（概率论与数理统计专业论文）最优区组3np设计.pdf

中文摘要 最 小 低 阶 混 杂 准 则( ma准 则 ) 是 我 们 选 取 部 分 实 施 因 析 设 计 最 常 用 的 准 则 . 如 何 选 取 最 优区 组 部 分 实 施因 析 设 计已 经 被 广 泛 研 究 .ma n g 决 定 我 们 用1 . 2、 二“ 或 a , b , ， 代表处理因 子. 一个处理定义 关系 字只能包 含有以 上的n个字母中的 元素 . 一 个字所包 含的字母个数我们 定义为 这个字的 长度( wo r d l e n g t h ) . 由 这p个独立定义 关系 字产生 一个子群， 可以表示为 i = ; u l =w 2= =w 2 n 一 1 , 或记作 g , = i , 、 土 ， w 2 , ， 、 2 ， 一 1 . 我 们 称 此 子 群 为 处 理 定 义 对 照 子 群( t r e a t m e n t d e fi n i n g c o n t r a s t s u b g r o u p ) , 群中 的 每 个 元 素 我们均称之为字 我们称向量 哄 =( a l ,o , a 2 ,o , ， a . ,o ) 为 处 理 字 长 型( t r e a t m e n 七 w o r d l e g t h p a t t e r n ) . 其中人,o 表 示 子 群中 长 度 为 的 字的 个 数 . 我 们 用d ( 2 - - p : 2 勺记 一 个 分2 “ 个 区 组 的2 - ” 设 计 ， 其 可 以 看 作 是 一 个2 (” 十 p + k ) - (k 十 p ) 设计， 但值 得注意的 是， 其中的因 子应当 分为两 类， 一 类是n个处理因 子， 我们记作a , b , 或 1 , 2 , ， n ; 另 一类 是k 个区 组因 子句 ， 如 ， ， 饭. 通 过这k 个区 组因 子所有2 “ 个水平组合， 我们 将2 ” 一 ” 此 处 理 组 合 分 在2 k 个区 组 内 进 行 试 验 . 在 这 样一 个 设 计 中 ， 有 两 类 不 同 的 定 义 关 系 字 ， 一 种 是 处 理 定 义 关系 字 ， 另 一 种 是区 组定 义 关系 字. 将 一 个2 n - ” 试 验 安 排 在2 k 个区 组内 进 行， 相当 于从2 完全实施因 析设计的2 一1 个字中 为k个区 组因 子 b l , b 2 ，二， 久选择 k个独立的定义关 系字.一般地，假设我们选择 k个区组定义类系: b , =v 1 , b 2 =v 2 ，二， 帐=v k . b : 和 它 们 所 有 的 交 互 作 用b l b 2 , b l b a ， 二 ， i b , b 2 . . . b k 构 成了2 k 一1 个 区 组 效 应，v ; 和 它 们 所 有 的 交 互 作用v 1 v 2 , v 1 v 3 , . . . , v i v 2 . . . v k 与 这2 k 一1 个区 组 效 应 混 杂 . 根 据区 组 部分实 施 因 析 设 计的 效应等级原则，b 1 b 2 , b , b 3 , . . . , b , b 2 . . . b k 这些区组因 子的交互 作用中 的任何一个和区 组因 子 b i , b 2 , . . . , b k 具有相同的重要性，因此我们将它们都记作 6 . 单位元 1 和 v ; 以及它们的交互作用 v ; v 7 , v ; v j v k , ， v , v : 一v k 构 成 一 个 大 小 为2 k 一1 的 子 群 . 我 们 称 这 个 子 群 i , v i ， v 2 , ， v 2 k _ i =1 1 , v 1 , v 2 ， 二 ， t 2 , v 3 , . 、 ， v l v : 一v k 为 区 组 定 义 对 照 子 群( b l o c k d e fi n i n g c o n t r a s t s u b g r o u p ) ， 并 记 其 为g b . 将。 乘 以 定 义 对 照 子 群 i , w i , w 2 , . . . , w 2 ， 一 ， 中 的 每 一 个 元 素 ， 则 我 们 可以 得 到由 与 区 组 因 子b ; 混杂的所有处理交互作用构成的 集合: v ; , v g c,l l , v z w 2 ， 二， ， n w 2 ; 一 1 对于区 组定义对照子群 g 。 中除 i 外的 元素均作如上的运算，我们可以得到一个由 与区组效应混杂 的 所 有 处 理 交 互 作 用 构 成的 子 群 ， 其 大 小 为2 r ( 2 rk 一1 ) , 我 们 记 其 为g b o t . 