（计算数学专业论文）bikhoff求积公式.pdf

前言 多项式插值是一个非常古老的课题，其理论和方法是数值逼近的重要基础早 在十七世纪，n e w t o n 就利用插值公武来计算行星的运行轨道其后不久，l a g r a n g e 得到了著名的l a g r a n g e 插值公式自他们之后，插值问题的研究从未间断究其 原因，主要是因为插值具有非常广泛的实际背景 b i r k h o f f 插值( 或称缺项插值) 是随着处理有关某个函数及其导数的离散的，不 规则的信患而提出来的它的研究肇端于b i r k h o f f 发表于1 9 0 6 年的开创性工作但 在这以后直到本世纪五十年代，这一问题并末引起人们的足够重视1 9 5 5 年起， t u r a n 及其学生们对这一问题进行了积极的探索s c h o e n b e r g 的1 9 6 6 年的工作重 新激发了人们对这一问题的研究兴趣，并促使这一方向活跃起来，逐渐形成了逼近 论中的一个新的研究方向在过去的三十多年时间里，这一方向的研究积累了十分 丰硕的成果 默形式上看，b i r k h o f f 插值是比人们熟知的l a g r a n g e 括值和h e r m i t e 插值更 为广泛的一类插值，但从本质上来说，它又完全不同于这两类插值，有人甚至称它 为“非h e r m i t e 插值”今天之所以称它为b i r k h o f f 插值，当归于历史的原因 关于b i r k h o f f 插值，第一个需要研究的是存在性和唯一性即所谓的正则性 问题因为满足给定条件的插值多项式或许根本不存在，或许有无穷多个如果插 值正则，则接下来的问题是怎样将插值多项式用简洁的解析式明显地表达出来，并 进而考虑基多项式的估计和插值过程在某种度量意义下收敛性，以及收敛速度等问 题 正如 2 7 】中所述：就求积公式而言，最近人们的兴趣已经转移到b i r k h o f f 求 积公式本文主要研究b i r k h o f f 求积公式对b i r k h o f f 求积公式的存在性进行了 有意义的探索，运用独特的方法得到其判定定理，同时展示了该定理在几方面的应 用在研究t u r g n 问题3 7 - 3 9 的一般形式中得到了b i r k h o f f 求积公式中正的c o t e s 系数的存在条件，得到了t u r i n 问题3 7 - 3 9 的一般形式的解而在对t u r i n 问题 3 3 的一般形式进行研究的过程中，得到了b i r k h o f f 求积公武对高一阶的多项式精 确的判定定理 下面简要介绍本文的主要内容： 第一章，对b i r k h o f f 插值问题进行简要介绍； 第二章，介绍b i r k h o f f 插值的求积正则及相关内容； 第三章，给出b i r k h o f f 插值的求积正则的比较定理及其应用； 3 第四章，建立b i r k h o f f 求积公式并给出其中正的c o t e s 系数存在的条件 最后一章，作者研究了t u r a n 问题3 3 的一般形式，得到了b i r k h o f f 求积公式 对高一阶的多项武精确的判定定理 4 摘要 本文主要研究b i r k h o f f 求积公式 通过对b i r k h o f f 求积公式的存在性进行有意义的探索，运用独特的方法得到 其判定定理：即如果扎x ( n + 1 ) 阶规范插值矩阵e 和e 7 具有如下形式： e = e l + 赐，e = e t + 琶，le 2l = i 玩i = s ，1 8 n 且元偶e 7 ，x 正则那么元偶e ，xq - 正则当且仅当 r a n k a ( e 2 ，x ；h o ，h 8 - 1 ) = r a n k b ( e 2 ，x ，d 9 ；h o ，h s - 1 ) 其中，h i p ，i = o ，1 ，8 1 ，可被e l ，x 零化且线性无关同时该文也展示了 定理在几个方面的应用 在研究t u r i n 问题3 7 - 3 9 的一般形式中得到了b i r k h o f f 求积公式中正的c o t e s 系数( c k o ) 的存在条件：即如果n ( n + 1 ) 阶p 6 1 y a 矩阵磊及e 具有如下形式 晶= 晶l + 及z ，鹾= e 1 + 联2 ，i 既2i = i 以2 | - 礼， 且蟛的所有序列都为偶那么存在着正则节点使得 c k o ( x ) 0 及 。l _ + i m o o 厶( x ；，) 2 - 1 ，o ) d g ，g - 1 ，1 】 成立其中， 厶( x ；，) 2 上。蟛( x ，加) 由3 荟。