（理论物理专业论文）overlap格点费米子及其在强耦合极限下的若干性质的研究.pdf

论文题目：0 v e r l a p 格点费米子及其在强耦合极限下的若 干性质的研究 专业：理论物理 硕士生：关毅 指导老师：罗向前博导教授 摘要 o v e r l a p 费米子方案是近年来提出的一个关于格点费米予的新方案。该 方案的优点在于既消除粒子数加倍又保持手征对称性。因此，o v e f l a p 费米子已 经受到学界的越来越多的关注。在本论文中，我们将引入一个参数“，对o v e f h p 费米予算符进行强耦合展丌，来研究它在强耦合极限下的性质。我们首先求出在 强耦合极限下的等效作用量，然后根据这个等效作用量首先求出单色念的介 子m 的期待值及其与裸夸克质量m 。，然后求出序参量( 劢) ，并证明手征对称性 将发生自发破缺，将出现卜h m b u g o l d s t o n e 粒子( 介子) ，最后是将玎介子的 质量求出来，并证明p c a c 关系得到满足。 关键词：o v e r l a p 费米子、强耦合极限、等效作用量、石介子质量。 t i u e ：l a t t i c eq c dw i t ht h eo v e r l a pf e n 帆i o n sa n dt h e i r p m p e r t i e sa ts t r o n gg a u g ec 仰p h n gl i m i t m 旬o r ：t h e o r e t i c a lp h y s i c s n a m e ：y ig u a n s u p e r 、r i s o r ：p r o f x i a n g - q i a nl u o a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w 色w i l lg e n e m l i z eo v e r l a pf e r m j o n 丘o mt h ef o r m a l i s m0 f n e u b e r g e rf e r m i o nb yi n t m d u c i n gah o p p i n gp a f a m e t e fh w 色e x p a n d “d 打a c ” o p e r a t o ro ft h i sf c r m i o nf o r m a l i s mi np o w e r so f “、v ca p p l yt h i sf o 瑚a l i s mt ot h e l a t t i c eq c da n ds t u d yi t sp r o p e r t i e sa ts t m n gg a u g ec o u p l i i i gl i m i t f i r s t ，w ed e r i v ea n e f f e c t i v ea c t i o n ，丘o mw h i c hw eg e tt h ee x p e c t a t i o no fc o l o r - s i n 9 1 e t “m e s o n ” 1 1 e l dma n di t sr e l a t i o nw i t hb a r eq u a r km a s sm 。t h e nw ed e r i v et h eo r d e r p a r a m e t e r ( 初) ，a n dp r o v et h a tt h es p o n t a n c o u s b r e a k d o w no ft h ee x t e n d e dc h i r a l s y m m e t r yo c c u r s a n dt h e r ee x i s tn a m b u g o l d s t o n ep i o n s l a s tw ew i l ld e r i v et h e m a s so fp i o n ，a n ds h o wt h a tt h ep c a cr e l a t i o ni ss a l i s f i e d k e yw o r d s ：o y e r l a p 危m 面n ，s t r o i 唱c o u p l c 虹i t ，e 旋c t 主v ea c t i o n ，p i o nm a s s i i 第一章绪论 格点规范理论是研究q c d 非微扰效应的可靠工具。但是，经过时空的 离散化后，我们以前所使用的格点费米子方案或者存在着粒子数加倍问题，或者 存在破坏手征对称性问题。这是长期以来，格点规范理论里的最为突出的问题。 1 9 9 5 年，n e u b e r g e r 和n a r a y a n a n 提出了o v e r l 印费米子方案【1 】，其优点是解决 了粒子数加倍问题，同时又保持了手征对称性。