（应用数学专业论文）拓扑学中正规闭性、紧性、分离性的研究.pdf

内蒙古师范大学硕士学位论文 中文摘要 本论文由相对独立的三篇文章组成：一、一般拓扑学中的第一可 数互正规一闭空间的等价性；二、一f u z z y 拓扑空间中的几乎超紧性； 三、f u z z i f y i n g 拓扑空间中的强半分离性现将三篇文章的内容摘要简 述如下： ( 1 ) 在分明拓扑学【l 2 j 中，设尸表示某种拓扑性质，一个p 一空间x 称为 p 一闭的，如果x 嵌入到任何尸一空间y 时，x 都是y 的闭子空间几位拓扑 学家在文【3 】、【4 】、【5 】、【6 】、【7 】中分别讨论了当p = 第一可数互，第一 可数零维，第一可数完全正则，第一可数u r y s o h n ，第一可数弱正则时， p 闭的等价性及p 一闭扩充的问题：文【8 】讨论了第一可数正半正则一闭 的等价性本文在前面这些工作的基础上讨论了第一可数正规一闭空间 的等价性问题，得到若干好的结果 ( 2 ) 超紧性【9 、1 0 】是l f u z z y 拓扑空间中的一种紧性文【l l 】利用相关远域 族的概念重新定义和刻划了超紧性，文 1 2 1 介绍并研究了几乎良紧性的特 征及拓扑性质本文利用相关远域族及几乎相关远域族的概念介绍了一 种几乎超紧性，讨论了它与超紧性、近似超紧性以及几乎良紧性之间的 关系，结果表明几乎超紧性与其他各种模糊紧性一起组成了工一f u z z y 拓扑 空间中紧性较完整的理论体系，文章还给出了其网式和滤子式刻画，并研 究了它的其他一些性质 ( 3 ) 在经典拓扑学中，l e v i n e 首先引入了半开集的概念，并对半开集 理论作了初步的研究其后，王国俊，杨忠强等对半开集理论作了进一步 内蒙古师范大学硕士学位论文 的研究a z a r d 和方进明又分别在，一拓扑和拓扑分子格中将半开集理论进 行了推广继应明生引入f u z z i f y i n g 拓扑后，f j l kh e d r 等在f u z z i f y i n g 拓扑 空间( x ，f ) 中定义ae2 x 的半开集程度为： & ( 彳) = v a 。( x ) ，其中彳。( 工) = n a a ) 但该半开集程度谓词有悖于经典结论( 如，半开集与开集的交仍为半开 集) 后左珥运用l u k a s i e w i c z 逻辑引入一种新的半开集，定义为： v a 2 。，s t ( a ) 2 。r 、 砷m i n 1 , 1 - t ( d ) + 一足吕n r ( r ) ) 使之满足了上述经典结论赵国亮利用这种新的半开集引入f u z z i f y i n g 拓 扑空间中的强半开集、强半邻域及强半闭包和强半内部本文利用强半开 集、强半邻域等概念引入了强半分离公理，并给出了它们的等价刻画以 及它们彼此之间的关系 关键词：拓扑空间，正规一闭性，三一f u z z y 拓扑空间，几乎超紧性，f u z z i f y i n g 拓扑空间，强半分离性 内蒙古师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h et h e s i sc o n s i s t so ft h r e er e l a t i v e l yi n d e p e n d e n tp a p e r s ：( 1 ) t h e e q u i v a l e n c e o ft h ef i r s tc o u n t a b l en o r m a l c l o s e d s p a c e s i n c l a s s i c a l t o p o l o g y ；( 2 ) a l m o s tu l t r a f u z z yc o m p a c t n e s s i n l f u z z yt o p o l o g i c a l s p a c e s ) ) ；( 3 ) ( ( s t r o n gs e m i - s e p a r a t i o na x i o mi nf u z z i f y i n gt o p o l o g i c a ls p a c e s ) ) t h ep r i m a r ys t u d i e si nt h r e ep a p e r sa r et h ef o l l o w i n g ： ( 1 ) l e tpb es o m et o p o l o g i c a lp r o p e r t yi nc l a s s i c a lt o p o l o g i c a ls p a c e s ， a p s p a c exi sc a l l e dp c l o s e d ，i fxi sac l o s e ds u b s p a c eo fy ，w h e nx i n s e r t se v e r yp s p a c ey s e