加m t ) 同时， 呼n 耋y ) = k 妻= l 酬x ) 刮) 叫_ 1 ) 成立，给出了t u r d , n 问题3 7 - 3 9 的一般形式的解 而在对t u r i n 问题3 3 的一般形式进行研究的过程中，得到了b i r k h o f f 求积 公式对高一阶的多项式精确，( 即g a u s s 型求积公武) 的判定定理：如果对于给定节 点，( o ，1 ，i n 一2 ，m ) 一插值问题是正则的则下述结论等价： ( 1 ) 求积公式 ，( z ) 如= 耋m d ( 。) 如+ ，( ) 脲( z ) 如 对所有次数sm n 的多项式成立； ( 2 ) 存在一非零多项式r 。满足 及 ( 3 ) r ( x k ) = r ( z k ) = = 兄( m - 2 ( z k ) = r ( ”( z 女) = 0 ，k = 1 ，2 ，n d 。( a ) ：= 似丽m $ 2 一0 1 1 l ! x - z l 、d x ，1 r ( x ) d x = o ，一1 x l - - x 2 j 2 面r n i 1 。掣出 6 l 1 1 。嵋( x ) d x = 0 去士簿 a b s t r a c t ab i r k h o f fq u a d r a t u r ef o r m u l ai ss t u d i e di nt h i sp a p e r ac o m p a r i s o nt h e o r e m c o n c e r n i n gt h eq - r e g u l a r i t yo f b i r k h o f fi n t e r p o l a t i o ni sg i v e na sb e l o w ： i fn ( n + 1 ) n o r m a l i n t e r p o l a t i o nm a t r i c e se a n de h a v et h ef o r m s e = e l + 易，e = e 1 + 耳，i 易i = i 砭i = 8 ，1 8 n a n dt h ep a i re ，xi sr e g u l a r t h e nt h ep a i re ，xi sq - r e g u l a ri fa n do n l yi f r a n k a ( 易，x ；h o ，h 8 - i ) = r a n k b ( 如，x ，d g ；h o ，h s - 1 ) h e r e ，h i p ，i = 0 ，1 ，8 1 ，i sa n n i h i l a t e db y e l ，xa n dl i n e a r l yi n d e p e n d e n t m e a n w h i l e ，a 8a p p l i c a t i o n so f t h i st h e o r e m ，c h a r a c t e r i z a t i o n so ft h eq - r e g u l a r i t y o fs e v e r a li n t e r p o l a t i o n sa r ep r o v i d e d i nt h ep r o c e s so f s t u d y i n gt h eg e n e r a lf o r mo ft u r 6 , n sp r o b l e m 3 7 - 3 9 ，w eo b t a i n t h ee x i s t e n c ec o n d i t i o no fp o s i t i v ec o t e sn u m b e rf o rb i r k h o f fq u a d r a t u r ef o r m u l a s ， t h a ti s ，i f n ( n + 1 ) p d l y am a t r i c e s 晶a n deh a v et h ef o r m s 玩= 晶l + 风2 ，联= r l + ，l e 2i _ i 碟2 | - n a n da l lt h es e q u e n c e so fea r ee v e n t h e nt h e r ee x i s tr e g u l a rk n o t sxs u c ht h a t e k 0 ( x ) 0 a n d ，1 。l 。i m 。i n ( x ；f ) 2 上lf ( x ) d g ，g ( 一1 ，1 ) ， w h e r e 厶( x ；，) ：f ：蛾( x ，；z ) 句：壹。m 。) 2 上，d ：( x ，；z ) 句2 善8 k 。