（计算数学专业论文）单位圆上复线性微分方程解的性质.pdf

摘要 2 0 0 0 年j h e i t t o k a n g a s ，在其博士论文o nc o m p l e xd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s 饥t h eu n i td i s c 中研究了单位圆上复线性微分方程解的增长 性，讨论了微分方程系数满足某特定条件时，方程的解属于某类函数空间的 技巧及方法从此对单位圆上微分方程的研究便逐渐成为许多国内外学者的 研究课题，何育赞，萧治经，陈宗煊，曹廷彬，仪洪勋，j h e i t t o k a n g a s ， r k o r h o n e n ，j r t i t t y 5 等得到了许多结果。 在本文中，我们将继续讨论单位圆上微分方程的系数在满足一定条件 下，方程的解的增长性，以及将微分方程理论与函数空间理论相结合，讨论 方程解的函数空间属性，并得到一些关于单位圆上二阶，高阶线性微分方程 解的相关结果 关键词：单位圆，线性微分方程，可允许解，增长极，日一函数，b e r g m a n 空间，哈代空间 中图分类号t 0 1 7 4 a b s t r a c t i n2 0 0 0 ，j h e i t t o k a n g a ss t u d i e dt h eg r o w t ho ft h es o l u t i o n so fc o m p l e x l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o ni nt h eu n i td i s ka n dd i s c u s s e dt h es k i l l sa n dm e t h - o d so ft h es o l u t i o n so ft h ee q u a t i o n sb e l o n gt os o m eg i v e nf u n c t i o ns p a c e s w h e nt h ec o e f f i c i e n t so ft h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n ss a t i s f ys o m eg i v e nc o n d i - t i o n si nh i sd o c t o r a lt h e s i s o nt h ec o m p l e xd i f f e r e n t i a le q u a t i o n si nt h eu n i t d i s k f r o mt h e no n t h es t u d yo fc o m p l e xl i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o ni n t h eu n i td i s ka t t r a c t e dal o to fr e s e a r c h e r sa l lo v e rt h ew o r l d ，h ey u z h a n ，x i a o y e j i n g ，c h e nz h o n g x u a n ，c h a ot i n g b i n ，y ih o n g x u n ，j h e i t t o k a n g a s ， r k o r h o n e n a n dj r a t t y ah a v eo b t a i n e dal o to fr e s u l t s i nt h i sp a p e r ，w e w i l lc o n t i n u et os t u d yt h eg r o w t ho ft h es o l u t i o n so f c o m p l e xl i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o ni nt h eu n i td i s kw h e nt h ec o e m c i e n t so f t h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n ss a t i s f ys o m eg i v e nc o n d i t i o n s a tt h es a m et i m e ， w ef i n dt h er e l a t i o n s h i p sb e t w e e nd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n