（应用数学专业论文）非线性脉冲微分系统的集合稳定性.pdf

独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得 ( 注：如没有其他需要特别声 明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或证书使用过的材料。与我一同工作的同志对 本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 洵菁 导师签字 学位论文版权使用授权书 级簪 本学位论文作者完全了解堂蕉有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向 国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权堂 照可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印 或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：猕莨 签字日期：2 0 06 年月3 l 目 导师签字：绍i ，终 签字日期：2 0 06 年月3 j 日 山东师范太学硕士学位论文 非线性脉冲微分系统的集合稳定性 汤菁 ( 山东师范大学数学科学学院济南，山东，2 5 0 0 1 4 ) 摘要 本文研究如下非线性脉冲微分系统的集合稳定性： 脉冲泛函微分系统 ix ( t ) = f ( t ，z t ) ，t t o ，f t k ； z 0 + ) = z ( t ) + ( z ( t ) ) ，t = t k ，k = 1 ，2 【z 如= 妒叭， 其中z c ( 目) = z ( t + 日) ，目 一r ，o ， 和脉冲混合微分系统 iz 7 ( t ) = ，( t ，z ，a k ( z k ) ) ，t t k ，t k + 1 z ( t 吉) = z 毒，z j = z k + 厶( z ) ，= l ，2 【z k = z ( “) ，l o ( x o ) ；o ，。( 3 ) = z o ， ( 1 2 1 ) ( 22 1 ) 其中f c r + r ”+ “r ，r ”+ “ ， c r “+ ”，r “+ ” ：a k c r “+ “，r o ，a = 0 ，1 ，2 得出了系统( 121 ) 的集合稳定性和系统( 2 21 ) 正不变集的稳定性的结论，最后 分别给出例子说明结果的应用 在自然科学与工程技术的研究中，许多现象的数学模型都可以归结为脉冲泛 函微分系统脉冲泛函微分系统在实际中有着广泛的应用背景，近年来对其稳定 性的研究逐渐成为热点，并有一些成果出现【4 卜” 一【2 1 在实际问题中、有时候 系统的平凡解可能是不稳定的，但我们却能找到一个集合关于系统具有某种稳 定性，称为系统的稳定集合，这种稳定性称为集合稳定性目前，对系统的集合 稳定性研究己经有了一些研究结果 8 j 9 】【1 0 m 】文 9 1 0 1 1 研究了有时滞不带 脉冲的微分系统和不含时滞的脉冲微分系统的集合稳定性但对脉冲泛函微分 系统的集合稳定性研究结果还不多见吵文8 采用比较方法给出了常时滞脉冲 泛函微分系统的集合稳定性的判定准则本文第一章研究了具有界滞量脉冲泛 函微分系统( 12 1 ) 的集合稳定性我们先介绍了脉冲泛函微分系统集合稳定性 的有关概念，然后建立了一个比较原理，在此基础上得到若干集合稳定性的比较 结果，通过这些比较定理，我们可以由无时滞的脉冲微分系统平凡解的稳定性得 到脉冲泛函微分系统( 121 ) 相应的集合稳定性的结论另外，我们把l y a p u n o v 山东师范大学硕士学位论文 函数方法并结合r a z u m i k h i n 技巧用来研究集合稳定性，建立了系统( 121 】集 合稳定性的若干直接结果 脉冲混合微分系统是一类特殊但很重要的具可变结构的脉冲微分系统，它 的特点是不同时间段内微分系统可以不同，并且后一段时间段的系统依赖前一 时间段当不同时间段内的微分系统相同时就简化为脉冲微分系统有些实际问 题仅用脉冲微分系统无法恰当地描述，而需要通过这种具有可变结构的脉冲微 分系统来刻划因此，对脉冲混合微分系统的研究有其实际意义在集合稳定性 研究中，正不变集的稳定性具有特殊重要的意义近年来，对它的研究结果还不 多【1 2 | 本文第二章用l y a p u n o v 函数直接方法研究了脉冲混合微分系统( 22 1 ) 正不变集的稳定性由于系统的平凡解是一个特殊的正不变集，所以本章结果是 以往平凡解稳定性结果的推广 关键词：脉冲泛函微分系统，脉冲混合微分系统，l y a p u n o v 函数，r a z u m i k h i n 技巧，集合稳定性，正不变集的稳定性 分类号：0 1 7 5 2 1 2 山东师范大学硕士学位论文 t h es t a b i l i t yo fs e t sf o rn o n l i n e a ri m p u l s i v e d i f f e r e