我 们 定义 如 下 向 量 为区 组字长m ( b l o c k wo r d l e n g t h p a t t e r n ) : 叽 =( a t , , , a i ,2 , ， a n , i ) 其中a ; , 为子群g b o , ， 中 长度为! 的 字的 个数. 例1考虑一 个2 “ 一 设计， 其分为4 个区 组， 我们 选择如下的 处理定义 关系 和区 组定义关 1= abode , b , =a bc , b 2 二b c d 则也可以表示为。 i =a b c d e=a b c b , =b c d 热， 我们可以得到此设计的定义关系: 1二abcde = a b c b , = d e b , = b c db 2 = a e b 2 =a db , b 2 =b c e b , b 2 由 于交互作用b , b 2 和b , , 如具有相同的 重要性， 边所有的定义关系字中， 一类只包含有处理因 子， 我们可以将上式中的 我们称其为处理字; 子又有区组因 子， 我们称其为混合字.其处理定义对照子群为g ， = f b , , b 2 , b , b 2 全 用b 代替. 在上 而另外一类则既包含有处理因 i , a b o d e ， 处 理 字 长 型 为 琳 =( a 3 ,0 , a 4 ,o , a 5 ,o ) =( 0 , 0 , 1 ) , 去掉区组因子 b 后，区组定义对照子群为 g b = a b c , b c , d , a d , 并且有 区组字长型为 wb 二 a b c , d e , b c d , a e , b c e , a d =( a 2 ,1 , a 3 ,1 , a a , 1 , a 5 ,1 ) =( 3 , 3 , 0 , 0 ) 3 .2 3 水平区组部分实施因析设计 2 水平因析设计的许多定义同样也适用于 3 水平因析设计 我们对3水平部分实施因析设计的 研究， 有许多基本思想直接来源于2 水平部分实施因 析设 计. 一 个3 n - n 部分实施因析设计是含有n 个处理因子， 每个因 子有 3 个水平， 包含有 3 - ” 个处理组合的设计. 和2 水平的情形一样， 由 干受 客观环境的限制， 我们不能将所有的 试验在安排相同的条件下进行， 为减少或剥离不同条件对试验的 误 差影 响 ， 我们 将3 ” 一 ， 个处 理 组合 分区 组进 行 试 验 ， 设 分 为3 k 个区 组 进行 试 验， 每 组 包 含3 ” 一 ” 一 k 个处理组合. 对于一个 3 水平部分实施因析设计， 其因 子之间的交互作用有着与2 水平部分实施因析设计不 同的分解. 其一个两因 子的交互作用， 如因 子a和因 子 b的 交互作用， 可以 分解为两个正交分量， 记为a b , a b 2 ， 分 别 是 满足 如 下 条 件所 对应 的 交 互因 子: x a + x b= 0 , 1 , 2 ( m o d 3 ) , x a + 2 x b = 0 , 1 , 2 ( m o d 3 ) , x a和x b分别代表因 子 a和 b的水 平， 每个正 交分 量的自 由 度为2 ， 我们将 这两个正 交分 量也称 作为2阶交互 : 作用. 同样， 对于一个三因子的交互作用， 如因子a , b , c的交互作用， 我们也可将其分解为4 个自由 度为2 的 正 交 分 量a b c , a b c 2 , a b 2 c , a b 2 c 2 ， 它 们 分 别 是 满 足 如 下 条 件 所 对 应 的 交 互 因 子: x a + x b+ x c= 仇 1 ,2 x a + x b+ 2 x c = 0 , 1 ,2 x a + 2 x b + x c= 0 , 1 ,2 x a + 2 x b + 2 x c = 0 , 1 , 2 ( m o d 3 ) , ( m o d 3 ) , ( m o d 3 ) , ( m o d 3 ) , x a , x r , x c分别代表因 子a , b , c的 水 平， 我们 将这 三个 正交 分量也 称作3 阶 交互作 用. 同样，我们可以将一个四因子的交互作用， 如 a , b, c , d的交互作用分解为 8个自由 度为2 的 正 交 分 量a b c d , a b c d 2 , a b c 2 d , a b c 2 d 2 , a b 2 c d , a b 2 c d 2 , a b 2 c 2 d , a b 2 c 2 d 2 , 我们将如上的正交分量也称作 4阶交互作用.一般地，对于一个 k因 子的 交互作用， 我们总 将其分 解为2 k - 个自山 度为2 的 正交分量， 对于 这些 正交分 量我们 也称 作k 阶 交互 作用卜 在写这些正交分 量的时候， 第一个字母的指数我们一般写为 1 ， 如果第一个字母的指数不为 1 ， 则将整个式子平方， 然后对所有的指数分别进行模 3运算简化 如: a 2 b 2 c d=( a 2 b 2 c d ) 2 =a 4 b 4 c 2 d 2 =a b c d 2 . 