正由于o v e r l a p 费米子方案具有 如此的先进性，所以迅速成为一个新的研究热点。然而，关于o v e r l a p 费米子的 解析研究基本上都是采用弱耦合展开。因此，我们很有必要研究在强耦合规范场 相互作用下的o v e r l a p 费米子，并研究它在强耦合极限下的性质。 本论文的内容安排如下： 第二、第三、第四、第五章，我们将对传统的格点费米子方案、n e u b e r g e r 的o v e r l a p 费米子、g r a s s m a n n 代数和i c h i n o s e 和n a g a o 的强耦合展开的o v e r l a p 费米子进行介绍，务求通过以上的介绍使读者能够更好的理解以后的内容。在第 六章里，我们将引入一个参数“，按“的幂次对o v e r l a p 费米子算符进行强耦合展 开，得到o v e r l a p 费米子的强耦合展开形式。在第七章里，我们将得到的o v e r l a p 费米子强耦合展开形式应用到强耦合极限的情形进行研究，得到单色念的介子 m 的期待值及其与裸夸克质量m 。，得到序参量( 劢) ，并证明手征对称性将发生 自发破缺。在第八章里，我们通过玎介子的等效作用量s 嘉将”介子的质量求出 来。在最后一章罩，我们将对未来的工作作出展望。 第二章三种常用的格点费米子方案 在过去，当我们要研究费米予的格点q c d 的时候，n a i v e 费米子方案， w i l s o n 费米子方案，k o g u t s u s s k i n d 的s t a g g e r e d 费米子方案是我们最为常用 的几个方案。但是，这三个方案或者存在着粒子数加倍问题，或者存在破坏手征 对称性问题，所以并不是格点q c d 的最理想方案。 2 1n a ￥v e 费米子和粒子数加倍 以3 + 1 维时空为例，我们考虑欧几里德空间的d i r a c 方程 2 ( f y ：a 。一，七) 妒( k ) = o ， ( 2 1 ) 这里， r 矩阵y ：满足以下代数关系 分：，y # 一2 6 ( 2 2 ) 我们对由d i r a c 方程所决定的费米子的作用量进行离散化处理后，就可 以得到n a i v e 费米子作用量 s ”荔卿，障知蛾，吨，小哦卜 这里，口是格距。 通过上面的n a i v e 费米子作用量，我们可以得到n a i v e 费米子的两点关 联函数 纵一觋z 等静 训， 这罩，芦的定义如下： 瓯= 丢s i n ( 即) ( 2 5 ) 当我们按照在标量场的做法，让n o ，声。一儿，希望让( 2 4 ) 中的 n a i v e 费米予两点关联连函数在连续极限下回归到连续理论中的费米子的两点 关联函数。但是，这时候，我们就会遇到粒子数加倍的问题。 p 。 。 ，。一一 f - 柏7a ， 、一 。= 1 a 图2 1 中描述的是f 。与以在布里渊区内的函数的关系。连续极限是由在以to 和 p 。一石口附近的动量确定。 图2 1 中描述的是芦。与儿在布里渊区内的函数的关系。图中的正弦曲线 描述的是( 2 。5 ) 中的函数关系，而直线对应着f 。一p 。我们可以看到，在原点 附近，接近连续极限处，这里的情形与标量场的情形类似，只有当动量比较大时， 两条曲线才会发生比较明显的背离。然而，破坏了这个费米子方案正确的回归到 连续理论中的结果的是正弦函数( 2 5 ) 在布里渊区边缘的零点值。这使得在积 分( 2 4 ) 中存在着1 6 个这样的区域，当4 0 时，p 。取有限的值。除了原点 以外，这十五个区域是：d ，0 ，o o ) ，( o ，万，o ，o ) ，( 0 ，o ，玎，o ) ，( o ，o ，o ，玎) ，如，丌，0 ，o ) ，( 玎，o ，刀，0 ) ， ( 玎，o ，0 ，石) ，( o ，玎，玎，0 ) ，( o ，玎，0 ，玎) ，( 0 ，o ，石，玎) ， ，玎，石，0 ) ，( 石，玎，0 ，玎) ，0 ，o ，石，玎) ，( 0 ，丌，石，万) ， ，石，玎，丌) 。这十五个区域包含了高的动量激发态，这使得它们每一个的动量分 布函数都有一个独立的粒子的传播子的特征形式。这就意味着，产生了1 6 种不 同的粒子。这就是粒子数加倍问题。 3 2 2 w i l s o n 费米子和s t a g g e r e d 费米子 为了解决粒子数加倍问题，我们考虑修改( 2 3 ) 的作用量，引入一个附 加项，而这个附加项在趋向于连续极限时就会消失。 喝一等荔叫监掣p 这就是w i l s o n 费米子方案。 从w i l s o n 费米子作用量( 2 6 ) ，我们可以得到w 订s o n 费米子两点关联 函数 刚= 嬲z 等舞半叭) ， 这罩，f 。的定义仍和( 2 5 ) 中的一样，还有 川( p ) 一。+ 詈；咖2 ( p 2 ) ( 2 8 ) 从上式，我们可以看到，在一般的区域，无论p 。取何值，当口一o 时，研0 ) 就会趋向于川。