（物理学专业论文）随钻电磁波电阻率测量仪器数值模拟方法研究.pdf

摘要 随着测量精度及可靠性的提高，随钻电磁波电阻率测井技术日益受到人们的关注。 近年来，随钻电磁波电阻率测井理论及其相关技术发展迅速，应用领域不断扩大，特别 是在钻井工程及储层评价领域，前景十分广阔。本课题主要研究了随钻电磁波电阻率测 井响应的数值模拟方法，分析了各种影响因素对测井响应的影响，对随钻电磁波电阻率 测量仪器的研究发展有重要意义。 本文采用改进型逐次逼近解法( m s a m ) 和a i t k e n 加速技术相结合的迭代算法计算 二维积分方程，并对随钻电磁波电阻率测井响应进行了具体研究，包括理论计算推导、 物理模型建立，编程计算、响应分析等。取得了以下成果： ( 1 ) 推导并改进了逐次逼近解法来计算随钻电磁波电阻率测井响应，该算法将纵向 成层原状地层作为背景地层，将计算区域限制在井眼和侵入带内，具有未知量数目少、 收敛速度快、计算精度高的优点。 ( 2 ) 采用f o r t r a np o w e rs t a t i o n 4 0 平台编写了上述算法来计算随钻电磁波电阻率测井 响应，绘制了不同地层条件下的测井响应的幅度衰减与相位移的视电阻率曲线。 ( 3 ) 在2 m h z 源频率和特定源距情况下，分析并讨论了井眼环境，围岩状况以及泥 浆滤液的侵入对随钻电磁波测井响应的影响规律，对进一步地层解释及评价有重要的参 考价值。 关键词：积分方程，g r e e n 函数，电磁波电阻率，改进型逐次逼近解法，a i t k e n 加 速技术 t h er e s e a r c ho ne l e c t r o m a g n e t i cw a v e r e s i s t i v i t y m w dt o o l sn u m e r i c a ls i m u l a t i o nm e t h o d z h a n gx u ( p h y s i c s ) d i r e c t e db yp r o f w e ib a o j u n a b s t r a c t w i t ht h e i m p r o v e m e n to fm e a s u r e m e n ta c c u r a c ya n dr e l i a b i l i t y , e l e c t r o m a g n e t i c r e s i s t i v i t yw a v el o g g i n gw h i l ed r i l l i n gt e c h n o l o g yh a v eb e c o m ea ni n c r e a s i n gc o n c e r n i n r e c e n ty e a r s ，e l e c t r o m a g n e t i cr e s i s t i v i t yw a v el o g g i n gw h i l ed r i l l i n gt e c h n o l o g ya n di t sr e l a t e d t e c h n o l o g yh a sd e v d o p e dr a p i d l y , a p p l i c a t i o n sa r ee x p a n d i n g ，e s p e c i a l l yi nt h ea r e a so f d r i l l i n ga n dr e s e r v o i re v a l u a t i o n ，s ot h ep r o s p e c ti sb r i g h t r e s e a r c h i n go ne l e c t r o m a g n e t i c r e s i s t i v i t yw a v el o g g i n gw h i l ed r i l l i n gr e s p o n s eo fn u m e r i c a ls i m u l a t i o nm e t h o d ，w h i c hi s i m p o r t a n tt o t h ed e v e l o p m e n to fe l e c t r o m a g n e t i cw a v er e s i s t i v i t ym e a s u r i n g - w h i l e - d r i l l i n g t 0 0 1 i nt h ep a p e r ，t h e2 di n t e g r a le q u a t i o n sa r ec o m p u t e db ya ni n t e g r a t e di t e r a t i o na l g o r i t h m o fm o d i f i e ds u c c e s s i v ea p p r o x i m a t i o nm e t h o d ( m s a m ) a n da i t k e na c c e l e r a t i o nt e c h n i q u e a n dt h