（应用数学专业论文）随机动力系统中的sackersell谱与lyapunov谱.pdf

随机动力系统中的s a c k e r s e l l 谱与l y a p u n o v 谱 摘要 随机动力系统是一种斜积系统，它因为能更好的描述现实世界而引起人们越来越 多的关注本论文感兴趣的是随机动力系统中的指数二分性，s a c k e r s e l l 谱，l y a p u n o v 指数和随机吸引子等指数二分性描述了系统的一种双曲性现象：状态空间可以分解 成两个连续不变的子空间的直和，随着时间的正向变化，系统在其中一个子空间上表 现出指数压缩行为，而在另一个上面表现出指数扩张行为s a c k e r s e l l 谱是基于指数 二分性的一个概念，s a c k e r 和s e l l 建立了s a c k e r s e l l 谱理论这个研究被m a g a l h 毛e s ， s a c k e r 和s e l l ，c h i c o n e 和l a t u s h k i n ，c h o w 和l e i v a 等推广到了无穷维动力系统 中去，c o n g 和s i e g m u n d 还讨论了具有随机性的动力系统的s a c k e r s e l l 谱问题 l y a p u n o v 指数是研究动力系统渐进行为的基本工具之一，它反映了动力系统随时间 演化的平均变化率o s e l e d e c 的乘法遍历定理解决了l y a p u n o v 指数的存在性问题， 并对动力系统的动力学结构给出了更多的信息，它现在已成为动力系统理论的最基本 定理之一乘法遍历定理也被r u e l l e ，m a f i 4 ，t h i e u l l e n ，z e n gl i a n 和k e n i n gl u 等学 者进行了多种情形下的推广关于s a c k e r - s e l l 谱与l y a p u n o v 谱的关系，在有限维动 力系统中，j o h n s o n 、p a l m e r 和s e l l 证得了l y a p u n o v 谱包含在s a c k e r - s e l l 谱中，而 s a c k e r - s e l l 谱的边界又包含在l y a p u n o v 谱中，并证得o s e l e d e c 谱子丛是s a c k e r - s e l l 谱子丛的加细而后，s c h r e i b e r ，v o u t a z ，c h i c o n e 和l a t n s h k i n 等也进行了类似问 题的研究吸引子是微分方程理论和动力系统理论中一个极其重要的概念在本论文 中，我们感兴趣的是；一个紧致不变集在什么条件下可以成为一个吸引子a s h w i n 在 确定性系统里，利用法向l y a p u n o v 指数讨论了这个问题而后，他把确定性的结果 推广到了随机动力系统中去，不过，他只是讨论了一个具体的随机动力系统的例子 本论文主要研究了随机动力系统的s a c k e r - s e l l 谱理论，乘法遍历定理和随机吸引 子问题随机动力系统和确定性动力系统相比，它的底空间是一个没有任何拓扑结构 的概率测度空间，这一点恰是从确定性系统到随机动力系统的一个本质困难之一，无 论是对有限维的情形还是对无穷维的情形我们克服这个困难，通过定义随机动力系 统下的指数二分性，定义了随机动力系统的s a c k e r - s e l l 谱，并给出了有限维随机动力 系统中的s a c k e r - s e l l 谱分解定理在此基础上，我们比较了s a c k e r - s e l l 谱和l y a p u n o v 谱，建立了有限维随机动力系统中两种谱的关系定理我们也研究了无穷维的随机动 力系统下的两种谱的关系无穷维的随机动力系统和有限维的相比，其中的c o c y c l e 往 往只能定义在正半时间轴上，为此我们首先对无穷维半动力系统进行了负向延拓，使 得在负半时间轴上也有定义另外，无穷维的情形还有一个难点，就是状态空间的有 界的闭子集不一定是紧的为此，我们研究了具有随机一致全连续性( 紧算子是一致 随机动力系统中的s a c k e r s e l l 谱与l y a p u n o v 谱 摘要 全连续算子的特殊情形) 的随机动力系统， 动力系统，其中用到了非紧性测度的概念 和具有更弱紧性( - 致口一收缩性) 的随机 我们还给出并证明了一般的c o c y c l e ( 不要 求是紧算子) 在可分的b a n a c h 空间的无穷维随机动力系统的乘法遍历定理，所采用 的证明是基于m a r l 6 和t h i e u l l e n 的方法最后，我们讨论了非一致双曲理论中的两个 问题：随机非一致指数二分性和随机一致指数二分性，紧致的随机不变集和随机吸引 子在一定条件下，我们证明了随机非一致指数二分性蕴含着随机一致指数二分性， 同时，利用法向l y a p u n o v 指数，我们还给出了一个紧致的随机不变集能成为随机吸 引子的一个充分性条件，推广并改进了a s h w i n 的一些结果 本论文主要用到y o n g l u oc a o 教授在具有次可加性的随机连续函数列的结果， 也用到c a o 在l y a p u n o v 指数与非一致双曲性方面的一个结果c a o 在文献中证 明了具有次可加性的随机连续函数列的最大增长率能被遍历测度达到，并证明了在对 l y a p u n o v 指数施加一定条件的前提下，随机非一致双曲性实际上蕴含着随机一致双 曲性 关键词： 随机动力系统；s a c k e r s e l l 谱；l y a p u n o v 谱；乘法遍历定理；随机吸引 子 作者： 指导老师： 王广瓦 曹永罗教授 随机动力系统中的s a c k e r - s e l l 谱与l y a p u n o v 谱 a b s t r a c t _ - 一 a b