（应用数学专业论文）带耗散项的p方程组的整体光滑解的存在性.pdf

硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 摘要 本文讨论了具有耗散项的p 方程组的初值问题； 毗vt+-pu。=bo：,一x。er a , t 。，0 ， v ( x ，0 ) = 协0 ) ，口( ，o ) = 0 ) 利用极值原理和先验估计的方法，得到了在大初值的假设条件下整体光滑解的 关键词：p 方程组；耗散项；整体光滑解；先验估计；极值原理 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s a b s t r a c t t h i sp a p e ri sc o n c e r n e dw i t ht h ef o l l o w i n gi n i t i a lv a l u ep r o b l e mo f p - s y s t e m w i t hd a m p i n g f 仉一u ：c = 0 ，z r ，t 0 ， 1 m + p ( 咄；一。，口 o ， w i t hi n i t i a ld a t a v ( x ，0 ) = v 0 ( x ) ，u 0 ，0 ) = t o ( z ) w es h o wt h a tf o rl a r g ei n i t i a ld a t a ，t h ei n i t i a lv a l u ep r o b l e ma d m i t sau n i q u e g l o b a ls m o o t hs o l u t i o nb yu s i n gap r i o r ie s t i m a t e sa n dm a x i m u mp r i n c i p l e k e y w o r d s ：p - s y s t e m ；d a m p i n g ；g l o b a ls m o o t hs o l u t i o n s ；ap r i o r ie s t i m a t e s ； m a x i m u m p r i n c i p l e i i 硕士学位论文 m a s t e r s t h e s l 8 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：寿椒绷 - 日期：。口7 年争月；日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权 中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通 过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：夼松栅 日期：。7 年岁月孑。日 导师签名： 日期：。7 o 日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库”中全文发布。并可按“章程”中的 规定享受相关权益。园童迨塞埕至唇溢卮；旦圭生i 旦= 生；旦三生蕉查! 作者签名：乔松栅导师签名 网 丝划 园一 硕士学位论文 m a s t er st h e s i s 第一章引言 在本文中，我们讨论了如下带耗散项的p 方程组的初值问题： ， lv t 一= 0 ，z r ，t 0 ， ( 1 1 ) iu t + p o k = 一n ， 初值为 口( z ，0 ) = t b ( 。) ，“( z ，0 ) ：；t 幻( z ) ，z r ( 1 2 ) 方程组( 1 1 ) 可用来描述在l a g r a n g e 坐标系下具有耗散项的等熵e u l e r 方程 组，其中o 0 表示耗散项系数，u 为气体速度，口为气体特定的体积，p ( 口) 为气体压强，且p ( 口) 为单调递减的光滑函数 耗散现象在物理学的很多领域( 比如，气体动力学，弹性动力学，多相流 学，相转移等) 中经常发生许多作者在耗散项的出现对光滑解的影响方面作 出了不少结果，参见文献【1 ，3 ，6 ，9 ，1 0 ，1 1 ，1 2 ，1 3 ，1 4 ，1 6 ，1 7 ，1 8 ，1 9 ，2 0 首先，n i s h i d a 在文【1 1 】中讨论了小初值条件下( 1 1 ) ，( 1 2 ) 的整体光滑解 的存在性，并得到如下结果； 定理1 1 若初始值r ( z ，o ) ，s ( z ，0 ) 满足条件 r ( z ，o ) ，s ( z ，0 ) c 1 ( r )( 1 3 ) s u pi r ( z ，o ) i + s u p l s ( z ，o ) | + s u pi ( 。