（运筹学与控制论专业论文）时滞广义连续与离散系统的状态反馈h∞控制.pdf

时滞广义连续与离散系统的状态反馈日。控制 摘要 本文主要利用线性矩阵不等式技术和l y a p u n o v 稳定性理论分别研究了连 续和离散状态下线性与非线性时滞广义系统的状态反馈王乙控制问题 第一部分，研究了线性时滞广义系统的状态反馈h 。控制问题首先，给 出了系统容许且具有王k 范数约束的充分条件：其次，设计了无记忆状态反馈 控制律，该控制律保证了闭环系统具有上述日。性能，并应用所得到的线性矩阵 不等式的解设计了相应的控制器，得到了系统的状态为稳定的结论；最后，给 出的仿真例子说明了结果的可行性 第二部分，研究了一类时滞非线性广义系统的状态反馈月。控制问题 此 类系统的状态方程可以分成线性部分和非线性部分在一定的条件下，利用不 等式技术将非线性部分转化成了线性问题，并应用l y a p u n o v 稳定性方法设计了 非线性广义系统的e 。状态反馈控制器，从而得到了时滞非线性p - 义系统的闭 环系统的状态为稳定的充分条件 第三部分，研究了离散状态下线性和非线性广义系统的日。控制问题设 计出状态反馈控制器，得到了时滞离散广义系统在控制律的作用下是容许的且 满足h 。范数约束的若干结果，其结果容易在计算机上实现 最后，在总结全文的基础上，指出了有待进一步研究的若干问题 关键词：时滞广义系统，l y a p u n o v 函数，上乙范数约束，状态反馈，线性矩阵不等 式( l m i ) s t a t ef e e d b a c kh 。i n f i n i t yc o n t r o if o rg o n t i n u o u so r d is o r e t ed e i a y e ds i n g u i a rs y s t e m s a b s t r a c t t h eh - i n f i n i t yc o n t r o lp r o b l e m so ft h es t a t ef e e d b a c ka r es t u d i e d r e s p e c t i v e l yf o rac l a s so fl i n e a r ( o rn o n l i n e a r ) c o n t i n u o u s ( o rd i s c r e t e ) s i n g u l a rs y s t e m sw i t hs t a t ea n di n p u td e l a y si nt h ep a p e r ，b ym e a n so f it e c h n i q u e sa n dl y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r y i nt h ef i r s tp a r t it h eh 。c o n t r o lp r o b l e m sf o ri i n e a rs i n g u l a r s y s t e m sw i t ht i m e d e l a y sa r es t u d i e d f i r s t l y as u f f i c i e n tc o n d i t i o ni s g i v e nf o rt h es y s t e mt ob ea l l o w e da n ds a t i s f i e dt h eh - i n f i n i t yn o r m c o n s t r a i n t s e c o n d l y ，am e m o r y l e s s s t a t ef e e d b a c kc o n t r o ll a wi s d e s i g n e dw h i c he n s u r e st h ec l o s e d l o o ps y s t e m sh a v eh i n f i n i t yp r o p e r t y s ot h es t a b i l i t yo ft h es y s t e mi so b t a i n e di nt e r m so ft h ec o r r e s p o n d i n g c o n t r o l l e r sd e s i g n e db yt h es o l u t i o no ft h el i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e s w h i c hh a v eb e e no b t a i n e di nt h ep a p e r l a s t l y an u m e r i c a le x a m p l ei s g i v e nt oi l l u s t r a t et h ep r o b a b i l i t yo