m a t i c s . f u r t h e r m o r e , t o s t u d y o p e n - e n d e d p r o b l e ms i s d i r e c t l y r e l a t e d t o s t u d e n t s m a t h e m a t i c i d e a l s , a s w e l l a s t h e i r s t u d y i n g b e l i e f s a n d a tt i t u d e s . a l l o f t h i s i s i d e n t i c a l w i t h t h e d e m a n d s o f q u a l i t y e d u c a t i o n t o d a y . i n t h i s p a p e r , b a s e d o n a n a l y z i n g t h e c o n c e p t s , c l a s s e s , c h a r a c t e r s a n d f u n c t i o n s o f m a t h e ma t i c s o p e n - e n d e d p r o b l e ms , w e p r o p o s e t h e g e n e r a l p r o c e d u r e a n d p a r t i c u l a r p r o c e d u r e o f ma t h e ma t i c s o p e n - e n d e d p r o b l e ms e x p l o i t a t i o n f o r h i g h s c h o o l . a t t h e s a m e t i me , w e g i v e s o m e p a rt i c u l a r e x a m p l e s . f i n a l l y , w e d i s c u s s t h e a s s e s s m e n t o f m a t h e m a t i c s o p e n - e n d e d p r o b l e ms a n d b r i n g f o r w a r d t h e s t u d y t a s k s i n t h e f u t u r e . b y t h e o r y s t u d y i n g a n d l i t e r a tu r e s t u d y i n g , w e p r o p o s e o u r p o i n t s o f v i e w i n b e l l o w i n g s e v e r a l a s p e c t s : ( 1 ) t h e g e n e r a l p r o c e d u r e o f m a t h e m a t i c s o p e n - e n d e d p r o b l e m s e x p l o i t a t i o n f o r h i g h s c h o o l ; ( 2 ) t h e p a r t i c u l a r p r o c e d u r e o f ma t h e m a t i c s o p e n - e n d e d p r o b l e m s e x p l o i t a t i o n f o r h i g h s c h o o l , i n c l u d i n g t h e e x p l o i t a t i o n b a s e d o n t e x t b o o k a n d b a s e d o n r e a l i t y ; ( 3 ) we h a v e d e v e l o p e d s e v e r a l r e p r e s e n t a t i v e o p e n - e n d e d p r o b l e ms . x e y w o e j s : . a t c m a i c s o p e n - e n d e d p ro b l e m s ; t h e e x p l o i t a t i o n o f m a t h e m a t i c s o p e n - e n d e d p r o b l e ms : t h e a s s e s s me n t o f m a t h e m a t i c s o p e n - e n d e d p r o b l e m s 中学数学开放题开发研究 第 1 章绪论 互 1 . 