（计算数学专业论文）双调和方程及油田注水开发最优控制问题数值分析.pdf

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1 ，k = 2 时的收敛精度2 6 例1 2 ，k = l 时的误差结果 2 8 例1 2 ，k - - 1 时的收敛精度 2 8 例1 2 ，k = 2 时不同套网格的误差结果2 9 例1 3 ，一致网格与自适应网格的误差结果 4 6 例1 4 ，一致网格与自适应网格的误差结果 4 7 例2 1 ，k = l 时的误差结果6 6 例2 1 ，k = l 时的收敛精度 6 6 例2 1 ，k = 2 时的误差结果 6 7 例2 1 ，k = 2 时的收敛精度 6 7 例2 2 ，k = l 时的误差结果6 8 例2 2 ，k = l 时的收敛精度 6 9 例2 2 ，k = 2 时不同套网格的误差结果 7 0 i j 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 l l l l l l l l l 幺互2互互勘z 曹伟东 ( 山东大学数学学院，济南，2 5 0 1 0 0 ) 指导老师t 羊丹平教授刘文斌教授 摘要 偏微分方程最优控制问题在近三十多年的快速发展，为数学学科带来了一个非常 有发展前景和生命力的研究领域对于这领域的研究，涉及到了物理、化学、生物等 许多应用领域的内容，如材料设计、晶体生长、温度控制、石油开采等等，相关的文献 可以参见 3 9 ，4 7 ，4 9 ，7 3 】等其中涉及到的偏微分方程，既有椭圆的和线性的，又有抛 物、双曲的以及非线性的此外，按照受限条件的不同，还可包含控制受限的最优控制 问题和状态受限的最优控制问题偏微分方程最优控制问题在近几十年的发展中，已 经有了相对完善的理论框架，相关的计算软件的开发也取得了很大的进展工程上以 及数学上，科学家们关心的最优控制问题大多可用如下的抽象数学模型来表示t s t m i n j ( 可，让) ) u d a ( y ；让) = 0 其中j 为根据实际需要提出的目标泛函，秒称为状态变量，t 称为控制变量，称为 控制约束集，a ( 可；让) = 0 表示某一偏微分方程，其中还包括变分不等式，甚至结合状 态受限等多种形式，一般地。我们称a ( 秒；u ) = 0 为状态方程 近些年来，对偏微分方程最优控制问题这一领域的研究，以下四个方面得到了大 家的广泛关注和深入探索t ( p 1 ) 研究受控于更多种类型的偏微分方程的最优控制问题，根据实际工程的需 要，建立更多的数学模型，并在已有的理论基础上，对于提出的模型进行深入的理论 分析和算法实现； ( p 2 ) 自适应有限元方法更深入的应用； 山东大学博士学位论文 ( p 3 ) 探索更加复杂的受限条件，针对控制受限和状态受限的问题，如何建立更加 完善的数学理论和有效的数值算法； ( p 4 ) 如何处理更加复杂的偏微分方程，如对于二维乃至三维的耦合的非线性时变 偏微分方程组，如何建立这样的最优控制问题的快速有效数值求解算法，从而使最优 控制理论更直接地应用于生产实际 显然，这四个方面能给我们带来一片十分广阔而又非常富有挑战性的研究空间 因此，对于这几个方向的探讨，无论在数学的理论分析上，还是在工程的实际应用需 求上，都具有重要的研究意义 对于第个方面( p 1 ) ，单就椭圆控制问题来说，供我们可研究的偏微分方程就还 有很多对于受控于二阶椭圆方程的控制问题，按照受限变量划分，在控制与状态受 限两大方面均有了较广泛的研究，如【2 ，3 ，6 ，1 4 ，1 6 ，1 7 ，1 8 ，1 9 ，3 1 ，6 1 】等相关文献； 按照控制类型划分，在分布式控制、边界控制及参数估计等方面，也有了比较完善的 结果，如【5 0 ，5 8 ，5 9 ，8 2 ，8 3 】等而对于受控于四阶椭圆方程的最优控制问题，研究相 对较少，在这一领域，有许多相关的数学模型尚未建立，而众多数值算法的应用，更是 需要科研工作者探索的重要课题我们知道，求解四阶椭圆方程，如果用协调元直接 进行有限元离散，基函数对应的分片多项式需要较多的自由度，带来计算量的迅速增 _ 加因此，寻求更加快速有效的数值算法，以及将这些算法融合到最优控制的算法中 去，是一项很有意义的工作 在四阶偏微分方程的数值算法研究方面，特别地，在双调和方程的研究上，已经 有很多出色的工作，例如文献 7 ，8 ，2 2 ，2 5 ，2 6 ，2 8 ，3 0 ，4 0 ，5 3 ，6 3 ，6 8 ，7 1 ，8 1 】等双调 和方程描述的物理模型来自于流体力学和工程力学，例如弹性板的弯曲本文中，我 们仅就双调和方程中很有代表性的一个类型展开研究，即第一类双调和方程，数学表 达式如下。 