（计算数学专业论文）jacobi矩阵的特征值反问题.pdf

上海大学硕士学位论文 4 摘要 本文主要讨论的是j a c o b i 矩阵的特征值反问题主要内容分三部分 第一部分介绍j a c o b i 矩阵特征值反同题的物理背景，以及几个经典的j a c o n 矩阵特征值反问题 第二部分在讨论j a c o b i 矩阵性质的基础上，介绍数学工作者在研究经典的 j a c o b i 矩阵的特征值反问题的过程中所得到的主要结果 第三部分是本文的主要部分，首先介绍( k ) j ”o b i 矩阵的特征值反问题，并在 此基础上研究如下的j a c o b i 矩阵的特征值反问题t 给定2 n 个实数a 1 ， 2 ，a 2 。 和j a c o b i 矩阵矗，构造一个j a c o b i 矩阵正2 。，使得a l ，扎，a 2 。是丑，2 。的 特征值，并且它的 阶顺序主子阵是咒在此部分中，提出了这一问题的全新 的解决思路，并给出解存在唯一的一个充分必要条件以及解的算法 关键词；对称三对角矩阵，j a c o b i 矩阵，特征值问题，特征值反问题 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r w em a i n l yd i s c u s si n v e r s ee i g e n v a l u ep r o b l e m sf o r3 a c o b in l p t r i c e st h ea r t i c l ec o n s i s t so ft h r e ep a r t s i nt h ef i r s tp a r t ，t h ep h y s i c a lb a c k g t o u n do fi n v e r s ee i g e n v a l u ep r o b l e m sf o r j a c o b im a t r i c e si sp r e s e n t e da n ds e v e r a lc l a s s i c a li n v e r s ep r o b l e m sa r ed i s c u s s e d i nt h es e c o n dp a r t ，w ef i r s td i s c u s st h ep r o p e r t i e so fj a c o b im a t r i c e sa n dt h e n p r e s e n tt h ep r e v i o u sr e s u l t so ns o m ec l a s s i c a li n v e r s ee i g e n v a l u ep r o b l e m sf o r j a c o b lm a t r i c e s t h et h i r dp a r ti st h ec e n t r a lp a r to ft h i sa r t i c l ei nt h i sp a r t ，o nt h eb a s e o fd i s c u s s i n g ( k ) i n v e r s ee i g e n v a l u ep r o b l e mf o rj a c o b im a t r i c e s ，w ed i s c u s st h e i n v e r s ee i g e n v a l u ep r o b l e mo fc o n s t r u c t i n ga2 n 2 nj a c o b im a t r i x 丑2 ns u c h t h a ti t s2 ne i g e n v a l u e sa r eg i v e nd i s t i n c tr e a lv a l u e sa l ，a 2 ，a 2 na n di t sl e a d i n g p r i n c i p a ls u b m a t r i xo fo r d e rni