s t r a c t r a n d o md y n a m i c a ls y s t e m ( r d s ) i so n ek i n do fs k e w p r o d u c ts y s t e m b e c a u s e o fm o r ee f f e c t i v e l yd e s c r i b i n gt h er e a lw o r l d ，i to b t a i n sm o r ea n dm o r ea t t e n t i o n s t h i st h e s i si sd e v o t e dt ot h et h e o r i e so fe x p o n e n t i a ld i c h o t o m y , s a c k e r - s e l ls p e c t r u m ， l y a p u n o ve x p o n e n t sa n dr a n d o ma t t r a c t o r s e x p o n e n t i a ld i c h o t o m yd e s c r i b e sa k i n d o fh y p e r b o l i c i t yo ft h es y s t e m t h a ti s ，t h es t a t es p a c ec a l lb ed e c o m p o s e di n t oa d i r e c ts l l mo ft w os u b s p a c e s ，w h i c ha r ec o n t i n u o u sa n di n v a r i a n t a n dw i t ht h et i m e e v o l v i n gf o r w a r d ，t h es y s t e mi se x p o n e n t i a l l ya t t r a c t i n gi no n es u b s p a c e a n de x p o n e n 。 t i a l l ye x p a n d i n gi nt h eo t h e rs u b s p a c e s a c k e r s e l ls p e c t r u mi s ad e f i n i t i o ni nt e r m s o fe x p o n e n t i a ld i c h o t o m y s a c k e ra n ds e l lb u i l tt h et h e o r yo fs a c k e r s e l ls p e c t r u m t h et h e o r yh a sb e e nd e v e l o p e di n t oi n f i n i t ed i m e n s i o n a ld y n a m i c a ls y s t e mb ym a n y s c h o l a r s ，s u c ha sm a g a l h 舀m s ，s a c k e ra n ds e l l ，c h i c o n ea n dl a t u s h k i n ，c h o wa n d l e i v a a l s o ，c o n ga n ds i e g m u n dd i s c u s s e ds o m ek i n do fd y n a m i c a ls y s t e m si ns o m er a n d o m s e n s e l y a p u n o ve x p o n e n t s ，o n eo ft h ef u n d a m e n t a lt o o l ss t u d y i n gt h ea s y m p t o t i c b e h a v i o r so fd y n a m i c a ls y s t e m ，r e f l e c t st h ea v e r a g ev a r i a n c er a t eo ft h es y s t e mw i t h t h ed e v e l o p m e n to ft i m e o s e l e d e c sm u l t i p l i c a t i v ee r g o d i ct h e o r e m ( m e t ) d o e sn o t o n l ys o l v et h ee x i s t e n c eo fl y a p u n o ve x p o n e n t s ，b u ta l s os h o wm u c hm o r ei n f o r m a t i o n o ft h ed y n a m i c a ls t r u c t u r e a n dh e n c e f o r t h ，m e th a sb e e no n eo ft h em o s tf u n d a - m e n t a l lt h e o r e m si nt h et h e o r yo fd y n a m i c a ls y s t e m s m e th a sb e e nd e v e l o p e db y m a n yp e o p l es u c ha sr u e l l e ，m a f i 6 ，t h i e u l l e n ，z e n gl i a na n dk e n i n gl ua n d s oo n r 丘n i t ed i m e n s i o n a ld y n a m i c a ls y s t e m ，j o h n s o n ，p a l m e ra n ds e l ld i s c u s s e dt h er e l a - t