er e s p o n s eo fe l e c t r o m a g n e t i cr e s i s t i v i t yw a v el o g g i n gw h i l ed r i l l i n g i n c l u d i n g t h e o r e t i c a la l g o r i t h md e r i v a t i o n ，b u i l d i n gp h y s i c a lm o d e l ，p r o g r a m m i n gc a l c u l a t i o n ，l o g g i n g r e s p o n s e a n dt h ea c h i e v e m e n t sa r eo b t a i n e da sf o l l o w i n g ： f i r s t l y , t h ed y a d i ca n di m p r o v eo fm o d i f i e ds u c c e s s i v ea p p r o x i m a t i o nm e t h o d ( m s a m ) c a l c u l a t et h er e s p o n s eo fe l e c t r o m a g n e t i cr e s i s t i v i t yw a v el o g g i n gw h i l ed r i l l i n g ，t h e l o n g i t u d i n a l l ys t r a t i f i e dv i r g i nf o r m a t i o ni st a k e na st h eb a c k g r o u n da n dt h ec o m p u t a t i o n a l r e g i o ni sr e s t r i c t e dw i t h i nt h eb o r e h o l ea n di n v a s i o nz o n ei nt h ea l g o r i t h m ，t h u st h ea l g o r i t h m i sq u a l i f i e df o rt h ev i r t u e so fs m a l ln u m b e ro fu n k n o w n s ，f a s tc o n v e r g i n gs p e e da n dh i g h a c c u r a c y s e c o n d l y , t h i sm e t h o dp r o g r a mo fe l e c t r o m a g n e t i cr e s i s t i v i t yw a v el o g g i n gw h i l e d r i l l i n gi sc o m p i l e do nt h ef o r t r a np o w e rs t a t i o n 4 0s o f t w a r e ，t h el o g g i n gr e s p o n ep l o to n d i f f e r e n tc o n d i t i o n sc a nb ed i s c r i b e da m p l i t u d ea t t e n u a t i o na n dp h a s es h i f to ft h ea p p a r e n t r e s i s t i v i t yc u r v e f i n a l l y ，i nt h es o u r c ef r e q u e n c yo f2 m h za n dc i r c u m s t a n c e ss p e c i f i c s p a c i n g ，t h ei n f l u e n c i n gr e g u l a r i t yo fe l e c t r o m a g n e t i cl o g g i n gr e s p o n s ew h i l ed r i l l i n ga r e s i m u l a t e di nl a y e r e df o r m a t i o nc o n s i d e r i n gt h i c k n e s s ，r o c k ，b o r e h o l ea n di n v a s i o n ，w h i c hi s s t r a t i g r a p h i ci n t e r p r e t a t i o na n de v a l u a t i o no fi m p o r t a n tr e f e r e n c ev a l u ef o rt h ef u r t h e r k e yw o r d s ：i n t e g r a le q u a t i o n s ，g r e e n sf u n c t i o n ，e l e c t r o m a g n e t i cw a v er e s i s t i v i t y , m o d i f i e d s u c c e s s i v ea p p r o x i m a t i o nm e t h o d ( m s a m ) ，a i t k e na c c e l e r a t i o nt e c h n i q u e 关于学位论文的独创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在指导教师指导下独立进行研究工作所取得的 成果，论文中有关资料和数据是实事求是的。