n t i a ls y s t e m s t a n gj i n g s c h o o lo fm a t h e m a t i c a ls c i e n c e s ，s h a n d o n gn o r m a lu n i v e r s i t y j i n a n ，s h a n d o n g ，2 5 0 0 1 4 ，prc h i n a a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h ef o l l o w i n gn o n l i n e a ri m p u l s i v ed i f f e r e n t i a ls y s t e m s ： t h ei m p u l s i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a ls y s t e m sw i t hf i n i t ed e l a y z 他) = ，( t ，轨) ，t t o ，t t k ， z ( t + ) = z 0 ) + 如( 。( t ) ) ，t = t k ，k = l ，2 ，： ( 1 21 ) 【z 。= 妒。， w h e r ex t ( o ) = x ( t + 口) ，0 一r 】o a n dt h ei m p u l s i v ed i f f e r e n t i a lh y b r i ds y s t e m i z 7 ( t ) = f ( t ，。，a ( z k ) ) ，t ( t k ，t + 1 z ( t 毒) = z j ，。2 = z a + 厶( z k ) ，= l ，2 ， ，( 221 ) 【。k = 嚣( t k ) ，1 0 ( z 0 ) 10 ，z ( t j _ ) = z o ， w h e r ef g r 十r “+ m r ，r “+ m ，k g 【r ”+ m ，。r “+ m ，a k c r “+ m ，r 2 ，k = 0 ，l ，2 w eo b t a i nt h es t a b i l i t yo fs e t sf o rt h es y s t e m ( 1 21 ) a n dt h es t a b i l i t y o fi n v a r i a n ts e t sf o rt h es y s t e m ( 221 ) a n dw eg i v es o m ee x a m p l e st oi l l u s t r a t e t h ea p p l i c a t i o n so fo u rr e s u l t s i nt h es t u d yo fs c i e n c ea n dt e c h n o l o g y ，t h ei m p u l s i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a l s y s t e m sa r ea na d e q u a t em a t h e m a t i c a lm o d e lo fm a n yp h e n o m e n a t h ei m - p u l s i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a ls y s t e m sa r ev a l u a b l ei np r a c t i c e i t ss t a b i l i t yi s s t u d i e dm o r ea n dm o r e ，a n ds o m er e s u i t sa r eo b t a i n e d 4 1 1 廿【2 1 i nd r a c t i c a l p r o b l e m s ，s o m e t i m e st h ez e r os o l u t i o no fas y s t e mm a y b en o ts t a b l e ，b u tw ec a n f i n das t a b l es e t t h i ss t a b i l i t yi sd e f i n e da st h es t a b i l i t yo fs e ta tp r e s e n t ，w e h a v es o m er e s u l t si nt h es t u d yo ft h es t a b i l i t yo fs e t s 【8 】 9 】【1 0 9 1 0 1 1 s t u d l e dt h es t a b i l i t yo fs e t sf o rf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a ls y s t e mw i t h o u ti m p u l s e