sag i v e nj a c o b im a t r i xr f o rt h i sp r o b l e m ，a n e ws u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o nf o rt h es o l v a b i l i t yi sg i v e ni nt h i sp a p e r f u r t h e r m o r e ，w ep r e s e n tan e wa l g o r i t h ma n dg i v es o m en u m e r i c a lr e s u l t s k e y w o r d s ：s y m m e t r i ct r i d i a g o n a lm a t r i x ，j a c o b im a t r i x ，e i g e n v a l u e p r o b l e m ， i n v e r s ee i g e n v a l u ep r o b l e m 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表 或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何 贡献均己在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 本论文使用授权说明 期：如扫， 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可 以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：盟导师签名：料日期：业 上海大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1j a c o b i 矩阵特征值反问题简介 数学中有各种各样的正问题和反问题例如，计算6 + 5 = 1 1 是一个求和问题 ( 也称正问题) ，它的反问题是求两个数使它们的和等于1 1 ；求不定积分是求导 数的反问题，等等一般来讲，反问题比正问题复杂，而且反问题的解往往带来 某种程度的不适定性如果要求反问题的确定的解，则需要附加一些限制条件 例如，上面求和问题的反问题有无穷多个解，如果限制要求两个正数之差的绝对 值最小，则上述求和反同题的唯一解为( 6 , 5 ) ( 如果不考虑它们的次序) 在数学物理问题中，人们根据给定系统的方程式和定解条件求系统的变化状 态称为正问题；另一类是在给定的方程式下，从方程的解或解的某些部分或附加 某些基本条件，反过来求方程的系数，边界条件等，这就是数学物理反问题 在数值代数中，已知一个矩阵，求其特征值或和特征向量称为矩阵特征 值同题( 又称代数特征值问题) 矩阵特征值反问题( 又称代数特征值反问题或 代数逆特征值问题) ，就是求矩阵使其具有预先给定的特征值或和特征向量 矩阵特征值反问题的理论及主要结果是在最近3 0 年里得到的特别是近十多年 来，随着各种科学与工程计算问题的深入与扩大，矩阵特征值反问题又有了许多 新的进展当然，也存在不少问题有待于进一步研究探索 由于矩阵特征值反问题是从已知的n 个特征值来确定一个7 , xn 矩阵，当然 nxn 矩阵有n 2 个元素，一般情况不能被r i 个特征值所确定因此还要提供另 外一些信息，才能完全确定一个矩阵当nxn 矩阵是一个对称三对角矩阵时， 要确定的矩阵元素只有2 n 一1 个，因此需要附加的信息也比较简单所以在矩 阵特征值反问题的课题研究中，j a c o b i 矩阵特征值反问题引起了数学工作者们 很大的兴趣 1 1 1 问题的提出 土塑盔堂亟堂焦迨塞! 所谓的n 阶j a c o b i 矩阵是指如下形状的n 阶实的三对角矩阵： 咒=(三：二。蠢，m屈。=，一，n一， 这里，我们所研究的j a c o b i 矩阵特指如下的对称三对角矩阵 瓦：p 。 0 风一1 风一1 q 。 