1 数学开放题研究的现状 新技术、 新发明的大量涌现缩短了知识的更新周期， 迫使人们为了生存而必 须进行终身学习，通过不断更新 自己的知识来适应社会的巨大变化和激烈竞争。 可以说，信息技术正在改变着人们的思维方式、 工作方式和学习方式，人们逐渐 认识到掌握学习方法远比掌握知识本身更重要。“ 创新意识”和 “ 创造能力”开 始在知识经济社会中占据举足轻重的地位。 为了适应这样一个以信息化、 开放化、 全球化为特征的时代，承担着培养创新人才和更新创新知识任务的教育， 必须通 过自身的不断变革和发展，以满足未来社会对人才和知识的需求。为此，各国教 育 家纷 纷寻求培养创新人才的方法和策略， 改革教育。 2 0世纪 8 0 年代开始，世界各国纷纷站在适应未来时代要求的高度， 对本国 的 学校教育做出重大变革， 教育改革成为全球政治、 经济改革的先导和重要组成 部分。 美国国家教育经济中心于 1 9 9 8年制订了英语语言艺术、数学、科学和应用 学习四 个领域， 4 年级、 8 年级和 1 2 年级 三个层次的国家标准， 其中特别强调了 以 “ 探究”为特征的教学策略和方法。在教与学中，“ 以项 目为中心的学习” ( p r o j e c t - b a s e d l e a r n i n g )和 “ 以led题为中心的学习”( p r o b l e m - b a s e d l e a r n i n g ) 成为较为普遍的两种形式。 1 9 9 9 年 9月9日，英国政府宣布， 英国中小学从 2 0 0 0 年 9月起开始实施新 的国家课程标准，其中特别强调了发展学生的 “ 探究”和 “ 创新”技能。 早在2 0 世纪7 0 年代，日 本教育学 家就非 常关注学生解决数学问 题的研究。 他们探索各种加强学生问题解决能力的教学模式， 其中的成果之一是从理论与实 践上提出有关结果开放的问题解决过程的概念， 强调问题解决的实施过程应该因 人而异，问题解决过程的多样性会直接导致解决结果的多样性。作为研究人员， 应该有勇气面对各种可能的结果， 并从不同结果入手， 分析学生问题解决的不同 思路和策略 。 第1 五共 4 4 页 中学数学开放题开发研究 第 1 章绪论 互 1 . 1 数学开放题研究的现状 新技术、 新发明的大量涌现缩短了知识的更新周期， 迫使人们为了生存而必 须进行终身学习，通过不断更新 自己的知识来适应社会的巨大变化和激烈竞争。 可以说，信息技术正在改变着人们的思维方式、 工作方式和学习方式，人们逐渐 认识到掌握学习方法远比掌握知识本身更重要。“ 创新意识”和 “ 创造能力”开 始在知识经济社会中占据举足轻重的地位。 为了适应这样一个以信息化、 开放化、 全球化为特征的时代，承担着培养创新人才和更新创新知识任务的教育， 必须通 过自身的不断变革和发展，以满足未来社会对人才和知识的需求。为此，各国教 育 家纷 纷寻求培养创新人才的方法和策略， 改革教育。 2 0世纪 8 0 年代开始，世界各国纷纷站在适应未来时代要求的高度， 对本国 的 学校教育做出重大变革， 教育改革成为全球政治、 经济改革的先导和重要组成 部分。 美国国家教育经济中心于 1 9 9 8年制订了英语语言艺术、数学、科学和应用 学习四 个领域， 4 年级、 8 年级和 1 2 年级 三个层次的国家标准， 其中特别强调了 以 “ 探究”为特征的教学策略和方法。在教与学中，“ 以项 目为中心的学习” ( p r o j e c t - b a s e d l e a r n i n g )和 “ 以led题为中心的学习”( p r o b l e m - b a s e d l e a r n i n g ) 成为较为普遍的两种形式。 1 9 9 9 年 9月9日，英国政府宣布， 英国中小学从 2 0 0 0 年 9月起开始实施新 的国家课程标准，其中特别强调了发展学生的 “ 探究”和 “ 创新”技能。 早在2 0 世纪7 0 年代，日 本教育学 家就非 常关注学生解决数学问 题的研究。 他们探索各种加强学生问题解决能力的教学模式， 其中的成果之一是从理论与实 践上提出有关结果开放的问题解决过程的概念， 强调问题解决的实施过程应该因 人而异，问题解决过程的多样性会直接导致解决结果的多样性。作为研究人员， 应该有勇气面对各种可能的结果， 并从不同结果入手， 分析学生问题解决的不同 思路和策略 。 