，o ) l + s u p1 8 z ( z ，o ) i 0 ，并且当q 一0 时，( n ) 一0 ，r ( x ，t ) 和s ( z ，t ) 是方程组 “j ，的黎曼不变量，它们将由第二章中的俾矽，p 别给出定义，则初值问题 ( i i 1 ( 1 2 ) 寿往唯一的整体羌蔼解 并且n i s h i d a 在文1 1 1 l 中还提出了一个猜想，即 硕士学位论文 m a 吼r s t h e s i s 注1 2 如果对初始值( 动，蛳( z ) ) 关于石的导数是“小”的这个假设予以减 弱，则初值问题( 1 1 ) ，( 1 2 ) 的解( t ) 关于z 的一阶导数( 或u 。) 必在有限 时间内产生奇性 随后这个猜想被s l e m r o d 在文【1 2 ，1 3 中加p a i i e 实根据文【1 2 】，方程组 ( 1 1 ) 的光滑解的非存在性结果陈述如下。 定理1 3 如果i r ( z ，o ) | ，j s ( z ，o ) i 充分小，且v ( o ) 0 ，而如( z ，0 ) 或( z ，0 ) 是负的，并且在任一点z r 处。其绝对值充分大，则初值问题 口j j ，口矽的光滑解只在有限时间内存在 w a n g 和l i 在文【1 4 中也讨论了初值问题( 1 1 ) ，( 1 2 ) 他们指出在适当的 条件下，吒( z ) 和晶( z ) 的“小悭可以放宽，其主要结果如下s 定理1 4 若假设 p ( v ) c 2 扣 0 ) ，( 口) o ；( 1 5 ) z 0 。厅砷 0 ； ( 1 。) i i r 0 ) 1 1 c - ，i l s o ( 。) 0 c - 有界，且6 ；，i n 。fi r o ( 。) i s ；u r pl s o ( z ) l o ； ( 1 7 ) 矿( 口) 0 v 口r + ，s i g n ( p ) 嵋( 茹) 0 ，s i g n ( p ) 8 ：( z ) 0 ，v z r ；( 1 8 ) 和初始值振幅 = r o 。) _ 础i n f 吣) ) + 、s 础u p 嘶) _ 础i n f 嘶) ) 充分小则p 砂，p 纠在整个上半平面t 0 存在唯一的连续可徽解 后来，y a n g 和z h u 在文【17 】中讨论了如下带耗散项的p 方程组： i 地一= 0 ， 茁乏，t 0 ， i 口。+ p ( 。) ：；1 ( ，( 。) 一乱) ，s 。 1 9 并且得到如下结果t 硕士学位论文 m a s t e r s t h e s i s v ( v ) 俨( r ) ，p ，( ) 0 ，v 口r ，( 1 1 0 ) ( v ) g 1 ( o ，0 0 ) ，一、项万 ，伽) 0 ，v ( r ，s ) n( 1 1 4 ) 3 硕士学位论文 m a s t e r s t h e s i s 此处 a = 一，万两，p = 俪， ， q = ( r ，s ) i2 垂( - o o ) r 一8 2 圣( o o ) ) ，m ( 口) = u ( s ) a s j 0 之下，简单地说，解的整体光滑可解性的充要条件为 s i g n ( a ，) 嵋( z ) 20 ，s i g n ( # ，) s ；( 。) 0 ( 1 1 5 ) 然而，对于非齐次双曲系统，尤其是带耗散项的双曲系统，所得到的结果还很 少，相应的结果可参看文献【9 ，1 0 l i n 和z h e n g 在文【9 】中考虑了方程组( 1 1 ) ，其中取p ( v ) = 七2 口一，0 ，y 3 ，并得到如下结果： 定理1 7 在假设条件 s u pf r 0 ( z ) l + s u pl s o ( x ) l m i n 一2 圣( o ) ，2 v ( o o ) ， ( a ) r 0 ( z ) ，s o ( x ) c 1 ( r ) ，j 嵋( ) i + i s ；( z ) i m( c ) 瞳董里m 是任意大的正数，下，他们证明了 口，当0 7 1 时，如果条件( b + ) 吒( z ) 一南如 ) ，s ；( z ) 一墨伽( z ) ( b + ) 对所有的z r 都成立，则初值问题以j j ，“矽存在唯一的整体光滑解 f 砂当1 ，y 3 时，如果条件( b + ) 在某点。r 处不成立，则初值问 题口j ，p 圳的光滑解只在有限时间内存在 联立结果( 1 ) 和( 2 ) ，我们得到了当7 = 1 时的整体光滑解存在的充要条 件，这正是z h e n g 在文【1 8 中的结果 4 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 这里条件) 的作用是； ( a ) 当1 ，y 3 时，它保证了光滑解严格远离口= o o ，即不会出现过度集 中的现象 ( b ) 当0 ，r 0 ，( 1 1 6 ) i u o ( z ) i + l ( 功l + i 嵋( z ) i + l 砧( z ) i m ，( 1 1 7 ) 嵋( z ) 一i o z g 。