（应用数学专业论文）n阶时滞微分方程的正解.pdf

摘要 本文考虑n 阶时滞微分系统的非线性特征值问题以及相应的s e m i p o s i t o n e 问 题正解的存在性文章的主要定理推广了以往文献的一些结果文章的第二节，首先 给出了预备知识和几个预备定理，尤其是对n 阶边界值问题的格林函数进行了仔细 研究，给出了有关格林函数的两个重要不等式，这两个不等式在正解存在性问题中 起了至关重要的作用第三节的第一部分讨论了一般的非线性特征值问题，不仅给 出了正解的存在性条件，同时对多个正解的情况进行了深入研究本节的第二部分 将非线性项的要求减弱为正则的情况，即并不要求非线性项为非负的s e m i p o s i t o n e 问题证明的工具主要是应用了著名的g u 0 _ k r a s n o s e l s 不动点定理 关键词：正解；非线性n 阶时滞微分系统；锥不动点定理；边界值问题；s e n l i p o s i t o n e 问题； a b 8 t r a t a b s t r a t i nt h i 8p a p e r ，r ea r ec o n c e r n e dw i t ht h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n sf o rt h e n o n l i n e a re i g e n v “u ep r o b l e ma n dt h es u p e r l i n e 8 rs e m i p o s i t o n ep r o b l e mo f 出en t h t o r d e rd e l a yd i 圩e r 斟1 t i a ls y s t 锄s t h em a i nr e s u l t sj nt h j sp a p e rg e n e r a 】i z es o m e o ft h ee ) i s t i n gr e s u l t si nt h el i t e r 眦u r e i n8 e c t i o n2 ，w eg i v es o m ep r e l i m i n a r y k n o w l e d g ea j d nt h e o r e m sf i r s t l 弘 i np a r t i c u l a r ，、ec a r e f u l l yd os o m er e s e a r c ho n t h eg r e e n sf h n c t i o nf o rt h en t ho r d e rb o u n d a r y 、强h l ep r o b e l ma n dp r e s e n tt w o i n e q u a l i t i e sw h i c ha r ev e r yi m p o r t a n tf o rt h ep r o o fo ft h ee x i s t e n c er e s i l i t si a 七e r ，工n t h e6 r s tp a r to fs e c t i o n3 ，o r d i n a r yn o n l i n e a re i g e n v a h l ep r o b l e mi sd i s c u s s e d b o t h t h ee x i s t e n c ea n dt h em u l t i p l i c i t yo ft h e p o s i t i v es o l u t i o n sa r ep r e s e i 址e d i nt h e s e c o n dp a r to ft h i 8s e c t i o n ，t h en o n l i n e a rt e r mh a s n ct ob en o l l _ 1 1 e g e t i v e t h a ti s ， w ec o n s i d e rt h ee ( i s t e n c eo fp o s i t i v es 0 1 u t i o n sw i t hgr e g u l a r ，w h i c hi sn a m e da s s e m j p o s i t o i l ep r o b l e m o u rp r o o f sa r eb a 吕e d 。