（无线电物理专业论文）最优化方法在核磁共振数据处理中的应用.pdf

摘要 本文主要研究了最优化方法在核磁共振数据处理中的应用，包括遗传算法在 核磁共振信号曲线拟合中的应用以及在磁共振成像图像降噪中的应用。 针对曲线拟合的数值迭代方法有很多，包括多元函数的下山单纯行法、多元 函数的变尺度法、多元函数的共轭梯度法等。这些算法在使用上的常见限制包括 要求比较准确地设置参数的初始值、不适用于拟合参数较多的情况等。遗传算法 在这方面有了新的突破，使其获得了广泛的应用。 本文在简单遗传算法( s g a ) 的基础上，针对简单遗传算法在曲线拟合应用中局 部搜索能力差、收敛精度低的特点，提出了一种新的基于种群再分布的改进型遗 传算法( p r g a ) 。该算法在遗传算法进行的过程中，根据最优解的优劣，调整种群 在最优解附近的分布，从而增强了算法的局部搜索能力。通过实验，证明该方法 对于曲线拟合问题能取得优于简单遗传算法和传统数值迭代方法的结果。 。 此外，我们还将最优化方法应用到对图像降噪算法的优化中。通过对小波域 图像降噪算法n e i g h s h r i n k 的优化，提出了具有自适应能力的优化的邻域降噪算 法( o p t i m i z e dn e i g h s h r i n k ，o n s ) ，该算法根据统计的结果，结合图像的细节水平， 对于不同级不同方向的小波系数采用最优化的阈值和收缩阈值。在此基础上，提 出了用于m r i 图像降噪的算法( o n s - m r i ) ，这些算法都取得了优于以往的基于阈 值的小波降噪算法的效果。 关键词：遗传算法；曲线拟合；种群分布；核磁共振；小波；图像降噪 a b s t r a c t t h i sp a p e rf o c u s e so nt h ea p p l i c a t i o no fo p t i m i z a t i o ni nn m rd a t ap r o c e s s i n g i n c l u d i n ga p p l i c a t i o no fg e n e t i ca l g o r i t h mi nc u r v e - f i t t i n go fn m r d a t aa n di m a g e d e n o i s i n go fm r ii m a g e s m a n yd i f f e r e n ta l g o r i t h m sc a nb eu s e di nc u r v e - f i t t i n g ，s u c ha ss i m p l e xm e t h o d ， v a r i a b l ed i m e n s i o nm e t h o da n dc o n j u g a t e - g r a d i e n tm e t h o d c o m m o nr e s t r i c t i o n s o ft h e s ea l g o r i t h m si n c l u d er e q u i r e m e n to fc o r r e c t l y - s e ti n i t i a l i z ev a l u e s , l i m i t e d n u m b e ro fp a r a m e t e r st os e a r c h g e n e t i ca l g o r i t h mm a d eab r e a k - t h r o u g hi nt h e s e a s p e c t sa n dt h u sg e t sa p p l i e dw i d e l y t h es i m p l eg e n e t i ca l g o r i t h m ，w h e na p p l y i n g t oc u r v e - f i t t i n g o f t e ns h o w si t sw e a k n e s si nl o c a ls e a r c hc a p a c i t ya n dc o n v e r g e n c e a c c u r a c y t oi m p r o v et h i s ，w ep r o p o s e dap o p u l a t i o n r e d i s t r i b u t i o ng e n e t i c a l g o r i t h m ( p r g a ) i nt h ep r o g r e s so fc u r v e - f i t t i n g ，p r g aa d j u s tt h ed i s t r i b u t i o no f t h ep o p u l a t i o na r o u n dt h eo p t i m u ms o l u t i o na c c o r d i n gt ot h eq u a i l t yo ft h e s o l u t i o n ，t h u si m p r o v e st h el o