一个 3 0 - p 部分实施因析设计的试验有n个3 水平处理因子， 共进行 3 、 次试验， 可以由p 个独立的处理定义关系 字、 1 , w 2 二， w p 唯一 确定. 我们 将n个因 子分别记 作 1 , 2 , 3 , ， 。或 者 a , b , c ，二， 等， 一个处理定义 关系 字 应当只 包 含这n个字 母中的 元素 ， 我们 将其包含字母的 个数 定义为它的长度.这p个定义关系字通过如下运算构成的一个子群. i 二 w 1 =w 2 = 二=w y =w i w 2 = w j w 2 = w 1 w 3 = 一 、 p 一 ， 2p - i w p =w i w 2 w 3 = w 1 w 2 w 3 = 一 、 , _ 1 l, , _ 2 . 2 二 1 w 2 ， 一 ; 一 1w 2 二 2p _ 1 - 一 、 2 l,22 3 二 _ p2 _ _ ,2 =l0 1 w 2 ， = w 1 ll 2 . . . lo p - = w ,w 22 二 嘴 一 1 l,; 2_ 2 p 这 个 子 群 共有( 3 p 一1 ) / 2 个 元素 ， 我 们 将 上 式简 记 为: i=w1 =w 2 = 二二田 3 p -1 二 我们 将由 这p 个独立的 处 理定义关系 字 构成的 子群称为处 理定义 对照 子群， 记其为 g f = i i , w 1 , w 2 , , w 3p - 1 .2 我们称如下向量为处理字长型: 琳 =( a 1 ,o , a 2 ,o , ， a . ,o ) 其中a ; ,。 为处理定义对照 子群中 长 度为i 的 字的 个数 根据部分实施因析设计的效应等级原则， 统计学家提出了 几种选择最优设计的准则. 我们 将处理 定 义 对 照 子群g 。 中 最 短的 字长 定 义 为一 个 设计 的 分 辨 度( r e s o l u t i o n ) . b o x 表示定 义关系 字中 包含有 处理因 子的个 数，幼 b : 为此 定义关系 字中 包 含的区 组因 子的 个 数， 而，为 示 性 函 数 ， 其 依 赖 于【 中 的 条 件 是 否 成 立 而 取 值 为1 或0 . 在 此 定 义 的 基 础 上 ，s c f 将 wt 和 wb 组合于同一个向量中，即 w s c f=( a 3 ,0 , a 2 ,1 , a 4 ,o , a 3 ,1 , a 5 ,o ， 二 ， a,o , a 。 一 ， ，1 ) ， 其中 的 分量分别为设计定义关系 字中 长 度为3 , 3 .5 , 4 , 4 . 5 , , n , n 十。 . 5 的字的 个数. 一 个此准则 下的 最 优 设 计 将 使 上 述向 贫中 的 各 个 分 量 顺 序 达 到 最 小 . 根 据 如 上 字 长 的 排 序 ，s c f认 为 ，a 2 ,1 比a 4 ,。 更为 重要， 而a 3 , ; 比a 5 ,。 更 重 要 . 其准 则 可以 用以 下 一 个 简 单的 记 号 表 示: t t t t t b t t t t t t t b t t t t t t t t t b t t t t t t 其中t t b 表示一个包含有两个处理因子和一个区组因 子的定义关系字， 记号“ ” 表示更重要一些. 例4考 虑一 个2 5 - 1 设 计， 其 分为4 个区 组. 设 有 如 下 两个 设 计: 设计 d, 定义关系为 1 =a b c de二a b c b , =a c d b 2 =b d b , 如=d e b , =b e b 2 =a e c b , 如 ， 则 ，叽。 二 ( d , ) =( 0 , 3 , 0 , 3 , 1 , 0 , 0 ) . 设计 d2: 定义关系为 1 二a b l e二a b d b , 二c b d b 2 =a c b , b 2 =b e b , b 2 =d c e b , 二a d e b 2 , 则 ，叽c f i( d 2 ) =( 0 , 2 , 1 , 4 , 0 , 0 ) . 根据 s c f的准则， 设计 d : 优于设计 d , . ma n g 。 顺 序 . 处理交互作用之间的别名关系对一个设计的优良 性具有决定性的影响， 别名型揭示了一个设计 的估计性能， 对最小低阶混杂准则作了 本质性的解释. 