nc h ew e l l k n o w ng u 0 - k r a s n o s e l s k i i 6 x e d d o i n tt h e o r e m k e yw b r d s ：p o s i t i v es o l u t i o n s ：n o n 】i n e a rn t h o r d e rd e l a yd i 骱r 。n t i a is y s t e m s c o n e 矗x e d - p o i n tt h e o r e m ；b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ；s e m i p o s i t o n ep r o b l e m ； 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成 果据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或 撰写过的研究成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明 确说明并表示谢意 作者签名：路条k 踅 日期： d ， 心 学位论文使用授权声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学 位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版有权将学位论 文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅有权将学位论文 的内容编入有关数据库进行检索有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的 学位论文在解密后适用本规定 学位论文作者签名：路欲走 日期： “上、对 导师签名 日期 第一节引言 在过去的2 0 年，微分方程，差分方程以及泛函方程的边界值问题曾引起了 大家的广泛关注，这方面的论文可参考 5 ，8 ，1 6 ，1 8 ，2 0 - 2 3 】大家众所周知的g u o k r a s n o s e l s l c i i 的锥不动点定理和l e g g e t t e - w i l l i a m s 的不动点定理在这类问题的研 究中起着非常重要的作用 近来，有一些新的不动点定理被用来讨论这些问题的解的存在性及多解性 例如，a v e r y 的5 个泛函的不动点定理 1 ，3 】，a v e r y 与a 1 1 d e r s o n 【2 】的泛函性的 锥压缩扩张不动点定理，a v e r y 与h e n d e r s o n 【4 】的双不动点定理以及a v e r y 与 p e t e r s o n 6 】对l e g g e t t e w i l l i a i n s 不动点定理的一般化等所有这些定理都可以看 作是l e g g e t t e - w i l l i a m s 的不动点定理和g u o k r a s n o s e l s l ( i i 的锥不动点定理的推 此外，对三解问题，但并非全是正解的情况，可参考文献 7 1 l ，1 7 ，2 4 】文献 1 7 采用的是上下节的方法，而f 7 ，l l ，2 4 1 利用的则是现代变分理论中有关临界点问题的 极小方法 本文主要研究下列n 阶时滞微分系统： 。，( 亡) + a 1 9 1 ( ，茁l o n ) ，z 2 ( t n ) ，- 一z 。0 7 h ) ) = o ， z ，( ) + a 2 9 2 ( ，。1 0 一n ) ，z 2 ( t 一见) ，z 。o 一) ) = o ， ；( 1 1 ) 。紫( ) + a 。9 。( t ，z l ( t n ) ，z 2 ( t 一免) ，一，z 。( 一) ) = o ， 0 t l ，t o ， = 1 ，2 ，n ， 满足边界值条件： 臻? 喇胚呦咄，。，。， 。