屈 o ( i = 1 ，n 一1 ) t k ( 1sk n 一1 ) 表示z 。的k 阶顺序主子矩阵 弓，。表示l 的子矩阵，记 弓，。= 唧 o n mp 叶1 风+ 1 0 ，岛一1 岛一1 ( 1 p q n ) 露= 陡毒。 ：= o l 1 。成= 风。i = 1 ，2 ， n 2 ，i co ，忙叫 其中 n 2 表示小于或等于n 2 的最大整数，则称此j a c o b i 矩阵为完全对称 j a c o b i 矩阵( p e r s y m m e t r i cj a c o b im a t r i x ) 或第二类j a c o b i 矩阵，记为露 上海大学硕士学位论文 3 1 9 6 7 年，h o c h s t a n d t 2 1 提出了如下两类j a c o b i 矩阵特征值反问题 问题1 给定两组实数 ：) ；和 f k ) ? ，满足如下分隔条件 。 m a t + 1 ( i = 1 ，- 一，n 一1 ) ： 构造一个n 阶j a c o b i 矩阵咒，使得a v 一，a 。是咒的特征值，并且肛1 ，如一1 是正。的特征值 问题2 给定一组实数 a 。) ? ，满足如下条件 a 1 a 2 - h 构造一个n 阶完全对称的j a c o b i 矩阵露，使得a 1 ，a ，。是露的特征值 1 9 7 8 年，d eb o o r 和g o l u b 3 提出了如下一类j a c o b i 矩阵特征值反问题 问题3 给定两组实数 九 和 k ) ? ，满足如下条件 。 誓 a 洲，( i = 1 ，托一1 ) ，a 什1 = + 。 构造n 阶j a c o b i 矩阵矗和巧，使得a h t t ，a 。和托，圮分别是瓦和耳 的特征值 1 9 7 9 年，h o c h s t a d t 4 1 又提出了如下一类j a c o b i 矩阵特征值反问题 问题4 给定n 阶j a c o b i 矩阵死和实数 a ；) “，满足如下条件 a 1 a 2 - a 2 n 构造一个2 n 阶j a c o b i 矩阵b 。，使得 1 ，a 2 。是正。的特征值，并且而。的 i t 阶顺序主子矩阵为死 2 0 0 3 年，蒋尔雄教授1 1 1 对下面j a c o b i 矩阵特征值反问题进行了研究 问题5 给定实数 丸) ，( m ) “和 如) ：。构造一个j a c o b i 矩阵乃， 使得a l ， 。，p l ，p k 一1 ，m ，肛。一1 分别是死，乃k l 和以十1 m 的 特征值 问题1 5 统称为由谱数据构造j a c o b i 矩阵的问题 1 1 2j a c o b i 矩阵特征值反问题的物理背景 考虑一个两端固定的弦的振动问题，它的数学模型可以化成下列边值问题 船鲶纷州甸 姿盔堂塑圭堂垡堡塞! 口( 神是跟弦的密度有关的函数，如果弦是均匀的，那么口( z ) = o ( o ) = c o n s t 当 a 取固定值时，( 1 ) 有非零解弘( o ) ，这时固有值对应弦的固有频率 已知口( 。) ，求固有值a 的问题，称为固有值问题或特征值问题反过来，如 果通过试验手段测得弦的固有频率，计算得到固有值，从已知固有值来求口血) 的问题，就称为特征值反问题 用差分方法解边值问题( 1 ) ，就把微分方程的特征值问题，化为矩阵的特 征值同题，因此也把微分方程的特征值反问题，化为矩阵的特征值反间题例如 p ”( z ) 用中心差分( p ( t 州) 一2 p ( x i ) + 肛( 一1 ) ) 2 代替，这里h = 1 m 五= i h ， 那么对应的矩阵是一个对称三对角阵，因此弦振动问题的特征值反问题，就化为 一个对称三对角矩阵的特征值反问题 例如：考虑如图所示的n 个质点，n 段 弹簧的震动模型，m 。表示第i 个质点的质量， h 表示第段弹簧的弹性系数若巳知这个弹 性系统的全部固有频率，又知道这个弹性系统 的最后一段弹簧和最后一个质点去掉后的弹性 系统的全部固有频率；同时，知道m ，要求 出l ，如，k 和m 2 ，”3 ，m 。