a 2 y = t ，在q 内，秒= 嘉= o ，在a q 上 在某些关于第一类双调和方程的应用类文献中，例如梁和板的形变问题中，上面 模型中的y 表示位移，a y 表示曲率，一般地，工程上比较关心这这两个参数，从而相 应地带来了关于控制这两个参数的最优控制问题的研究在上面模型中，右端项t 表 示外部的负载或者作用力，如何控制外力来改变板的位移和曲率等形变性质，根据不 同的目标，我们可以建立多种最优控制模型 山东大学博士学位论文 对于四阶偏微分方程，为了减少自由度，更加快速地求解，我们很自然地引入混合 有限元离散格式关于四阶偏微分方程的混合有限元离散格式，已经有了较多的研究， 例如c i a r l e t r a v i a r t 混合元、h e r r m a n n - m i y o s h i 混合元、h e l l a n h e r r m a n n j o h n s o n 混合元等等，相关的文献可见【1 l ，2 5 ，2 6 ，2 8 ，5 l ，6 3 ，6 8 ，7 1 】等以及这些文章的参考文 献在众多混合元格式中，c i a r l e t - r a v i a r t 混合元离散格式的某些特殊性引起了我们 的研究兴趣从已有的结果来看，s c h o l z 在【7 1 】中给出了双调和方程分片线性c i a r l e t - r a v i a r t 元离散格式的收敛性结果，对于这一问题的分片高次多项式c i a r l e t - r a v i a r t 元离散格式，b a b u 吾k a 、c i a r l e t 等在文献【7 ，2 8 ，3 7 ，6 8 】中给出了相应的收敛性分析 无论是线性的还是高次的c i a r l e t r a v i a r t 元离散格式，我们发现在前人文献中给出的 理论结果中都有进一步改善的空间，另一方面，对于c i a r l e t r a v i a r t 元离散格式的数 值计算，据我们所知，尚没有公开发表的结果，因此，改进c i a r l e t r a v i a r t 元离散格式 的误差估计，以及通过数值实验结果来验证我们的理论，引起了我们的强烈研究兴趣 鉴于在工程应用中提出了受控于四阶偏微分方程的最优控制问题，将上面我们所提到 的工作和最优控制理论结合，无论在理论难度上，还是在应用的广度和深度上，都将具 有重要的研究意义关于受控于双调和方程的最优控制问题的研究，李炳杰等在文献 【5 2 】中利用混合元离散格式研究了边界控制受限的双调和方程最优控制问题，据作者 所知，在分布式控制受限的双调和方程最优控制问题研究上，尚没有相关的结果，至于 状态受限，乃至控制、状态双受限等情况，相关的工作更是凤毛麟角因此，探讨双调 和方程的最优控制问题，我们可以延伸到后验误差估计、自适应算法研究以及状态受 限等多种情况，从而使得对这一问题的研究，涉及到了前文中提到的( p 1 ) 一( p 3 ) j 三个方面的内容 自适应有限元方法在近些年来因其计算高效性，已经成为科学与工程计算中的一 个重要研究领域自适应方法的基本步骤是通过后验误差估计指示子对网格局部加密 或者放疏，更加有效地求得数值解关于误差估计指示子的类型，有残量型、分层基 型、函数型等等，具体可见文献【7 7 】等自适应有限元方法在最优控制问题中已经有 了广泛的应用，尤其在利用残量型误差指示子方面而对于利用c i a r l e t - r a v i a r t 元离 散双调和方程控制问题的后验误差估计，相关的工作较少c h a r b o n n e a u 等学者在文 献【2 2 1 中给出了分片2 次c i a r l e t r a v i a r t 元离散的双调和方程后验误差估计，他们得 到了次最优的残量型误差指示子而对于分片线性c i a r l e t r a v i a r t 元离散，却得不到 类似的结果本文中，我们利用类似的方法分析分片线性c i a r l e t r a v i a r t 元离散的双 调和方程最优控制问题，在一个修正的范数意义下，得到了最优的后验误差估计子 山东大学博士学位论文 现有的大多数偏微分方程最优控制问题的理论结果，都是研究控制受限的问题， 而且大多是受控于2 阶的偏微分方程，例如 6 ，1 6 ，1 7 ，4 3 ，5 0 ，5 9 】等文献近些年来， 众多的学者开始受限的提法转移到状态受限上来，将积分平均受限、厶2 模受限、点态 受限等状态约束，引入到最优控制问题中来一方面，这是工程中研究的需要，例如热 能控制问题中对于温度的限制、材料形变中对于某些形变参数的限制、油藏驱替中井 口压力的限制等等；另一方面，状态受限的最优控制问题，在理论和算法上相比于控 制受限的问题，还有更多难以解决的问题因此，状态受限的问题，越来越得到大家的 关注在这一领域，已经逐渐产生了许多建设性的工作和成果，例如c a s a s ，d e c k e l n i c k 和h i n z e 等人在( 1 4 ，1 6 ，1 7 ，3 1 】等文献中给出了点态状态受限的2 阶椭圆控制问题的 一些理论和数值结果；羊丹平、刘文斌、袁磊等在 6 0 ，8 4 ，8 5 ，8 6 1 等一系列文章中系 统地研究了积分受限、l 2 范数受限、1 范数受限等状态受限以及控制、状态双受限 的最优控制问题，给出了误差估计和数值结果；m e y e r ，p r i i f e r t ，t r s l t z s c h 和w e i s e r 等 人在【6 1 1 和【6 7 1 等文献中给出了控制、状态混合受限的椭圆控制问题的数值算法关 于受控于四阶偏微分方程的状态受限的最优控制问题，乃至控制、状态双受限的问题， 目前研究的工作相对较少 在石油工程领域，油藏模拟专家采用质量守恒和动量守恒方程组来描述地下油、 水、汽以及聚合物等化学物质在多孔介质中的运移过程，这一类的方程往往涉及到大 量耦合的非线性椭圆、抛物方程组，在数值模拟上有很大的难度目前国内的大多数 