（理论物理专业论文）颗粒物质聚集现象的统计模型与动力学模型研究.pdf

摘要 摘要 本文针对振动的颗粒物质出现的聚集，扩散和相变现象，使用u m 统计模型 和含有噪声项的动力学模型进行讨论与研究。 首先，根据s c h l i c h t i n g 等人实验发现的颗粒物质在振动下的分布不均现象， 我们引入简化的2 - u m 统计模型，在对体系进行温度定义后，从外界温度乃和耗 散系数两个参量出发，经过对细致平衡方程以及粒子几率分布的解析研究， 获得了体系县有稳定对称解和不对称解的相变区域图。除有实验己发现的“连续 相变”外，我们还计算得到体系在3 、4 区域将有亚稳态的存在，并获得三临界 点t 的坐标。发现体系在各相变区域以及临界线上表征几率分布的函数g ( 1 有 不同f 一定态峰值分币j ，剪用序参量和磁化系数k - 证实了系统在a a 。时具有 “连续相变”。在定义了特征时间t 以后，我们研究了t ( v ) 与不同参量兀、和 的关系。 其次，在2 - u r n 模型的基础上考虑了3 - u m 模型，获得了相图。也发现体系 中集团的产生和突然消失，并对在临界线附近的集团的生存和突然崩溃做了研 究，发现从不同初始状态出发，集团在临界线附近的临界现象有所区别。 最后我们把u r r l 统计模型变化为含噪声项的颗粒物质，分别研究颗粒处于双 稳态和三稳态外势中的情况。通过求解朗之万方程获得每个颗粒的速度和位移， 观察到集团的形成和消失。我们还计算了粒子的速率分布、体系在对称念和非对 称态时的温度、总能量、并获得了非对称态温度与碰撞系数的关系，发现体系在 稳态时相应的能量具有最低值，从而更好地从动力学方面了解颗粒物质振动时的 性质。 关键词：振动：颗粒物质：聚集；2 - u r n 模型；3 - u r n 模型：相变： 粒子儿率分布 特征时间；有噪声项动力学模型：朗之万方程 摘要 a b s t r a c t w ei n t r o d u c ea nu mm o d e la n dn o i s ea c t i v a t e dg r a n u l a rd y n a m i c st od e s c r i b et h e g r a n u l a r c l u s t e r , d i f f u s i o na n d p h a s e t r a n s i t i o ni ns h a k e ns a n d f i r s t l y2 - u mm o d e lw h i c hc a ns i m u l a t et h ec l a s s i c a le x p e r i m e n tc o n c e r n st ot h e s p a t i a ls e p a r a t i o n o fs a n di ss t u d i e d f r o mt h e g r a n u l a rt e m p e r a t u r ea n dm a s t e r e q u a t i o nw eo b t a i nt h et h r e ec r i t i c a l l i n e sa n dt r i c r i t i c a l p o i n t o n eo ft h et h r e e i s p r o v e d t ob eal i n eo fc o n t i n u o u st r a n s i t i o nb yt h eo r d e rp a r a m e t e ra n ds u s c e p t i b i l i t y o t h e r sa r ed i s c o n t i n u o u st r a n s i t i o nl i n e sw ea l s os t u d yt h ep r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o n a n dc h a r a c t e r i s t i ct i m ei nt h ef o u rr e g i o n sa n do nt h ec r i t i c a ll i n e s s e c o n d l yw es t u d yt h e3 - u r nm o d e la n dp r e s e n tt h ep h a s ed i a g r a m t h e r ei s g r a n u l a rc l u s t e rw h i c hs u d d e n l yb r e a k sd o w ni nt h eu r n w ef i n dt h a tw i t hd i f f e r e n t i n i t i a lc o n d i t i o nt h ed y n a m i c a lb e h a v i o ro ft h ea v e r a g et i m eo ft