的值要解 决这个问题，先把震动方程列出设表示第 z 段弹簧在静止状态时的长度，m 表示第i 段弹簧的伸长，z 。表示第i 个质点 的坐标于是， i x i = 心+ f j ， j ；l j = i 按照牛顿力学方程，对第i 个质点成立 即 或 t 如 j = l “f 或= k i + l p 件i 一风“ 七 一 +肛+ 缸 j f 一蜥 ，闰 k 兀 l i 缸m r k 坠他 土塑盔堂塑堂焦迨塞! 从上式可得方程 炉石k i - 1 肛r ( 忡k l 。+ 篆) 时鬻，z ，硼， 其中规定 堕：旦：o m 0m o 若记 n ：叫熹十篆，以= 鲁，驴等， o c n - i n n 若 l ，。的特征值为一埒，l = 1 ，2 ，n ，则f = i ，2 ，：n ，即为这个系统的全部 固有频率同时若 a i 。n 一1 = a lc l 0 b 1 的特征值为一p ；，一起，一p ：- 1 则p l ，p 2 ，p 。一l 即为去掉弹簧k 。和m 。后 的系统的全部固有频率 首先我们将a 1 。对称化若咦= ( 1 ，j 1 ，5 2 ，“一1 ) ， a lc 1 0 1 6 l d la 2 c 2 5 2 5 1 b 2 5 i 如 0 0 c n l 如一l 氏一2 a n p “ a c 为 | | 吼h o 一蘸 肛 ，iiil_表 = 呵 程 钆 崂m 蚪 = c i l 一 川h 0 上海大学硕士学位论文 6 如果取6 - ，如，矗一，使得 b 。彘一i 区= c 。民6 ，一l ，i = 1 ，2 ，一，n 一1 ， 就能使b 1 ，= d ：1 a l ，ld 。是一个对称三对角矩阵，此时 文= ( b l 如b j c l c 2 q ) ， b 】。 n ，风0 l 。 i r 风一。l o 风一。j 其中屈= 瓦i = ! 苇 同时可知b 1 ，相似于a ，- 这样我们的问题就化 成已知b l ，。和口1 ，l 的特征值以及m l ，求”：m 。和k l ，女。如果知 道了置。的全部元素，那么可以从如下递推关系式 k ：= 雎1 m 2 k 。“ m = 一 。( 。+ 砬m ，1 ) ，i = 2 ，3 ，- 一，n 求出缸和啦由此问题化成已知b 1 。和b i ，一1 的特征值求b i 。的全部元素 这就是h o c h s t a d t 的问题1 不过我们现在知道的是b l 。一1 的特征值而不是岛。 的特征值 上面介绍的简单的物理问题对应对称三对角矩阵的特征值反问题，可以设 想，更复杂一些的某些物理问题，会对应更复杂一些矩阵的特征值反问题。因此 从七十年代以来矩阵特征值反问题的研究，被专家们所重视 1 2 本文所做的主要的工作 本文在第二章首先给出j a c o b i 矩阵的一些基本性质，这些基础理论知识 在j a c o b i 矩阵特征值反问题的研究过程中起了关键作用并且在此基础上我们 简单介绍j a c o b i 矩阵特征值反问题1 3 的研究成果 堡盔堂亟堂焦堡塞! 第三章介绍蒋尔雄教授 1 1 在问题5 ( 即( k ) j a c o b i 矩阵特征值反问题) 的研究过程中得到的重要结论，并给出问题5 有解的充分必要条件及解的算法 第四章首先讨论前人对问题4 的研究成果，然后在【1 1 】中问题5 研究成 果的基础上给出问题4 中死。存在唯一的一个更加行之有效的充分必要条件， 并给出毋。的一种新的构造算法 上海大学硕士学位论文 8 第二章对称三对角矩阵 对称三对角矩阵，是一种运算，存放都比较简单的矩阵任何一个对称矩阵 都可以通过有限步计算，正交相似变换成一个对称三对角矩阵，因此很多求对称 矩阵特征值的方法，第一步先把矩阵化成对称三对角矩阵，然后再来求三对角阵 的特征值有些求解系数矩阵对称的的线性方程组的方法，也是先把系数矩阵， 归化成对称三对角阵，然后再来求解系数矩阵为对称三对角阵的方程组因此 在矩阵计算中，对称三对角矩阵，已成为一种有用的的工具在这一章介绍对称 三对角矩阵的性质，一方面为本篇文章要研究的3 a c o b i 矩阵特征值反问题作铺 垫，另一方面，也有它本身的的独立意义 设 2 1对称三对角矩阵的基本性质 