v e r a lt o p o l o g i s t sd i s c u s s e dp r o b l e mo fp - c l o s e d e q u i v a l e n c ea n dp - c l o s e de x t e n s i o n ，w h e npi st h ef i r s tc o u n t a b l e 互、t h ef i r s t c o u n t a b l ez e r od i m e n s i o n ，t h ef i r s tc o u n t a b l ec o m p l e t er e g u l a r i t y ，t h ef i r s t c o u n t a b l eu r y s o h n 、t h ef i r s tc o u n t a b l ew e e k l yr e g u l a r i t yi nt h ep a p e r 3 - 7 】； t h e p a p e r 8 】 s t u d i e dt h e e q u i v a l e n c e o ft h e f i r s tc o u n t a b l e s e m i r e g u l a r - c l o s e ds p a c e s o nt h i sf o u n d a t i o n ，w ew i l ld i s c u s st h es a m e t o p i cf o rt h ef i r s tc o u n t a b l en o r m a l - c l o s e ds p a c e s ，a n di n v e s t i g a t es o m en i c e c o n c l u s i o n s ( 2 ) u l t r a f u z z yc o m p a c t n e s s1 9 , 1 0 i sac o m p a c t n e s si nl f u z z yt o p o l o g i c a l s p a c e s ，t h ep a p e r 【11 】i n t r o d u c e du l t r a f u z z yc o m p a c t n e s sa g a i nb yt h e c o n c e p t so fr e l a t i v e - r - n e i g h b o r h o o df a m i l y t h ep a p e r 【12 】i n t r o d u c e dt h e c h a r a c t e r i z a t i o n so fa l m o s tn i c ec o m p a c t n e s s ，a n ds t u d i e dt o p o l o g i c a l 内蒙古师范大学硕士学位论文 p r o p e r t i e s i n t h i s p a p e r ，w ew i l l i n t r o d u c eaa l m o s t u l t r a - f u z z y c o m p a - - c t n e s sb yt h ec o n c e p t so fr e l a t i v e r - n e i g h b o r h o o df a m i l ya n da l m o s t r e l a t i v e - r - n e i g h b o r h o o df a m i l y ，t h er e l a t i o n s h i p sb e t w e e nt h i sc o m p a c t n e s s a n du l t r a - f u z z yc o m p a c t n e s s 、n e a r l yu l t r a f u z z yc o m p a c t n e s s 、a l m o s tn i c e c o m p a c t n e s sa r ed i s c u s s e d i ti n d i c a t e st h a ta l m o s t u l t r a f u z z yc o m p a c t t n e s s a n do t h e rv a r i o u sk i n d so ff u z z yc o m p a c t n e s sm a k eu pm o r ec o m p l e t e l y c o m p a c t n e s s t h e o r ys y s t e m s i n l - f u z z yt o p o l o g i c a ls p a c e s t h e c h a r a c t e r i z a t i o n so fi ta