i o n sb e t w e e nt h es a c k e r s e l ls p e c t r u ma n dt h el y a p u n o vs p e c t r u m t h e yp r o v e di n p a r t i c u l a rt h a tt h el y a p u n o vs p e c t r u mi sas u b s e to ft h es a c k e r - s e l ls p e c t r u m ，w h i l e t h eb o u d a r yp o i n t so ft h es a c k e r - s e l ls p e c t r u mc o r r e s p o n dt os o m el y a p u n o ve x p o - n e n t s t h e ya l s op r o v e dt h a tt h eo s e l e d e cs u b b u n d l e sa r et h er e f i n e dv e r s i o no ft h e s a c k e r - s e l ls u b b u n d l e s a t t r a c t o ri so n ev e r yi m p o r t a n td e f i n i t i o ni nt h et h e o r yo f d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dd y n a m i c a ls y s t e m s i nt h i st h e s i s ，w ea r ei n t e r e s t e di nt h e f o l l o w i n gp r o b l e m ：w h e ni sac o m p a c ti n v a r i a n ts u b s e ta a t t r a c t o r ? i nt h ed e t e r m i n e d s y s t e m ，a s h w i n ，u s i n gn o r m a ll y a p u n o ve x p o n e n t s ，d i s c u s s e dt h i sp r o b l e m a n dt h e n ， h es t u d i e da g a i nt h ep r o b l e mf o ro n ec o n c r e t ee x a m p l ei nt h ef r a m e w o r ko fr a n d o m d y n a m i c a ls y s t e m t h i st h e s i si sm a i n l yc o n c e r n e dw i t ht h et h e o r yo fs a c k e r s e l ls p e c t r u m ，t h em u l i l l 随机动力系统中的s a c k e r s e l l 谱与l y a p u n o v 谱 a b s t r a c t t i p l i c a t i v ee r g o d i ct h e o r e m sa n dr a n d o ma t t r a c t o r sf o rr d s c o m p a r i n gt ot h ed e t e r m i n i s t i cc a s e ，t h eb a s es p a c eo fr d si so n ep r o b a b i l i t ys p a c ew i t h o u ta n yt o p o l o g y ， w h i c hi so n eo ft h ee s s e n t i a ld i f i i c u l t i e sf r o mt h ed e t e r m i n i s t i cc a s et or a n d o mc a s e w ec o n q u e rt h ed i f f i c u l t yi nt h i sp a p e r i nt e r m so fan e we x p o n e n t i a ld i c h o t o m y f o rt h ef i n i t ed i m e n s i o n a lr d s w ed e f i n et h es a c k e r s e l ls p e c t r u mf o rr d sa n ds h o w s a c k e r s e l ls p e c t r u md e c o m p o s i t i o nt h e o r e m ( s d t ) b a s i n gt h es d t ，w es t u d yt h e r e l a t i o n sb e t w e e ns a c k e r s e l ls p e c t r u ma n dl y a p u n o vs p e c t r u ma n de s t a b l i s ht h es p e c - t r u mr e l a t i o n s h i pt h e o r e mi nt h ef r a m e w o r ko ff i n i t ed i m e n s i o n a lr d s t h er e l a t i o n s b e t w e e nt h et w os p e c t r u mf o ri n f i n i t ed i m e n s i o n a lr d sa r ea l s oo b t a i n e di nt h i sp a r p e r i ni n