，( ) m e a n w h i l e ， n ii n 啊n ic k o ( y ) i = e k o ( x ) = g ( 1 ) 一g ( - 1 ) k = l o i 女= 1 a sf a ra st h eg e n e r a lf o r mf o rt u r a n sp r o b l e m3 3 i sc o n c e r n e d ，w eo b t a i nt h e f o l l o w i n gr e s u l t ： i ft h es y s t e mo fk n o t si sg i v e na n dt h e p r o b l e mf o r ( o ，1 ，m 一2 ，m ) i n t e r p o l a t i o n i sr e g u l a r t h e nt h ef o l l o w i n gs t a t e m e n t sa r ee q u i v a l e n t ( 1 ) b i r k h o f fq u a d r a t u r ef o r m u l ai sv a l i df o r ，f ； ( 2 ) t h e r ee x i s t san o n z e r op o l y n o m i a l r ，r p m ns a t i s f y i n g r ( 茁女) = r ( x k ) = = r ( r a - 2 ( 。女) = r ( “) ( 石女) = 0 ，k = 1 ，2 ，。n 7 a n d ( 3 ) d 。( a ) ：= j l 五r n i 1 $ n 一0 l 正。鼎d x 1r ( z ) d x ：o ； j 一1 o i z 2 j 2 云 l z n z 2 正1 删。- - x 2 如 8 j 卸芸笔 。掣赢 1 1 1 正1w m ( x ) d x = 0 第一章b i r k h o f f 插值问题简介 1 一元b i r k h o f f 插值 b i r k h o f f - 插值，或称缺相插值，是考虑如下问题：设g = g o ，g l ，g n 是区间 - 1 ，1 或单位圆周d 上n + 1 个n 次连续可微实值函数的线性无关组，x = z 1 ，x 2 ，x n ) 是 - 1 ，1 】或d 上的n 个不同的节点，e = ( e i ，k ) 3 。，各。是一个插值关联矩阵或插值 矩阵e i k = 0 或1 且 女e i k = n + 1 ，怨oe l k 0 ，i = 1 ，2 ，n ，对任意给定的 数c i k ，是否存在唯一的多项武p = 墨o 野满足 p ( 翰) = c i k ，e l k = 1 7( 1 1 ) 如果这个问题存在唯一解，那么我们称由e ，x ，g 所确定的b i r k h o f f - 插值是正则的 ( r e g u l a r ) ；否则称为奇异的( 即对某一x ，存在可被e ，x 零化( a n n i h i l a t e d ) 的非平 凡多项式p ；p 为e ，x 所零化是指p 满足p ( 姊( 戤) = 0 ，e i ，= 1 ) 有几种类型的正 则性特别地，如果x 为卜1 ，1 中任意有序子集，则称e 为( 有序) 正则；如果e ，x 对任意给定的实节点集是正则的，则e 为实正则的 在此我们介绍一下规范的插值矩阵定义所谓规范( n o r m a l ) 的插值矩阵即是 指该矩阵所含的“1 ”的个数等于其列数 b i r k h o f f - 插值问题是熟知的l a g r a n g e 插值，h e r m i t e 插值和拟h e r m i t e 插 值的一种自然推广，但本身及所使用的方法均与这几类插值有着本质的区别，例如 ( 1 1 ) 解的存在唯一性不能保证因此对于b i r k h o f f - 插值，第一个值得研究的是正 则性，即( 1 1 ) 解的存在唯一性问题，这等价于行列式 d ( e ，x ，g ) = g e t g ( o ( 石t ) ，口茹( z ) ，e i = 1 】0 ，( 1 2 ) 其中中括号中的( i , k ) 穷尽所有的e l k = 1 但对于大多数问题，我们不能直接计算 d ( e ，x ) 其次，正如l a g r a n g e 和h e r m i t e 插值一样，如果将p 记成基多项式( 对 于元偶e ，x ，如果函数v t k = e j 5 0 q 毋，e i k = 1 ，e l k e 满足 f 掣( z ，) = 函，e 。“= 1 ，e ，“e ， 我们称p k 为基本多项武( f u n d a m e n t a lp o l y n o m i a l ) 的形式，则需要给出基多项 式的明显表达武最后讨论这种插值在某种度量意义下的收敛性和收敛阶的估计 b i r k h o f f - 插值这一名称，主要归于历史的原因1 9 0 6 年，b i r k h o f f 首次考虑了这 种插值，由于当时并未将这篇文章归于函数逼近论方向，以致于在以后的几十年里 未引起人们的足够重视白五十年代中叶起，b i r k h o f f 插值才真正成为实插值和复 插值的一个活跃方向 一般地，人们选取g 为代数多项式 zz 2z n g 2 1 ，订，可，而， ( 1 3 ) 9 三角多项武 g = f 1 ，c o s z ，s i n 茁，c o s