（计算数学专业论文）完全非负矩阵、p矩阵、n01矩阵完成.pdf

摘要 摘要 特殊矩阵在矩阵分析和矩阵计算孛具有十分重要麓意义，它鳃在计算数学、 应用数学、经济学、物理学、生物数等方面有着广泛的应用。特殊矩阵具备很好 的性质，这样有利子鲻圈论的理论和方法去研究特殊矩阵的结构和性质。图的理 论和矩陈的理论有着密切的关系，用图理论去研究矩阵的性质有藿直凌、简洁的 效果，反之，也可以用特殊矩阵的性质和结构去研究特殊图形的性质和结构，二 者的研究其有互补的关系。用图的理论去研究矩阵一直是矩阵理论研究的个重 要方向。在本文中，叠要用特殊图形去研究了不完备完全菲受( 联) 矩阵、p 。 矩阵、嬲矩阵的完藏阍题。本文分为以下三部分： 1 。我们通过研究严格对角占优p 矩阵的缸巍和问题而得到了k ( k 2 ) 个严格 对角占傀的p 矩阵的舫直和是严格对角占优p 。矩阵，又通过研究t n 矩阵的直和 瓣题面得到了两个t n ，矩阵在一定条件下赡2 直和是t n - 矩阵及不完备t n 。矩阵在 2 通弦单调标定图下能够完成。 2 在不完备正p 。矩阵的1 通弦图和1 通弦块图完成问题的基础上，我们讨论 了不完备正尹矩阵的k 。通弦图和k 。通弦块图的完成闻题丽得到了不完备歪p 矩 阵的k 。通弦圈和k 运弦块霾在一定条俘麓够完成，同时研究了不突釜正p 矩阵鳇 k 。通弦图和k 通弦块图的逆零完成问题，并得到了不完备正p 矩阵在k 通弦图和 k ，通弦块图下完成的算法。 3 + 在不完备解矩阵酶1 遥弦图耩老蟹完成瓣题蕊基础上，我嬲获得了组合对 称的不完备醒矩阵在l ，通弦图和k 圈下的完成。 关链运；p 矩阵，辫矩阵，埘一短阵，直帮，完成囊题 a b s t r a c t a b s t r a c t s p e c i a lm a t r i c e sp l a ya l li m p o r t a n tr o l ei nm a t r i xa n a l y s i sa n dm a t r i xc o m p u t a t i o n a n dh a v ew i d ea p p l i c a t i o n si n c o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s ，a p p l i e dm a t h e m a t i c s ， e c o n o m i c s ，p h y s i c s ，b i o l o g ya n de r e t h es p e c i a lm a t r i c e sh a v eg o o dp r o p e r t i e ss ot h a t t h es t r u c t u r ea n dp r o p e r t yo fs p e c i a lm a t r i c e sa r es t u d i e db ya p p l y i n gg r a p ht h e o r ya n d m e t h o d t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e ng r a p ht h e o r ya n dm a t r i xt h e o r yi sv e r yc l o s ea n d g r a p ht h e o r yu s e dt od i s c u s st h es t r u c t u r ea n dp r o p e r t yo fs p e c i a lm a t r i c e sr e s u l t si n d i r e c ta n dc o m p a c te f f e c t t h eu s eo fg r a p ht h e o r yt os t u d ym a t r i c e sa n dt h eu s eo f m a t r i c e st os t u d yg r a p h sh a v ec o m p l e m e n t a r yr e l a t i o n s h i p 。