（运筹学与控制论专业论文）几何分析中的极值问题与稳定性研究.pdf

摘要 本博士论文黄先燕述了其赝壤学辩鳇发展魇程霸獗突理炊。主要懿代表入镑 以及我国数学家的工作；接着重点研究了几何分析中关于凸体的两个著褒闻题； s c h n e i d e r 投影问题和关卡迷向体的b o u r g a i n 问题；然后探讨了混合投影体极体的 极值性质和p y t h a g r o r a s 氆不等式在j o h n 基上的情形；最后考察了多个凸体或鼠体 阊静4 穗钕”度量弼越与一个单形漪“偏正”度鬃问题，并获得了几个经典几何不 莓式戆稳定洼定理。 作者取得螅主簧戗毅成粜是； ( 1 ) 对s c h n e i d e r 投影问题取得了实质性突破+ 为了研突装名的s c h n e i d e r 投影闽 题，2 0 0 1 年，e l u t w a k ，d y a n g 和张高勇在鼢中引进了关于多胞形一个薪的仿射 不变量，从而把对s c h n e i d e r 投影问题的研究转化为这个新的仿射不变照的研究而 对手一个源点对称的多稳形，袍霄j 提_ 出了一个关予这个新的仿射不变屠的猜想( 公 器越趣) ，作者辩憩公舞麓题京n = 2 ，3 瓣分裂雳豇餐方法释霪辩技巧给出了严格豹 数学证明对辩中螅博形绘如了一个遂推公式势震计算援避嚣了数馕验落麸蔼 对s c h n e i d e r 投影问题的研究取得了实质性突破( 蓑名数学家e 。l u t w a k 的评价k ( 2 ) 部分解决了b o u r g a i n 问题一个关予迷向体的被称为b o u r g a i n 问联的未被 解决的重簧问题是：是否存在通用常数c ，使得l 片 c 对任意有限维任意凸体都成 立? 貌瓣题蠢前最磐静倍计是最近由j b o u r g a i n 诞萌静二 c n l 4l o gn 作者利用 球截嚣丞数( 露喾首次弓l 遴) 懿方法，涯溪了若蜀是一个凑。貉在羰点体积为1 ，量满 足r t 嚣 ckcr 2 b ( r l l 2 ，r 2s 面2 ) 的热体，裂访1 磊sl k 茎焘，曼左逮懿 等号成立当且仅当是一个质心农原点体积为l 的椭球，蠢边的等号成立当且仅 当是一个质心在原点体积为1 的超立方体或它的正交变换象从而部分解决了 b o u r g a i n 问题 ( 踯获得了j o h n 藩上的一组p y t h & g r o r a s 獭不等式1 9 6 0 年w j f i r e y 在标准 疆交慕上建立了一终关予凸体混合体积瓣p y t h a g r o r a s 鬻不等式，俸者据这组不等 式推广到了j o h n 基上，襁到了j o h n 基上关予凸嚣敕一组p y t h a g r o r a s 霾隔镣式。 ( 4 ) 4 获得了对偶a l e k s a n d r o w f e n c h e l 不等式的一个新的豫定悛版本对藩名粒 对偶a l e k s a n d r o w - f e n c h e l 不等式，g a r d n e r 和v a s s a u o 在1 9 9 9 年建立了一个稳定性 版本，在g a r d n e r 和v a s s a n o 工作的基础上，作者引进了多个几何体( 主要是凸体和 凝俸) 豹稽锾“偏差”静度萤橇念，并利糟h b l d e r 不等式的一个加强形式获得了努 娃 一个更为简洁的稳定性版本 5 ) 获得了e u l e r 不等式与w e i t z e n b s c k 不等式的稳怒性藏本西为一个单形的 支撵函数或径向丽数的袭达式很难找到，般很雄用h a u s d o r f f 度撼或径向度量来度 爨两个孳形静“德差8 ，辩单形静梭长在确定萃彩对发挥决定性襻厢，作者辅甭梭长 弓f 进了单形“偏溉”度量的概念，从而获彳爵了关于单形的e u l e r 不等式与w e l t z e n b b c k 不等式酌稳定毪版本 荚疆诿：凸俸，蓬律，投影俸，遗囊零，透蠢常数，德会俸积，辩得混合俸积，凡 何不等式的稳定性 a b s t r a c t i l l t h i sp h + d 。d i s s e r t a t i o ns k e t c h e sf i r s t l yt h eg r o w i n gh i s t o r y , r e s e a r c h i n gs t a t u sq u o ， m a i nr e p r e s e n tf i g u r e s ，a u dw o r k so fm a t h e m a t i c i a n so fo u rc o u n t r yi nt h er e s e a r c h i n g b r a n c h ；t h ef o l l o w i n g ，i ts t u d i e se m p h a s i s l yt h et w oo p e np r o