瓦= nl历0 n 从它的形状可知，它的k 阶顺序主子阵瓦也是三对角矩阵，显然乃= d - 设疋的特征多项式为妒( ) ，则 ( a ) = d e t ( m n ) a 0 1 一卢1 0 一口1 0 1 一反一t 风一la a 一 n 风oo 风 0 土澎盔堂亟主堂垡监塞! ( 一a k ) _ ，o k 一1 ( a ) + 风一1 a 0 1 一风0 一卢1 o = ( a o k ) 妒女一1 ( a ) 一雠一1 妒一2 ( a ) 令妒o ( ) = 1 ，所以对k = 2 ，3 ，n 成立以下关系式 l p 女( a ) = ( a a ) 妒 一1 ( a ) 一雠一1 妒k 一2 ( a ) 定理2 1 1 1 】j a c o b i 矩阵的特征多项式序列 妒。( a ) ，妒。一1 ( a ) ，妒l ( a ) ，【p o ( a ) 1 一凤一2 0 一仇一1 ( 3 ) 是任何区间【a ，b 内的s t u r m 序列 5 证明 l 序列最后一个多项式咖( a ) = 1 ，没有根 2 序列中相邻两个多项式( a ) ，妒k l ( ) 没有公根否则，由递推公式( 2 ) 知，这个根也是帆一z ( a ) 的根，从而可以推知它是妒o ( ) 的根，此与妒o ( a ) 无根 矛盾 3 若a o 是一1 ( a ) 的根，则( o ) 与妒k 一2 ( o ) 反号这是因为( a o ) = 一臃一。妒* 一。( 凡) 序列( 3 ) 具有上述三个性质，因此为任何区问fa ，b 上的s t u r m 序列证 毕 定理2 1 2 1 1 】对称三对角矩阵特征多项式序列( ) ，妒一1 ( a ) ，：妒1 ( a ) ，妒o ( a ) 中任意一个多项式吼( ) ，有k 个单根z ，z l ，z l ，并且它们与m 一- ( a ) 的 k 一1 个实单根z f - - 1 ，z ! ，z l 二；，有如下隔离性质 z _ 1 z z ! - 1 z k 一- i z 1 证明我们用数学归纳法来证明当i = 1 时，妒l ( a ) = a a 1 ，1 是妒1 ( a ) 的根另一方面，忱( a ) = 一所 0 ，由妒2 ( a ) 的结构，当a 为充分大的正数 时，有妒。( 一 ) 和妒。( a ) 均大于零因此，在( 一。，a 】) 和( n ，+ 。) 之内各有 妒2 ( a ) 的一个根，这样，对i = 2 时，我们已经证明定理结论成立 占整盔芏亟主堂焦堡塞! ! 现在假设我们已经证明定理对i = k 时成立，即假设已经证明了妒女一1 ( a ) 的 根严格分离饥( a ) 的根，即 z ： 卫：_ 1 z ； z ；- 1 0 ，j = 1 ，2 ，k 在注意到对充分大的正数a ，有 _ p + 1 ( ) 0 ，( 一1 ) + 1 妒k + l ( 一a ) 0 即知在区间 ( 一0 0 ，z ：) ，( z ：，z ：) ，一，( z 2 一。，x ：) ，( z ：，+ 0 0 ) 的内部都有妒+ 1 ( a ) 的根，这里共有k + 1 个区间，而妒女+ l ( a ) 只有k + 1 个根， 因此，在每个区间有且只有+ ( ) 的一个根，记它们为z p l ，z f l ，z k k + + ，l 并 且满足隔离性质 z ：+ 1 z ： 茁! + 1 z 3 0 ，故 q 2 = f a q l o q q l ) f 1 1 也由吼和a 所确定一般地如果：啦，船，q1 ，q l ；d 1 ，0 2 ，a h ； 卢l ，恳，岛一1 已经由q l 和a 所确定，那么利用( 7 ) 式，知啦= 一a q ， 若i n 有 屈q i + l = a q i o z l q l 一屈一l q i i ， 上海大学硕士学位论文1 2 成= | | a 口l o q q i 一屈一l 叽一10 ， 吼+ l = ( a q l o q q i 一觑一l q i 一1 ) 屈， 完全被q l ，q l 一1 和a 所确定，从而被q l 和j 4 所确定同理可知所有q 1 ，q 2 ：，一1 0 1 ，a 2 ，a 。