（应用数学专业论文）气浮轴承支撑弹性转子系统非线性动力学行为分析.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 现代科学技术的不断进步使得旋转机械的设计正日益向着高转速、轻型化 方向发展，与此同时，对其动力学特性、稳定性以及可靠性也提出了更高的要 求。现代非线性动力学理论的发展与运用，使得转子动力学尤其是对高速转子 非线性动力学行为的研究成为当今国内外的热门研究课题之一。气浮轴承是利 用气体作为运动副润滑剂的一种新型轴承。由于气体的粘度小，与其它轴承相 比，具有低摩擦、无磨损、无污染、运转平稳、回转精度高和轴承的精度保持 性好等特点，在高速旋转机械中具有很大的优越性、经济性和实用性，在国防、 兵工及动力等行业正得到同益广泛的应用。 本文应用现代非线性动力学理论研究了气浮轴承支持的高速弹性转子系统 的复杂动力学行为。论文的主要工作为： 首先，推导出气浮短轴承气膜力的解析式，利用该表达式建立了气浮轴承 支撑弹性转子系统的动力学模型，在原系统无量纲模型的基础上，采用 l y a p u n o v 第一方法，分析了系统在平衡点的稳定性。 其次，对原系统作了进一步无量纲化，采用龙格一库塔算法来求解系统的 运动微分方程，考察了系统随转速、转子质量偏心以及综合参数等变化的非线 性动力学特性，作出了系统响应关于各参数的分翁图，并画出了相图、p o i n c a r e 截面，幅值谱图、分岔图等数值模拟图，结果显示系统中存在丰富的周期运动、 混沌运动的复杂非线性现象。 第三，对原有系统实施位移反馈控制，研究了系统在弱控制下的非线性动 力学特性，分析了该控制法的强弱程度对系统动力学特性的影响。结果表明这 种控制方法可以将混沌、概周期以及高倍周期运动转化为同步周期运动。 最后，总结了本文所做的主要工作，同时指出了存在的问题以及今后工作 的发展趋势。 关键词：非线性动力学，气浮轴承，弹性转子，分岔，混沌，位移反馈 江苏大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h ep r o g r e s so fs c i e n c ea n dt e c h n o l o g yh a sm a d et h ed e s i g no fr o t a t i n g m a c h i n e r ym o r eh i g h s p e e d l ya n de f f i c i e n t l y s i m u l t a n e o u s l y , h i g h e rr e q u i r e m e n t s f o rd y n a m i cc h a r a c t e r i s t i c s ，s t a b i l i t ya n dr e l i a b i l i t yt ot h er o t a t i n gm a c h i n e r yh a v e b e e nm e tw i t h w i t ht h ed e v e l o p m e n ta n da p p l i c a t i o no ft h em o d e mn o n l i n e a r d y n a m i ct h e o r y , t h er e s e a r c ho nr o t o rd y n a m i c se s p e c i a l l yt h eb e h a v i o ro f h i g h - s p e e dr o t o rn o n l i n e a rd y n a m i c st a k e san e wv i s a g ea f t e ri n t r o d u c i n gt h et h e o r y o fm o d e mn o n l i n e a rd y n a m i c s n o w a d a y s ，i th a sb e e nb e c o m eo n eo ft h em o s t p o p u l a rr e s e a r c hp r o b l e m sa th o m ea n da b r o a d g a sr o t o rb e a r i n g sa r en e wt y p e b e a r i n g sw h i c hm a k eu s eo fg a sa sm o v i n gl u b r i c a n t c o m p a r i n gw i t ho t h e rb e a r i n g s ， b e c a u s et h e r ei so n l yal i t t l em u c o s i t yi ng a s ，g a sr o t o rb e a r i n g sh a v es om u c hv i r t u e s s u c ha sab i to ff r i t i o n ，n o a b r a s i o n ，n op o l l u t i o n ，s m o o t ho p e r a t i o n ，h i g hr o