（概率论与数理统计专业论文）可转换债券的鞅定价.pdf

摘要 混合证券是将多种基本元素( 利率、汇率、权益、商品等) 市场结合于 其结构之中的证券，对其合理适当地定价是金融数学中一个既具有理论意义 又具有实际应用价值的重要问题 利率权益混合证券是在证券的整体收益中结合了利率要素与权益要素 本文在完备、连续的市场模型下，对一类利率权益混合证券一可转换债券进 行了三种创新，分别在可转换债券附有回购条款、回售条款、及在随机利率 以及基础股票支付红利的情形下，利用鞅方法定价( 即风险中性定价) ，得出 了一般可转换债券以及三种创新可转换债券的定价公式 本文主要创新结果如下； i 在基础股票价格服从对数正态分布的假设下，推导出一般可转换债券 的定价公式，以及其价值变动与风险特征 2 推导出附有回购条款的可转换债券的定价公式，以及其价值变动与风 险特征，并比较了它与一般可转换债券的的价值关系 3 推导出附有回售条款的可转换债券的定价公式，以及其价值变动与风 险特征，并比较了它与一般可转换债券的的价值关系 4 在随机利率以及基础股票支付红利的情形下，推导出可转换债券的定 价公式，以及其价值变动与风险特征 关键词：混合证券，可转换债券，期权，风险中性定价，g i r s a n o v 定 理，随机利率 a b s t r a c t c o m p o u n d i n gp o r t f o l i oi sak i n do fp o r t f o l i ot h a tc o n n e c t i n gm a n y b a s i ce l e m e n t s ( i n t e r e s t r a t e s ，e x c h a n g er a t e s ，c o n t i n g e n tc l a i m s ，g o o d s ，e t c ) w i t ht h em a r k e t ，a l s oe x i s t i n gi nt h e s t r u c t u r eo ft h o s ee l e m e n t s p o s i t i o n i n gt h ep r i c eo fc o m p o u n dp o r t f o l i or e a s o n a b l ya n ds u i t a b l y i sa ni m p o r t a n ts u b j e c tw h i c hh a st h e o r e t i c a l p r a c t i c a lv a l u ei nf i n a n c i a lm a t h e m a t i cs t u d y i n t e r e s tr a t e s c o n t i n g e n tc l a i m sc o m p o u n d e dp o r t f o l i oi sap o r t f o l i ot h a tm i x e dt h ee l e m e r i t so fi n t e r e s tr a t e c o n t i n g e n tc l a i m si n t ot h ei n t e g r a lp r o f i to fp o r t f o l i o t i l ep a p e rp r e s e n t 3i n n o v a t i o n st o w a r dt h ei n t e r e s tr a t e s c o n t i n g e n tc l a i m sc o m p o u n d e dp o r t f o l i o c o n v e r t i b l e b o n du n d e rt h ec o m p l e t e da n dc o n t i n u o u sm a r k e tm o d u l e u n d e rt h ea s s u m p t i o nt h a tc o n v e r t i b l eh a sb a c kb u yt r e a t y , b a c ks e l l t r e a t y ，a l s oi nt h ec a s eo fs t o c h a s t i ci n t e r e s t ，t h es t o c kh a s d i v i d e n d - p