而在布里渊区的拐角处附近，当我们令n 一0 时，m ( p ) 就会出 现发散，这样就消除了粒子数加倍问题。 但是，为了解决粒子是加倍问题，这个方案付出的代价是牺牲了手征对 称性。当我们对w i l s o n 费米子进行手征变换妒一e ”，妒，万一面罾“n ，无论是质 量项还是我们新加入的w 订s o n 附加项都明显的破坏了手征对称性。即使我们令 m 。= o ，也不能使手征对称性得到恢复。这使得这个方案在研究与手征对称性有 关的问题时，例如格点q c d 的手征对称性自发破缺，变得无能为力。 s u s s k jn d 存研究格点规范理论的哈密顿量时，发现了可以减少粒子数加 倍的方案。这个方案就是s t a g g e r e d 费米子方案。 4 对于n a i v e 费米子的拉格朗同密度 3 k * 亨劬) ；去嘣。一。，+ 肌成卜 ( 2 9 ) 我们做以下的幺正的相似变换 妒0 ) = q ( n ) v ( ，1 ) ， 矿0 ) 一o ) q + 0 ) ， q ( ，1 ) 一片片厅y ：4 ， q + 0 ) y ，t ，q 0 ) 一) t ， 巩) _ ( 一旷2 ”， ( 2 1 0 ) 矾0 ) 一1 ， 这旱，h 是无量纲的位置指标。算符t 。的定义如下： t 。，( n ) 一，( ，l p ) ( 2 1 1 ) 经过变换，我们可以得到 三”一耋可沏) 去；州。一。，+ m 。k 卜c n 这时，手征对称性依然是保持完整的。这里有， q + ( ，1 ) y5 q ( n ) = y5 叩5 ( n ) ，7 5 ( 九) = ( 一1 ) + + + 扎， 1 王，研) 一p “m 5 “v 印) ，( 2 1 3 ) 面o ) 一面o ) e 脚蚋 我们如( 2 1 2 ) 那样改写了拉格朗日密度以后，就意味着存在着四种格 点费米子，它们有相同的拉格朗日密度。也就是说，( 2 1 2 ) 是由四个粒子的场 构成的。我们可以任何一个组成场z 的拉格朗f = 1 密度写出来，这就是s t a g g e r e d 费米子的拉格朗r 密度。 5 l 螂，牙如) 【去；，7 ，( 6 。一，一6 。+ ，) + 珑。6 。k 。) ( 2 1 4 ) 在有限的格距下，( 2 1 4 ) 对于整个手征集并不都是保持不变的。但是， 对于；o 的情形，u ( 1 ) 【，( 1 ) 的手征对称性 z 0 ) 一已胁”z ( 咒) ， 牙( ，z ) 一牙( 玎) e 。舢泌砺” ( 2 1 5 ) 仍然得到保留。 因此，s t a g g e r e d 费米子方案可以用来研究u ( 1 ) ，( 1 ) 对称性自发破缺和 g o l d s t o n e 现象。 6 第三章n e u b e r g e r 的o v e r l a p 费米子算符 根据g i n s p a r g w i l s o n 关系，学者h e r b e r tn e u b e r g e r 在他的一篇文章 1 里和n a r a y a n a n 一起构造了一个零质量夸克的格点费米子算符d ，称之为 o v e r l a p 费米子算符，并且他在随后发表的文章 4 中证明了这个格点费米子算 符d 满足g i n s p a r g w “s o n 关系 5 。 按照n e u b e r g e r 的方案，格点费米子算符d 的定义如下： 首先，定义矩阵x ) 硼，= ( 譬曰斟 c s - ， 在这里 ( c ) 一丢蹇哪刺) 。吨“吲y ) ) f 】， ( 耽咖厚= 丢塞鸽t ，川) 。战一昭y 现】 ( 3 2 ) x ，y 是格点上的坐标。a ，声是维尔自旋指标。i ，j 是颜色指标。u 。o ) 格点链上的规范场算符。m 是一个自由参量，令它的范围在区间( o ，一1 ) 之间。 盖) 是一个和格点费米子算符d 密切相关的矩阵，它们之问的关系是 d 。! ( 1 + x 占) ( 3 3 ) o q x + x 其中a 是格距。 除了在d e t ( x ) = 0 的特殊情形外，他们对d 的定义总是有效的。在这 里他们还假设这种特殊的情形在统计上是可以被忽略的。 算符d 具有一些非常有价值的特点。首先，d e td 正好是无质量夸克的 费米子矩阵行列式的很好的正则化表示。其次，算符d 的本征值谱集中在复 平面的圆周1 + p 沁上，毋【0 ，幼】。 7 以下的是证明n e u b e r g e r 所提出的这种o v e r l a p 格点费米子算符d 满足 g i n s p a r g w i l s o n 关系 他们首先定义一个幺正算符y ，使得 y ：x ! qx x ( 3 4 ) 在这罩，他们有关于x 算符的一个重要的性质 6 y 5 研5 一z + ( 3 5 ) 这样，他们就可以有 111矿 1 7 5 而舻丽2 万。而以一而 ( 3 6 ) 上式就意味着 y5 d 一1 + d 一1 y5 = y 5 ( 3 7 ) 也就是说，算符d 满足g i n s p a r g w “s o n 关系，得证。 