油田仍主要采用注水驱油的二次采油方式，尤其是国内的主力油田，基本已经进入二 次采油的后期阶段，甚至已经开始进入三次采油阶段这个时候，对于二次采油的方 式，往往注入大量的水，只能采出少量的油我们知道，出于减少对管道的腐蚀等方 面的考虑，油田采油所用的水质要求非常高，需要经过多次净化提纯加工等程序，而 优质水的大量注入，所花费的生产成本是值得我们考虑的如何利用最少的水，采出 最多的油，提高采收率，是摆在油藏工作者面前的一大难题对这一问题的研究，对 于油田注水开发方案的设计以及实际的生产，都将具有重要的指导意义这一问题实 际上就是要确定个最优控制策略，在数学上，可以归结为受控于两相流( 或多相流) 混溶( 或不可混溶) 驱动方程组的最优控制问题对这一问题，国内外的学者已经有一 些研究结果，如b r o u w e r 和j a n s e n 等学者在文献【1 2 】中研究了智能井的动态注水优 化控制模型，利用传统的优化的方法做了数值计算本文中，我们利用推导对偶状态 方程的方法，给出了控制问题的最优性条件，从更精确的角度进行了理论分析和数值 计算 山东大学博士学位论文 在羊丹平教授和刘文斌教授的指导下，本文作者对双调和方程最优控制问题和两 相不可混溶驱动方程组最优控制问题做了部分研究工作对于前者，我们首次对分布 式控制受限和控制、状态双受限的双调和方程控制问题进行了混合元算法分析，给出了 相应的先验误差估计其中对于分布式控制受限的情况，我们的创新之处在于得到了新 的收敛阶，同时对于分片线性c i a r l e t - r a v i a r t 元离散格式，得到了次最优的后验误差 估计，改进了前人的结果这一方面的部分结果已经发表在j o u r n a lo fc o m p u t a t i o n a l a n da p p l i e dm a t h e m a t i c s 上对于双受限的情况，我们结合众多文献中的方法，第一 次给出了该控制问题的收敛性结果和误差估计，同时也给出了数值算例对于后者，我 们提出了最优控制的数学模型，第一次进行了系统的有限元分析，证明了解的存在性， 推导出了先验误差估计，同时进行了数值计算 全文共分三章，下面分别介绍一下各章的主要内容 第一章，对于分布式控制受限的第一类双调和方程控制问题，给出了c i a r l e t - r a v i a r t 混合有限元离散格式，得出了连续的和离散的最优性条件对于分片线性 c i a r l e t - r a v i a r t 元离散，分析了先验误差估计和后验误差估计在先验估计的推导中， 通过改进一个r i e s z 投影逼近的误差估计，得到了有限元解更高阶的误差收敛精度；在 推导后验误差估计过程中，对于一个修正的范数，得到了等价的后验误差估计子本 章中，对于控制问题，我们同时分析了分片高次c i a r l e t - r a v i a r t 元逼近的先验误差估 计，在某个正则性假定下，也得到了更好的误差收敛精度每一部分估计的最后，我们 都通过几个数值实验证明了我们的结论 第二章，对于控制点态、状态积分双受限的第一类双调和方程控制问题，进行了 数值分析同样地，我们用c i a r l e t - r a v i a r t 混合元对方程中的状态变量进行离散，得 出了连续的和离散的最优性条件，同时，结合【1 7 ，6 l ，8 4 】等文献的方法，再应用第一 章中得到的部分结论，我们给出了该控制问题的先验误差估计，并做了数值模拟 第三章，我们对于油田注水采油优化设计问题，提出了一类受控于两相不可压缩 不可混溶驱动方程组的最优控制问题数学模型，并进行了数值分析这一课题是在羊 丹平教授和刘文斌教授指导下，在课题组孙同军老师和杜宁老师帮助下，常延贞师姐 和我参与完成的，其中部分结果已经收录在常延贞的博士毕业论文中，具体内容我们 将在论文中指明本文在这一章中与常延贞博士论文中收录内容不同之处在于，改进 了对偶方程解的存在性的证明，对于状态变量和控制变量，给出了先验误差估计，同 时，在本章的最后一节，进行了大量的数值计算，对最优控制模型进行了全面的分析 论证 山东大学博士学位论文 关键词：双调和方程混合元多孔介质流最优控制注水优化先验误差估计 后验误差估计 山东大学博士学位论文 n u m e r i c a la n a l y s i sf o ro p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m g o v e r n e db yb i - - h a r m o n i ce q u a t i o na n dw a t e r f l o o d i n gm o d e li no i lf i e l d s w e i d o n gc a o ( s c h o o lo fm a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y , j i n a n2 5 01 0 0 ，c h i n a ) s u p e r v i s o r ：p r o f d a n p i n gy a n ga n dp r o lw e n b i nl i u a b s t r a c t t h eo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m