a y i n g ，3p r i c i n gf o r m u l a so ft h ec o n v e r t i b l eb o n da r ee v o l v e db ym e a n so f m a r t i n g a l e a p p r o a c h ( r i s k - n e u t r a lv a l u a t i o n ) t h em a i n i n n o v a t o r yr e s u l t sa sf o l l o w s ： 1 u n d e rt h ea s s u m p t i o nt h a tt h e p r o c e s s o fa s s e tp r i c ei st o g n o r m a l d i s t r i b u t i o n ，t h ep r i c i n g f o r m u l a so ft h ec o n v e r t i b l eb o n da r eo b t a i n e d ，a l s ot h ec h a r a c t e r i s t i co f p r i c ew a v ea n d r i s k sc a n b ed e t e c t e d 幺t h ep r i c i n gf o r m u l a so ft h ec o n v e r t i b l eb o n dw i t hb a c kb u y t r e a t ya r ee v o l v e d a n di t s c h a r a c t e r i s t i c si np r i c ew a v ea n dr i s k sb ed e t e c t e d ，t h e nc o m p a r et h ev a l u eo ft h ei n n o v a t o r y c o n v e r t i b l eb o n dw i t ht h a to ft h eo r d i n a r yc o n v e r t i b l eb o n d 3 t h ep r i c i n gf o r m u l a so ft h ec o n v e r t i b l eb o n dw i t hb a c ks e l lt r e a t ya r ee v o l v e d a n di t s c h a r a c t e r i s t i e si np r i c ew a v ea n dr i s k sb e d e t e c t e d ，t h e nc o m p a r et h ev a l u eo ft h ei n n o v a t o r y c o n v e r t i b l eb o n dw i t ht h a to ft h eo r d i n a r yc o n v e r t i b l eb o n d 4 u n d e rt h ea s s u m p t i o no fs t o c h a s t i c i n t e r e s t ，a n dt h es t o c kh a sd i v i d e n d p a y i n g ，t h e p r i c i n gf o r m u l a so ft h ec o n v e r t i b l eb o n da r eo b t a i n e d k e yw o r d s ：c o m p o u n dp o r t f o l i o ，c o n v e r t i b l eb o n d ，o p t i o n s ，r i s k - n e u t r a lv a l u a t i o n ，g i r s a n o v 8t h e o r y , s t o c h a s t i ci n t e r e s t i n 第一章引言 衍生证券是指其价格或投资回报最终取决于另一种资产( 即标的资产) 的 价格的一类新型的金融工具，从1 9 7 3 年出现至今已有3 0 多个年头了，它的产生 和迅猛发展不仅是国际金融环境动荡不断加剧和市场竞争日趋激烈的结果， 同时科学技术的飞速发展和数学理论与方法在金融领域的广泛深入应用，也 使得金融工具创新的愿望能够变成现实其中，无套利定价原理( 