用 i c 、 记与区组因子 b 相混杂的l 阶处理交互作用， 则有 一 r氏二a l ， ， 根 据 区 组 部 分 实 施 因 析 设 计 的 效 应 等 级 原 则 ， 将呱 和，试如 下 排 序 : ( 1 0 1 ,2 c b , 2 c 2 ) , ( 1 0 3 ,2 c 3 ,3 c b ,3 c 3 ) , ( 1 c 4 ,2 c 4 ,3 c 4 ,4 c b ,4 c 4 ) , ( i c 5 ,2 c 5 ,3 c 5 ,4 c 5 ,4 c b ,5 c 5 ) , ， 二 ， ( 1 吼 ,2 c j , ， 一 ， 几 ， c b , j 几 ) 选择最优区组部分实施因 析设计， 应当 顺序使上述数字达到最小. 其实际上就是使下列数字顺序 最小 化: a 3 ,o , a 2 , 1 , a 4 ,o , a 5 ,o , a 3 ,1 , a g ,o , a 7 ,o , a 4 a , a 8 ,o , ， a 2 ; 一 i ,o , a j ,i , a 2 j ,o ， 一， 用一个简单的记号将上述顺序描述为: t t t t t b t t t t t t t t t t t t b t t t t t t t t t t t t t t t t t b ， 其中 记号 “ ” 表示更重要一些.我们记 w z p =( a 3 ,0 , a 2 a , a 4 ,o , a 5 ,o , a 3 ,1 , a 6 ,o , a 7 ,o , a 4 ,i , a 8 ,o , ， a 2 ， 一 ， 。 ， a j ,i , a 2 j ,o , ， ) 则对于上例中 的 两个设计 d i , d 2 ， 有 w z p ( d i ) =( 0 , 3 , 0 , 1 , 3 , 0 , 0 ) , w z p ( d 2 ) =( 0 , 2 , 1 , 0 , 4 , 0 , 0 ) . 在z h a n g 几 =1 或a ; 几二时 的 关 系 ， 去 掉 某 些。 和马 ， a l a : 一a i 几 热 a , a :二 a i ( 几 几尽 二 ) “ 为 处 理 定 义 对 照 子 群中 的 一 个 元 素 ， 其 长 度 为7 72 一l +创 0 兰 瓜 k三2 l ) 所以 ， 计 算心 二 ， 其 将 涉 及 到长 度 分 别 为m一l ， 二一l +1 , . . . ， 。， 。+1 ， 二， 。+l 一l , m+l 的处理定义关系字 1 . 对于长度为m一l , m一l 十1 , , m一i 的字. 假设 i 二7 1 1 2 介、 饰- i + k , 0 k l . 取a , , a 2 ， 二 ， ， a l- k + i ( o 三2 三的为 集 合 1 , 1 2 , 2 , 2 2 , ， 。 ， 。 ， y i , y 1 ， -y 2 , 1 2 , ， 、 一 ，+ k , ym - 1+ k j 中 互不 相同 的 元素 ， 且对 任?m 尹n , m 三l 一k +i , n三l 一k +i ， 有 7 i , y 2 , , 嘴 , 7 i十 : , li + 2 , ， 7 k - , ， 则 。 、 。 ，务 i .另取 al 02 ， y k - i =a, a2 。 一 、 时1 2 27 i 7 i+ 1 7 i+ 2 。 一 、 十 守 2y 1 7 22 一7 2i 7 i+ i 7 i+ 2“ 帐 一 ， 7 1 7 2 ”. . y 二一 i + k 二q i qz a l- k + 1镇， 磷2 ， 一 嘴 _ 、 补 一 ，、 ， 帐 一 十 : 7 . - 1+ k a l a : 一。 ，一 、 、磷， 磷2 健 - r y k - i+ l 7 k - i+ 2 -/m - i+ 、 长 度 为。 ， 如 上 取 法 ， 从 一 个 长 度 为m一l +k ( 0 k l ) 的 字中 ， 我 们 可 以 得 到 又2 (f- k + 0 。 一( 。一l 十k ) d 一k+i m 一l +k k一 i k一 i 21.、 、.!2 2声.、 、万了 zj!、 、，卫，/ 2口!、 、，!2 。 一( 。一l +k )m 一l 十k l 一i l 一 坛 k+i 一l 闯1艺1=0 个不同的别名关系. 2对于长度为二， m+1 ， 二 ， 二十l 一1 , m十l 的字. 假设 1 = y 1 y 2 一 y - + i - k , 0 k l . 取。 1 , a 2 , . ， a 0 ! l ) 为 集合 1 , 1 2 , 2 , 2 2 , ， n , n : 1 -y l , 7 2 , _t 22 , ， 二 ， 、 +l 一 * ， 2 中 互 不 相 同 的 元 素 ， 且 对 于 任。拼n ， 二三i , n 三z ， 有。 m a n 笋i . 