sg o v e r n e db yp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sh a v ed e v e l - o p e dv e r yf a s ti nt h el a s t3 0y e a r s ，a n di th a sb r o u g h tap r o m i s i n ga n dv i t a lr e s e a r c h i n g d o m a i nt ot h es u b j e c to fm a t h e m a t i c s t h eo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m sg o v e r n e db yp a r - t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sc o n c e r nm a n ya p p l i c a t i o n si np h y s i c s ，c h e m i s t r y , b i o l o g y , e t c ， s u c ha sm a t e r i a l sd e s i g n ，c r y s t a lg r o w t h ，t e m p e r a t u r ec o n t r o l ，p e t r o l e u me x p l o i t a t i o n ， a n ds oo n t h er e l a t i v ed e t a i l sc a nb es e e ni n 【3 9 ，4 7 ，4 9 ，7 3 1 ，a n ds oo n t h ep a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n si n v o l v e di nt h e s ep r o b l e m si n c l u d ee l l i p t i ce q u a t i o n s ，p a r a b o l i c e q u a t i o n sa n dh y p e r b o l i ce q u a t i o n s i nt h em e a n i n g so fc o n s t r a i n e dc o n d i t i o n s ，t h e s e o p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m sc a nb ed i v i d e di n t oc o n t r o lc o n s t r a i n e dp r o b l e m sa n ds t a t e c o n s t r a i n e dp r o b l e m s i ne a c ho ft h eb r a n c h e sr e f e r r e da b o v e ，t h e r ea r em a n ye x c e l l e n t w o r k sa n da l s om a n yd i f f i c u l t i e st ob es o l v e d t h eo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m sh a v eh a dar a t h e rc o m p l e t et h e o r e t i c a lf r a m e w o r k i nt h e1 a s tf e wd e c a d e s d e v e l o p m e n t a n dt h er e l a t i v es o f t w a r e sh a v ea l s oi m p r o v e d r a p i d l y i np r o j e c ta n dm a t h e m a t i c s ，m o s to ft h eo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m sw h i c h s c i e n t i s t sc a r ea b o u tc a nb er e p r e s e n t e db yt h ef o l l o w i n ga b s t r a c tm a t h e m a t i c a lm o d e l s t m ，i ，n j ( 秒，u ) ) u e d a ( 可；让) = 0 ， ) 【l 山东大学博士学位论文 w h e r eji st h eo b j e c tf u n c t i o n a l ，a n dyi sc a l l e dt h es t a t ev a r i a b l e ，a n d 牡i st h ec o n t r o l v a r i a b l e t h en o t a t i o n a b o v ei sc a l l e dt h ec o n t r o ls e t ，a n da ( ；t ) = 0s t a n d