即风险中性 定价理论) 就是随着衍生证券的发展而出现的金融新理论 可转换债券是一种企业债券和股票期权相结合的混合证券首先，它具有 企业债券的一般特征，即，债券到期后，若债券持有人没有行使转换的权利， 发行人必须偿还本金及利息；其次，它在本质上属于股票期权，酃投资者在购 入该债券时获得在某个时间按敲定的转换价格转换成股票的权利但因为它 和一一般期权相比具备基本的利率保证，所以可转换债券具有比一般期权更高 的价值2 0 世纪9 0 年代，我国在国内发行a 股和b 股的企业分别在国内外 尝试过发行可转换债券，同时，我国在境外发行n 股和h 股的企业和境外上 市的中资企业也发行过可转换债券举例如下； 1 1 9 9 2 年1 1 月1 9 日，中国宝安集团股份公司在我国资本市场上公开发 行了我国第一种可转换债券，发行总额为5 亿，年息0 0 3 ，期限3 年，转股价 格为每股2 5 元，发行半年后即可转换成股票 2 1 9 9 7 年5 月1 4 日，我国首批赴境外上市的大型国有企业一华能国 际电力股份控制有限公司，发行2 亿美元可转换公司债券，债券期限为7 年， 年息0 0 1 7 5 ，发行3 个月后即可转换成华能国际在美国上市的美国存托凭证 ( a d r ) ，转股价格为2 9 2 0 美元a d r 该债券在欧洲、北美和亚洲地区发 行，并在纽约和卢森堡挂牌上市 对可转债定价问题的最早研究当属b r e n n a n 和s c h w a r t z 1 他们在假定可转 换债券一次性完全转换成股票的条件下研究了可转换债券的定价问题，结论 是可转换债券的市场价值是普通债券的市场价值与权证市场价值之和，但具 体定价参数仍难以确定其后的研究多集中在可转换债券的转换价格及赎回 策略的制定上【2 】 3 1 郑小迎、陈金贤在假定股票价格服从对数正态分布的条 件下，利用无风险套利原理，得到了关于可转换债券的定价微分方程【4 】 在完备市场环境下。本文对可转换债券进行了三种创新；1 考虑了具有 回购条款的可转换债券的定价公式；2 考虑了具有回售条款的可转换债券的 定价公式；3 由于市场的不稳定性，市场无风险利率、股票红利率都有可能 对可转换债券的发行价格产生影响，本文在基础股票支付红利，连续红利率、 股价瞬时波动率等都是时间的非随机函数的假设条件下，借助于风险中性定 价理论也得出了可转换债券的定价公式三种创新可转换债券的到期价值不 同，债券发行价格也不同，能满足更多的投资者的需要 1 1 可转换债券的特征及构成要素 可转换债券本质上是一种期权式债券，其持有人有权利在债券到期日( 或 到期日前的任何时候) 按照事先约定的某个特定的转换比率( 或转换价格) ， 将债券转换成发行公司股票。在到期日( 或到期前) ，当债券持有人行使转换 权利时，发行公司收回债券并向持券人发放公司股票；反之，如债券持有人 放弃转换权利，则发行公司必须还本付息可转换债券按照转换条款的执行 时间可分为固定转换制度( 相当与其中的期权为欧式) 的转债和自由转换制 度( 相当于其中的期权为美式) 的转债，本文只考虑固定转换制度的转债一 般而言，可转换债券具有以下一些要素： ( i ) 基本股票：它是可转换债券的标的物，即可转换债券可以转换成的 那种股票； ( 2 ) 票面利率；它给予投资者一个最低收益的保证，但通常低于普通债 券利率和银行利率，以体现其期权价值； ( 3 ) 转换价格t 即债券发行时就确定了的将可转换债券转换成股票时应 付的每股价格，一般高于发行时股票的市场价格，否则就意味着贴现发行； ( 4 ) 转换期限：即可转换债券的有效期限在到期日或到期日之前的任 何时刻，可转换债券的持有人或行使转换权，或要求发行公司还本付息本 文只考虑固定转换日期的转债，即只有在到期日或事先约定的特殊时刻( 股 票发息日等) ，可转换债券持有人才可行使转换权或还本付息权 1 2 市场模型 i 基本假设： i ) 市场为有效的无摩擦市场，有两种资产：一种无风险资产，称为债券 或银行存款，利率为r ；一种可转换债券； 2 ) 股票价格服从对数正态分布； 3 ) 股票交易连续进行( 即任何时刻均可进行) ，不存在交易费用及交易 4 ) 债券利息按连续复利计算 5 ) 可转换债券无违约风险； 6 ) 可转换债券对应股票在可转换债券有效期内无红利支付， 2 概率测度的转换 设( q ，只p ) 是一概率空间，f 是由q 的一些子集构成的。