n x 2 ，s i n n x 2 ( n 为偶数) ， 或样条函数空间对于( 1 3 ) 的代数多项式情形，p 6 1 y a 给出了一个著名的定理 设 rn m r = e i k k = 0 i = 1 表示e 的前r + l 列中1 的个数，则 定理1 1 1 2 7 ，t h e o r e m1 5 ，p 1 0 1 若n = 2 ，则由e ，x ，g 所确定的b i r k h o f f - 插 值正则的充要条件是 尬r + 1 ，r = 0 ，1 ，n ( 1 4 ) ( 1 4 ) 就是著名的p 6 1 y a 条件，1 9 6 6 年，s c h o e n b e r g 对一般的n 作了研究得到了 下述结果 定理1 2 1 3 3 1 在代数多项武情形下。b i r k h o f f - 插值问题是正则的必要条件是 满足p 6 1 y a 条件 史应光运用独特的方法得到了关于b i r k h o f f - 插值正则性的判断的一个结果： 对于具有如下形式 e = e l - 4 - e 2 ，e = e t + 蜀，f e 2 i = l e ；l = 8 ，1 8 n 的礼( n + 1 ) 阶规范插值矩阵e 和e ，如果元偶四，x 为正则，那么( a ) 元偶e ，x 正则当且仅当( b ) 存在关于元偶e ，x 的s 个基本函数r i k p n ，e i k = 1 ，e i k e 2 ； 对于一些特殊的三行关联矩阵，l o r e n t z 等人作了深入的研究1 1 6 | 此外， k a r l i n 和k a r o n ，l o r e n t z 等人利用行的联合方法1 1 6 ，2 0 l ，f a w z y 和s c h u m a k e r 利 用点态多项武方法【3 4 】考虑了一些一般的b i r k h o f f - 插值问题但是由于计算的复 杂性，对于一般的b i r k h o f f - 插值目前人们还不能期望建立完善而系统的结果，大 部分工作仍是针对一些特殊的关联矩阵和一些特殊的节点组进行讨论 若e 的每一行具有如下形式： e i k = 1 ，= p o ，p l ，p q ，而对于k 的其他值 e i k = 0 ；i ，g = 1 ，2 ，n ，p n ，则当g 为代数或三角多项武时，我们将由e ，x ，g 所确定的b i r k h o f f - 指值简称为x 土的( p o ，p l ，p q ) 插值在过去四十多年的时间 里，巴有许多逼近论专家在这个方面取得了大量傥美的结果，佣如美国的l o r e n t z ， v a r g a 和n e v a i ，匈牙利的t u r a n ，n e u d ，v 6 r t e s i 和s z a b a d o s ，加拿大的s h a r m a 和 r i e m e n s c h n e i d 及我国的史应光等关于b i r k h o f f - 插值的详细历史，可参考综述文 章【2 0 ，3 3 ，5 0 一8 4 和l o r e n t z 等人的专著 2 7 】，在最近s z a b a d o s 的纪念v a r m a 的文 章中【3 6 】，也可以找到许多这方面的工作，本文将考虑这种插值问题 2 多元b i r k h o f f - 插值 1 0 多元b i r k h o i f - 插值的研究较一元b i r k h o f f - 插值的研究晚直至八十年代中期，才 由g g l o r e n t z 和r a l o r e n t z 等人发展了一系列技术加以研究其研究方法完全 不同于一元l a g r a n g e 和h e r m i t e 插值，也不同于以前的多元插值，而有些类似于 一元b i r k h o f f - 插值的理论本文将不对这一问题作深入的阐述，在此仅给出其定 义 类似于一元b i r k h o f f - 插值，多元b i r k h o f f - 插值是考虑如下问题：对于给定节 点集z z = 钿凳1 = ( x q , 1 ，x q , 2 ，z 州) 凳l 和插值空问， 鼽= p ：p ( z ) = p ( x 1 ，x d ) = a i x z l l 。