t h eu s eo fg r a p ht h e o r yt o s t u d ym a t r i c e si s a l li m p o r t a n tf a c t i nt h i sp a p e r , m a t r i xc o m p l e t i o np r o b l e m sf o r p a t t e r n so fc e r t a i nt y p e so fm a t r i c e s ，s u c ha st o t a l l yn o n n e g a t i v e ( t n ) m a t r i x ， p - m a t r i xa n d 职一m a t r i x ，h a v eb e e ns t u d i e du s i n gt h es p e c i a lg r a p ht h e o r y t h i sp a p e r i sd i v i v e di n t ot h ef o l l o w i n gt h r e ep a r t s 1 w eh a v es t u d i e dt h ek - s u b d i r e c ts u mp r o b l e mo fs t r i c t l yd i a g o n a l l yd o m i n a n t p m a t r i c e sa n d 曲t a i n e dm a tk - s u b d i r e c ts l i mp r o b l e mo fk ( k 2 ) s t r i c t l yd i a g o n a l l y d o m i n a n tp - m a t r i c e si sas t r i c t l yd i a g o n a l l yd o m i n a n tp - m a t r i x a n dw eh a v es h o w n t h es u b d i r e c ts u mo ft w ot n m a t r i c e su n d e rs o m ec o n d i t i o n si sat n m a t r i xa n dp a r t i a l t n - m a t r i xc o m p l e t i o np r o b l e mf o rm o n o t o n i c a l l yl a b e l e d2 - c h o r d a lg r a p hi ss t u d i e d 2 b a s e do l lt h ep a r t i a lp - m a t r i xc o m p l e t i o np r o b l e mf o r1 - c h o r d a lg r a p ha n d 1 - c h o r d a lb l o c kg r a p h , w eh a v eo b t a i n e dt h ep a r t i a lp o s i t i v ep m a t r i c e sf o rk - c h o r d a l g r a p ha n df o rk - c h o r d a lb l o c kg r a p hc a nb ec o m p l e t e du n d e rs o m ec o n d i t i o n s i n a d d i t i o n , c o m p l e t i o np r o b l e mw i t hz e r o si nt h ei n v e r s ec o m p l e t i o na r es t u d i e da n dt h e a l g o r i t h m s o fp a r t i a lp - m a t r i x c o m p l e t i o np r o b l e mf o r k c h o r d a l g r a p ha n d k c h o r d a lb l o c kg r a p ha r ed e r i v e da c c o r d i n gt ot h es t r u c t u r eo fk c h o r d a lg r a p h 。l a s t w eg i v en u m e r i c a le x a m p l e 3 。b a s e do nt h ep a r t i a ln - m a f r i xc o m p l e t i o np r o b l e mf o r1 - c h o r d a lg r a p ha n d k - c y c l e , w eh a v es h o w nt h ep r o b l e mc o m p l e t i o no fp a r t i a lp o s i t i o n a l l ys y m m e t r i c 联- m a t r i xf o rk c y c l ea n d1 - c h o r d a lg r a p h 。 