第1 五共 4 4 页 中学数学开放题开发研究 1 9 7 1 主， 在巳 奎 以 岛 田 茂 为 首 的 一 趁趁过翼， 其 中 包 括 桥 本 吉 彦 、 泽 田 利夫等共 2 7 人，接受了日本文部省的一个特定的研究项目:“ 开发算术. 数学学 科的更高的评价方法” 。在这 个项 目的研究中，该小组提出了数学 “ 开放题” ( o p e n - e n d p r o b l e m) 的 概念。 1 9 7 7 年， 该小组出 版了 报告文集 算术 数学课的 开放式结尾的问题 一一改善教学的新方案 ，书中日本学者设计了许多经典开放 题如 “ 水槽问题” 、“ 投石子问题 ” 、 “ 几何体分类问题气 日本学者的研究工作， 对美国、 欧洲和其它一些国家的数学教育也产生了广 泛的影响。美国对数学开放题及其教学的研究是从 “ 问题解决” ( p r o b l e m s o l v i n g ) 介入的。在这一 过程中， 一些被认为是 “ 好”的数学问题，有的就是 开放性 问题口 3 0余年来 日本的研究没有间断，其研究前期以未完结问题 ( o p e n - e n d e d p r o b l e m ) 为重点， 积极利用答案的多 样性来开展课堂教学， 整合已 学过的知识、 技能和思考方法， 然后去发现新的知识。 开发的问题大致有: 关系和法则的发现、 数 值 化 、 构 造 性 问 题 等 1 9 8 9 f fl 土 x i * 二生 塾 夕 墓 复 迸 里 辈遇 型 止 担 当于我国的教学大纲)作了修订， 在修订后的新的学习指导要领中， 特别设置了 芝蟹塑址 歌丝 翔练 课 题 学 习( p r o b l e m s i t u a t i o n l e a r n i n g ) ， 就 是 通过情景问题进行学习。可以说，“ 课题学习”是日本数学开放题在教学大纲中 的体现。关于 “ 课题学习”中的 “ 课题” ，一般认为必须满足 以下四个条件: ( 1 ) 、 具 有 浓 厚 逊能 够 充 分 激 发 每 个 学 生 多 角 度 地 思 考 ， 不 断 进 行 独 立 探索，产生独创性见解; ( : ) 、 使 每 个 学 生 趟 - ， 通 过 对 课 题 的 探 索 获 得 成 就 感 。 因 此 ， 课 题 的 难 度 应掌握在使每个学生都能尝试，而且能有所收获的程度; ( 3 ) 、 在 过 程 中 能 用 卵而 不 是 一 ，464 决 课 题 ; ( 、 )、 不 停 留 在 只 将 问 题 解 决 ， ff ff 4 ， 一 步 cii 般化，或从已解决的问题出发，可构造出新的问题， 日本的 现代中学数学学习指导要领中指出: 即问题得到的结果可以一 使问题具有延续性。 “ 为了促进以学生为主体的 学习， 为了培养学生的数学观点和思考方法， 要设置将各部分内容综合起来的和 日 常生活相联系的 课题， 进行课题学习， 并要把这种课题学习 放在教学计划的适 当位置加以实施” 。 在 1 9 9 8年 1 2月和 1 9 9 9 年 3 月颁布的 算术 数学学习指导 要领中，又规定了从小学三年级到高中统一增设 “ 综合学习时间” ，其课时为 第 2页 共 4 4欠 中学数学开放题开发研究 小学每学年1 0 5 -1 1 0 课时， 初中为 每学年7 0 -1 3 0 课时， 分别占 总课时的8 % 和9 . 3 %,高中总课时为 1 5 0 - 2 1 0 课时，为 毕业必修学分。 后来，申田仲彦是积极主张将数学开放题的 研究引向开放式数学教学的学 灿产卜 . 内声尸、 护，尸 、 者，并 在 1 9 9 8 年第一 届东亚国际 数学教育大会专题小组会议上，申田 仲彦作了 ( 日本课堂活动中开放式数学教学报告，对开放式教学法作 了较详细的说明。 自 从 2 0世纪 7 0年代以来. 开放题己经被应用于日本数学课上，日本教师开发出 了许多很好的开放题和教案，并在初高中数学课上加以实施， 学生常常被要求展 示 他们对开放题的解决过程， 同时也 得说明如何得到这个结果的， 以及为什么要 采取他们运用的方法。 近年来， 在美国， 开放性问题的解决已被作为一种问题解 决课的高级形式，越来越广泛地应用。 数学教育正 越来越全球化、 开放化、 信息化， 世界各国数学教育正在坚持自 己优势中学习他人的长处，正在寻求一种平衡。2 0世纪最后 2 0年，中国社会在 改革开放中正大踏步地走向世界。国家的开放， 社会的开放，思想的开放，带来 了 “ 教育的开放 ” 。中国的教育正在继承自己优秀传统的基础上，注意吸收国外 的有益的教育思想方法为我所用。 目 前我国国内普遍进行着的是 “ 课题学习” 和 “ 研究性学习” 。 