一代数，p 是风 险概率测度， h 垆，0 是该概率空间上的一维标准布朗运动，毋是由 h 伊产生的自然a 一代数可转换债券对应的基础股票价格过程 s t ，o tst 是一种j 扮过程： d & = # s t d t + o s t d w p ，( 0 t ) ( 1 1 ) 其中鼠表示股票在t 时刻的价格，p 表示股票的期望瞬间报酬率，a 表示 股票报酬率的瞬间标准差，地a 均为常数；d h ? 表示在概率测度p 下，布朗 运动在t 时刻的瞬间增量由( 1 1 ) 式，结合j 佑定理，有： d ( 1 n s t ) = ( p i 1 口2 ) d r + o d w , 9 ， s t = 岛e x p ( p 一；口2 ) t + 口i 嘴 ，( 1 _ 2 ) 其中，a w $ = 砰笮一w 字服从正态分布n ( 0 ，t ) ，崂表示在t 时刻，p 测度下 布朗运动的取值，h 学为初始值， 定理1 ( g i r s a n o v 定理) 惨见f 6 第1 7 鞫( n ，e p ) 是一概率空间，如果( 轨) 。t 是一个适应过程，满足露鳄出 o o ，且过程 三t = 一z 以d w 7 e x p (w 7 一；1z 鳄d s ) ， ( ，3 ) 三t = 一以d一百f 鳄d s ) ， ( 1 3 ) ，aj u 为一鞅，其中， 矸伊，0 t t ) 是在概率p 下的一维标准布朗运动，再令 那么在概率测度日下，定义为 d q = l t d p w = 眠+ z 的随机过程( 阱) 是( o ，f iq ) 上的标准布朗运动且 e p ( l r l a ) = 驴( h ) 对任意的a f 都成立其中，舶表示在q 测度下的数学期望 p 测度下的数学期望，i 表示示性函数 ( 1 5 ) e p 表示在 f 面是g i r s a n o v 定理的两个应用： ( 1 ) p 测度与q 测度的转换 定义测度q ，使满足 器一( 一z t # 。- r a 畔一掐孚 其中，r 是无风险利率，且定义过程 昭= 皑+ z 等池= 町+ 等印t t ) 并令 扫= e x p ( - z 1 等d 畔一并( 孚) 2 d u j 0 ) ， j 0口 。 z盯 。 则由g i r s a n o v 定理，q 是p 的等价鞅测度，且随机过程( w y ) 。丁是( n ，f ) q ) 上 的标准布朗运动，而且 e 尸渤“) = e q ( i a ) ( 1 6 ) 对任意的a f 都成立其中，钟表示在q 测度下的数学期望，e p 表示在 p 测度下的数学期望，i 表示示性函数 显然，有如下的关系式成立t d 睇= d 昨+ 孚m 将( 1 7 ) 式代入( 1 1 ) 式，有： d 鼠= r s t d t + 口d i 矿p 由( 1 8 ) 式，结合j 惦定理，有： ( 1 7 ) ( 1 8 ) d ( t 竹s t ) = ( r 一争) d 抖口d w y ， 曲= 岛e x p 扣一互1 口2 ) ? + 口昭) 其中，崂= 昭一啼服从正态分布n ( 0 ，t ) 由于( 1 8 ) 式与股票的期望瞬间报酬率无关，即与投资者对风险的偏好 无关，故称q 为风险中性测度同时，比较( 1 1 ) 式和( 1 _ 8 ) 式可知：在风 险中性下，股票的期望瞬间报酬率口被无风险利率r 取代，但股票的波动率。 并没有受到概率测度转换的影响 4 令 ( 2 ) q 测度与r 测度的转换 为方便以后求解定价，可利用g i r s & n o v 定理将q 测度转换成另一种测度r 蒿= e x p ( z o t o d 岬一；f 删= e x p ( a w e 白= 唧( a 昭一；抑) ， 呼= 呼 由g i r s a n o v 定理，r 是一个概率测度，随机过程( 矸铲) o ! t s t 是( q ，f r ) 上的布朗 运动，且 e 口( 白玖) = e 咒i a ，( 1 1 0 ) 对任意的a f 都成立其中，舶表示在q 测度下的数学期望，e r 表示在 r 测度下的数学期望，i 表示示性函数由( 1 9 ) 式容易得到： d w t r = d w q a d t 将( 1 1 1 ) 式代入( 1 8 ) 式，有： d & = p + ：a 2 ) 最d t + a 最d 孵， d ( ) = ( r + ；c r 2 ) d 件甜畔， 曲= 岛e x p p + 互1 盯2 ) t + 盯a w p 其中，a w $ = w p w 铲服从正态分布n ( 0 ，t ) 