( o ，z ) ，s ；( z ) 一兰g ( o ，z ) ， ( 1 1 8 ) 其中 g 。( t ，z ) = p 一 9 ( t ，z ) ，9 ( 口) = p ( s ) d s ， 则初值问题口纠，口剀存在唯一的整体光滑解 2 ) 如果靖任意的x r 。条许0 ，( 1 i 6 ) 和( i 1 ) 葳i ，a 条传 嵋( z ) 一；g + ( o ，功，s 一詈口( o ，z ) ， ( 1 1 9 ) 其中 g ( ，z ) = p 一( d + g ) ( t ，z ) ，d = ( 了1 一g ) l ，：p ， ，= 一；础一；州垆f op 孙) d s 在某点z r 处不成立，则初值问题口，以矽的光滑解只在有限时间内存 左 5 硕士学位论文 m a s t er s t h e s i s 本文的创新之处在于去掉条件) ，并且在减弱条件( b ) 下，利用极值原 理和先验估计的方法，推出了当0 7 1 时的整体光滑解的存在性 本文余下的部分安排如下，在第二章中，先引入黎曼不变量将问题( 1 1 ) ( 1 2 ) 对角化，然后给出了本文的主要结果在第三章中，利用极值原理和先验 估计的方法证明了本文的主要结果定理2 1 6 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 嘶，= 陲靠删， 仁s ， 。：翼( 毫 例 。， 归1 ( 崭) 南卜垆删， 昭4 7 m 删蜉a s t e r 鼢 s t h 文e s 。 。rt。+pxr。,。=：-一7萋(。r，+s。)，,， c z 。， 一一叭垆 ：j 导卜矿钿 ， is ( z ，。) = “。( z ) 一垂( 。帕( 。) ) 全8 。( z ) 2 _ 8 定理2 1 假设0 7 1 ，如果条件伊砂和似j 砂对所有的z r 都成立， 则初值问题口j ，和口矽存在唯一的整体光滑解 8 硕士学位论文 m a s t er s t h e s i s 注2 2 当0 咄伽【z j 成立 注2 3 当0 0 ，( 3 1 ) 下，初值问题俾砂，偿砂在光滑解的存在区域7 r ( t ) = ( z ，t ) l x r ，0 t t ) 内的解( r ( x ，t ) ，s ( z ，t ) ) 满足如下估计； s u pf r ( x ，) i m o ，s u pl s ( x ，t ) i m o ( 3 2 ) 仁篡嚣c 弛l d ) , 气 s ， j 磊+ a 磊= 一尝( e l e t + 2 a z ) 一；妒一印， ( 。) 1 瓦+ p 瓦：一n ( c l e t + 2 1 i x ) 一詈( i 一功， p 4 和 硕士学位论文 m a s t e r s t h e s i s f ( 圳) = r ( z ，o ) 一一苦( 矿+ c l ) o ， ，g。(x士,三o，)=，：-，s。(土x,工o，)-，一m几。岛-一-茄(x一2+会cl)t tn c l e t 三0 ， c 。s ， f ( 士三，) = r ( 土工，) 一一一鲁 ， 耻砧) = s ( 垴沪一一尝e 酣 o 利用( 3 4 ) 和( 3 5 ) 式，我们必有 f ( z ，t ) 0 ，i ( 茁，t ) 0 ，( z ，t ) 【- l ，l i 1 0 ，卅( 3 6 ) 否则，若( 3 6 ) 式在( 一l ，l ) ( 0 ，刁上不成立，设 那么 f = s u p t ：f ( z ，r ) 0 ，i ( z ，r ) 0 ，vz ( 一l ，l ) ，_ r ( 0 ，t ) ) t 0 f t + 根据f ( ，t ) ，i ( 茹，t ) 的连续性，必存在( 牙，f ) ，且一三 牙 l 使得 啊) _ o 杯) 0 ，掣懈) _ 0 掣雕) o 或者 凇一 2 s u p p ， 则从( 3 4 ) 式得到矛盾，因此( 3 6 ) 式成立 于是由( 3 3 ) 及( 3 6 ) 式得到 巾，t ) + yz 2 + c l e t ) ，叫哪) + 茄( 矿+ c l e 曩( 3 7 ) 1 】 硕士学位论文 m a s t er s t h e s i s 仁= 墨乏 陋( 圳= 卜枢2 巾i = 弦+ s ) l ， 哪) e x p ( m o ) , 7 = 1 , m 下面来估计r z ， ( 3 8 ) ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) 硕士学位论文 m a s t e r s t h e s i s 引理3 2 假设0 7 1 ，那么在条件俾砂，偿j 砂和先验假设p ，下，初 值问题侣砂，偿矽在光滑解的存在区域丌( t ) = ( z ，t ) l x r ，0 t s 研内 的解( r ( ，t ) ，s ( z ，t ) ) 满足如下估计： 一a v ( x ，t ) 如( z ，t ) m 2 ，一口 ，t ) ( z ，0 m 2 ，( 3 1 3 ) 其中 m 2 = 尬+ a s u p v o ( x ) 如k + a ( k = 一差+ ) 一p “一) k ( 3 1 4 ) l ( 如k + p ( 。) 。：一詈( + ) 一地( 一) 。， p 工钏 钆( r ，s ) 肌2 百r = ；唧( 一孚) = 等， 何等( 磊) 一( 一一= 等， 另外由( 2 6 ) 式，我们得到 d ( r s 1 以t 其中 由于 杀= 妄+ a 未，巧2 瓦瓦 daa 面2 瓦+ p 瓦 r s = 2 0 0 , ) 一v = 1 0 0 ， 江z s ， 面( 士l ，t ) = 加( 士l ，t ) + + 参e ， i ( 士三，t ) = ：( 士厶t ) + + 尝c l e t o 现在，我们假设在丌( t ) 内 吣棚一藉a 州) ，z ( 州) 2 一鲁州引) 则 字叶等叫狐字q + 等z 独 由( 3 2 7 ) ，( 3 2 8 ) 和( 3 3 0 ) 式，我们必有 ( 3 2 9 ) ( 3 3 0 ) 面( z ，t ) 0 ，j ( z ，t ) 0 ，( z ，t ) 【- l ，纠【0 ，刁( 3 3 1 ) 否则，若( 3 3 1 ) 式在( 一l ，l ) ( 0 ，t l 上不成立，设 那么 f = s u p t ：面( z ，r ) 0 ，牙( z ，7 ) 0 ，v z ( - l ，工) ，f ( o ，t ) ) ， 1 0 t t + o 。 m 掰a s t e r 雠 s t r i 文e s 墙 根增面( 而绒三( z ，亡) 的连续性，必存在( 孟，t ) ，且一二 一茄( 护+ 化如 茄( 矿+ c l o 在( 3 3 2 ) 中令l 一+ o 。，则得( 3 2 3 ) 式 接下来估计w ( x ，t ) 及z ( x ，t ) 的上界为此，作辅助函数 f 嘶，t ) = 的+ + n ( x 2 + c l e t ) ， 【如= 融+ + 茄( 妒+ g l e t ) 那么用类似于( 3 2 3 ) 式的证明方法，我们可以得到 ( 3 3 2 ) ( 3 3 3 ) 彬p ，t ) ，z ( 力5 必 ( 3 3 4 ) 综合( 3 1 ) ，( 3 2 0 ) ，( 3 2 3 ) 和( 3 3 4 ) 式，即得( 3 1 3 ) 式 引理3 2 证毕 下面来验证先验假设( 3 2 9 ) 是合理的 1 7 硕士学位论文 m a s t er st h e s i s 引理3 3 在先验假设p j j 下，如果初始值满足条件俾1 0 ) ，则在光滑解的 存在区域7 r ( 力= ( z ，t ) l x r ，0 t 研内由何刎武定义的叫( z ，t ) 和 z ( x ，t ) 满足如下估计。 ”( z ，f ) 2 一彳1 石- 。口( z ，t ) ，z ( z ，t ) 一彳1 玎- , n ”( z ，t ) ( 3 3 5 ) 证明首先，在假设条件( 2 1 0 ) 下。我们得到( 3 2 2 ) 式再利用先验假设( 3 1 ) 和( z ，t ) ，z ( z ，t ) 关于t 的连续性，可知必存在t l ( o ，t ) ，使得当t ( o ，t l 】 时， 吣一一而1 - - 7 叫碱出一幕州蚺 下证( 3 3 5 ) 式在区域丌( t ) 内成立 否则，若( 3 3 5 ) 式在区域丌( t ) 内不成立，则必存在t 2 ，且0 0 ( 3 3 6 ) 证明首先，根据假设条件( 2 9 ) 和v ( x ，t ) 关于t 的连续性，必存在t 4 0 ，使 得当t 【o ，t 4 】时， 口( z ，t ) 0 若( 3 3 6 ) 式在区域7 r ( 即内不成立，则必存在t 5 ，且0 0 ( 3 3 8 ) 再根据口( z ，t ) 关于t 的连续性，必存在t 6 t b ，使得( 3 3 6 ) 式在【0 ，t 6 】上成 立这就与t 5 的定义矛盾因此，如果初始值满足条件( 2 9 ) ，则我们总可以假 设( 3 1 ) 成立 引理3 4 证毕 根据经典解中的局部存在性与引理3 1 和引理3 2 的先验估计，我们得到 定理2 1 成立 硕士学位论文 m a s t e r 8t h e s i s 参考文献 【1 j 1b l o o m ，f ，o nt h ed a m p e dn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o nw u 。