t a t e p r e c i s i o n ，p r e c i s em a i n t e n a n c eo fb e a r i n g sa n de t c t h e s em a k eg a sr o t o rb e a r i n g s m o r e a s c e n d a n t ，m o r ee c o n o m i c a la n dm o r ep r a c t i c a l i nh i 曲一s p e e d r o t a t i n g m a c h i n e s g a sr o t o rb e a r i n g sa r em o r ew i d e l yu s e di ni n d u s t r i e ss u c ha sn a t i o n a l d e f e n c e ，a r m o r ya n dd y n a m i c s i nt h i sd i s s e r t a t i o n , r e s e a r c h e sa r em a i n l yo b j e c t e dt oc o m p l i c a t e dd y n a m i c b e h a v i o r so ft h es y s t e m so fh i g h - s p e e da n de l a s t i cr o t o rs u p p o r t e db yg a sj o u m a l b e a r i n g st h r o u g hu s i n gn o n l i n e a rd y n a m i c st h e o r i e s t h ed i s s e r t a t i o nm a i n l yc o n t r i b u t e s t ot h er e s e a r c h ： f i r s t l y , t h ea n a l y t i c a lf o r m u l ao fn o n - l i n e a rg a sf i l mf o r c eo ft h es h o r tj o u r n a l b e a r i n gi sc i t e di nt h i s t h e s i s t h ed y n a m i cm o d e lo fe l a s t i cr o t o rs u p p o r t e db yg a s j o u r n a lb e a r i n gi se s t a b l i s h e du s i n gt h ef o r m u l a t h es t a b i l i t yo ft h en o n - d i m e n s i o n a l f o r m - s y s t e mi sa n a l y s i z e db yu s i n gt h ef i r s tl y a p u n o v m e t h o d s e c o n d l y , b a s e do nt h ef u r t h e rn o n - d i m e n s i o n a lf o r mo ft h er o t o rs y s t e m ，t h e m o t i o nd i f f e r e n t i a l e q u a t i o no ft h es y s t e m i ss o l v e d b yu s i n gt h er u n g e k u t t a m e t h o d s e e i n ga b o u tt h en o n l i n e a rd y n a m i cc h a r a c t e r i s t i c sa l o n gt h ec h a n g eo fr o t a t i n g s p e e d ，e c c e n t r i cq u a n t u ma n dap a r a m e t e r ，t h ed i a g r a m so ft h es y s t e ms u c ha st h ep h a s e d i a g r a m s ，p o i n c a r em a p s ，s p e c t r u ma n a l y s i sd i a g r a m s ，b i f u r c a t i o nd i a g r a m sa r ep l o t t e d b ym e t h o d so fn u m e r i c a ls i m u l a t i o n s t h ec o m p l e xd y n a m i cp h e n o m e n ao fp e r i o d i ca n d c h a o t i cm o t i o n sa r es h o w e di nt h er e s u l t s t h i r d l y , a d d i n gt w od i s p l a c e f e e d b a c