（概率论与数理统计专业论文）增长曲线模型中回归参数矩阵在约束条件下的估计.pdf

硕士学住论文 m a s t e r st h e s i s 中文摘要 考虑增长曲线模型： e ( y 。p ) = x 。k b k 。，z ，。p 这里x 、z 为已知设计矩阵，b 为未知回归参数矩阵，k ，则对可估线性函数 k b l ，l s 估计k 乱仍为其最优线性无偏估计( 矩阵菲负定意义下) b ) 若肛( g 。) n 肛( z + ) = 。) 且p ( 日) n p ( z ) = 。) ， 尺( 喜) 2 尼， 月( z ；日) = ，则 b 为条件线性可估，且庑= 伍x + o o ) - 1 x 。y z 。( z z + h h r 为其最优线性无偏估计。 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s ( 2 ) 在齐次线性约束g b h = 0 下， 若p ( g ) n u ( x 。) = o ) 或肛( h ) n 卢( z ) = 1 0 则对可估线性函数k b l ，l s 估计商为其最优线性无偏估计。 关键词：齐次线性约束：最优线性无偏估计；线性可估函数 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s a b s t r a c t c o n s i d e r g r o w t hc u r v em o d e l a sf o l l o w s ： e ( y p ) = x n k b k rz r ) ( p w h e r ex ，za r ek n o w nd e s i g nm a t r i x ，bi s a l lu n k n o w nm a t r i xo fr e g r e s s i o n c o e f f i c i e n t ，k n ，r p ，f u r t h e r m o r e ，t h er o w so fy n x p a r ei n d e p e n d e n tp - v a r i a t e v e c t o r sw i t hc o m m o nc o v a r i a n c em a t r i xs2 i 口a n d s 2 i su n k n o w n ， d i f f e r e n te s t i m a t o r so fr e g r e s s i o nc o e f f i c i e n t sbh a v eb e e nd i s c u s s e di n m a n yd o c u m e n t s w h e nr e g r e s s i o nc o e f f i c i e n t sb i sw i t hs o m er e s t r i c t i o n s ，f o r e x a m p l e ，g b h = d o r g b = f 1 ，b h = ，2 ，i ng e n e r a l ，t h e i d e ai st of i n dt h e s o l u t i o no ft h ee q u a t i o n sa n dt h e nt or e p l a c et h er e g r e s s i o nc o e f f i c i e n t sbw i t ht h e s o l u t i o n ，w h i c h r e d u c e st h er e s t r i c t e dg c mt oa nu n r e s t r i c t e dg c m b u tt h e r e s u l t i n ge x p r e s s i o n so ft h ee s t i m a t e sa r es o m e w h a tc o m p l i c a t e d t h i st h e s i sf i n d s s o m ec o n d i t i o n st om a k et h ee s t i m a t o r ss i m p l e t h em a i nr e s u l t sa r ea sf o l l o w s ： ( 1 ) w h e nt h er e g r e s s i o n c o e f f i c i e n t sm a t r i xbi s s u b j e c t t ot h er e s t r i c t i o n s ： g b = 0 b h = 0 a ) i f ( g 1 ) n ( x ) = o a n da ( h ) n ( z ) = 阱t h e n f o ra ne s t i m a b l e l i n e a rf u n c t i o n k b l ，t h el s ek b l i sab e s tl i n e a ru n b i a s e de s t i m a t e ( i nt h e s e n s eo f n o n n g n t i v ed e f i n i t e ) b ) i f 邸加删) 叩汕( 踟解) - 0 ) r 卸胙旧) 一t h e n 雪：k x + g g ) - 1 z y z ( z z + h h ) 。