在 义务教 育数学课 程标准( 实验稿)中，内 容目 标分为四 个部分:数与代数、空间 与图 形、统计与概率、实践与综合运用。在第三学段 ( 7 -9年级) ，“ 实践与综合运 用”部分则以 “ 课题学习”的方式来进行。 1 9 9 7 年2 月， “ 开放题一数学 教学的 新模式” 立项为 全国教育科学 “ 九五” 规划重点课题。其实，我国有关数学开放题的研究开始于 2 0世纪 8 0 年代。1 9 8 0 年第4 期 外国 教育 杂志刊登日 本学者泽田 利夫 从 “ 未完结问题” 提出的 算 术 数 学 课 的 教 学 的 方 案 一 文 ， 这 是 在 我 国 首 ;卿攫影醚巡剑蜂二塑她 文章，之后，先后有王慧斌、王凝、戴再平等介绍一些有关数学开放题的情况。 而 首 先 使 江 整 霓翅迁到戮退翅坦鬓 是 9 9 3 年3 月 一 6 月 在 浙 江 杭 州 市 、 湖州市以及德清县的初中进行的。 此外， 一些国外有关数学开放题的信息进一步 介绍到我国。 如， 胡启迪著文介绍 1 9 9 3 年 7月在日本举行的第 1 7 次国际数学心 理大会上的一堂数学开 放题观摩课， 课题为“ 花圃设计问 题” 并且， 我国的 赵雄 辉、杨公立模拟了这一堂课。 戴再平认为数学开放题可分为四类: 条件开放题、策略开放题、结论开放题 第 3 i 1共 4 4贞 中学数学开放题开发研究 和综合开放题。他认为，数学命题一般可根据思维形式分成:假设一推理一判断 三个部分。一个数学开放题，如果其未知的要素是假设 ( 条件 ) ，则为条件开放 题;如果其未知的要素是推理 ( 方法) ，则为策略开放题;如果其未知的要素是 判断 ( 结论) ，则为结论开放题;有的问题给出一定的情境，其条件、解题策略 与结 论都要求主体在情境中自 行设定与寻找， 这类题目 可称为综合开放题。 除此 之外， 龚雷还从命题要素的发散倾向、 解题目 标的操作模式、 学习 过程的训 练价 值、问 题答案的结构类型作了进一步的 细分。 ( 见龚雷 数学开放题的 常见题型 中学数学教学参考，1 9 9 9 ( 5 ) ) 戴再平认为，数学开放题一般具有以下几个特点: n ( 1 ) 、问题的条件常常是不完备的; ( 2 ) 、问题的答案是不确定的，且具有层次性: ( 3 ) 、问题的解决策略具有非常规性、发散性和创新性; ( 4 ) 、问题的研究具有探索性与发展性; ( 5 ) 、问题的教学具有参与性和学生主体性; 而刘萍认为开放题具有 以下特点: ( 1 ) 、 非完备性 在开放题中， 要么条件不充足， 要么结论被隐去， 要么 解题方 法和依据不明确，因而其组成要素是不完备的; ( 2 ) 、 不确定性 对于条件开放题而言 ， 其条件可能是多 种多样的; 对于结论开 放题而言， 其结论是不确定的;对于策略开放题而言，其解题策略和依据是不唯 一的; 对于综合开放题而 言，它只是给出一定的问题情景，其条件、解题策略和 a ti e 都需解题者在清景中去寻找和设定; ( 3 ) 、 发散性 在解答开放题时， 必须打破原有的思维模式， 展开联想和想象的 翅膀，从多角度、多方位寻找答案，因而思维模式和方向呈现出发散性: ( 4 ) 、 探究性开放题的解答没有固定的、现成的模式可循，解题者必须要进行 主动思索，来设计解题方案进行解答，因而，开放题的解决需要具有大胆的探索 精神和一定的探索能力; ( 5 ) 、层次性解答开放题的多样性，决定了它能够满足不同层次学生的需求， 使他们都能在 自己的能力范围内探索问题，从而体现出层次性; ( 6 ) 、发展性开放题能够引起学生认知结构发生质的变化， 使他们的知识和能 力得到较大程度的发展和提高; 第 4更 共 4 4页 中学数学开放题开发研究 ( 7 ) 、创新性在解答开放题的过程中， 可能会引出新的问题，也可能会归纳出 更一般的问题， 因而， 开放题有利于培养学生的创新意识 和创造能力。 俞求是认为在知识经济时代， 我们要培养创造性人才，必须推进素质教育， 引 入数学开放题的主要价值是: 有利于培养发散性思维和创造性能力， 还可以 鼓 励学生参与，培养 自 信心:培养合作意识; 追求卓越，培养优化意识，提高解决 问题能力。数学开放题对于培养学生主体意识方面的作用是: 有利于激发学 、 几洲气 尹尹 生的好奇心; 有利于学生积极参与; 能增强学生学习数学的自信心; 使 课堂教学充满生机和活力: 有利于学生自 我意识和独立人格的形成: 有利 于培养学生的探索能 力和创新精神; 有利于形成全面、 深刻的 数学观。 s a w a d a ( 1 9 9 7 , d e v e l o p i n g l e s s o n p l a n s .