， 【( 1 ) = o ，一t t o ，o 七n 一2 ， = l ，2 一，n ， 、 的正解 系统( 1 1 ) - ( 1 2 ) 是单个n 阶时滞微分方程边界值问题的一般化 “( “( t ) + a 9 ( t ，u ( t n ) ) = o ，o l ，n o ， “( ( t ) = o ，一nst 茎o ，0 七礼一2 ， u ( 1 ) = o ( 1 3 ) ( 1 4 】 对于a = l ，丁1 = o 的情况，( 1 3 ) 一( 1 4 ) 即为n 阶常微分方程的边界值问题在 文献 1 5 】中，p w e l o e 和j h e n d e r s o n 研究了非线性m 一1 ，n ) 共轭边界值问 题 “( ”( t ) + 口( t ) ，( “) = 0 ， 0 t l u ( 。1 ( o ) = o ， o 南n 一2 ， “( 1 ) = 0 ， 其中a ( t ) 是连续函数作者利用锥压缩、扩张不动点定理给出了上述问题非负解的 存在j 生结果关键条件是，满足超线性条件，即： 1 i i n 塑：o ，1 i m 型：。 z 一0 zz 或者，是次线性的，亦； l i m 型：o 。 o oz l i m 塑：o 2 0 0 3 年，m cz h a n g 和zlw e i 【2 6 对同一问题进行了再一次的研究他们不 仅得到了非负鳃的存在性并且进一步给出了至少存在2 个非负解的条件，即，满 足条件： os l i ms u p 丛生 o 。且o l i m i n f 4 生o o ， 2 0 + z 一 或者 o l i m s u p 型 。o 且o l i m i 塑o 。 mz o u 4 特别地，对于二阶时滞微分方程( 1 3 ) 一( 1 4 ) 描述了许多应用数学学科中的现 象诸如，非线性源引起的非线性扩散问题，气体的热燃烧以及化学和生物科学中 的浓缩问题在这些问题中，对正解的研究是有意义的，可参见文献 1 4 ，1 9 ，25 d y b a i 和y ，t x u 在文献【9 1 中给出了充分性条件以保证当a 在某个区间上取值 时下述边界值问题的正解存在： u ，7 ( 幻+ a 9 ( t ，粗0 一n ) ) = 0 ，o t l ，n o ， u “) = o ，一q t 0 ，o 七n 一2 ， t ( 1 】= 0 ( 1 5 ) ( 1 ，6 ) 此外，他们对n = 2 的s e m i p 0 8 i t o n e 问题也做了研究读者可以注意到所有这些 工作都是基于格林函数g ( f ，s ) 的相关不等式： m i n ( ，1 一t ) s ( 1 一s ) g ( ，s ) s ( 1 一s ) ，( t ，s ) ( o ，l 】 o ，1 】，( 1 7 ) 及 其中 黜独蚓一p g “，s ) = f ( 1 一) s ，o 墨ss 1 、7 lt ( 1 一s ) ，o s 兰l 同时，作者在文献【1 0 】中更进一步的对下列系统进行了研究： z ”( ) + n ，( t ，。( 一丁1 ) ，可( 一印) ) = 0 ， ”( ) + d 夕( ，z ( 一1 ) ，可 一n ) ) = o ，o o 其中，z ( f ) ，9 ( t ) 满足边界值条件： z 0 ) = 0 ，一n 0 ， 管i ) = o 一丁2s tso ， z ( 1 ) = f ( 1 ) = o ( 1 8 ) f 19 1 f 1 1 0 1 【l9 ) - ( 1 1 0 ) 可看作是对( 1 5 ) 一( 16 ) 的推广 在前面工作的启发下，论文第二节给出了有关n 阶边界值问题格林函数的类似 不等式这些结果的证明思路来源于e l o ep w 和h e n d e r s o nj 的文献f 1 5 1 这些 不等式对系统( 1 1 ) ( 1 2 ) 正解的存在性问题起了非常重要的作用根据得到的不等 式，在论文的第三节，我们定义了锥上的正算子同时，将边界值问题( 1 1 ) 一( 1 2 ) 归结 为正算子的不动点问题文章不仅给出了正解的存在性定理，同时也给出了保证多个 正解存在的条件在第本节的第二部分，我们讨论( 1 1 ) ( 1 2 ) 的s e m i p o s i t o n e 问题 在这部分，要求吼( = 1 ，2 ，n ) 是正则的也就是说，玑( t ，0 1 ，o ”一，z 。) “= l ，2 ，一，n ) 并不需要是非负的 下面给出本文的主要工具g u 0 - k r a s n o s e l 8 l ( i i 不动点定理 1 6 定理a 设e 为巴拿赫空间，kce 是锥若n l ，q 2 是e 中的两个开筒盘，满足 雨cn 2 ，并且r ：n ( 蕴i q 1 ) 一耳是全连续算子。