i s a b e s t l i n e a r u n b i a s e de s t i m a t eo f b ( 2 ) w h e nt h er e g r e s s i o n c o e f f i c i e n t sm a t r i xbi s s u b j e c t t ot h er e s t r i c t i o n s ： 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s g b h ；0 i f 肛( g ) n ( x7 ) = 0 o ru ( h ) n u ( z ) = 0 ) t h e nf o r a l le s t i m a b l e l i n e a rf u n c t i o nk b l t h el s e 面li sab e s tl i n e a ru n b i a s e d e s t i m a t e ( i nt h e s e n s eo f n o n n g a t i v ed e f i n i t e ) k e y w o r d s ：l i n e a r e s t i m a b l e f u n c t i o n ；b l u e ；h o m o g e n e o u s l i n e a rr e s t r i c t i o n 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究 工作所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其 他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和 集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：丘p 嵌。靛日期：5 年s 月f 3 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查 阅和借阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有 关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位 论文。 作者签名：鄞冀伏 日期：叫s 年j 月f g 日 导师签名：知。色厢、 日期：矿年r 月，g 日 本人己经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本 人的学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章 程”中的规定享受相关权益。圃童逾塞握壅卮进卮! 旦圭生；旦二：生；旦三生 蕉壶! 作者签名：五睫。伙 日期：硼j 年s 月1 3 日 导师签名：k 秒 日期：1 广年厂月，日 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 1 1符号说明 a o b 肛( 彳) r ( a 爿 4 爿一 彳+ b m _ c o v ( r ) g c m l s e b l u e d i m ( s ) 一、引言 矩阵a 与b 的k r o n e c k e r 乘积 矩阵a 的列向量张成的线性空间 矩阵a 的秩 矩阵a 依列拉直得到的列向量 矩阵a 的转置 矩阵a 的广义逆 矩阵a 的m o o r e p e n r o s e 广义逆 向空间口皤) 的正交投影阵 i p x 随机矩阵y 的协方差阵 增长曲线模型( g r o u t hc u r v em o d e l ) 最小二乘估计( l e a s ts q u a r ee s t i m a t e ) 最优线性无偏估计( b e s tl i n e a ru n b i a s e de s t i m a t e ) 线性空间s 的维数 硕士学位论文 m a s t e r st 胍s i s a 0 a b r 。7 1 2 模型与问题 矩阵a 为非负定矩阵 表示a - b 为非负定矩阵 所有k r 阶的实元素矩阵的集合 考虑增长曲线模型 e ( y 。p ) = x 。k b k xr z ，。p ( 1 1 ) 这里x 、z 为已知设计矩阵，b 为未知回归参数矩阵，k n ，r o 未知。 增长曲线模型的概念是由w i s h a r t 于1 9 3 8 年提出的，1 9 6 4 年p o h o f f r a y d 对这种广义线性模型的背景作了详细研究。