df u n c t i o ns p a c e s a n dd i s c u s st h ec o n d i t i o n so ft h es o l u t i o n so ft h ee q u a t i o n sb e l o n gt os o m e f u n c t i o ns p a c e s f u r t h e r m o r e ，w eo b t a i ns o m er e s u l t sa b o u tt h es o l u t i o n so f t h el i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o no fs e c o n do r d e ra n dh i g ho r d e r k e yw o r d s ：t h eu n i td i s k ，l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，a d m i s s i b l e s o l u t i o n s ，t h eo r d e ro fg r o w t h ，h - f u n c t i o n s ，b e r g m a ns p a c e ，h a r d ys p a c e i i 原创性声明 本人郑重声明，所呈交的毕业学位论文，是本人在导师的悉心指导下， 独立进行研究所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含 任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果对本文的研究在做出重 要贡献的个人或集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明 的法律责任由本人承担 论文作者签名， 日 讯i 孑 6ri b 学位论文使用授权的声明 本人完全了解贵州师范大学有关保留、使用学位论文的规定、同意学校 保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅 和借阅；本人授权贵州师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有 关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文和汇编学 位论文 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 善嚣耄一 导师签名，彳乞多z v 锣匕 日 瓤专“盯日 已i 古 ji 口 函数论的研究主要涉及实分析，复分析及泛函分析，而复分析的研究 又主要涉及亚纯函数的正规族和值分布理论，r i e m a n n 曲面，正规函数 与b l o c h 函数，复变函数空间等方面上世纪二十年代由芬兰著名数学家 r n e v a n l i n n a 创立的亚纯函数值分布理论是上世纪重大的数学成就之一。一 它是现代函数论的基础，它对数学的其他分支的研究也产生了重大的影响 上世纪五十年代德国数学家日w i t t i c h 及其学生系统地研究了n e v a n l i n n a 理论对常微分方程理论的意义，使得这一理论成为研究复域中常微分方程大 范围解析解的重要工具其后，前苏联，美国，芬兰，日本等国的数学家进 一步发展了这一方向的研究并取得了一系列重要的进展 微分方程的复振荡理论是上世纪八十年代初才兴起的一个领域，运用 复分析的理论和方法来研究复域上微分方程解的振荡性质，研究使用的主 要工具是n e v a n l i n n a 值分布理论，w i m a n v a l i r o n 理论，位势理论， 渐进方法等自1 9 8 2 年，s b a n k 和i l a i n e 利用n e v a n l i n n a 值分布 理论对复平面上二阶齐线性微分方程解的复振荡性质研究开始，许多研究 者开始关注微分方程解的增长性由p o i n c a r d k l e i n k o e b e 单值化定 理确立了单位圆，复平面c 及扩充复平面口在复分析中的重要地位 由于单位圆与复平面c 本质上有很大的不同，所以研究单位圆上线 性微分方程解的复振荡性质也是非常重要和有意义的课题自从2 0 0 0 年 j h e i t t o k a n g a s 2 1 首次研究单位圆内微分方程解的增长性以后，近年来国 内外出现了一些这方面的结果( 参见【5 【6 【2 1 【2 3 2 4 【2 6 等) 然而对复平面 上方程解的估计起重要作用的w