；岛，恳，风一1 完全可由g n 和a 所决定证毕 取任意单位向量d 为q ，此时进行的过程为 q l = - o t t = q s a q t ，屈口+ 1 = a q 。一o q q i 一屈一1 q i l 风= 0a q i 一啦吼一屈一l q i 一1 忆 q l + l = ( a q i o q q i 一屈一l q i 一1 ) 屈， i = 1 2 - n 一1 称为l a n c z o s 过程 如果在过程中某个屈= 0 ，则可取任何与q l ，q 2 ，q 。都正交的单位 向量作为q i + - ，过程可继续进行 2 3 对称三对角矩阵的极值性质 记对称三对角矩阵 的截段 弓，。= l = o l p l 卢1 0 o 风一l 风一1 o n a p e p 0 “p + 18 时1 风+ l 。 0 岛一1 岛一1 ( 1 茎p q n ) 因此，丑：。= 已，记耳，。的特征多项式为x p , q ( a ) ，为了方便起见记t j = 7 1 ，j 特征多项式为勋( a ) 土塑盔堂亟主堂笪堡塞 ! 引理2 3 1 1 】若f 0 ， 若我们记矩阵，= ( ，e 。一，一，e 。) ，有 t = 乃f 由t s ，= a ；， 打s ，= ；q s 。，t t s 。= a 。7 s 。 因为腹 0 ，t 不可约，t 的特征值都不相同，因此，五；与s 。至多相差一个符 号，即 ，s t = e i s i ， e t = 士l 由此可知，s n , i = 岛5 l i 利用( 1 7 ) ， s l , i 8 n , i x ( a i ) = 胁鹰风一l ， 或 一2 岛岛风一1 5 i 广习瓦厂 但x 7 ( a 。) = ( 九一a 1 ) - ( a ，一a i - , ) ( ，一a * 1 ) ( a ，一a 。) ， s i n g x ( a ，) = ( 一1 ) ，3 1 岛风一1 0 ， 故e 。= ( - 1 ) 一，从而得到 圭壅盔堂塑主堂焦堡塞! ! 由此可求的t ，即问题中所提到的露 对于问题3 ，因为在和耳之间，只有一个元素不同，即a 。a ：，其 他元索完全一样。所以我们有 丑 = 丁t ，x 1 ，i ( a ) = x ：；( a )i = l ，2 ，n 一1 由( 2 ) 式， x l , n ( a ) = ( a a 。) x 1 ，。一1 ( ) 一p ：一l x l ，。一2 ( a ) ， ) ( ：。( a ) = ( a n ：) x ：, n - - 1 ( a ) 一腭一，x ：。一。( a ) ， ( 2 0 ) ( 2 1 ) ，我们得到 x 1 。( ) 一x ：。( ) = ( d ：一d 。) x l ，。一1 ( a ) 因为x ，。一- ( a ) 的首项系数为1 ，) ( - ，。一- ( a ) 可由( 2 2 ) 式求得，并且 nn a ：一a 。= n 一九 所以 一 ，。一l ( ) m 2 x 1 s , o 一习了矿 再由定理2 2 1 ，通过l a n c z o s 过程， ( 2 3 ) ，同时我们可以得到 ( 2 0 ) ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) 已可求。根据e 和露的关系，以及 霈 上海大学硕士学位论文 第三章 ( k ) j a c o b i 矩阵特征值反问题 3 1 ( k ) j a c o b i 矩阵特征值反问题 在这一部分我们将介绍( k ) j a c o b i 矩阵的特征值反问题，即问题5 ； 给定 实数 a 0 7 ， ，“) _ 1 和 m ) ；- 1 构造一个j a c o b i 矩阵z 。，使得a v ，a p 1 ，以一1 ，肌，加一1 分别是l ，n k l 和靠+ l 。的特征值 记 l = p 0 风一1 肛卜1o 。 