由于增长曲线模型在生物学、 医学和工艺替代研究中有广泛应用，文献i 13 】给出了大量增长曲线模型的实 例因此许多学者研究了该模型的参数估计、假设检验和预报。19 8 9 年y o n r o s e n 在均值无约束、约束存在、观测有缺失三种情况下，分别给出了g c m 中回归参数矩阵的极大似然估计，1 9 8 8 年潘建新给出了g c m 中回归参数矩 阵b 在t r a c e 意义下的最小二乘估计台，及其g a u s s m a r k o v 定理( 矩阵非 负定意义下) ，并进步讨论了回归参数矩阵受到线性约束g b = d b h = f 的估 计。后来众多学者又研究了推广的增长曲线模型： e ( y ) = x 1 b a z l + x 2 8 2 2 2 f 1 2 】 硕士学位论文 m a s t e r s1 h e s i s 事实上，这种推广增长曲线模型可以写成约束存在的增长曲线模型 e ( y ) 一x b z 这里x = ( x l ；x 2 ) 回归参数矩阵b 具有约束条件 z 倒 e = f 0 c 。：，净( ：) 。o h ( ，! 。归( ；) 2 。 在实际中，当我们对具体问题有了一定附加信息后，这些信息往往可以用 约束条件的形式来描述。因此，对带有约束条件的增长曲线模型的研究具有理 论与实际上的意义。文献中对这种带有约束条件的增长曲线模型的研究主要是 利用矩阵方程组的理论，将模型转化为无约束条件的增长曲线模型。从而得到 回归参数矩阵的约束条件下的估计，但对这种估计没有进一步深入的研究。 本文在以上研究的基础上，主要讨论了以下两种线性等式约束条件： 条件( 1 ) 条件( 2 ) g ，。b t 。，= o 且b 女h ，= 0( 1 3 ) g s 。k b h h ，d = 0 1 4 1 分别在这两种约束条件下，讨论增长曲线模型( 1 ，1 ) 的回归参数矩阵b 的估计 与无约束下的l s 估计相等的条件，以及在某种条件下该估计的简化。 由于在讨论过程中大量用到矩阵的广义逆，作为本节的结束，我们将矩阵 的m o o r e p e n r o s e 广义逆的有关结论以引理的形式给出。 、1il_， ；吼 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 引理1 1 记彳+ 为矩阵a 的m o o r e p e n r o s e 广义逆，则 ( 1 ) a + = a ( a a l ) + t 印1 爿) + a 2 l 口。爿) + = 4 + 轵) + ( 3 ) a ( a 一) + a 。a ；aa + 彳即。一) + a = 4 ( 4 ) 只= 爿口爿) 一a = a a + ，只；a 。( a a l ) 一a = 爿+ a ( 5 】记m 。a ，一e o 贝0 a ( m 。a a m g ) + a a m g ( m g a a m 6 ) + m g 4 = 只m 。 4 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 可估参数线性函数的估计 我们讨论的增长曲线模型为 e ( y 。p ) = x 。kb k ，z ，。p 这里x 、z 为已知设计矩阵，b 为未知回归参数矩阵，k o 贝4 a o c b o d 0 【定理2 3 的证明】 设d y f 为k b l 的任一线性无偏估计，则 e ( d y f ) = k b l对一切b r “ 即d x b z f = k b l对一切b r “ 注意到 所以 ( ( z ) x ) o ( z _ f ) ) 豆= ( k o l 。) 豆 对切b r 。 ( d r ) ( z f ) = ( k o l ) c o v ( d y f ) ；c o v ( ( d 0 ，1 而 = ( d o f ) 仃2 ( ，。o ，) ( d o f ) = g r 2 ( d d o f 。f 1 d ( z 。一尸；) d 20 f ( ，一艺) f 0 d d = d ( z 。一f ；) d + d p x d d p x d = d x ( x x ) 一z d f f = f ( ，p 一己) f + f 艺f f 乞f fz ( z z ) 一z f 所以c o v ( d y f ) = 口2 ( d d f f ) 盯2 ( d x ( x x ) 一x 。d ) o ( f z ( z z ) 一z f ) ；盯2 ( d xo f z 1 ) ( ( x 。丑) 一o ( z z ) 一) ( x d o z f ) = d 2 ( k ) “x 。x ) 。 ( z z ) 一) ( 彤 ) 8 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 从而得证。 = 盯2 ( k f x ) 一k + ) o ( z z 。) 一三) = c o v ( k 直l ) 9 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 三、回归参数矩阵在约束条件( 1 ) 下的估计 下面玻f 哝约束条件( 1 ) 下讨论增长曲线摸型( 1 1 ) 的回归参数矩阵b 的估计。 