工 n b e c k e r , j . ( 2 ) 、学生有更多机会综合运用他们所学的知识和技能; ( 3 ) 、每个学生能用 自己特定的方法和理解水平对问题做出回答; ( 4 ) 、开放题能够提供给学生一个合乎逻辑的推理过程: ( 5 ) 、学生有大量机会去积极主动地发现和接受其他同学的方法。 林革在 数学开放题的教育功能和特征一文中提到，开放题有五大教育功 能:1 、有利于培养学生的主体作用;2 、有利于培养学生的创新意识;3 、有利 于培养学土的创新精神; 4 、 有利于培养学生的 创新能力; 5 、 有利于减轻学生的 课业负担。 与 此 同 时 ， 我 们 a 而答案不固定或 者条件不完备的习题，我们称为开放题， ;“ 封闭题是指条件恰当 ( 不多不少) ， 答案固定的习题。 开放性题是条件多余需 选择、 条 件不足需补充或答 案不固 定的 题， : “ 问题不必有解， 答案不必唯一，条件可以多余” ; “ 有多种下确答案的问题 是开放题。 这类问题给予学生以自己喜欢的方式解答问题的机会， 在解题过程中， 学生可以把自己的知识、技能以各种方式结合，去发现新的思想方法 ” 。另外， 有的学者把有不同解法， 多种解答的问题叫做开放题， 如“ 具有多种不同的解法， 或有多种可能的解答笼统地称之为问题的开放性” 。 其次， 还有一些学者将开 放题和与其相类似的 题型 ( 如 探索题)区分开来， 如 “ 对开放题可以做出以下简明的描述: 答案不唯一的问题称为开放题在一 些讨论中 常常把开放题与探索题混同 起来， 可能会 对开放题的 研究带来影响， 有 必要把两者予以区别; 一个问题是开放还是封闭常常取决于提出问题时学生的知 识水平如何。 例如，对 n 个人两两握手共多少次的问题， 在学尘学习组合知识以 前解法很多，是一个开放题， 在学习组合知识之后则是一个封闭题” : “ 我国有人 第 7页 共 4 4页 中学数学开放题开发研究 发学生的学习兴趣， 拓展学生的思维空间，有利于培养学生的表达能力和批判、 评价能 力， 有 利于提高学生的数学应用能力等。 数学开放的 学习， 还直接关系到 学生的 数学观及其在数学学习中的 态度和信念， 这些都与当前素质教育的要求是 相吻合的。 本文在对数学开放题的概念、 分类、 特点、 功能等分析的基础上， 给出中学 数学开放题开发的一般过程和具体过程，同时给出一些开放题开发的具体例子， 最后在借鉴评价理论的基础上， 给出了中学数学开放题的评价， 并提出今后的研 究课题。 第z章数学开放题的概念 z . 1 数学开放题的概念界定 目 前，对于什么是 “ 开放题” ，大家的意见尚不一致，因而有必要对开放题 、 曰 内、 沪 ，产 户 、， 呜.一 户 曰 声 一、 . 、胡 沪户 目 、 口 、 碑尸 目 、 . 的含义作一些探讨和界定。首先，我们看一些学者对关于什么是开放题的论述。 通 常 ， 忿芝兰燮逆封 t 里 , 遗 t 二 勺 ikn a 矍 p u t -a m , 如 “ 凡是具有完备的条件和固定的答案的习题， 我们称为封闭题;而答案不固定或 者条件不完备的习题，我们称为开放题， ;“ 封闭题是指条件恰当 ( 不多不少) ， 答案固定的习题。 开放性题是条件多余需 选择、 条 件不足需补充或答 案不固 定的 题， : “ 问题不必有解， 答案不必唯一，条件可以多余” ; “ 有多种下确答案的问题 是开放题。 这类问题给予学生以自己喜欢的方式解答问题的机会， 在解题过程中， 学生可以把自己的知识、技能以各种方式结合，去发现新的思想方法 ” 。另外， 有的学者把有不同解法， 多种解答的问题叫做开放题， 如“ 具有多种不同的解法， 或有多种可能的解答笼统地称之为问题的开放性” 。 其次， 还有一些学者将开 放题和与其相类似的 题型 ( 如 探索题)区分开来， 如 “ 对开放题可以做出以下简明的描述: 答案不唯一的问题称为开放题在一 些讨论中 常常把开放题与探索题混同 起来， 可能会 对开放题的 研究带来影响， 有 必要把两者予以区别; 一个问题是开放还是封闭常常取决于提出问题时学生的知 识水平如何。 例如，对 n 个人两两握手共多少次的问题， 在学尘学习组合知识以 前解法很多，是一个开放题， 在学习组合知识之后则是一个封闭题” : “ 我国有人 第 7页 共 4 4页 ! 兰墼兰茎竺璺茎垄里壅 发学生的学习兴趣，拓展学生的思维空间，有利于培养学生的表达能力和批判、 评价能力，有利于提高学生的数学应用能力等。数学开放的学习，还直接关系到 学生的数学观及其在数学学习中的态度和信念，这些都与当前素质教育的要求是 相吻合的。 