sf o r p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，o rv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s ，e v e nc o n t a i n ss o m ec o n d i t i o n s s u c ha ss t a t ec o n t r o l s g e n e r a l l y , a ( 秒；u ) = 0i sc a l l e dt h es t a t ee q u a t i o n s i nr e c e n ty e a r s ，i nt h ea r e ao fo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m sg o v e r n e db yp a r t i a ld i f f e r - e n t i a le q u a t i o n s ，t h ef o l l o w i n gf o u ra s p e c t sh a v eg o te v e r y o n e sa t t e n t i o na n di n d e p t h e x p l o r a t i o n ( p1 ) t h eo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m sg o v e r n e db ym o r et y p e so fd i f f e r e n t i a le q u a - t i o n s ，i n e q u a l i t i e s ，a n ds oo n h o wt ob u i l dn e wm a t h e m a t i c a lm o d e lf o ri t h en e w p r o j e c t i o np r o b l e m ，a n dh o wt oa n a l y z et h e mt h e o r e t i c a l l ya n dg i v ee f f e c t i v ea l g o - r i t h m ( p 2 ) t h ef u r t h e ra p p l i c a t i o n so fs e l f - a d a p t i v ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d s ( p 3 ) h o wt od e a lw i t ht h ep r o b l e m sw i t hm o r ec o m p l i c a t e dc o n s t r a i n e dc o n d i t i o n s ， n om a t t e rc o n t r o lc o n s t r a i n e dc o n d i t i o n so rs t a t ec o n s t r a i n e dc o n d i t i o n s ( p 4 ) h o wt os o l v es o m em o r ec o m p l i c a t e dp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sf a s ta n d e f f i c i e n t l y , s u c ha s2 - do r3 - dc o u p l e dn o n l i n e a rt i m e - v a r i e dp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s y s t e m o b v i o u s l y , t h e s ef o u ra s p e c t sb r i n gl l sav e r yb r o a da n dc h a l l e n g i n ga r e at or 争 s e a r c h t h e r e f o r e ，t h ed i s c u s s i o n si nt h e s ed i r e c t i o n sa r ev e r ym e a n i n g f u ln om a t t e ri n m a t h e m a t i c a lt h e o r ya n a l y s i s ，o ri nt h ep r a c t i c a le n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o n s f o rt h ef i r s t a s p e c t ( p1 ) ，o n l yc o n s i d e r i n gt h ee l l i p t i cc o n t r o lp r o b l e m ，t h e r e a r es t i l lal o to fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw ec a ns t u d y f o rt h ec o