i i a b s t r a c t k e y w o r d s ：p - m a t r i x ，t n m a t r i x ，职一m a t r i x ，s u b d i r e c ts l a m ，c o m p l e t i o np r o b l e m i i i 主要符号表 主要符号表 0 ， 对于所有的搿互 ，则称a 为p 矩阵。 定义重2 25 3 匐设么丝。嘏) ，若 d e t a a | 冈镜 对予躲有的搿，芦篓 且| 搿罔夕| ，则称么为完全非受) 矩阵。显然，t n 一矩阵 的所有元素非负。 定义1 2 3 侈】设a m 。冰) ，若 电子科技火学硕士学位论文 d e t a a 】o ， 对于所有的掰c 且所有的元素薯# 正，则称么为嬲- 矩阵。 定义1 2 4 2 0 1 设ae m 。( c ) ，若 l p 墨( 么) ， 鼍( 么) = 1 i o = l ，2 ，刀) ，则称么为严格对角占优矩阵。 i j 耐 定义1 2 5 4 1 设a = ( 嘞) 膨。职) ，若每一对蠢歹有 a h n # q ， 成立，则称彳为弱符号对称的。若每一对t ， a o a 0 或a g = o = 成立，则称a 为符号对称的。 下面将介绍本文所用到有关图论的知识： 图理论在特殊矩阵完成问题中起着重要的作用，并且能够直观、简洁的表达 了这些特殊矩阵的组合特征。自然地，我们通过这样的图g = ( l e ) 去描述n 阶不 完备矩阵a = ( a i j ) 的组合特征，其中，v = 为g 的顶点集，要是g 的边圈) 集。若在矩阵a = ( ) 处在1 3 f ，歹) ，f 喾j 位置的元素是确定的，则从顶点i 到顶点歹存 在一条边，记为( f ，) ，且在e 中。 定义1 2 6 t 9 1 对于不完备矩阵a 掰。( o ，若在( f ，j ) 与j , o 处的元素都是确定 的，则g 力，( 歹，f ) 都在e 中，称么为组合对称矩阵，否则为非组合对称矩阵。一 般地，组合对称矩阵对应无向图，非组合对称矩阵对应有向图。 定义1 2 7 1 如果v ( h ) 矿( g a ) ，b ( h ) 互e ( q ) ，则称是g 的子图，记为 日g 。 假设矿是矿( g 。) 的一个非空子集，以y 为顶点集，以两端点均在矿中的边的 全体为边集所组成的子图，称为g 。的由v 导出的子图，记为吼( 矿) 。 定义1 2 8 陋对于无向图吼= ( 矿，毋，边集 ( 墨，镌) ，- f ( 颤巾恕) 称为从点i 到 点歹的一条路，这里筏= i 和砖= 歹，记作岛。 在图g 。中，如果从它的任意一个顶点到另任意顶点都有一条路，此图是连通 的。路魏是一个圈，如果镌= i = 歹= 颤，厂3 ，且麓，是互异的点。不含任何圈 的图称为无圈霉。一裸树f 是连接昀无圈图，也就是说任意两点都有唯一的一条路 相连。如果r 是连通图g 。的子图，且丁中包含g 。中的所有顶点，我们就称r 是g 。 的生成树。 4 第一章引言 每两个不同的顶点之闻都有一条边相连的 j 鸯单图称为完全圈。 定义1 2 9 粒3 g 。( 矿+ ) 是完全圈，称为g 。酶个团，我们用置。去表示有夕个 顶点的黉，记此霞的顶点集为圪如聚鬈。不是瓯中任意团的真子图的话，剐髹。就 是g 。中的最大团。 定义耋。2 。董o 犯3 1 在圈g 。中，如采用一条边连接一条路或一个露中不相交的两 个顶点，就称此边为弦。若在q 中，每长度不大予4 的圈中就有一条弦的话，称g 。 势透弦阁，也就是说在8 。中没有长度大予3 的圈。 定义熏。2 王l 【2 3 1 在两个圈q 和酝中，在这两个图中都包含团爱。，将q 和q 耀 同的团爱。重叠起来所得到的图g 。，称为g i 和最的团和。 如梁瓴是团k 和蛾是包含团k p 的任意通弦图，h p 。丽 在一般的情况下，m 矩阵、p 矩阵、昂矩阵对( 3 ) 不成立。 后来，r b r u 研究了m 矩阵在一定条件下的直和问题，且得到了多个非奇异 的掰矩阵和逆膨矩阵的是直和是菲奇异的膨矩阵秘逆掰矩阵辖胡，随后又获 得了多个s 严格对角占优矩阵的缸直和是s 严格对角占优矩阵瞄5 1 。 赢和在好多方面被提出，用途广泛，例如在矩阵的完成问题中，在文献 8 冲， 利用矩阵的1 一直和丽研究了不完备只矩阵在1 通弦图下的完成问题。在文献 2 6 ，2 7 ， 2 8 a e ，利用域分解方法去交叠那些相同的予域。 定义2 1 5 1 设a m 。( c ) ，b m 。