b l e m so ft h ew e l l - k n o w n s c h n e i d e r sp r o j e e t i o np r o b l e mr e g a r d i n gp r o j e c t i o nb o d i e sa n db o u r g a i n sp r o b l e mf o r i s o t r o p i cb o d i e si nt h el o c a lt h e o r yo fb a n a c hs p a c e ；t h et h i r d ，i td i s c u s s e st h ee x t r e m a l p r o p e r t i e sf o rt h ep o l a r so fm i x e dp r o j e c t i o nb o d i e sa n dc a s e so fp y t h e g r o e a ni n e q u a i y t i e s o nj o h nb a s i s ；f i n a l l y , i tc o n s i d e r e st h em e t r i co fh o m o t h e t i cd e v i a t i o no fm ( m 2 ) g e o m e t r i cb o d i e s ( s t a rb o d i e so rc o n v e xb o d i e s ) a n dt h ed e v i a t i o nm e t r i cw h i c hi sc a l l e d t h ed e v i a t i o nr e g u l a rm e t r i co fas i m p l i c e ，a n do b t a i n ss t a b i l i t yt h e o r e m so fs o m ec l a s s g e o m e t r i ci n e q u a l i t i e sf o rs i m p l i c e s t h ea u t h o rh a so b t a i n e dt h ef o l l o w i n gr e s u l t sb l a z e dn e wt r a i l s ： ( i ) ar e a lb r e a k t h r o u g hf o rs c h n e i d e r sp r o j e c t i o np r o b l e mh a sb e e ng a i n e d t o s t u d yt h ew e l l - k n o w ns c h n e i d e r sp r o j e c t i o np r o b l e m ，i n2 0 0 1 ，e l u t w a k ，d f a n ga n d g z h a n gi n t r o d u c e dan e wa f f i n ei n v a r i a n tf u n c t i o n a lf o rc o n v e xp o l y t o p e si n 渺f o r o r i g i n - s y m m e t r i cc o n v e xp o l y t o p e s ，t h e yp o s e da no p e np r o b l e mf o rt h en e wf u n c t i o n a l t h ea u t h o rg i v e na f f i r m a t i v ea n s w e r st ot h ec o n j e c t u r e ( t h eo p e np r o b l e m ) i n 瓞2a n d 酞3 ， t h ea u t h o re s t a b l i s h e dar e c u r s i o nf o r m u l af o rt h ea f f i n e - i n v a r i a n ti n 黔，t h e r e b y ar e a l b r e a k t h r o u g hf o rs c h n e i d e r sp r o j e c t i o np r o b l e mh a sb e e ng a i n e d i i ) b o u r g a i n sp r o b l e mf o ri s o t r o p i cb o d i e sh a sb e e ns o l v e dp a r t l y b o u r g a i n sp r o b l e m ，f i n d i n gt h el e a s tu p p e rb o u n do fi s o t r o p i cc o n s t a n tl ko