f i n i t ed i m e n s i o n a lr d s ，d i f f e r e n tt of i n i t ec a s e ，t h ec o c y c l ec a nb eu s u a l l y c o n s i d e r e do n l yi nt h ep o s i t i v eh a l f - t i m eh n e w i t ht h i si nm i n d ，w ed e f i n eab a c k w a r d c o n t i n u a t i o nf o rt h es e m i d y n a m i c a ls y s t e ms u c ht h a ti tc a nb ee x t e n d e dt ot h ew h o l e t i m el i n e b e s i d e st h i s ，t h e r ei sa n o t h e rd i f f i c u l t yi nt h ei n f i n i t ed i m e n s i o n a lc a s et h a t ab o u n d e da n dc l o s e ds u b s e ti nt h ei n f i n i t ed i m e n s i o n a ls t a t es p a c ei sn o tn e c e s s a r i l y c o m p a c t h a v i n gi nm i n dt h i s ，w ea r ec o n c e r n e dw i t ht h er d sw i t hr a n d o mu n i f o r m l y c o m p l e t e l yc o n t i n u o u sa n dr a n d o mu n i f o r m l ya - c o n t r a c t i o n ，r e s p e c t i v e l y i na d d i t i o n ， m e tf o rav e r yg e n e r a li n f i n i t ed i m e n s i o n a lr d si so b t a i n e di nt h i sp a p e r w et a k et h e i d e a sf r o mm a r l 4a n dt h i e u n e n i nt h ef i n a lp a r t ，w ed i s c u s st w op r o b l e m si nt h et h e o r y o fn o n u n i f o r mh y p e r b o h c i t y ：t h er e l a t i o nb e t w e e nr a n d o mn o n u n i f o r m l ye x p o n e n t i a l d i c h o t o m ya n dr a n d o mu n i f o r m l ye x p o n e n t i a ld i c h o t o m y , t h er e l a t i o nb e t w e e nar a n - d o mc o m p a c ta n di n v a r i a n ts u b s e ta n dar a n d o ma t t r a c t o r u n d e rs o m ec o n d i t i o n s ，w e p r o v et h a tr a n d o mn o n u n i f o r m l ye x p o n e n t i a ld i c h o t o m ya c t u a l l yi m p l yr a n d o mu n i - f o r m l ye x p o n e n t i a ld i c h o t o m y a n d ，u s i n gt h en o r m a ll y a p u n o ve x p o n e n t s ，w ea l s o o b t a i nas u f f i c i e n tc o n d i t i o nu n d e rw h i c har a n d o mc o m p a c ta n di n v a r i a n ts u b s e ti sa r a n d o mf o r w a r da t t r a c t o r t h i si sag e n e r a l i z a t i o no ft h er e s u l t so fa s h w i n s p r o f e s s o ry o n g l u oc a o st w ot h e o r e m s ，o n ec o n c e r n i n gr a n d o mc o n t i n u o u sf u n c - t i o n sw i t hs u b - a d d i t i v i t ya n dt h eo t h e rc o n c e r n i n gn o n u n i f o r mh y p e r b o l i c i t y , p l a ya n i m p o r t a n tr o l ei nt h i st h e s i s i nt h ef i r s tt h e o r e m ，c a op r o v e dt h a tt h em a x i m a lg r o w t h r a t eo fo n er a n d o mc o n t i n u o u sf u n c t i o nw i t hs u b - a d d i t i v i t yc a