r eo b t a i n e d ，a n ds o m ep r o p e r t i e so fi ta r ed i s c u s s e d ( 3 ) i nc l a s s i c a lt o p o l o g y ，l e v i n ei n t r o d u c e dt h ec o n c e p to fs e m i - o p e ns e t s a tf i r s t ，a n ds t u d i e df u n d a m e n t a l l yt h e o r yo fs e m i - o p e ns e t s t h e ng u o j u n w a n g ，z h o n g q i a n gy a n gd i s c u s s e dt h et h e o r yo fs e m i - o p e ns e t si nt h ef u r t h e r w a y a z a r da n dj i n m i n gf a n ge x t e n d e dt h et h e o r yo fs e m i - o p e ns e t s i n i - t o p o l o g y a n dt o p o l o g i c a lm o l e c u l e l a t t i c e s m i n g s h e n g y i n gi n t r o d u c e d f u z z i f y i n gt o p o l o g y ，t h e nf h k h e d rd e f i n e dd e g r e eo fs e m i o p e ns e tai n f u z z i f y i n gt o p o l o g i c a ls p a c e sa sf o l l o w s ： s o ( 彳) = v 彳。( j r ) ，a 。( x ) = m ( 彳) 】f e 月 t h i sd e f i n i t i o nc o n t r a d i c t sw i t hc l a s s i c a lc o n c l u s i o n ( s u c ha s ，t h ei n t e r s e c t t i o n o fs e m i o p e ns e ta n do p e ns e ti ss e m i - o p e ns e t ) y u ez u oi n t r o d u c e dan e w s e m i - o p e ns e t sb yl u k a s i e w i c zl o g i c a l ，d e f i n e da sf o l l o w s ： va 2 。，s r ( a ) = a minl，lr(d)+一胄vdcaa 洲r ( 尺) ) 胄d n i ts a t i s f i e st h ec l a s s i c a l c o n c l u s i o n g u o l i a n g z h a oi n t r o d u c e d s t r o n g s e m i - o p e ns e t s 、s t r o n gs e m i n e i g h b o r h o o d 、s t r o n gs e m i c l o s u r ea n ds t r o n g 内蒙古师范大学硕士学位论文 s e m i i n t e r i o ri nf u z z i f y i n gt o p o l o g i c a ls p a c e sb yt h en e ws e m i o p e ns e t s i n t h i s p a p e r ，w e w i l li n t r o d u c e s t r o n gs e m i s e p a r a t i o n a x i o mb ys t r o n g s e m i o p e ns e t s 、s t r o n gs e m i n e i g h b o r h o o da n ds oo n ，a n de q u i v a l e n c e so f t h e ma r eg i v e n ，t h er e l a t i o n so f e a c ho t h e ra r ed i s c u s s e d k e yw o r d s ：t o p o l o g i c a ls p a c e s ，n o r m a l c l o s e d ，l - f u z z yt o p o l o g i c a l s p a c e s ，a l m o s tu l t r af u z z yc o m p a c t n e s ss p a c