尽我所知，除文中已经加以标注和致谢外， 本论文不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含本人或他人为获得中国石油 大学( 华东) 或其它教育机构的学位或学历证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对 研究所做的任何贡献均已在论文中作出了明确的说明。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文作者签名：赳 日期：矽声年6 月岁日 学位论文使用授权书 本人完全同意中国石油大学( 华东) 有权使用本学位论文( 包括但不限于其印刷 版和电子版) ，使用方式包括但不限于：保留学位论文，按规定向国家有关部门( 机 构) 送交学位论文，以学术交流为目的赠送和交换学位论文，允许学位论文被查阅、 借阅和复印，将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，采用影印、 缩印或其他复制手段保存学位论文。 保密学位论文在解密后的使用授权同上。 学位论文作者签名： 致地 指导教师签名： 烀 日期：2 。声年月歹日 日期：矽口年石月严日 中困石油大学( 华东) 硕十学位论文 第一章绪论 1 1 随钻电磁波电阻率测井概述 在石油钻井领域中，随钻电磁波电阻率测井理论与技术是一门新兴的研究领域。随 钻测井是将钻井技术与测井技术巧妙结合在了一起，不仅可以优化定向井钻井轨迹，而 且能提高测井资料的准确度，现己成为测井技术的一个重要发展趋势。以前的电缆测井 技术需占用大量的钻机在用时间，而且井眼环境、围岩状况以及泥浆滤液的侵入也都严 重影响了常规测井数据的质量和油层真电导率的评价。随钻电磁波电阻率测井技术与电 缆测井技术相比具有很多优点，如：随钻测井仪传感器和电子元件可以承受钻进中的振 击和震动；随钻电磁波电阻率测井资料是实时测量，地层暴露时间较短，因此，测井曲 线是在泥浆滤液侵入地层之前或很浅时测得的，可以更真实地反映原状地层的地质特 征，有助于确定地层真电导率，为钻井和地质导向提供有价值的信息；尤其在特殊地质 环境下电缆测井操作困难或不能进行作业时，随钻测井可以取代电缆测井进行测量。这 样既可以减少钻井在用时间、降低成本，又可以提高地层评价测井数据的质量。从长远 看，随着全球钻井活动陆续从陆上向海上转移，随钻测井终将取代电缆测井。 1 2 随钻电磁波电阻率测井的发展趋势 1 2 1 随钻电磁波电阻率测井的发展现状 早在1 9 2 7 年，s c h l u m b e r g e r 兄弟第一次成功地在法国实施了电缆测井， “随钻” 的想法也随之产生 1 】。2 0 世纪3 0 年代，工程师们试图用测量电极与导电钻杆绝缘捆绑 的办法测量井底电极附近的地层电阻率，但都是由于连接部位缘的技术问题没有解决导 致失败。在2 0 世纪5 0 年代初期，随着泥浆录井和电缆测井成为地层评价的主流技术， 以及受当时钻井器具机械性能的限制，随钻技术被放弃而停止发展【n j 。2 0 世纪6 0 年代 末7 0 年代初，由于人们对随钻技术的再认识而得到了充分关注和发展。r e d w i n e 和 o s b o r n e 开发出一套“随钻单电极电阻率测井 仪器，从而使随钻电磁波电阻率测井技 术有了实质性突破和进展【3 】。2 0 世纪8 0 年代初，随钻电磁波电阻率测井仪器可以测量 一些比较简单的电阻率，随后由于研究的深入，电磁波电阻率测井仪器实现了多方位、 多角度的发展，同时随钻测量( m w d ) 和随钻测j ：( l w d ) 应厂h 也有了较大进展，不仅精 度有很大的提高，而且在计算效率上更是有较大的改善1 4 剖。 第一章绪论 到目前为止，最新的随钻电磁波电阻率测井技术是补偿式电磁波传播电阻率测井技 术( m p r ) 7 1 。补偿式电磁波传播电阻率测井仪器采用接收器采用接收上、下对称发射器 信号的方式进行补偿测量，具有井眼补偿作用【引。其高度集成的先进电子工艺技术和合 理的线圈组合克服了机械线圈的缺点。这种对称补偿式发射方式采集数据相比于以前的 非对称发射方式，在进行相应的软件处理时有许多优剧9 ：它采用阵列感应线圈形式向 地层发射不同频率的电磁波，随发射频率的改变，探测深度可由浅层向深层的逐步扩大， 最深的探测范围可大大超过泥浆滤液侵入的最大深度，从而实现探深的目的。该技术将 标准的2m h z 电磁波信号同时与4 0 0k h z 的电磁波信号进行一起测量，可以对环境影 响进行识别分析和校正，进行介电参数计算，提高层界面划分的能力，使储层综合解释 得到进一步完善【1 0 - 13 1 。 