另 取甘， 嘴， y l - k + i + 1 + 1 1 - k + i + 2 ， 二 ， y l - i ， 则 7 21 - k + i , a a2 q2x ;7 1 1 22 y i 2 - k + i y t- k + i+ 1 7 1- k + i+ 2 a i1 1 2 1 22 谁k + 0 i- k + i+ 1 1 1- k + i+ 2 ” 守1 -i =01 02“ 加- 01 7 2 y m- 1 + k =x1 02 a 、 : 2a,11-k+;+17足 k + i+ 2 一: 足 i l l- i+ 1 y l- i+ 2 y m+ 1 - k a l a 2 a i谁k + i+ l 谁k + i + 2 1 态7 1- ;+ 1 1 t- i+ : 一7 *n + 1- 、 长 度 为m ， 如 上 取 法 ， 从 一 个 长 度为二+l 一k ( 0 k 2 1 或 者k 0 ) 的 字中 ， 我 们不可能得到存在于l 阶交互作用和m 阶 交互作用中的别名关系. 于是我们得到一个计算 ic二的精确公式: 、，!j了、1./ n 一( rn一l +k ) s 、 一( 二十l -k ) k =o i =o m 一1 +k i 一i m +l 一k l 一i l 一 i k +i 一l l 一 i l 一 k+ i a ( m - i+ k ) ,o a ( - + i - k ) ,o 2声、/产落、 i += m 1 a , o ( i m=1 , 2 , ， n ) 我们定义=1 ， 并且当xy或者 x n 1 t w %wfv 阵 。 一 (ic- )l， 们 称 其 为 别 名 型 矩阵( 简 记 为c 矩阵 ) . 显 然 ， 这 个 矩 阵 是 对 称 的 . 例6对 于 上 例中 的3 5 - 2 设 计， 通 过 计 算， 其别 名 型 矩阵 为 . 、.产夕 交口0凸办七nij 八nz江工qjll ocn曰 内匕4cucll卜h 11八nll，11) o凸 为，上4000 11八只，土4 月任140八 njq白a叹uz 口卜 nu自jl.jll亡n 尹了.吸.、 通 过 上 述 计 算 公 式 ， 我 们 发 现 ，c m 是a i,。 的 一 个 函 数 ， 但 其 不 是a ; ,。 的 一 个 一 对 应 的 函 数 通过1 氏 的 定义， 我们知 道，刃 。越大， 则l 阶 交互作用 与二阶 交互作用互为 别名 关系的 程 度越 严重， 特别地， 对于低阶的 l 阶交互作用与低阶 二 阶交互作用， 如果 1 c m越大， 则此设计的估计 性能越低， 即低阶交互作用通过此设计得以 估计的可能性越小. 如上例中，1 c 2 =3 ， 这表明3 个2 阶 交 互 作 用 与 主 效 应 互 为 别 名 关 系 ， 即b=c e 2 , c=b e , e=b c 2 ， 在 此 设 计中 ， 这3 个2 阶交互作用将不可估计. 我们注意到一 个 l 阶交互作用可能与多个 m 阶交互作用互为别名关系. 显 然，,c ，越大， 不一 定有较多的l 阶 交互作用与至少一 个m阶 交互作用互为 别名 关系 . 但是， 我们 从另外一个角度考虑， 如果一个l 阶交互作用与多个 m 阶 交互作用互为别名关系， 则这种别名关系 导致设计的估计性能更低. 因为根据部分实施因 析设计的效应等级原则， 这个1 阶和7 n阶 交互作用 得以 估计的可 能 性越小. 因 此， 别 名型可以 成为 评价一 个设计 优良 性的 特征， 就象分辨 度可以 成 为一 个判断设计优良 性的特征. 依照部分实施因析设计的效应等级原则， 因子的各阶交互作用具有不同的 重要性， 我们 按照 如下 顺序将别名型, c 二的 各个分量排序: ( i c i ,2 c 2 ) , ( 1 c 3 ,2 c 3 ,3 c 3 ) , ( i c 4 , 2 c 4 ,3 c 4 ,4 c 4 ) , ( 1 c 5 ,2 c 5 ,3 c s ,4 c 5 ) ,s c s ) , ， . ， ( 1 几 ，: 几 ， . 二 ， 价 ) ， ，( 1 ) 在这个顺序里， 每个括号里的一组分量构成一个子集， 所有子集均巳 排序、 而各个子集中的 元素 也已 经排序. 根据部分实施因 析设计的 效应等级原则， 我们只须考虑上述分量的一部分. 如果我们假 设3 阶 以 及3 阶 以 上 交 互 作 用 可 以 忽 略 的 话 ， 我 们 不 需 考 虑( 1 岛, 2 几,3 岛) 及 其 以 后 的 元素 ， 我 们 只 需 考 虑( i c 2 ,2 c 2 ) ， 显 然 在( 1 岛,2 几) 中 ，lc: 比: c 2 重 要一 些， 因 为 主 效 应 要比2 阶 交 互作 用 更重要一些， 它的可估计性更值得我们首先考虑. 一个具有较小 i c 2 的设计， 其更优良 一些. 