8 第四章g r a s s m a n n 代数 4 1g r a s s m a n n 代数的概念 元素哺，7 ：，t 7 ，可被称为g r a s s m a n n 代数的生成元，如果它们之间满足 以下的反对易关系 2 ： 仇，叼 t 7 f 叩+ 叩叩f = o ， 特别的，有 叩? = o 可以定义由g r a s s m a 肌代数的生成元碾的幂级数所构成的多项式函数： m ) i ，0 + ，f ”伽一，7 + ，垃舶孙卅v i - 我们最感兴趣的情形是当，聊) 是一个高斯型函数时的情况 ，( 叩) ；p 一! ，- 一1 t ”_ ， 根据反对易关系，我们很容易就得到 删2 n ( 1 叫 f _ 如果这个函数是由2 n 个g r a s s m a n n 变量所构成的 ，( 叩，矿) 。p 一o 研山”， 我们也可以类似地有 m 厕2 n ( 1 一玩 叩a 4 2g r a s s m a n n 代数的积分 9 ( 4 1 ) ( 4 2 ) ( 4 3 ) ( 4 4 ) ( 4 5 ) ( 4 6 ) ( 4 7 ) g r a s s m a n n 代数的积分形式定义如下 d 叩r m ) ( 4 8 ) 在式子( 4 3 ) 罩，我们已经给出了关于函数，) 的一般结构。由于任何的 g r a s s m a n n 变量在，( 叩) 的任何单项式单! 最多只能存在一次幂项，所以以下给出的 两条积分规则已经足以指导计算任何的g r a s s m a n n 积分： i 姻ii q ， 厂d 叩。叩；= 1 4 9 系 另外，我们还必须注意到，g r a s s m a n n 积分测度埘吼 也同样满足反对易关 d 协，d 叩j ) = d 叩f ，叩 = 0 ，v z ，_ ， ( 4 1 0 ) 以上的积分规则虽然和我们所熟悉的其他积分的规则有很大差别，但 g r a s s m a n n 积分在计算费米子的格林函数路径积分表达式时有极其重要的应用。 我们一下面的积分为例： 州) ；j 卉d 玩帆e 一孙锄， ( 4 根据前面的式子，我们有 e 五矾玑：i p 画h 由于玩2 一o ，砰= o ，所以上式的展开式只有前面两项是有贡献的，因此 e 一“听。口。( 1 一玩爿1 f l 叩) ( 1 一瓦么2 ；：叩，：) ( 1 一瓦彳f ，叩h ) ( 4 1 3 ) 根据g r a s s m a n n 积分规则，式子( 4 1 1 ) 的被积函数必须包括所有的全体 g r a s s m a n n 变量的组合。因此，我们只需考虑所有具有以下形式的项 足( 叩，彳) 2 叼瓦。叩2 顷：”叩w 玩。4 爿2 f ：氐。 ( 4 1 4 ) 我们可以利用反对易关系去消除式子( 4 1 3 ) 中的负号。当我们交换等式 ( 4 1 4 ) 中的任意一对下标和- 时，式子( 4 1 4 ) 是反对称的利用这一关系， 我们可以重新排列该式的g r a s s m a n n 变量，结果如下 k ( 叩，可) = 叩1 玩叩2 玩，7 _ s 印：j 3 山爿1 f 1 彳2 f 2 4 f ， ( 4 1 5 ) 1 l h 哳 这里，是一个n 维的张量。我们发现k 加，可) 是j 下比于矩阵a 的行列式的 k ( 叩，可) 一( d e t 彳) 叩1 巧j 叩2 玩叩酉- 将上式代回到( 4 “) 中，有 ，c 爿，= 尊，d 玩d 仇仇玩 d e t 彳= d e t 4 删】= l l = i p 玩帆嘱| d e l 彳_ d e t a 最后，我们得到以下结果 r d ( 矿叩) p 一孙蜘，。d e f 爿， r d ( 矿叩扣厶小1 ”“一d e f 爿， ( 4 1 6 ) ( 4 1 7 ) d 何 7 ) 2 珥d 玩咖， ( 4 _ 1 8 ) 我们还有另外一条非常重要的公式，需要推导 ，1 1 彬“【彳】= j d ( 矿叩) ，7 。，叶瓦。e 一孙伽， ( 4 1 9 ) 我们首先考虑一下的生成函数 z 帅卜户何叩弦五咖泓m 制， ( 4 2 0 ) 这里所有的下标都是从l 到n 。 n ) 和 磊 是外源，而且都是满足反对易的 关系的g r a s s m a n n 元素。 为了计算生成函数z 【p ，刀，我们将它改写成以下形式 z 【p ，万】2 。( 万叩) e 一j m e 4 p i “尹p j ， ( a 2 ，) 这里 叩：= 礓一1 n ， 私丽一瓦甜 一。是矩阵爿的逆。利用积分测度不变性和式子( 4 1 8 ) ，我们有 z 【p ，万】；d e t 爿e u j 所1 n ( 4 2 2 ) 4 3g r a s s m a n n 代数的差分 以下介绍的是在( 4 3 ) 中所定义的函数空间里的g r a s s m a n n 偏微分。偏微 分的规则如下： 1 ) 如果，( ，7 ) 不含有变量仇，那么d 。