c a ls e a r c ha b i l i t yo ft h ea l g o r i t h m e x p e r i m e n t a l r e s u l t sp r o v et h a tp r g ag i v e sb e t t e rr e s u l t si nc u r v e f i t t i n gc o m p a r e dw i t hs i m p l e g aa n dn u m e r i ca l g o r i t h m s o p t i m i z a t i o n i sa l s o a p p l i e d t ot h ei m a g ed e n o i s i n g b yo p t i m i z i n ga w a v e l e t - d o m a i ni m a g ed e n o i s i n ga l g o r i t h m ，n a m e l yn e i g h s h r i n k , w ep r o p o s e da n o p t i m i z e dn e i g h s h r i n k ( o n s ) a l g o r i t h mt h a ti sa d a p t i v et ot h ei m a g ed e t a i ll e v e l o n su s e sd i f i e r e n tt h r e s h o l da n ds h r i n k a g ef o rd i f f e r e n ts u bb a n d sa c c o r d i n gt ot h e s t a t i s t i c sa n dt h ei m a g ed e t a i ll e v e l b a s e do no n s ，a na l g o r i t h mf o rm r ii m a g e d e n o i s i n g ( o n s m r i ) i sa l s op r o p o s e d b o t ha l g o r i t h m so u t p e r f o r m e dt h eo t h e r t h r e s h o l d i n ga l g o r i t h m si no u re x p e r i m e n t s k e v w o r d s ：g e n e t i ca l g o r i t h m ；c u r v ef i t ；p o p u l a t i o nd i s t r i b u t i o n ；n m r ； w a v e l e t ；i m a g ed e n o i s i n g ； 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及 取得的研究成果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果对本文的研究做出重 要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意 作者签名：蜒酶 日期：丝2 ：互二i f 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学 校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电 子版和纸质版有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论 文进入学校图书馆被查阅有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在 解密后适用本规定 学位论文作者签名：畔缓厮 导师签名：如艺 华东师范大学硕士研究生论文 第1 章遗传算法在核磁共振信号处理中的应用 1 1 最优化方法简介 从字面上看，最优化方法就是为了达到最优化目的而提出的各种求解方法。 在数学上，其一般表现为在存在一组约束条件的前提下，求某个函数的极值的过 程。 最优化模型中一般包括变量、约束条件和目标函数等三个要素。其中变量就 是指所要优化的对象。约束条件是指在优化过程中需要遵循的一些规律和法则。 目标函数就是一个优化问题中，参数好坏的评价标准。 要解决一个最优化问题，一般要先将此问题通过数学模型来表达。这时，应 写出目标函数和约束条件。然后，就是选择一个最优化方法来求解此问题。一般 来说，求解一个最优化问题方法有解析法、直接法、数值计算法等多种方法，其 中直接法和数值计算方法是较常使用的类型。它们需要通过编制相应的计算机程 序来执行。通过迭代的方法，逐步逼近最优解。而最优解往往又分为全局最优与 局部最优。不同的最优化方法在求解时对不同最优解的求解能力又有所差异。 1 2 遗传算法简介 1 2 1 遗传算法的基本思想 众所周知，达尔文的“适者生存，优胜劣汰”描述了自然界进化过程的基本 规律。自然界任何物种的进化都符合这样一个规律法则。