容易看到，测度由q 转换到曳， 与由p 转换到q 一样，只是股票的期望瞬间报酬率发生了变化，并没有影响 到波动率m 1 3 可转换债券的价值边界 由于可转换债券具有债券与期权的双重特性，因此其价值也就由这两部 分构成，即单纯的债券价值和暗含股票的买入期权价值 1 可转换债券作为普通债券的内在价值一一单纯的债券价值 单纯的债券价值是指债券在未转换以前与普通债券一样，按时支付利息， 到期时偿还本金单纯债券价值的求法是债券面值与未来利息收入的和再以 当时的市场利率贴现在模型假设下，任意时刻t 的计算公式为； 单纯的债券价值 = m e 一( r 一“， 其中m 代表可转换债券的面值，i 代表票面利率，r 代表市场利率，t 为债券 到期时刻 可转换债券的单纯的债券价值与债券票面利率、市场利率有关，而与对应 股票价格无关，这是非常重要的，它在无破产风险和无拖息风险条件下确定 了可转换债券在市场上的最小价值当股价持续下降时，可转换债券的单纯 债券价值能保证债券市场价值的最低底线 2 可转换债券作为股票期权的内在价值一一转换价值 可转换债券持有者将债券按事先约定的转换价格转换成股票并按当时股 票市场价格计算的价值称为可转换债券的转换价值在模型假设下，任意时 刻t 的计算公式为： 转换价值 v c = e - r ( t - t ) 1 m j - & ， 其中g 代表约定的转换价格，& 代表t ( o t t ) 时刻的股价 由转换价值的计算公式可知，可转换债券的转换价值由股票价格决定，它 随着股票价格的升降而涨跌 3 可转换债券作为混合证券的价值一一债券市场价值 可转换债券的市场价值与其单纯的债券价值和转换价值均有关如果股 票价格低于转换价格，可转换债券市场价值主要受其普通债券价值影响；当 股票价格上升，债券转换价值也随之上升，并逐步在其市场价值中起主要作 用，当股票价格足够高，突破某临界值霹时，可转换债券市场价值和转换价 值一致；当股票价格超过踺时，可转换债券的市场价值为其转换价值事实 上，由k = k 易得：临界值 s ：= e i t c 。 此临界值被称为可转换债券的价值边界 值得注意的是，可转换债券在转换成股票时，发行公司需要用库存股票来 兑换，这将引起公司资本结构的改变：权益资本增加，债务资本减少，即产生 对股票价值的稀释作用 例如，假设某公司有发行在外的帆股普通股股票和c 份可转换债券，每 份债券的面值为m ，转换价格为g ，到期日为t ，为简单起见，不妨假设它 们是不付利息的零息票债券，且债券一次性完全转换成股票，则在转换前， 公司资产总价值为 v = s 1 + c m ，( 1 1 3 ) 而在转换后，公司资产总价值为 v _ ( 心+ c 筹) 岛，( 1 “) u 其中，岛，岛分别代表转换前后股票价值。比较上述两式，易知s 。和岛并不 一定相等，即在可转换债券转换前后，股票价值将发生变化 上述的分析并没有考虑到可转换债券在转换成股票时对每股权益价值的 稀释作用，而这种稀释作用事实上将影响可转换债券的价值但为简单起见， 我们将忽略这一问题 第二章普通可转换债券的定价 2 1 模型介绍 普通可转换债券是指对应股票在债券持有期内无股利分配，也无任何附 加条款的可转换债券由可转换债券的构成要素可以看出：可转换债券是一 种期权式债券，兼具债券与期权的双重性质一方面，作为一种债券，和普 通债券一样能为投资者提供固定利息收入和还本保证，不过由于可转化债券 持有者有在约定时刻转换股票的权利，所以其票面利率要比一般的公司债券 低，以反映可转换债券期权的价值；另一方面，作为股票期权，在转换日，持 有人可以按照约定的转换价格( 敲定价格) 将债券转换成公司股票，确保持 有人有权分享股票增值所带来的收益 因此，普通可转换债券的价值也就由两部分构成，单纯的债券价值和以股 票为标的物的看涨期权价值其到期现金流量( 或到期值) 以公式表示如下： 到期收益坼为 fr ， 坼：r ， i箦唧 其中，场代表可转换债券到期时刻( t ) 的价值，p b = m e i t 代表以票面利率i 计算的单纯债券价值，m 代表可转换债券的面值，解释如下； 1 情况( 1 ) 在债券到期日( t ) ，如股价曲小于转换价格瓯，那么转换后股票价值m ，_ z s 小于可转换债券当前面值m ，持有人将放弃转换权，发行公司还本付息，可 转换债券价值为单纯债券价值； 2 情况( 2 ) 在债券到期日( t ) ，如股价唧大于转换价格q ，但转换后股票价值警 小于可转换债券当前单纯债券价值昂，持有人也将放弃转换权，发行公司还 