sa n d i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a ls y s t e mw i t h o u td e l a y 【8 s t u d i e dt h es t a b i l i t yo fs e t sf o r t h ei m p u l s i v ed i f f e r e n t i a ls y s t e mw i t hc o n s t a n td e l a y i nc h a p t e ro n e ，w es t u d y t h es t a b i l i t yo fs e t sf o ri m p u l s i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a ls y s t e m sw i t hf i n i t ed e l a y ( 1 2 1 ) f i r s tw ei n t r o d u c et h ec o n c e p t i o n so ft h es t a b i l i t yo fs e t s t h e l lw eg i v e 山东师范大学硕士学位论文 o n ec o m p a r i s o nl e m m ao nl y a p u n o vf u n c t i o nf r o mw h i c hw eg e tt i l ec o m p a r i s o n c r i t e r i ao ns t a b i l i t yo fs e t so fs y s t e m ( 12 1 ) u s i n gt h e s ec o m p a r i s o nt h e o r e m s ， w ec a ng e tt h es t a b i l i t yo fs e t sf o ri m p u l s i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a ls y s t e m ( 121 ) b yt h es t a b i l i t yo fz e r os o l u t i o nf o rt h ei m p u l s i v es y s t e mw i t h o u td e l a ya n dw e g a i nt h ed i r e c tr e s u l t so fs t a b i l i t yo fs e t sb yt h em e t h o do fl y a p u n o vf u n c t i o n s a n dr a z u m i k h i nt e c h n i q u ew h i c hi sn o te v e ru s e di nt h es t u d yo ft h es t a b i l i t yo f s e t s i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a lh y b r i ds y s t e mi s as p e c i a lb u ti m p o r t a n ts y s t e mi n i m p u l s i v ed i f i e r e n t i a ls y s t e m sw i t hv a r i a b l es t r u c t u r e i t sc h a r a c t e r i s t i ci st h a t i t se q u a t i o ni nd i f f e r e n tt i m ep e r i o d sm a yb ed i f f e r e n ta n dt h ee q u a t i o ni nt h e l a t t e rd e p e n d so nt h ef o r m e rs o m ep r a c t i c a lp r o b l e m sn e e db ed e s c r i b e db yt h i s k i n do ft h es y s t e ms oi ti sm e a n i n g f u lt os t u d yt h ei m p u l s i v ed i f f e r e n t i a lh y b r i d s y s t e mi np r a c t i c e i nt h es t u d y o ft h es t a b i l i t yo fs e t s ，t h es t a b i l i t yo fi n v a r i a n t s e t si sv e r yi m p o r t a n ta n dm e a n i n g f u l r e c e n t l yw eh a v en o te n o u g hr e s u