( c ) ，正整数l 尼蕊m i n ( m ，n ) ，且彳和b 分块形式如下： 6 第二章只矩阵、t n 矩阵的复和 也a 2 t 珈= 陵碧 淫t ， 这里4 ：，垦：是七阶方阵，则我们称m + n - k 阶方阵 l 4 。4 ：0 l c = | 4 ；a 起+ 勉如l l0 马： 岛，j 为矩阵彳和艿的真和，记为彳o 。b 。 为了更方便表示c 中的元素，在参考文献 2 5 1 0 0 ，定义了如下的指数集合： 蕞= 器，2 ， 是= + l ，f + 2 ，胁) 墨= 伽+ 1 ，m + 2 ，f 十以) ( 2 - 2 ) 这里f = m - k 。显然，a 与b 的指数集合分别是墨u 是，足u 墨。 记c = ( q ，) ， 则其元素的具体形式可表示为： 锈2 嘞 0 嘞 铅+ 岛 o i 墨， i s l ， i 最， i 是， i 篷， i 墨， i 岛， j 墨。蔓 j 是 j 墨 ；s 2 j 墨 j sl j 是u 是j 若指数集薯= l ，2 ，3 ) 如( 2 2 ) 所定义酶，在c 中我们有如下豹关系： 鹭( o = ，；( 么) ，i 毫篷， 鼍( c ) ：m - k l 嘞| + n + m - b | + 芝| 锈+ | ，f 是， 产lj = m + l，耐 掣m - k + l 墨( q = 薯( 艿) ，f g 墨 定义2 2 1 设么= 魄) em 。( c ) ，称 q = 弘c ：| z a i t | ( 么) 为矩阵么在复平面上的第i 个盖尔圆盘，其中 7 ( 2 - 3 ) 电子科技大学硕士学位论文 冀( 么) = 1 l ( i = l ，2 ，群) j = l j 硝 称为鼍的半径。 弓 理2 1 ( 盖尔圆盘定理) 设a = ( 吒) 影。( o ，剐么的所有特征值位于a 的 栉个盖尔圆盘的并集中，记为 坩 c ( a ) - - - u z c ：| z 一镪| 置( 9 i = 1 引理2 2 m 1 设a = ( ) 肼。( c ) 为严格对角占优的，则 ( 1 ) 么为可逆矩阵； ( 2 ) 著名的所有主对角元均必正数，则么的所有特征值都有正实郝。 定理2 1 设彳= ( ) m 。( r ) 为严格对角占优的p 一矩阵，则a 的所有特征值都 有正实部。 定理2 2 2 5 3 设a 鸠 e ) ，b 珥( a ，正整数l 露 0 成立。患c 是严格对焦占优的，茭| lc l a 是严 格对角占优的。又c a 】的所有对角线上的元素为正，根据引理2 2 知，c l a 】的所 有特征值都有正实部，因此d e t e t a 】 0 。故c 是严格对角占优矩阵的p * 矩阵。 在定理2 3 中，严格对焦占优只是c = 么囝。b 为p 矩阵的充分条件，看如下 的数值例子： 例2 1 设 c = 4 2 1o - 0 565 0 。2 一l- 41 30 0_ 2 0 56 是严格对角占优的夕一矩阵，记c = 么：b ，健是 第二章p 缒降、 i n ，矩阵的赢和 煮= _ 三i ，雪= 三二三孳2 么= 三三三 ，君= 三三； 么2 0 二：三兰j 君2 | 三二：j c = 么2b = 2一l ll o l 印 9一l 一重o 9一l l ol l 2 不是p 一矩阵。 注2 1 若4 ，4 ，呜，厶；，是严格对角占优的p 一矩阵，则它们的p f o l d 直和 c = 4 国瓠鸽囝龟4o 颤岛4 + ；是严格对角占优的尹- 簸阵。 在文献【1 5 】中，s m f a l l a t ，c r j o h n s o n 已经获得了两个鞘矩阵的1 一盏和是 t n 矩阵，下蘧我们将磷究两个t n 矩阵在一定条件的2 壹和阀题。 引理2 3 2 9 设a e m 。( r ) ，若在蠢中又p x q 块的零子矩阵，当p + q 摊士量， 则么是奇异的。 定理2 4 设a m 。 1 。 我们将考虑如下的情况： 情况1 m - 1 ，m ) 旺口， 朋- 1 ，m ) 旺： 情况1 1 ：口= 呸u 呸，= 屈u 屈 c 口l = 4 1 言旧1b ， 兰| 屈 情况1 1 1 ：川= l p , i d e t c 口i = d e t 4 ， 0 1 p 1 d e t b 3 ， 1 o 情况1 1 2 ：蚓矧 不失一般性，设l 口，f i 届i ( 1 i 磊 = 侥 这里么 呸| 盎 ，雪 嗨v 扣一1 ) l 愿 是方阵。 情况1 6 2 ：矧= d l i + i 据条件( i ) ， d e t c o ef 1 = d e t a 喁u m 一1 ) f 屈 d c t 马， 腹 o ， 这里么 嘶u m - 1 , 8 , ，岛， l 屈 是方阵。 