本文在对数学开放题的概念、分类、特点、功能等分析的基础上，给出中学 数学开放题开发的一般过程和具体过程，同时给出一些开放题丌发的具体例子， 最后在借鉴评价理论的基础上，给出了中学数学开放题的评价，并提出今后的研 究课题。 第2 章数学开放题的概念 2 1 数学开放题的概念界定 目前，对于什么是“开放题”，大家的意见尚不一致，因而有必要对开放题 的含义作一些探讨和界定。首先，我们看些学者对关于什么是开放题的论述。 通常，些学者把问题条件不固定，答案不唯一，这样的问题! q 开放题，如 、，11。、，、，、，7、。、_4、_，-_6_，o、，40。” “凡是具有完备的条件和固定的答案的习题，我们称为封闭题：而答案不固定或 者条件不完备的习题，我们称为开放题”；“封闭题是指条件恰当( 不多不少) ， 答案固定的习题。开放性题是条件多余需选择、条件不足需补充或答案不固定的 题”：“问题不必有解，答案不必唯一，条件可以多余”；“有多种i f 确答案的问题 是开放题。这类问题给予学生以自己喜欢的方式解答问题的机会，在解题过程中， 学生可以把自己的知识、技能以各种方式结合，去发现新的思想方法”。另外， 有的学者把有不同解法，多种解答的问题叫做开放题，如“具有多种不同的解法， 或有多种可能的解答笼统地称之为问题的开放性”。 其次，还有一些学者将开放题和与其相类似的题型( 如探索题) 区分开来， - ，1 ，- 。、一 如“对开放题可以做出以下简明的描述：答案不唯一的问题称为开放题在一 些讨论中常常把开放题与探索题混同起来，可能会对丌放题的研究带来影响，有 必要把两者予以区别；一个问题是开放还是封闭常常取决于提出问题时学生的知 识水平如何。例如，对n 个人两两握手共多少次的问题，在学生学习组合知识以 酊解法很多，是一个开放题，在学习组合知识之后则是一个封闭题”；“我国有人 第7 页共4 4 页 中学数学开放题开发研究 把条件隐晦出现的，结论不明显给出的，结果变化较多的题目，也称为开放题， 恐怕未必恰当，因为这类题的答案都是唯一的，“终点”不是开放的，没有回旋 的余地，所以还是属于技巧题与猜想一证明题。” 最后，有学者认为，开放题不是绝对意义下的开放，而是相对于特定对象、 、7 _ 、，、_ 。、_ 7 。一、- ，、。_ - 、 特定目的、特定设问方式而言的，如“数学开放题并不是普通的数学问题，而是 、- ， - _ 、_ ，_ _ _ _ 、，。_ _ 。一 为了达到一定的教育目的而精心编制设计的数学问题，正因为如此，一道数学开 放题总是相对具有特定的经验和知识水平的一类学生而言的即使是一道传 统的封闭性数学问题，也可以通过改变其设问方式而将其改编为具有开放性的习 题。数学开放题是指那些答案不唯一，并在设问方式上要求学生进行多方面、 多角度、多层次探索的数学问题”；开放题是有不同或多种正确答案，并且有不 同得到正确答案方法的问题。 根据前苏联学者b a 奥加涅相在研究习题理论时曾运用的“要素分析法”， 数学的问题可看成一个系统：( y ，o ，p ，z ) ，系统中的各要素分别是：y 表示条件； 0 表示勰题的依据；p 表示解题的方法：z 表示问题的结论。根据学生对这四个 要素知道的多少，数学问题可以分为四类： 标准型题：四个要素均为已知； i ) i i 练型题：四个要素有一个未知或不完备； 探索型题：四个要素有两个未知或不完备： 问题型题：四个要素有三个未知或不完备； 现行中学课本上的习题大多数都具有完备的条件和固定的答案，解题的依据 也在学生主体已有知识的范围内，基本上属于标准型或训练型题，这里统称为“封 闭题”，而探索型题和问题型题，这里统称为“开放题”。当然，就数学开放题的 概念，还有许许多多不同的定义。 例1 数学开放题概念的论述，我们看下面的例子。 日本横滨国立大学桥本吉彦开发) 如图2 一l ，在透明塑料做成的长方体容器中灌进一些水，固定容器的一边 将其倾倒，随着容器的倾斜度不同，水的各个表面的图形和大小也不同，试尽可 能多地找出这些图形形状和大小之间所存在的各种规律。 第8 页共4 4 页 中学数学开放题开发研究 这一道开放题。其条件是不固定的，答案也有多种。下面是可能找到的有关 水的各个表面形状和大小之间所存在的规律： ( 1 ) 、水面是矩形； ( 2 ) 、四个侧面中，一组对面是直角梯形，另一组对面是矩形； ( 3 ) 、水面面积的大小是变化的，如图1 1 所示，倾斜度越大，水面的面积越 大； ( 4 ) 、形状为直角梯形( 如a b d c ) 的两个侧面的面积是不变的；这两个直角梯 形全等： ( 5 ) 、在侧面中，两组对面面积之和相等： ( 6 ) 、形状为矩形的两个侧面的面积之和为定值； ( 7 ) 、口+ b 为定值： 例2 a 、1 3 、c 三人做“投石子”的游戏，其结果如图2 2 所示。