约束条件( 1 ) ：g ，“b h = 0 且b ，。= 0 记s ； 口月“i g b = o ，b h = o ) 定义3 1回归参数矩阵b 的线性函数k b l 称为条件( 1 ) 线性可估函数 如果存在y 的线性函数d y f ，使得对一切占s e ( d y f ) = k b l 成立此时称d y f 为k b l 的条件( 1 ) 线性无偏估计。 引理3 1 矩阵方程组 j g b = o1 3 1 ) l b h ；0 的通解为b = ( ，一g + g ) 0 ( ，一删+ ) ，这里0 为任意r 矩阵。 【证明l 设b 是矩阵方程组( 3 1 ) 的解，则g b = 0 ，b h = 0 故有 b = ( ，一g + g ) b ( i h h + ) 反之，若b = ( ，一g + g ) 0 ( ，一h h + ) 注意到a ( r g + g ) = 0 ，( 一朋+ ) h ；0 从而有g b = 0 ，b h = 0 即b 是矩阵方程组( 3 i ) 的解得证。 由引理3 1 ，在约束条件( 1 ) 下的增长曲线模型( 1 1 ) 可写为 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s e 0 ) = x b z = x ( 1 一g + c ) o ( i h h + ) z ( 3 2 ) 定理3 1回归参数矩阵b 的线性函数k b l 为条件( 1 ) 线性可估函数的 充要条件是 x ( k ) ( x j g ) 且 ( ) c ( z i h ) 【证明】由定理2 1 回归参数矩阵b 的线性函数k b l 为条件( 1 ) 线性可估 函数的充要条件是 p ( ( ，一g + g ) k 。) ( ( j g g ) x ) ，弘( ( j 一王w + ) ) c p ( ( ，一h h + ) z ) 若( ( ，一g + g ) k + ) c ( ( ，一g + o ) x 。) ，p ( ( j h h + ) 工) c 卢( ( ，一月h + ) z ) 则存在矩阵d 、f 使得 ( ，一g + g ) k 。= ( ，一g + g ) x d ，( ，一h h + ) = ( ，一h h + ) z e k = ( ，一g + g ) x d + g + g k，l = ( ，一删+ ) z f + h i + l = x 。d + g + g ( k 。一x d )= z f + h h + ( 一z f ) = x d + g ( g g ) g ( k x d ) 所以x ( k ) c 肛( i g ) ，u ( l ) c 肛( z i h ) 反之若弘僻) c 弘( x i g ) ，) c 芦( z j 日) 则存在矩阵d 、d ，、f 、f ，使 k j = x j d + g j d l，l=zf+hft 所以( ，一g + g ) k + = ( ，一g + g ) x d ，( ，一h h + ) 三= ( ，一h h + ) z f 1 1 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 从而肛( ( ，一g + g ) k ) c “，一g + o ) x ) f ( ( ，一h h + ) 工) c p ( ( ，一h h + ) z ) 得证。 记 雪，= ( ，一g + g ) 6 ( 1 一h h + ) = m g ，舀n f 其中 6 = ( ( ，一g + o ) x l x ( 1 一g + g ) ) 一( 一g + g ) x 。y z l ( ，一h h + ) ( ( ，一h h + ) z z ( j h h + ) ) = ( m g x 。x m g t ) 一m g x y z m h ( m h z z m j f ) 由定理2 3 知，对于条件( 1 ) 线性可估函数碰圯， 活江为其最优线性 无偏估计。下面得到本文最重要的定理。 定理3 2若 a ( o ) n u ( x 。) = 0 ) 且( h ) n 弘( z ) ； 0 ( 3 3 ) 则模型 ie 翠。p1 = x 。k 8k 。，z ，。p ，g ，。k bk 。? = o j l b t h 。= 0 1 y 的各行向量不相关，同协方差阵口2 1 ，2 ，0 未知 相应的雪= 僻j ) 一x 。y z l ( z z ) 一，对一切线性可估函数k b l ，其最优线性无偏 估计为k 乱，即面江= k 既 该定理的证明主要依耐于下面的引理及其推论。 引理3 2设a r “”h e r “，则 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s ( 1 ) s = a x ：i - i x = 0 ) 是p 似) 的子空间； ( 2 ) d i m ( s ) 娟 【证明l( 1 ) 的证明是简单的现在证明( 2 ) 。不妨设r ( h ) ：k ，则存在k 阶可逆矩阵q ，使得q h = ( i 。