口( ) 一- r w t j m a t h a n a l a p p l ，9 6 ( 1 9 8 3 ) ，5 5 1 5 8 3 【2 】d o u g l i s ，a ，e x i s t e n c et h e o r e m sf o rh y p e r b o l i cs y s t e m s ，c o m m p u r ea p p l m a t h ，5 ( 1 9 5 2 ) ，1 1 9 - 1 5 4 【3 】h s i a o ，l a n dl i ，t t ，g l o b a ls m o o t hs o l u t i o no fc a u c h yp r o b l e m sf o rac l a s s o fq u a s i l i n e n rh y p e r b o f i cs y s t e m s ，c h i n a n n m a t h ，4 b ( 1 9 8 3 ) ，1 0 9 - 1 1 5 ， | 4 jj o h n s o n ，j l ，g l o b a lc o n t i n u o u ss o l u t i o n so fh y p e r b o f i cs y s t e m so fq n s i l i n e a x e q u a t i o n s ，b u l l a m e r m a t h s o c ，7 3 ( 1 9 6 7 ) ，6 3 9 - 6 4 1 【5 】l a x ，pd ，d e v e l o p m e n to fs i n g u l a r i t i e so fs o l u t i o n so nn o n l i n e a rh y p e r b o u c p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i i o n s ，j m a t h p 1 1 y ，5 ( 1 9 6 4 ) ，6 1 1 6 1 3 【6 】l i ，t t a n dq i n ，t h ，g l o b a ls m o o t hs o l u t i o n sf o rac l a s so fq u a s i l i n e a r h y p e r b o l i cs y s t e m sw i t hd i s s i p a t i v et e r m s ，c h i n a n n m a t h ，6 1 3 ( 1 9 8 5 ) ，1 9 9 - 2 1 0 【7 】l i ，t t a n dy u ，w z ，c a u c h y sp r o b l e m sf o rq u a s i l i n e a rh y p e r b o u cs y s t e m s o ff i r s to r d e rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，m a t h p r o g s i n i e a ，7 ( 1 9 6 4 ) ，1 5 2 1 7 1 1 8 】l i n ，l w ，o nt h eg l o b a le x i s t e n c eo ft h ec o n t i n u t i o n ss o l u t i o n so ft h er e d u c i b l e q u a s i l i n e a rh y p e r b o u cs y s t e m s ，a c t as c i n a t j i l i nu n i v ，4 ( 1 9 6 3 ) ，8 3 - 9 6 1 9 】l i n ，l w a n dz h e n g ，y s ，e x i s t e n c ea n dn o n e x i s t e n c eo fg l o b a ls m o o t hs o h - t i o n sf o rq n s i l i n e a rh y p e r b o l i cs y s t e m s ，c h i n a n n m a t h ，9 b ( 1 9 8 8 ) ，3 7 2 - 3 7 7 硕士学位论文 m a s t er ，s t h e