kt e r m st ot h es y s t e mm e n t i o n e d , t h en o n l i n e a r d y n a m i cc h a r a c t e r i s t i c sa r er e s e a c h e do nt h ew e a k l yc o n t r o l l e ds y s t e m t h ei n f l u e n c et o d y n a m i cc h a r a c t e r i s t i c si sa n a l y s i s e d r e s u l t ss h o wt h a tt h i sc o n t r o lm e t h o dc a n t r a n s f o r mc h a o t i c , q u a s i p e r i o d i ca n dm u l 廿p l e p e r i o d i cm o t i o n si n t os y n c h r o n o u s 江苏大学硕士学位论文 p e r i o d i cm o t i o n s f i n a l l y , t h ep r i m a r yw o r ko ft h i st e x th a sb e e nc o n c l u d e d , a n dt h ep r o b l e me x i s t e d a n dt h ed e v e l o p m e n tt r e n do ff u t u r ew o r kh a v e b e e np o i n t e do u t k e y w o r d s ：n o n l i n e a rd y n a m i c s ，g a sj o u m a lb e a r i n g ， e l a s t i cr o t o r b i f u r c a t i o n ， c h a o s ，d i s p l a c ef e e d b a c k 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学位保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文 的全部内容或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密囤。 学位论文作者签名：声j b i o 刎3 年l 月，多e l 指导教师签名：0 如；警爸 归8 年iv 日 沁妙o 年，谓歹多日 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外， 本论文不包含任何其它个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式 标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：q 声彳勾 日期： 莎一口冒年p 月 1 8 日 江苏大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 非线性转子动力学研究现状 转子是扰度限制在很窄范围内活动的绕定轴转动的弹性体，大型旋转机械多 以转子作为工作主体，因此研究转子系统的动力学行为对社会生活和经济发展具 有重要意义。由于旋转机械系统各种异常振动的存在，常常引发灾难性的事故， 人们逐渐认识到必须用非线性理论来分析。应用非线性动力学理论研究转子系统 的非线性动力学行为已成为非线性转子动力学的主要研究任务之一。 在国防科技、机械制造等领域，旋转机械有着广泛的应用。基于线性转子系 统的动力学理论的数学模型不能够解决许多非线性因素引起的动力学行为，因此 迫切需要建立转予系统的非线性动力学理论来揭示系统中存在的各种非线性动力 学行为并提出转子系统的非线性设计方法。研究旋转机械中各种实际问题，对提 高旋转机械运行的稳定性、安全性、可靠性具有重要的现实意义和实际工程背景。 如何保证转子系统在非线性激励下仍具有良好的动力学性态，需要在非线性动力 学理论的基础上，研究转子动力学中非线性振动问题，分析解决各类实际问题。 随着非线性转子动力学的发展，国内外很多学者对非线性转子动力学研究的 文献涌现不断【9 】- 【1 3 1 ，大量的研究成果使非线性转子动力学面貌一新。徐小峰、张 文等1 1 研究了非线性油膜力作用t i l l l 性转子的分岔与混沌行为。孙保苍、周传荣 等1 2 , 3 】在给出新的油膜力模型的基础上，用数值方法分析了刚性j e f f c o t t 转子的复 杂动力学行为。郑吉兵、孟光等1 1 5 , 1 6 考虑了非线性涡动的裂纹转子，用数值方法 找到了通向混沌的道路。王立平等【1 7 】分析了带有轴承间隙的裂纹转子的分龠与混 沌特性。张宇、陈予恕【1 8 1 。【2 0 1 研究了转子轴承基础的非线性动力学行为，用中心 流形定理给出了系统的分岔方程。