e ，f u z z i f y i n g t o p o l o g ys p a c e s ，s t r o n gs e m i - s e p a r a t i o n 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果，尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的 地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含本人为获得内蒙古师范大学或其它教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在 论文中作了明确的说明并表示感谢。 一年6 其嗲日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解内蒙古师范大学有关保留、使用学位 论文的规定：内蒙古师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送 交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印 或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子文档的内容 和纸质论文的内容相一致。 砌 f 月( 日 第一章引言 第一章引言 一般拓扑学从1 9 世纪形成为一个独立的科学分支至现在已经历了一百多年的发 展历史虽然它的独立与发展相对于其他一些古老的数学学科如分析学，代数学，欧 氏几何学和数论要晚了许多，但经过一百多年，特别是2 0 世纪4 0 年代到7 0 年代的 蓬勃发展，一般拓扑学日趋成熟与完善如今，拓扑学的理论、成果和方法已应用或 渗透到几乎每一个重要的数学领域以及物理、化学、生物乃至工程技术中 1 9 6 9 年，r m s t e p h e n s o n ，j r 在文【3 中证明了每一个第一可数的互空间有一个第 一可数的瓦一闭扩充，并进一步提出如下问题：还有什么样的拓扑性质p ，使得每一个 尸一空间都存在一个p 一闭扩充? 随后，若干作者在文【4 】，【5 】，【6 】，【7 】中分别讨论了p = 第一可数零维、第一可数完全正则、第一可数u r y s o h n 、第一可数弱正则时，p 一闭 的等价性及p 一闭扩充的问题，得到了比较完满的结果本文在上述研究成果的基础 上对第一可数瓦正规一闭的等价性进行了细致的讨论文章第一可数乃正规一闭空间 的等价性已被内蒙古师范大学学报录用 模糊紧性理论是l f u z z y 拓扑学中最重要的内容之一，国内外学者对此已有一 系列的研究，其中王国俊教授等提出的良紧性概念及理论起到重要的作用，已被国内 外学者普遍采用其后，很多学者又提出了各种各样的紧性概念，比如：宣立新以良紧 性为背景在文【1 3 】中引人了可数良紧性概念：陈水利在文 1 4 】中提出一f u z z y 几乎良 紧性概念：文 1 5 】系统的介绍并研究了近似良紧性的特征和拓扑性质：文1 1 6 在1 9 7 8 年定义了超紧性：文【li n 用相关远域族的概念重新定义和刻画了超紧性；文【1 7 】利用 相关远域族定义了不分明拓扑中的近似超紧性本文利用相关远域族及几乎相关远域 族的概念介绍了一种几乎超紧性，讨论了它与超紧性、近似超紧性及几乎良紧性之间 的关系，结果表明几乎超紧性与其他各种模糊紧性一起组成了l f u z z y 拓扑空间中 紧性较完整的理论体系，文章还给出了几乎超紧性的网式和滤子式刻画，并证明了它 具有丌闭遗传性、有限可和等性质 应明生教授在文【1 8 】中提出，- f u z z y 拓扑概念的同时也提出了，一f u z z y 拓扑的 内蒙古师范大学硕士学位论文 特殊情形不分明化( 凡舷痧垤) 拓扑的概念，并且文【1 8 2 2 】用连续值逻辑k 。语 义的方法建_ _ 立f u z z i f y i n g 拓扑学的基本理论 自从1 9 9 1 年应明生教授弓l , h f u z z i f y i n g 拓扑之后，引起了国内外学者的广泛关 注，并且相继做了许多有意义的研究：1 9 9 3 年沈继忠在文 2 3 】中讨论了分离性问 题；2 0 0 0 年张广济在文 2 4 】中研究了s 一分离性：1 9 9 9 年f h k h e d r ， f m z e y a d a ，0 r s a y e d 引入了f u z z i f y i n g 半开集、f u z z i f y i n g 半邻域和f u z z i f y i n g 半闭 包，2 0 0 1 年他们在文【2 5 】利用这些概念导入了一种新的分离公理：2 0 0 3 年文 2 6 】中以 p r e 一开集为工具，弓i a tp r e 一分离性公理：2 0 0 4 年王瑞英2 7 1 以正则开集、尺一邻域 及万一闭包的概念导入了几乎分离公理；2 