情况1 6 3 - 矧川+ 2 c 【穰l 翻有零子矩阵块为| 锡| | 荔| ，进而， | 吼| + | 屈| | 搿，| + | | + l + l = l 掰| + l ， 根据弓| 理2 3 ，d e t c af 1 = 0 。 情况1 6 4 ：l 口l l l 崩l + 1 电予科技大学硕士学位论文 q g 翻有零子矩阵块为k | | 愿| ，进而， l 口。l + l 屈i 1 屈l + f 屈i 十1 = l f + 1 ， 根据零| 理2 3 ，d e t 媛窿| 翻= 0 。 情况1 7 ：g = u 锡，声= 属u 压u m - 1 此情况与情况1 6 是对称的，因此，我们可以同样的方法去证明。 情况1 8 - 口一qu u 枷 ，= 屈u 屈 4 ， 啦| 最 0 c 口吲= i4 。 蚓屈 o 垦。 圳属 忍， i 履 情况1 8 。1 - 矧= 川。 据条件( i ) ， d e t c o r l f = d e t a , 。 口。i p , d e t bku 蚓屈 o ， 这墨蠢； 噬| 曩 ，b u 却，| 照二是方阵。 情况1 8 2 ：| 属i = 口。i + 1 根据条件( i ) ，4 ， 掰) l 屈】= o ，则 d e t c o r f 1 ：d e t a o r , u m l p , d e t b 3 ： 钙| 反 = o ， 这里彳 u m ) l 届 ，马， 锡i 孱 是方阵。 情况1 8 。3 ：| 崩| | | + 2 q 劈| 用有零子矩阵块为| 锡| | 屈| ，进丽， i 吃i + l 崩i 1 i + i 呸i + l + 1 = i d + 1 ， 根据孳| 理2 3 ，d e t c l a # = 0 。 情况1 8 4 ：川矧+ 1 q 口i 冈有零子矩阵块为k i l 屈l ，进而， | 嘎| + | 热| | 磊| + l 愿| + l = 3 + 1 ， 根据引理2 3 ，d e t c l d # = 0 。 情况1 9 ：口一u ，= 屈u 履u m ) 此情况与情况1 8 是对稼的，嚣此，我们可以同样的方法去证明 情况2 m - 1 ，珑 互掰，m - 1 ，m 正声： 1 2 第二章p 矩降、t n 矩阵的直和 情况2 1 ：口= 呸u u 胍一1 ，珊) ，= 屈u 岛 4 ；h 屈 0 c , , l p - - l4 。 m - 1 ，m l p , 最。 m - 1 ，聊) f 屈 1 0 b ， 搿： 反 情况2 1 1 ：蚓= l p , i 据条件圆，避， m - i l 愿】= 0 ，则 d o , c , , i p ：d o t 4 ， 嘎| 众 d 文艿 锡u m - 1 ，m t a - - 0 , 这里么 q | 簇 ，b a 2t , , m - 1 ，嫩l 忿 是方阵。 情况2 1 2 ：川 l p , i c 口f 冈有零予矩阵块为l 嘶屈l ，进而， l 甜。i + 屈 l 崩 + l 忽l + 1 = l 声l + l ， 根据引理2 3 ，d e t q 搿f 冈= o 。 情况2 1 。3 ：矧- 1 0 f _ , i + 3 q 饼l 用有零子矩阵块为k i i 屈i ，进而， l 吃l 十l 屈l l 口， + l i + 2 + l = l 口l 十l ， 根据引理2 3 ，d e tc a l , b = o 。 情况2 1 4 ：矧= k 1 + 2 据条件( 瑰4 ；【锄 | 磊】= 0 ，则 d e t c a 箩 = d e t ahw m - 1 ，磁她 d 武嚣陂呦= 。， 这里么 锈。伽一l ，磁 | 簇 ，磐 | 照 是方阵。 情况2 1 5 ：圳= k i + 1 据条件( i ) ， d e t c a l f l = d e t a u 删一1 ) l 屈 d e t 召 u ) 1 屈 惫o ， 这里么 u 彤一1 ) l 屈 ，b l 履 是方阵。 情况2 2 ：口= u u m 一1 ，聊) ，= 属u 屈um - 1 电子科技大学硕士学位论文 c 口f 朋= 4 ，f 搿。l 羁】 4 。 砌一i ) i 属】 4 ，【 m i 屈】 0 薹：f l 锄 】 口。- 1 m l 十_ l ，一i a 。一j 十，m i 忍：【吃l 协一l 】 o 岛。 m i ) i 屈】 岛。 m ) l 愿】 岛：【哎l 盈】 情况2 2 1 ：l 饼i l f 届i + 2 q 口l 】有零子矩阵块为 口，l x i 院i ，进而， | 强| + | 磊| | 磊| + | 愿| + l + l = 悯+ l ， 根据引理2 3 ，d e t q 优i 】= o 。 