1 2 2 随钻电磁波电阻率测井晌应数值模拟方法研究现状 数值模拟方法是研究地球物理测井响应的重要手段。通过国内外的学术工作者们不 懈的努力，已由原来的单一的有限差分法，发展到了多种算法：解析方法( 分离变量法、 保角变换法、镜像法和格林函数法等) 、近似方法、数值方法和半解析半数值方法。虽 各有利弊，但在实际用中取得了良好的效果，为钻井、测井以及油藏数值模拟提供了强 有力的数学工具。 有限差分法是电磁场计算中应用最早的一种数值方法，一般在频域中应用。2 0 0 4 年， w a n g 等在柱坐标系非均匀介质中用三维有限差分法分析了随钻电磁波测井响应【1 4 ； 2 0 0 6 年，何峰江，陶果等采用有限差分法对贴井壁声波测井仪进行了模拟研究；2 0 0 9 年 杨勇等利用柱坐标系下三维时域有限差分( f d t d ) 程序模拟有隔声体时的随钻声波测井 响应，并对隔声体的隔声效果进行评价。随研究的深入和数学的发展，时域有限差分法 在随钻测井领域的应用越来越受到重视。 有限元法是电法测井中一种主要的数值手段。1 9 6 9 年，由s i l v e s t e r 将有限元法推 广应用于时谐电磁场问题；1 9 7 1 年，首次由c o g g o n 引入到电阻率测井问题中；1 9 8 3 年， b a r b a r a 、s k c h a n g 用有限元法计算了深探测电磁波传播测井的响应；b r o o k s 等( 1 9 8 9 ) 、 w u 等( 1 9 9 3 ) 用有限元法研究了随钻电磁波测井响剧”】；2 0 0 6 年，陈晓光利用三维有限元 方法对微侧向测井仪器进行了数值模拟。有限元法现成为己成为各类电磁工程问题定量 分析与优化设计的主要数值计算方法，有助于对各向异性及地层倾角的校正，以及对储 层作出正确评价。 2 中国石油大学( 华东) 硕。 ：学位论文 数值模式匹配法在求解二维轴对称非均匀介质问题上有很好的效果，比有限元法求 解同样问题具有计算速度快，占用内存小，计算精度高的优点。因此数值模式匹配方法 受测井工程师们的极大关注，并己在石油电法测井响应的分析方面获得了十分成功的应 用。1 9 8 8 年，l a u n gt s a n g 等人把该方法应用到普通电阻率测井响应的计算中，其效率 是有限元的数倍；1 9 9 2 年，聂在平、w c c h e w 等用数值模式匹配理论研究了电磁波对 轴对称二维层状介质的散射；2 0 0 2 年，g u o - - - x i nf a n 等用三维n m m 主要研究了椭圆井 眼和非旋转对称的侵入条件下非均匀介质的电阻率测井响应，沈金松利用垂直数值模式 匹配方法研究了轴对称介质模型的电磁测井响应。 有限元法，数值模式匹配法在求解时均将全部地层作为求解区域，未知量数目多、 计算量大。积分方程克服了以上缺点，将纵向成层原状地层作为背景地层，从而计算区 域限制在井眼和侵入带内，具有未知量数目少、收敛速度快、计算精度高的优点，因此 积分方程是一种非常有效的计算井间电磁场的方法。2 0 0 0 年，h o w a r d 采用解析表达式 s o m m e r f e l d 积分方法计算了发射频率为2 m h z 的随钻电导率测井响应【l6 】；2 0 0 1 年，y i n 等采用积分方程法推导出了分层各向异性地层中的任意电偶极子的响应；2 0 0 3 年，程建 华等人研究了二维情况下的随钻电阻率测井的多频响应，但对大斜度井和水平井中的随 钻测井响应正演模拟没有开展过研究【l7 】；2 0 0 5 年，魏宝君利用积分方程计算阵列感应 测井响应；2 0 0 7 年，魏宝君利用并矢g r e e n 函数推导了一种新型随钻电导率测井仪器的 响应和刻度 18 】；2 0 0 9 年，张旭，魏宝君等利用积分方程的加速迭代算法计算了随钻电磁 波电阻率测量仪器的响应【l 引。 随钻电磁波电阻率测井时肯定要受到周围环境的影响，比如井眼、侵入、围岩和层 厚；同时还有一起本身对测量结果的影响，主要是金属钻铤、仪器偏心和电介质等因素 影响。如果不对这些原始数据影响进行分析校正，就可能会失去随钻测井的地质导向作 用和地层评价意义。在国外，随钻测井仪器研制和资料的解释与应用方面成绩卓越，并 已有学者开展了随钻电磁波测井反演真电导率和介电常数方面的研究。而国内，只能直 接利用国外服务公司提供的测井数值作为地层的真电导率。为此，我国研究者们很有必 要对随钻电导率测井的环境影响因素进行校正或反演研究，打破国外对此项技术的垄断 的局面，使我国在随钻测井仪器研制和资料的解释与应用领域占有一席之地，甚至赶超 国外新技术。 第一章绪论 1 2 3 随钻电磁波电阻率测井的发展前景 随着科技的发展进步，在电缆测井及定向钻井技术基础上，研究者们又开发了一种 更实用更高级的技术即随钻电磁波电阻率测井技术，它改变了对传统钻井理念的认识， 实现了在钻井过程中实时进行储层的地质评价和地质导向，体现了现代钻井技术与测 井、油藏工程技术的完美结合。此项技术的问世，不仅实现了钻井满足地质，地质满足 开发的总体目标，并提高了作业者对动态钻井过程的了解，从而提高了钻进效率，降低 了风险和费用，有很高的实用价值，受到了广大石油公司的青睐。 