i m a n v a l i r o n 理论在单位圆内无效 因此，对单位圆内线性微分方程解的精确估计的结果很少从而对单位圆 内线性微分方程解的研究得另辟途径1 9 8 2 年c 日r p o m m e r e n k e 在 o nt h em e a ng r o w t ho ft h es o l u t i o no fc o m p l e x l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n | | 饥t h eu n i td i s k 中考虑特殊二阶微分方程解的函数属性，将方程解与函 数空间联系起来，本文借鉴其研究方法，将微分方程理论与函数空间理论相 结合来研究 复变函数空间理论的研究有悠久的历史，得到了丰富而优美的结果下 面简要介绍其发展历史。 1 9 3 0 1 9 7 0 年间，h a r d y 空间中的解析函数构成了b a n a c h 空间中最经 典的一类，是诸如复分析，傅立叶分析，调和分析及泛函分析等领域中最基 础的研究对象同时也为分析领域的发展提供了十分重要的工具1 9 7 0 年 p d u r e n 出版了专著日p 空间理论，该专著收录了h a r d y 空间的相关 理论和其在相关领域的应用，对h a r d y 空间的发展做了系统的总结 1 9 7 0 - 1 9 9 0 年间，主要是对尉d 沈空间和具有很强应用价值的b m d a 空间的研究1 9 7 4 年z m a n d e r s o n ，z c l u n i c 和c 日r 尸o m m e r e n k e 发表 1 了题为o nb l o c hf u n c t i o n sa n dn o r m a lf u n c t i o n s 的论文，该文对 b l o c h 空间的研究具有重要意义；b m o a 空间又称有界平均振荡解析函数 空间，它是在研究偏微分方程和物理振动方程中出现的，它的很多重要成果 都具有很强的应用价值 1 9 9 3 年在香港举行的国际复分析会议上，芬兰数学家r a u l a s k a r i 和 美国数学家p l a p p a n 在文章c r i t e r i ai o ra na n a l y t i cf u n c t i o nt ob e 尉d c ha n dh a r m o n i co rm e r m o r p h i c ：f u n c t i o nt ob en o r m a l 中首次提出 了q 空间的概念1 9 9 6 年赵如汉提出了f ( p ，q ，8 ) 空间1 9 9 8 年伍鹏程在文 章o ni n c r e a s i n gf u n c t i o n s ，b l o c hf u n c t i o n sa n dn o r m a lf u n c t i o n s 中研究了b l o c h 函数和n o r m a l 函数的判别准则 2 0 0 1 年伍鹏程和乌兰哈 斯在此文的基础上于文c h a r a c t e r i z a t i o n so y 佩s p a c e 8 中提出了矾 空间的概念 本文主要工作包括两个部分，其一是在第二节中讨论以下类型微分方程 解的增长性； ( 1 ) ，( 动+ a ( z ) f = o ；( a ( z ) 为单位圆内解析函数) ( 2 ) ，( 惫) + a k 一1 ( z ) ，【k - - i ) + + a l ( z ) f + a o ( z ) f = o ；其中a i ( z ) ( i = 0 ，t ，k 一1 ) 为单位圆内解析函数其二是在第三节和第四节中将微分方程理论与函数空 间理论相结合，来讨论方程( 1 ) 和方程( 2 ) 的解的函数空间属性 2 1 预备知识 在这个部分我们将介绍单位圆上n e v a n l i n n a 基本理论，以及本文将要 涉及到的基本定义为了方便，我们先给出一些常用的记号记a = z c ：h 1 ) 为复平面上的单位圆盘，o a = 名c ：h = 1 ) 为单位圆的边 界 1 1 单位圆上n e v a n l i n n a 基本理论 关于单位圆上的n e v a n l i n n a 基本理论可参阅文献1 9 2 0 。 定理1 1 1 ( 第一基本定理) 设，是内的亚纯函数，则对任意复数 a gf 不恒为a ， 1 t ( r 1 了二：) = 丁( n 厂) + 0 0 ) j u 定理1 1 2 ：( 第二基本定理) 设，是a 内非常数的亚纯函数，又设a l ， 口g c 是g ( g 2 ) 个不同的点，令1 ( r ) = 2 n ( r ，) 一n ( r ，f 7 ) + g ( r ，专) ， 则 。 