人们从自然界的规律中 学到了越来越多的东西，懂得模仿自然界规律来完成我们的任务。遗传算法 ( g e n e t i ca l g o r i t h m ) ，就是这一类模仿的杰出代表。m i c h i g a n 大学的h o l l a n d 教授 在1 9 7 5 年提出了一种被现在称为简单遗传算法( s i m p l eg e n e t i ca l g o r i t h m ，以下 简称s g a ) 的最优化算法【7 】，其很大程度的模拟了自然界寻优过程的随机性、鲁 棒性和全局性。这是一种全新概念的全局优化搜索算法，其利用了群体搜索策略 和群体中个体之间的信息交换。算法在理论上和实现上都比较简单，并且有很强 的扩展能力和改进潜力。遗传算法对搜索空间有广泛的适应性，并且对函数本身 没有任何依赖性，甚至可以不知道函数的具体形式，尤其适用于处理传统搜索方 法难以解决的复杂和非线性问题。 遗传算法中使用了一些遗传学上的专有名词，比如：染色体、交叉、变异和 种群等。在使用遗传算法时，这些概念都有着重要的作用。运用遗传算法的几个 华东师范大学硕士研究生论文 关键部分就是信息的编码形式、初始种群的产生方法、染色体的选择方式以及适 应值的计算。如何高效合理的使用这些概念决定了遗传算法的优劣。它们的选择 好坏和最终的运行结果、运行速度都有很大的关系。 1 2 2 主要名词定义 串：它是个体的形式，在算法中为二进制串，并且对应于遗传学中的染 色体。又叫单个样本。 群体：个体的集合称为群体，串是群体的组成元素。又叫种群。 群体大小：在群体中个体( 即样本) 的数量。 基因：基因是串中的元素，基因用于表示个体的特征。 基因位置：一个基因在串中的位置称为基因位置，有时也简称基因位。 基因特征值：在用二迸制串表示时，基因的特征值与二进制数的权重一 致。 种群的具体特征可以由图1 来表示： 图1 一个种群的示意图 适应值：表示某一个体对环境的适应程度。具体说就是某个个体的优劣 程度。 选择：这是从群体中选择出较适应环境的个体。这些选中的个体用于繁 殖下一代。 交叉：这是在选中用于繁殖下一代的个体中，对两个不同的个体的相同 位置的基因进行交换，从而产生新的个体。图2 表示了交叉前后的两条 染色体的变化情况： 华东师范大学硕士研究生论文 f 选择该点进行交叉 图2 交叉行为示意图 变异：这是在选中的个体中，对个体中的某些基因执行异向转化。图3 表示了变异前后的染色体的变化情况： 匝工刃夏皿皿 l 选择该位变异 图3 变异行为示意图 华东师范大学硕士研究生论文 1 2 3 遗传算法的算法流程 图4 遗传算法的运算流程 图4 显示了简单遗传算法的基本运算流程。利用遗传算法解最优化问题，应 该遵循以下几个步骤： 首先应对可行域中的点进行编码。编码的方式有很多，比如使用最广泛的二 进制编码、实数编码等。 然后在可行域中挑选一些编码组成作为进化起点的第一代编码组，并计算每 个编码的适应值。这里。那些被选中的编码便组成了遗传算法的第一代种群。种 群将生生不息的繁衍，种群内的编码会发生改变，但种群的总体数量一般不会变 化。同时，如何计算编码的适应值也十分关键。既要计算简单，又要能够有效的 区分出各个编码的优劣。 4 华东师范大学硕士研究生论文 接着就像自然界中一样，利用选择机制从编码组中挑选编码作为繁殖过程前 的编码样本。选择机制应保证具有较高适应值的样本有更多被保留的机会，而适 应值较低的样本则被保留的机会较少，甚至被直接淘汰。在繁殖的过程中，遗传 算法提供了交叉和变异两种算子对挑选后的样本进行交换。交叉算子交换随机挑 选的两个编码的某些位，变异算子则直接对一个编码中的某一位进行变换。这样 通过选择和繁殖就产生了下一代编码组。 重复上述选择和繁殖过程，直到结束条件得到满足为止。在运算过程中，最 优解被不断的传递和对比。一般来说，进化过程最后一代中的最优解就是用遗传 算法解最优化问题所孚导到的最终结果。 综上所述，遗传算法有如下特点： 遗传算法从问题解的集合开始搜索，而不是从单个解开始。这是遗传算 法与传统优化算法的最大区别。传统优化算法是从单个初始值迭代求最 优解的，容易误入局部最优解。遗传算法从解集开始搜索，覆盖面大， 利于全局择优。 遗传算法求解时使用特定问题的信息极少，容易形成通用算法程序。由 于遗传算法使用适应值这一信息进行搜索，并不需要一些与问题直接相 关的信息。遗传算法只需适应值和串编码等通用信息，故几乎可处理任 何问题。 遗传算法有极强的容错能力。遗传算法的初始串集本身就带有大量与最 优解甚远的信息，通过选择、交叉、变异操作能迅速排除与最优解相差 极大的样本。这是一个强烈的滤波过程，并且是一个并行滤波机制。故 而，遗传算法有很高的容错能力。 遗传算法中的选择、交叉和变异都是随机操作，而不是确定的精确规则。 这说明遗传算法是采用随机方法进行最优解搜索，选择体现了向最优解 迫近。交叉体现了最优解的产生，变异体现了全局最优解的覆盖。 遗传算法具有隐含的并行性。 遗传算法虽然有着许多的优点，但其参数设置的复杂性以及一些明显的缺陷 仍然让人非常头疼。初次使用者可能根本把握不了它的特性。人们发现，未加改 进的简单遗传算法存在过早收敛等现象，对运算非常不利。 1 2 4 一个简单的例子【4 】 为了更形象的理解遗传算法神奇的运算过程。