情况2 2 2 ：1 l = i 屈| + 1 据条件玲，岛。 m - 1 | 琏】= 0 ，则 d c t c 掰i = d e t 彳 掰。i 属u 坍一l d e t 艿 u 掰一l ，朋) l 厦 = o 这里么 i 屈u m 一1 ) ，雪 吃u 彬一l ，m ) ! 熙 是方阵。 情况2 2 3 ；1 l = | 届1 应用条件( i ) ，我们可以得到 d e tc - 掰l 】 础取蚓叫4 怂裂墨l 0 ， 这里么 嚷| 最 ，君 u 伽 | 屈 是方阵。 情况2 2 4 - l 届| | 弼| + 3 。 研口l 冈有零子矩阵块为f f i 屏l ，进而， | | + | 苁| | 呸| + | 呸 + 2 + l = 吲+ 1 ， 根据弓| 理2 3 ，d e t q , z l # = o 。 情况2 2 5 - l 麒l = 1 f + 2 据条件( i ) ，4 。【伽) | 缓】- o ，则 d e tc 口| = d e t 么 喁u 珊一l ，m f l , d e t b c f il f l ：u m l = 。， 这里a c f i u m - 1 ，z ) l 屈 ，b 掰：l 履u 劬一1 ) 是方阵。 情况2 2 。6 - | 苁| = | 嚷| + l 。 应用条件( i ) ，我们可v j , 得到 1 4 第二章肛矩阵、t n 一矩阵的量和 d e t c a i 】 谢粥岫州d e t v a - i + 俐b , m _ l 】裟嘲 0 ， 这里a 口。u m - x l p , ，b l 履 是方阵。 情况2 3 ：口= 呸u 呸w ( m l ，掰) ，声= 属u 履u 掰) 此种情况类似情况2 2 。 情况3 m - 1 ，l 繇5 ，伽- i ，啦s 情况3 1 ：5 = 5 tu ，= 层u 屐u 删一1 ，研) 此情况类似情况2 1 。 情况3 2 ：g = qu 锡u m l ，多= 最u 磊u ( m 一1 ，掰 。 f4 ； 嚷l 晟】 4 ：【呸l 燃一l 】4 ：【呸1 劬 】0 l c a i = i4 。【 ，z 一1 ) i 届】口。叱州+ - l ，刖一la m 。+ 九1 册最3 m 一1 ) i 包】i l 0 b ：【吃l 劬一1 ) 】b 3 ：【l 撇 】 马。【l 缓】j 情况3 2 。董： 5 l l | p l t + 3 。 q 搿l 夕】有零子矩阵块为 呸l 愿l ，进两， | 口。i + l 厦l l 屈i + l 屈i + 2 + 1 = l p l + l ， 根据弓| 理2 3 ，d e t c 5 1 f 1 = 0 。 情况3 2 。2 ：k | = 矧+ 2 。 据条件( i ) ，岛， m - 1 ) l 敛】= 0 ，则 d e t c 口 = d e t 么 呸l 麒u 磁一1 ，m d e t b 5 2 l ) m l l 愿 = o 这里彳 掰。t 3 , u m - 1 ，m ) ，嚣 吃u m 一1 ) l 屈 是方阵。 情况3 2 3 ：= 矧+ 1 应用条件( i ) ，我们可以得到 d e t c 5 | 翻 = d 或么【锈| 屈u 珑一l 】d 珙 a b r n _ ：l m + 3 l r e 朋_ l , ) m 忍，【zl 尾】 0 ， 这里么 窿，l f l ，u m - l ，君 | 反 是方阵。 情况3 2 4 - 川= l 髌卜 壁兰整垫奎堂堡圭鲎垡笙塞 一 应用条件( d ，我们可以得到 d e t 雠口i 3 】 础粥秘】融f 4 怒4 a 跏a 以, t m - 如1 一 ， o ， 这里爿 q l 屈 ，召 i 反u 劬) 是方阵。 情提3 2 。5 ：| 崩| 眩| + 2 研货l 冈有零子矩阵块为1 l | 屈l ，迸丽， i l + i 届l l 岱。i + i 口：i + 1 + 1 = l 口l 十1 ， 根据萼| 理2 3 ，d e t c a i f l = o e 情况3 2 6 ：l 屈l = | 口。i + 1 据条件( i ) ， d 蘸c o e l f l = d e t a 疆；u m l 磊 融雪 疆：l 愿u 磁一1 ，磷 q ， 这里“ u m 一1 l f l , ，b a ： f l ：u m 一1 ，坍) 是方阵。 情况3 。3 ：甜m 吼u u ( 聊) ，= 屈u 孱u m 一1 ，所) 。 戴情况类似予情况3 2 。 情况4 岱= 掰lu k a m - 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