ft h ep r o p o s e dm e t h o d i nt h es e c o n dp a r t t h eh ；c o n t r o lp r o b l e m sa r es t u d i e df 6 rac l a s s o fn o n l i n e a rs i n g u l a rs y s t e m sw i t ht i m e d e l a y s ，o fw h i c ht h es t a t e e q u a t i o nc a nb ed i v i d e di n t o1 i n e a ra n dn o n l i n e a rp a r t i ns o m ec o n d i t i o n s t h en o n l i n e a rp a r tc a nb et r a n s f o r m e di n t ol i n e a rq u e s t i o n sb ym e a n so f i n e q u a l i t y f u r t h e r ，t h es t a t i cf e e d b a c kh 。c o n t r o l l e ri sd e s i g n e di n t e r m so ft h el y p u n o vm e t h o d s ，s ot h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r eo b t a i n e d f o rt h ec l o s e d l o o ps y s t e mo ft h ed e l a y e dn o n l i n e a rs i n g u l a rs y s t e m st o b es t a b l e i nt h et h i r dp a r t ，t h ep r o b l e m so f 日。c o n t r o la r es t u d i e df o rd i s c r e t e i i n e a ra n dn o n l i n e a rs i n g u l a rs y s t e m sw i t hs t a t ea n di n p u td e l a y s 。t h e s t a t i cf e e d b a c kc o n t r o l l e r sa r ed e s i g n e da n ds o m ec o n c l u s i o n sa r e o b t a i n e df o r t h ed e l a y e dd i s c r e t es i n g u l a rs y s t e m st ob ea l l o w e da n d s a t i s f i e dt h eh i n f i n i t yn o r mc o n s t r a i n t ，w h i c hi se a s yr e a l i z e do n c o m p u t e r f i n a l l y s o m ee x t e n s i o n sa b o u tt h eh 。c o n t r o lp r o b t e m so ft h e s i n g u l a rs y s t e m sa r ep o i n t e do u ti nt h ep a p e r k e y w o r d s ：s i n g u l a rs y s t e m w i t ht i m e d e l a y s ：l y a p u n o vf u n c t i o n ；儿n o r m c o n s t r a i n t ：s t a t ef e e d b a c k ；i i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ( l m i ) i j 独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含未获得 (2 或其他教育机构的学位或证书便用过的材料与 我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表 示谢意 学位论文作者签名肄赫遵签字同期：o 品年每月f 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，有权保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本 人授权学校可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以 采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文( 保密的学位论文在解 密后适用本授权书) 学位论文作者签名：牟诗又葜 导师签字： 签字同期：0 唧年6 月l 同签字r 期：。) 