我们从一个简单的例子入手， 了解遗传算法的整个运算流程。 问题：求以下函数的最大值。 5 华东师范大学硕士研究生论文 f ( x ) = 妒x 【q3 0 】 这是一个有约束的最优化过程，遗传算法求解此类问题的过程如下。 1 产生初始种群并对每个样本进行编码。 通过随机选择，我们挑选了4 个样本组成了初始种群。它们分别是： 1 32 481 9 在此，我们使用简单的二进制编码方式对样本进行编码。其编码方式就 是将十进制的样本转换为二进制。进行编码后的初始种群为： 1 3 01101 2 4 一l1oo 0 801o00 1 9 10011 2 计算每个样本的适应值。 这里，我们取f i x ) 的值作为适应值。将每个样本的十进制值带入公式即可 求得每个样本的适应值。为了方便，我将这4 个样本依次编号。 1 3 1 6 9 2 4 5 7 6 86 4 ( 萤 1 9 3 6 1 3 选择相应的样本进行繁殖。 对样本进行选择的方法很关键，它要求能根据适应值的大小体现出优劣 样本被选取时概率的差别。这里我们使用比较常见的赌轮选择法。赌轮 选择法的运算方法为： 1 ) 将所有样本的适应值相加，得到值n n = 1 6 9 + 5 7 6 + 6 44 - 3 6 1 = 1 1 7 0 2 ) 依次排列样本，求出它们对应的适应值范围 1 3 1 1 6 9 2 4 1 7 0 7 4 5 87 4 6 8 0 9 1 9 8 1 0 1 1 7 0 3 ) 在1 到n 之间取随机数，看其落在那个样本范围内 如果随机选择的数为2 0 0 ，则说明样本2 4 被选中。由此可得每个样 本被选中的概率为： 1 3 1 4 4 6 华东师范大学硕士研究生论文 2 4 4 9 2 8 5 5 1 9 3 0 9 4 ) 该样本被选择 由以上选择方式，可以保证拥有较高适应值的样本有较大的被选择概率， 而适应值较低的样本则正好相反。 赌轮选择时每个样本的具体情况如图5 所示。 图5 赌轮选择示意图 4 交叉部分样本。 通过以上的选择，我们决定对以下2 个样本进行交叉。交叉位为4 。 0110j一01100 l100011001 5 变异部分样本。 同时我们对一个样本进行变异，变异位为4 。 01 000010 10 6 新的种群产生。 余下的一个样本我们直接复制。这样，新一代的种群产生了。它们的染 色体、对应十进制数以及适应值分别为： 0101o一1 0 1 0 0 011001 2 1 4 4 11001 ，2 5 6 2 5 7 华东师范大学硕士研究生论文 1001l一1 9 3 6 1 由此我们可以看到。通过遗传算法的运算，在新一代的样本中，出现了 一个比上一代样本适应值更高的样本2 5 。 通过不断的循环以上操作，遗传算法最终能得到最优解3 0 。 1 3 曲线拟合与核磁共振信号处理 曲线拟合在核磁共振数据处理中很常用，但使用时常常需要较多的人工干 预。在一些复杂的谱图中，多个谱峰相互重叠，加上噪声的影响，使得曲线拟合 难以给出准确的拟合结果。为了便于自动数据处理，曲线拟合算法最好不要依赖 于用户设定的初始值。 曲线拟合一般属于非线性最优化问题，传统上可以使用数值迭代算法来求 解。这些算法在解空间中从用户指定的起点出发，根据一定的规则计算出下一个 点，然后反复迭代，直到达到最终的终点。这类算法有：多元函数的下山单纯行 法、多元函数的变尺度法、多元函数的共轭梯度法、多元函数的p o w e l l 法、 q u a s i n e w t o n 法等【4 】【6 】。这类算法的主要特点是收敛速度快，但容易陷入局 部小值，拟合的结果较大程度的依赖于初始值，特别对于解空间形态比较复杂的 多参数曲线的拟合，效果往往比较差。此外，有些算法还要求用户提供拟合函数 的导数形式。所以对于要求较高的核磁共振数据处理，普通的数值迭代算法往往 很难胜任，或只能在局部使用。我们需要寻求一种更有效的算法。而前文介绍的 遗传算法则正好能满足这个要求。 1 4 用于曲线拟合的种群再分布遗传算法 1 4 1 基本思想 h o l l a n d 提出的遗传算法【7 】能从多个点出发进行群体搜索，同时充分利用群 体中个体之间的信息交换。算法计算过程简单，对搜索空间有广泛的适应性，其 对函数本身没有任何依赖性，尤其适用于处理传统搜索方法难以解决的复杂和非 线性问题。但是，将未加改进的简单遗传算法应用于曲线拟合等需要高精度结果 的场合，存在着局部搜索能力差，收敛精度较低的问题。 针对s g a 局部搜索能力差、收敛精度较低的问题，人们提出了不少改进方法。 比较常见的方法包括：使用组合式遗传算法来加强其局部搜索能力、动态调整遗 传算法编码来提高遗传算法的编码精度、自适应加速遗传算法以及一些其他的综 合方法等【8 】【1 l 】，这些算法各有不同的侧重点，都可以在某些方面改善遗传算 b 华东师范大学硕士研究生论文 法的效果或效率。 我们利用曲线拟合问题的特点，提出了一种新的s g a 的改进方法一种群再 分布遗传算法( p o p u l a t i o nr e d i s t r i b u t i n gg a , 以下简称p r g a ) 。