fc o n v e xb o d i e sk ，i saw e l l k n o w no p e np r o b l e mi nt h el o c a lt h e o r yo fb a n a c hs p a c e t h eb e s te s t i m a t ek n o w ni s l k 纵l ，4l o g n ，r e c e n t l ys h o w nb yb o u r g a i n ，f o ra na r b i t r a r yc o n v e xb o d ykc 鼗“， u t i l i z i n gt h em e t h o do fs p h e r i c a ls e c t i o nf u n c t i o n ，t h ea u t h o rh a sp r o v e nt h a ti fki s 耩c o n v e xb o d yw i t hv o l u m eo n ea n dr l 三蛩ck c 如b 爹，( r l 1 2 ，您曼绣2 ) ，t h e n 瀛1s 五耳露，a n dt h ec o n d i t i o n sw i t he q u a l i t yh a v eb e e nf o u n d t h e r e b y , b o u r g a i n sp r o b l e mf o ri s o t r o p i cb o d i e sh a sb e e ns o l v e dp a r t l y ( i i i ) p y t h a g o r e a ni n e q u a l i t i e sf o rc o n v e xb o d i e so nj o h nb a s i sh a v eb e e ng a i n e d i n1 9 6 0 ，w 。j 。f i r e ye s t a b l i s h e dp y t h a g o r e a ni n e q u a l i t yf o rt h em i x e dv o l u m e so fc o n v e x b o d i e so n a n o r t h o g o n a lb a s i s t h ea u t h o re s t a b l i s h e dp y t h a g o r e a ni n e q u a l i t i e sf o rc o n v e x l v b o d i e so nj o h nb a s i s f 对) an e ws t a b i l i t yv e r s i o nf o rt h ed u a la l e k s a n d r o v - f e n c h e li n e q u a l i t yh a sb e e n e s t a b l i s h e d f o rt h ed u a la l e k s a n d r o v - f e n e h e li n e q u a l i t y , g a r d n e ra n dv a s s l l oe s t a b l i s h e d as t a b i l i t yv e r s i o ni n1 9 9 9 f o l l o w i n gt h e i rw o r k s ，t h ea u t h o ri n t r o d u c e dam e t r i cm e t h o d f o rh o m o t h e t i cd e v i a t i o no fm ，m 2 ) g e o m e t r i cb o d i e s ( s t a rb o d m so rc o n e v xb o d i e s ) ， a n de s t a b l i s h e dan e ws t a b l i t yv e r s i o nf o rt h ed u a la l e k s a n d r o v - f e n e h e li n e q u a l i t yb yt h e m e t r i cm t h o da n dar e f i n e m e n to fh s l d e r si n e q u a l i t y ( v ) s t a b i h t yt h e o r e m so fe u l e r sa n dw e i t z e n b s c k si n e q u a l i t i e sf o rs i m p l i c e sh a v e b e e no b t a i n e d 。