l t so f t h es t a b i l i t yo fi n v a r i a n ts e t s 2 2 】f 1 2 1s t u d i e dt h es t a b i l i t yo fi n v a r i a n to fs e t sf o r t h ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a ls y s t e mi nc h a p t e rt w o 、w es t u d yt h es t a b i l i t yo fi n v a r i a n ts e t sf o rt h ei m p u l s i v ed i f f e r e n t i a lh y b r i ds y s t e mf 221 1u s i n gl y a p u n o v s d i r e c tm e t h o d b e c a u s et h ez e r os o l u t i o ni sas p e c i a li n v a r i a n ts e t ，t h er e s u l t si n t h i sc h a p t e ri m p r o v ea n dg e n e r a l i z es o m ee a r l i e rr e s u l t so ft h es t a b i l i t yo fz e r o s o l u t i o n k e y w o r d s ： i m p u l s i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a ls y s t e m ，i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a lh y b r i ds y s t e m l y a p u n o vf u n c t i o n ， r a z u m i k h i nt e c h n i q u e ， s t a b i l i t yo f s e t ，s t a b i l i t yo fi n v a r i a n ts e t c l a s s m c a t i o n ：0 1 7 52 1 4 山东师范火学硕十学位论文 第一章具有界滞量脉冲泛函微分系统的集合稳定性 5l 1引言 在自然界中，许多事物的变化规律不仅依赖于当时的状态，还依赖于过去的 状态，并且还往往会带有瞬时突变现象，这些现象的数学模型可以用脉冲泛函微 分系统来描述在物理、生物、医学、人口动力学、控制论等领域，脉冲泛函微 分系统有着广泛的实际应用背景，因此对该系统的研究逐渐成为一个热点文章 f i - 3 1 已经建立了基本理论，其稳定性也被广泛研究( 参见 4 7 ， 1 3 卜 2 1 1 ) 在实际 中，有时候系统的平凡解可能是不稳定的，但我们却能找到一个集合关于系统具 有某种稳定性，称为系统的稳定集合，这种稳定性称为集合稳定性目前，对系 统的集合稳定性研究已经有了一些研究结果9 m 舭 文9 1 研究了有时滞不 带脉冲的微分系统的集合稳定性，文1 0 j 1 1 研究了不含时滞的脉冲微分系统的 集合稳定性，文【8 1 采用比较方法给出了具常时滞脉冲泛函微分系统的集合稳定 性的判定准则本章研究了具有界滞量脉冲泛函微分系统( 121 ) 的集合稳定性 我们先介绍了脉冲泛函微分系统集合稳定性的有关概念，然后建立了一个比较 原理，在此基础上得到若干集合稳定性的比较结果，通过这些比较定理，我们可 以由无时滞的脉冲微分系统平凡解的稳定性得到脉冲泛函微分系统( 121 ) 相应 的集合稳定性的结论另外我们还把l y a p u n o v 函数方法并结合r a z u m i k h i n 技巧用来研究集合稳定性，建立了系统( 1 21 ) 集合稳定性的若干直接结果 5 1 ，2 预备知识 考虑如下脉冲泛函微分系统 i 。协) = ，( t ，x t ) ，t2t o ，t t k ， z ( 矿) = 。( t ) + 五( z ( t ) ) ，扛t k ，= l ，2 ， ( 1 21 ) iz 。= 妒。， 其中，：r + 彤，c h = 妒c o ：| 1 妒1 l 日) ，c o = g 一r ，o ，r “ ，厶： 册 r “，z ( p ) = x ( t + 日) ，目【一r ，o l ，妒o 岛，f i 妒i l = m a x ( 1 妒( p ) l ：一rs 目 o ，lzl = m o z i 甄f ：1si 礼，z r “，0 t 1 t 2 0 ，使得对 任意的( t ，z ) ，( t iz ) f 有id ( z ，m ( t ) ) 一d ( z ，：m ( t ，) ) i kt l h 9 ：j + ( t o ，妒o ) = f t o ，。) 