该方法在遗传算 法进行的过程中，根据最优个体的好坏，自动地改变种群的分布，并实时的控制 遗传算法的繁衍，从而达到改善遗传算法搜索精度和效率的目的。 1 4 2 理论基础 给定n 个实验数据点( y j ) ，i = 1 n ，以及一个带有k 个待定参数p l ，p 2 ，p k 的曲线函数y = 厶，2 ，一( 曲，简单的曲线拟合的过程就是寻求公式( 1 ) 中的误差函 数最小化的过程。这即是一个最优化的过程。 上 占( a ，岛，p k ) = 匈一( ( 厶，2 ，砖( 置) 一鬈) 2 ) ( 1 ) i = l 在进行曲线拟合时，通常用户会指定一套参数的初始值。它是代表用户对于 函数中待定参数的一个合理估计，在一个具备图形界面的交互式曲线拟合环境 中，用户常常能够实时地观察函数曲线和数据曲线的吻合程度来估计参数和实际 参数的吻合程度。 遗传算法初始种群的产生，传统上是在解空间中进行随机分布，然而，这种 产生初始种群的方法，完全丢弃了用户对拟合参数的合理估计，所以不利于遗传 算法的有效进行。更合理的做法应该是使得初始种群围绕着用户估计的拟合参数 的初始值进行分布。同时对用户的初始值进行判断，如果用户设定的初值越准确， 种群的分布宽度就应该越窄，这样有利于算法在最优解附近发掘；反之如果用户 设定的初值误差越大，则种群的分布宽度就应该越宽，这样有利于算法在更大的 解空间中探索。 考虑到高斯分布的普遍性，我们使得每个参数的初始种群的分布方式都是以 该参数初始值为中心的高斯分布。公式( 1 ) 中的误差函数给出了评价用户给定的 初始值的优劣的直接判据，类似于遗传算法中的适应值。从理论上说，可以寻找 适当的函数，将每个参数的分布宽度和误差函数关联起来，然而考虑到参数误差 对拟合误差函数影响的复杂性，很难找到普遍适用的公式。因此，我们在实践中 采用了统计的方法。具体的做法是，对于给定的初始值p 1 0 ，p 2 0 ，p l c 。，利用拟合 函数计算出对应于每个实验点五的函数值z ，然后在一定的范围内，随机地产生 每个参数的偏差n ，并根据公式2 ) 计算在这组参数偏差下的误差函数值。 9 华东师范大学硕士研究生论文 ( p l ，p 2 ，n ) 2 s q r t ( 艺c 么+ 蚺。+ 锄一加+ 魄( 置) 一巧2 ) ( 2 ) t = l 重复上面这个过程多次( 如 1 0 0 0 次) 后进行统计，对每个参数都可以得到 一张拟合误差函数值随参数误差变化量的对照表。根据公式( 1 ) 计算出当前初始 值对应的误差函数值e 0 后，对于每个参数，都可以在上述对照表中找出该参数 的偏差的一个界限，使得所有该参数的偏差小于该界限的样本中，所有的样本所 对应的拟合误差函数都小于e o 。得到该参数界限后，就可以计算出在该参数界限 内积分面积达到总积分面积9 5 的高斯分布的宽度。这个宽度，就是我们产生种 群所需要的分布宽度。由于参数的实际分布并不完全符合高斯分布，为了确保最 优解对应的参数值处于产生的种群的分布范围内，通常将得到的高斯分布宽度再 乘以一个大于1 的安全系数。 在用以上述方法产生初始种群之后，就可以按s g a 的步骤进行了。不过，在 g a 的收敛速度过低时，p r g a 就以当前的最优值为中心，根据上述方法确定的分 布重新产生种群，因此我们将这种算法命名为“种群再分布遗传算法”。通过种 群的再分布，随着最优解在优化过程中不断接近目标，种群也更加密集地围绕着 最优解分布，这样可以使得算法可以更好的在最优解附近发掘。同时，重新分布 也避免了种群中出现过多相同或者过于相似的个体，可以避免算法的过早收敛。 综上所述，整个算法的流程如下： 1 设置遗传算法参数 2 通过统计计算获得各参数的分布宽度 3 根据正态分布产生初始种群 4 开始简单遗传算法 5 如果符合收敛条件，则转向7 6 如果简单遗传算法不再继续收敛，则转向2 7 算法结束 这里需要指出：第一，在一轮遗传算法进行后，如果发现的最优解距离上一 次进行统计的参数值的距离不大，则没有必要重新进行统计；第二，进行重新分 布的判据：一般选择在遗传算法连续几代中的最佳样本的适应值的变化程度小于 某个预设值；第三，在再分布时，一般应保留上一代中的最优解。实验证明，在 s g a 不再继续收敛时，种群的再分布可以有效地促进算法的进一步收敛。 1 4 3 实验结果 为了更好的评价我们的算法，我们利用模拟数据对s g a 、p r g a 和 华东师范大学硕士研究生论文 q u a s i n e w t o n 数值迭代方法【1 2 】进行曲线拟合的结果进行了比较。m a t l a b 中提供 了数种数值迭代优化方法，我们发现，在这些方法中，q u a s i n e w t o n 对于我们的 拟合问题能够给出最佳的结果。我们通过模拟实验比较了拟合参数的个数、初始 参数设置的偏差程度、实验数据中的噪声等各种因素对三种算法的影响。 实验所用的函数形式是常见的多个l o r e n t z i a n 函数叠加的形式： 上j 删2 莩而薪 o ) 其中，每个组分有三个参数，a 。决定最高点的强度，x i 决定曲线的中心位置， t l 决定了曲线的宽度。