0 0 8 年李宁2 8 1 引入了拟r 分离公理；2 0 0 8 年赵国亮四1 引入了f u z z i f y i n g 拓扑空间中的强半开集、强半邻域及强半闭包本文在 f u z z i f y i n g 拓扑空间中利用强半开集等概念引入强半分离公理，并讨论了它们的若干 性质 2 第二章第一可数疋正规一闭空间等价性 第二章第一可数互正规一闭空间等价性 在本章中讨论了第一可数互正规一闭空间与第一可数互正规极大空间、第一可数 互正规极小空间、第一可数互正规弱紧空间的等价性 为简单起见，本章所有空间均假定为五分离的拓扑空间 2 1 预备知识 定义2 1 1 设p 表示某种拓扑性质， ( 1 ) 如果空间x 同胚于空间y 的一个子空间，则称x 可嵌入到】，中 ( 2 ) 如果空间x 同胚于空间y 的一个稠密子空间，则称y 是z 的一个扩充 ( 3 ) 一个p 一空问x 称为p 一极大的，如果不存在p 一空间y 是x 的真扩充 ( 4 ) 一个p 一空间( x ，丁) 称为p 一极小的，如果不存在x 上严格弱于z 的p 一拓 扑 ( 5 ) 一个p 童间x 称为p 一闭的，如果x 嵌入到任何p 一空间y 时，x 都是】， 的闭子空间 定义2 1 2 空间x 称为弱紧的，如果x 中每个可数开滤子基都有聚点 定理2 1 1设空间x 是p 一闭空间，则x 是p _ 极大空间，且当p 是闭遗传性质 时，p 极大空间也是尸一闭空间 证明由定义，显然 定理2 1 2 第一可数空间中的弱紧子集是闭集 证明设石为第一可数空间，a 为x 的弱紧子集若彳不是闭集，则存在点 工j ，但石萑彳设 圪：刀) 是x 的可数开邻域基，易知 圪r 、彳：肛) 是子空间彳中 可数个开集又因为工j ，所以v 刀n ， 圪n 彳矽， 则 v 肌，以n ，( 圪n 彳) n ( kna ) = ( 圪n 匕) n 彳3 圪r 、a ，七n 即 圪n 爿：刀n ) 是子 空间彳中可数开滤子基彳为x 的弱紧子集，即子空间彳是弱紧空间，则 vn 彳 h e n ) 在彳中有一聚点p ，因膏垡彳，故x p 空间x 是五的，所以对于工， 3 内蒙古师范大学硕士学位论文 p 两点，存在开集q ，d 2 ，使x d i ，pe0 2 且d lr 、0 2 = 贝j 3 n n ，使圪nd 2 = 但 由于 p n n e n ，( 圪n a ) 一c 盆( 圪n 彳) 一c ，q 圪 其中( kha ) 一表示圪n 彳在子空间a 中的闭包v n n ，圪n0 2 矽产生矛盾，假 设不成立所以只有i f a ，即彳为闭集 2 2 第一可数正规一闭空间的等价性 定理2 2 1设空间x 是第一可数正规空间，则x 是第一可数正规一闭空间的充 分必要条件是x 是第一可数正规极大空间 证明是容易的因为正规性是闭遗传性质，故由定理2 1 1 得到 定理2 2 2设空间x 是第一可数正规空间，则x 是第一可数正规一闭空间的充 分必要条件是x 为弱紧空间 证明 必要性：设x 是第一可数正规空间反证，若x 不是弱紧空间，则存在x 的可数开滤子基 以) 肫无聚点，即n n e , v 互= 妒不失一般性可设4 l3 4 l + - ( 否则以 n ：。4 代替4 i ) 任取4 t ，由x 的正则性，存在可数开集族 饼) 。，使v k e n 毛饼+ 1c 饼“c 饼c 饼c4 i 对v 七n ，令k = u 饼，容易证明可数开集族 k ) “具有以下性质： n = t 1 ) ，而+ ，) c 圪，从而圪非空： 2 ) v 七n ， 饼) 舵是局部有限族( 这是因为h r 、e n 互= 矽) ，从而 一一 一 v k n ，圪= u 饼，且圪+ 。ck ： n = k 3 ) v ken ，圪c a k ，从而q 圪= 任取p 萑x ，令y = xu p ，构造y 上的拓扑r 如下：v xex ，取x 在空间x 中 4 第二章第一可数正正规一闭空间等价性 的邻域基为邻域基；对点p ，取 p ) u k ：七 为邻域基，容易证明 p ) u 圪：七 满足邻域基的条件由f 的定义及8 圪= 妒容易推出r 是第一可数、互空间，且x 是】， 的稠密开子空间 下面证明空间】，是正规空间设f 是空间】，中的闭集，【，是空间y 中包含，的 开集令f = f n x ，u = u n x 则，是x 中的闭集，u 是x 中包含f 的开集 ( 1 ) 若p 仨f ，且p e u ，则f = f ，u = u u p 由空间x 的正规性，存在x 中 的开集g 使 f c gc gcu 这里召表示g 在空间x 中的闭包，以瓦表示g 在空间y 中韵闭包且瓦c 否u p ) ， 注意到x 中开集也是】，中开集，所以，存在y 中的开集g 使 f cgc g cg rca u p cu u p = 【，+ ( 2 ) 若p 萑f 且p 芒u ，则f = f ，u = u 由于p 叠f 知，存在k n 使 圪a f = o ，所以f c x kcx k + 。