这个游戏是以 石子最“集中”者为优胜。试想一想怎样用“数”来表示这个“集中的程度”， 然后确定优胜者。 第9 页共“页 中学数学开放题开发研究 a b ( 图2 2 ) c 这个题的关键是确定石子的“集中程度”，而确定方法有多种，下面是可能 找到的确定方法：a ( 1 ) 、连接5 点的多边形的面积； ( 2 ) 、连接5 点的多边形的周长： ( 3 ) 、连接任意两点的线段长度的最大值： ( 4 ) 、连接任意两点的所有线段长度的和； ( 5 ) 、从某点出发连接各点的线段长度的和 ( 6 ) 、覆盖5 点的最小圆的半径； ( 7 ) 、每两点之间距离的标准差。 e c fb ( 图2 - - 3 ) 例3 如图2 3 所示，在r t a a b c 中，已知z c = 9 0 。，c d 上a b ，d e 上a c ， d f 上b c ，你能在图中找出多少个直角三角形? 若r t z l 4 b c 为等腰直角三角形 呢? 再进一步思考：从图中可以得到哪些有关边、角和形的关系? 我们可以看到，例一条件是不固定的，答案也有多种，可以找到多个有关水 的各个表面形状和大小之间所存在的规律：例二中确定哪五个石子最集中的方法 有多种，得到结论也有多种；而例三题目并不要求回答“图中有多少个直角三角 形”，而是要求回答“你能找到多少个直角三角形”，所以不管学生找到多少个三 角形，都是对问题的一个回答，并且要求学生写出有关边、角和形的关系，这就 要求学生对这一问题进行多方面、多角度、多层次的探索和思考。 通过以上例子，我们可以对“数学开放题”作一个具体描述：“数学开放题 、，o d 。、，、- 一 墨塑塑些叁缝丕麦垂壅乏龟z 餐蹇至煎室惑趸堡= ：直芝登鲤篷壅鎏：茎善巷 学生进行多方面、多角度、多层次探索的数学问题。” 第1 0 砸共4 4 耍 中学数学开放鹿开发研究 2 . 2 数学开放题的分类 熨 丝 旦 塑迪壑望璧廷妾 燮终些鲤塾 自古以来，各种问题就在数学课程中占据重要地位，但 “ 问题”和 “ 问题解 决” 确实存在多种含义。 美国学者韦伯斯特 ( w e b s t e r , 1 9 8 3 ) 对问 题作了如下表 述: “ 在数学中，问题是那些要求做出解答的任何事物，是让人感到费解 或困难的东西。 ”哈尔莫斯 ( h a l m o s )简明扼要地把问题解决说成是 “ 数学的核 心” 。把数学视为一门问题解决的学科，并把问题解决作为数学教学的焦点，在 这方面做出努 力的最有名的数学 家要算 波利亚 ( p b l y a ) ， 他在 如何解题 这本 书中引 用进 “ 现代启发法” 这一术语来阐 述问 题解决。 而数学开放题是数学问 题 的一部分， 戴再平将数学开放题分为条件开放题、 策略开放题、结论开放题和综 合开放题四类，我们认为，从问题来源及开放题开发方面来看， 数学开放题可以 分为两类:基于课本题目 的开放题以 及基于实际情景的开放题。 我们碰到 过的各种数学作业以 及数学 课本习题、 例题是一些常规练习， 是给 学生提供一些实践机会， 让他们熟练掌握自己 学过的某些特定数学知识和掌握一 些数学技巧。 而基于数学课本题目 的开放题是一些在熟练掌握解决常规问 题的 技 巧后综合运用多种数学知识 和技能来解决的问 题， 这样的 解决过程对于学生创 造 性思维的培养， 对于数学知识的 综合 运用， 对于学生探索能力的提高都有积极作 用。 而基于实际生活问题的开放题是运用数学知识解决实际问题的重要形式之 一。 由于实际生活问题的纷繁多变， 观察者观察角度的 不同， 将实际生活问 题转 化成数学问题的目 标手段、 形式的不同， 求解过程所使用的 数学方法、 工具和策 略的不同，都能形成问题和结果的 “ 开放” ，况且，这样的问题大都和学生生活 联系较密 切， 容易引 起学生的兴趣， 当然课本中也有类似的开 放题， 我们这里所 说的基于实际生活问题的开放题是就学生所具备的数学知识， 可以根据其所熟悉 的数学方法和技巧，经过积极努力和探索可以解决的生活实际问题。 第 u 页 共 a s页 中学数学开放题开发研究 2 . 3 数学开放题的特点 我们认为，数学开放题主要区别于其它题型的特点是它的发散性、层次性、 、 一 沪 卜砂 、 、一 ， 一 一 一 一- 尹沪 户 - -、 一一 、一沪 沪 一 一 八 一一 一 . 发展性和创新性。 