在井下，随钻电磁波电阻率测井仪器的传感器内置在钻铤和导向马达上，使该仪器 成为底部钻具组合的组成部分，并可以承受钻进中的振击和震动，因此，仪器的可靠性 不断提高。在地面，随着信息传输技术、信息处理技术的发展，在原有录井软件上的基 础上开发了井场信息系统，包括井下数据的实时采集和测井解释程序，使该系统能更具 体的、准确的反应地下信息。随钻电磁波电阻率测井技术在过数据库信息化管理软件平 台，实现井场作业人员与远程咨询专家及决策人员的互动，为用户提供快速、精确的高 质量的服务。随钻电磁波电阻率测井技术作为一种降低风险、高回报技术，正广泛的使 用在世界各大石油及服务公司中，带来的经济效益越来越明显。 目前，我国的大多数油田己处于开发中后期，且由于地下油水关系十分复杂，薄层、 小断块油气藏的特点，随钻电磁波电阻率测井技术的应用市场会越来越大，技术的发展 空间也很大，对提高采收率和指导完井，建立合理的生产制度有重大的现实意义。随着 我国钻井技术、信息传输技术、信息处理技术的发展和材料领域的技术进步，随钻电磁 波电阻率测井的成本将大幅度降低，在勘探阶段( 裸眼井) 随钻测井替代电缆测井的领域 会不断扩大，m w d 和l w d 的井下和地面软件将会更加精密、复杂，形成模块化、自 动化、智能化的，更加适合现场作业人员操作及第地层的分析评价，进一步做出完井方 案及开发方案。未来的勘探地质将日益复杂，以地质导向为核心的定向钻井技术的应用 会越来越多，也极大地增强了定向钻井对随钻测井技术的依赖程度，成为当今我国钻井 工程重点发展的高新技术。现在我国已具有较完善的工业基础，在钻井、测井方面也积 累了大量经验，只要国家大力扶持，继续鼓励科研，并借鉴国外先进石油技术服务公司 在技术和管理上的先进经验，利用我国现有的各种随钻电磁波电阻率测井服务项目、仪 器的研制以及软件开发的综合能力，提出对产品和服务项目的更高要求，并加大对随钻 电磁波电阻率测井理论的研究、技术的创新，软件开发力度，形成集服务、研究开发、 4 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 仪器制造一体化的集成化的国际化石油技术服务公司。 纵观国外的研究历程可以发现其仪器研发及相应的数据处理技术逐渐由单一探测 深度的测量向多种探测深度的测量、由非定向性向定向性、由信息量少向信息量多发展， 形成了一个具有自主知识产权的持续发展链条。国外的研究思路均是计算机数值模拟先 行，用模拟研究结果对实际仪器的研制提供指导。国内石油石化公司及其所属研究机构 目前己开展了随钻测井、近钻头测量等技术的研究工作，但许多工作在很大程度上仅限 于模仿或引进国外较早期的仪器设备及技术，现有研究水平远远落后于钻井尤其是海上 钻井的需求。如何跨越式发展和拥有自己先进的具有自主知识产权的随钻电磁波电阻率 测井仪器并开发出相应的数值模拟和数据处理方法、而不仅仅是追踪国外已开发的技 术，是目前国内最迫切需要解决的关键科技问题。 1 3 本论文的主要研究内容 本论文的研究内容包括三部分：一是推导并改进了逐次逼近解法来计算随钻电磁波 电阻率测井响应；二是通过建立的物理模型进行验证此方法的正确性和有效性；三是分 析并讨论了各种影响因素对随钻电磁波电阻率测井响应的影响。 本文第二章详细介绍了随钻电磁波电阻率测量仪器响应的积分方程法。根据圆柱形 层界面处电场和磁场的连续性条件得到确定系数，继而可以非常容易的得到源点和场点 在任意层的g r e e n 函数。采用将变形b e s s i e 函数的指数项单独列出的方程有效地解决了 g r e e n 函数计算中的上溢问题。最后给出了编程计算时采用的一些具体措施，提高运算 效率。 本文第三章介绍了有关随钻电磁波电阻率测量的基础理论和相关技术研究，以及仪 器测量时的两个重要曲线即振幅衰减和相位移曲线进行了分析讨论，对各大石油公司的 仪器特点做了对比，对仪器的进一步开发有重要意义。通过建立的物理模型验证第二章 采用的积分方程法正确性和优越性，并讨论了多层介质中的随钻电磁波电阻率测量仪器 响应。 本文第四章讨论了井眼环境、围岩状况以及泥浆滤液的侵入等环境因素对随钻电磁 波电阻率测量曲线的影响和校正方法，以及仪器本身对测量曲线的影响，如仪器偏心， 金属钻铤等，尤其对井眼环境和泥浆滤液的侵入进行了详细的分析；对地层的实际评价 和解释有重要意义。 最后足本文的结论部分。 第一章绪论 1 4 本论文的创新点 本文首次将a i t k c n 加速技术嵌套到改进型逐次逼近解法( m s a m ) 中计算二维积分 方程。该算法不仅保持了原有的精度，而且在计算中具有迭代次数少、收敛速度快、运 算时间大大缩短，从而提高运算效率等优点，可有效求解随钻电磁波电阻率测量仪器在 轴对称二维地层中的响应。 6 中国石油大学( 华东) 硕上学位论文 第二章计算随钻电磁波电阻率测量仪器响应的积分方程法 数值模拟方法研究在随钻电磁波电阻率测量仪器的研制、分析仪器的探测性能等方 面有重要作用，也是对测量数据进行反演解释的基础。在水平井和大斜度井中，由于井 斜和地层各向异性，可能会使随钻电磁波电阻率的测井资料产生一定偏差，这时就需要 采取一些有效措施来进行校正。在此基础上，开发了一种新的快速反演技术。常用的模 拟随钻电磁波电阻率测量仪器响应的方法主要有解析法【2 0 。