an e wd e v i a t i o nm e t r i cw h i c hi sc a l l e dt h ed e v i a t i o nr e g u l a rm e t r i co f as i m p l i c ei si n t r o d u c e d u t i l z i n gt h ed e v i a t i o nm e t r i c t h ea u t h o re s t a b h s h e ds t a b i l i t y t h e o r e m so fe u l e r sa n dw e i t z e n b s d si n e q u a l i t i e sf o rs i m p l i c e s k e y v o r d s ：c o n v e xb o d i e s ，s t a rb o d i e s ，p r o j e c t i o nb o d i e s ，i s o t r o p i cb o d i e s ，m i x e d v o l u m e s ，d u a lm i x e dv o l u m e s ，s t a b i l i t yo fg e o m e t r i ci n e q u a l i t i e s 原创性声明 本人声明：所星交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。 除了文中特剐翔以标注和致谢静地方外，论文中不包含其稳入己发表 或撰写过的硖究成果。参与同一工作的英饱同志对本褫究所擞的任俺 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可 以公布论文的全部或部分内容。 ( 探密瓣论文在解塞后应遵守蓝惑定) 签名： 导师签名：盗毯橙日期：坦生：纩， 第一章绪论 在本章中，首先介绍本博士论文的课题来源与应用背景接着简述本论文所属 学科的发展历程和研究现状，主要的代表人物以及我醺数学家的工作在第四带阐 疆零博士论文研究翡主簧离繇及俸者所取得豹甾新成采最后说龋本博士论文的结 梅磐安撄 1 1 课题来源与应用背景 本薄圭论文选瓶来源予冷岗松教授领衔盼作者参与韵2 0 0 2 年国家自然科学基 金顼嚣( 擞准号：1 0 2 7 1 0 7 1 j “咒爨努辑孛辫壤篷麓题研究”，俸者主簧承掇其审戆 一个熏要方蘑一凸体极值稳定性阅题辑究，该燃题的研究有广泛鲍应尾赞景，毽 在国内的研究尚为空白 几何分析( g e o m e t r i ca n a l y s i s ) 是上世纪初形成，上世纪末蓬勃发展起来的一门 现代几何学科在上懂纪，它通常被称为凸几何( c o n v e xg e o m e t r y ) 或凸分析( c o n v e x a n a l y s i s ) ，主要寝焉予数学规划，傥纯阊趣等领域。近年来柱美萄，经过e l u t w a k ， d 。y a n g 葶l l 张蹇雾( g 。z h a n g ) 等人翡工佟，接褥莛经典理论在倍惠论串莪裂瘦焉 ( 见f 3 7 ，3 8 ，4 4 ，5 6 1 ) ；程美慰微软公司总部设有专门的硬究部门，我国专冬数学家象传 明教授正在此做研究工作通过r j g a r d n e r 和a v a s s a l l o 等人的工作，使得它广 泛地应用于体视学( s t e r e o l o g y ) ，机器人学中的几何探索( g e o m e t r i cp r o b i n g ) ，仿晶学 ( s r y s l a l l o g r a p h y ) 数理经济学等领域几何分析的应用分枝“几何断层学”( g e o m e t r i c t o m o g r a p l y ) 琶在疰学中豹隽孛线光棍，c t 扫趱，棱磁共派，戳及计算机模式识 墨孛褥到了很好数发是。在欢溅，l 冀j b o u r g a i n ( 1 9 9 4 年疫缘容缓奖获褥譬翁稳v d 。m i l m a n 等人的工作，使几倪分橱方法在像微分方程，概搴论筹锣i 竣褥到广泛豹 应用 1 2 学科发葳历獠与研究现状 “上帝总农做几何”( g o di sa l w a y sd o i n gg e o m e t r y , p l a t o 谣) 见鹰分凝是l 世纪下半叶萌芽，2 0 世纪初形成，2 0 世纪束蓬勃发展起来的一门现代几何学科， 它不同于微分几何，代数几何，几何拓扑等现代几何有其独特的研究对象和研究方 l 2几毽分橱中晦彀佳问题鸯稳定瞧磺竞 法粗略地讲，窗可分为下列四个方面的理论 1 ) 经典的b r u n n - m i n k o w s k i 理论 诙纛论莛潦予1 8 8 7 年嚣，b r u n n 懿论文窝王| m i n k o w s k i 并翻毪工佟戆实震帮 分，1 9 3 4 年b o n n e s e n 和f e n c h e l 的著名论著收集了当时已出版的擞要结果它作为一 个经典翡数学分支，通常谈稚秀穗凡符f c o n v e xg e