下面我们给出系统f 1 21 ) 的集合稳定性和吸引性定义： 定义1 2 1 ：集合m 被称为： ( a ) 系统( 1 2 1 ) 的一个稳定集合：如果对任意的e 0 ，o 0 和t o r ，都存在常 数6 = d ( t o ，e ) ，使得对任意的q o o 百。( g ) n 如( z o ，d ) 和任意的t p ( t o ，妒o ) 有z ( t ；t o ，q o o ) m ( t ，e ) ( b ) 系统( 121 ) 的一个。一一致稳定集合：如果( a ) 中的6 与无关 ( c ) 系统( 121 ) 的一个t 一一致稳定集合：如果( a ) 中的d 与t o 无关 ( d ) 系统( 121 ) 的一个一致稳定集合：如果( a ) 中的6 只依赖于 定义1 2 2 ：集合m 被称为： 6 型里型里l 鏊兰堡主堂堕堡壅 ( 8 ) 系警( 12 1 ) 的一个吸引集合：如果对任意的0 = o 和t 0 r ，存在常数 2 o ，使得对任意的e 。和妒。宜。( 岛) n m 。( t 。，a ) ，都存在常数口 o ，并满 足t o + 。p ( t 。，帅) ，从而对任意的t 三t 。+ 口：t 了+ ( 如，妒。) ，有z ( t ；幻，妒o ) 朋【t ，e ) ( b ) 系统( 12 1 ) 的一个。一一致吸引集合：如果列任意的如r ，存在常数 a ! ，对任意的 o ，存在常数盯 0 ，使得对任意的。 0 ，任意的 伽玩( g ) n ( 如，a ) ，满足屯+ 矿，十( ，咖) ，从而对任意的t 如+ 叽t j 十( 如，妒o ) ，有。( 友t o ，妒o ) 彳 ：e ) ：t t o 十盯 ( 。) 系统( 12 - 1 ) 的一个t 一一致吸引集合：如果对任意的 0 ，存在常数 ! o ，对任意的e 0 ，存在常数口 o ，使得对任意的t o r 和妒。 b a ( q ) n m o ( t 。，a ) ，满足t 。+ 口j + ( 如，咖) ，从而对任意的t t 。+ 盯，t j + ( 如，咖) ，有z ( t ，伽) m ( t ，e ) ( d ) 系统( 121 ) 的一个一致吸 i 集合：如果存在常数a 0 ，对任意的 o 、存 在常数盯 o ，使得对任意的 o ，t 。r 和妒。鼠( g ) n 弛，a ) ，癌足 + 9 j + ( 。o ，咖) ，从而对任意的t 如+ 口：f ，+ ( 妒o ) ，有z ( f ，咖) m e ) 定义1 2 3 j 集合m 被称为： ( a ) 系统( 1 21 ) 的一个渐近稳定集台：如果该集合是稳定的且是吸引的 ( b ) 系统( 121 ) 的一个一一致渐近稳定集合：如果该集合是一致稳定的 且是a 一一致吸引的 ( c ) 系统( 1 21 ) 的一个t 一致渐近稳定集合：如果该集合是t 一致稳定的且 是t 一一致吸引的 ( d ) 系统( 12 1 ) 的个致渐近稳定集合：如果该集合是一致稳定的且是致 u 拨引的 定义l 2 4 ：如果满足下列条件，我们称函数v ：( 如，o o ) q _ 置是属于 幽数娄： ( 1 ) 1 7 在u 瓯上连续且在每个 ( 南= l ，2 ，) 上关于第二个变元满足局部 l i p s c h i t z 条件 ( 2 ) v ( t ，z ) = 0 ，( t ，z ) m ，t t o ；y ( t ，。) o ，( t ，z ) o o ) 叭m 【3 l 似f ) 剐y ( 。，) 存在，k 引入下列函数类： p c i a ，纠= 妒：f 。，6 j r ”，垆( 印至多有有限个第一类间断点t k ，且 p ( 砬) ： 妒( “) ， n 7 = ( ( t ，u ) e ( ( “1 ：“j r + ，r + ) ，七n ，对vz r + ，七 山东师范大学硕士学位论文 l i m ( t ，u ) = w ( t ，z ) 存在 ) 9 2 1 = f 妒c r + ，r + ：妒( s ) s ，s o ， q 2 = f 日c r + ，r + = h ( o ) = 0 ，日( s ) 0 ，s o ， n 3 = f 妒c r + ，r + 1 ：砂( s ) s ，s o ， q 4 = t j ( s ) c ( r + ，r + ) ，单增，且妒( o ) = 0 ，0 妒( s ) 0 k ：f n c r + ，r + = 。( o ) = 0 且o ( s ) 关于s 严格单增) ， c k ： o g r 晕，r + j ：对每个t r + ，a ( t ：) k ) 1 3脉冲泛涵微分系统集合稳定性的比较方法 在本节中我们首先给出了一个比较原理，然后利用比较原理，把集合对脉 冲泛函微分系统稳定性的判定化成脉冲微分系统零解稳定性的判定，给出了脉 冲泛函微分系统的集合稳定性，一致稳定性，渐近稳定性，一致渐近稳定性的判 定准则 引理1 3 1 ：假设 存在函数v ：t o r ，+ 。) 彤_ 兄+ ，v k ，存在函数尸q l 对于系统 ( 1 2 1 ) 的任意解z ( t ) = 。