2 4 】和有限元素法【2 5 2 6 1 、时域有 限差分法【2 7 ，2 引、数值模式匹配法【2 9 , 3 0 等数值算法。以上数值模拟算法均将全部地层作为 求解区域，不仅未知量数目多、计算量大，而且加快计算速度必然影响计算精度。在介 质纵向分层较少的情况下，数值模式匹配法虽有很高的计算效率，但当层数较多时，由 于所要求解的数值本征模式太多，计算量仍然很大。此外，当地层电导率对比度比较高 时，上述的数值模拟算法的精度均会降低。积分方程是一种有效的计算电磁散射问题的 算法【3 1 。3 4 1 。本章研究了利用积分方程算法计算轴对称二维地层中的井间电磁场，在计算 效率和精度方面均得到了很好的效果。 2 1 圆形电流在均匀介质中产生的电磁场 建立一个轴对称二维水平层状模型。假设圆形电流的位置坐标为( r ，z ) ，此圆形电 流源随时间变化的关系是e x p ( i c o t ) ，其产生的电磁场可用磁矢势描述，记为4 ，其在此 圆柱坐标系下只有矽分量，且在分量上没有变化，所以磁矢势4 的表达式为， a = 彳【，z j e 。 由磁矢势彳可求得磁感应强度曰和电场强度e 的表达式为： b ：v a ：一i o a e r + ! 昙) e ： ( 2 1 ) e ：一坠：二i 砸 ( 2 2 ) 夙 将( 2 1 ) 式和( 2 2 ) 式代入到麦克斯韦方程组中可得到下式： 万o 【歹l 石a ( ，a ) 】+ + k 2 a = 一， ( 2 3 ) 讲r 研o l - 其中，k 2 = 一i a u c r = 国2 , u 6 ，盯和占分别为均匀介质的复电导率和复介电常数，它们均 包含了介质的真实电导率和真实介电常数，二者关系为盯= i c o e ；j 为电流密度，它只 有分量且不随变化。定义一个二维g r e e n i 函数i ( ，7 ) ，使它满足微分方程： 7 第_ 二章计算随钻电磁波电阻率测量仪器响应的积分方程法 斜吾昙，) ) + 掣w 时) - - w ) ( 2 - 4 ) 通过( 2 - 3 ) 式和( 2 4 ) 式的对比，可以得到磁矢势彳的表达式： 彳，z ) = 鹏r ( ，)( 2 5 ) 其中，q 为电流密度j 所在的二维剖面。如果发射源的圆形电流线圈，并假设供电电流 为i ，线圈匝数n ，则( 2 5 ) 式可改写为： 么，z ) = ，r ( r ，r )( 2 6 ) 在均匀介质中( 2 4 ) 式的解可以表示为： r ( ，) = 三f k 。( a r ) i 。o 月c o s k ( z z ) j d z ( 2 7 ) 兀： 一 式中：r = m a x ( r ，) ，r r a i n ( , ，) ，k ，和i 。分别为第一类和第二类1 阶复宗量变型 b e s s e l 函数。 为了避免上溢现象，可将( 2 - 7 ) 式中的k 。和i 。中的指数项单独列出： r = ；厣( a e ) ( a r ，) e x p 愀一r ) 】c o s 阢g - z ，帆 ( 2 - 8 ) 其中i 和定。分别是是扣除指数项的第一类和第二类1 阶复宗量变型b e s s e l 函数。 将( 2 - 8 ) 式代入( 2 6 ) 式即可求出磁矢势4 ，代入( 2 1 ) 式和( 2 2 ) 式就可以得到磁感应强度b 和电场强度e 。 2 2 径向成层各向同性介质中随钻电磁波电阻率测井仪器的响应 设径向成层介质共有刀+ 1 层( 图2 1 ) ，由里向外各层介质编号为，= 0 , 1 ，刀，源在第 层，各层参数分别为，、s ，则4 = 0 f j 了，砰：缈：一毛。类比( 2 7 ) 式可将径向成 层介质任意第，层内的g r e e n 函数表示为如下形式： 8 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 图2 - 1 径向成层介质模型 f i g2 - 1m o d e lo fr a d i a ls t r a t i f i e df o r m a t i o n r ，( ，) = 屯要了定，( 人，r 汽( 人，r ) e x p 人，q 一r ) 】c 。s 阢( z z 7 ) 】d 力 + ，p ，0 ) ( 人，r ) e x p a ，o 一乃) 】c 。s 阻( z 一孑7 m 兄 0 + ，- f b l 0 球。( 人，) e x p - a ，一乃一。) 】c o s 队g z 啦彳 ( 2 9 ) 6 对于非含源层( ) ，则没有等式右侧的第一项。其中a t0 ) 和易q ) 为待定系数。 由边界条件，- 一0 和，专o 。知，若，= 0 ，则只有幺以) ，若，= 刀，则只有吃以) 。由于在 层界面处，电场和磁场的切向量连续，即( ，) 和! 昙( 厂r ( ，”连续，可得2 玎个由待 ，。o f 定系数彳，q ) ( f = o ，l ，n 一1 ) 和马以) o = l ，力) 组成的线性方程组。经整理可表示为一 矩阵形式： a x = s ， ( 2 - 1 0 ) 式中：a c 2 “2 ”为带状稀疏矩阵，且每行仅有3 个或4 个非零项，且各行中间项 均含有指数衰减项； x ，s c 抽，其中列矢量x 的各元素为( 2 9 ) 式中的待定系数彳， ) 和局q ) ，列矢量s 的各非零项由( 2 9 ) 式中的源项求得。 