仇一1 口 玩 定理3 1 1 【1 1j 记，i ，n = ? j 的特征值为a 1 扎 a n ，矩阵 帆= 0 ) 记肌，i = 1 ，2 ，k 一1 是n ，k 一1 的特征值，对应的特征向量是g ”，i = 1 ，2 ，k 一1 ，胁，i = k ，k + 1 ，n 一1 是瓦“。的特征值，对应的特征 向量是s 器，i = k ，k + 1 ，n 一1 ，并且我们记剐1 的一1 ) 个分量为 文! 。或2 1 的第一个分量为s 警，那么 一1 d e n ，一瓦) = 1 - i ( a 一胁) ( a t = 1 证明记 是，k + l 行或列交换的初等矩阵，则 、， 。风e手 一 j m 肛。 鲁掣 n 2 + k e 1 o o 0 0 1 l k e 塑盔堂亟堂焦监塞! ! a n = r 一1 ，n r 一2 p l e k ，k + l 兀r ，k + l r 一2 。一1p n l ，n 0 最一1 记y 7 = ( 0 ，一，0 ，凤“风，0 因此 t k + 1 n 8 k _ 18 k 0 ，0 ) 所以 拈w k 兰) 仇一1 风 0 a i 一 - 州_ y t 一掣 n k y t ( a t 一) d e t ( m 一瓦) = d e t ( a l a 。) = d e t ( a i w k ) ( a 一。 一y t ( a 一气) 一1 y ) n 一1 1 i ( a 一心) ( a o k 一7 ( a t w 名) 一1 ) j = l 由w k 的结构，我们知道，p l p 2 量为。l ，x 2 ，z 。一1 ，并且 一i = 1 , 2 , - - , k - 1 从而，我们会得到 因此 “。一1 是w k 的特征值，对应的特征向 0 2l 璐j ”t 1 圳一= 喜去掣：1 y t ( a i w k ) 、 g 1。一、 _ 帆 。 ， 一 n ，卜 帆 一 0 旷 m ，jl、 州 扭 | | = a一ed 群“ = y 查盘堂亟堂笪堡塞! ! ( z b ) = 风一- 础。，i = 1 ，2 ，一1 ( 9 ) = 展5 咨1 ，i = k ，+ 1 ，n 一1 定理得证! 定理3 1 2 1 1 1 】如果t i ，k i 和疋扎。没有相同的特征值。那么方程 ，( a ) = a o l k( 2 5 ) 的根是乃，。的特征值反过来，丑，。的特征值是方程( 2 5 ) 的根如果丑，k 一，和 n + 1 1 。有相同的特征值，那么，这些相同的特征值也是丑，的特征值，并且丑，。 其它的特征值是方程( 2 5 ) 的根 为了简便起见，我们分两种情况考虑问题5 ，( 一) ：正卜，疋扎。没有相 同的特征值，( 二) ：丑卜，疋+ 1 ，。有相同的特征值 证明假设五，k 一- ，n + 1 。是不可约对称三对角矩阵它的特征向量的第一个 # n n n n - - + # n n 2 零 7 【1 因此，仇一- 碰! 。，0 ，凤可挈0 ， 由( 2 4 ) ， 抛卜勘旷叫 2 棼尸，! 慧纛o e ， 在情况( 一) 下，易知， d e t ( # ，一l ) 0 也就是说，地不是瓦的特征值所以， d e t ( m 一咒) = 0 当且仅当 k - 1 i = 1 ( 风一。文! 。) 。 a 一“ 董掣：o ( 2 7 ) 。i = k a m 。 、 在情况( 二) 下，如果如是一个相同的特征值，那么，1 1 ( 脚一, u i ) = 0 ，由 z 2j ，2 ， ( 2 6 ) ， d e t ( # j i 一矗) = 0 一。鬯 “m警 慨一 占迄盔堂亟堂焦监塞笙 i - t j 是r 的特征值此外，如果脚不是相同的特征值，那么，节1 ( 如一胁) 0 ， 所以，由( 2 6 ) ， d e t ( # j i 一咒) 0 它们不是咒的特征值，对乃的任意特征值a ，有 ? l - - 1 p ( a ，) = i i ( a j m ) = o l = l 或者 f ( a j ) = 0 如果p ( a 5 ) = 0 ，即存在一个心，使得= 胁并且m 是t 1 卜1 ，t k + 1 ，的相同的 特征值如果a ，地，i = 1 ，2 ，：n 一1 ，那么f ( a ) = 0 另一方面，对任意的 ，由定理3 1 1 ， 是已的特征值由f ( a ) 的构造，a 地，i = 1 ，2 ，n 一1 - 定理得证! 