本付息，可转换债券价值为单纯债券价值； 3 情况( 3 ) 在债券到期日( t ) ，如转换后股票价值警大于可转换债券当前单纯债券 价值r ，持有人将执行转换权，发行公司收回债券并发放股票，可转换债券 价值为转换后股票价值 睁 瞅警 一 g 岛 一旦普通可转换债券的到期现金流量确定后，其评价模型可根据m a r t i n g a l e p r i c i n g 的方法求解；在风险中立下，其价值是到期现金流量期望值的现值，并 以无风险利率折现 2 2 普通可转换债券的m a r t i n g a l e 定价 以后，我们用妒( - ) ，( ) 分别表示标准正态分布的密度函数和分布函数，即 妒( 。) = 了1 霸e - 譬，( 。) = 去o o e - 譬d 根据普通可转换债券到期现金流量蜥的定义，它在现在( t 时刻) 的价 值k 为t k 2 e 驴= e - r t e q p b l s t 警】_ - e - r r e q 瓦m 曲k 警】， ( 2 1 ) 其中，r = t t 令上式中的第一、二大项分别为1 1 ，屯，则 p b e l ”蹦岛 警) p “e - 以l n 西s t l n 麓) p b e - ”以( r 一互1 口2 ) r + d 峭 l “而p b c v j p b e - r j i - p q ( 等 l n 麓) = 以等 ( 1 n 嚣_ ( r 岬1 2 m a j r ) = n ( d 2 ) 此处，d 2 = ( - 1 一糯+ ( r + 一2 ) r ) 归行，从而 屯= 警( d 2 ) 综合上述结论，最后得到： 定理2 小普通可转换债券在任意t 时刻的价值 k = m e i t e - r r n ( 一d ) + 警m n ( d 2 ) ( 2 2 ) 注1 ：若s t g ，由( 2 2 ) 式易得k = m e i t e 一即当可转换债券对应股 票的价值大幅度低于转换价格时，可转换债券的价值同普通债券价值趋于一 致； 注2 ；若s t g ，由( 2 2 ) 式易得= 爰芋即当可转换债券对应股票的 价值大幅度高于转换价格时，可转换债券的价值同普通股票市场价格趋于一 致 2 3 避险参数 由可转换债券的定价公式( 2 2 ) 可以看出，影响其价格的基本因素有票 面价值m ，票面利率i ，转换价格g ，对应股票的价格韪，股票波动率一， 无风险利率r 和距到期时间t t 几个因素，在下面的讨论中，我们将主要关 注、a 、r 对可转换债券的价格影响同时，为方便起见，不妨借用期权 价值的敏感性分析中的符号 定义2 1 ：可转换债券价值k 对标的资产( 股票) 价格变动的敏感性，称为 d e l t a ，即 d 出口：尝 d j t 1 0 由定义2 1 和公式( 2 2 ) ，注意到瓣= 魏= 面1 万，易得 = 甏 = p b e - - 妒( 一d 1 ) 0 ( - d 1 ) + 瓦m ( d 2 ) + 百m s t 舳j 面o d 2 = - - j = - n ( d 2 ) ， 注意到n ( d 。) 的非负性，得到结论， 定理2 2 普通可转换债券在任意t 时刻的价值k 是t 时刻股票价格岛的 增函数。 这说明，当可转换债券对应股票价格升高( 降低) 时，可转换债券的价值 也将升高( 降低) 。 2 v e g a 定义2 2 ：可转换债券价值k 对标的资产( 股票) 价格波动率a 变动的敏 感性，称为v e g a ，即 v e g a = 警 由定义2 2 和公式( 2 2 ) ，注意到器：垡鲎- c v 笋“2 ，著：静+ 南，易得 脚= 警 = p b e - r m _ d l ，) o ( 孙- d 1 ) + 百m s t 删碧 = 百m s t r i p ( d 2 ) 同样由妒) 的非负性，得到结论： 定理2 3 普通可转换债券在任意t 时刻的价值v t 是t 时刻股票价格波动率 a 的增函数 这说明，股票价格波动越大( 越小) ，可转换债券的价值也越高( 越低) 3 r h o 定义2 3 ：可转换债券价值v t 对无风险利率r 变动的敏感性，称为r h o ，即 r h 。：掣 d r 1 l 由定义2 , 3 和公式( 2 2 ) ，注意到簪= 誓= 近o - ，易得 ：驴( _ d 1 ) 丝+ 百m s t 删堕o r + 胪1 _ r ) ( - d 1 ) = p b e 一7 7 ( 一r ) ( 一d 1 ) 由( 一d 。) 