用于拟合运算的实验数据，利用公式( 3 ) 产生，其中x l 的取 值在0 1 0 0 之间，t i 的取值在1 1 0 之间，a i 的取值在5 0 1 5 0 之间，模拟数 据点数为1 0 0 个。 计算所用的s g a ，使用了g a l i b 软件包【1 3 】，遗传算法采用了实数编码，控 制参数为：种群规模8 0 ，交叉率0 8 ，变异率0 0 1 ，p r g a 中遗传算法的控制参 数与s g a 相同；q u a s i n e w t o n 算法的实验使用m a t l a b 进行。对于每种算法，都 重复进行1 0 0 次，然后对结果进行统计。 1 4 3 1 拟合参数个数的影响 待拟合曲线的参数个数越多，解空间就越复杂，这时就可以考验不同算法的 搜索能力。我们使用三种算法分别进行了1 至8 个组分l o r e n t z i a n 函数叠加的曲 线的拟合。优化前设定的参数初始值对于a 。和t t 而言，在真值的5 0 之间随机 产生，对于x 。而言，在真值2 0 范围内随机产生。图6 中列出了每种算法对于 不同组分数的曲线拟合时的平均误差函数值。从图中可以看出，p r g a 的结果明 显优于另两种算法。需要指出的是，由于随着组分数的增加，实验数据的平均值 也上升，不同组分之间的数据难以直接比较。 1 1 华东师范大学硕士研究生论文 图6 三种算法对不同组分数的l o r e n t z 函数的叠加的曲线拟台的结果比较 表1 显示了三种算法比较的具体实验数据，包括平均误差函数值和误差函数 值的均方差。误差函数的均方差可以反映算法的稳定性。从表1 中可以看出， p r g a 和s g a 的均方差大致相仿，都远远优于q u a s i n e w t o n 方法，这是因为遗传 算法不容易陷入局部极小点，所以从不同出发点开始算法的解，相对比较稳定。 表l 三种算法的误差函数的均值和均方差 其中a v e e 表示平均最小误差函数值，8 t d e 表示均方差 1 4 3 2 噪声的影响 噪声的增加也增加了解空间的复杂程度。模拟实验所用的数据，通过在利用 公式( 3 ) 产生的模拟数据上添加最大幅值为l o r e n t z i a n 函数的强度的1 0 的 g a u s s 噪声获得。同样对l 8 个组分的l o r e n t z i a n 函数进行了拟合，结果图7 和表2 所示。 从图表中可以看出，对于存在噪声的情况，显然数值迭代算法受的影响比较 华东师范大学硕士研究生论文 大，两种遗传算法的结果都明显优于q u a s i n e w t o n 方法，p r g a 也明显优于s g a 。 同时，p r g a 和s g a 的稳定性也优于q u a s i n e w t o n 算法。 图7 有噪声情况下三种算法拟合结果的比较 表2 有噪声情况下三种算法拟台结果的比较 1 4 3 3 参数初始值设置的影响 拟合参数初始值的偏差大小会在一定程度上影响最终拟合的效果。p r g a 算 法人为地缩小了g a 算法搜索的范围，那么是否会导致算法陷入局部极小呢? 为 了说明这个问题，我们使用了最常见的三组分的l o r e n t z i a n 函数的叠加函数作为 拟合对象。同时，在随机产生参数初始值时，使得参数的最大允许误差由小变大 ( 对于拟合函数公式( 3 ) 中参数a i 和可从1 0 变化到2 0 0 ，x i 从1 0 变动到 5 0 ) 。对p r g a 、s g a 以及q u a s i n e w t o n 方法在同样的初始条件下进行实验， 结果如图8 所示。从图8 可以看出，p r g a 在抗初值偏差上具有比其他两种算法 华东师范大学硕士研究生论文 更强的能力，算法的稳定性也较好。表3 显示了实验的具体数据。 图8 不同初始值误差情况下三种算法结果的比较 图8 中横坐标的两个值，例如1 0 0 和3 0 表示a f 和的最大允许偏差为 1 0 0 ，而x i 的最大偏差为3 0 。 表3 不同初始值误差情况下三种算法结果的比较 1 4 3 4 同s g a 收敛情况的比较 为了评价p r g a 和s g a 的收敛情况，我们使用了3 组分l o r e n t z i a n 函数的叠 加作为我们的测试对象，对每种算法进行了1 0 0 次实验，同时记录每代中的最优 样本，总共追踪3 0 0 代，将1 0 0 次实验中每代的最优样本的误差函数求平均后对 算法的代数作图，结果如图9 所示。从图中可以看出，s g a 在进行到后期时， 收敛速度明显下降，存在着发掘能力不足的情况。而种群再分布的引入，显然改 善了这种情况，使得算法能在更长的时间里持续收敛。因此，p r g a 确实改善了 s g a 局部搜索能力弱的问题。 华东师范大学硕士研究生论文 1 5 小结 图9p r g a 和s g a 的收敛情况的比较 大量的模拟实验表明，种群再分布遗传算法，显著地提高了简单遗传算法的 局部搜索能力，应用于多参数曲线拟合的场合，能够取得优于简单遗传算法和传 统数值迭代方法的结果。由于该算法需要进行额外的数据统计，所以会在速度上 稍有影响。在我们采用的种群规模下，每次统计会带来1 0 代左右演化的开销。 提出一个更好的种群分布的判据，并将该算法扩展到更一般的应用场合，是进一 步工作可能的方向。 