满足下边两个条件之一： ( i ) l l7 l l l l “ t k n a q l ，且i l t “| f f _ ，t n a q 2 ；或者 ( i i ) i 丁k | i | 扎i i ，“耳n a n l ，且i it ul l l | ul i ，就耳n 0 0 2 那么，丁在区域n ( 面n 1 ) 中有一个不动点 3 第二节预备知识 在这一节，我们将给出几个预奋定理，他们在后面一节定理的证明过程中起非 常重要的作用由于这几个定理都基于最大值定理，下面首先给出最大值定理 定理b 【1 5 】设n 2 ， e ( “【，6 】满足 ( “( t ) o ， 口，6 】，以及 。( n ) o 、0 七n 一2 ，f 2 1 1 矗( o ( 2 2 ) 则 ( t ) o ，k ，翻更进一步，若在 o ，6 j 的任意非平凡的紧予区间上有f l ( n ( f ) o ， f 6 定理2 1 设n 芝2 且 e o ，l 】满足 “( ) o ，t o 1 卜 a ( ( 0 ) 20 ，0 七n 一2 ， 危( 1 ) 0 那么 ( ) | | 0m i n 1 一，t “一1 ) ，t o ，1 其中，l l = s u p 0 f 1 11 ( ) 1 证明：首先，讨论 ( ”( t ) 0 ，01 ts1 的情况这时有两种可能 ( 童) l l 厅l l = m a x ( o ) ， ( 1 ) ) 对这种情况，假设lj | | = ( 1 ) ，考虑函数 酢) _ 董掣“一 其中c 满足条件 ( 1 ) 一萎笃一。：o 由定理b 知， 吣) 三羞学“一。螂l k = 0 ( 2 3 ) 再次根椐定理b 。有 董学“矿( 1 ) r 刮圳r j o m a x h ( o ) ，h ( 1 ) ) 设1 ( o 1 ) 满足l l 1 1 = h ( t 1 ) ，下面我们将说明h 至多有一个局部的极值点 f l ( 0 ，1 ) 也就是说，只需用数学归纳法来证明 7 在( o ，1 ) 上至多有一个零点即 可确切地说，对j = n l ，1 ，有下列性质成立 性质( 日1 ： ( o ) u ( ) 0 ，0 t 1 ，或者 ( 6 ) ( ) 有且只有一个根白( o ，1 ) ，当o o i 当如 f 1 时，有 ( j ) ( t ) o 注2 1 j 在( o ，1 ) 上 o ( t ) o 的情况不可能发生否则，则由 ( ( ) o ，o 女j 推得h l i = ( 1 ) 注2 - 2 j 若性质日( 6 ) 成立并且存在略+ 1 ( 0 ，1 ) 使得 o + 1 ( + 1 ) = o ，则根据 性质( 日) 的证明过程得+ l ， 为了说明性质( 灯) 对j = n 一1 成立，注意到 ( n ( t ) 0 ，0 t 1 ，所以 m - 1 ( t ) 在( o ，1 ) 上是严格递减的由注2 1 ，性质( 日) 对f = n 一1 成立现在假设性 质( h ) 对j = + 1 时成立，其中i 1 ，2 ，n 一2 如若 ( i + 1 ( t ) o ，o t o ，o t f 。+ 1 ； “+ 1 0 ) o ，t i + l 1 这时， ( t ) 在( 0 ，t l + 1 ) 上是严格增加的，而在( t i + l ，1 ) 上是严格递减的由于 ( 1 ( 0 ) 20 ，性质 ( 日) ( 6 ) 对j = f 成立同时，有t 0 ，定义 根据以上结果得 ( e ，t ) = ( t ) + f 一1 ( 1 一) ( f ) f ( e ) | m i i l 1 一t 7 1 由 ( f ) 对f 的连续性，该不等式对t = 0 成立，即 ( ) l f | | m i n 1 一，扩一1 ， 定理得证口 定理2 2 【1 5 】设n 22 ，危e ( “【o ，l 】满足 那么 危( “( t ) s0 ，t o ，1 】， ( ( o ) 0 ，0s 七礼一2 ( 1 ) 0 忡) 2 嬲 三 f o 对v o s 1 ，令r ( s ) 【o ，1 1 满足 g ( 下( s ) ，s ) = s u pg ( t ，s ) 0 f l ( 2 6 ) f 2 7 ) 定理2 3 g ( t ，s ) g ( t ( s ) ，s ) m i n l 一，”1 ) ， oi 】( 28 ) 证明；对任意固定的5 ，注意到g ( f ，s ) c ( “一2 ( 【o ，1 1 o ，1 1 ) ，贮；掣在三角 形域 s 及s 上是连续的同时，作为关于的函数，g ( ，s ) 满足边界值条件 ( 12 ) 由罗尔定理知存在o 。