印年占月j 同 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 电话： 邮编： 时滞广义连续与离散系统的状态反馈心控制 0 引言 随着现代控制理论与方法应用于工程系统的深入和向其他学科领域的渗 透，一类更具广泛形式的系统被发现，它与我们通常讨论的f 常系统相对，称 之为广义系统正常系统的动态特性只有一个层次，而广义系统的对象有两个 层次，一层为动态特性( 由微分方程描述) ，另一部分为对象的静态特性( 由代数 方程描述) 从物理的观点来看，在某些情况下，代数方程的存在是很有用 的用广义系统来处理多维、多层次、多目标的大型复杂系统十分合适，特别 是一些耦合系统中，某些物理量之间确实存在着由代数方程刻画的约束因此， 在实际应用中，用广义系统来描述一些系统比正常系统要方便得多，其所能描 述的系统范围也更广阔因此研究起来比较困难而富于挑战性，吸引了国内外 众多学者的兴趣，迄今为止取得了丰富的研究成果 1 9 7 4 年英国学者罗森布洛克( h h r o s e n b r o c k ) 首次发现复杂的电网络系统 模型是广义系统 1 ，从而提出广义系统的概念美国学者伦伯格 ( d c l g e n b e r g e r ) 发现经济动态投入生产模型是由微分( 差分) 方程描述的慢动 态层子系统组成的广义复合系统 2 随后，学者们相继在受限机器人、石油化 工中的催化裂化、人口、电炉、人工神经网络、计量经济学 3 4 、运载卫星 重返大气层、气象预测等领域 5 ，提出了广义系统7 0 年代至今，关于广义系 统的研究已发表了数百篇论文，出版了许多专著 3 - 1 1 在实际应用中，如在航空、航天、生物、生态、经济、机械、空间中的电 磁雷达以及计算机的视像表层处理等各种系统中，由于实际系统变量的测量、 设备的各种物理性质以及信号的采集、处理和传递等多方面的因素，均可导致 滞后现象的出现 1 0 ， 1 1 ，即事物的发展趋势不仅依赖于当前的状态，而且还 依赖于事物的过去历史人们很早就注意到了生物系统的时滞现象，后来发现 许多工程系统，如液体的传输系统、轧钢系统等都有这种现象因此，研究滞后 广义系统，将为科学技术、工程实际提出新的理论方法与解决问题的途径 非线性系统能够更自然、更一般地描述客观系统，近年来这种系统的研究 也受到广泛的关注非线性广义系统就是具有代数方程限制的非线性系统，这 时滞广义连续与离散系统的状态反馈垃控制 种系统可以用来作为许多物理实际系统的数学模型，如受限力学系统 1 2 - 1 4 、电力系统 1 5 、人工神经网络 1 6 、机器人、空间运载卫星重返大 气层、飓风的预报等 1 7 因此，研究非线性时滞广义系统具有非常重要的理 论意义和现实意义 连续时间系统和离散时间系统的控制与设计具有很大差别早在2 0 世纪 5 0 年代，由于数字计算机在工程和科学上应用的增加，离散广义系统的研究就 已经引起了人们的关注尤其是近四十年来，随着系统理论研究领域的扩大和 计算机技术的广泛普及应用，离散控制系统得到了迅速发展由于数字计算机 进行计算时在时间上是离散的，因此当一个系统用数字计算机进行控制或用数 字计算机进行模拟、分析和设计时，就需要将时间变量考虑为离散变量，因此 研究离散广义系统是有必要的 自广义系统的概念提出以来，广大学者对广义系统的研究从基础逐渐向纵 深发展，涉及了从线性到非线性，从连续到离散，从确定性到不确定性，从无 时滞到有时滞，从线性二次型最优控制到h ，和月。控制等各个专题，取得了丰 硕的成果 1 8 3 一 2 3 但是，在研究过程中，往往只研究系统的状念具有时滞的 情形，而实际中，输入滞后的存在也不可避免，因此，本文对状态与输入均具 有滞后的广义系统进行了研究。 研究广义系统有三种典型的方法：状态空间法 5 、几何方法 2 4 和频域法 2 5 状态空间法也称时域方法，它是基于广义系统的状态方程来研究广义系 统的结构性质以及设计控制器 2 6 。2 7 ，它是广义系统中较常用的方法，该方 法所刻画问题的方式简洁直观，结果清晰明了，其中r i c c a t i 方程和l m i ( 线性 矩阵不等式) 方法具有能揭示系统的内部结构且易于计算机辅助设计等优点而 成为时域方法中较常用的两种方法几何方法是w o n h a m 2 8 3 针对线性系统提出 的，后来被l e w i s 2 4 推广到广义系统中，几何方法是将广义系统化为状念空 间中的几何问题进行研究，而且几何方法简洁明了，避免了状态空问中大量繁 杂的矩阵推导运算，且所产生的结果都可以化为矩阵运算，其缺点是对系统鲁 棒性问题的分析无能为力频域法也称多变量频域法，它是对状态空间描述的 广义系统采用频率域的系统描述和频率域的计算方法进行研究，它具有物理直 观性强和便于设计调节等优点 时滞广义连续与离散系统的状态反馈垃控制 1 9 8 1 年加拿大学者z a m e s 2 9 首次用明确的数学语言描述了基于经典设计 理论的优化设计问题，他提出以控制系统内某些信号间的传递函数的以范数 为优化指标的设计思想，即所谓的乒乞优化控制，已经引起了控制界越来越多的 关注由于它弥补了控制理论在实际应用中的不足及其模型本身所具有的广泛 适用性，皿。