根据带状稀疏矩阵a 各行中间项呈指数衰减的特点，计算( 2 1 0 ) 式时，可采用递推 矩阵方法求解，既可避免上溢出现，又可提高运算速度。此递推算法摒弃了以前要耗费 大量运算时间的大型复矩阵求逆运算，而只需要正向逆向各递推一次，每次递推过程仅 9 第一二章计算随钻电磁波电阻率测量仪器响应的积分方程法 需要行次迭代，共迭代2 拧次，迭代次数由2 次方级降到普通的2 次乘法，运算速度相应 的迅速提升，对于地层数目多的情况效果更是明显。 2 3 计算随钻电磁波电阻率测量仪器响应的积分方程法 首先建立一个纵向成层轴对称二维地层模型，如图2 2 所示，图中仃。一为井眼内泥 浆电导率，为井眼半径，( ，= 0 ，1 ，力) 为各层原状地层电导率，盯则为各层冲洗 带电导率，k ，为各层侵入带半径，z ，( ，= 0 ，1 ，n 1 ) 为层界面位置坐标。模型中所 有电导率均为复数，既包含真实的电导率也包含介电常数。利用积分方程计算随钻电磁 波电阻率测量仪器在这种二维地层模型中的响应时，若将原状地层视为背景地层，则电 导率异常区域( 即求解区域) 只包含井眼和侵入带，而与其他区域无关，与有限元素法、 时域有限差分法、数值模式匹配法将全部地层作为求解区域相比，不仅未知量数目少， 计算量也将大大减小，而且计算精度也可相应得到提高。 2 3 1 用积分方程法表示磁矢势 假设发射源随时间的变化关系为e x p ( i c o t ) ，且地层是非磁性的，磁导率取真空中的 值地，采用的是二维水平层状模型具有轴对称，所以可以使用圆柱坐标系，其中圆形电 流源的位置坐标为r ，r t ) 圆形电流产生的电磁场可用磁矢势a 描述，电导率异常区域内 和接收线圈处的磁矢势彳( 只有矽分量) 用积分方程表示为阳 a ( r ，r t ) = a b ( r ，r t ) 一i c o t 。l r ( r ，r7 净仃( r7 ) 彳( r ，r t ) d r 7 ， ( 2 1 1 ) 其中， a b ( r ，r t ) = 。t ，t r ( r ，r t ) ， 式中，t 为发射线圈坐标，么6 为磁矢势的背景值，q 为电导率异常区域，t 为发 射线圈匝数，t 为发射线圈电流强度，r ( r ，r ) 为纵向成层背景地层磁矢势g r e e n 函数( 具 体表达式见文献【3 5 ，3 6 ，a c r ( r7 ) 为电导率异常区域的电导率与原状地层电导率的差值。 1 0 中国石油大学( 华东) 硕十学位论文 图2 - 2 轴对称二维地层模型 f i g2 - 2m o d e lo fc y l i n d r i c a l l ys y m m e t r i c a l2 df o r m a t i o n 将电导率异常区域q 分成个小区域q ，在不同地层划分的小区域尺寸可以不 同，但在每个小区域内地层电导率应是恒定的，记为仃，并假设在每个小区域内磁矢 势也是恒定的，用其中心点的值表示，则在q 内( 2 - 9 ) 式的离散形式为： 彳“，叶) 利“，t ) 一i 妣喜嵋 r 也，抄m , r 0 ，f q ，2 ，n ( 2 - 1 2 ) 针对某一发射位置，对所有小区域， ( 2 1 0 ) 式可写成如下矩阵形式： a = a b + g 三a ，( 2 - 1 3 ) 式中，4 和彳b 均为维复列向量；三= d i a g ( a o l ，a c t 2 ，a c t ) 为阶对角 矩阵；g 为n n 阶复矩阵，其元素为g 口= 一i 掣。户“，) d ，。由( 2 - 1 3 ) 式得到 q a = ( j g 三) 1 4 。 2 3 2 改进型逐次逼近法( m s a m ) 文献 3 7 】采用的改进型逐次逼近解法( m s a m ) 计算( 2 1 2 ) 式，对电导率异常区域内 磁矢势的散射项a 8 ( 总磁矢势a = a 5 + ) 形成采用迭代序列如下： 第二章计算随钻电磁波电阻率测量仪器响应的积分方程法 a a 毗“，r t ) = f ，m 嘶叫“，t ”+ 昭呜6 “，t ) ) 一刚6 ，t ) ，( 2 - 1 4 ) 黼口= 觜，6 = a o 丽 1 2 4 r e ( o r ，= 鲁， b i ) 。 口 臂g ，) = 一i c o r 。网瓦【2 瓶万忑。) 托， ( 2 1 5 ) 氏( 2 厕硪，) = 乳er “，灿 2 同爵包，叶) ( 2 1 6 ) 式中，m 口为的算符形式。 在电导率不为零的实际地层中，f f f i 1 ，l i m 卢i | = 俐 1 ，故| | 钟m p | | 1 ，( 2 - 1 4 ) 式绝对收敛，亦可适用于高电导率对比度地层，与传统的逐次逼近解法相比适用范围相 对增大【3 7 1 。由( 2 1 4 ) 式经计算可求得电导率异常区域内各点的磁矢势再根据( 2 11 ) 式 的离散形式得到接收线圈处的磁矢势么( ，r ，t ) 。计算发现，改进型逐次逼近解法虽具有 绝对收敛、适用范围大的优点，但其缺点是收敛速度比逐次逼近解法慢，在高频情况下 对高电导率对比度地层虽能收敛但所需迭代次数很多，计算时间长，影响了计算效率。 