h ec l u s t e rn e a rt h e c r i t i c a l l i n ei sn o tt h es a r n e i nt h ee n d ，w es i m u l a t et h es h a k e ng r a n dw i t hn o i s ea c t i v a t e dg r a n u l a r d y n a m i c s w e s t u d yt h eb e h a v i o ro fs o m ep a r t i c l e sm o v i n gi nab i s t a b l ea n dt r i s t a b l ep o t e n t i a l ， c o l l i d i n gi n e l a s t i c a l l yw i t h e a c ho t h e ra n dd r i v e nb yas t o c h a s t i cb a t h t h es y s t e mh a s t h et e n d e n c yt oc l u s t e r i z ew i t hg a u s sv e l o c i t yd i s t r i b u t i o n m o r e o v e r , w e c o m p u t e t h e g r a n u l a rt e m p e r a t u r ea n de n e r g y , a n do b t a i nt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h eg r a n u l a r t e m p e r a t u r ea n d r e s t i t u t i o nc o e f f i c i e n t k e y w o r d s ：s h a k e ；g r a n u l a rm a t e r i a l ；c l u s t e r ；2 - u mm o d e l ；3 - u mm o d e l ；p h a s e t r a n s i t i o n ；p r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o n ；c h a r a c t e r i s t i ct i m e ；n o i s ea c t i v a t e d g r a n u l a rd y n a m i c s ；l a n g e v i ne q u a t i o n ； 学位论文独创性声明 本人郑重声明： l 、坚持以“求实、创新”的科学精神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果。 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已经发表或 撰写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示了谢意。 作者签名：爹虹 日 期：2 毁垡i 芏。垃 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保 留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版；有权 将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅；有 权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索：有权将学位论文的标题和摘要 汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 作者签名： 日期： 第章肇奉概念和背景 第一章基本概念与背景 1 1 颗粒物质及其聚集( c l u s t e r ) 现象 颗粒物质，如沙子、面粉、谷粒等，一般指的是其线度在l “m l o m 的大 量固体颗粒的聚集体。由颗粒物质组成的系统，通常具有以下几个特点：l 系 统由大量个体颗粒组成；2 颗粒间的相互作用纯粹是经典的：3 粒子问只有在 相互接触时爿有相互作用：4 粒子间的碰撞通常是非弹性的l 。 颗粒物质有着广泛的应用领域，如生物、药理学、化学工程、食品和农业 等，它还和火山爆发、沙丘的形成、陆地侵蚀和滑坡等环境科学有着紧密的联 系。近二十年来对它们物理性质的研究，引起了物理学工作者的普遍兴趣和关 注。