这类文献中关于转定子碰磨过程中的分岔与混 沌的研究则不多见，e h r i c h 2 1 】用双线性振子模拟转定子之间存在的非对称径向间 隙产生的局部碰磨过程，用数值方法研究了转子在不平衡激励下的次谐波、超谐 波和混沌响应；g o l d m a n 2 2 2 3 1 研究了转定子接触、压缩和恢复过程，将描述接触区 问的参数和整个转子的参数相联系，同时考虑了径向冲击和切向冲击多转子的影 响；m u s z y n s k a a l 2 4 在对碰磨转子的研究中，找到了二、三、四阶亚谐响应；c h u 江苏大学硕士学位论文 f 、z h a n gz 【2 5 2 6 】用数值方法研究了碰磨转子的分岔与混沌特性；孙政策、徐健学 等【2 7 】从经典碰撞理论出发，建立了具有广泛应用前景的碰磨力模型，用数值方法 研究了该模型的分岔与混沌特性；刘献栋等2 8 3 9 建立了考虑定子本身刚度不对中 质量偏心转子碰磨的动力学方程，选取不同的分岔参数，对该模型进行了分俞与 混沌分析。丁千、陈予恕b 们研究了柔性单盘挤压油膜阻尼器转子系统的非稳态碰 磨运动，用数值方法分析了在各种系统参数下，系统的非稳态运动；丁千、陈予 恕口研究了弹性转子一滑动轴承系统的稳定性，并用数值方法找到了系统的倍周 期分俞、准周期运动和混沌运动。袁惠群、闻邦椿等口2 1 用中心流形定理研究了碰 磨转子的局部分岔，并用数值方法找到了系统的倍周期分俞、准周期运动和混沌 运动。岳国金、王德友口4 3 用数值方法研究了转静件碰磨时单盘转子系统随转速变 化引起的分岔与混沌行为。杨志永b 5 1 用数值方法研究了高速自动静电喷漆涡轮转 子系统随转速、质量偏心和姿态角等特性参数变化引起的分俞与混沌行为。 由于实际工程中的转子轴承基础系统是一个非常复杂的高维大型系统，而现 有的非线性动力学理论和方法在求解高维系统方面存在着困难。为此，对大型高 维系统的降维求解成为一个突出的问题，一般采取两步降维法，由于转子基础部 分一般可按线性处理，非线性部分仅仅集中在轴承密封不均匀蒸汽间等局部环节， 因而，第一步先对线性部分进行模态截断进行降维，第二步再对降维后的非线性 系统求解活进一步降维。s u n d a r a j a n 和n o a h 3 6 】利用固定界面子结构模态综合法对 系统进行降维，把与非线性有关的自由度保持它们的物理坐标，而把其他自由度 变换到模态坐标上，再利用实模态的子结构模态综合法进行降维，把一个2 4 自由 度的转子轴承系统缩减到6 个自由度，并对系统的周期解稳定解和分俞行为进行 了分析。文献【3 7 , 3 8 1 对具有局部非线性的多自由度动力系统提出一种分析周期解的 稳定性动力特性及分俞方法，该方法基于模态综合技术将线性自由度转化到模态 空间中，并对其进行缩减，而非线性自由度仍保留在物理空间中，在分析系统动 力特性时，基于n e w m a r k 法的预估校正局部迭代的求解方法与p o i n c a r e 映射法 相结合，推导出一种确定周期解并使用f l o q u e t 乘子判断稳定性和分岔的方法提 出基于变分不等式方程的有限元互补解的数值方法，结合打靶法和f l o q u e t 理论 对实际转子系统非线性不平衡响应及其分翁进行了计算分析，数值结果表明所提 出的方法不仅极大地降低了计算量而且具有足够高的精度。对于实际的转子，由 2 江苏大学硕士学位论文 于不存在气膜力的解析表达式，从而会为系统的非线性分析带来许多需要解决的 难题。首先，在动力积分的每一步都需要用数值方法求解r e y n o l d s 方程以获得每 一个轴承的气膜力及其j a c o b i a n 矩阵；其次气膜力及其j a c o b i a n 矩阵的数值解必 须足够的和协调一致的精度，否则在系统的非线性分析中将出现迭代不收敛轴颈 跑出轴套等现象，而使计算中断。为了克服上述困难，文献【3 9 】采用了变分不等式 有限元方法求解轴承润滑自由边值问题( r e y n o l d s 边界条件问题) ，使得最耗费 时问也是非线性分析所必须的油膜力j a c o b i a n 矩阵计算可与油膜力自身计算同事 完成不需要再额外解r e y n o l d s 方程，同时研究了非线性高维复杂转子轴承系统的 动力特性，针对系统局部非线性特征给出了一种降维及配套动力积分方法。文献 4 0 1 中指出：转子轴承系统的非线性动力学行为的分析是基于一个连续模型的，在 分析时采用有限元方法，重点研究了震荡现象。此外，分析备受当前非线性动力 学关注的震荡现象的分岔行为，采用了简单的离散模型研究了转子轴承系统，发 现了这两种模型之间的显著差别。文献【4 1 】在p o i n c a r e 映射及胞映射的基础上提出 了一种非线性动力学系统全局分析的新方法变胞胞映射法( a p c m ) 。此方法 改变了原胞映射中胞在胞空间分布的不合理性及运算逻辑的不合理性，更适用于 高维大求解域非线性动力系统的求解，应用此方法对具有非线性油膜力的j e f f c o t t 转子轴承系统进行了全局分析，绘制了系统分岔后的全局吸引域图，解释了一些 工程中常见的非线性现象。文献【4 2 】采用改进的自由界面模态综合技术，给出了一 种自由度降阶方法，该方法将非线性自由度保留在物理空间中以增加非线性分析 的精度，使降阶系统仍具有局部非线性特征，基于打靶法及将延续算法和打靶法 相结合的轨迹预测追踪算法，研究了系统非线性不平衡响应，结合f i o q u e t 理论 分析非线性转子轴承系统t 周期运动的局部稳定性和分岔行为。