2 3 3a i t k e n 加速技术 a i t k e n 加速算法的迭代格式为： a u 4 s ( k + 3 ) = 硝“+ 2 ) 一亲爱品 p 刎s ( k + 2 ) 一2 刎5 ( k + 1 ) + 鲥5 ( 。) p 7 将a i t k e n 加速技术u s l 结合到改进型逐次逼近解法的迭代之中，二者结合后形成的 加速迭代算法的具体迭代格式如下： ( 1 ) 由改进型逐次逼近解法迭代后，得至u a , 45 ( ，a a 8 ( ”，鲥3 ( 3 ，把训5 ( 3 ) 看做初始值， 由( 2 1 4 ) x - - 一次校正得到刎8 ( 引，由刎5 ( 4 ) 再做校正得到刎8 ( ”，由( 2 1 7 ) 式，得到 a a 5 ( 6 ： ( 2 ) 设已得到刎s ( k ) ，由公式( 2 1 4 ) ，做校正得到刎5 ( ) ，由训8 ( 。+ 1 ) 再做校正刎5 ( 啪) ， 由( 2 1 7 ) 式，得到训5 ( 。+ ，即每迭代两次，用a i t k e n 加速迭代算法算一次，形成新的迭 代： 1 2 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 。，根据给定的最小量q 判断0 直到满足条件。 占，则终止迭代，否则，继续迭代， 由于将a i t k e n 加速算法网只是在原有改进型逐次逼近解法中进行迭代，并且利用 前一次的计算结果进行迭代，充分利用了以前的信息，使得收敛速度得到很大的提高， 计算时间也得到了大大的缩短，并且保持了原有的计算精度，甚至有时合理的迭代可以 提高精度。 2 4 相位移和幅度衰减 接收线圈处的感应电动势为 矿( ，r ，t ) = 一2 i r t a c o n r 彳( ，r ，t ) ， ( 2 1 8 ) 其中， ，t = ( 口，2 t ) ，r = ( 口，z r ) 。 式中，a 为发射线圈和接收线圈的半径；n r 为接收线圈匝数；r r 为接收线圈坐标。由 两个接收线圈的感应电动势可得到相位移或幅度衰减。设近接收线圈感应电动势的幅度 和相位分别为k i 和嘲，远接收线圈感应电动势的幅度和相位分别为i 砭i 和哆，则有： r l = i 啡呜叫1 8 0 ，圪= j 砭p 咖门加 ( 2 1 9 ) 由( 2 - 1 9 ) 式，两个接收线圈之间的幅度衰减a 和相位移痧定义为： 捌阱 p 2 哟 嘲呤等n n 鸠) 陋2 咖 圪( ，r ，t ) = - 2 i x a 6 0 n r a 。( ，r ，t ) ， ( 2 2 1 ) 4 ( ，r ，t ) 2 风t ，兰f 以k 嘶lj - ) j - ( 2 a ) d 2 ( 2 - 2 2 ) t 为发射线圈匝数；，为发射电流强度；圪为真空中发射线圈与接收线圈之间的直耦 信号。 利用上述积分方程的加速迭代算法计算随钻电磁波电阻率测量仪器的响应时需计 第二章计算随钻电磁波电阻率测量仪器响应的积分方程法 算纵向成层背景地层的陆e n 函数r ( ，) 及其对空间坐标的积分r g ，灿，可采用 递推矩阵算法计算3 9 1 。这种递推矩阵算法在计算g r e e n 函数的待定系数时只需一次正向 递推和一次逆向递推即可，而在正向递推过程和逆向递推过程中所需的迭代次数均为背 景地层数目刀，大大加快了计算g r e e n 函数及其积分的速度且编程时不会出现溢出现象， 尤其适用于背景地层数目多、背景地层电导率对比度大的情况。 2 5 纵向成层介质的g r e e n 函数 假设纵向成层介质共有刀+ l 层，如图2 1 所示，各层编号为，= 0 ，1 ，2 ，甩，源在第 层，各层参数分别为，q ，则群= ( 0 2 ，q ，人u = 0 f j 孑，五为积分变量。层厚 啊= z ，一z _ l ( ，= o ，1 ，2 ，刀) 。可以类比( 2 1 8 ) 式将纵向成层介质任意第，层内的g r e e n 函数 r ( r ，r ) 表示为： j i e0 ( ，灿7 =了互 x a ，g ) j 。( a r ) d2 + 了巨以_ 一a ，( ：一) j ，( 办) d 名 + k h ( r ，r ) d r ( 2 - 2 3 ) ( 2 2 3 ) 式等号右边为含源层表达式，第三项为源产生的表达式，对无源层( ，j ) 则 没有该项，j 。为1 阶b e s s e l 函数；若地层是均匀的，则g r e e n 函数积分式只含有第三项积 分。式中a ，以) 和b i q ) 为待定系数。它们由层界面处电场和磁场的连续性条件确定。 在任意第，层介质内，若，= 0 ，只有厶似) ，若，= 疗，只有或q ) ( 下同) 。在层界面处， 电场和磁场的切向量连续，即( r ，r ) 和昙( 厅( r ，r t ) ) 连续，由此可得到确定所有 u f 待定系数么，以) ( ，= 0 , 1 ，2 ，刀一1 ) 和局q ) ( ，= 1 , 2 ，即) 由下列方程得到 詹= 蓉，( 2 2 4 ) 式中，a 2 nx2 n 阶复矩阵；叉和蓉均为2 刀维复列向量。鬲= a o ，砭。= 嚣，夏。= 互， x 2 = 巨( f = 1 , 2 ，行一1 ) 。当r 在第层时，若o 刀，则受一=