一方面，很多传统的物理系统的性质可以用颗粒物质所表现出的特性来描 述，如沙滩的雪崩( a v a l a n c h e ) 可以被用来描述第二型超导体中磁通线的运动： 振动沙子的慢弛豫现象与玻璃和自旋玻璃( s p i ng l a s s ) 中的慢弛豫现象相类似： 颗粒物质的崩落现象与超导中的涡旋运动相似【2 】：在颗粒物质中发现的非线性 现象同半导体中的击穿( b r e a k d o w n ) 、微观摩擦中的钉扎滑动( s t i c k s l i p ) 现象及 宏观的地震现象相类似【3 】：从沙堆的抽象模型中发现的自组织临界性 ( s e l f - o r g a n i z e dc r i t i c a l i t y ) 被发现存在于自然界的很多现象中【4 】。另一方面，实 验上己经发现颗粒物质具备许多其它物质所没有的奇异现象，如沙堆存在着临 界休止角和最大倾角现象1 5 】，颗粒物质内部静摩擦力随高度的非线性变化以及 突然减小【6 】，力链的传播【7 1 ，在垂直激励下的表面隆起和内部对流现象以及多个 无相互作用的孤立子形隆起的产生【8 1 ，声传播反常叭表面斑图( 口a n e m ) 的形成 ，大量颗粒堆集时底部压力不随高度增加而趋于饱和的“粮仓效应”，颗 粒的大小分离、分层现象、自组织临界现象 4 , 1 2 】等。这种系统还表现出与通常 的固、液、气体三态物质不同的性质：如具有类似液态物质的特性，具有一定 的流动性( 如雪崩现象，输运过程，搅拌过程) ，遵循动量方程，但比液态物质 的流动性差。液体分予之间的相互作用为l e r a n d j o n e s 势，而颗粒物质之间只存 在碰撞时的斥力，有别于一般意义下的连续介质，不遵从一般流体所满足的 n a v i e r - s t o c k e s 方程i 系统具有类似固态物质的特性，颗粒与外界存在摩擦力， 第一章基本概念和背景 颗粒之间存在切应力，但与应变无关，且不能承受拉力的作用：在很强的外界 激励下颗粒系统会产生类似于气体的g a u s s 速率分布，但通常意义下的温度已 经不起作用，且颗粒之间的静摩擦和非弹性碰撞是耗散的：颗粒物质与其它软 物质类似，很小的外力可能使颗粒物质结构产生很大的变形，且这种变形通常 表现为复杂的非线性特性。因此有人称之为物质的“第四态”或“颗粒物质 态” 在颗粒物质众多奇异的物理现象中，振动引起颗粒的分离以及由于相互作 用而聚集( c l u s t e r ) 的现象引起了不少物理工作者的兴趣与关注0 1 3 - 17 。z a n e t t i 和 g o l d h i r s c h 曾对4 0 ，0 0 0 个初始均匀分布，速度相同的粒子进行模拟，发现在没 有能量输入系统的情况下，颗粒很快堆积成许多高密度的集团i l ”，且与低密度 颗粒有明显分界。即使外界对体系有一定的能量输入，只要输入能量不大于某 个临界值，系统还能产生集团并氏时间稳定。只有在外界驱动达到足够强度时， 缝团j 会发生突然崩溃，颗粒很快扩散到整个系统”。我们知道集团的形成主 要是由于颗粒系统是个强耗散体系，内部存在摩擦和粒子之间的非弹性碰撞， 当粒子堆积时体系的能量降低从而使颗粒集团处于稳定状态，而集团的崩溃主 要来自过大的外界输入能量。为研究振动对颗粒分布的影响，s c h l i c h t i n g 和 n o r d m e i e r 做了一个振动颗粒的实验 1 引，发现当振动频率较大时，颗粒会很快 均匀分布在容器内，振动频率降至某个临界值以下，颗粒分布会发生自发对称 破缺现象，即使颗粒开始时均匀分布于容器内，随振动时间的增加，颗粒的分 布也会一边远多于另外一边，形成密堆积集团。该实验方面很好地展示了颗 粒物质分布具有不稳定性和非对称性：另一方面我们发现，它与统计物理学基 本理论有密切关系，在体系发生对称破缺时，系统不满足各态历经的等概率统 计原理，系统分布函数趋于平衡分布函数的弛豫时间为t 。- o o 。 1 2u r n 模型 u r n 模型在早期的统计力学中扮演很重要的角色，最初用来讨论b l o t z m a n n 的h 定理。1 9 世纪末，当b o l t z m a n n 提出h 定理时，遭到l o s c h m i d t 等人的 强烈反对，他们从经典力学定律和彭加勒定理出发，认为“永远不可能从力学可 逆定律导出平衡态的趋近和伴随熵的增加”，“没有一个热力学系统能不可逆地演 第一章基本概念和背景 将会越来越少，当然空盒子增加的速度会越来越慢。这种慢动力学与玻璃态动力 学有一定相似之处，两者都可以看成是有偏差( b i a s e d ) 的随机行走，熵垒将会影 响弛豫时间，其不同之处是慢动力学机制仅与体系熵垒有关而真实的玻璃态物质 机制不仅和熵垒有关，还与体系的能量势垒( e n e r g yb a r r i e r ) 密不可分 2 6 】。我们定 义系统的甲均吸收时间r 为从初始状态到所有的小球都处于个盒子的平均时 间相当于一个玻璃态物质从某个激发态变化到基态的平均时间。