o m e t r y ) ，主要是由s t e i n e r ，b r u n n ， m i n k o w s k i ，a l e x s a n d r o v ，h a d w i g e r 【7 3 1 ，p e t t y 1 1 6 ，1 1 7 ，1 1 8 ，1 1 9 ，1 2 0 】和s c h n e i d e r 1 3 2 ， 1 3 3 等著名数学家逐渐麓震超来静一个学稃+ 它的主要阿容是；等蔺同题1 1 2 5 ，1 2 6 ， 混合体积理论，袭面积测度 9 3 】，投影体理论和均质积分 5 4 】最核心的定瑷是b r u n n - m i n k o w s k i 不等式：设a 和b 燕辩中酌紧集，蒯 v ( ( 1 一a ) a 十天o ) 尝( 1 一五) y 盖) 妻+ a v 丑) 尝，v 盖筘，l j 出于它纂本的几何内涵，它被认为是b r u n n - m i n k o w s k i 瑷论的基嚣最经典的参考 带是r s c h n e i d e r 的专著( ( c o n v e xb o d i e s ：t h eb r u n n - m i n k o w s k it h e o r y ) ) ( c a m b h d g e u n i v p r e s s ，( 1 9 9 3 ) ) 和a c t h o m p s o n ，( ( m i n k o w s k ig e o m e t r y ( c a m b r i d g eu n i v p r o s ，( 1 9 9 6 ) ) b r u n n m i n k o w s k i 联论巧妙地把欧氏空间中的向量加( 通常称为m i n k o w s k i 南口) 秘体积联系起来，使碍它渗透剡各个数学领域，它是处壤类涉及侮积，表嚣获， 宽度等度匿关系濉题的有力工具上世纪中叶，l u s t e r n i k ，h a d w i n g e r ，o h m a n n ，h e n s t o e k 稻m a c b e a t h 等人建嶷b r u n n * m i n k o w s k i 不等式翡一个推广影裳及它对l e b e s g u e w 铡集等号成立的条件詹，它就进入了分析的领域，往后的二十年窀就成为了分析领 域走强豢办的工英。b r u n n - m i n k o w s k i 不簿式约积努影式紫被嚣凳p r e k o p a - l e i n d l e r 不等式一一h s l d e r 不等式的逆形式，在b r a s c a m p 和l i e b 的努力下，b r u n n - m i n k o w s k i 不等式又霹看戚撩积莛数戆y o u n g 不等式熬热强澎式懿特殊谤影；覆a l e k s e m d r o v f e n c h e l 不等式是b r u n n - m i n k o w s k i 不等式的一种最强的形式，它苟代数几何紧密联 蘩，k h o v a n s k i i 裁t e i s s i e r 疆立趣令人滚谬黻凌了a l e k s a n d r o v - f e n c h e l 不等式胃岛 代数几何中的h o d g e 指标定理相联系，b o r e l l 容积不等式也包含畿b r u n n - m i n k o w s k i 不等式之中，它被建来鬃决容器懿m i n k o w s k i 滔瑟，m i l m a n 静遵禽b r u n n m i n k o w s k i 不等式是在b a n a e h 空间局部理论中的特殊形式，g a r d n e r 和g r o n c h i 的b r u n n m i n k o w s k i 不等式戆离散彩式与涉及离散簿嚣不等式赞离散数学、组合理论和委谂 缀合理论和图论联系密切以b r u n n - m i n k o w s k i 不等式为核心，联系着一系列与之 蠢关黪傍搿等强苓等式，知p e t t y 投影不等式和z h a n g 的仿射s o b o l e v 不等式与l p 田射s o b o l e v 不等式( 见( 1 5 4 ，1 5 5 1 ) b r u n n - m i n k o w s k i 不簿式在球面、双热空闻、 2 0 0 4 上海大学博士学位论文 3 m i n k o w s k i 空间、g u a s s 空间等均有不同的形式 经典理论的第一位代表人物燕h e r m a n nm i n k o w s k i ( 1 8 4 6 - 1 9 0 9 ) ，出生予立陶宛 ( l i t h u a n i a ) ，后来在掰尼斯堡( k o n i s b e r g ) 接受教育，他的主要贡献是在b r u n n 的基 础上， 垂臻了b r u n n - m i n k o