i o ) 于是 d i m c s ，= a i m ( 20 ) ( ：三) ：c ，t ! 。：三) 。 = d i m 0 ( 2 ) ：z ( 2 ) 任意 = r 似：) 训钟州t ， 堋坷c 日， 一阶掣， 最后一步是由叫甜( 删h a 卜而r 娟 推论：设p ( g 。) n p ( x 。) ； o ，贝4 【证明】因为 肛( ，一g + g ) ) = 恤：f = ( ，一g + g ) x ，x 任意 = 伽：g t = o ) 1 3 硕士学位论文 m a s t e r s1 h e s i s 由引理2 4 及假设条件，有 d i m 肛( x ( i - g * g ) ) | r 姐( g ) r ( xi g ) 一r ( g ) r ( x ) = d i m f ( x ) 但p ( 盖( ，一g + g ) ) c ( x ) ，于是a ( x ( i g + g ) ) = ( x ) 【定理3 2 的证明】 k b l 为可估线性函数，由定理2 1 p ( k ) ( x ) 且( ) c a ( z ) 故存在矩阵d 、f 使得 k = d xal = z f 由假设及其引理3 2 之推论知 所以 所以 口( x ( ，一g + g ) ) = 肛( x ) 且 ( z ( 一h h + ) ；( z ) p = p x 虽 乞。= 乞 耷工= d x m gc m g x 。x m g ) 一m 6 x 。y z 。m h h z z 。m h ) 一m h z f 2 d p 埘。x 巴* 。f = d p x x p - f t 4 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 从而得证。 进步，若 = d x 瞄z ) 一x y z ( z z ) 一z f = 面l r ( 喜) 。七，r ( z ：h ) 2 r ，s = t 一月( 丑) ，r = r r ( z )( 3 4 ) 我们有以下结论。 定理3 3若约束增长曲线模型 f 慨。pj = x b m z w ，g m b = o r b h h 。= o l y 的各行向量不相关，同协方差阵盯2 i ，盯2 ) o 未知 满足条件( 3 3 ) 和( 3 4 ) ，则回归参数矩阵的一切线性函数k b l 均条件( 1 ) 可估，即b 条件( 1 ) 可估，且 度= k x + g g ) 。爿y z ( z z + h h ) 。1 为口的条件( 1 ) 下的最优线性无偏估计。 我们先证明一个引理。 独3 3 利g m ( x ) - o ，r = k , s = k - r ( x ) 贝4 ( 1 ) x 暖x + g g ) 。x = x ( x ￥) 一x ( 2 ) x x ( x 并+ g 。g ) 。x ：x 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s ( 3 )g ( x 。盖+ g g ) 。盖。= 0 【证明】记r 旺) 一qc 七，x 的q 个线性无关的行向量为并，于是 爿1 ( 考) 为k 阶可逆矩阵，存在e x a ，使得工= ( c - o ) 爿，而g = ( 0 ；，p 这样 x ( 警护g g “( ：? 卜 注意到c c 的可逆性，我们有 郴g 广盖删小( 管圳- 1 爿+ = 严? 。c 。： x ( x x ) - x ：x 胁啪警计爿 = c ( c c 0 ) 。c 。0 。1 j 所以x ( x 。x + g 。g ) 。x = x ( x x ) 一x 删工呻“( 管朴1 ( 管w 一 “0 叫 lj g c x g 广工巾叫爿+ ( 警w 爿 1 6 因为 l 定理3 3 的证明l 主要利用引理3 3 r ：t ，r 岫) ：r ll 所以j ic ( x 。! g ) ，j ，c 弘( z i l l ) 由定理3 1 知b = ，。研，条件( 1 ) 线性可估 所以由引理3 3 之( 2 ) 、( 3 ) 有 e 眩) ；k 。x + g o ) - 一xe ( y ) z ( z z + 删r 1 = 伍x + o o ) - x x b z z ( z z + 册。) - 1 = 瞄+ x + g g ) 。1 ( x + x + g g ) b ( z z 。+ h h ) ( z z 。+ h h ) 。 = b 倒数第二步是由于g b 一0 ，b h = 0 所以雪；：伍x + oo ) - 1 x 。y z ( z z + h h ，1 是b 的线性无偏估计。 c d y 坎) = c o v ( ( ( x x + g g ) 一x ) 。( ( z z + h h ) 一1 z ) 矿) = d z ( ( x 。x + g g ) 一1 x 。x ( x x + 6 g ) 一1 ) 。( ( z z + h h ) z z + ( z z + h h ) 一1 ) 设d y f 是b 的任一线性无偏估计，则 e ( d y f ) = d x b z f = b y b s 所以d x ( i g + g ) = ( i g + g )( ，一h h + ) z f = ( ，一h h + ) 1 7 d x 一，+ ( d x i ) c + gz f = ，+ h h + ( z f 一，) 所以d d ；d ( 1 。