n t r o lp r o b - l e m sg o v e r n e db ys e c o n d - o r d e re l l i p t i ce q u a t i o n s ，t h e r ei saw i d er a n g eo fr e s e a r c h e s b o t hi nc o n t r o lc o n s t r a i n e dp r o b l e m sa n di ns t a t ec o n s t r a i n e dp r o b l e m s s u c ha si n 【2 ，3 ，6 ，1 4 ，1 6 ，1 7 ，1 8 ，1 9 ，3 1 ，6 1 ，a n d8 0o n a l s o ，d i v i d e db yc o n t r o lt y p e s ，t h e o p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m sh a v eb e e ns t u d i e db r o a d l yi nt h ea r e a so fd i s t r i b u t e dc o n t r o l ， b o u n d a r yc o n t r o l ，p a r a m e t e re s t i m a t i o n ，a n ds oo n ，a n dr e l a t i v er e s u l t sc a nb es e e ni n 【5 0 ，5 8 ，5 9 ，8 2 ，8 3 】，e t c h o w e v e r ，f o rt h eo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e mg o v e r n e db yf o u r t h - o r d e re l l i p t i ce q u a t i o n s ，r e l a t i v e l yl e s sr e s e a r c hi sd o n e i nt h i sf i e l d ，m a n yr e l a t e d m a t h e m a t i c a lm o d e l sh a v en o tb e e ne s t a b l i s h e d ，a n dt h ea p p l i c a t i o n so fan u m b e ro f n u m e r i c a la l g o r i t h m s ，a r ea l s oi m p o r t a n t t o p i c sf o rs c i e n t i s t st os t u d y a sw ek n o w ，f o r 山东大学博士学位论文 s o l v i n gt h ef o u r t h - o r d e re l l i p t i ce q u a t i o n ，i fw ed i r e c t l yu s ec o n f o r m i n gaf i n i t ee l e m e n t a p p r o x i m a t i o n ，m o r ef r e e d o mw i l lb en e e d e dt od e t e r m i n a t et h ep i e c e w i s ep o l y n o m i a l b a s i sf u n c t i o n ，a n di tw i l li n c r e a s et h ec a l c u l a t i o nt i m eg r e a t l y t h e r e f o r e ，h o wt of i n d m o r er a p i da n de f f i c i e n tn u m e r i c a la l g o r i t h m s ，a n dh o wt oi n t e g r a t et h e s ea l g o r i t h m s t ot h eo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m s ，a r ev e r ys i g n i f i c a n tw o r kf o ru s t h e r ea r em a n ye x c e l l e n tw o r k si nt h ef i e l do ff o u r t ho r d e rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a ， t i o n s ( p d e s ”f o rs h o r t ) ，o fc o u r s ec o n t a i n i n gt h eb i h a r m o n i ce q u a t i o n sa sw e l l ，s u c h a si n 7 ，8 ，2 2 ，2 5 ，2 6 ，2 8 ，3 0 ，4 0 ，5 3 ，6 3 ，6 8 ，7 1 ，8 1 ，a n ds oo n t h ep r o b l e m sd e s c