由空间x 的正规性，存在x 中的开集g 使 f c gc ge v n ( x 瓦) c u 因为g nk + i = f 2 j ，所以p 萑g y ，从而g = g rn x = g r 即存在y 中的开集g 使 f cg e 瓦c u ( 3 ) 若p f ，则f = f u p ) ，u = vu p ) f 是x 中的闭集，u 是x 中包含f 的 开集则由空间x 的正规性，存在彳中的开集g 使 fcg 匕一gcu 注意到p u ，有fc g cg c g rc 吞u 纠cu ，甚p 存在y 中的开集g 使 f c g c g rc u 。 对于点p ，u 是点p 在】，中的丌邻域则存在 p u 匕 p u 圪 ke 使 p e p u v + 。c p u 眨： p u k c 【， 内蒙古师范大学硕士学位论文 又p 正k + i ，且 p ) 闭于】，故 面而= 瓯u 葡r = p u 瓦 令矿= p u v + l ，则矿是y 中的开集，且 p 形c 晖c u 所以存在】，中开集g u 形使 f co um c ( gu 矿) l ，cu 以上证明了y 是第一可数正规空间，是x 的真扩充，从而x 不是第一。司数正规极大空 间，由定理2 2 1 ，x 不是第一可数正规一闭空间，与假设矛盾 充分性：若x 是弱紧空间，则由定理2 1 2 推出x 是第一可数正规一闭的证毕 定理2 2 3 设( x ，丁) 是第一可数正规空间，则x 是第一可数正规极小空间的充 分必要条件是x 中每一个有唯一聚点p 的可数开滤子基必收敛于p 证明 必要性：设( x ，丁) 是第一可数正规极小空间， 4 。“是( x ，丁) 中有唯一 聚点p 的可数开滤子基仍设43 4 且盆4 = p ) 又设 e 。是点p 的一个单 凋下降的可数开邻域基，且v 以n ，c + ，cq ( 利用x 的正则性，可保证这样的 g ) 。存在) 反证，若 4 ， 。不收敛于p ，由滤子收敛定义有，使q 不包含任何4 t ，不 妨设n o = l ，即c l 不包含任何4 任取4 c lc4 g ，由x 的j 下则性，v n ，存 在可数开集族 饼) 托，使 v k n ，毛饼“c 饼c 饼c 饼c4 虿 , x 对v ke n ，令k = u 饼，则可数开集族 k 。e 具有以下性质： n = k 1 ) t ，毛+ l ， ck ，从而k 非空： 一一 一 2 ) v 七，圪= u 饼，且吆+ 。ck ： n = 上 6 第二紊第一可数互正规一闭空间等价性 3 ) v k n ，圪c4 ，又因v 后，p 萑圪，从而。q ，砍= 矽 七e 构造x 上另二个拓扑7 如下： 当工p 时，取石在拓扑r 下的一个可数开邻域基为邻域基：对点p ，以 圪uq ：七n ) 为可数开邻域基易i y r 是x 上的第一可数拓扑 f 是互拓扑设x x ，e ( 工) 与q ( 工) 分别表示点了在f 下和丁下的可数开邻域 基垤，y x ，工y 若x ，y 都不是p 点，则e ( 力= g ( 力由拓扑丁的五分离性，知 3 u g ( 力，v c r ( y ) ，使得u n v = ，即9 u c r ( 工) ，v c ( y ) 使 得u n r = 若工，少有一个是p 点，不妨设y 2 p 由于盆圪= ，故石诺g 圪，所以 3 n n ，u c d x ) ，使un 匕= 又由拓扑t 的互分离性，3 v g ( x ) ，g e 膳， 使 y r 、q = ，这里不妨设 n k ，故v n e = ，所以 ( u n 矿) n ( 匕u q ) c ( u n v ) u ( v n c ：) = ，即 b u n y c ( x ) ，k u q e ( p ) 使得( u n f ) n ( v u e ) = 妒 f 严格弱于丁首先fc z 是显然的其次因为 ，+ ， ck ，但v j | n ， 吒仨g ，故c i 不包含任何k 从而在拓扑丁下，p 的开邻域q 在拓扑f 下不是p 的邻 域，即c i 在r 下是开集，但在f 下不是开集 f 是正规拓扑设，是拓扑f 下的闭集，u 是拓扑f 下包含，的开集则f 是拓扑 r 下的闭集，u 是拓扑丁下包含f 的开集 ( 1 ) 若p 仨f ，则存在七使( 圪u g ) n f = 妒，因此fcx ( 圪+ 。u q + 。) ，令 形= ( x 了= 嘶) n u ，则是拓扑r 下包含f 的开集由丁的正规性，存在7 下 的开集g 使 f cgc gcwc u 这里g 表示g 在拓扑r 下的闭包，以g f 表示g 在拓扑r 下的闭包由w 的定义知 7 内蒙古师范大学硕士学位论文 ( 圪+ 。u q + 。) n g = ，则p 萑g r ，当然p 诺g 所以g f = g 因为p 仨g ，故g 也是拓扑f 下的开集，且 f c g c g fc u ( 2 ) 若p f ，由丁的正规性，存在r 下的开集y 使 fcyc 矿cu 因为p e f ，故p y ，所以k = y 则 f cyc 圪cu 对于点p ，u 是点p 在拓扑f 下的开邻域故存在p 的邻域基中的元圪+ 。