方便起见，我 们首先考虑m = 2 ，n = 3 的情况，初始状念是一个球在a 盒，两个在b 盒，平均吸 收时间为： r ( 1 ，2 ) = 寺1 + r ( 1 ，2 ) + 1 】 ( 1 8 ) 表明此体系有1 3 几率是a 中的球跑到b 盒，此过程结束，还有2 3 的几率是b 中的一个小球跑到a 中，体系状态维持不变( 说a 、b 盒是为了解释的方便，其 实盒子也是不可分的) 若m = 2 , n = 4 ，则 f ( 1 ，3 ) 2 百1 1 + 百3 ( 2 ，2 ) + 1 r ( 2 ，2 ) = r ( 1 ，3 ) + 1( i 9 ) 如果初始态为个球有t 个在盒a 中，_ t 个在盒b 中，方便起见，设n 为偶 数，则不同k 对应的平均吸收时嵋j 为： r ( 1 ，一1 ) = 万1 l + 百n - 1 ，一2 ) + 1 “七，一尼) = 丙k 【“七一l 一七+ 1 ) + l 】+ n j - f k 【f ( 尼+ l ，一七一1 ) + 1 r ( 等，学) = r ( 譬一1 ，鲁+ 1 ) + l ( 1 1 0 ) 任何初始状态变化到一个盒子为空的平均吸收时间都可以通过上述方程解析获 得。 1 3 相变和临界现象 平衡态相变是体系有序无序两种矛盾的表现，相互作用是有序的起因，热运 动是无序的来源。e h r e n f e s t 根据热力学函数及其导数是否连续变化，将平衡态相 变进行分类，通常研究最多的是一级和二级相变，二级和二级以上相变通常称为 第一章基车概念和背景 连续相变。一级相变伴随着明显的比容的突变与潜热的产生，并可能出现亚稳态， 如普通的固液气三相的变化，在外磁场中的超导转变等。二级相变中比容连续变 化，没有潜热的产生，体系的宏观状态不发生任何突变，但体系的对称性发生突 变，具有对称性破缺。比热、压缩率、磁化率等物理量随温度的变化会出现突变 或无穷尖峰，如超流( 点) 、没有外磁场的超导转变、气液临界点、铁磁反铁磁 相变、渗流模型的几何相变等都属于二级相变。二级相变的相变点称为“临界点”， 在临界点附近系统将表现出一系列特殊的性质，如某些热力学量趋于无穷，有很 强的涨落和关联等，这种现象称为“临界现象”。其实“二级相变”、“临界现象”、 “连续相变”指的是一回事。除温度以外，相变还有其它控制参量：如渗流模型 中的占空比、金属绝缘体转变中的电导率等 2 7 - 2 9 i 。 对于连续相变，1 9 3 7 年l a n d a u 概括了v a nd e rw a a l s 和w e i s s 等人的平均场 理论精神，提出了序参量的概念。平均场理论的基本出发点是由一个“平均了的 场”即“内场”来代替其它粒子对某个特定粒子的作用，从而把复杂的多体问题 近似转化为单体问题，而序参量表征系统的有序程度，通过序参量的变化可以获 得临界点及临界指数。如对于单轴各项异性的铁磁体，可用自发磁化强度矢量m 表示有序程度，而气液相变中可用两相的密度差p p 。作为序参量，在逼近临界 点时它们的值连续趋于零，临界指数为庐1 2 。 在平衡态相变统计模型和实验精确测量的基础上形成了描述相变的另一种 概念一标度律和普适性。各种物理体系在相变时可以分成若干个普适类，每个普 适类的临界特性完全一样，存在相同的标度律，区分普适类的主要标志是空间维 数d 和系统内部自由度的数目或者说是序参量的个数”。这样只要确定了某 种物质所属普适类，就能知道它的标度律以及所有的l 临界指数。 另一方面，物理系统离开平衡态后，还可能陷入某种定态的有序或结构状态 中，如流体运动中发生的对流花纹、湍流现象，生物中的自组织现象等，这些有 序状态的形成对于b o l t z m a r m 平衡态统计来说是种高度不可几事件，这种状态的 形成称之为非平衡相变，用原有的平衡态统计原理已无法解释。p r i g o g i n e 把这 些形形色色非平衡相变中出现的有序和结构称作“耗散结构”，它一般具有以下 四个特点： 1 ) 耗散结构发生在“开放系统”中，它要靠外界不断供应能量或物质才能维持， 第一章基本概念和背景 这与平衡相变中产生的结构完全不同。 2 ) 只有当“控制参数”( 如流速、温度差、摩擦系数等) 达到一定“闽值”时才能 出现。 3 ) 它具有时空结构，对称性低于达到“阈值”前的状态。 4 ) 耗散结构虽然是不稳定的产物，它一旦产生，就具有相当的稳定性，不被任 何小扰动破坏。 颗粒物质由于本身的摩擦和碰撞都会产生能耗，需外界不断提供能量，因此 也属耗散结构。当它发生粒子占有率的突变时，我们称之为“非平衡相变”。在 这晕，我们运用非平衡态统计方法来考虑颗粒物质的“非平衡相变”问题。从后 面的研究分析可以看到：虽然颗粒体系发生“非平衡相变”，但有许多现象类似 于平衡念相变，我们将会对这两种相变进行比较。 1 4 颗粒物质的研究方法及本文主要的研究工作 颗粒物质由大量固体颗粒堆积而成，且颗粒由于摩擦具有能量损耗，所以传 统的平衡态统计方法己无法应用，随着计算机性能的不断提高和处理数据速度的 不断加快，计算机为模拟颗粒的运动及分布情况提供了比较精确的手段，能很好 地计算出粒子数密度、粒子分布、粒子堆集和集团的形成、冷却态、稳态的形成 等【30 】：而动力学或是流体力学( h y d r o d y n a m i c s ) 方法可以很好地研究颗粒的速率分 布、颗粒间的能量交换、热对流、热扩散的形成，以及力、热、电等在颗粒之间 的传播p “”】。