，( 叩) = o 2 ) 如果，0 7 ) 含有变量叩j ，那么左微分就相当于利用反对易关系将变量 琅移到最左边，然后应用以下规则 三研1 d 吼 ( 4 2 3 ) 同样，我们也有右微分的定义。同样是利用反对易关系将变量移 到最右边，然后应用以下规则 仇击= l 例如，当f * ，时，我们有 d 面叩以一叩， 一 j 吼而一卵， 值得注意的是，出于g r a s s m a n n 积分的特殊定义，我们有 1 2 ( 4 2 4 ) ( 4 2 5 ) p 吖( 加去， ( 4 z e ) 因此，对碾进行积分就相当于对这个变量进行偏微分 现在我们应用这些规则到最感兴趣的情形，考虑函数 e ( 万) ；e 肌， ( 4 2 7 ) 在这里，协，历) 都是g r a s s m a n n 代数的生成元。如果它们是一般的c 数， 当e ( 刃；叩f e ( 刃 ( 4 2 8 ) 我们将上式应用到( 4 2 7 ) 中，有 击砸r ( 1 + 即抄 ( 4 2 9 ) e 一n ：玩p 一“ ( 4 3 0 ) d _ p f 现在我们注意力回到生成函数( 4 2 0 ) 。应用上面的结果，很容易就得到 k 州小 蠹云z 阪刁者去l - 0 生成函数在物理研究中有极其重要的作用。为了更进一步研究它的性质， 我们将生成函数的表达式( 4 2 1 ) 改写成如下： z p ，万】= d e t 4 兀p n - 奄1 。= ( d e t ) ( 1 + 厄彳墨p ) ( 1 + 磊：彳嚣：p i ：) ( 1 + 瓦爿矗p t ) 】 1 3 在这里，l 。】代表其他的不包含变量历，蔬的项。由于只有包含结构形 如历磊的项才会对等式( 4 3 2 ) 的左微分有贡献，而且因为我们将最后设所 有的源n 和磊等于零，所以我们可以有1 来代替【】。根据以上所说的，我们 可以等价的把z 【p ，刃改写成以下的形式，只保留有贡献的项 三慨小她彳荟磊。爿轨瓦彳飙 ( 4 3 3 ) 这里， t ， 是所有由 ，岛，0 ) 所组成的序列。其中，没有一个下标是 重复的。这样得到 研j d ，万】= d e t 爿乏4 乏爿磊4 藏历。p ”瓦p 这里我们要对所有的置换求和 p ：眨差一甜 。s ， 在等式( 4 3 4 ) 求和中的每个单项，我们都可以用g r a s s m a n n 代数的反对 易规则进行处理，有 三 p ，万】= ( d e t 4 ) ；( 一1 ) 卯彳赢4 藏 ：；( p ，万) ， 这里，( 一1 ) 。是置换数的符号函数。现在将左微分和右微分应用到上面的表 达式中，就可以得到一个很重要的结果 户( 初) 慨矿脚 = 驰t 爿) 乏( 一1 ) 驴镶爿藏， “ 这罩，喜：( 一1 ) 一1 ) “。 1 4 一个特殊的也是最重要的应用是两点关联函数 r d ( 万叩) 叩i 彳f e 一u 叶j 玑：( d e t 4 ) 彳i r d ( 万叩) 叩i 玩e 二1 ”v “= ( d e t 4 ) 彳i 1 一 p ( 初) ，7 ，矿“玩 ”j q 刀扭而万p ( 初弘厶。” 那么我们根据( 4 1 8 ) 和( 4 3 8 ) 的结果，就可以得到 = 爿彳1 在物理上，我们称这样的一个结果叫做一个收缩。 同样的道理，我们也可以得到任意的关联函数，其定义如下 。竺! ! ! ! ! 尘：! ! ! 至立至! ! ：三：! ! 二：! 二： 1 d 瞬们e t 蚺。 ( 4 3 8 ) ( 4 3 9 ) ( 4 4 0 ) ( 4 4 1 ) 其结果是所有的可能的收缩之和，再乘上( 一矿。p 是收缩时的交换数。 1 5 第五章i c h i n o s e 和n a g a o 的强耦合展开的o v e 订a p 费米子 在i c h i n o s e 和n a g a o 的文章 7 ( 8 中，他们成功地从n e u b e r g e r 的 o v e r l a p 费米子形式( 3 1 ) 出发，通过线性地引入一个参量f ，得到o v e r l a p 费 米子的强耦合展开形式。其做法如下： 在d 维的方格点中， d ；! ( 1 + x 士) ， u x + x j 。= ，。c 。o ；m ，2 ) + 占o ；卅，咒) ， c ， ；卅，咒) = 寺0 ，+ 。u ，( 川) 一6 。，u ，+ o ) l 曰肛m ) = 一争+ 寺；阪。以。以伽) 一f 6 。，。+ 。u ：( ，1 ) 】， ( 5 1 ) 这里，d 是o v e r l a p 格点费米子算符。r 和m 。是无量纲的非零自由参 量。当f l ，r - 1 时，( 5 1 ) 中的o v e r l a p 格点费米子算符d 对应着n e u b e r g e r 的o v e r l a p 费米子算符( 3 1 ) 。为了方便起见，他们还定义了如下三个常数： 爿三( 办一m 。) ， 胁三， ( 5 2 ) c 。上 2 口 以及下面的两个量 r i ( 埘，n ) = 6 。