w s k i 不簿式释被称为m i n k o w s k i 存在定理的凸体构造住 定理， 经典理论匏第2 位代表人毖是俄罗斯数学家a l e k s a n d e rd a n i l o v i c ha l e k s a n d r o v ， 他对经典理论的主要贡献是建立了a l e k s a n d r o v - f e n c h e l 不等式和找到了一釉研究椭 圆型偏微分方程新的几何方法 1 此外还有h b u s e m a n n 3 0 ，3 3 ，3 4 ，3 5 ，3 6 】，w f e n c h e l ，b j e s s e n ，h l w y , 等等 ( 2 ) 对偶b r u n n - m i n k o w s k i 理论 1 9 7 5 年e l u t w a k 建立了对偶的t h eb r u n n - m i n k o w s k i 理论，它的基举理论是 对偶混合体积 9 7 】 1， y 嗽，媳) 2 i 支一魁( “) t t t p m ( u ) d u ， 戆理论。攘对予经典b r u n n - m i n k o w s k i 攥论懿m i n k o w s k i 稻，它麓径尚帮，裙辩于 经典b r u r m - m i n k o w s k i 理论鲍支撑蛹数，宅舅径愈函数，提慰予经典理论秘宠凸钵 的投影，它研究星体的截面该理论的建立解决了一系列经典理论来解决的闻题 4 8 ，4 9 ，5 0 ，8 6 ，8 7 ，8 8 ，1 4 9 ，1 5 2 例如，b u s e m a n n - p e t t y 问题 3 6 l 就是其中之一： l a r m a n 和r o g e r s 和厢概率论巧妙璁证明了当n 1 2 时b u s e m a r m p e t t y 问题不成立 爷o b a l i 糕焉立方俸藕球豹截两和体积静关系证翳了当1 0 时，b u s e m a n n - p e t t y 阉题不成囊鸭5 ，6 】；g i a n n a p o u l o sf 5 5 】霸b o u r g a i n 2 2 】分瘸独立建耧罪逐当静鏊挟俸 謦球的任意小的摄动体取代立方体，改邀b a l l 的诞暖褥到了当”7 孵b u s e m a n n - p e t t y 问题的否定回答后来，e l u t w a k 引入相交体( i n t e r s e c t i o nb o d y ) 的概念，发 现了b u s e m a n n - p e t t y 问题的解与相交体的关系，为后来彻底解决该问题开创了新的 局面f i o o ，进一步，p a p “l i m i t r a k i s 1 1 5 和g a r d n e r 4 7 也分别独立地利用适当的圆 柱棒敬代吏方体，谨疆了溢n 5 对b u s e m a n n - p e t t y 问题不戚立；g a r d n e r 对n 一3 鞋寸熬b u s e m a n n - p e t t y 阕题绘出了学定懿疆答；羧荚华天数学家g a o y o n gz h a n gf 张 商勇) 1 9 9 9 年发表在a n n a l sm a t h 。上论文戆1 1 5 2 】翳凑了b u s e m a n - p e t t y 超鬈最屠遗 留的米解决情形一即n = 4 的情形，最近，a k o l d o b s k y 用调和分析的方法给娃l 了b u s e m a n - p e t t y 问题n = 4 情形的一个简短证明【5 2 ，8 7 这方面的代表人物除创立入e l u t w a k 【1 0 3 ，1 0 4 外，还有p r g o o d e y 5 9 1 ，e 4凡何分母 中酶投值冀题鸯稳定强磷究 l g r i n b e r g 6 2 ，h g r o e m e r 7 0 ，p m g r u b e r 7 1 ，7 2 】和华裔数学家张高勇 1 4 9 ，1 5 0 ， 1 5 1 ，1 5 2 ，l 鞫， ( 3 ) 儿何断殿学( g e o m e t r i ct o m o g r a p h y ) 几何断层学作为经典理论和对偶理论的综合与应用，它主要研究几何体( 主要 难凸薅秘星薄) 翡耋穆鬻遂，霹期简莰采翔兄蔼俸的强射线，截面，投影重祷几何 体的问题，它是腔学上b 超，x 射线，g t ( 核磁共振) 技术的数学基础 在1 9 6 t 年，p c ，h a m m e r 教授在美国数学会上爨酗了这襻一个闻瓶：平萄上 的一个曲体最少能被几张x 射线图片确定? 犬约2 0 颦后，r 、j g a r d n e r ，k j 。 f a l c o n e r ，p - c m c m u l l e n ，a v o l c i c 等一夫箍数学家积极授入至日这个问题盼研究，并 且获得了确切的答案【1 3 8 】：平颟上的一个凸体髓被不燧某个仿射正多边形边的方 向集酶予集的4 个方向上的x _ 射线完全确定 当今世界上对几何断层学的研究可分为两大群体，其一是以r 。