r i b e d i i lb i h a r m o n i ce q u a t i o n sa r i s ef r o mf l u i dm e c h a n i c sa n di ns o l i dm e c h a n i c s s u c ha s b e n d i n go fe l a s t i cp l a t e s i nt h i sp a p e r ，w ej u s ts t u d yt h ef o l l o w i n gf i r s tb i - h a r m o n i c e q u a t i o n ，w h i c hi sv e r yr e p r e s e n t a t i v ef o u r t ho r d e rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n 嘶酏i n q ，! ，= 嘉- 0 m 觚 i nm a n ya p p l i c a t i o n so ft h ef i r s tb i - h a r m o n i ce q u a t i o n s ，s u c ha si nt h i nb e a m s a n dp l a t e s ，t h et e r myi nt h ea b o v ee q u a t i o ns t a n d sf o rt h ed i s p l a c e m e n t ，a n dt h et e r m a ys t a n d sf o rt h ec u r v a t u r e ，a n dt h er i g h th a n ds i d e 就i nt h ee q u a t i o ni st h ee x t e r n a l l o a do rf o r c e i ns o m ep r o j e c t s ，e n 舀n e e r sn e e dt oc o n t r o lt h ee x t e r n a lf o r c et oc h a n g e t h ed i s p l a c e m e n to rc u r v a t u r e ，o rs o m eo t h e rd e f o r m a t i o np r o p e r t i e s a c c o r d i n gt o d i f f e r e n tg o a l s ，w ec a nb u i l dav a r i e t yo fo p t i m a lc o n t r o lm o d e l s f o rt h ef o u r t ho r d e rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t od e c r e a s et h ef r e e d o ma n d s o l v em o r er a p i d l y , t h ei n t r o d u c t i o no ft h em i x e df i n i t ee l e m e n t ss c h e m ei sn a t u - r a l m a n yr e s e a r c h e sh a v eb e e nm a d ea b o u tm i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o ( 1 sf o rt h e 2 r do r d e rp d e s ( f o re x a m p l e ，r a v i a r t - t h o m a s ，b r e z z i d o u g l a s - m a r i n i ，b r e z z i - d o u g l a s - f o r t i n m a r i n ie l e m e n t sb a s e dm i x e dm e t h o d s ) a n dt h e4 t ho r d e rp d e s ( f o re x a m p l e 。 c i a r l e t - r a v i a r t ，h e r r m a n n - m i y o s h i ，h e l l a n - h e r r m a n n - j o h n s o nm i x e dm e t h o d s ) m o r e d e t a i l sc a nb ef o u n di n 【11 ，2 5 ，2 6 ，2 8 ，5 1 ，6 3 ，6 8 ，7 1 】a n dt h er e f e r e n c e st h e r e i nt h i s p a p e r ，w em a k eu s eo ft h em i x e dm e t h o dw h e nd i s c r e t i z i n go u ro p t i m a lc o n t r o lp r o b - l e m a m o n gt h em i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d s