文献【4 3 j 提出一种 由线性连接元和非线性连接元组成的子结构，并将这种连续子结构用于自由界面 的模态综合技术，利用非线性振动理论的平均方法求得模态综合法降维后系统方 程的近似解析解，从而将具有连续连接子结构的自由界面的模态综合技术推广应 用到具有局部非线性的复杂结构系统的动力学行为分析，为利用非线性振动理论 的平均法及动力系统理论进一步研究高维非线性动力学系统的振动特性分俞及混 沌行为建立了新途径。 3 江苏大学硕士学位论文 1 2 本课题的提出及研究的目的和意义 旋转机械这类设备常常由于出现各种不同的故障而影响其正常和有效的运 行。由于转子系统所出现的故障多数属于非线性的范畴，对它的研究还存在一定 难度。非线性动力系统由于其动力特性的复杂性，通常需要进行长时间的动力行 为分析。一般来说，对于非线性动力学问题很难求得其精确解，以往对于非线性 动力系统的研究，仅仅采用小参数法、平均法、多尺度法等经典的非线性振动理 论来求其足够精确的近似解，其前提是系统的参数保持不变。但是在实际问题中， 动力系统的参数往往会发生一些微小的变化，实际表明，这些变化有时候会引起 系统的运动特性发生本质的变化，系统往往会发生分岔与混沌等非线性动力学行 为，此时无法再使用线性理论和经典的非线性振动理论来研究这些变化因素对系 统动态行为的影响，而需要采用现代非线性动力学分岔理论对其进行分析和研究。 因此必须在非线性动力学理论研究的基础上，将转子一轴承系统看成一个整体系 统，采用非线性动力学理论和方法对整体系统进行分析和研究，以此来揭示系统 存在的各种非线性动力学行为。提出转子一轴承系统的非线性动力学理论及设计 方法，分析研究旋转机械中存在的各种实际问题，这对提高旋转机械运行的稳定 性、安全性、可靠性具有重要的现实意义和实际工程背景。应用非线性动力学理 论研究转子一轴承系统的非线性动力学行为及有关问题已成为非线性转子动力学 的主要研究内容之一。 本文在阅读大量相关科技文献的基础上，以现代非线性动力学理论现代控制 理论和转子动力学理论为基础，采用气浮短轴承支撑的转子系统模型，研究了气 浮轴承支持的弹性转子一轴承系统的稳定性以及弹性转子一轴承系统在不受控和 受控情况下的非线性动力学特征，利用数值积分方法对该数学模型进行数值模拟， 以此来研究系统响应随着转子无量纲转速、质量偏心和反映系统的一综合参数等 特性参数等的变化，出现的分俞和混沌现象。 1 3 本课题的研究概况 从十九世纪开始，希尔( g h i m ) 首次提出了空气作为润滑剂的可能，此后，气 体润滑技术得到进一步发展，在此基础上，a k i n s b e t y 研制了一种气体润滑径向 轴承，1 9 1 3 年，英国的w j h a r r i s o n 在保留连续方程密度项的同时，在等温假设 4 江苏大学硕士学位论文 条件下导出了可压缩的r e y n o l d s 方程，并给出了无限长气体滑块和轴颈轴承 r e y n o l d s 方程的解，为气体动压润滑奠定了基础，在实验研究上，1 9 3 2 年美国在 陀螺仪上第一次进行了气体轴承的实验。 在近代，$ w l u n d 采用一阶摄动法求解了小偏心率下的气体雷诺方程，然后 用数值积分方法得出轴承承载力。随后又用线性化方法对气体动静压混合润滑轴 承进行了稳定性和气锤振动分析。 波维尔( j w p a w e l l ) 在动静压效应分别提供承载力的基础上，使用矢量合成法 给出了混合轴颈轴承的承载力和姿态角。 赵荣珍采用试验模态分析法对高速转子轴承系统的稳定性进行了分析。 该分析方法是将一脉冲力激励转子系统的同时，同步采集系统的响应信息，并根 据响应信息中含有的振动信号，用对数衰减率判定了转子系统的稳定性。 e g n i l o l a k o p o u l o s 在轴颈与轴承中心不重合的情况下用l y a p u n o v 直接方法来 求转子轴承系统的稳定性条件。而非传统的特征值分析方法，即用动力学系 数来表示系统的稳定性条件，最后通过文中所得的研究结果与试验结果相比较表 明，二者可很好地吻合。 王正提出一种将机架对转子的影响通过机架阻抗反映出来的转子一轴承一机 架系统对质量不平衡响应的计算方法。该方法对转子尽可能精确的一致质量模型 来建立其运动微分方程，而轴承座和机架子系统对转子的影响通过机械阻抗耦合 进入转子运动微分方程，其中机械阻抗可由实测或计算获得。 n e n z iw a n g 提出了一种等温、可压缩条件下雷诺方程的计算方法，并针对一 类气体轴承进行了分析。此外，对气体轴承进行理论分析和实验研究的还有很多。 1 4 本文的主要研究内容 本论文研究了气浮轴承支持的弹性转子系统模型，分析了系统在平衡点的稳 定性，并用数值模拟的方法对该系统进行了描述，作出了系统响应的相图、 p o i n c a r e 截面图、幅值谱图、分岔图，分析了系统响应随转速、质量偏心等特性 参数等变化而出现的复杂的非线性动力学现象。同时研究了该系统在若控制下的 非线性动力学行为，同样给出数值模拟图的结果，该结果显示通过简单的位移反 馈控制能将系统复杂的运动控制到较为简单的同步运动和周期运动。 