奢) e 其中s 是删的一个子集，即若0 靠i k ，k = 1 ，d ，且i = ( i 1 ，i d ) s 则必 须有j = ( j l ，j d ) s ，以及一个关联矩阵e e = ( e q , a ) ，q = 1 ，m ；a s ；e = 0 ，1 ， 则对于给定的实数c 是否存在唯一的多项式p 使得 a 4 l _ f a d 蠢焉潭尸( 知) = c q ，e 对所有e = l 成立? 3 一个简单的例子 在这一节中，我们将给出一个简单的例子 1 2 】，以说明b i r k h o f f - 插值的实际背景 考虑粱的弯曲问题已知均匀粱的位置平衡方程为 d 4 y ，、 d x 4 2 q 【z j ， 其中q ( x ) 是x 处的垂直位置，这里都取逆时针方向的坐标，q ( x ) 与单位长度的 重量成正比，因此有q ( x ) 0 考虑两个最重要的情况：若梁是没有重量的，则设 q ( x ) 三o ；若粱是均匀的，则设q ( x ) 兰1 在物理意义下，我们需要在粱的两个端点 x 2 a ，x = b 处，四个边值条件下任取两个，印位移，方向，矩及扭力从数学上讲， 就是对下列每组中任取二个 ，( ) ，弘) ，”( ) ，( n ) ，( 6 ) ，( 6 ) ，f ”( 6 ) ，”( 6 ) 现在的问题是能否从这八个中的四个边界条件确定存在唯一解? 这个问题就归结为 b i r k h o f f - 插值问题 5 4 t u r i n 问题介绍 在这篇论文中。本文得到了一些关于t u r i n 的公开问题的一些结果为此我们有必 要介绍t u r a n 及其公开问题 t u r i n ，匈牙利科学院院士，国际著名数学家其成就正如美国逼近论杂志主 编s h i s h a 所述：t u r i n 是当代主要的分析家和数论专家，也是逼近论的领路人 他对这些领域做出了重要的贡献，同时也激励了许多的科研工作者他的主要贡献 不仅是在理论和方法论上，同时他也建立了一系列的思想方法，搜集了大量的有价 值的问题其论文“关于逼近论中的一些公开问题” 8 7 】于1 9 7 4 年首次在匈牙利出 版而后在由美国和匈牙利发起的国际会议上报告 t u r i n 的公开问题共有8 9 个问题，涉及6 个领域其中，问题( 1 1 4 ) 是关 于l a g r a n g e 插值；问题( 1 5 1 8 ) 是关于h e r m i t e f 自e r 插值；问题( 2 9 4 1 ) 是关于 b i r k h o f f 插值；问题( 4 2 4 7 ) 是关于曲线插值；问题( 4 8 7 5 ) 是关于正交多项式；问 题( 7 6 8 9 ) 是关于有理逼近 到现在为止已有3 7 个问题已经被解决它们是：1 3 ，6 ，8 - 1 0 ，1 3 ，1 8 2 0 ，2 2 2 7 ， 2 9 ，3 3 ，3 5 4 1 ，4 6 ，4 8 ，4 9 ，5 4 ，6 7 ，7 l ，7 4 ，7 5 ，8 2 ，8 3 ，8 6 最近，史应光已经完全解决了1 3 个问题( 问题1 0 ，2 4 ，2 6 ，3 5 ，3 7 - 4 1 ，5 4 ，7 1 ，7 4 ， 7 5 ) ，部分解决2 个问题( 问题1 1 ，1 7 ) ，并且通过运用新的，较简单的方法改进了由 n e v a i 解决的问题8 的结果 本文推广了问题3 3 和问题3 7 - 3 9 的结果 5 其它 一b a n a c h s t e i n h a u s 定理【1 1 8 ，定理2 3 1 6 ，p 1 0 2 】 定理：设z 是b a n a c h 空问，y 是b a n a c h 空问的共扼空问，w 是z 的某 个稠密子集若a 。，a c ( z ，y ) ，则对于每一个x z 都有 。l _ + i m 。a n x = a x 的充分必要条件是： ( 1 ) 上式对所有的x w 成立 ( 2 ) 0 a 。| | 有界 1 2 第二章b i r k h o f f 插值的q - 正则 1 q _ 正则 以下令m ，n ，n n ( n 2 ) ，x ：= z l ，z 2 ，x n ，1 x l x 2 x n 0 n 记自 然数集，用p 代表次数不超过n 的多项式 根据函数f 及其导数的值给出积分e f d g 的值的求积公式将被视为b i r k h o f f 数组，( ( 翰) 的一般情况看待我们想找到公式对于属于一个固定的有限维函数空 间的函数f 精确为下述方便，我们将假定a 一1 ，b = 1 测度电总是正的b o r e l 测 度，这样正1 f d g 是一个s t i e l t j e s 积分令e = b 】为nx ( m + 1 ) 阶插值矩阵， 其元为0 或1 且l e i = n + 1 对给定测度d g 和一列节点x ，如果存在常数c i ，k ( 当 c i = 1 时) 使得, k ：，d 9 = e q ，严( 茁i )( 2 1 ) 。一1 e ik = l 对所有，p 均成立，其中p n 为n 次代数多项式集合，那么我们称( 2 1 ) 为 b i r k h o f f 求积公式元偶e ，x 将被称作关于d g ，f ) 为q - 正则 得到一个求积公式的标准方法就是积分相应的插值公式令e ，x 为b i r k h o f f 插值的正则元偶，即可再生任一多项式p ，p p 如果p i ，k ( 当e i ，k = 1 时) 是基 本插值多项式，那么p = e ：1p ( 埘( 盈流，女令c ，= 1 p i ，妇，e i ，k = 1 并积分， 我们得到n = m 时的求积公式 1 r p d g = c i , k p 忙( 盈) ，p p m ( 2 2 ) 这就是元偶e ，x 的插值s v , 公式 回到关于p n 的求积公式那么对于所有的，( z ) = 鲁，( 2 2 ) 都成立这就得 到了关于系数c l ，的线性方程组其中关于系数c i ，t 的矩阵的转置记为a ( e ，x ) 而 该方程组的增广矩阵的转置为 b ( e ，x ；白) = l 脚a 置x 胁i ， ( 2 3 ) 引e 置嘞。