u q + 。使 p 圪+ iu c ：+ lck + luc ：+ icku c ：cu 注意到v 七n ，( k ) ，= 圪u p ) 及( g ) ，= g 有 = ( k + ) ，u ( c ；+ i ) ，= ( k + iu p ) ) u c ：“= 圪+ iuc 七 令w = 圪+ iuq + i ，w f 且满足p wc 形c u 综合上述，我们有 f cy u w c ( y u ) ，= lu 彬c u 令g = 矿u ，则g = ( y p ) u w ，注意到矿、 讲是拓扑t 下的开集，易证它也是拓扑 f 下的开集，而w r ，所以g 是f 下的开集，于是 f c g c g fc u 以上证明了r 是j 上严格弱于丁的第一可数瓦正规拓扑，与丁的极小性矛盾， 从而 4 ) 。收敛于点p 充分性：设r 是x 上另一个第一可数、正、正规拓扑，且rct ，我们证明f = t ， 即r 是x 上第一可数j 下规极小拓扑 设j x ，c f ( 石) 与g ( 工) 分别表示点x 在r 下和r - f 蛳f 数开邻域基，则c f ( 工) 是 ( x ，丁) 中的可数开滤子基由拓扑r 的五分离性及rct ，知z 是c ( 工) 在丁下的唯一 聚点由题设c r ( 工) 在r 下收敛于工即对任意u g ( 工) ，总存在v c ( x ) ，使 8 第二章第一可数互正规一闭空问等价性 矿c u ，即拓扑r 下点工的邻域都是点石在拓扑r 下的邻域从而c f ( 曲与q ( 石) 等价， f = i 定理2 2 4x 是第一可数正规一闭空间的充分必要条件是x 为第一可数正规极 小空间 证明必要性：设x 是第一可数正规一闭空间反证，若x 不是第一可数正规极 小空间由定理2 2 2 ，x 中有一可数开滤子基b = 4 ) 。有唯一聚点p ，但不收敛 于p 不失一般性，仍设4 i3 4 令c ( 力= g ) 舵是点p 的一个单凋下降的可数开 邻域基，且瓦cg ，v n 因b 不收敛于p ，故有c ( p ) 中的元，不妨设q 不包含 任何4 任取4 | c ic4 虿，由x 的正规性，v n n ，存在可数开集族 饼) 删，使 毛饼+ 一c 酽c 饼c 虿c4 巧 v 七 ) t 寸v k n ，令k = 豆磁c4 虿，则可数开集族 圪 。是非空开集下降序列且 n 瓦c n 石= p 另一方面，因有点p 的邻域c 2 使c 2n 圪= 妒，故n ，圪= f 2 j ，这 k e 量e 矗e 说明x 中有可数开滤子基 k 拈无聚点，故x 是非弱紧空间由定理2 2 1 ，x 不是 第一可数正规一闭空间，与假设矛盾 充分性：设彳是第一可数正规极小空间反证，若x 不是第一可数正规一闭空间 由定理2 2 1 ，x 是非弱紧空间，故存在x 的可数开滤子基 4 l 。无聚点，即 n n e n 石= 矽设4 | 34 l + - 任取p x ，设 e ) 。是p 的一个单凋下降的可数开邻域 基，则b = 4 ，u c ：一n ) 为可数开滤子基 n ( 以u c ) = n ( 4u e ) = ( 0 。4 ) u ( q g ) = p n e n跨e neh绳n 即p 是b 的唯一聚点，由定理2 2 2 ，b 收敛于p 因为na = 妒，故存在某个以n ， 打e ，v 使en4 = 矽另一方面，b 收敛于p ，故存在某个j | n ，k 刀，使g34u q ，从 而4 = 4n g c4 n e = 这与4 非空矛盾，所以x 是第一可数j 下规一闭空间 综合以上讨论，得到下面的 9 内蒙古师范大学硕士学位论文 定理2 2 5 设x 是第一可数正规空间，则下列各条等价： ( 1 ) x 是第一可数正规一闭空间： ( 2 ) x 为第一可数正规极大空间： ( 3 ) x 为第一可数正规极小空间： ( 4 ) x 中每一个有唯一聚点p 的可数开滤子基必收敛于p ； ( 5 ) x 是弱紧空间 i o 第三章l - f u z z y 拓扑空间的几乎超紧性 第三章一 冽拓扑空间的几乎超紧性 本章利用相关远域族及几乎相关远域族的概念介绍了一种几乎超紧性，讨论了它 与超紧性、近似超紧性以及几乎良紧性之间的关系，给出了其网式和滤子式刻画，并 证明了它具有开闭遗传、有限可和等性质 3 1 预备知识 本章中，设三是具有逆序对合7 的完全分配格，m ( l ) 表示三中全部分子之集 设x 是非空集合，x 上的一集全体记作，即= aia 是x 到l 的映射) 用0 r , hi j 分别表示的最大元与最小元( ，万) 表示l f 拓扑空间，万表示全体开集之 族，万7 = r ：a 艿) ，7 ( 屯) 表示分子而的一切闭远域之集对任意口，( 口) 是 口的标准极小集2 巾表示集族所有有限子族之集 定义3 1 1 9 1设( ，万) 是胆拓扑空间，a ，c 万，口m ( l ) 如果对 a 中的每个高为口的分子屹，有尸使p 刁( ) ，则称为彳的口一远域族如果 3 r 他) ，使为a 的，一远域族，则称m 为a 的口一一远域族 定义3 1 2 1设( ，万) 是 拓扑空间，a ，c ，口m ( l ) 如果对 a 中的每个高为a 的分子矗( 即，彳) ，有尸使p 叩( 矗) ，则称。