的非负性，得到结论： 定理2 4 _ 普通可转换债券在任意t 时刻的价值k 是无风险利率r 的减函 这说明，无风险利率r 越大( 越小) ，可转换债券的价值将越低( 越高) 第三章附有回购条款的可转换债券的鞅定价 3 1 模型介绍 附有回购条款的可转换债券是在普通可转换债券的基础上加上回购条款 所谓回购条款，是为防止在股价长期高于转换价格的情况下，投资者出予更 高期望收益丽不实施转换时，为保护发行公司利益而赋予的发行公司可追使 投资者行使转换的权利目前，回购条款的设定方式主要是在股票发行时设 定债券转换时的股价上限 附有回购条款的可转换债券的构成要素和普通可转换债券一样，它也是 一种期权式债券，兼具债券与期权的双重性质因此，其价值也就由两部分 构成：单纯的债券价值和以股票为标的物的看涨期权价值但由于回购条款 的作用，其中的期权价值不再是普通期权价值，而是一种设置了障碍价格的 上出局期权价值其到期现金流量( 或到期值) 以公式表示如下；到期收益硌为 f r ， 硌= 苗曲 【筹曲 岛 警，霄 0 为常数代表约定的障碍价格，君代表在债券 有效期l o ，t 】内股票的最高价格，即雪= 一。o 。t 岛 解释如下： 1 情况( 1 ) 在债券有效期i o ，副内，股票的最高价格吾没有突破障碍价格l ，且在债 券到期日( t ) 转换后股票价值4 乎小于可转换债券当前单纯债券价值b ， 持有人将放弃转换权。发行公司还本付息，可转换债券价值为单纯债券价值； 2 情况( 2 ) 在债券有效期【o ，司内，股票的最高价格苫没有突破障碍价格工，但在债 券到期日( t ) 转换后股票价值6 争大于可转换债券当前单纯债券价值b ， 持有人将执行转换权，发行公司收回债券并发放股票，可转换债券价值为转 换后股票价值； ， 3 情况( 3 ) 在债券持有期【o ，卅内，股票的最高价格季突破了障碍价格l ，则可转换 债券发行公司可要求债券持有人立即执行转换权，不论在债券到期日( t ) ，股 票价值为多少，可转换债券价值均为转换后股票价值 一旦附有回赡条款的可转换债券的到期现金流量确定后，其评价模型可 根据m a r t i n g a l ep r i c i n g 的方法求解；在风险中立下，其价值是到期现金流量期 望值的现值，并以无风险利率折现 3 2 附有回购条款的可转换债券的m a r t i n g a l e 定价 根据附有回购条款的可转换债券到期现金流量蜥的定义，它在现在( t 时 刻) 的价值k 为： 为了求出c 的值，引入两个引理( 参见【5 】) ： 引理1 ：设埽= 1 n 要，p = r 一譬，则埽的分布函数为： p ( y t ) = 可y - l a - f ) 一e 警( 专笋) ( 3 2 ) 引理2 ：设x r = l n 鲁，蜥= i n 戛，p = r 一譬，则x t ，y t 的联合分布函数为： p 锄，埽 沪( 等o - x t ) 一e ( 警) ( 3 3 ) 盯 丁 其中，r = t t 如前定义 令( 3 1 ) 式中的第一、二、三大项分别为 ，如，1 3 ，则 1 1 3 p b e - r r e q 1 s t 学，- g 纠 = 驴唧( 勖 警，- 9 助 = p b e - r p q ( h 酉s r ，n 麓山戛 k 妾) ， 令茁= l n m 瓣c , ，y = 1 n 击，则由引理2 矗= a e 一7 p o ( x r 窭，y t y ) = 屁e r r ( 学) 一e x p ( 堡2 乎) ( 三二学) ) = p b e - ” ( _ d 1 ) _ ( 钞书n ( - d t - 豢” 1 d b 一”瓮 驴一托 k 簪k警 醇一佃 艮 警 r 护 阿 一e n = 一 场 t 驴 k 仃 一 帆 其 此处，d 。= ( - 1 n 瓣+ ( r i l u 2 ) r ) 加定义如前 屯= 爰e 庐 s t 岛警_ l 】 = 篆e 舻 s t e x p ( r j 1 a 2 ) t + a a 孵) 串黜】 = 导等胪【毛，：学弛j = 警川曲2 警，雷 功 = 警扩( 君 功_ p r ( 曲 警 _ 聊， p n ( 曲 警，君 工) 的计算与p q ( s t 峄，君 工) 的计算相同，只是将( r i l u 2 ) 换成( r + ；a 2 ) ，计算结果如下： p r ( 曲 警i _ l ) = n ( - d l - a 饲一( 护1 + 黝( _ 等一酮卜 此处，d l = ( - 1 n 铂孥+ ( r 一；a 2 ) r ) 归如前面定义 另一方面，由引理1 矽( 可 三) = p r o “虽 0 为常数代表约定的障 碍价格，量代表在债券有效期【o ，卅内股票的最低价格，即量= r a i n 。