+ 。u ，( m ) 一6 ，。u ：m ) ， r ：沏，挖) ：6 。u 。( m ) + 6 。+ 。u ：( 肘) 5 3 这样，把( 5 3 ) 代入到( 5 1 ) 中就得到 x 。= 爿屯。+ c 儿，1 ) 一曰e ，珂) ， ( 5 4 ) 仁+ ) 。一爿屯。一c 托，1 ) 一曰c 何，1 ) ( 5 5 ) 然后- 他制且域对算衍d j 芟r 酮幂次赶仃展 ，就口j 以得到o v e r l a p 贾 米子的强耦合展开形式 n d 舯一 2 日。) 6 。+ 鬲r ，n ) + 南y ，儿仰，f ) 。( l n ) + 南y ，【，f ) e ( f ，以) + 。，f ) ( f n ) 】+ 。3 ) ， 1 7 ( 5 7 ) 第六章强耦合展开的o v e r l a p 费米子 受到i c h i n o s e 和n a g a o 的文章的启发，我们也对o v e r l a p 费米子进行强 耦合展丌，并研究在强耦合极限下o v e r l a p 费米予的一些性质。但是我们并不是 线性地引入一个参量进行展开。我们考虑格距为a 的d 维的方格子。费米子变量 矿) 和妒0 ) 是定义在坐标空间位移为n 的格点上的，而s u ( n ) 规范场【，。0 ) ( 肛 是方向下标，其中；1 一d ) 是定义在格点之间的链0 ，) 上的。根据第二章里 的内容，我们知道了n e u b e r g e r 的o v e r l a p 格点费米子算符d ，这样，我们就 可以写出o v e r l a p 格点费米子的作用量的形式了。其形式如下： s ，= 口4 矿) d ，l 渺( n ) ( 6 1 ) ”- 脚 我们将o v e r l a p 格点费米子算符d 和算符x 改写成以下的形式 d ；土( 1 + 石；) ， a qx x z 。= y p c ( “；m ，n ) + 曰( 比；小，甩) ， c 肛) ：掣h 以”，町。) l 咖；m ) i _ 等+ 云；幽。乩( 击卜以沏) 岫( 击卜m 】， ( 6 2 ) 这里，和m 。是o v e r l a p 格点费米子形式里的无量纲的非零自由参数。 我们还引入了一个新的参数“。显然，当“生墨，：1 时，我们在上面所定义 e 的o v e r l a p 格点费米子形式就回归到n e u b e r g e r 所定义的o v e r l a p 格点费米子形 式( 3 1 ) ( 3 2 ) 。 为了方便计算，我们定义以下常数 1 8 爿。三协一m 。l 口 ( 6 3 ) 在本论文中，我们假设“的值很小，并且按h 的幂次对我们所构造的 o v e r l a p 格点费米子算符进行展开。为了表述方便，再定义以下两个量 沏，九) - 6 m 一一u 一劬) 一6 ”+ 一u ：( n ) ， ( 6 4 ) e ( ，l ，1 ) 一6 ，+ 。u ，( m ) + 6 。，u ：0 ) 我们将( 6 4 ) 的这两条式子代回到( 6 2 ) 中，我们就可以得到关于x 。 和僻+ ) 。的简明的表达式 j 。t 爿屯一! 里笔竽托力+ 三! 里芸型e 劬， ( 6 5 ) 暖、一爿屯+ 掣惦) + 掣c ) ( 6 6 ) 以下，我们将按照“的幂次对o v e r l a p 格点费米子算符d 进行展开，以 求得d 的具体表述。首先，我们要先求出算符x + 工的表达式。同样，我们也 是在“to 附近对该算符进行展开。 根据泰勒展开式，我们知道 川i ，( 0 ) + ，( 帅掣“+ 华 。 ( 6 7 ) 我们将利用这一公式来求得算符x + x 的表述式。 第一步，我们先求出算符x 和x + 对于参数“的一阶和二阶的导数 一阶导数： 1 9 ( x ) 。=五若面芝，r i 沏，咒) 一五i 丽。咖，n 伍+ ) 。一i 吾面y ，似，盯) 一五i 面r ：沏，n 二阶导数： 、。2 五百矿y ，。，n ) 一赤。，咄 僻+ ”) 。五芍笔尹y ，沏，n ) 一五i 三f c ，n 第二步，我们求出算符i i 对于参数“的一阶和二阶的导数 一阶导数： 晦) 一丢型铲， 二阶导数 嘛y 一埏：) ! 兰茎：! 墨羔1 ! 墨：! ：墨圣! 茎：! ：兰：墨：兰： 4 z + z 2 、z + z 第三步，我们令“：o 时， 很明显的，这时有 ( 、j i ：i l 。i 。：= i 彳1 6 ，。 2 0 ( 6 8 ) ( 6 9 ) ( 6 1 0 ) ( 6 1 1 ) ( 6 1 2 ) ( 6 1 3 ) ( 6 1 4 ) 我们在把( 6 8 ) ( 6 9 ) ( 6 1 0 ) 1 1 ) 代【旦i 到( 6 1 z ) ( 6 1 3 ) 甲，相 陋n 一一南融如 m 临可： 一乏向。( m ，n ) 一五切y y ”( m ，f ) 。( l 九) + 五y 。【k 沏，f ) 。