一最) d + d p x d d p x d ；d x 伍x ) 一爿d = d x ( x x + g g 、。置。d 。 = d x ( x x + g g ) 一1 ( 石。x + g 。g ) ( x 工+ g g ) 。x d = d x ( x x + g g ) 一1 z x ( x 肖+ g g ) 一1 x d ( + ( d y i ) g + g ) ( x 。x + g g ) 一1 x 。x ( x 。+ g 。g ) 一1 ( ，+ g 。( g + ) ( x d 一，) = ( ( 肖+ g g ) 一，石。x ( x 。彳+ g g ) 一1 ) 同理f f ( ( z z + h h + ) z z 。( z z 。+ 删1 ) 一1 ) 所以c o v ( d y f ) ；j2 ( d d l ，f ) z 盯：“x x + g + g ) 1 x 。x ( x 1 x + g 。g ) 一1 ) o ( ( z z + 册。) z z ( z z = c o y 坎) 所以成为口的条件( 1 ) 下的最优线性无偏估计。 从而定理3 3 得证。 定理3 2 和定理3 3 说明，b 的l s 估计台不唯一，但在引人条件( 3 3 ) 和条件( 3 4 ) 后，不仅对切可估线性函数彪陇，：有k b i l = 髓l ，而且废是 雪的一个待解。 1 8 硕士学位论文 m a s t e r s1 1 e s i s 四、回归参数矩阵在约束条件( 2 ) 下的估计 本节我们在约束条件( 2 ) 下讨论增长曲线模型( 1 1 ) 的回归参数矩阵b 的估计问题。所用方法与( 三) 不同，主要是利用矩阵的拉直，将模型转化为 般线性模型。因此，我们将一般线性模型的有关结论作为引理给出。 引理4 1 对于一般线性模型 f e t y 、= x p ，旦上8 = 0 。c o v ( y ) = u2 i 。 ( 1 )回归参数p 的线性函数c 侈条件可估的充要条件是c ( 彳。! l ) ( 2 】2对于可估线性函数c 声，若a ( x 。) na ( l ) = o ) ，c 谚为其最优线性无偏估 计，其中岔= ( x 。x ) 一x y 利用矩阵的拉直，增长曲线模型( 1 1 ) 及约束条件( 2 ) 可以写为 e ( 矿) ；( x o z 。) 百 ( g 爿) 蜃= 0 这样，增长曲线模型( 1 1 ) 的回归参数矩阵在约束条件( 2 ) 下的估计问题转 化为一般线性模型的回归参数在约束条件下的估计问题。由此我们有 定理4 1 若肛( x ) n 肛( g ) = 0 ) 或p ( z ) n t z ( h ) = o ，则模型 ， e ) = x b z ，且g b h = 0 ， o y 的各行向量不相关，同协方差阵盯2 i 。) - o ，仃2 未知， 硕士学位论文 m a s t 职st 脏s i s 相应的言= 暇石) 一x y z ( z z 。) 。，对一切线性可估函数胎l ，k 既为其最优线 性无偏估计 i 证明l 由引理4 1 及上面的说明知，只需证明 卢( g o 日) n p ( x + z ) = 下面用反证法证明假设( go h ) n 畔 z ) 一 0 ) 则 所以 设 则 所以 因为 所以 3 k o ，k p ( 丑0 z ) n 卢( go h ) 有k 。，k ：使得k = ( x o z 冲= ( g o h 冲： b 。，b ：分别为n x p ，s f 矩阵，且百。= k l , 百：。k ： 女：而7 ：丽 x b 1 z 。= g b 2 h ( x b ，z ) c p ( 盖) ，( g b ：h ) c 肛( g ) ( z ) n p ( g ) o ) 同时由x b 。z = g b 2 h 。得z 或x = h b ，g 类似有肛( z ) n 掣( h ) 一 o ) ，与已知矛 盾。从而命题得证。 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 结束语 本文只是初步探讨了增长曲线模型的回归参数矩阵在约束条件下的估 计，还有很多问题需要解决。如在约束条件( 2 ) 下是否有类似定理3 3 的结论， 如何解决引言中提到的约束条件( 。；，归( ：) 2 。且( ，；。归( ；) 2 。下的估计问题等 等。 硕士学位论文 1 , h a s t e r st h e s i s 参考文献 【1 】王松桂线性模型的理论及其应用安徽教育出版社 1 9 8 7 2 1 张尧庭、方开泰多元统计分析引论 科学出版社1 9 8 2 3 1 倪国熙常用的矩阵理论与方法上海科学技术出版社 1 9 8 4 1 4 1 程云鹏矩阵论( 第二版)西北工业大学出版社 2 0 0 2 【5 】杨文礼线性模型引论北京师范大学出版社 1 9 9 8 6 1 徐承彝、杨文礼、蒋文