控制理论受到了人们的普遍重视，已成为当今最重要的控制理论 分支之一研究表明，诸如灵敏度极小化问题、鲁棒镇定问题、混合灵敏度优 化问题、跟踪问题、模型匹配问题等许多控制问题都可统一于标准的以控制 问题 在控制理论中，玩控制空间是由在r e ( s ) 0 上解析，在c ”上取值，且 满足 i i f ( s ) i i 。= s u p ( a 。f ( s ) ：r e ( s ) 2o ) 0 ，存在j ( 占) 0 ，使得对于满足条件 s u p l l i b ( t ) l l 蔓5 ( ) 的任意相容初始条件矽g ) ，系统的解工o ) 满足4 x ( f 地e g t _ o ， - r ! g l s p 进一步x o ) 一0 0 专+ o 。) 定义3 f 4 3 1离散广义系统( 1 5 ) 是容许的，若满足： ( 1 ) 系统正则且无脉冲的， ( 2 ) 系统是稳定的，即d e t ( 握一a ) = 0 的所有特征根均位于单位圆内 定义4 本文考虑的也问题是，对于给定的常数y 0 ，在零仞始条件下，如果 有l l z ( t ) 1 1 2 ，2 忪( r ) nv 国( f ) 厶 o ，o o ) ，则称系统具有范数日。约束， 类似正常系统，连续和离散状态下时滞广义非线性系统的模型可以分别描 述为： r l e x ( t ) = 4 x ( f ) + a ，x ( t r ) + f ( x ，f ) z ( f ) = c j r ( f ) + c r x ( t - - ) ( 1 6 ) x ( t ) = q k ( t ) ，t 一r , o 】 l e x ( k + 1 ) = 血( 七) + a ，善( 是一f ) + f ( x ，是) z ( t ) = c x ( k ) + c ，x ( t f ) ( 1 7 ) ix ( k ) = 矿( | ) ，k = 0 ，1 ，2 ， 其中，f ( x ，t ) 和f ( x ，k ) 为仃维非线性向量函数，表示状态非线性不确定项在本 吖力 m 卜川q 印h o + 嚣胁 n ，= 1 1 蹦硼哟 时滞广义连续与离散系统的状态反馈心控制 文中，对冥做如f 假设： 假设连续状态下非线性不确定项满足： f ( x ，f ) = ，( z ( f ) ，x q r ) ，t ) = e d 占( z 0 ) ，x ( t r ) ，f ) ( 1 8 ) 式中，e 8 r “”为己知矩阵，艿( x ( f ) ，x ( t - r ) ，r ) 是未知的连续可微向量函数，满 足： l p ( 工( f ) ，x ( t r ) ，f ) 1 1 2 口0 x ( f ) 1 1 2 + ：l l x ( t r ) 1 1 2 ( 1 9 ) 离散状态下的条件与连续状态的假设条件类似 引理1 。1 1 4 4 1 广义系统( 1 4 ) 是容许的充要条件是存在适维矩阵p ，满足 e ，r p = p ，7 娩o ( 1 1 0 ) i 彳7 j p + p 7 a o 当且仅当r 2 o ，r l 一淑；。s7 0 ，或足t o ，r 2 一s r ；1 s 7 0 通常称r l s r ；1 s7 0 ( 或r 2 艘i 1 s o ) 为r 2 ( 或r 。) 的s h u r 补 6 时滞厂义连续与离散系统的状态反馈垃控制 2 线性时滞广义系统的状态反馈h 。控制 过去人们讨论时滞广义系统的日。控制问题时，一般只考虑状态具有时滞 的情形，并且对于其他问题如稳定、镇定、鲁棒控制、最优控制等的研究也往 往如此但在实际中，系统大多是由于输入延迟引起的滞后，因此讨论输入具 有时滞的情形有更重要的理论和现实意义本节将讨论状态和输入具有不同时 滞的线性广义系统的状态反馈王乙控制问题 2 1 无输入的时滞广义系统的状态反馈也控制问题 2 1 1 系统描述 考虑如下具有状态时滞的线性定常广义系统： e x ( t ) = a x ( t ) + a ，x ( t f ) + 马c o ( t ) z ( r ) = & ( f ) + c f x ( t - r ) + d l c o ( t ) ( 2 1 ) 工( f ) = f k ( t ) ，t 【一r , o 】 其中：x ( t ) r 4 ，c o ( t ) f t r 9 ，z ( f ) r 9 分别是状态，干扰输入和控制输 出：e ，a ，4 ，e ，c ，c f ，d 1 为相应维数的实常数矩阵：f 0 是时滞常数，向量值初 始函数妒( r ) c 卜r ，0 ，r a n k e = r n ，c o ( t ) l 2 0 ，o o ) 系统( 2 1 ) 对应的无控制无干扰系统为 e x ( t ) = a x ( t ) + a ，x ( t f ) z ( t ) = c x ( t ) + c ，x ( t - r ) x 9 ) = 妒( f ) ，t 【一r , o 】 ( 2 2 ) 引理2 1 时滞广义系统( 2 2 ) 是容许的，如果存在适维矩阵p ，使得以下矩阵 不等式同时成立 er，p+=p，7a p pa e ：p o ，a ，4 ；p + 1 0 c z s ， l 7+7+ 7 ，4 ：+ 证明：易知，( 2 3 ) 式蕴含( 1 1 0 ) 式成立，由引理1 1 ，( e ，a ) 正则、无脉冲下 7 时滞广义连续与离散系统的状态反馈心控制 证系统( 2 2 ) 是稳定的取l y a p u n o v 函数 v ( x ，) = x t ( f ) e 7 p x ( t ) + l 。x t ( s ) x ( s ) d s ( 2 4 ) j r 显然，v ( x ，) 0 ，则v 函数沿着系统( 2 2 ) 的导数为 v ( x ，) = x 7 ( 力似7 p + p 7 a + ，) 砸) + x 7 ( f f ) 爿? i x ( t ) + x 7 q ) p 7 4 m 一力一x 7 0 o x ( t 一) = k 7 。，x 7 。一r ， a 7 p 三二a + 7 ；7 x 占2 ， l ：l ：l s c h u r 幸 定理知，条件( 2 3 ) 成立铮 f a 7 p + ，p r a + ，j p 7 一，1 o ( 2 5 ) l鬈p一j ”“7 成立此时，多( 石。) 0 ，系统稳定，证毕 2 1 ，2 以性能分析 对系统( 2 1 ) ，仿照引理2 1 得到如下结论： 定理2 1 时滞广义系统( 2 1 ) 是容许的，且具有日。范数约束，如果存在适 维矩阵p ，使得以下矩阵不等式同时成立 e 7 p = 尸7 e 0 ( 2 6 ) 4 7 p 十蹦+ jp 7 a 2 pl b lpq c c p 7 bc 7 + 0c ! 一y 2 ，讲 d 。一l 0 ( 2 7 ) 证明：若( 2 7 ) 成立，由引理2 1 知，系统正则、无脉冲且稳定下面证明系统 具有以范数约束y 取l y a p u n o v 函数 v ( x ，) = 工7 ( ，) e 7 ( f ) + fx y ( s ) x ( s ) d s ( 2 8 ) 在零初始条件下，引入 ，= f z 7 ( f ) z ( ，) 一，2 国7 ( t ) o ( t ) d t ( 2 9 ) 那么，对于任意的非零的出( f ) l 2 o ，0 0 ) 8 时滞广义连续与离散系统的状态反馈也控制 j j - z7 p ) z o ) 一，2 印，( ，) 缈o ) + 多( z ，) 卉 ( 2 1 0 ) z r o ) z ( r ) 一y 2 c 0 7 ( f ) 。( f ) + 痧( x 。) = d ：x ( f ) + c ，x ( t f ) + d i ( f ) r d 岛( r ) + c ，x ( t f ) + d l 缈o ) 卜y 2 0 j7 ( f ) ( f ) + x r ( f ) ( 爿7 p + p r a + ，) x ( f ) + 茹7 0 f ) 爿j p x ( t ) + x t ( f ) p 7 a ，x ( t f ) + r ( t ) b r p x ( t ) + x t ( f ) p r b l o ) 一x t ( f r ) x ( t f ) ：b ，o ，一，国，。，ja r p + 爿；p p r 爿+ 7 p r a ，7 pr。bixr(t x(工t。-z) = b 7 0 ) 一f ) 国o ) j 爿；p 一，。 o ii x l 曰7尸0 一，2 ，j lc o ( t ) j 书以川鼢嘲 = h ) ，( t - - t ) ( f ) 小( t - r ) i lc o ( t ) j 其中，l = 爿7 尸：；：? 十7 彳i7 二7 0 8 1 十 三； t c c，dbp0 y 2 i ，由s c n u r 补定理 其中， = l尸 一 l 十ic j 忙，1 由s c h u r 补定理 7 。 一 d ? f i i z ( , ) 1 1 2 0 ，使得以下矩阵不等式同时成立 e p = p7 e 0( 2 1 5 ) 爿：p + p a f + r 1 + k 7 r 2 kp 7 a ，p 7 b ， 4 ；尹一r 1 0 彰p 0 - r 2 磷0 0 c cc fd f p 7 。b lc ： oc ： 0 d ： 一，2 ，研 d 一i 0 ( 2 1 6 ) 证明；由上节知，不等式( 2 1 6 ) 成立，系统正则、无脉冲且稳定下证闭环系 统( 2 1 3 ) 具有日。