如果两 个设 计具有 相同的1 c : 中， 则 2 价 较小的 设 计更 优良 一 些. 一 般地我们 选择最 优设 计， 应当 顺序 使 下列数字达到最小: 1 0 1 ,2 c 2 ,1 c 3 ,2 c 3 ,3 c 3 , , 1 c ) ,2 c ) , ,j c ; 从 前 面，c , 的 计 算 公 式 我 们 可 以 看 出 :c , 和a ,。 之 间 的 函 数 关 系 ， 同 样 我 们 也 可 以 看 出 、c , 顺 序 和 a + ,o 顺 序 之 间 的 关 系 ， 即 ， ;c , 的 顺 序 同 样 给 出 了 川 ，。 的 顺 序 ， 其 为 : a 3 ,o , a 4 ,o , a 5 ,o , a 6 ,o , .， a,o 这 正 好 为 部 分 实 施 因 析 设 计 最 小 低 阶 混 杂 准 则 要 求 的a ,oi顺 序 . 6 3 水平区组部分实施因析设计的ma准则 我 们 将 别 名 型 的 概 念 应 用 于区 组 字 长 型叭 =( a , , , a 2 , 1 , - . . , a . , ) . 我 们 知 道，g s , 中 的 字 在 去 掉之 前 ， 其 为 形 如i =t t t二 t b 的 混 合 字 由 于 我 们 不 希 望 处 理 主 效 应 与 区 组 效 应 相 混 杂， 所以 通常 有a , , =0根据区 组 部 分实 施因 析 设计的 效 应等 级 原 则， 区 组因 子与 处 理因 子之 间 不 存 在 交 互 作 用 ， 所以 对 于 形 如i =t t t . . . 场的 字 ， 等 式 两 边 乘 以t , 沪或b , 护等 ， 我 们 不 可 能 得 到 处理因 子 交互作 用之间的 别名 关系. 因 此 对于g a . ， 中 的 元素， 我们 仅考 虑其对区 组因 子与 处 理因 子交互作用之间的混杂关系造成的影响 我们用1 氏 记与区组因子b 混杂的l 阶交互作用的个数.则有， 心 二山.1 , l =2 , 3 , , n . 接下来， 我们 考 虑如何为、 c 6 在( 扮中 安排一个合适的 位置. 对于1 氏， 其 关系 到主 效 应与2 阶 交互作用互为别名关系的程度， 由 于我们认为主效应总是最重要的， 所以其应当排在首位. 而: c 2 关 系到2阶交互作用之间的别名关系， 涉及到 2阶 交互作用由 干它们之间的别名关系 而不能通过试验 得以估计的程度、我们一般认为区 组因子总是比 处理因子的2阶交互作用显著， 只 是我们 对它们的 估计不感兴趣， 所以与区 组效应相混杂的2 阶交互作用将不能通过试 验得以估计， 于是: c b 要比2 c 2 更重 要一 些. 根据同 样的 道理，a 应当排 在 1 - 1 c 之后， 而在，c 7 之 前. 所以 根据区组部分实施因析设计的 效应等级原则， 区组和处理别名型各个分量混合后， 应当排序 为: ( 1 c 1 , 2 c b , 2 c 2 ) , ( 1 c 3 , 2 c 3 ,3 c b ,3 c 3 ) , ( 1 c 4 ,2 c 4 ,3 c 4 ,4 c b e4 c 4 ) , ( 1 0 5 ,2 c 5 , 3 c 5 , 4 c 5 e4 c b ,5 c 5 ) , ， ( ; 几,2 c j , ,j - 1 几， c b , j 马 ) ， 以下我们列出上述向量的前几个分量. 1 c 2= 3 a 3 .0 2 c b = a 2 ,1 2 c 2 = 6 a 3 ,0 +6 a 4 ,1) 1 c 3 = 3 a 3 ,0 +4 a 4 ,0 2 c 3 = 6 ( 、 一3 ) +3 a 3 ,0 +1 2 a 4 ,0 +10a5, 厂。 二 a 3 ,1 3 c 3 = 1 2 ( n 一3 ) a 3 ,o +1 2 ( 、 一4 ) +1 a 4 ,0 +3 0 a 5 , +2 0 a 6 ,o i c 4 二 2 ( n 一3 ) a 3 ,0 +4 a 4 ,o +5 a s ,o 2 c 4 = 6 ( n 一 3 ) a 3 ,0 + 8 ( 。 一 4 ) + 6 a 4 ,o + 2 0 a , , +1 5 a 6 ,o 3 c 4 = 6 ( 。 一3 ) ( - 一 4 ) +1 a 3 ,o +2 4 ( 二 一4 ) + 4 a 4 ,o + 2 0 ( 1 一 5 ) + 3 0 a 5 ,o + 60a6.0+ 3 5 a 7 , 4 c b = a 4 ,1 4 c ;二 ( n 一 3 ) 2 +1 2 ( n 一4 ) a 3 ,o +1 2 ( 二 一 4 ) ( 。 