nb ea c h i e v e db ys o m e e r g o d i cm e a s u r e i nt h es e c o n dt h e o r e m ，c a u 0 ，l u z z a t t oa n dr i o sp r o v e dt h a tap r i o r i v e r yw e a kn o n u n i f o r mh y p e r b o l i c i t yc o n d i t i o n s ( c a u s e db yl y a p u n o ve x p o n e n t s ) a c t u a l l yi m p l yu n i f o r mh y p e r b o l i c i t y i v 随机动力系统中的s a c k e r - s e l l 谱与l y a p u n o v 谱 a b s 乞t a c t k e y w o r d s ：r a n d o md y n a m i c a ls y s t e m ；s a c k e r s e l ls p e c t r u m ；l y a p u n o vs p e c t r u m ； m u l t i p l i c a t i v ee r g o d i ct h e o r e m ；r a n d o ma t t r a c t o r w r i t t e nb y ： g u a n g w aw a n g s u p e r v i s e db y ：p r o | e 8 8 0 ry o n g l u oc a o v 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权的声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含 其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学 或其它教育机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究作出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人承担本声明的法律 责任。 研究生签名：丢厂瓦日期：2 。彳厂 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文 合作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本 人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文 外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分 内容。论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 研究生签名： 孑厂瓦 日期：钟f 导师签名： 日期：2 。夕， 随机动力系统中的s a c k e r s e l 谱与l y a p u n o v 谱 第0 章绪论 第0 章绪论 第一节引言 简单的说，动力系统( d y n a m i c a ls y s t e m ) 是研究时空演化规律的- - 1 7 数学学科 时，空，演化规律，是动力系统的三大组成要素：时，就是时间，可以是连续的时间， 也可以是离散的时间，实际上，动力系统往往可以被简单的称为时间的数学；空，就 是空间，它提供了动力系统的表演舞台；演化，就是一种作用，就是赋予空间中的点 关于时间的一种作用，这是动力系统的核心，实际上，动力系统就是研究这种作用的 长时间行为 现代动力系统的历史并不算久远，它始于十九世纪末p o i n c a r 6 创立的微分方程定 性理论他并不去求解微分方程，而是直接通过微分方程本身去研究其解的几何和拓 扑性质这种思想被b i r k h o f f 采用，二十世纪早期，b i r k h o f f 把这种思想发展到了拓 扑动力系统理论中去而后，经过l y a p u n o v ，a n d r o n o v ，k o l m o g o r o v ，a r n o l d ，m o s e r ， s m a l e ，p e i x o t o ，s i n a i 以及我国的廖山涛先生等学者在动力系统上的不懈工作，动力 系统已经迅速的发展壮大起来它不仅形成了数学的一个重要分支，而且在数学的其 它许多分支，在物理，化学，力学，生物学，经济学和工程技术等实践学科中都有重 要应用 发展到今天，动力系统分出了许多研究方向这些研究方向的划分并无太明确的 标准，标准也并非唯一例如，按照动力系统所作用的空间，以及这种作用本身的数 学内涵的不同，动力系统大体可分为拓扑动力系统，微分动力系统，h a m i l t o n 动力系 统，遍历理论和随机动力系统等等方向近几年来，也有学者研究模糊动力系统和测 度链( m e a s u r ec h a i n ，一种时间量度，离散的时间和连续的时间是其特殊情况) 上的动 力系统等 本论文感兴趣的是随机动力系统中的指数二分性，s a c k e r - s e l l 谱，l y a p u n o v 指 数和随机吸引子等 】 随机动力系统中的s a c k e r s e l l 谱与l y a p u n o v 谱 第0 章绪论 随机动力系统是一种斜积( s k e w p r o d u c t ) 系统，它似乎能更好的描述现实世界， 因为它多描述了一个干扰项简单的说，随机动力系统由两部分组成：一个是描述噪声 的抽象动力系统，往往只限制是概率测度空间上的保测系统，对其空间( 底空间) 不施 加拓扑结构，我们称这个系统为驱动系统；另一个是受迫系统，就是受噪声干扰的系 