范数约束y 取l y a p u n o v i 甬数 v ( x 。) = 工7 ( f ) 三7j p ：r ( ，) + f 石r ( j ) 足l x ( s ) d s + fx 1 ( j ) k7 月2 k x ( s ) d s t - - f 一h 则对v 函数沿着系统( 2 1 3 ) 求导为 r， v ( x ，) = 工( f ) e 7 取( ) + x 7 ( f ) e p x ( t ) + x7 ( f ) 冠l x ( t ) 一x t ( f 一_ ) 垦x ( t - r 1 ) + x 7 ( ，) k 7 r 2 k x ( t ) x 7 ( r z 2 ) 足7 r 2 k x ( t f 2 ) 0 时滞广义连续与离散系统的状态反馈垃控制 = ( 4 k z ( f ) + 彳，x ( t f 1 ) + b , k x ( t 一 l y 2 ) + b l ( f ) ) 7 p x ( t ) + x 7 ( f ) p ( 一k z ( f ) + 彳，工( f r 1 ) + 8 , k x ( t f 2 ) + b l c o ( t ) ) + x t ( t ) r l x ( t ) 一x 7 ( ，一f i ) 矗l 工( f r 1 ) + x o ) k 7 r 2 k x ( t ) 一x 7 ( f f 2 ) k7 r 2 k x ( t t 2 ) = b 7 0 ) x t ( f f i ) x r ( t 一 9 2 ) 足7 ( - 0 7 ( f ) 】 a r p + p a f + r l + k 7 r 2 kp 7 a f p 7 b f 彳j p-r，0 b ：p 0 一r 2 琰p00 取， j = f z 7 ( f ) z ( f ) 一，2 彩7 ( t ) c o ( t ) d t 因为 z r ( f ) z ( f ) 一，2 田r 0 ) ( f ) + 矿 ，) = c x x ( t ) + ( 2 , x ( t - r , ) + d r k x ( t - r 2 ) + d a c o ( t ) 。 c x x ( t ) + c , x ( t 一- ) + d ；f ；& o 一吒) + d 1 m o ) 卜，2 国7 ( f ) ( f ) + i x 7 ( f ) x t o 一i ) x t ( f t ) k 7 m 7 1 0 ) 】 p + p a x + 墨+ k 7 马k ，7 4 尸7 1 最p 蜀 p r 1 00 p 0 一是0 群p00 0 = i x 7 0 ) x t ( f f i ) x t o f 2 ) k 7 m 7 o ) 】 其中， 三= 工( f ) x ( t 一) k x ( t - r 2 ) c o ( t ) a r x p + p a r + 尺l + k 7 r 2 kp a fp 7 b r p r b l 鬈p- r l 00 b ：p 0 一r 2 0 礤p00 7 , 2 f + 由引理1 4 知，当( 2 1 6 ) 式成立营l 0 此时， i l z ( , ) 1 1 2 0 ，满足 e 7 z = x 7 e 0 ( 2 1 7 ) a x + x 7 a 74 - y 7 8 74 - b y x7c7+y 7 d 7 ， ，且， y 7 x 7 + a ，s 1 a ；+ b ，s 2 b ；+ a ，s i c ：4 - b ，s 2 d ： 一，2 ，珥0 0 一i + c f s i c ：+ d t s 2 醴0 0 。 一岛0 宰 事事卑 一s 且当k = y x 。时，系统存在无记忆反馈律 “= y x 一x ( t 、 o ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 使得闭环系统具有h o 范数约束y 其中，y = 艘，x = p - i , s ，= r 7 j , 江1 , 2 证明：由s h u r 补定理，公式( 2 1 5 ) 等价于 彳；p + p r a kp 7 a ，p r 毋p 7 b ic 二 k 7， ， 一r 1 00 c ? 0 0 ， 一r ，00 0 一，2 ，吖0 0 一100 一尺：0 一尺- o p + p 7 a x + 4 耳1 爿j pp 7 ep t b ic ：+ p 7 a ，耳。口 - r 2 0 噬 $ 一，2 ，讲 幸 一，+ c ，r i c j 1 2 o k 7 0 0 0 一巧 ， 0 0 0 0 一盯。 0 时滞广义连续与离散系统的状态反馈总控制 ， 爿r k p + p r 席a x 研+ p p r 4 耳_ p r b jc + r + p p ，7 - 毒t t krb b ， + 尸7 ，r b ：p+ p 7 ，r 一碰 一y l ld：0 0 - i + c ，r f l c j + d ，r d ：0 0 一r 一0 $ - r ? 0 ，。爿：+ 彳r ，。+ 彳r r i l 爿j 日p 。