狐+ 喜嘶，击脚t ( r ，) _ 眦m n 引理1 1 3 设f 是内的亚纯函数，七n ，则m ( r ，华) = s ( r ，) 若f 是有限级，则m ( r ，孚) = o ( 1 0 9 击) ，其中s ( r ，) 满足下列条件： s ( r ，) = o ( 1 0 9 + t ( r ，) ) + o ( 1 0 9 击) ，至多除去个集合ec 0 ，1 ) ， 止啬 o 。 。一 定义1 1 4 设，为a 上的亚纯函数，的增长级定义为 p ( f ) = l i m r _ 1 一 l o g + t ( r ，f ) l 娌击 对于a 内解析函数，其级定义为 砌= 耳警， 其中m ( r ，f ) = m a x ：bl f ( z ) 1 注t s u j i 3 ，定理v 1 3 】指出如果f 在内解析，那么p ( f ) p m ( ，) p ( f 1 + 1 3 1 2 基本定义 定义1 2 1 单位圆上的亚纯函数，被称为可允许的，如果 反之，若上式不成立，f ( z ) 称为不可允许的 定义1 2 2 设( z ) 是内的解析函数，若存在一个数q 0 ，使得 s u p ( 1 一l z l 2 ) 9 i f ( z ) l o 。， 则称厂是一个日一函数 定义1 2 3 设0 q o o ，f ( z ) 是内的解析函数，若 s u p ( 1 一l z l 2 ) q i f ( 名) i o o ， 贝0 ，b q ( 口一b l o c h 空间) 显然b = b 1 称为b l o c h 函数空间 定义1 2 4 设0 q o 。，f ( z ) 是内的解析函数，若 s u p ( 1 一i z l 2 ) 口i ，( z ) i 0 0 ， 则f 霹( 加权的h a r d y 空间) 显然h = 卵 定义1 2 5 设0 q o 。，f ( z ) 是内的解析函数，若 i i 厂( 名) 1 2 ( 1 一汗) q d a ( z ) 0 0 ， 则f d 口( 加权的d i r i c h l e t 空间) 显然d = d o 表示经典的d i r i c h l e t 空间 定义1 2 6 设0 p o o ，- 1 q o 。，i ( z ) 在内解析，如果 - | f ( z ) l p ( 1 一) q d a ( z ) o o ， 则厂邻( 加权的b e r g m a n 空间) 显然a s = a p 表示b e r g m a n 空间 定义1 2 7 设0 q o o ，0 p o 。，f ( z ) 是a 内的解析函数，若 0 0 ，令( a m ) 表示，u ) 的所有 零点和极点序列，零点和极点按重数计算，按模的递增排序，则下面论述成 5 立t 存在一个集合e 1c1 0 ，1 ) ，满足l 。南 0 0 ，使得对于所有的z a ， i z t e e x 有 1 ) if “u 砷) ( b z ) 、瓦二f 赫，若( 。m ) 是有穷序列； 2 ) i f 厂c v ，k ) l ( z z ，)可= 瓦丽， 若( n m ) 是无穷序列 引理2 1 5 2 】设g ( r ) 和h ( r ) 在 0 ，1 ) 上是单调递增的实值函数，且满 足9 ( r ) ( r ) ，至多除去一个例外集ecf 0 ，1 ) ，满足厶啬 0 如果知= v e 印a 使得对非零系数有4 ( 知) o , j 一0 ，k 一1 ，则对所 有的v r 0 满足 c ( 1 托k 躐_ l ( 丽等b ) 6 2 2 主费结果及其证日月 定理2 2 1 设a ( z ) 是a 内的解析函数，且满足i a ( z ) l 南，其中 0 a ，0 p k ，那么微分方程( 2 2 ) 的每个非零解为不可允许的 证明利用定理2 2 1 的条件及引理2 1 3 得到 吲【薹k - 1 世掣叫唧 矿br ( 1 一矿_ l l e 印l 捌 【薹k - 1 学恻南卜矿。南舛( 2 5 ) 我们分两种情况0 k 与p = k 来证明 情况( i ) 0 p k ， 小计1 南出= 坠铲南 ( 2 6 ) 由( 2 5 ) 和( 2 6 ) 得 吲 薹k - l 掣叫e x p 【志南， 从而对任意的z a 有i ，( 名) i m ( m 为某一正常数) ，故， t ( r ，) = 仇) l o gm 因此， 面骅 o o ， 即，是不可允许的 情况( i i ) 卢= k ， z ( 1 叫扣1 南班乩g 南 ( 2 7 ) 由( 2 5 ) 和( 2 7 ) 得 i f ( r e 钾 胚爱掣( 击) 向， 从而。 因此。 ，) ：，) + 刍k - a1 i f ( 竹r ) ( o ) i t ( r m ( rl o g + l o g ( 击) 向，) = ，) + 厶丁+ l o g ( 亡) 向 酉r - - * l 嚣l o g 南 o 。， 一 亡 【尼一l j 5 即，是不可允许的 定理2 2 2 设b ( z ) 和c ( z ) 是内的解析函数，a ( z ) = c ( z ) 一 b ( 名) 2 一b 7 ( 名) 且满足i a ( z ) l 渤，其中0 q 0 0 ，0 p 2 若 b ( z ) h ，则微分方程 ，+ b ( z ) f 7 + c ( z ) f = 0 ， ( 2 8 ) 的每个非零解为不可允许的 注：若将定理2 2 2 中的b ( 名) 的条件改为i b ( z ) l r 南( o o t 。) ， 那么方程( 2 8 ) 的每一个非零解也是不可允许的 证明由定理条件知，方程( 2 8 ) 与方程 g + a ( z ) 9 = 0 ，( 2 9 ) 存在着关系，：9 e ，掣如，由b ( o 日知存在正常数m ，使得对任意的 z a ，有l b ( z ) i m 从而， lr 掣圳绷唧纵1 令h ：e ，薯笋如，所以， t ( r ，h ) = m ( r ，h ) m 故， t ( r ，) = t ( r ，g h ) t ( r ，g ) + t ( r ，九) 因此， 画r - - * l 鬻画r - - * l 裂+ 匦r - - - 1 裂= 画r - - 1 裂 一l o gt 三一i o gt 一l o g 击 一l o g i _ 与 利用足理2 1 2 知方程( 2 9 ) 的每个非零解g 是不司允许的，即得， 面磐 。， 从而， 耳鬻 ， 即，是不可允许的 注的证明若条件变为i b ( z ) l 南，则 , 0 7 掣邮击 从而， le x p ( f o t - b ( t e i 妒) js 南 所以， t ( r ，) t ( r ，夕) + 丁( r ， ) 丁( 7 ，g ) + l o g 了r _ 二兰j 百磊 因此， 戛鬻蓦裂+ 戛譬 o 。， 即，是不可允许的 定理2 2 3 设b ( z ) 是h 一函数，c ( z ) 不是h 函数，那么微分方程 ( 2 8 ) 的每个非零解，为无穷级 证明假设，是方程( 2 8 ) 的非零有穷级解，设i d ( ，) = p 0 ，存在 集合且c 【0 ，1 ) 满足厶。啬 o 。，使得对于所有的名a ，巨毋有 i f m ( z ) ) i 面赫 ( 2 1 1 ) 9 存在集合e 2c 【o ，1 ) 满足j 助番 o 。，使得对于所有的名a ，乏岛有 i 铬i 南 ( 2 1 2 ) 令e = e 1ue 2 ，因为b ( z ) 为日一函数，所以存在常数q 0 ，使得 s u p ( 1 一h 2 ) 4 i b ( 名) i 。， z e 即存在正常数m ，使得对于任意的z a 有 ( 1 一l z l 2 ) q l b ( 名) i m ( 2 1 3 ) 由( 2 1 0 ) ，( 2 1 1 ) ，( 2 1 2 ) 和( 2 1 3 ) 得 i v ( 训碉赤而+ 孥南 记c = m a x 2 ( 3 p + 4 + ) ，3 p4 - 44 - 十q ) ，则 i v ( 钏d 舔，h 毛e 令m ( r ，c ) = m a x i 。盼l c ( z ) l ，r 1 则有 脚尚，御 根据引理2 1 5 ，存在常数b ( 0 ，1 ) ，使得若s ( r ) = 1 6 ( 1 一r ) ，则对所有的 r 【0 ，1 ) 有 m ( r , c ，若舞 于是对任意的z a ，h = r 1 有 ( 1 - 2 ) 。i c ( 圳( 1 一r 2 ) 。m ( r ，c ) ( 三斋) 。2 c m ( 丢) 。2 。m 从而有 s 越u p ( 1 咄| 2 ) 。i v ( 圳( 扣。m o ( ， 所以c ( z ) 是圩一函数，此与定理条件矛盾故方程( 2 8 ) 的每个非零解为 无穷级 注利用类似于定理2 2 3 的证明方法，我们可以证明定理2 2 4 定理2 2 4 设a o ( z ) 不是日一函数，a 1 ( 名) ，a 一1 ( z ) 是日一函 数，那么微分方程( 2 1 ) 的每个非零解为无穷级 定理2 2 5 假设厂为方程( 2 8 ) 的有限级非平凡解，方程( 2 8 ) 的系数 b ( z ) 和c ( z ) 在内解析，且不恒为0 ，则当r 一1 - 时有 1 t ( r ，c ) t ( r ，b ) + o ( 1 0 9 丁二= ) 证明设p ( ，) = p ，由方程( 2 8 ) 得 ，i v ( 列i 铬i 州1 圳i 铬| 根据n e v a n l i n n a 基本理论得 l ip m ( r ，c ) m ( r ，：) + m ( r ，b ) + m ( n 争) + l 0 9 2 ( 2 1 4 ) 因为p ( ，) 。