5 江苏大学硕士学位论文 论文的安排如下： 第一章绪论 本章阐述了非线性转子动力学的研究现状，本课题的提出及研究的目的和意 义，本课题研究的概况，简要介绍了本论文研究的主要内容。 第二章非线性动力系统理论基础 这章主要介绍了现代非线性动力学的理论，包括分岔理论、混沌理论、 l y a p u n o v 第一稳定性理论以及非线性方程的主要研究方法和控制方法。 第三章气浮轴承支撑弹性转子系统数学建模及稳定性分析 这一章建立了气浮轴承气膜力模型和弹性转子模型，从雷诺方程作为出发点， 根据流体学的相关知识，推导出气浮轴承气膜力的一般表达式，并运用l y a p u n o v 第一稳定性理论对该系统作了稳定性分析，得出用有线性化后的矩阵特征值对系 统稳定性进行判断的结论。 第四章气浮轴承支持的弹性转子系统的动力学行为分析 此章在上述气浮轴承支撑的弹性转子模型的基础上，运用r u n g e k u t t a 法求 解该系统的运动微分方程，研究了系统在稳态解处的非线性动力学现象，分析了 系统随系统各参数变化而引起的非线性动力学特征的变化，作出了系统关于各参 数的分俞图，并在各给定参数下作出该系统的相图、p o i n c a r e 截面图，幅值谱图， 通过系统各种动力学图完整地分析了该系统的动力学行为。 第五章气浮轴承支撑弹性转子在弱控制下的动力学行为分析 在第四章的基础上，对上述系统采用位移反馈控制法对该系统实施动力学控 制，分析了上述系统在此弱控制下的动力学行为，研究了此反馈控制的强弱对系 统动力学的影响，作出了在不同变化参数下系统响应关于控制强弱参数的分俞图， 并与上一章的结论进行比较。 第六章结束语 这章归纳了本论文的研究工作，并指出了有待解决的问题。 6 江苏大学硕士学位论文 第二章非线性动力系统理论基础 非线性动力学中复杂性现象的发现及分岔和混沌理论的建立，是当代基础科 学的重大成就之一，它使非线性科学有了可靠的理论保证，并广泛应用于振动、 自动控制等部门非线性问题的研究，对经典力学、物理学、固体力学、流体力学、 生态学和生物医学，乃至一些社会科学部门的研究和发展都产生深远的影响。同 时，科学实践的进一步深化反过来又促进了非线性动力学理论的纵深发展。 本章简要介绍了非线性动力系统理论中的分俞理论、混沌理论、稳定性理论、 混沌控制理论以及常用的分析方法，是为后章节的理论基础。 2 1 分岔理论概述 分俞是当非线性动力系统的参数在某临界值发生微小变化时，系统的定性性 质发生“质变 的一种现象，该临界参数称为系统的分岔点。分岔不仅提示了系 统的不同运动状态之间的联系和转化，而且与失稳和混沌密切相关。 设区域u 彤，v r ”，考虑如下的含参数口的疗阶连续动力系统： 莺= ，( 工， ( 2 1 ) 其中口r ”，称x u 互r ”为状态变量，口= ( 呸，) r v r ”称为分岔参数。 定义1当参数口连续变化时，系统( 2 1 ) 的拓扑结构在处发生突变，则称系 统( 2 1 ) 在口= a o 处出现分岔。并称为分岔点。 定义2 在( z ，叻空间中画出系统( 2 1 ) 的极限集( 平衡点、极限环等) 随参数口 变化的图形称为分岔图。 分岔问题可以分为静态分岔、动态分俞，也可以按局部分岔和全局分翁来分 类。静态分岔是指系统的平衡状态数目和稳定性的变化，动态分俞是指系统在相 空间中相轨迹定性性质的变化，它与动力系统理论、结构稳定性概念密切相关。 动力系统的拓扑结构由轨线、平衡点、闭轨、极限集和非游荡集来表征，其结构 稳定性意味着在小扰动下保持拓扑等价，这可以是指整个向量场的结构稳定，也 可以是指某不动点附近的局部结构稳定性的否定。这里系统的小扰动概念通常是 7 江苏大学硕士学位论文 在参数空间的领域内来描述的。动态分翁是对结构稳定性的否定，即总存在一个 小扰动与原拓扑结构不等价。局部分岔是研究平衡状态或相轨线附近拓扑结构的 变化，而全局分岔是研究系统大范围内拓扑结构的变化。 静态分俞可以分为平衡点的鞍结分岔、跨临界分岔、叉式分岔等等。动态分 岔可以分为霍普分岔、闭轨分岔、环面分岔、同宿或异宿分佾等等。局部分岔有 鞍结分岔、霍普分岔等。全局分岔的例子是大范围内出现同宿轨道和异宿轨道。 一般分岔问题的求解，包括维数的约化和形式的化简两个方面，为此发展有 中心流形理论，l y a p u n o v s c h m i d t 方法，奇异性理论和规范形方法等。 2 2 混沌理论概述 混沌是非线性系统特有的一种运动形式，是产生于确定性系统的敏感依赖于 初始条件的往复性稳态非周期运动，类似于随机振动而具有长期不可预测性。 定义3 设j 为一集合，g ：j 专，如果g 满足： ( 1 ) g 对初始敏感依赖； ( 2 ) g 是拓扑传递的； ( 3 ) 周期点在j 上稠密。 则称g 在j 上是混沌的。 上述定义说明混沌系统的三大特征：( 1 ) 隶属于确定性系统又难以预测；( 2 ) 隐含于复杂系统又不可分解；( 3 ) 貌似无序确有规律。 混沌的基本特征是具有对初始条件的敏感性，即初始值的微小差别经过一定 时间后可导致系统运动过程的显著差别。这种对初始条件的敏感依赖性称为初态 敏感性。 混沌还必须是往复的稳态非周期性运动，这是非线性系统的又一特征。在无 限时间历程中，确定性线性系统的非周期运动( 即周期运动、准周期运动和拟周 期运动之外的运动) 都不是往复的稳态运动。