统，往往是拓扑( 或者光滑) 动力系统由此可以看出，随机动力系统理论延续、扩展和 统一了动力系统与随机分析的一些理论实际上，在上个世纪八十年代，b a x e n d a l e 【5 ， e l w o r t h y 【1 7 】，k u n i t a 2 5 】等注意到有些随机微分方程可以生成随机微分同胚，这就 使得研究这些方程的动力学行为成为可能随机动力系统理论提高了随机稳定理论 ( k h a s m i n s k i i 【2 3 1 ) 和随机分支理论( h o r s t h e m k e 和l e f e v e r 【2 1 ) 中的很多结果关于 随机动力系统的更多介绍可以参看a r n o l d 的专著 1 】 指数二分性( e x p o n e n t i a ld i c h o t o m y ) 实际上描述了系统的一种双曲性现象：状态 空间可以分解成两个连续不变的子空间的直和，随着时间的正向变化，系统在其中一 个子空间上表现出指数压缩行为，而在另一个上面表现出指数扩张行为这个概念可 以追溯到p e r r o n 在1 9 3 0 年所作的一个工作，见文献 3 5 】他研究了齐次线性微分系统 ( ) = a ( t ) x ( t ) 的零解的条件稳定性，及其小扰动系统z 印) = a ( t ) x ( t ) + ，( 亡，z ( 亡) ) ( ， 是某种意义下的小扰动) 的有界解的存在性问题从那时起，就有很多学者研究指数二分 性，并取得了很多有意义的结果实际上，z 7 ( t ) = a ( t ) x ( t ) 具有指数二分性，不仅可以保 证它所反映的动力学行为与其小扰动系统的动力学行为是局部拓扑共轭的( g r o b m a n - h a r t m a n 线性化定理) ，而且还可以保证小扰动系统z 俅) = a ( t ) x ( t ) + ，( 亡，z ( t ) ) 的光滑 稳定流形和不稳定流形的存在性关于指数二分性的更多的介绍可以参看 1 5 】，【4 8 ，【4 】 等本文感兴趣的是与指数二分性密切相关的s a c k e r - s e l l 谱问题自上个世纪七十年 代起，s a c k e r 和s e l l 在文献【3 9 - 4 2 】中对指数二分性作了一系列的研究，他们提出了 一个很重要的概念：二分谱( 也称s a c k e r - s e l l 谱，或者动力学谱) ，讨论了s a c k e r s e l l 谱 的存在性问题( s a c k e r - s e l l 谱分解定理) s a c k e r s e l l 谱分解定理表明s a c k e r s e l l 谱是 实数集r 的一个紧子集，从而它可以表成一些有界闭区间( 称为谱区间) 的并，谱分解 定理还给出了谱区间所对应着的相空间的不变子空间的具体形式，并讨论了它们的性 质，实际上，就是借助于s a c k e r - s e l l 谱的性质对相空间做了一个不变分解自s a c k e r ， s e l l 后，有很多学者也来研究s a c k e r - s e l l 谱问题，甚至把这个研究推广到了无穷维的 情形，例如m a g a l h g e s 3 1 ，3 2 ，s a c k e r 和s e l l 【4 4 ，c h i c o n e 和l a t u s h k i n 9 】，c h o w 和 2 随机动力系统中的s a c k e r s e l l 谱与l y a p u n o v 谱 第0 章 绪论 l e i v a 【1 0 】等应当指出的是，无穷维动力系统往往只能在正半时间轴上考虑事实 上，有很多非自治线性微分系统的解往往或者不能在负向时间上考虑，或者即使能延 拓到负向时间上，这种延拓也往往不是唯一的，例如文献【1 9 ，2 0 ，2 8 ，2 9 】中所考虑的对 象s a c k e r - s e l l 谱在具有随机性的动力系统下的推广在文献中也有体现，例如c o n g 和s i e g m u n d 1 4 ，但是那里的底空间上并没有动力系统，因此并不能箅是真正的随机 动力系统我们在本论文中不仅研究了有限维随机动力系统的s a c k e r s e l l 谱分解定 理，而且研究了具有一定的弱紧性的无穷维随机动力系统的情形另外，我们还讨论 了随机非一致指数二分性的情形 除了s a c k e r s e l l 谱，动力系统中还有一种很重要的谱：l y a p u n o v 谱l y a p u n o v 谱是由动力系统的l y a p u n o v 指数( l y a p u n o ve x p o n e n t s ) 组成的集合l y a p u n o v 指 数是研究动力系统渐进行为的基本工具之一，它反映了动力系统随时间演化的平均变 化率l y a p u n o v 指数最初是由l y a p u n o v ( 见文献【3 0 ) 研究常微分方程的非零解的稳 定性时引入的一个概念，从那以后，l y a p u n o v 指数就被广泛的应用于动力系统的研 究，并在动力系统的研究中起到重要作用例如，最大l y a p u n o v 指数是衡量系统是否 具有混沌性状的一个重要指标；l y a p u n o v 指数可以与动力系统中另外两个重要的量 一一熵和维数联系起来，例如著名的p e s i n 熵公式关于l y a p u n o v 指数，有一个很自 然的问题；l y a p u n o v 指数的存在性乘法遍历定理就解决了这个问题不仅如此，乘 法遍历定理还对动力系统的动力学结构给出了更多的信息，例如，乘法遍历定理保证 了l y a p u n o v 指数还对应着不变子空间( o s e l e d e c 子丛) ，这些不变子空间构成了相空 间的一个不变分解乘法遍历定理现在已成为动力系统理论的最基本定理之一乘法 遍历定理的最早版本是属于o s e l e d e c 