华东师范大学硕士研究生论文 第2 章最优化方法在磁共振成像中的应用 2 1 图像降噪算法简介 图像降噪一直都是人们所关心的问题。在图像处理中，从一幅被噪声污染的 图像中成功的还原原始图像一直被大家所追求。对于大多数自然图像来说，被污 染的图像大都是被成一定分布的高斯噪声所叠加而形成的。于是，在过去的十多 年中，人们提出了很多方法来试图从被污染的图像中去除高斯噪声。 早先，图像的降噪一般都是在图像域中进行。比较著名的有中值滤波，维纳 滤波等常见方法。而现在，在小波域中对图像进行降噪越来越受到人们的关注。 原因就在于它利用了图像与噪声在小波域中各自的特性，通过使用一些更为有效 的算法来获得更好的降噪效果。 d o n o h o 等人提出的硬阈值和软阂值法【1 4 】【1 7 】是早期这方面比较著名的算 法之一。由于其算法实施性强，效果显著而被广泛使用。这类算法是基于这样一 个思想而进行的：在对图像进行小波变换后，系数较大的值，往往是原始信号中 的信号部分。而系数较小的值，则更多的表示了噪声的成分。并且随着变换级数 韵增加，噪声所占的比例越来越少。由此，只要找到一个区分信号与噪声的阈值， 便可以方便的进行图像降噪。d o n o h o 等人提出使用五= 一压面而作为阂值【1 】。 其中o r 为高斯白噪声的标准差，为信号离散数据的个数( 往往是图像的长度 乘以宽度) 。对于带噪图像中高斯白噪声的标准差，往往无法得到准确的数值， 一般使用的是m a l l a t 的计算方法【2 】，如公式( 4 ) 。其中m 为小波变换后第一级对 角线方向的小波系数绝对值的中值。 m 盯2 1 0 6 7 4 5 ( 4 ) 硬闽值和软阈值降噪算法的共同点是对于低于闽值的小波系数进行置零操 作，它们的不同点在于对高于阈值的小波系数，硬阈值法对该系数予以保留，如 公式( 5 ) 。而软阈值法对此系数进行收缩，如公式( 6 ) 。 矿。： 形 ，1 乃，t j 五( 5 ) ”10 ，l 乃， i a 呒，= 茇朋 卜“ 卜n雠： 这几年，人们越来越多的关注于小波系数之间的相互联系。c a i 和s i l v e r m a n 1 6 华东师范大学硕士研究生论文 在文献 i s 】中提出了n e i g h c o e f f 和n e i g h b i o c k 的两种方法。并且论证了它们的理 论基础和实际效果。人们发现，如果能充分利用小波系数间的联系，则能取得更 好的降噪效果。之后，g y c h e n 等发展了c a i 和s i l v e r m a n 的思想，提出了 n e i g h s h r i n k 算法 1 9 2 0 】，它将使用在一维上的n e i g h c o e f f 方法发展到了二维图 像。并证明了其效果优于以往的图像降噪算法。f u 在最近提出了具有增强效果 的小波域图像降噪方法一e n s 算法 2 7 】，其对n e i g h s h r i n k 算法进行了改进，使 得其在图像降噪方面更加有效。 同时，一些基于对小波系数进行统计分析的降噪算法也在发展。并且效果惊 人。d o n g w o o kc h o 等人提出的基于统计模型的小波变换降噪算法【3 】就是一个很 好的例子。其通过统计分析，研究了各层小波系数之间的关系，并从中获得阈值 信息。同时结合了小波系数上下层之间的联系，取得了非常好的图像降噪效果。 该类算法在统计理论上有着扎实的基础，是以后发展的一大方向。 同时，经过大量的实验，我们发现，即使被相同水平的噪声污染，不同的图 像，也应该区别对待。也就是说，在对图像进行降噪的时候，不但要关注图像的 噪声污染水平，同样要关心图像本身的细节水平。一张细节丰富的图像与一张细 节平平的图像，即使叠加了相同水平的噪声，对它们的处理方式也应该是有所区 别的。d g n a n a d u r a i 等人在不久前提出了一种用于判定图像细节水平的方法 2 1 】， 他们将其和软阈值算法结合，并取得了一定的成果。这说明如果能有效的利用图 像的细节水平，将会更好的发挥现有算法的降噪效果。 2 2 一种自适应的阈值小波降噪算法 2 2 1 算法描述 在对现有算法进行了一定的研究后，我们发现，基于邻域信息的小波降噪算 法不但在理论上有着一定的基础，在实际效果中也表现优异。其中尤以g y c h e n 等提出的n e i g h s h r i n k 算法【1 9 】为代表。 我们采用了n e i g h s h r i n k 算法中利用邻域小波系数之间相互关联的特性，使 用e n s 方法【1 7 】中的改进方案，对其实际效果进行统计分析，从而得到一组优化 后的n e i g h s h r i n k 算法在实际使用中的修正因子。同时结合对图像细节水平的有 效判断 2 1 】，提出一种新的自适应的阈值小波降噪算法一o p t i m i z e dn e i g h s h r i n k a l g o r i t h m ，以下简称o n s 算法。 华东师范大学硕士研究生论文 2 2 1 1 图像细节水平的判定 d g n a n a d u m i 和v s a d a s i v a m 提出，在一幅图像的小波域中，使用某一区域的 数学均值减去该区域的几何均值，再求其绝对值可以反映该图像的细节水平 【2 1 。