【脚“? “胁j ( 2 3 ) 用 铲缸，扎l 记测度d g 的矩量 一定理2 1 【2 7 ，定理1 0 2 ，p 1 3 8 ( 1 ) 元偶e ，x 对于d g 以及p 是q _ 正则 的当且仅当 r a n k a ( e ，x ) = r a n k b ( e ，x ；d g )( 2 4 ) ( 2 ) 如果元偶e ，x 正则，它也q - 正则在n = m 的情况下，求积公式( 22 ) 是 唯一的这就是元偶的插值求积公式 令b 为含有e 的前r + l 列的矩阵如果当k r 时相应于8 t ，k = 1 的元为0 ， 那么目的前r + l 列形成b ( e r ，x ；d g ) 因此 推论2 1 2 7 ，推论1 0 3 ，p 1 3 8 】如果e ，x 关于d g ，p n q - 正则，那么e r ，x 关 于d g ，p q - 正则 二正则与q _ 正则这两个不同的概念之问的关系是： 引理2 1 2 7 ，引理1 0 5 ，p 1 3 7 】令0 ，j = 0 ，m 那么对任意给定的数 y j ，j = 0 ，1 ，m ，由m + l 行( a o ，a 1 协，a 。g p ) 组成的集合张成r m + 1 事实上，行的行列式就是a o ，a 。v ，其中v 是范得蒙行列式因此我们得到 推论2 2 2 7 ，推论1 0 6 ，1 3 9 】令d 夕是具有矩量蜥0 ，j = 0 ，m 的测度 如果元偶e ，x 关于句对( 1 ) 所有满足xc ( - 1 ，1 ) 或对( 2 ) 所有满足xc ( 一1 ，1 ) 且x l = 一1 或对( 3 ) 所有满足xc ( - 1 ，1 ) 且= l 的xq - 正则，那么对所有的 x ，r a n k a ( e ，x ) = n + 1 特别是当n = m 时，e 是正则的 这里有另外的例子涉及到q - 正则性蕴含正则性 引理2 2 2 7 ，引理1 0 7 ，p 1 3 9 1 令e ，x 关于不被任何三点集- 1 ，x t ，1 支撑 的正测度d g 是q 正则的如果e 的子矩阵e 满足- 1 甄 1 的每行仅含偶 序列，且它的p s l y a 函数满足m k ( e ) kk = 0 ，1 ，m ，那么e 满足p s l y a 条件 且e ，x 对p 完备( 即被元偶e ，x 零化的多项式必为零，我们称e ，x 对p n 完备) 三 关于矩阵的典型分解的积分正则 我们将要讨论关于矩阵e 的典型分解e = 蜀0 岛的q - 正则问题规范插值 矩阵e 的典型分解e = e t0 e 2 是指该矩阵可被垂直分解成两个规范矩阵f 1 ，易 这样，如果e l 有r + l 列，那么它们一定是e 的前且合有精确的r + 1 个“1 ”，而局 含有余下的n r 列及n - r 个“1 ” 引理2 3 2 7 ，引理1 0 9 ，p 1 4 0 i 令a 为形如 肚fa l “ 的矩阵这里+ 代表任意元如果子矩阵a l 具有满秩r + l ，那么 r a n k a = r a n k a l + r a n k a j ( 2 5 ) 定理2 2 2 7 ，定理1 0 1 0 ，1 4 1 】令e = e x0 岛为n ( n + 1 ) 阶e 的典型 分解，e 2 为正则那么e 是q - 正则当且仅当e l 是q - 正则 1 4 2 p s l y a 条件；g a u s s 公式 首先奔绍一个定义：e 的第i 行的一个序列被支撑是指如果( i , k ) 是该序列第 一个1 的位置，则在i l i i 2 ，h k ，k 2 k 时，必有8 1 ，k l = e 2 ，k 2 = 1 定理2 3 【2 7 ，定理l o 1 1 ，p 1 4 1 】如果测度d 9 在两点一l ，l 上不被支撑，那么 关于幻及p n q - 正则的每一个矩阵必须满足p 6 1 y a 条件 如果对于矩阵e m k k + 1 一仃，k = 0 ，札， 厶= i e l = n + 1 一盯，( 2 6 ) 那么我们说矩阵e 满足具有常数盯的延迟p s l y a 条件 n d y n 用一个有趣的方法得到了b i r k h o f f 求积公式她得到了许多斯的理论 其中下述定理对作者颇具启迪即e 为nx ( n + 1 ) 阶矩阵其所有的h e r m i t e 序 列为奇，个数为p ，且余下的序列为偶如果e 满足具有常数盯= p 的延迟p 6 1 y a 条件，那么存在一个g a u s s 求积公式对所有属于p 的多项式f ，具有亏数( d r o p ) p 的下武成立。 ，1 l f d g = q ，k 严( 盈) ，- 1 x l z 。 1 1 5 第三章b i r k h o f f 插值的q - 正则的比较定理 1 引言 本章在史应光【5 3 】的b i r k h o f f 的正则性比较定理及其应用的启发下，类似地给出 b i r k h o f f 的q _ 正则的比较定理作为该定理的应用，几种插值的q - 正则的明显表 达已给出 我们首先将史应光对b i r k h o f f 插值的正则性比较定理及其应用介绍如下 5 3 】： 定理3 1 令n ( n + 1 ) 阶规范插值矩阵e 和具有如下形式 e = e 1 + e 2 ，e = e 1 + e 2 ，i e 2 i = i 耳l = 8 ，1 8s n 假定元偶e ，x 为正则那么下列陈述是等价的 ( a ) 元偶e ，x 正则 ( b ) 存在关于元偶e ，x 的s 个基本函数r i k p n ，e l k = 1 ，e i k e 2 ； ( c ) 存在s 个被e l ，x 零化的线性无关的函数h i p n ，i = 0 ，1 ，s 一1 ，使得 d ( e 2 ，x ) ；危o ， 。一1 ) ：= d e t 【 舻( 。t ) ， 拦l ( z ；) ；e l k = 1 ，e i k e 2( 3 1 ) 不为零 定理3 2 。令e 为相应于( 0 , 1 ，p 一1 ，p + l ，m 一1 ，q ) 的插值矩阵且0 p m 或 m p 为奇，那么元偶e ，x 正则当且仅当矩阵 a 。：= 陋( ) ；i ，j = 1 ，2 ，n 】( 3 2 ) 非奇异 定理3 3 令e 为相应于( 0 , 1 ，p 一1 ，p + l ，m - 1 ，q ) 的插值矩阵且0 p m q ! n 一佗+ 1 如果存在一个基本函数那么 n r i k ( x ) = a 让+ a 掣( q ) 7 知0 ) ，i 皿，k 西( 3 3 ) j = l ( 函数a 佃假定为零) ，且如果元偶e ，x 正则，那么 n r 话( z ) = a 惦一e a ：( q ) q 口( 茹) ，i 皿，垂 j = 1 ( 3 4 ) 通常情况下a 。的行列式仍很复杂但就q = m 以及p = m 1 时，它是一个较简单的 形式 1 6 定理3 4 令e 为相应于( 0 ，1 ，m 一2 ，m ) 的插值矩阵，那么 d e t a 。= m “ j l 卫x l - - x j x 2 一o l 1 馏毒 5 2 ，q - 正则的比较定理 马却去 ( 3 5 ) 令e ，e 1 和易为n ( n + 1 ) 阶插值矩阵，不必规范记e = e 1 + e 2 代表普通 的矩阵加法该部分的主要结果为： 定义a ( e ，x ；h o ，h 。) = 【 护( 盈) ， 釜( 盈) ；e 讹捌，h o ，h 。只。，a n d b ( e ，x ，d g ；h 。，h 。) ：i a ( e ，x ； 。， m i ， l p o p ”j 其中胁= l ( z ) d g ，i = 0 ，1 ，m 定理3 5 令n ( n + 1 ) 阶规范插值矩阵e 及型如 e = e 1 + e 2 ，e = e 1 + 蜀，j e 2j = j 马! = 8 ，1 s n 。 假定元偶e ，x 为正则那么元偶e x 为q - 正则当且仅当 r a n k a ( e 2 ，x ；h o ， ) = r a n k b ( e 2 ，x ，d g ；h o ，h s - 1 )( 3 6 ) 其中，屯p ，i = 0 ，1 ，8 1 ，为被e 1 ，x 零化且线性无关 证明令，i 女p ，e d k = 1 ，e i k e 为元偶e 7 ，x 的基本函数因为元偶 e ，x 正剜，所以五女8 一定唯一存在同时诸函数五女张成集合p 我们对函数组 血，e i k = 1 ，e 诂易按照字典序排列得到函数组h o ，h s - 1 相应于上述排列，我 们重新整理矩阵a ( e ，x ) 使其前8 行是岛中的相应e 诸= 1 的元，则余下n s 行是 e 1 中的相应e l k = 1 的元这样a ( e ，x ) 及b ( e ，x ；d g ) 分别被转化为 a ( e ，司= i 小岛弘台以3 - a ( 蜀，x 皇。，b ) 及 ia ( 易，x ；h ，h 州) d1 b ( e ，x ；d g ) = 1 0 a ( e 1 ，x ；h 。，h _ v ) 1 【肛o ，p s lp s ，p _ i 1 7 圭 故根据定理21 元偶e ，x 为q 一正则当且仅当 r a n k a ( e ，x 1 = r a n k b ( e ，x ；d 9 ) 即方程组 ia r ( e 2 ，x ；h 吣，丸一1 ) 0 i d t a t ( e 1 ，x ；h 。 