为a 的几乎 口一远域族如果3 r 位) ，使为a 的几乎，一远域族，则称巾为a 的几乎口一一远 域族 定义3 1 3 i i l l 设( ，万) 是 拓扑空间，尸万，m ( ) ，x x 若 p ，7 ( ) ，则称偶对( p 厂) 为工的相关远域设a r ，口m ( 三) ， = ( p ，；) ：f ，) 万肘( ) 若垤4 口l = 抄x ：彳( y ) 口) ，3 i i ，使得( 号，) 是 z 的相关远域，则称巾为a 的口一相关远域族若3 r ( 口) ，使为彳的，一相关远域 内蒙古师范大学硕士学位论文 族，则称为爿的口一一相关远域族 定义3 1 4 1 设( ，万) 是凹拓扑空间，a ，若彳的任意口一远域族都有 有限子族构成么的几乎口一一远域族，则称a 为( ，艿) 中的几乎良紧集若a = i j ，称 ( ，万) 为几乎良紧空间 定义3 1 5 1 1 1设( ，8 ) 是胆拓扑空间，a ，若彳的任意口一相关远域族 都有有限子族构成彳的口一一相关远域族，则称a 为( r ，万) 中的超紧集若彳= 1 j ，称 ( ，艿) 为超紧空间 定义3 1 6 吲设( ，万) 是凹拓扑空间，若分明拓扑空间( x ，屯( 万) ) 是紧空间， 则称( ，为超紧空间其中 气( 万) = 4 ，) ：，l ，a 万) ，4 ，) = 工x ：彳( 工) 苤，) 由文【1 l 】知定义3 1 5 与定义3 1 6 中所定义的超紧空间是等价的 定义3 1 7 9 设( r ，万) 是胆拓扑空间，s = 爷( 以) ：刀d ) 是中的分子网以 y ( s 伽) ) 表示分子s ( 刀) 的高度，设口m ( ) ，如果对任一，似) ，3 n o d ，当n n o 时y ( s ( 刀) ) ，则称分子网s 为口一网 定义3 1 8 n 7 1 称巾= ( 卑，；) ：f ，) 为正则闭相关远域族，若是相关远域族， 且v f i 满足只= 节，即卑为正则闭集 定义3 1 9 1 设( ，万) 是凹拓扑空间，a r ，如果v 口m ( ) ，a 的任意 口一正则闭相关远域族都有有限子族构成a 的口一一正则闭相关远域族，则称a 是近似 超紧集若a = l j ，称( ，万) 是近似超紧空间 定义3 1 1 0 设( ，万) 是 拓扑空间，若对每个a 8 ，都有a 一万( 等价地， v a 万，有a o ) ，则称( ，万) 为极不连通空间 定义3 1 11 设( ，万) 是订拓扑空问，a ，口肘( ) ，集族 1 2 第三章l - f u z z y 拓扑空间的几乎超紧性 = ( 口，) ：f ，) g 万7 xm ( l ) 若协4 小3 i i ，使得名耳，则称为a 的几乎 口一相关远域族若3 r 位) ，使为a 的几乎，一相关远域族，则称为彳的几乎 口一一相关远域族 3 2 职拓扑空间的几乎超紧性及其性质 定义3 2 1 设( ，万) 是腰拓扑空间，a ，若a 的任意口一相关远域族都有 有限子族构成彳的几乎口一一相关远域族，则称彳为( l x ，万) 中的几乎超紧集若彳= 1 x ， 称( ，回为几乎超紧空间 定理3 2 1 设( ，万) 是凹拓扑空间，a l x ，若a 是超紧集，则彳是几乎超紧 证明 设= ，使得( 只，) 是x 的相关远域，霉，7 ( ) 则苤曰，也就 苤彳因此t = ( 墨，；) ：i = 1 ，2 以) 也是a 的几乎口一一相关远域族，故彳是几乎超 紧集 定理3 2 2 设( ，万) 是盯拓扑空间，a ，若a 是近似超紧集，则a 是几乎 超紧集 证明 设= ( 只，) ：i ，) 为a 的口一相关远域族，则西= ( r ，；) ：f ，) 是a 的 口一正则闭相关远域族，由a 是近似超紧集，存在的有限子族 哮= ( 耳一，) ：f = l ，2 刀) 是a 的口一一正则闭相关远域族，即j 厂位) ，对 协4 ，】，3 i l ，2 刀) ，使得( 彳一，；) 是z 的相关远域，彳7 ( ) 即芷r ，由于 耳5r ，所以彳因此甲= ( p ，) ：f = 1 ，2 刀) 是a 的几乎口一一相关远域族，故 a 是几乎超紧集定理3 2 3 i 1 7 】设( ，万) 是 拓扑空问，a l x ，若a 是超紧集， 内蒙古师范大学硕士学位论文 则彳是近似超紧集 由此可见，超紧性j 近似超紧性j 几乎超紧性 定理3 2 4 设( ，回是 极不连通拓扑空间，a l x ，若彳是几乎超紧集，则 彳是近似超紧集 证明 设是a 的任意口一正则闭相关远域族( 口m ( l ) ) ，则中是彳的口一相 关远域族由于彳是几乎超紧集，所以存在的有限子族甲= ( 只，) ：f = 1 , 2 疗) 是彳 的几乎口一一相关远域族，且只= 鼻“即3 r 位) ，