，则根据引理2 1 6 及( 2 1 4 ) 式得到 m ( r ，c ) m ( r ，b ) + 0 0 0 9 丁兰了) 所以当r _ 1 一时， t ( r ，c ) r ( r ，b ) + 0 ( 1 。g1 - - 。- 7 _ r ) 定理2 2 6 设方程( 2 1 ) 的系数a j ( z ) o = 0 ，k 一1 ) 在单位圆内 解析，且满足 i a ( z ) l 南矗谛，歹= 0 ，后乩 其中0 口 o o ，0 p 1 那么微分方程( 2 1 ) 的每个非零解，为不可允 许的 证明设0 r 0 ，仅依赖于 ，的初值，使得对所有的妒【0 ，2 7 r 】有 ，rk - 1 e 劬) l c le x p ( k ! 1 4 ( t e 劬) i 巧1 出) 。( 2 1 5 ) 1 1 利用足理2 2 6 的条件及( 2 1 5 ) 式得 i m 沙) i 哪z 薹k - 1 阶印向) c l e x p ( 如z r 南 ( 2 - 1 6 ) 我们分两种情况0 p 1 与p = 1 来证明 情况( i ) 0s 卢 1 利用( 2 1 6 ) 式得 i f ( r 酬 0 ，使得 i f ( r e 咖) l m 由于， t ( r ，f ) = m ( r ，f ) l o g m 因此， 戛鬻 ， 故方程( 2 1 ) 的解f 为不司允许的 情况( i i ) = 1 利用( 2 1 6 ) 式得 i f ( r e 和) l c 1 ( 击尸口 由于。 t ( r ，) = m ( r ，) 1 。g + c 1 + l o g ( 石1 ) k k 因此， 戛糕 k 2 a o o ， 故方程( 2 1 ) 的解，为不可允许的 3 单位圆内微分方程，( 忌+ a ( z ) f = 0 解的函数空间性质 3 1 已知结果和引理 2 0 0 0 年j h e i t t o k a n g a s 在文献【2 2 中将微分方程理论与函数空间理论相 结合，研究单位圆上微分方程解的性质；证明了定理3 1 1 本节结合该定 理，考虑改变方程系数的条件，讨论方程( 3 1 ) 的解属于某类函数空间 定理3 1 1 【2 】设0 q o o ，0 p 。，设方程( 3 1 ) 的系数a ( z ) 在 内解析，且满足对所有的r 【0 ，1 ) 有 ( 1 一t ) 膏一1 ( 1 0 9h ( r ，妒，t ) ) 一1i a ( t e i p ) l d t ( 忌一1 ) ! ， 其中h ( r ，妒，t ) = m a x e ，f 莉柄，0 u ； 那么微分方程 ，( k ) + a ( z ) f = 0( 3 1 ) 的解f 琊 本节结果的证明要用到以下的引理 引理3 1 2 i s 设j ( ? ) = 詹”南，则 1 ) j ( r ) = o ( 1 ) ，若一。 入 1 ； 2 ) j ( r ) = o ( 1 0 9 击) ，若a = l ； 3 ) j ( r ) = d ( 南) ，若1 a 1 及r = 字，那么 j 广。霄高- d ( 南1 ) 一：= = ，l l i r e l 妒一r p。、( 一r ) a 一 1 3 3 2 主要结果及其证明 定理3 2 1 设0 q o o ，设方程( 3 1 ) 的系数a ( z ) 在内解析，且 满足对所有的r 【0 ，1 ) 有 ，i r ( 1 一t ) 一2 ( 1 0 9 ( r ，妒，t ) ) 一1i a ( t e 印) i d t ( k 一2 ) ! ， ( 3 2 ) ，0 其中h ( r ，妒，t ) = m a x e ，矸焉讲面环】，那么微分方程( 3 1 ) 的解f b 卧1 证明对固定的r 和妒，h ( r ，妒，t ) 是t 的一个增函数( 当o l = 0 时， h ( r ，妒，t ) 是个常数) 由( 3 2 ) 式得 ，r ( 1 0 9 九( r 妒，r ) ) 一1 ( 1 一t ) 七一2 a ( t e 印) i 班( k 一2 ) ! ， 南z ( 1 叫b 2 吲出 0 ，使得 令z = r e 和a ，则 i ，7 ( r e 劬) isc h ( r ，妒，r ) ( 1 一l z l 2 ) n + 1 i f 7 ( 名) i = ( 1 一r 2 ) a + 1 i ，7 ( r e 如) i ( 1 7 2 ) a + 1 c h ( r ，妒，r ) 根据( 3 2 ) 式得 ( 1 - i z l 2 ) 8 + 1 i ，( z ) i c ( 1 - r 2 ) 口+ 1f r - = 二i 栖 c ( 1 - r 2 ) 时1 矿高 c 苦器舞 。