的( 见文献【3 4 ) ，之后，众多学者对乘法遍历定 理给出了多种证明方法，据统计，已至少有十几种版本，例如文献 1 3 ，1 6 ，1 8 ，2 4 】等， 也可参看专著【1 中的介绍不仅如此，人们还对乘法遍历定理进行了多种情形下的 推广r u e l l e 【3 8 】证明了状态空间为可分的h i l b e r t 空间的情形；m a r l 4 【3 3 】把r u e l l e 的结果推广到了可分的b a n a c h 空间中去，他研究的c o c y c l e 是紧算子；t h i e u l l e n 【4 9 】 利用m a r l 4 的方法研究了一般的非紧c o c y c l e 在一般的b a n a c h 空间下的乘法遍历定 理；2 0 0 8 年，z e n gl i a n 和k e n i n gl u 在【2 7 】中借助r u e l l e 和m a r l 的证明手法，得 到了状态空间为可分b a n a c h 空间时的无穷维随机动力系统的乘法遍历定理注意到 所研究框架的不同，相应的乘法遍历定理的证明也有所不同例如，对于无穷维的情 3 随机动力系统中的s a c k e r s e l l 谱与l y a p u n g v 谱 第0 章绪论 形，r u e l l e 的证明是基于h i l b e r t 空间中非负对称算子的谱理论，他使用了“外积” ( e x t e r i o rp r o d u c t ) 作为工具但r u e l l e 的证明不能用于b a n a c h 空间，而m a r l 4 和 t h i e u l l e n 则在b a n a c h 空间的框架下证明了乘法遍历定理z e n gl i a n 和k e n i n gl u 研究了可分b a n a c h 空间中无穷维随机动力系统的乘法遍历定理，使用的是m a r l 4 和 t h i e u l l e n 的证明方法，但也借鉴r u e l l e 的“外积”手段而引进了b a n a c h 空间中的“体 积函数”( v o l u m ef u n c t i o n ) 作为一个重要工具关于乘法遍历定理的推广，还可参看 s c h a u m l s f f e l 的工作【4 5 ，4 6 】等我们在本文中讨论的是一般的非紧c o c y c l e 在可分的 b a n a c h 空间时的无穷维随机动力系统的乘法遍历定理，所采用的证明是基于m a r l 4 和 t h i e u l l e n 的方法，但对有些结论原有的证明方法进行了改进，以使得更为简洁 在o s e l e d e c 给出乘法遍历定理，和s a c k e r 、s e l l 得到动力学谱分解定理的工作的 基础上，1 9 8 7 年ij o h n s o n 、p a l m e r 和s e l l 【2 2 】讨论了有限维动力系统中s a c k e r s e l l 谱与l y a p u n o v 谱的关系，得到了下面的结论： a e d ( 7 r ) l l ，口( 丌) e d ( 7 r ) ， 其中7 r 表示所研究的动力系统， e d 何) 表示7 r 的s a c k e r s e l l 谱， l v 口( 7 r ) 表示7 r 的l y a p u n o v 谱，o e e d ( 7 r ) 表示s a c k e r - s e l l 谱的边界关于相应的谱子丛，他们证得 了o s e l e d e c 谱子丛是s a c k e r - s e l l 谱子丛的加细1 9 8 3 年，m a f i 6 将o s e l e d e c 的有 限维动力系统的乘法遍历定理推广到了具有紧性的无穷维动力系统中去；1 9 8 7 年， m a g a l h 她s 【3 1 】将s a c k e r 、s e l l 在有限维动力系统的动力学谱分解定理推广到了具有 一致全连续性的无穷维动力系统中去；1 9 9 8 年，s c h r e i b e r 【4 7 在m a - 矗6 和m a g a l h 犯s 的框架下，得到了无穷维紧致( 这里指所讨论的c o c y c l e 是紧算子) 动力系统中s a c k e r - s e l l 谱与l y a p u n o v 谱的关系，推广了j o h n s o n 、p a l m e r 和s e l l 的相应的有限维情形 的结果1 9 8 7 年，t h i e u l l e n 将m a r l 4 的乘法遍历定理推广到了一般的无穷维动力系 统中去；1 9 9 4 年，c h o w 、l e i v a 【1 0 将m a g a l h 五e s 【3 1 ( 即本文中的定理2 1 1 ) 的 一致全连续性的条件减弱，得到了无穷维动力系统的s a c k e r s e l l 谱分解定理，类似的 结果也可以在c h i c o n e 和l a t u s h k i n 的专著 9 】或者v o u t a z 的博士毕业论文【5 0 】中 找到；2 0 0 7 年，v o u t a z 【5 1 】在t h i e u l l e n 和c h o w 、l e n a 的框架下，得到了无穷 维动力系统中s a c k e r s e l l 谱与l y a p u n o v 谱的关系，进一步推广了j o h n s o n 、p a l m e r 和s e l l 的相应的有限维情形和s c h r e i b e r 的无穷维情形的结果，在两种谱的谱子丛的 关系上，c h i c o n e 和l a t u s h k i n 的专著【9 】中也有相应的推广结果在本论文中，利 4 随机动力系统中的s a c k e r s e l l 谱与l y a p u n o v 谱 第0 章绪论 用y o n g l u oc a o 在2 0