如果研究的颗粒数目巨大且无需考虑到具体每一个粒子的运动情 况，那么用非平衡态统计的办法是简单而有效的f 3 3 _ ”1 。本文用计算机作为计算手 段，分别用统计和含噪声项动力学的方法研究颗粒物质不同状态的变化问题。 针对s c h l i c h t i n g 这个实验，l i p o w s k i 等人提出一个u r n 统计模型，既能抓住 上述试验结果对称破缺的本质，并第一次用统计模型的方法展示了体系的相变现 象 3 4 , 3 5 】。s h i m 等人在他们研究的基础上解析获得了2 - u m 和3 - u r n 的几率分布 1 3 6 , 3 7 1 ，但两者有个共同缺点，就是体系温度丁与粒子数成线性关系：t - t o + a ( 1 一n ) ， 这虽然也满足粒子数增加，系统“温度”( 用粒子的平均动能表征) 减小这个事实， 但这个控制条件的选定在定量上没有理论结果的支持，为更好的接近真实颗粒物 质的温度特性，我们在论文的二、三两章中采用e g g e r s 提出的温度与粒子数r 鹕一直基奉概念和背景 o c a 严：的关系，选用外界温度( 表征外界驱动强度) 和能耗项作为“相变”参 量，以粒子数密度偏差s ( 第二章) 和粒子数密度n ( 第三章) 作为序参量，针对颗粒 振动分离时出现的“相变”和各区域上的动力学行为进行观察分析，研究了系统 达到定态需满足的细致平衡方程，不同“相变”满足的条件，不同“相变”区域 的粒子几率分靠以及各种“相变”和“临界”现象。我们发现，在取定体系 温度卜死+ n 2 之后，系统不仅产生了稀疏气态( d i l u t eg a s ) _ 乖u 凝聚态( c o n d e n s e d s t a t e ) 两相，并在两相之间存在相对稳定的“亚稳态”，体现了熵垒与能量势垒对 系统的双重影响。在计算过粒子几率分布之后，我们获得了体系的“自由能”， 并确定在亚稳态区域存在一条“一级相变”线。 为更直观地了解颗粒的运动状况，c e c c o i n 等人采用k r a m e r s 提出的含噪声 项的动力学模型，考虑两个粒子在一维的双稳态势阱中运动，每个粒子运动都满 足l a n g e v i n 方程，以此模拟2 - u 1 t i 模型o ”。 本文第四章我们将采用该动力学模型，针对多粒子和多u r n 体系进一步研究， 末观察热库中颗粒的一维运动，在计算了每个颗粒的速率及位置分布的基础上， 用时问，- ，7 2 表征粒子占据对称念和不对称态的平均时间，发现存在明显的聚集 行为的产生与消失，类似于u r n 模型中体系从对称态1 区域变化到非对称态2 区 域，并详细研究了两个状态下系统的“温度”、总能量关系，以及两个状态对应 的“温度”与其它控制参量的关系，来获得对运动颗粒非平衡态规律的进一步认 识。 第二豪颗粒振动的2 - u m 模型 第二章振动颗粒的2 - u r n 模型 2 1引言 颗粒物质一般指的是其线度在1um 1 0 4 m 的大量固体颗粒的聚集体。由颗 粒物质组成的系统，除了第一章介绍的基本的特点外，与普通的热力学体系相比， 还有很多特殊的性质，如传统意义上的温度已经不再起作用，普遍做法是类似于 气体，将颗粒的平均动能定义为系统的温度：颗粒间的相互作用只有斥力没有吸 引力等。 由于颗粒物质是强耗散系统，需要外界输入能量才能维持颗粒的运动，最近 许多研究人员实验观察了振动下的颗粒物质，发现体系在外界振动下表现出的异 于常态的行为，如颗粒大小分离的巴西果效应【3 9 】，颗粒物质在振动中有类似于 液体的浮力的产生，颗粒物质内部负压强的产生，传播子的形成，压缩和对流的 产生，类似于固体的凝聚态到类似于气体的流动状态的变化“1 ，颗粒物质集 团( c l u s t e r ) 的形成及其突然崩溃1 5 , 4 2 ，颗粒作二维水平振动时速率不满足 m a x w e l l b o l t z m a r m 分珩】f 4 3 i 等。 s c h l i c h t i n g 和n o r d m e i e r 研究了一个颗粒振动的实验【1 8 1 ，实验过程如下：用 挡板将一个底面积为1 2 c m 2 , 高为2 0 c m 的容器隔离成相同的两部分，在离底端 2 3 c m 处的挡板上开一水平狭缝，在容器中放入1 0 0 个直径为l m m 的塑料小球， 将该容器放在一个振动器上，进行垂直振动，发现当振动频率为5 0 h z ，振幅 a = 0 3 c m 时，即使小球开始集中在一边 逐渐降低振动器频率，当降至3 0 h z 时， 他们也会很快地均匀分布到容器两边， 容器中小球的分布会发生自发对称性破 缺，即使小球开始时均匀地分布在容器两边，随着振动时间的增加，小球的分布 也会一边多于另外一边，见图( 1 ) 。 该实验一方面很好地展示了颗粒物质分布在一定条件下具有不稳定性和非 对称性；另一方面我们发现，它与统计物理学基本理论有密切关系，在体系发 生对称破缺时，系统不满足各态历经的等概率统计原理，系统分布函数偏离平 衡分布函数的弛豫时间为t o 。 