纠 以骈涵， 一卧匕 a r c e t ，x ；k ， - ， ： + 。t ：， = 三 a 默) = ，( 3 7 ) 1 8 为了给出a i k 的显示表达，令 “垆q = 骢lq # i ( 嚣) “，江1 ，2 ，礼 山t 山口 = 击【厶( z ) 一1 整州 ”= o ，1 ，m i 一1 ， = 1 ，2 ，佗， m ，- k - 1 b i ( z ) = 6 t 。( z 一黾) ”，k = 0 ，1 ，m 。一1 ，i = 1 ，2 ，n v = o 则由【1 1 2 】我们有 a i k ( z ) = 两1 扛一孔) 鼠k ( z ) 厶( z ) ， 后= 0 ，1 ，m i 一1 ，i = 1 ，2 ，n 最有趣的是m i 三m 的情形这种情形下对于i = l ，2 ，n 及 l i ( x ) = 岛( z ) ” ( 3 8 ) ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) 这里 岛( z ) = i 热，u 。( z ) = x - - x 1 ) 一z z ) x - - x n ) 我们有更为简单的公式： 定理3 6 令e 为n ( n + 1 ) 阶规范的b i r k h o f f 插值矩阵且满足0 p i m i ，i = 1 ，2 ，n ，其中： = r 嚣册1 ) 酣l j m i ，i _ 1 ，2 ，n 如果对每一个i ，i = l ，2 ，n ，m i - p i 均为偶，那么元偶e , x 正则；如果对某一个i ， i = 1 2 ，n ，m i p i 均为奇，那么元偶e ，x 为q - 正则当且仅当 这里 a 。= 一b t ，m l m ( x 2 一x i ) “一”1 8 1 m l ( z 2 ) r a n k a n = r a n k 鼠 ( x l x 2 ) “一b 2 2 ( z 1 ) 一6 2 ，m 2 一p 2 ( 茁n x 1 ) 1 一”1 8 1 p 。( z 。) ( z 。一z 2 ) 砌一“。岛，m ( z 。) ( 3 1 1 ) ( z l z 。) 8 一“b n 炉。( z 1 ) ( x 2 一x n ) 加“n b ”。( z 2 ) 一k ，。一h ( 3 1 2 ) 玩2 l p 1 1 n n - 2 1 ( z 1 一z q ) m 。1 a l ，p l 扛) d g ， la 。 p n in 。n ：- 。1 ，。n ( 。一x q ) ”一正la n , p , ( z ) ( 3 1 3 ) 证明由【3 1 0 j ，我们有 a 仲。( z ) = 寺( 。一q ) “b i ，“( z ) l i ( z ) ，i = 1 ，2 ，n 再由l e i b n i t z 公式，我们得到 a l 翟( z j ) = 南【( z 一甄) m 鼠，。( z ) l ( z 1 ，j 1 z ( m = j q ) ，、 = 南( z 一) 哪【( z 一翰) p l b i , p 。( z ) 高和 竺 = 南( 一) 一t m i 鼠腓( ) 器筹，j 乒i 另一方面，由公式 ( z ) 2 赤( z 咱) 张b i p ( z ) 厶( 。) ，江1 ，2 ，“柚， 我们有 a i 鼽( z ) l i l ( z ) = 者( 石一x i ) “b i p i ( z ) 这就得到 a i 。( 对玎1 ( 训魁= 翱( z 咱) “b i 胁( 圳墼 注意到p i m i ，我们有 【( z x i ) p i b i 一。( $ ) ：墨2 = 0 ， 也就是。 【a t ，i ( z ) l f l ( z ) 】5 呈甚= 0 根据( 3 7 ) ，我们有 a 掣= i 孚6 f ，。 易知 ，1 p t = ，a t 棚( z ) d g ，i = 1 ，2 ，n 用南n 筠( 一z q ) “。乘以转置矩阵b ( e ，x ；d 9 ) - z l ( m j ( ) ，a ， 1 a 1 ，n ( x ) d g ，i = 1 ，2 ，他】的第j 行并用功! n 孙( 巧一$ 口) “。乘其第j 列根据这 些公式并应用定理3 5 ，我们得到( 3 1 1 ) 口 就纯= m ：一1 时的情形而言，我们有以下论断 定理3 7 令e 为如上所述的矩阵，并且鼽= m i 一1 ，i = 1 ，2 ，n 那么元倡 e ，x 是q 一正则当且仅当 r a n k a 。= r a n k 玩，( 3 1 4 ) 其中 a 。= 一b 1 ，1( x l z 2 ) 一1 ( x l x n ) 一1 ( z 2 一x 1 ) - b 2 ，1( x 2 一x n ) - 1 ( z n x 1 ) 一1 ( z 。一茁2 ) 一1 - b n ，1 玩= 胤茁咱) - 1 毋( 柏，a “哆：x ，正。( z 一。) 一。u ? 。( z ) d g 一 ，- ( z 一。) 一1 u ? 。