( f ，n ) 一o ( ，f ) ( f ，以) 】 ( 6 1 6 ) 最后一步，我们就可以将( 6 1 4 ) ( 6 1 5 ) ( 6 1 6 ) 代入( 6 7 ) 中，得到 算符历表达式 恤可l 。； n 一南驰一锸驰 一彘m 。( 叫) 剐， ) + 主y ，【k 咖，f ) o “，n ) 一e ，f ) u ，n ) 】+ o 3 ) ( 6 1 7 ) 接着，我们从算符i i 出发，求出算符x 占的表达式 0 x + x 第一步，我们设算符i i ：，可以求出，对参数“的一阶和二阶的 导数 一阶导数： ( 门矿一为r ：沏，咖o ( “) ， ( 6 1 8 ) 2 1 ( 厂”) 卅。= 一南跏一南v 尉聊，f ) 聊川 + 磊y 一【。( m ，f ) c ( f ，n ) 一e 沏，f ) ( f ，1 ) 】+ 。 ) 同样，我们也要的到算符x ! 对参数“的一阶和二阶导数 _ x x 一阶导数： ( 6 1 9 ) 卜志卜志一 慨z 。， 二阶导数： 卜志) 2 等一2 笋，+ 等，z 一，” 卜击小o - s 烈删一 卜志小- o - 南帏m 卜击u 圳。 南帏+ 南v 。燃n ) + 志y ， ( m ，f ) e u ，肛) + p 似，) ( f ，门) 】 ( 6 2 1 ) ( 6 2 2 ) ( 6 2 3 ) ( 6 2 4 ) 综合上面( 6 2 2 ) ( 6 2 3 ) ( 6 2 4 ) ，将它们代入黍勒展开式( 6 - 7 ) ，返梓 我们就可以得到算符x 7 ：1 _ 的表达式 0 x + x ( x 去) 。= s g n 。) 6 一+ 丢啬y 一沏， ) + 差备y ，沏+ 瓦与刁y ，凡，f ) 。( f + i ：豸素n 【沏，f ) e ( z ，n ) + c ，f ) ( f ，z ) 】+ o ( “3 ) ( 6 2 5 ) 然后根据对照符d 的定义( 6 2 ) ，我们就得到 口d 。； 2 删一( 茹+ 南陟驰川 + 面y ，y 。，f ) c u ，n ) + 云豸阿y ，【k 沏，f ) e ( f ，n ) + e ( m f ) r 觯，蝴 + 0 3 ) ( 6 2 6 ) 比较i c h i n o s e 和n a g a o 的结果( 5 6 ) 与我们的结果( 6 2 6 ) ，我们发现了 两者之问主要的不同在于( 6 2 6 ) 中除了幂次为零的项以外，沿“的幂次进 行展丌的每个幂次都包含形式项y 。r 一( m ，n ) 。我们可以将所有这种形式的 项归类到一起，就可以得到该项系数的结构 2 3 ( 南+ 南哪3 ，) z ， 式子中的每一项都可以视作对形式项r ，r _ ( m ，n ) 的系数的内在的各 阶修f 项。在这罩，我定义一个量w 一( 南+ 南) ( 6 2 8 ) 从表达式( 6 2 6 ) ，我们可以看到，参数爿的符号对算符的结果是有影 响的。在以下的内容里，我们只研究爿的符号为负的算符形式较为简单而又 不失一般性的情形。 2 4 第七章强耦合极限 在有相互作用的格点q c d 理论中，作用量的定义如下： s = s 6 + s f m ， & ，。古善挣u 【，+ c ，+ ) ( ，1 ) 品，”= s ，+ m 。矿( 历沏) ， 这里，我们加入了夸克的裸质量项。 在本论文中，我们将研究强耦合极限( g2 一m ) 下的情况。而所涉及的 规范场都是s u ( ) 场。而且在下面的内容罩，我们还一律设格距口一1 。 从( 7 1 ) 我们可以得到系统的生成泛函 z v 】一厂d 徊徊ue x p & + ，) 嘲o ) i ( 7 2 ) 这里，【d ，】是h a a r 测度，还有 l ，o ) 嘲q ) = j ；0 ) n ：o ) ， 磁孙) 一专渺撕矿锄 3 n 是颜色指标，o 和口是自旋味道指标。 而等效作用量s 疗( m ) 的定义如下 z 【，卜j d 。舢肼， ( 7 4 ) 这里的积分是沿着单色的介子场m ：进行的。 以下，我们将把在强耦合极限下的等效作用量。( m ) 求出来。这时， g2 一o 。，所以s g 一0 。 要求出等效作用量，我们首先要做的是计算规范场的单链积分 e 州玑- p 虬e x p p ( 耳【，+ u ：见) 】 ( 7 5 ) 对于【，( 1 ) 规范群，可以很容易的得到【7 】 万，d ) = 动一三( 动) 2 + - ( 7 6 ) 在大极限下( 一* ) ，对于u ( ) 群和s u ( ) 群，根据b r e z i n 和g r o s s 的研究【9 】，在强耦合区域，上面的积分是包含了两个“相位”的。他们给出了 以下的关于( 万，d ) 的公式，称之为缈( 万，d ) 的强耦合相位表达式： 缈( 西，d ) = 叶。号驴扩一嘉驴( ( c 剞2 + ( c 甜2 ) ， ( 7 7 ) 这罩，是矩阵专劢的本征值。常数c 由以下公式给出 ，= 去；( c 2 c 7 另外，我们如下定义d 。和万。【7 】 d 品= 畿+ c 盘， 觋：毛+ 矗， 9 这里， 爿童= w 死+ ) y 。