， 1 4 易临， s u p ( 1 一l z l 2 ) 叶1 f ，铴) l 。 因此方程( 3 1 ) 的解，b a + 1 定理3 2 2 设方程( 3 1 ) 的系数a ( 名) 在a 内解析，且满足对所有的 r 【0 ，1 ) 有 ( 1 一t ) 詹一2 i a ( t e 妒) l d t ( 后一2 ) ! l o gh ( r , 妒) ， ( 3 4 ) 其中h ( r ，妒) = m a x e ，f ：；1 研) ，0 u 0 ，使得 l ，7 ( r e 叩) j c h ( r ，妒) 于是有 戊i 八列2 蜊0 1 m 舻打d 妒 _ c f 0 1 o 打砸舭妒 当0 “ 时，根据引理3 1 2 及上式得 f f l y 协) 1 2 d a ( 名) c 因此方程( 3 1 ) 的解，d 定理3 2 3 设0 q ，0 p ，又设方程( 3 1 ) 的系数a ( z ) 在 a 内解析，且满足对所有的r 【0 ，1 ) 有 ( 1 一t ) 知一1 ( 1 0 9h ( r ，妒，亡) ) 一1 a ( t e 如 ) l d t ( k 一1 ) ! ， ( 3 6 ) 其中愚妒，。) = m a x e ，豇石栖) ，os ” 0 ，使得 i 厂( r e 叩) l c h ( r ，妒，r ) 于是有 f fl f ( 2 ) i p ( 1 一i z l 2 ) 。d a ( z ) f 0 1 ( 1 一r 2 ) af 0 2 c h ( r ，垆，r ) p r d r d 妒 c j ( 1 ( 1 ) 惭f 0 2 1 r 砸，”) p 衄 当0 u 0 ，令 r = 丛 1 ) 假设k 1 ，如果a ( z ) 满足 ( 1 一) 七一1 ( 1 0 9 ( 1 一亡) 一) 一! l a ( t e 如) d t ( k 一1 ) ! ， ( 3 8 ) 那么微分方程( 3 1 ) 的解，d 2 1 + 2 2 ) 假设七2 ，如果a ( z ) 满足 ( 1 一古) 一2 ( 1 0 9 ( 1 一亡) 一) 一1i a ( t e 妒) d t ( 七一2 ) ! ， ( 3 9 ) 那么微分方程( 3 1 ) 的解f d 2 1 证明1 ) 若r ( r ，1 ) ，根据( 3 8 ) 式得 ( 七一1 ) ! ( 1 一t ) k 一1 ( 1 0 9 ( 1 一d 一) 一1 i a ( t e 如) l d t ( 1 0 9 ( 1 一r ) 一) 一1 ( 1 一t ) 七一1i a ( t e 如) l d t ， 】6 即， 志( 1 叫扣1 妒) l d t l 。g 矿1 研 ( 3 1 0 ) 应用关于导数的柯西积分公式和引理3 1 3 得 伊哪施衅踹- d ( 警) 利用引理2 1 3 中( 2 3 ) 式和( 3 1 0 ) 式得 m 砂) i = d 矿杀) 所以， 以( 1 卟| 2 ) 卅2 ) 1 2 州z ) o 。 因此方程( 3 1 ) 的解f d 2 c + 2 2 ) 若7 ( r ，1 ) ，根据( 3 9 ) 式得 志( 1 叫n 2 i a ( t 删出 1 0 9f 1 研， ( 3 1 1 ) 利用引理2 1 3 中( 2 4 ) 式得 i ，协砂) l = o ( 南) 所以， 以( 1 一i 群愀列2 州z ) 0 ，使得若方程 ( 4 1 ) 的系数如( z ) 满足 s u pi a j ( z ) l ( 1 一l z l 2 ) 知一j 冬a ，歹= 0 ，知一1 j zj 2 6 那么微分方程 ，( “) - t - a 膏一1 ( z ) f c k - ：) + + a l ( 名) ，+ a o ( z ) f = 0 ( 4 1 ) 的解f 卵 1 9 4 2 主要结果及其证明 本节结合定理3 1 1 ，定理4 1 1 和定理4 1 2 ，考虑改变方程系数的条 件，讨论方程( 4 1 ) 的解属于某类函数空间 定理4 2 1 设方程( 4 1 ) 的系数a ( 名) ( 歹= 0 ，k 一1 ) 在内解析， 0 p 0 ，使得若方 程( 4 1 ) 的系数a j ( 名) 满足 s u pi ( z ) i ( 1 一1 名1 2 ) 七一口，j = 0 ，k 一1 ( 4 2 ) i z f d 那么微分方程( 4 1 ) 的解，心 证明不失一般性，不妨假设0 6 r 0 ，仅依赖于，的初值，使得对所有的妒 0 ，2 u 】有， i 竹e 如) i c t e x p ( k 妇) i 霸出) o。iaj(te。1jo j = o 又利用定理条件( 4 2 ) 式得 i m e 如) i c 。