如强阻尼线性振动趋于静止，而无 阻尼线性受迫振子共振时的运动发散到无穷。非线性系统则不同，它可能存在往 复但非周期性的运动。混沌的这种往复的非周期运动看上去似乎无任何规律可循， 完全类似于随机噪声，而且采用传统的相关分析和谱分析等信号处理技术也无法 将混沌信号与真正的随机信号区分。值得注意的是，这种类似随机的过程产生于 8 江苏大学硕士学位论文 完全确定性的系统。因此混沌具有内禀随机性。 混沌的另一特征是长期预测的不可能性，这又有别于完全不可预测的真正随 机过程。现实中的任何物理量都只能以有限精度被量测，无穷高精度在物理世界 中是不存在的。因此在初值中存在着不确定因素。可以认为，具有初态敏感性的 系统对于初值误差的作用不断进行放大。随着时问的流逝，初始条件中的不确定 因素起着越来越大的作用。一段时间以后决定运动的已不是初始条件中以有限精 度给定的部分，而是在精度范围之外无法确定而又必然存在的误差，运动的预测 便成为不可能了。由于初态敏感性而具有的不可长期预测性，被形象地称为蝴蝶 效应。 判断或预测混沌出现的方法有多种多样，如数值方法，谱分析方法，p o i n c a r e 映射方法，l y a p u n o v 指数方法，胞映射方法，符号动力系统方法等等。由于目前 人们对混沌尚未取得共识，而且有时不同方法所得结论也有所差别，因此在这方 面有待于进一步研究。 目前判断或预见混沌的主要方法有： ( 1 ) 利用数值方法结果观察运动轨迹和奇怪吸引子结构的不规则性； ( 2 ) 利用数值方法得到功率谱，出现连续谱线； ( 3 ) 利用p o i n c a r e 映射，将连续动力系统转化为离散动力系统加以研究， 如果p o i n c a r e 映射呈现具有分形结构云状图； ( 4 ) l y a p u n o v 指数是衡量系统运动对初值敏感程度的量，一般需要用数值 方法计算，系统有几维就有几个l y a p u n o v 指数，其中最大l y a p u n o v 指数大于零 可以作为系统进入混沌的重要判据； ( 5 ) 具有分维数的吸引子也是判定混沌的重要特征。 2 3 非线性方程的主要研究方法 目前，研究非线性常微分方程的主要方法有三种：定性方法、近似方法和数 值方法。 1 定性方法 在不求解非线性常微分方程的基础上，揭示其定性性态，如解的存在性、唯 一性、渐近行为、局部分岔和全局分岔行为等。 9 江苏大学硕士学位论文 2 近似方法 近似方法主要有：摄动法( 小参数法) 、平均法( k b 法) 、3 m 法( 渐近法) 和多尺度法等，近似方法中解的表述是显式的，便于分析参数的影响，但是难以 获得高精度的解。 3 数值方法 数值方法目前已广泛用于非线性振动系统的研究，是一种求解非线性方程的 有效方法，典型的数值方法有：分岔图、相图、p o i n c a r e 截面、时间历程和功率 谱图等。 2 3 1 分岔图 分岔图是以状态变量和分岔参数构成的图形空间，表示状态变量随分岔参数 变化的规律。选取系统中一个连续变化的参数作为横坐标，取对应于每一参数值 的系统响应的p o i n c a r e 截面为纵坐标，即可绘制出相应的分岔图。通过分岔图可 以得到系统响应的周期运动、拟周期运动及混沌运动所对应的参数区间，在一定 程度上可用于判定通向混沌的道路，但分俞图不能区分混沌运动和拟周期运动。 2 3 2 相图 对于n 维常微分方程表示的动力系统，相图是系统的解曲线在相空间的投影。 对于确定性运动的定常运动状态，只有3 种情况：静止状态，周期运动状态和拟 周期运动状态。在相图上表现为，经过一定长时问以后，周期1 或周期k 运动对应 于l 条或k 条连续的封闭曲线。但相图往往不能区分随机运动和混沌运动及拟周期 运动。 2 3 3p o i n e a r e 截面 连续系统的p o i n c a r e 截面可以表示系统相轨线的拓扑性质。p o i n c a r e 截面上 的孤立点或有限个孤立点、闭曲线和分布在一定区域上的不可数点集分别表示系 统响应的周期或周期k 运动，拟周期运动和混沌运动。对于p o i n c a r e 截面图，每 隔一个周期提取系统响应的位移和速度值，分别作为横纵坐标，得至l j p o i n c a r e 截 面上的一个点。如果系统响应为周期解，相应的p o i n c a r e 图为孤立的点。当系统 响应作严格的同步周期运动时，p o i n c a r e 截面上的所有点均重合为一个点；当系 统响应作周期k 运动时，p o i n c a r e 图上为k 个孤立的点，周期数与孤立点数致； 当系统作拟周期运动时，p o i n c a r e 图呈现为封闭曲线；当系统响应为混沌运动时， 1 0 江苏大学硕士学位论文 p o i n c a r e 截面图可能呈现为分散性堆积的散点图，也可能呈现类似云图状的复杂 图形。 2 3 4 时间历程 用数值方法将方程的解随时间演化的过程描述出来，就是混沌运动的时间历 程。时间历程可以清楚地反映系统响应随时间变化的规律。由于混沌运动具有局 部不稳定和整体稳定的特征，因此对于任意初值都可以得到几乎完全相同的长时 间定常运动状态的行为。但时间历程并不能区分随机运动和混沌运动。 