c ：+ ? r ：一c j p - r k rp - r + 羼只一占j + 皿r 珥 一y 2 ，所00 一i + c ，胄一c ；+ d ，尺d i 00 - r ；0 一r - 。 0 是时滞常数，向量值初始函数( f ) c - r ，0 1 ，r a n ke = ， 疗， c o ( t ) l 2 【o ，呦 1 4 时滞广义连续与离散系统的状态反馈垃控制 3 2 主要结论 系统( 3 1 ) 对应的无控制输入的系统为 r i e x ( t ) = a x ( t ) + a ，x o f 1 ) + b l 国( f ) + f ( x ，t ) z ( f ) = c x ( t ) + c ，工( f - r t ) + d l c o ( t )( 3 2 ) i 工( f ) = 矽( f ) ，t 一r , 0 】 l 定理3 1 非线性时滞广义系统( 3 2 ) 是容许的，且具有日。范数约束，如果存 在适维矩阵p ，使得以下矩阵不等式同时成立 e 7 p = p 7 e 0 ( 3 3 ) p + p ，r a + 譬+ 1 ) 74 p r bc ， + p 。e d e ；p 一? p一( 1 一) ，0c j 召p0 一y 2 ，d l ， c c，dl 一， 0 ( 3 4 ) 证明：由定n 2 1 知，( e ，a ) 正则、无脉冲下证系统( 3 2 ) 是稳定的取l y a p u n o v 函数 矿( x ，) = x 7 ( f ) e 7 p x ( t ) + f - ，x 7 ( s ) 工( 5 ) 如 ( 3 5 ) 显然，v ( x 。) 0 ，又 v ( x ，) = ( 彳顶f ) + 爿，x ( t 一_ ) + e 嘶) + i 五f ) ) r p x ( t ) + x r o ) j p r ( 爿顶f ) + 4 “f 一_ ) + 蜀烈f ) + i 墨f ) ) + x 7 0 m f ) 一x 7 0 一1 ) 砸一) = x r o ) ( 彳r p + p r 爿+ ，) x o ) + x r ( f 一1 ) 爿j ( f ) + x r ( f ) 尸r a ，x ( t 一_ ) + 彩r ( t ) b r p x ( t ) + x ，o ) 尸r b t c o ( t ) + 2 f r ( x ，t ) p x ( t ) 一x r o f 1 ) x ( f r 1 ) = x 7 0 ) ( 彳7 p + p r a + j ) x o ) + x 7 ( f f i ) a r p x ( t ) + x t ( f ) 尸7 a ，x ( t f i ) + 9 0 7 0 ) b i ( f ) + x r o ) p 7 b i c o ( t ) + 2 87 ( x ( f ) ，x ( t r i ) ，f ) e ；p x ( t ) 一x 7 ( t f 1 ) x ( t f i ) 由假设条件( 1 5 ) ( 1 6 ) 及引理1 3 知， 时滞r + 义连续与离散系统的状态反馈虬控制 痧( x ，) x t ( f ) ( 4 7 尸+ p r a + j ) x ( f ) + 工r ( f f j ) a r p x ( t ) + x 7c o p ”a ，x ( t r 1 ) + 7 ( t ) b r p x ( t ) + 工7 ( f ) p 7 且o ) + 8 r ( x ( f ) ，x ( t f 1 ) ，f ) 艿( 工( r ) ，x ( t f 1 ) ，f ) + x 7 p 7 e 5 彰p x ( t ) 一x 7 ( t - - l i ) x ( f 一) x t ( r ) ( 4 7 p + p 7 a + ，) x o ) + x 7 0 f 1 ) a r p x ( t ) + x 7 0 ) p7 a ，x ( t t i ) + a 1 7 ( f ) b i p x ( t ) + x 7 ( f ) p r b , c o ( t ) + a x 7 ( f ) 工( f ) + p x7 。( t - - t i ) 工o f 1 ) + x 7 p 7 e d e ；p x q ) 一x t ( t - 9 1 ) x ( f 一) 取，：f z 7 ( f ) z ( f ) 一，2 国( t ) c o ( t ) d t 因为 z 7o ) z ( f ) 一y 2 缈7 ( t ) c o ( t ) + v ( x ，) b p ) + c ，x ( t 一毛) + b 岱p ) 】r b o ) + c 工( f q ) + d i c o ( t ) - 7 2 融7 0 ) 口p ) + 石r ( r ) ( 4 7 p + p r a + ，) x ( f ) + 工7 o f 1 ) 4 ；p x ( t ) + x7 ( f ) p 7 a ，x ( t f 1 ) + 0 3 7 ( ，) 矸p x ( t ) + x7 。) 