唧( 忌一k - 1 l山(亡砂)l巧班+七fk-1 l 如( t e 和) l 南) i m e 吲 c 础。三懈吲础1 诎z i = o 阶和) l 南) = c a e x p ( k 厂i 今( t e 和) i 南出) j 6 j = o 饧嘶2 q z 7 南d p c 2 _ 已可 ( 4 3 ) ( 1 一r ) 詹2 口毒 。 于是， 儿( 1 卟i 2 肌i f ( 妒撕) z o 丌( 1 廿舻嘭捌妒 取o = ( 南) 知，则有 儿( 1 刊i 2 舭i ( 炉蜊 o 。， 2 0 因此方程( 4 1 ) 的解厂雒 定理4 2 2 设0 p o 。，0 q 。o ，又设方程( 4 1 ) 的系数a j ( z ) ( j = 0 ，k 一1 ) 在a 内解析，且对所有的r 【0 ，1 ) 满足 z 7 霎l 如c t e 如，l 瓦1 孑c 。g c n 妒，t ，一1 出i 1 ， c 4 4 ， 其中h ( r ，妒，t ) = m a x e ，酉磊研栖) ，0 t | ；1 ，那么微分方程( 4 1 ) 的 镍 域 证明对固定的r 和妒，h ( r ，妒，t ) 是t 的一个增函数( 当q = 0 时， h ( r ，妒，t ) 是个常数) 由( 4 4 ) 式得 即， ( 1 0 9 附m r ) ) 一1 膳k - 1 懈印向丢 七腥懈吲南d t l o g h ”) ， ( 4 5 ) 设0 r 0 ，仅依赖于，的初值，便得对所 有的妒f 0 ，2 丌】有 、 吲 c 1 唧 f o 曼i = o 雠翻l 南d t ) ( 4 6 ) 利用( 4 5 ) 式及( 4 6 ) 式得 i ，( r e 如) i c 1e x p ( 1 0 9h ( r ，妒，r ) ) = e l h ( r ，妒，r ) ( 4 7 ) 于是根据引理3 1 2 有 ( 1 一一。( 去z 孙l y ( r ) i p 咖弦c ( 1 一一。( 去2 玎 ( 妒 r ) p 如声= 。( 1 ) 故， 。s u ， p 。( 1 一r 2 ) 口( 嘉z 2 霄i f ( r e 伽) i p d 妒) ； 。 凼此万槎( 4 1 ) 的解，日， 定理4 2 3 设0 p o 。，又设方程( 4 1 ) 的系数如( z ) 0 = 0 ，k - 1 ) 在a 内解析，且对所有的r 0 ，1 ) 满足 z 篓1 月j ( t e t 妒) i 南i 1 l 。g ( r ，妒) ( 4 8 ) 其中 ( r ，妒) = m a x e ，f i l 研) ，0 让 ；1 ，那么微分方程( 4 1 ) 的解 ，a p 证明假设0 r 0 ，仅依赖于，的 初值，使得对所有的妒 0 ，2 7 r 1 有 i 八化印) i 0 ，令r = 掣如果a ，z ) 满足 上1 吾k - 1 啡印俐1 l o g ( 1 叫) - l 班丢，( 4 1 0 ) 那么微分方程( 4 1 ) 的解，b m 证明如果r ( r ，1 ) ，则由( 4 1 0 ) 式得 丢! 薹i a ( ：劬) i 南( 1 。g ( 1 一d 一) 一1 班 ( 1 0 9 ( 1 一r ) 一) q 正e 如) l 南出， ，r 蒿 七酗驯南蚓。g 研1 似 应用关于导数的柯西积分公式和引理3 1 3 得 i 八舻) i 0 ，仅依赖于，的初值，使得对所有的 妒 0 ，2 r 】有 竹e 吲_ c l e x p ”o 善k - 1 吲南蛾 ( 4 1 3 ) 于是根据( 4 1 1 ) 式，( 4 1 2 ) 式，( 4 1 3 ) 式得 i ( 吲= 。矿每) 因此方程( 4 1 ) 的解厂b 件1 参考文献 【l 】p o m m e r e n k ec h r ，o nt h em e a ng r o w t ho ft h es o l u t i o n o fc o m p l e xl i n e a rd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n si nt h eu n i td i s k j c o m p l e xv a r i a b l e s1 9 8 2 ，1 ：2 3 - 2 8 【2 】h e i t t o k a n g a sj , o nc o m p l e xd i f f e r e n t i a le q u a t i o n si nt h eu n i td i s c j ，a n n a c a d s c i f e n n m a t h d i s s ，2 0 0 0 1 2 2 ：1 5 4 【3 】t s u j i ，m ，p o t e n t i a lt h e o r yi nm o