2 3 5 功率谱法 谱分析是研究混沌运动的一个重要手段。根据f o u r i e r 分析，任何一个周期 为t 的周期运动x ( t ) 都可展成f o u r i e r 级数，其在频谱图上表现为离散的分立 谱线。而对于任何非周期运动的时间函数x ( t ) ，只能展为f o u r i e r 积分，其在频 谱图上呈现为连续的谱线。对于混沌运动，因其具有内在随机性，其频谱是连续 的。因此功率谱图可以区分混沌运动和拟周期运动。 2 4 混沌控制 控制和利用混沌是当前自然科学基础研究的热点问题之一，对这个问题的研 究具有重要的理论和实际意义。控制混沌的主要目标是消除已有的混沌运动，或 降低混沌运动的程度。 2 4 1 混沌控制的定义 定义4 考虑一个非线性系统：x = f ( x ，t ) + u 其中x = 僻。，x 2 ，x 。) ， f = ( e l ，最，只) ，u 为控制函数。假设当u = 0 时，系统是混沌的。当输入合适 的控制器u 使得系统能够从混沌态到达稳定态，则系统得以控制。 2 4 2 混沌控制的基本方法 目前，混沌控制作为非线性科学研究的一个重要分支，受到了许多科学研究 人员的关注，经过十多年的发展已经得到了一些有效的控制方法。根据不同类型 的被控系统，分别设计出适应于各种不同系统的控制方法，从控制原理上可分为 1 1 江苏大学硕士学位论文 微扰反馈控制及无反馈控制法。下面介绍一些常用的混沌控制方法。 ( 1 ) 参数微扰法o g y 方法 o g y 方法最根本的基础是：混沌奇怪吸引子中存在着极其稠密的不稳定周期 轨道。混沌控制的首要任务就是设法把其中任一条所需的周期轨道挑选出来，并 加以稳定控制，为此选择非线性系统中实际上易于测量和可调节的一个参数，并 认为所有的周期轨道都是该参数的函数，而与其它参数无关，为了实现对某个特 定的周期轨道( 或不动点) 的稳定控制，必须在系统靠近该周期轨道或不动点时， 对参数进行微扰，随时间适当调节微扰量，经过多次反复调整，最终使所需的周 期轨道或不动点达到稳定。 ( 2 ) 连续反馈控制法 1 9 9 3 年，德国学者k p y r a g a s 提出了对非线性连续系统的自反馈连续控制法， 并且分为两种：一种是外力反馈控制法，另一种是延迟反馈控制法。 两种自反馈控制法的基本思想是：考虑非线性混沌系统的输出信号与输入信 号之间的自反馈耦合，或者从系统外部强迫输入一定的周期信号，或者直接把系 统本身的输出信号取出一部分但经过时间延迟后再反馈到混沌系统中去，作为控 制信号，通过调节控制信号的大小或权重因子( 控制因子) 来达到稳定所期望周期 轨道或不动点。这两种方法都可实现对混沌吸引子的连续控制，并使不稳定周期 轨道或不动点稳定化。 ( 3 ) 外力反馈控制法 外力反馈控制法与o g y 控制法有一个显著的不同点，即o g y 控制法在控制过 程中只能在系统的状态接近不动点附近才加上微扰，否则微扰不起作用。但是外 力反馈控制法则不同，它无需等待运动轨线接近不动点时才加入微扰，而可以在 任意时刻加入微扰起到控制作用。 无疑外力反馈控制法的缺点就是需要专门设计一个特殊的外部信号发生器， 这在技术上要求较高，且有一定的难度。 ( 4 ) 时间延迟反馈控制法 时间延迟反馈控制法的主要思想是：巧妙的利用系统本身的输出信号的一部分并 经时间延迟后，再与原来输出信号相差，作为控制信号反馈到系统中去，这种微 扰并不改变系统原来的解。 江苏大学硕士学位论文 k p y r a g a s 用时间延迟反馈方法已经从理论上研究了几个典型的非线性系统 的混沌控制，诸如r o s s l e r 系统、l o r e n z 系统、d u f f i n g 系统，并且实现了对低 周期轨道的稳定控制。 ( 5 ) 线性反馈控制法 连续自反馈及正比系统变量的反馈思想，实质上类似工程实践上常用的线性 反馈。不过这时的反馈信号或者来自于目标信号与输出混沌信号的差值，或者直 接利用系统本身的混沌输出信号，并乘以适当的线性反馈系数，便可以在一些非 线性系统中实现混沌控制的任务。 线性反馈控制法的特点： ( a ) 该方法可以对原系统中的任意解实现控制，如不动点，不稳定周期轨道； ( b ) 该控制器结构简单，易于制造； ( c ) 它不受小参数变化的影响，具有抗干扰性； ( d ) 对于存在许多系统变量相互作用的一些实际系统，该法的应用有一定的困 难。因此要进一步从工程应用角度作进一步的改进。 ( 6 ) 自适应控制法 从系统控制论知道，当人们对被控系统的参数的相关信息知晓不多时，利用 白适应控制的策略是适宜的。因为该方法可以通过调节控制律来减少未知参数的 影响，其优点就是允许只用系统参数的有限知识去达到满意的工作性能。其关键 是构造自适应控制系统的参考模型。控制模型主要有两类：一类是间接自适应控 制器，它利用系统参数的链接在线计算调节控制律；另一类是直接自适应控制器， 用以直接调节控制律，使得系统与模型的参考态之间的误差达到最小。 近年来国内外已把自适应控制原理用于混沌控制，不仅用于连续系统，而且 用于离散系统。该方法仍然属于反馈控制法的范畴，其关键问题是设计一个参考 模型，构成总体的动力学系统并不依赖于原系统的参数来获得自适应。 2 5l y a p u n o v 第一方法 l