第二章颗粒振动的2 - u m 模型 ， _ ， - _ - 蕊裱i 赫j 矗： _ 【芏| ( 1 1振动烦粒物质将n 一定的条件下发生分布的对称破缺 关于这个实验，不少人从流体力学出发解析获得凝聚态( c o n d e n s e ds t a t e ) 和稀疏气态( d i l u t eg a s ) 两相，并用分子动力学模拟的结果与之作比较f “ 4 ”，e g g e r s 把这种颗粒物质在一定振动条件下发生的不对称分布的现象称为颗粒物质的 m a x w e l ld e m o n | 4 “，即水平狭缝只允许左端的粒子往右端运动，而不允许右端的 往左边运动，对于粒子数多的那边，d e m o n 吸收其部分熵，使系统在稳定的时候 两边的熵保持相同。e g g e r s 根据该实验提出了将一维柱状颗粒物质的运动方程和 连续性方程相结合的方法，在考虑一维和粒子数较多的情况下，通过流体力学方 法获得的不对称参量( 俨( n i n j n ) 、温度r 、以及粒子数密度”之i b j 的关系，并 与m o n t e - c a r l o 方法进行比较，发现两者的结果符合较好。以s 为序参量，提出 了在颗粒振动中间将出现二级相变，并计算出颗粒物质的温度t o c n - 2 ，其中 是粒子个数，这样，颗粒物质的温度丁与颗粒总数的平方成反比，这表明颗粒物 质的温度是随着粒子数密度的增加而减小的，这种看似违反我们直觉的结论其实 是由于颗粒之间的非弹性碰撞使得颗粒的运动速度下降，从而降低系统温度。 然而e g g e r s 的流体模型相当复杂，在分析的时候必须加以很多的简化，这 种情况下，l i p o w s k i 等人引入了一个具有非平衡态特性的u r n 模型，既能抓住上 述试验结果的本质，又能在理解和计算上更简便，：并且第一次用统计模型的方法 展示了颗粒物质体系的对称破缺现象 3 4 1 。然而l i p o w s k i 在其模型中假定了u i 1 的温度r 与粒子数成线性关系，这一点虽然在定性上和e g g e r s 的结论相符，但 不符合其定量关系，基于此，我们在以下的工作中采用了e g g e r s 的t e n - 2 结论。 第一= 章颗粒振动的2 - a m 模型 由于普遍意义下的温度对颗粒物质已经不再起作用，所以可选择不同的参量 作为相变控制参量，本文我们将选用外界驱动强度死和耗散系数作为控制量： 颗粒物质的序参量也有很多，如在颗粒物质的p a c k i n g 现象中，具有良好的流动 性的松散堆积颗粒变化到了类似于固体的紧密堆积颗粒过程中会发生平均作用 粒子数的突变以及弹性常数( e l a s t i cc o n s t a n t s ) 的二级相变f 4 f ，】：颗粒物质处在振动 状态时会发生自发的对称破缺、集团的形成和突然崩溃，所以相变的序参量可以 用平均作用粒子数，弹性系数或是粒子数密度等来表示，本章我们选用不对称参 量作为序参量，具体讨论系统从凝聚态变化到稀疏气体状态的相变及临界现 象。 2 22 - u r n 模型及计算方法介绍 我们研究的系统如下：个颗粒分布在a 、b 两u m 中，粒子数分别为， ，( ，f 十= ) ，定义颗粒的平均动能为1 1 m 的温度，为了模拟粒子数越大，u r n 温度越低的效果，我们引用e g g e r s7 1 。c 2 的结论，取： 7 _ ( 月 月) ：t o + a _ ”j 月 ( 2 1j 其中( ”舢2 批d n ) 为给定u r n 的粒子数密度，乃和魁大于零的控制参最，对于 真实的颗粒物质体系来说，系统的温度不仅与粒子数密度相关，还需要考虑到颗 粒之间的静摩擦力、粘滞力以及外界驱动类型等因素，因此在方程( 2 1 ) 中，t o 表征外界驱动给予的能量，而表征能量的耗散，我们称之为耗散系数。然后我 们假定粒子在u m 中运动时满足m a x w e l l b o l z m a n n 分布，粒子分布如下： 儿“加怒唧i 焉l b ：， 其中m 为单个粒子的质量，g 为重力加速度，z 为高度。该模型的动力学过程为： 1 ) 在个粒子中任意取一个粒子。 2 ) 被选定的粒子有e x p 一m g z t ( n a s ) 的几率跳到另外一个u m 中。 我们将该模型与第一章介绍的e h r e n f e s tn m 模型作比较，发现e h r e n f e s tu m 模型中只要粒子选定，就能跳入另外的u r n 中，只体现了熵垒对系统的影响，熵 垒使得粒子分散到两个u r n 中；但在2 - u r n 模型中，不仅有熵垒的作用使得粒子 分散到两个u m ，还有温度t 一：n - 2 的作用，使得系统在稳定时更趋于粒子的聚集。 第二章颗粒振动的2 - u m 模型 这两种竞争将带给颗粒系统不同于e h r e n f e s tl l r n 模型的新现象。 由于我们不考虑狭缝高度对系统的影响，取m g f l ，这表明我们研究的模型 由参量乃和来决定。定义参量e 为一( - - n s ) n ，8 表示系统偏离对称态时的 粒子数密度偏差。