t 鼠 解释如下z 1 情况( 1 ) 口b 口口 曼量曼s 一 峄峄峄峄 曲曲曲曲 在债券有效期【o t 】内，股票的最低价格曼没有突破障碍价格b ，且在债 券到期日( t ) 转换后股票价值! c 数小于可转换债券当前以票面利率i 计算 的单纯债券价值r 。，持有人将放弃v 转! 换权，发行公司还本付息，可转换债券 价值为单纯债券价值尸6 ，； 2 ，情况( 2 ) 在债券有效期 0 ，卅内，股票的最低价格星没有突破障碍价格b ，但在债 券到期日( t ) 转换后股票价值丝c 大于可转换债券当前以票面i 计算的单 纯债券价值晶。，持有人将执行转换v 权1 ，发行公司收回债券并发放股票，可转 换债券价值为转换后股票价值； 3 情况( 3 ) 在债券有效期【0 1 习内，股票的最低价格显突破了障碍价格b ，则在本文 假设条件下，理性的债券持有人将选择继续持有债券至到期，且若在债券到 期日( t ) 转换后股票价值馨m s 小于可转换债券当前以市场利率r 计算的单 纯债券价值，持有人将放弃转换权，发行公司还本付息，可转换债券价值 为以市场利率r 计算的单纯债券价值r 。； 4 情况( 4 ) 在债券有效期【o ，卅内，股票的最低价格曼突破了障碍价格b ，且在债券 到期日( t ) 转换后股票价值 鲁大于可转换债券当前以市场利率r 计算的 单纯债券价值嘞，持有人将执行转换权，发行公司收回债券并发放股票，可 转换债券价值为按照降低后转换价格转换后股票价值 一旦附有回售条款的可转换债券的到期现金流量确定后，其评价模型可 根据m a r t i n g a l ep r i c i n g 的方法求解；在风险中立下，其价值是到期现金流量期 望值的现值，并以无风险利率折现 4 2附有回售条歉的可转换债券的m a r t i n g a l e 定价 根据附有回售条款的可转换债券到期现金流量坼的定义，它在现在( t 时 刻) 的价值v t 为： y t2 e ”7 e q v t = e ”7 e q p b l k 蛊铲1 b + e ”7 e 。【尘等! 争点口 + e - r r e 。阮k 凸俨，永口1 + e - r r e 。【蟹i s r 峄点 b 】 ( 4 1 ) 为了求出k 的值，引入两个引理渗见 5 ) ： 引理3 ；设x t = l n 每，y t = l n 蓦，p = r 譬，则x t ，y t 的联合分布函数为； 1 9 p 独蹄列= ( 专笋) 一e 警( 半 引理4 ：设埽= 1 n 岳，则y t 的分布函数为 p 盼矧_ ( 等) 一e 等( 等) 其中。r = t t 令上式中的第一、二、三、四大项分别为1 1 ，如，3 ，4 ，则 e 伊 b l l n 鼽 令x l = i n 争，= l 基，p l = r 一 矿，则由引理3 及4 ( 4 2 ) ( 4 3 ) b 1 e 一7 p q ( y r y ) 一p q ( x t 1 ，y t ) p b l e - r r ( 专笋) - e 竽( 警) _ j r ( 弓笋) + e 学( 墨芬掣) i 另一方面，由引理3 及g i r s a n o v 定理， 如= 篑e _ r 7 网踯蝉峻日】 = 瓦mc - r - r q 唧 ( r 一互1 a 2 ) r + a 睇) 盐萨点b )o 口l 。， 玎一，旦u = , f i 石t _ m 胪【且萨，! 一 = 百8 t m p r ( 曲学，量捌 = 等p r ( k 警独觜，h 麦抽叁 p r ( 1 n 安i n 2 瓷# 势，i n 鸯i n 黑) 的计算与朋( i n 鲁i n 挚，1 n 番i n 害) 的计算相 同，只是将( r 一 0 2 ) 换成p + 矿) ，令卢。= a 2 ，计算结果如下： 如= 等【( 之笋) - e 警( 墨杀掣” 现计算五，由引理3 及4 ， e ”俨 p b 2 i s t 勺p - 0 。点 b l 嘞e - r r p q ( 蹄 l n 量) 1 b ：耵1 ( 等) + e 竽( 警卜- 攀x n ( 羔等业) 下面计算 ，由引理3 及g i r s a n o v 定理 = e 妒【瓦m 2 。i 曲盐萨，