定理3 1 3 1 1 1 】对女= 1 ，2 ，n ，在情况( 一) ，下面不等式成立 a 1 如， 2 如： 如一l h 在情况( 二) 下，不妨设心。= 心。，在上述不等式中脚。= a 。= 心。代替 如 0 ，f ( g j 。+ e ) 0 ， i = 1 ，2 ，- - ，n 一1 ( 2 8 ) f ( 一o o ) 0 a l “j l a 2 p ，2 - p h 一1 a 。 ( 2 9 ) 占塑盔望亟生笪造塞：丝 现在考虑情况( 二) 下，不妨设丑，女“靠+ b 。只有一组相同的特征值如。 如= 芦， 0 ，f ( u 5 。+ e ) 0 ， s = 1 ，2 ，- - ，i a 1 如j a 2 如。 凡 脚。 由定理3 1 2 ，蜥= 陬+ 。是l 的特征向量，所以我们有 3 , 1 心l a 2 如2 a 。 p = a + l = 如件 同样的，我们可以完全证明定理! 注：注意到 o f k = t r a c e ( t a ，。) 一t r a c e ( w ；) 定理3 1 4 1 1 1 】如果 那么，方程 ( 3 0 ) a l 心。 a 2 如。 一。 0 ，j = 1 ，2 ，n 一1 l i ( 肛；一肛，) ( 3 3 ) 证明证明见参考文献 1 l 】 定理3 1 5 1 1 】如果 ) - 1 和 m ) ；- 1 没有相n g j 值，那么( k ) j a c o b i 矩 阵的特征值反问题有解的充分必要条件是 a l 肛：l 2 - 肛t 川 a 。 并且，如果( k ) j a c o b i 矩阵特征值反问题有解，则解是唯一的 肛 “ 一 。 土鲞盔芏亟堂焦监塞 ! ! 证明根据定理3 1 ，3 ，必要性显然成立下面我们证明充分性也成立在此 条件下，方程组( 3 2 ) 有唯一解，i = 1 ，2 ，n 一1 ，从而， 风= 文! 。= 再胍一。 j s 器= 、面胁 j 一1 ，2 ，一，k l j = k ，k + 1 ，n 一1 其中，s ! ，j 是矩阵丑卜的对应特征值如的特征向量的最后一个元素 是矩阵巩+ 1 。的对应特征值m 的特征向量的第一个元素 记玑一1 是一个 一1 ) x l 的向量，它的第j 个分量是掣1 从而，由p l ，。2 ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 6 ) ( 3 7 ) s 兽 和9 k 一1 ，我们唯一确定丑，k 一1 8 【1 3 类似的，记， l 是一个( n k ) x1 向量， 它的第 个元素是s f ：) ，从而，由m ，p k + 1 ，如一1 和h 1 ，我们可以唯一 构造死扎。【1 3 并且，我们知道 nn l 毗= a 。一, u i = lt = 1 从而，矩阵n ，被完全构造出来从而，方程组( 3 1 ) 有唯一解，进而，( k ) j a c o b i 矩阵特征值反问题在情况( 一) 下解唯一证毕! 定理3 1 6 1 1 1 给定三个实数集 s 1 = a l ，a 2 ，r 一，a 。) ，岛= l ，, u 2 ，- ，, u k 1 ) s a 之 p k + 1 ，, u k + 2 ，- 一，p 。) a 1 a 2 a , ，- i a 。， 如l 肛j p 2 心。一l 这里( j x ，j 2 ， 一1 ) 是( 1 ，2 ，k l ，k + 1 ，n ) 的一个重排如果# j q 如。，则( k ) j a c o b i 矩阵反问题有解的充分要条件是 a 1 , u j l a 2 脚日= a 口+ 1 = 脚什l a q + 2 - p j 。一l 。 成立并且，如果( k ) j a c o b i 矩阵反问题有解，则解有无穷多个 证明对实数集 s l = a l ，a 2 ，a 。) ， 辱辱 土壹盍堂亟主芏焦监塞 ! ! s 2 = 卢1 ，p 2 ，- ， 一1 ) ， s