在体系达到稳定时，从a b 的统计粒子数应该和b a 的粒 子数相等，我们可以写出如下细致平衡方程： n 。e x p ( 一1 t ( n ) ) = 虬e x p ( 一1 t ( n 日) )( 2 3 ) 利用参量，方程可以改写为： ( + s ) e x p ( 一1 t g + ) ) = ( 一s ) e x p ( 一i 7 1 ( 一s ) )( 2 4 ) 通过方程( 2 3 ) 、( 2 4 ) 我们可以研究所有可能的定态分布特性，为进一步了解系统 的动力学行为以及怎样随着参数和的变化在不同区i b j 内的转变，对于上述 给出的哪模型，我们写出在f 时刻，a 隔间中有m 个粒子数几率p ( m ，n 的演 化主方程，方程如下： p ( m ，h - 1 ) = 坐二考羔p ( m 一1 ，) 甜( 一m + 1 ) + 了m + i p ( m + 1 ，) ( m + i ) + 删朋胎叫m ) 卜半【l 叫圳n m = 1 2 ，n 一1 p ( o ，+ 1 ) = 去p ( 1 ，t ) c o o ) + p ( o ，f ) 【1 一曲( ) n l j p ( ，7 + 1 ) = - 专p ( n - 1 , t ) c o ( 1 ) + p ( n ，) 1 一棚( ) 】 ( 2 5 ) 其中 珊( m ) - e x p 卜丁( 等) l ( 2 6 ) 给定初始条件，上述方程中的粒子几率就可以数值或解析求解。 u m 模型另一重要的特征量是特征时间r ，为便于理解，我们以e h r e n f e s t 模 型( d o g f l e a 模型) 1 2 6 】为例，来说明其性质及计算方法。在第一章中已介绍到，对 于e h r e n f e s t 模型，如果初始态为n 个球，有女个在盒a 中，_ 尼个在盒b 中， 设n 为偶数，则不同k 对应的平均吸收时间见方程( 1 1 0 ) 。而对于我们选择的u r n 模型，由于生成规则和e h r e n f e s t 模型有所不同，在一定的条件下系统以对称态 存在，并且体系演化过程中总有一定的几率 1 一e x p 一m g z t ( n a , a ) 是维持原状 第二章颗粒振动的2 - u m 模型 的，所以我们在e h r e n f e s t 模型平均吸收时间的基础上定义特征时间“ d ，表示 初始状态为一个u r n 中的粒子数是m 变化到粒子数为n 2 的平均时间，不同初 始条件的特征时间表示如下： f ( ) = 珊( ) f ( 一1 ) + 1 + 1 一( ) 】 f ( ) 十1 】 叫) = 等叫) 【叫_ 1 ) + i + 半删圳+ 1 ) + 1 + ，一等叫卜半州圳m 】 r ( 0 , 5 n + 1 ，= ( 。s + 专 c 0 5 n + i ，+ ( 。s 一专 国c 0 5 n - 1 ) r c 0 5 n + 2 ，十一】 + t 一( 。s + - - 专) a ，( t 表示 三临界点t 的坐标) 时，3 、4 区域将消失，体系只出现一种稳定状态。下面我 们详细介绍各条临界线确定的方法。 第二章颗粒振动的2 - h i f i 模型 石 t 0 d 0 。0 2 o 。4 o 。6 。册o 1 0 凸 倒2 ( a ) 颗粒物质体系再种定态的相图 图2 ( b ) 该| 璺| 为幽2 ( a ) 左侧曲线的放大 i 区域内方程( 24 ) 只响j 稳定零解2 区域内h 肯稳定的1 | = 零解3 、4 区域内两种状态郜存在 一临界线t_ 一| 6 i 界线b ，临界线c ， 三临_ ；l j l 点t ( 上二= 者匦，- 唔) ( 1 ) 区分有无对称念出现的临界线a 的确立 按照s c h i i c h t i n g 等人的实验结果，当颗粒物质的内耗一定时，外界驱动 达到一定强度以上，系统将以对称态e = o 的形式稳定存在，而低于该强度时则处 于对称破缺态，相应的s 0 。对于2 - u m 模型，我们分析细致平衡方程f 2 4 1 ， 来观察稳定的对称态出现的条件，取： ，= b + s ) 唧( 圳鸣+ 曲 一b 一刁唧( 叫呓一曲 c ：固 - ，( ) 表示颗粒从a b 的几率和b a 的几率之差，图( 3 ) 给出了不同时f i e ) 随 的变化曲线。 j 八蔗4 0 0 1 1 兰一 蚓( 3 ) 不司参量时在e = o 处的f ( e ) 一曲线的斜率不同 坤 一 呼 第二章颗粒振动的2 - u r n 模型 从图( 3 ) 中可以看出，以) 在e = 0 处的斜率确定了对称态e = 0 的稳定性。