s i s 【l o l i n ，l w a n dy a n g , t ，e x i s t e n c ea n dn o n e x i s t e n c eo fg l o b a ls m o o t hs o l u - t i o n sf o rd a m p e dp - s y s t e mw i t h r e a l l yk g 矿i n i t i a ld a t a ，j p a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ，4 ( 1 9 9 1 ) ，4 5 - 5 1 1 1 】n i s h i d a ，t ，n o n l i n e a rh y p e r b o l i ce q u a t i o n sa n dr e l a t e dt o p i c si nf l u i dd y n a m - i c s ，p u b l i c a t i o n sm a t h e m a t i q u e sd o s a y , 7 8 0 2 。d e p a r t m e n td em a t h e m a t i q u e , p a r e s - s u d ，1 9 7 8 【1 2 s l e m r o d ，m ，i n s t a b i l i t yo f s t e a d ys h e a r i n gf l o w si nan o n l i n e a rv i s c o e l a s t i cf l u i d a r c h r a t i o n a lm e c h a n a l ，6 8 ( 1 9 7 8 ) ，2 1 1 2 2 5 。 1 3 s l e m r o d ，m ，d a m p e dc o n s e r v a t i o nl a w si nc o n t i n u mm e c h a n i c s ，n o n l i n e a ra n a l - y s i sa n dm e c h a n i c s ，v 0 1 i i i ，p p 1 3 5 - 1 7 5 ，p i t m a n ，n e wy o r k ，1 9 7 8 ， 1 4 w a n g ，j h a n dl i ，c z ，g l o b a ls m o o t hs o l u t i o n sa n df o r m a t i o no f s i n g u l a r i t i e s o fs o l u t i o n sf o rac l a s so fq u 鹅i l i n e a sh y p e r b o l i cs y s t e m sw i t hd i s s i p a t i v et e r m s ， c h i n a n n m a t h ，9 a ( 1 9 8 8 ) ，5 0 9 - 5 2 3 1 5 jy a m a g u t i ，m a n dn i s h i d a ，t ，o nt h eg j o b a ls o l u t i o nf o rq u a s i l i n e a rh y p e r b o l i c e q u a t i o n s ，l m n k c i a le v a c ，i i ( 1 9 6 8 ) ，5 1 5 7 1 1 6 y a n g ，t ，z h u ，c j a n dz h a o ，h j ，g l o b a ls m o o t hs o l u t i o n sf o rac l a s so fq u a s i l i n e a rh y p e r b o l i cs y s t e m sw i t hd i s s i p a t i v et e r m s ，p r o c r o y s o c e d i n b u r g h ，1 2 7 ( 1 9 9 7 ) ，1 3 1 1 1 3 2 4 【17 】y a n g ，t ，a n dz h u ，c j ，e x i s t e n c ea n dn o n e x i s t e n c eo f g l o b a ls m o o t hs o l u t i o 酗 f o rp - s y s t e mw i t hr e l a x a t i o n ，j d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，1 6 1 ( 2 0 0 0 ) ，3 2 1 3 3 6