j g a r d n e r ，a 。 v o l c i c 等为代表的完全理论研究糟，他们获得了一大批令入羡慕的成果，1 9 9 5 年，r ， j g a r d n e r 教授综合了这方面的艨有成暴，撰写了专著( ( g e o m e t r i ct o m o g r a p h y 4 8 】； 其二是由于几倚断层学有很强的实际应用背景，以m i t 大学计算机与电。子工程系 的a l a nw i l l s k y 为代表的应甩研究考，塞8 0 年健以来，一直致力予诗算巍霪形与模 式识别研究，实现了几何断层学在计算机上的应用 ( 4 ) b a n a c h 嶷闫静鲻帮瑾论( l o c a lt h e o r yo fb a n a c hs p a c e s ) 它怒凸几何与泛丞分糖结会瓣最弓1 人注基鳕产搀，遗誊也拣为巴拿赫窒藤足傣 学，这一理论已成为现代国际数学研究的一个活跃领域或主流方向此理论源于2 0 避纪a d o l fh u r w i t z 匙工佟，h u r w i t z 于1 9 0 1 年发表7 美子乎甏隧壤等瘸不等式戆 f o u r i e r 级数的证法，并谯后继的论文中运用球磷调和分析对3 维空间的凸体证明 了类骰黪不等式，莲后，疆。m i n k o w s k i 燕球嚣谖联努蛎懿方法 蒌疆t3 一缭雾宽銎垂琴 的有趣特征，由此开辟了运用球面调和分析研究几何的方法，此方法具有很强的婕 愈力，j e a nb o u r g a i n 彝v i t m im i l m a n 是该方窝豹代表久物，憩 f j 秀嫠了叠俸渐近 理论的研究，在凸体逼避研究中获得了火量深刻的结果 1 0 9 ，1 1 0 他们合作的一篇 荚予琵髂煞遂b l a s c h k e - s a n t a l o 不等式懿筹名论文【2 3 j 蔻b o u r g a i n 接受f m l d s 奖萼i 用的第一论文p i s i e r 1 2 1 ，l i n d e n s t r a u s s 【9 4 1 等在该领域也作出了创造性的贡献 凌在，滚疆论主要硬究嚣个不蓠盼主踅； ( a ) n 维赋范空间的几何量巍n 趋予无穷时的情形 2 0 0 4 上海走学傅士学位论文 5 ( b ) 无穷缏赋范空间与它的有限维子绽间的关系。 以上是对几饵分析研究虑容魏粗蝰努类。鼹键分捞莰据磅究懿铡蘩点还霹分为 艨量理论平组合理论前霄主要研究几何体的度擞性质如体积，表面积，宽度莓。 蘑者主要褥究魅念性震及凸体闼鹃攘露美系，摇蒯分，壤宠襄覆蔫等。 l 。3 我謇数学寒蠢奄工撵 墩纪颦代，藩蜜身f 4 l l 教授鼗a 。w e l l 教援将鼹舔紧群主黪苓蹙澍凌懿 观念纳入积分几何，从而形成舞性空闯理论缝掏的积分几短，慰邃f l 学科的进一步 发展嚣出了极冀攀趑憝嚣藏哭丈任楚鬟蓬最翠扶事爨分见衙方嚣爵究豹数学家 之一，他第一个对糖圆空闽的积分几倪痒系统螅戮究，获褥了遮凌基本公姣等繁簧 结果，德诞暖了美手欧聂擎瑟释奎凌孛懿穗俸弦器积分静一系捌不等式，辨由就替 出一些关予几馋摄率翻几倪中德不等式+ 差德麟农积分死 莓、璇敷且籁释戆体论鲍 磷究中取褥了事磺残暴 1 2 3 ，i 鞫，稷努凡秘攀葶 论惫我国褥前难一税分凡衙专 著，尉时被嚣豁霜褥广泛孽l 曩，意羧点寨秘特殊鼗俸秘豇 莓不等式瓣磷究源予鞭鬻 咒麓串鹤糖彩鬻懋，冗侮侮静嶷量往葳、焱入阏联以及稽羡的几何不等式和几何校 攮阕鬈一塞是奠 鼙努爨研究黪一个充满活力豹穷窝+ 我舀著名数学家要文俊酶研究 工 # 涉及掰数学静诸多镁域，在多年豹研究中取褥了率硕成栗，俄曾目在2 0 傲纪 5 e 年代落滤逡髂汰了复合影在默菠凭佰嵌入邃一盐体屈何难题筒举氆躏强，事誉 整莽箸名数学家扬路教授及张景中院士做出了系统的、创造傲的成就，尤其是2 0 整纪8 0 年代在攀形不等式与板值闯题、裙等瑟形的嵌入闻题等方面作出了开碰径 的工作，独匈了证明不等式或涉及不等式的几何定理的非常强有力的方法，至今仍 梭毽际蔺符广泛弓 用，影桶深远 1 4 0 ，1 4 1 ，1 4 2 ，1 4 3 ，1 4 4 ，1 4 5 ，1 4 6 ，1 4 7 ，t 4 s 宗传躜 【1 5 6 在凸几何和掰散几何中的球堆积与密硒方面有着突出赏献，得到了围簖学术界 的霆视积嵩度评价最近祭传瞬教授又在甍匿徽软辑究院徽这方感酶研究。 最精值得浪意的是“几何分析”它是英文“g e o m e t r i ca n a l y s i s ”的翻译，而 英文“a n a l y t i cg e o m e t r y ”被译为“解糖几何”，艨者是代数或秘擎分糈秘咒侮戆 结合，鼠主要是用代数城初等分析工具解决几何问题；而前者即几何分桁戴现代分 折主要疑泛函分析，富浆时分桥积调积分耪与见蔼鳆结合，