一2 - 一 1 l 满足掣= o ，lsj 茎n 一2 此外，g 在 s ，或s o ， m n 一1 + 未g ( 1 ，s ) o 因此，根据罗尔定理有s t 。一2 否则。在三角影域t s 上g 作为t 的函数是一 个n l 阶的多项式，它的前n 1 次导数都至少有一个零点这与g 不恒为零的 事实相矛盾 与定理2 1 的证明类似，我们尤其感兴趣的是； s 1 ，= 1 ，2 ，满足蚤去21 记 l ，2 ，一，m 那么，容易看出 z 。) ( t ) = 了、( z l ，z 2 ，。) ( t ) 啊= m a x ( n ，仁l ，2 一、n ，= m i n n ，仁l ，2 ，n 对j = 1 ，2 ，一，n ，令 白2 瓦i 嘉磊 直”一l 。 届s u p - 髓嚣g ( t ，s ) q ( s ) 山 拒仉1 1 4 d j l 4 “一1 仔。，磨g ( 铀) ( s ) d s g 。2 丁旷万未丽 岛：i 万而未丽 定理3 1 1 假设下列条件成立： ( 日1 ) o 伽 ； ( f 如) 缈( ，z i ，。2 ，) = ( ) 五( t ，? l ，。2 ，z 。) ，咛：( o ，1 ) 【o ，o 。) 连续，丙且厶 o ，1 】 o ，o 。) 【o ，o 。) ，j = l ，2 ，n 连续； ( 上屯) 片q ( 5 ) 山 。，o 詹g ( r ( s ) ，s ) q ( s ) d s o 使得l l0 。，z k 。) l l a ，v k n 由于正在 o ，1 1 o ，肘 上连续，从而一致连续故，v e o ，存在6 o 若i ( 肛l ，肛2 ，胁) 一 ( i ，h ) j o ，存在 ，使得当 时，有0 ( 。扎协，z k 。) 一( z 0 1 ，z 0 2 ，z ) l i o 使得0 ( l ，勋，z 。) 1 1 sm l ，v ( z l ，勋，。) b 由于 在 o ，1 【o ，m 】上连续，故存在e o ，使得l ( t ，z 1 ，z 2 ，。) l g ，对 【o ，1 】，| | ( z 1 ，z 2 ，。) 0 茎 西成立从而。对v ( z 1 ，z 2 ，z 。) b ，t o ，l 】， “0 n 0 叭 h ) s 似 q 。g 0 o 若 l 一2i d 则ig ( 1 ，s ) 一g ( 如s ) l f ，v 5 【o ，l l 所以，如果 ( 0 1 ，。2 ，z 。) b ，贝0 j 正( z l ，z 2 ，? 。) ( t 1 ) 一正( z 1 ，z 2 ，- ，上。) ( 2 ) l = 协z 1 ( g ( t i ，s ) 一g ( f 2 ，s ) ) “蚍( s ) 州s1 ) ，矧s 一砒 虬z 1 l g ，旷g 池，s ) | 酬，州s 一1 ) ，以s 一忍) 虬。t 卜a s 由e 的任意性，正( 8 ) 等度连续，由a r z e l a a s c o l i 定理知正，。= 1 ，2 ，n 为全 连续算子 现在借助定理a 来证明丁在中存在不动点 由( 3 1 ) ，对w = 1 ，2 ，n 存在勺( o ，尼) 满足 4 ”一l ( 届一勺) | 。黜1 麝g ( t ，s ) n j ( s ) 山 t 【o ，” 1 f t 三一一。一巧( 扫十勺) 上二g ( r 0 ) ，s ) q ( s ) d s 已知疗 o 使得， ) s ( # + q ) ( 3 3 ) 取n l = ( z 1 ，。2 ，- 一，a ) e ：| i ( l ，z 2 ，一，。) | | r 1 ) ，则对( z 1 ，z 2 ，z 。) 弛有 ( 时 r 一 工 。：i 一 o 当 k n a n l ，根据( 3 2 ) 一( 3 3 ) ，有 | | 扛“勋，。，) 峪- z g ( r ( s ) 1s ) n 小) 胁，乱( 卜7 1 ) r l 由此，得 a j sa j o 使得，若o z 。