一 5 ) + 2 a 4 ,0 + 6 0 ( n 一5 ) +2 0 1 a 5 ,o +4 0 ( n一6 ) +9 0 i a 6 .o +1 4 0 a 7 .0 +7 0 a , ., 同 样 我 们 可 以 将 一 个3 水 平 区 组 部 分 实 施 因 析 设 计 的 别 名 型 写 作 矩 阵c 二( t心 ) ， 当! 务 : 时 ， :心= ， 几 ， 当 i 二 ， 时 ， ic ; = (ic i ,i c b ) - 从ic m与a ; ,o 以 及， 氏与a .的 关系 我们 可 以 看 出 ， 顺 序 使ic- 中 的 数 字 达 到 最 小 ， 相当 于 顺序使下列数字达到最小: a 3 ，0 ， a 2 , 1 , a 4 ,o , a 5 ,o , a 3 ,1 , a 6 ,o , a 7 ,o , a 4 , 1 , a 8 ,o , . ， . , a 2 ， 一 i .o a j , , a z j ,o ， 二 用一个简单的记号，我们将上述顺序描述为， t t t t t b t t t t t t t t t t t t b t t t t t t t t t t t t t t t t t b 其中 记号 “ ” 表示更重要一些. 这与c h e n g c ; 与，c 。 的 分 量 馄 合 后 的 一 个 顺 序: ( i c 1 , 2 c b ,2 c 2 ) , ( 1 岛, 2 几, 3 c b ,3 几) ， ( ， 氏,2 氏, 3 氏,4 c b ,4 c 4 ) , ( 1 0 5 , 2 c 5 ,3 c 5 , 4 c 5 ,5 c b ,5 c o , ， ( 1 c 7 , 2 c j , . +l - 1 c 7 ,j c b ,7 c j ) ， 一 算众 计叭 的 实 际 上 ， 这 个 顺 序 对 于 所有 的s ( 、 为 素 州 水 平 的 部 分 实 施 因 析 设 计 都 是 相 同 的 . 选 择 最 优 设 计 ， 我 们 应当 顽 序 使 上 述 数 据 达 到 最 小 . 通 过， 水 平 因 析 设 计 1c n 及 c b 公式，我们可以 看出，实际上就是使下列数字顺序最小化: a 3 ,o , a 2 , 1 , a 4 ,o , a 5 ,o , a 3 ,1 , a e ,o , a t ,o 人,1 , a 8 ,o , ， a 2 i - 1 ,o , a j ,l , a 2 i ,o , ， . 这个顺序与2 水平和 3水平区 组部分实施因 析设计ma准则所要求的顺序是相同的. 我 们 记向 量w b 二( w i , w 2 . . . . , w 2 n - 3 ) ， 其 中w 1 =a 3 ,o , w 2=a 2 ,1 , w 3二 饥 = a 5 ,o , 叭 二a 3 ,1 , . 我们 称 此向 量为 一 个s 水 平 区 组 部 分实 施 因 析 设 计的 混 合 字 长型 . 在 此 基 础 上， 我 们 引 进 如 下 定 义 设d ， 和d : 为 两 个s 水 平区 组 部 分 实 施 因 析 设 计d ( s n - n ; s k ) ， 其 混 合 字 长 型 分 别 为w b c ( d 1 ) 和毗r ( d 2 ) , 设: 是 满 足琳( d l ) 尹琳( d 2 ) 的 最 小 值 ， 如 果 哄( d i ) 琳( d 2 ) ， 则我 们 称 设 计d , 比 设 计d : 有 较 小 的 区 组 低 阶 混 杂 . 如 果 没 有 其 它 任 何 设 计比设计 d ， 有更小的区组低阶混杂， 则称设计dl 具有最小区 纽低阶泥杂. 如果一个s 水平区 组 部分实施因 析设计具有最小区组低阶混杂， 我们 称其为s 水平最优区 组邵分实 施因析设计. 同样此定义适用于 2 水平和 3 水平区 组部分实施因 析设计. 2 . 显然， 一个判别设计优良 性的准则是建立在一定的 假设基础之上的.我们前边所提出的最小 区组低阶混杂准则正是建立在以 下的 假设之上的， 即区 组部分实施因 析设计的效应等级原则和假定 区 组因子的主效应以及它们的交互作用显著， 并且试验者对它们的 估计不感兴趣. 但是， 在实践中， 我们有时需要对区组因子的 效应作出 估计， 此时， 我们认为区 组因 子的 效应不如处理因子的主 效应重 要， 但比 处理因 子的z 阶 交互作 用重要， 则我们 应当 对 ,c m 和 c 。 的分 量作如下的排序: ( 1 0 1 , 2 c b , 2 c 2 ) , ( 1 0 3 ,3 c b ,2 c 3 ,3 c 3 ) , ( 1 c 4 ,4 c b ,2 c 4 ,3 c 4 ,4 c 4 ) , ( i c 5 , 5 c b , 2 c s ,3 c s ,4 c s ,s c s ) , ， ( ， 几， c b , 2 吼， 二j 一 ， c , ,j c a , 所以， 在上述新的 假设下， 选择最优设计， 我们 应当顺序使上述数据达到最小 通过 s 水平区 组 部 分实 施因 析设计 (c m 及c 。 