j ；f - 4 ) ， 4 二= 一w 死( ，1 ) y 。妒4 + 肛) ， 而c 。和瓦是很小的外源。 对于任何可微的函数，0 ) ，我们都有 ( 7 1 0 ) 专；，阮) 一 ，( o ) 一专州，( _ 妒，( o ) 】 一专w e ( n ) ：n 4 0 厩。训h ，f ( 卅 + 嘉w c ，o ) ：n 孙+ 厩。) - ，八) + o ( ) ， ( 7 1 1 ) 这里， a = 九0 ) = w 2 嘲m ) “嘲0 + 肛) 托， a 一k 0 ) - w 2 嘲0 + 芦) y ，嘲0 ) y ， ( 7 1 2 ) 这样，我们就可以得到对单链规范场积分的结果【1 0 】【1 1 】 嘉形万，。) = 一专什【( 1 4 a ) i7 2 一， + 昙n 【l 。g 三华】 一嘉w 乞( n ) ：n 4 m ) 死( n + 肛) h ，( 1 + ( 1 4 a ) ) 。1 】 + 斋w q ( 一) ：打撕+ p 厩。) b 觯+ ( 1 4 硝2 ) _ l 】 + o ( q ) ( 7 1 3 ) 根据上面的结果( 7 1 3 ) ，我们很容易就可以求出在强耦合极限下的规范场 期望值 p 刍( n ) ) 。一 一号w n 坳) 死( n + p ) i ，。( 1 + ( 1 4 硝”) 。1 p 笛o ) ) 。一 号w 乃4 0 + ) 死o ) b 觯+ ( 1 4 1 ，2 ) 。】 这里，( i b 表不规范场内的统计平均值a 为了以后表述的方便，我们定义函数g g ) 占以) ；1 一( 1 一如) m + 】o g 【蜘掣】 我们也可以求得函数g o ) 的一阶导数 占o ) 。i 高矿。 那么式子( 7 1 4 ) 中的规范场期望值可以写成以下形式 ( e 。) ) 。一一号n 妒4 似厩+ ) 以占7 ( 九如) 】 ( 7 1 4 ) ( 7 1 5 ) ( 7 1 6 ) ( u 苫。) ) 。= 号n 4o + ) 死o ) 托g 7 ( k 。) ( 7 1 7 ) 现在我们把目光重新回到系统的生成泛函z ，我们首先要对【d u 】进行积分 厂d 眍弘m + 椭 ( 7 1 8 ) 我们采用强耦台极限下的平均场近似的方法【9 】来求得上面的积分的结果。 我们将妒和矿的合成算符沿规范场，( n ) 积分后的结果取代s ，。里的算符u 。和 u ：。再经过一些计算，我们就可以得到下面的积分的结果 r d 沈也m + = e 嘲m 删嘲+ ， f 7 1 q 、 这里，s ( ) 的形式如下 专趴嘲) = 一护苗( ，( m ) ) 】 ，“2 + w 。_ 踟爿 b 【嘲( m + ) r ，g q 。) ) 嘲( m ) y 。y 。嘲( m + + u ) y 。g 7 ( a 。沏+ ) ) 】 + 护【嘲( ，”+ 肛) y 。占( a ，( ) ) 嘲( ，钉) y ，y 。嘲( ，l + 一u ) y 。g ( a ：( ，竹+ 肛一 ) ) 】 + f r 【嘲( 埘一) y 。g ( ：( ，捍一肛) ) 嘲( ，竹) y ，y 。向一+ u ) y 。g ( a 。( ，竹一) ) 】 + 打 嘲( ，”一弘) y 。g ( a ：( 卅一肛) ) 嗡( ，竹) y ，y 。魄( 埘一一u ) y 。g ( a 。( ，栉一卢一己，) ) 】j + w2 乓 8 口2 彳 r 【嘲( m + 肛) y 。g ( a ，( 川) ) 醯( m ) y ，n 沏+ 肛+ u ) y 。g ( a 。( 卅+ ) ) 】 一f ，【融( ，行+ 肛) y 。g ( a 。( 卅) ) 妇( ) y 嘲( m + 一 ) y 。g ( a ：( ，押+ 一t ，) ) 】 + 打【嘲( 川一口) y ，g ( a ：( m 一) ) 嘲( ，竹) y ，嘲( ， 一卢+ ) y 。g ( a 。( 历一) ) 】 一护 n ( ，行一) y 。g ( a ：( 川一肛) ) 妨( 肌) y ，y 。嘲( m 一一u ) y 。g ( a 。( m 一一 ) ) 】 + 打【嘲( m + u ) y 。g ( a 。( 卅) ) 嘲( ) y 。嘲( m + 肛+ ) y g ( a p ( ，打+ u ”】 + 打 耐( m + ) y 。g ( a 。( m ) ) 睹( 川) y 。n ( 卅+ u 一) y 。占7 ( a ：( m ) ) 】 一f r 【醯( ，珂一t ，) y 。g ( a ：( ，行一u ) ) 嘲( ) r 。嘲( ，竹一 + 肛) y ，g ( a 。( 州一 ) ) 1 一护【嘲( 埘一”) y 。g ( a ：( 埘一u ) ) 嘲( ) y ，晴( ，钾一一 ) y 。g ( a ：( 历一一u ) ) 】j + o 似3 ) ( 7 2 0 ) 当我们对规范场积分之后，生成泛函就表示为对由色单态的合成介子 妇；0 ) 所构