当以) 的斜率在e = 0 处大于零时( 见图( 3 ) 死= o4 ，a = 0 0 1 1 ) ，如果系统在某时刻突然有 一微扰，使原本处于对称态的体系具有偏差：一o + ，此时n a n a ，对应有雕) 一 o + ，表示粒子从a b 的总几率大于b a 苁s ) 和s 的变化效果使粒子在两个h r n 中的涨落相互抵消，这时对称态稳定存在；而当月s ) 的斜率在e = 0 处小于零时( 如 图( 3 ) 中t o = 0 ，2 ，a = 0 ，0 1 1 ) ，如果有一微扰，使体系具有偏差：一0 + ，此时f ， 对应有m ) 一0 ，表示粒子从a b 的总几率小于b a ，这种微扰使a 中的粒 子个数增多而b 中的粒子数减少，体系会发生对称性破缺，这时e = 0 不稳定， 系统不存在稳定的对称态：m ) 的斜率在e = 0 处为零( 如图( 3 ) 中t o ：0 2 5 2 6 ，a = o0 1 1 ) 表示前面两种状态的分界线。求解方程( s = o ) = o ，可获得临界线a 的表达式： 瑶= - 4 + 2 2 4 互z ( 29 ) 这条曲线限定的图2 ( b ) 中的2 区域内只存在稳定的非对称态，没有对称态存在， 其余i 、3 、4 范围内存在有稳定的对称态。 图( 4 ) 摘界线b 上以及附近的且e ) - e 曲线图 t o = o 3 i ，d2 0 0 儿，t 0 2 03 3 2 ，42 0 0 1 l ，一乃= o3 5 d = 0 0 1 l ( 2 ) 区分有无非对称态出现的临界线b 的确定 从图( 3 ) 可看出方程( 2 4 ) 也有不对称解，即s 0 ，图2 ( b ) 中的2 、3 、4 区域 表示具有不对称解的t o 和的范围。l i p o w s k i 等人通过数值模拟方法发现存在 0 的解，并粗略确定了具有不对称解的和的范围，但是这种方法不能精 第二章颗粒振动的2 - u m 模型 确得到边界，且计算量巨大。我们通过对( s ) 一曲线的深入分析，发现如果存在 非零解5 0 ，此时苁s ) 必然存在一个极小值月s 。) ，满足以s 。) o ，且有s 0 ， 见图( 4 ) ，因此在出现有非对称解的临界线b 上，不对称解s 6 满足如下关系 ( 岔。 矗o ( ，1 0 ) i ，( 6 h ) = o “ 临界线b 应由下列方程确定： e d 毒卜扣- - - 、 2 r c 知心 o 这样，我们便可以设定不同的，通过求解方程( 2 1 1 ) 中的和束获得区分1 和3 区域的临界曲线b 。经过检验，发现和数值模拟的结果几乎完全吻合，但比 数值模拟更精确，且汁算量明显减少。我们电用方程( 2 1 1 ) 去求解l i p o w s k i 等人 研究的u r n 模型中的临界线b ，发现与数值求解的结果一致。 下面我们证明只要细致平衡方程( 2 4 ) 有非零解，那么肯定有稳定的非零解存 在。根掘临界线b 的确立我们可知，在临界线b 下方将出现非零解，此时，s 1 必 然存在一个极小值( s 。) ，s 。矿o ，且满足瓜。) o ，所以在。和s = 0 5 之间必然有一个稳定的非零解。 ( 3 ) 临界线c 的确定 从上面两条临界线a 、b 的确立以及图2 ( a ) 、( b ) 我们发现，在相图的大部分 区域中，a 和b 是完全重合的，系统只出现一个稳定的状态，但还存在某个小范 围，这里对称定态解和不对称定态解对于系统来说都是稳定的，但是特定的微扰 就会使系统原来所处的定态消失而转向另一种定态，这与气液两相转变过程中出 现的过饱和蒸汽或过热液体类似，我们不妨称之为亚稳态，系统在这两个稳定点 出现的几率是一样大呢还是有大有小? 即体系在受到微扰后究竟出现在哪一个 稳定点? 基于这一点的考虑，我们猜想在区域3 、4 中还存在一条“不连续相变 l 叫 一一哇 ，lj川ll 一 一0蘸 毒 j叫 第二章颓粒振动的2 - u m 模型 线”，和平衡态系统相类似【5 1 1 ，这条相变线将与临界线a 、b 交于一点t ，见图 2 ( b ) ，我们称之为三临界点( t r i c r i t i c a lp o i n t ) 。确定这三临界点的表达式如下： j 厂j 5 = o ) = o ( 2 1 2 ) l ，( s = o ) = 0 求解上述方程组，便可解析获得两个三临界点，其坐标为( o ，o ) 和( 堡乒，簪) 。 在平衡态体系中，两相发生不连续相变时自由能f 在相变线附近没有突变，出 于颗粒物质本身的内能u 在相变时不发生变化，根据f = ? _ a t s 我们可以用颓粒物 质的熵来考虑相变问题，即在该体系的“不连续相交线”上，两相的熵相同，由 于熵s = l n q ，q 为粒子状态分布几率，所以在“不连续相变线”上体系出现在两 个稳定点的几率是一样的。s h i m 等人考虑了，斗时，系统在定态时的粒子几 率分撕j ，由于系统处于定念，主方程( 2 5 ) 可以写成如下形式： p ( ) = f ( n ) p ( n 一) + i f ( 1 ) 】p ( ) 删( 半m 州( 等m 州) + 卜( 争f ( 等) 扣) p ( o ) = f ( 言) p ( 1 ) 十【l - f ( 1 ) ) p ( o ) ( 2 1 3 ) 方程( 2 1 3 ) 中p ( n ) 可以用p ( n 一1 ) 来替代，而p ( n 一1 ) 又可以用p ( n - 2 )