sr 2 t = 1 ) ( ，3 一勺) j = l ，2 ，n ( 3 7 ) = i 令n l = “茁1 ，z 2 ，- ，z 。) e ：| | ( z l ，z 2 ，z 。) | | 一 记五( s ，u ) = 哿a x 矗( s ，。，z “一，。) ，则五。伊，对j = l ，2 ，n ，并 0 5 三。t 如 且存在亿 r 2 使得，当u 凰时，我们有 五( s ，u ) ( 五o 。+ 勺) u ( ，尹+ q ) u ，j = r ，2 ， ，n ( 3 8 ) 令q 2 = ( ( z 1 ，。2 ，一一，z 。) e ：| | ( z 1 ，z 2 ，z 。) j | o ，尼 o 成立 那么。当 a 。) ( m a ) c ， 业3 ) ( 39 ) j = l 时，边界值问题( 1 1 ) 一( 1 2 ) 至少存在两个正解 当 ( l ，a 2 a 。2 )( 3 1 0 ) 时，边界值问题( 1 1 ) 一( 1 2 ) 至少存在一个正解 证明：当a ， l ，= l ，2 ，n 时，存在q l ( o ，矧) 使得 啦瓦丽氟 1 1 ) 当 j 2 ，= 1 ，2 ，n 时，存在j 2 ( o ，咒) 使得 啦瓦巧蒜。 ( 3 1 2 ) n 由矗的定义，存在o r o ，存在矗 l 使得，若8 詹，则 1 = l 矗( s ，z 1 ，z 2 ，) ( 尼一e j 2 ) 缸 t = l 取r = 4 ”1 五，并令n 2 = ( 。l ，。2 ，) e ：i l ( z 1 ，z 2 ，z 。) 1 】 a j 2 ，= 1 ，2 ，n 时，有 2 悄| | j = 1 = | | ( z 1 ，z 2 ，t t ，z 。) 1 i ，v ( 茁1 ，z 2 ，。) k n a q 2 令n 3 = ( z l ，z 2 ，- ，z 。) e ：i l ( z 1 ，z 2 ，- ，z 。) | | 1 ，贝0 对( z 1 ，。2 ，- - ，。) k n a 以及a j 3 ，w = 1 ，2 ，n ，有 0a ( 。1 ，z 2 ，) j i = s u p g ( t ，s ) q ( s ) 办( s ，。- ( s 蛭【o 1 】j 0 坞z 1 g ( 小如) 啪) d s l p 由此推得，当a ， a j 3 ，= l ，2 ，一，n 时，有 i it ( 而) lj = i l 如( “，z 。) i i j = l n ) ，z 2 ( s 一死) ，一，z 。( s 一) ) d 5 ( 3 1 5 1 n z 2 oza 斛。 | n zzr nank j zzzv n zoz 一功 。州k = | i 因此，当( a l ，a 2 ，a 。) 兀( m a x l ，2 ) ，a 妒) 时，边界值问题( 1 1 ) 一( 1 2 ) j = 1 至少存在两个正解( z ，z 2 ，z 。) 和( z i ，z ：，一，z ：) 满足r f i ( z l ，z 2 ，。) l i n 1 i i ( z j ，。：，z ：) 临r 当( a 1 ，a 2 ，h ) 兀( m i n 饥1 ，a ，2 ) ，m “执1 ，1 j 2 ) j = l 时，边界值问题( 1 1 ) 一( 1 2 ) 至少存在一个正解( z i ，。2 ，z 。) 满足1 o ，对v 亡 o ，1 1 ，o 文s1 ，z ， 0 ，j i ，j = 1 ，2 ，碱立； ( 磁) 存在o q 卢 1 满足口+ p + 卢+ m 0 ，e = l ，2 ，n ，边界值问题( 1 1 ) 一( 1 2 ) 至少存在一个 正解 证明定理3 2 之前，我们先给出以下引理 引理3 2 1 设口为边界值问题 一札( “) ( ) = 1 ，0 t l ， u ( ) ( t ) = 0 ，一丁1 t 0 ，0 七礼一2 ， 杜( 1 ) = o 的解，则( t ) 口( t ) ，t o ，1 ，其中口( ) = m i n ( 护，1 一 事实上，对 o ，1 ，口( ) = 詹g ( ，s ) d 8 = 嘉扩( 1 一) 茎q ( ) 且l i 口| | 【o _ 1 = 志( 警) ”1 这是因为 口f 1 上一r 1 一n 刀一j柙一j i j 、- - - - - - 、，- _ - - - 一 n l 令磊( t ，z l ，z 2 ，。) = 吼( t ，z l ，z 2 ，z 。) + ，岫( t ) = 九口( t ) ，则容易看 出有下列引理成立 引理3 2 2 ( 。