( t ；t o ，妒o ) ，当v ( e + s ，z ( t + s ) ) p ( v ( t ，z ( t ) ) ) ，一rs s 0 ，t 2 t o 时，有 d 十v ( t ，z ( t ) ) 9 ( t ，v ( t ，。( t ) ) ) ， t t ， 其中g q 7 ，9 ( t ，0 ) = 0 ， f i i l 对每一个_ ) v ，存在函数机q 1 ，且讥非减，使得 v ( q ，z + 厶( 。) ) 墨妒( y ( 如，z ) ) ， 其中饥( “) = u + 以( u ) ： ( ) 设r ( t ) = r ( t ；t o ，咖) 是系统 fi i , i ( t ) = 9 ( t ，“) ，t t o ，t t ， 乱( t k ) = 以( u ( t k ) ) ，k n ， 【u ( t o ) = 札o20 ， 在f t o ，+ 。) 上的最大解 则当幻- m r _ a x s _ t oy ( s ，茁( 8 ) ) u 。时有 v ( t ，z ( t ) ) 冬r ( t ；t , o ，“o ) ，t t o 证明：设z ( t ) = z ( t ；知，咖) 是系统( 1 2 1 ) 的任意解 0 t n r i ( t + ) 由9 芝。知r l ( ) 单调不减，由t 4 的取法，当t t o ，t 。j 时有 v ( t ，z ( ) ) r l ( t ) r 】( t + ) = 1 ( + ，z ( + ) ) p ( v ( t + ，z ( t + ) ) ) 若t 4 一r 0 ，t o r + ，存在6 1 = d l ( t o ，e ) o ( e ) ，当u o 0 ，使得6 ( 6 ) 6 1 ： 对任意的伽或( q ) n m o ( t 。，d ) ，取咖2 沪r f ，l ! a 。x ! 加y ( s ，z ( s ) ) ， 则y ( s ，z 0 ) ) 6 ( d ( 。( s ) ， 彳( s ) ) ) b ( d o ( 妒o ， 而0 ) ) ) s6 ) d 1 ，t o r s t o ， 即u o 0 ，任 意的t o - r + ，存在钟= 研( 如) ，存在口= 口( 如，q ) 0 ，当u o 耐时有 u ( t ；t o ，u o ) 0 ，取a = a ( 如，血) ，使得6 ( a ) q ( t o ) ， 对任意的咖直n ( c o ) n m o ( t 。，a ) ，取1 , 0 = 抽m ，。3 , 。x 。“v ( s , x ( s ) ) ， 则y ( s ，z ( s ) ) 6 ( d ( 。( s ) ，m ( s ) ) ) b ( d o ( 妒o ， 如( t ) ) ) 6 ( a ) ( 虻，一rssst o ， 即u o 0 ，任意的t o r + ，因为( 1 3 6 ) 的平凡解是一致稳定的， 所以给定b ( e ) 0 ，存在5 0 = 如( e ) ，当 口o d o 时有伽( t ；t o ， o ) o ：当l z 0 5 2 时有礼( 亡；t o ，? t 0 ) 0 使得n ( d 1 ) 0 ， 取u 。2 扩m ，。a 。x 吣( s ，z ( s ) ) ，存在d 3 25 s ( 亡o ，e ，。) ，使得妒( 如) d ：，妒( d 。) 誓， 对任意的妒o b 。( c o ) n 蚴( t ，5 3 ) ，有 ( s ，z ( s ) ) s 垆( d ( z ( s ) ，a 彳( s ) ) ) 墨妒( d o ( 妒o ，a 知( t ) ) ) 墨妒( 如) 占2 ， t o r s t o ， 即“o d 2 由引理1 31 有 m ( t ，。( t ；t o ，妒o ) ) 茎n ( t ；t o ，咖) = 5 ( t o ，e ，口) ，对任意的妒o b 。( c o ) n 慨( t ，d ) ， 取甜一如黑o k ( 毛z ( s ) ) + ( s ，z ( s ) ) ) ) 则有k 0 ，z 0 ) ) 妒( d ( z 0 ) ， 矿( t ) ) ) 妒( d o ( 妒o ， 如u ) ) ) 妒( 6 ) 血2 ， t o r t t o ， ”( t ，z ( t ) ) so ( d ( z ( t ) ，n 矿( t ) ) ) a ( d o ( 妒o ，n 粕( o ) ) ) 。( 6 ) 血2 ， 即”o 品， 由引理i 3l 有 ( t ，。( t ；t o ，妒o ) ) + k 1 ( t ，。( t ；t o ，t p o ) ) sr z ( t ；t o ，w o ) 1 2 山东师范大学硕士学位论文 由f a l 有 b ( d ( z 0 ；t o ，妒o ) ： 巧0 ) ) ) 茎1 乞q 0 ，z ( t ；t o ，妒o ) ) v 2 , ( t ，z ( t ，t o ，妒o ) ) 十h 0 ，。( ；f , o ，垆o ) ) sr 2 ( t ；t o ，o ) 0 ，因为。m o ( t o ) 有v ( t 。，z ) = o ：那么存在 d = 5