的 计 算 公 式， 我 们 可 以 看出 ， 实 际 上 就 是 使下 列 数 字 顺序 最 小 化: a 3 ,o , a 2 , 1 , a 4 ,o , a 3 ,1 , a 5 ,o , a 6 ,o , a 4 , 1 , a 7 ,o , a s ,o , a s ,1 , , a 2 i ,o , a i + 1 , 1 , a 2 , + l ,0 , ， 将 上 述 分 量 定 义 为 一 个 向 量w, 类 似 于 前 两 条 ut ， 并 将 此 顺 序 定 义 为 准 则3 在准则下3 ， 我们同样可以 得到一些最优区组3 n - d 设计. 附表 试验次数为8 1 的3 - p 设计的设计矩阵 1 0 a d 1 2 3 4 5 6 7 r 91 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 a b a b a b 2 c a c a c e b e 6 c 2 a b c a b c 2 a b 2 c a b 2 c 2 d 1 7 1 8 1 9 b d b 护a b d 2 5 2 6 a c d a c d 2 7 a c e d 别-j 23一cd 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40bed bcld bc2d2 abed abed abed abcd2 ab2cd ab-ca2 ab-c2d ab c2 d20 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1介2 2 1 2 2 i 1 2 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 一 一 1 -一 2 一 1 -一2 2 4 参考文献 1 b i s g a a r d , s . ( 1 9 9 4 a ) . a n o t e o n d e fi n i t i o n o f r e s o l u t i o n f o r b l o c k e d 2 - p d e s ig n s t e c h n o m e t r i c s , 3 6 , 3 0 8 - 3 1 1 . 2 b is g a a r d , s . ( 1 9 9 4 b ) . b l o c k i n g g e n e r a t o r t e c h n o l o g y , 2 6 , 2 8 8 - 2 9 6 . f o r s m a l l 2 0 - p d e s i g n s . j o u r n a l o f q u a l i t y 3 b o x , g . e . p . , h u n t e r , w. g &h u n t e r , j . s . ( 1 9 7 8 ) . s t a t i s t i c s f o r e x p e r i m e n t e r s . n e w y o r k : j o h n wi l e y . 4 b o x , g . e . p . &h u n t e r , j . s . ( 1 9 6 1 ) . t h e 2 k - y f r a c t io n a l f a c t o r ia l d e s ig n s . t e c h n o - m e t r i c s , 3 , 3 1 1 - 3 5 1 , 4 4 9 - 4 5 8 . 5 c h e n , j . ， s u n , d , x &w u , c . f . j . ( 1 9 9 3 ) . a l e v e l f r a c t i o n a l f a c t o r i a l d e s i g n s w i t h s m a ll r u n s . 1 , 1 3 1 - 1 4 5 c a t a l o g u e o f t w o- l e v e l a n d t h r e e - i n t e rna t i o n s t a t i s t i c a l r e v i e w , 6 1 , 6 c h e n g , s . w. &w u , c . f . j . ( 1 9 9 8 ) . o p t im a l b l o c k in g s c h e m e s f o r 3 a n d 3 n - k d e s i g n s