尸7 b , w ( t ) + a x 7 ( t ) x ( t ) + f i x7 ( i - - l ：i ) 工( ，一0 ) + x 7 p7 e d e ；p x ( f ) 一x t ( f f 1 ) x o f i ) = k 7 ( f ) x r ( t f 1 ) c o r ( t x t o f 1 ) a 7 p + p 7 a + ( 口+ 1 ) ， + p t e 5 e ：p a ：p b 7 尸 ，爿 ( 一1 ) j 0 x ( r ) c ，d 1 1x ( t - r ) l l 曲( f ) j ：k ，。，x r ( t - r o ，。，k f x i ! ：，1 c a ( t ) j 其中，工= a r p + p 7 a + ( 口+ 1 ) ， + p r e 5 e ：p p b 7 p p 7 a ，p 7 日 ( - 1 ) 1 0 0 一v i i 由s c h u r 补定理知，当( 3 4 ) 式成立营上 0 此时， 1 6 d 】 1l，_1- ) r ， ， ( k哟h 哟 z p 优 1，i”klj 啊o p rul p 1，j 掣，q r，l 甜 c p 1，j o 。吖 ，l + 时滞广义连续与离散系统的状态反馈心控制 i i z ( , ) 1 1 2 0 ，使得以下矩阵不等式同时成立 e 7 p = p 7 e 0( 3 9 ) p 7 a ，p b ， 一r i + p 1 0 or ， 00 c ，d ， p b lc ： 0c ： 0d ! 一，2 ，d i d 。一i 0 ( 3 1 0 ) 证明：由定理3 1 知，系统( 3 7 ) j 下则、无脉冲且稳定下面证系统( 3 7 ) 具有h 。 范数约束，取l y p u n o v 函数为 v ( x ，) = x t ( f ) e 7 p 膏( f ) + j ：_ r l x t ( s ) r l x ( s ) d s + f _ t 2 x 7 ( s ) k r 2 k x ( s ) a s 一 则对v 函数沿着系统( 3 7 ) 求导为 r v ( x ，) = xo ) e r p x ( t ) + x r u ) e 7 p x ( t ) + x 7 ( f ) r l x o ) 一x 7 ( f f 1 ) 月l x ( t f 1 ) + x 7 0 ) k 7 r 2 9 x ( t ) 一x t ( f f 2 ) k 7 r 2 k x ( t f 2 ) peep+甜+kr p p r ”鬈彤。b c +足+4p+p4 时滞广义连续与离散系统的状态反馈见控制 = 工r ( f ) 彳：( f ) + 工r p 一1 ) a r p x ( t ) + x r ( t - - 2 ) 足r 彰獬) + o ) 7 占i p x ( ，) + x r o ) p r a x ( f ) + x 7 0 ) 尸7 a ，x ( t r i ) + x7 ( f ) _ p 7 b ，k x ( t f 2 ) + x 7 ( f ) p7 8 1 ( f ) ) 2 f r ( 五，) 以，) + x 7 0 ) 矗l z ( f ) 一石7 ( f f 1 ) r l x ( i - - t i ) + x t o ) k ，r 2 k x ( t ) 一x7 ( f f 2 ) 足r 月2 k x ( t f 2 ) 同定理3 1 ，可把非线性项转化为线性项，得到 多( x ，) x t ( ) ( 爿：尸+ 尸h f + r l + 足7 r 2 k ) x ( f ) 十x 7 ( f 一) a r p x ( t ) ) 石7 p ) p7 a ，x ( t f l + z 7 ( f f 2 ) x7 君；p x ( t ) + x 7 ( o p 7 b ，k x ( t r 2 ) + o ) 7 群p x ( t ) + x r ( f ) 户r b l 甜( f ) ) + c 7 ( r ) x ( f ) + 肛r ( t - - t 1 ) x ( t - r 1 ) + x 7 p 7 e 5 e ；e x ( t ) 一工7 ( t - r , ) r i x ( t o ) - x 7 ( 1 - - 2 ) x 7 r 2 k x ( t f 2 ) = i x 7 ( f ) x 7 ( f 一1 ) z 7 ( f r 2 ) k 7 缈7 ( f ) 】 一：p + ip a + x + r r f t + f k r r r 2 k p 7 一， p 7b ，al p p+le 5 e ： 一；p一只l 0 p 0 一r 2 研p 00 取，= f z 7 ( f ) z o ) 一，2 口7 ( t ) c o ( t ) d t 因为， z 7 ( t ) z ( t ) - r 2 7 ) 缈0 ) + 矿 工，)