i ，。2 ，) 是边界值问题( 1 1 ) 一( 1 2 ) 的正解当且仅当( 矾，磊，磊) = ( z 1 + u l ，z 2 + u 2 ，。+ ) 是下列系统： z ，1 ( ) + a 1 亟( t ，z l ( 一丁1 ) 一u 1 “一n ) ，一，( 一h ) 一u 。( 亡一h ) ) = o z o ) + a 2 蠡( t ，l ( 一丁1 ) 一u 1 0 一n ) ，茁。( 一) 一u 。0 一矗) ) = o 。乎( t ) + a 。蟊( t ，z l ( t n ) 一u 1 ( t n ) ，z 。( 亡一h ) 一( t 一) ) = o 0 ，l = l ，2 ，r ，n 定理3 2 的证明：设( a l ， 2 ，一， 。) 满足 ， - ， 其中j = m i n q ( t ) ，o t 卢) 由( 鹾) ，存在厶 0 使得 亟( t ，王1 ，z 2 ，一，t 。) 府孔，v 墨l 。，o ，t f n ，捌，j z ，z = 1 ，2 ，一，n 取 r = 1 + ；器，。 2 m 孚) ， 并令q 2 = ( z l ，z 2 ，z 。) e ：| | ( z l ，z 2 ，z 。) i 1 厶，t b ，纠 一而从 u l i i l， 一叮如哟 乱 忙叫屿 f 一 啪 禹卜 q 塞 t 0 = 有 c ； h 令 若n n 9 一 l | | ，j z 现 0 a ；口( t ) 凡罚( t ) = u ；( ) ，( o ，1 ) 对v 1 jsnj t ，有下面两种情况： ( t ) 1 1 易i j 1 和) j j 焉临l 情况( i ) ：由于l l 南| | l ，我们有 弓( t ) | | 弓| | q ( t ) g ( t ) g ( t ) 曰( ) = 屿( t ) ，( o ，1 ) 情况( “) ：因为j i 弓f l ，我们有 o m a x 协( s 一勺) 一屿( 。一0 ) ，o ) 弓( s 一勺) l 以及v j ，i = 1 2 ，一，礼，m a x 矗( s t ) 一咄( s t ) ，o ) o 再由( 磁) 弓( ) = a ，g ( ，s ) 岛( s ，西( s n ) 一u i ( s 一丁1 ) ，一， j 0 矗( s r ) 一( s 一丁n ) ) 山 ，【 = a j7g ( ，s ) 岛( s ，m a x f l ( s 一1 ) 一。1 ( s 一1 ) ，o ，- ， j 0 n l a x 矗( s 一7 i ) 一u 。( s 一) ，o ) ) d s = a ，g ( t ，s ) 毋( s ，m a x 西( s 一丁1 ) 一_ 1 ( s 一丁1 ) ，o ) ， ， j 0 m a x 矗( s 一n ) 一( s 一丁r 。) o ) ) d s + a j g ( s ) d s ，l j a j g ( t ，s ) 出 0 = a ，( ) 进而有易( ) 屿( t ) ，v l jsn j t 所以，对v = 1 ，2 ， - ，n ，磊( ) u ，( t ) ，t ( o ，1 ) 定理得证 口 2 4 r e f e r e n c e s ri a 、陀r 弘ag e n e r a u z a t i o no ft h el e g g e t t w m i a i n s 丘x e dp o 沁tt h e o r e m ， m a c h s c i r e sh o t l i n e2 ，9 一1 4 ，1 9 9 8 ri a v e r ya n ddr a n d e r s o n ，f i x e dp o i l l tt h e o r e mo fc o n ee x p a n s i o na n d c o m p r e s s i o no ff u n c t i o h a lt y p e ，jd i f f e q u 8 ，a p p l 8 l o 了3 1 0 8 3 ，2 0 0 2 r 1 a v e r ya n djh e n d e r s o n ，t h r e es y m m e t r i cp o s i t i v es 0 1 u t i o n sf o ra s e c o n d o r d e rb o u n d a r yv a l u ep r o