、 气 声 产 一 一 种 尹 由于开放题要么条件不充足， 要么答案不唯一，要么解决方法多种多样， 这 样就要求学生从多角度、 多方位寻找问题的答案， 因而其思维模式和方向呈现出 发散性， 这样就要求学生必须进行主动思索，积极探索， 从而也有利于学生发散 思维的培养，同样 由于开放题答案我多样性，思考角度的多样性，要求学生在解 决开放题的过程中进行合作交流，相互借鉴，取长补短。 开放题应该适合不同层次学生的需求， 在基于他们各 自不同的能力、 不同思 考方法、不同解题策略等的基础上探索研究问题， 得出各自的结论。开放题答案 的多样性，决定了它能够满足不同层次学生的需求， 使它们都能在 自己的能力范 围内探索问题， 这就给各层次学生提供了充分表达自己的观点、 发展各自想象力、 展开数学思维和方法交流的机会， 唤起了学生的主体参与意识， 使学生敢于独立 思考，主动开拓，提出质疑，这样学生的主动性得到充分发挥，不同层次的学生 都得到不同发展。 一个好的开放题还应该有好的引申性、发展性，由这些问题出发， 可以得到 一系列的问题，可以由此总结出一般的数学规律、数学方法。 数学开放题的解决， 通常就是鼓励学生 自己尝试探索， 多角度激活学生的创 造性思维，鼓励学生大胆地创新和想象，全方位多角度地求解，产生尽可能多、 尽可能新、 尽可能独特的解题方法，以利于培养学生的创新意识、创新能力和创 新精神。 2 . 4 数学开放题的教育功能 首 先 ， 数 学 开 放 题 lj遥矍选生组华塑遨华开 放 题 具 有 的 层 次 性 ， 为每个学生提供了 动手操作和参与探索的机会， 为他们提供了 充分表达自 己 观 点、 相互交流彼此方法和想法的机会，拓展了学生发挥各 自 想象的空间， 使每个 学生都能体会到 成功的 快乐; 同时， 由 于具有的发散性特点， 能 激发学生学习 数 第 1 2 贝 共 a s页 中学数学开放题开发研究 2 . 3 数学开放题的特点 我们认为，数学开放题主要区别于其它题型的特点是它的发散性、层次性、 、 一 沪 卜砂 、 、一 ， 一 一 一 一- 尹沪 户 - -、 一一 、一沪 沪 一 一 八 一一 一 . 发展性和创新性。 、 气 声 产 一 一 种 尹 由于开放题要么条件不充足， 要么答案不唯一，要么解决方法多种多样， 这 样就要求学生从多角度、 多方位寻找问题的答案， 因而其思维模式和方向呈现出 发散性， 这样就要求学生必须进行主动思索，积极探索， 从而也有利于学生发散 思维的培养，同样 由于开放题答案我多样性，思考角度的多样性，要求学生在解 决开放题的过程中进行合作交流，相互借鉴，取长补短。 开放题应该适合不同层次学生的需求， 在基于他们各 自不同的能力、 不同思 考方法、不同解题策略等的基础上探索研究问题， 得出各自的结论。开放题答案 的多样性，决定了它能够满足不同层次学生的需求， 使它们都能在 自己的能力范 围内探索问题， 这就给各层次学生提供了充分表达自己的观点、 发展各自想象力、 展开数学思维和方法交流的机会， 唤起了学生的主体参与意识， 使学生敢于独立 思考，主动开拓，提出质疑，这样学生的主动性得到充分发挥，不同层次的学生 都得到不同发展。 一个好的开放题还应该有好的引申性、发展性，由这些问题出发， 可以得到 一系列的问题，可以由此总结出一般的数学规律、数学方法。 数学开放题的解决， 通常就是鼓励学生 自己尝试探索， 多角度激活学生的创 造性思维，鼓励学生大胆地创新和想象，全方位多角度地求解，产生尽可能多、 尽可能新、 尽可能独特的解题方法，以利于培养学生的创新意识、创新能力和创 新精神。 2 . 4 数学开放题的教育功能 首 先 ， 数 学 开 放 题 lj遥矍选生组华塑遨华开 放 题 具 有 的 层 次 性 ， 为每个学生提供了 动手操作和参与探索的机会， 为他们提供了 充分表达自 己 观 点、 相互交流彼此方法和想法的机会，拓展了学生发挥各 自 想象的空间， 使每个 学生都能体会到 成功的 快乐; 同时， 由 于具有的发散性特点， 能 激发学生学习 数 第 1 2 贝 共 a s页 中学数学开放度开发研究 学的兴趣， 使学生乐于参与， 久而久之这样的学习过程就会成为学生主动学习的 动力，并且 培养了他们对学好数学的自 信心 和团结协作的精神。 其 次 ， 数 学 开 放 题 套j -t 选拿雏迎皿塾夔冀笔迎达堕终 由 于 开 放 题的条件、 结论以及方法的开放性涉及的数学知识和技能不止一种， 这就为他们 综合运用所学过的知识提供了条件，使所学过的知识融会贯通，形成知识网络， 而这种能力是学生继续学习的推动力， 对学生将来走上社会后合理处理问题奠定 了基础。 最后，数学开放题有利于培养学生的创新意识、创新能力和创新精神。由于 峪 一 一. 一一、 一 一一一一 好奇是学生的天性， 他们对新知识、 新事物和新问题都会产生强烈的求知欲和浓 厚的兴趣，