考虑到小波系数存在正负，为了更准确的反映图像内容，我们对原小波系 数先取绝对值。同时为了降低图像旋转对降噪效果的影响，根据实验结果，我们 决定采用第二级小波变换中的水平方向细节部分与竖直方向细节部分该数值的 均值，作为某一图像的细节水平。我们称该值为d e t a i l l e v e l 。 细节水平的确定，要求能够分辩出不同图像的细节程度，另外还应该对噪声 不敏感。理论上一幅图像的细节不应该随着所加噪声的变化而变化。但根据 d g n a n a d u r a i 和v s a d a s i v a m 提出的方法所求得的d e t a i l l e v e l 是随着噪声水平单 调上升的。为了使其不随噪声变换，或者说减缓其随噪声变化的程度，通过实验 分析，我们将所求得的数值除以噪声水平盯。 即，最终的图像细节水平为： d l e v e l ：d e t a i l l e v e l ( 7 ) 盯 2 2 1 2 对于n e i g h s h r i n k 算法的改进及优化 n e i g h s h r i n k 算法中利用了同级同细节部分的小波系数间的关系，与图像的噪 声水平进行比较，对一部分小波系数进行收缩，而另一部分置零，从而达到降噪 的效果。 n e i g h s h r i n k 算法的具体过程如下： ( 1 ) 对含噪声图像进行二维离散小波分解。 ( 2 j 对小波域中各级的细节部分分别进行处理。首先，对于每个要处理的系 数( x ，y 表示系数的位置索引值) ，计算出以以为中心的3 3 方窗 内的所有系数的平方和：s ；2 ，y =d u 2 。b x 是以以，为中心的 ( j ，) 以， 方窗。 ( 3 ) 定义收缩因子如= 1 - x 2 y 】+ 。其中a = 2 , o 2 l o g ( m 2 ) ，m 为原 图像的边长( 假定原图像为正方形，且边长为m ) ，盯是原图像的噪声 标准偏差。 ( 4 ) 对原始系数进行修正：或，= & y 或，y 。 华东师范大学硕士研究生论文 ( 5 ) 对修改后的系数进行反变换，得到降噪后的图像。 为了更有效的利用n e i g h s h r i n k 算法，我们对n e i g h s h r i n k 算法处理不同图像时 阈值以及收缩因子的偏差进行了研究。在对其得到的各级小波闽值以及收缩因子 进行统计对比后发现，对于不同特性图像，n e i g h s h r i n k 算法只是根据图像的噪声 水平来确定阈值。而在实际中，该阈值可能需要进行进一步的修正。另外，在第 一级小波变换的对角方向上，噪声占据了主导地位，而n e i g h s h r i n k 算法得到的收 缩因子收缩力度明显不够。如果在该方向上能使用更大的收缩因子，将会有更好 的降噪效果。 基于以上想法，我们对n e i g h s h r i n k 算法进行了一个参数优化结果的统计。试 图寻找n e i g h s h r i n k 算法中对于不同特性的图像，所产生的阈值以及收缩因子的最 佳位置会处于哪个范围。并根据统计结果，对该算法进行修正。 我们选取了不同特性的2 0 幅图像，在使用e n s 方法对n e i g h s h r i n k 算法进行改 进的同时，进行1 2 个参数的优化。具体方法如下： ( 1 ) 根据e n s 提出的观点，在使用n e i g h s h r i n k 算法时，使用新的收缩关系： 履，y = & y 。同时，我们分别对第一级小波变换的收缩因子进行系数 f 日 修正：盈，其中下标k 表示不同细节部分，后= 矿。新的收缩系数表示 ， 【d 为：s 一：j 鼍+ 厦， ，2 1 ，j 为小波级数。 l 屈，= 2 0 r 3 。 1 2 ) 根据前文对n e i g h s h r i n k 算法的流程分析，我们知道，在该算法中，对于 不同的小波级数以及不同的细节部分都使用了同一个阂值a 2 。我们认 为，不同小波级数以及不同的细节部分都应该有不同的阈值。为此，我 们使用r 表示水平、竖直以及对角方向细节部分的闽值修正因子。其中 下柄表示小波级数，j = 1 3 ，下标k 表示不同细节部分， 的阈值表示为：r = 才+ 五2 。 ( 3 ) 在增加t 1 2 个修正因子的n e i g h s h r i n k 算法中使用3 级二维s w r 小波变换。 ( 4 ) 4 使用g a u s s n e w t o n 优化算法对改进的n e i g h s h r i n k 算法进行优化。 ( 5 ) 得至l j 2 0 幅图各1 2 个优化参数的优化结果并进行统计。 实验中所取的2 0 幅图像都取自m a t l a b 中的图像库( 部分图像经裁剪为正方 新 a 日矿d ，fll = 七 华东师范大学硕士研究生论文 形) ，它们的文件名为：t i r e ，l e n a ，m a n d r i l l ，c a m e r a m a n ，b i r d ，b o a t ，p e p p e r s ， w o m a