（应用数学专业论文）泛函微分方程周期解的稳定性及其在神经网络中的应用.pdf

摘要 近年来，泛蘑微分方程及捧经羁络戆埋论帮应蔫研究受翊了+ 分广泛的关滚，辩予其震 期辩的存在毪、收教瞧、唯一往、稳定镶以及多个愿期解魏存在性的研究也一纛麓一个重要 的课题，经久不衰本文基于泛函微分方程的l y a p u n o v 稳嫩性理论，结合临界点理论，研究 丫一般自治及非自浓泛函微分方程多个周期解的存在性和稳定性、具多离散时滞多分布时滞 的一般神经网络的蛰棒稳定性，以及具不连续激活函数神经湖络周期解的全局指数稳定性 主要工终如下； 一，首先利用耩器点瑾论，得到一类时滞微分方程在一个凸能量面上周辩解鲍存在佳和 多周期性的一些新的结果然后，适当改变，的某些条件弗构造新的l y a p u n o v 黼数来说明 上述自治系统周期解的稳定性 二、借助于微分包含理论以及线性觚阵不等式的一些技瑾，在周期终都输入的条释下， 戮究了其套不连续激渗丞数一觳襻经瓣终斌期薅翡存在瞧秘众麓稳定往，鄂在不禽辩游懿蘩 况下部分地证明了f 0 r t i 的猜想。 三、运用l y a p u n o v 泛函方法以及线性矩阵不等式技巧，在不需要激活函数可微及严格 单调的条件下，研究具有多个离散时滞多个分布时滞一般神经网络的全局渐近稳定性及鲁棒 稳定性，霉到了一令灏豹粼剽准裂。 关键词：泛函微分方程；神经网络；鲁棒稳定性；临界点；指标；线性矩阵不等式( l m i ) ； 幂连续激活函数；分布时滞；微分包含 巾豳分类号：0 2 9 a b s t r a c t i nr e c e n ty e a r s ，i n v e s t i g a t i o n si nb o t ht h ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dn e u r a l n e t w o r k sh a v er e c e i v e dc o n s i d e r a b l ea t t e n t i o n ，a n dt h ee x i s t e n c e ，m u l t i p l i c i t y , u n i q u e n e s sa n d s t a b i l i t yo fp e r i o d i cs o l u t i o n sh a v eb e c o m ea ni m p o r t a n tr e s e a r c ht o p i cu n t i ln o w i nt h i s p a p e r ，b a s e do nt h el y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r yc o m b i n i n gw i t ht h ec r i t i c a lp o i n tt h e o r y , w e s t u d yt h ee x i s t e n c e ，m u l t i p l i c i t ya n ds t a b i l i t yo ft h ep e r i o d i cs o l u t i o n sf o rt h ea u t o n o m o u s a n dn o n a u t o n o m o u sf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，t h er o b u s ts t a b i l i t yo fg e n e r a l i z e dn e u r a l n e t w o r k sw i t hb o t hm u l t i p l ed i s c r e t ed e l a y sa n dm u l t i p l ed i s t r i b u t e dd e l a y sa n dt h eg l o b a l e x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo fp e r i o d i cs o l u t i o nf o rn e u r a ln e t w o r k sw i t hd i s c o n t i n u o u sa c t i v a t i o n f u n c t i o n sa n dp e r i o d i ci n p u t s t h em a i nr e s u l t sa r ea sf o l l o w s ： f i r s t l y , a p p l y i n gt h em e t h o do fc r i t i c a lp o i n t ，w eo b t a i nan e wc o n d i t i o ne n s u r i n gt h e e x i s t e n c e ，m u l t i p l i c i t yo ft h ep e r i o d i cs o l u t i o n sf o rt h ed e l a y e dd i f f e r e n t i a le q u a t i o no nac o n v e x e n e r g ys u r f a c e f u r t h e r m o r e ，w ea l s os t u d yt h es t a b i l i t yo fp e r i o d i cs o l u t i o n st ot h ea b o v e a u t o n o m o u ss y s t e mb yc h a n g i n gs o m ec o n d i t i o no f a n dc o n s t r u c t i n gs o m es u i t a b l el y a p u n o v f u n c t i o n s s e c o n d l y , u t i l i z i n gl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ( l m i ) t e c h n i q u e sa n dt h et h e o r yo f d i f f e r e n t i a l i n c l u s i o n s ，w ed i s c u s st h ee x i s t e n c ea n dg l o b a ls t a b i l i t yo fp e r i o d i cs o l u t i o nf o rg e n e r a ln e u r a l n e t w o r k sw i t hd i s c o n t i n u o u sa c t i v a t i o nf u n c t i o n su n d e rt h ea s s u m p t i o n so fp e r i o d i ci n p u t s ， w h i c hi n d i c a t ep a r t i a l l yt h a tt h ef o r t i sc o n j e c t u r ei st r u eu n d e rg e n e r a la s s u m p t i o n sw i t h o u t d e l a y s t h i r d l y , b a s e do nt h el y a p u n o v - k r a s o v s k i if u n c t i o n a lm e t h o da n dt h el i n e a rm a t r i x i n e q u a l i t y ( l m i ) t e c h n i q u e ，w i t h o u tt h ec o n d i t i o no fd i f f e r e n t i a b i l i t yo rs t r i c tm o n o t o n yf o r t h ea c t i v a t i o nf u n c t i o n ，w ec o n s i d e rt h er o b u s ts t a b i l i t yo fg e n e r a l i z e dn e u r a ln e t w o r k sw i t h m u l t i p l ed i s c r e t ed e l a y sa n dm u l t i p l ed i s t r i b u t e dd e l a y s ，a n dd e r i v ean o v e lr o b u s ts t a b i l i t y c r i t e r i o nf o rt h es y s t e m 1 1 k e y w o r d s ：f u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ；n e l l r a ln e t w o r k s ；r o b u s ts t a b i l i t y ；c r i t i c a l p o i n t ；i n d e x ；l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ( l m i ) ；d i s c o n t i n u o u sa c t i v a t i o nf u n c t i o n s ；d i s t r i b u t e d d e l a y s ；d i f f e r e n t i a li n c l u s i o n s 1 1 1 一、学位论文独创性声明 独创性声明及使用授权的说明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果 尽我所知，除了文中特别加以标明和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过 的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意 二，关于学位论文使用授权的说明 签名：让哗咻磕业 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的复印 件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊 登) 论文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究生院办理 签名： 9 旦争导师签名：萨缈：出 第一章绪论 1 1 引言 泛函微分方程是数学学辩中瓣个熏簧分支，本世纪黻采，蠡然稃学稃社会辩学中的许 多学科，如生物学、物理学、化学、工瑕紫科及经济学等提出了大量时滞动力学系统问题， 渐泛函微分方程能精确地描述和反映这嫂间题，这便开始了对淀函微分方程的研究而其系 缀孵瞬究工作开始予旅+ 年代自七十年代以来，由于受生物学、钫理学、控制联论和工程 学瓣等极其广泛熬瘦弱漾透懿强爨裁激，溪凌夕 学者牙疑在这一簇装骰了大量静王终，莠获 褥了实质性的、全面髅的进展许多专著的相继闻世奠定了泛溺微分方程的基本橼桀与基本 璁论此后，新的研究成果和新的分支不断涌现；至今，泛函微分方程的许多理论，如一般 性理论，稳定性和有界性理论，振动性理论，周期性和概周期性理论等都有着比较成熟的发 怒【l 】一啕此外，一燕新的骚宠方向与课题，盔疆德惩函微分方稼、泛函积努微分方程、脒冲 贬蔽鲮势方程等懿磅究王作也譬趋活跃。慧之，泛函微分方程囊于其重大懿瑷论徐燕耱广耀 的廒用前景正处于目新月异的蓬勃发展中 而泛函分析、拓扑学和抽象代数等现代基础数学的发展也激发着人们从事b a n a c h 空间 巾微分方程的研究，窀可使人们避免许多熬复努力，而获得的结果又具有广泛的成用性事 实支b a n a c h 空阂孛常微分方程，泛函微分方程懿磅宠不汉冀蠢荚鑫身戆理论徐穰，嚣萎一 骜偏泛函微分方程、偏积分微分方程等簌经需要直接转化为抽象空褥的常微分方程竣泛函微 分方程来加以研究总体来说，一方面，抽象微分方程是一种无穷维系统，它与有限维空间的 微分方程有着本质区别，因而有限维空间的微分方程的许多结论和方法对抽象微分方程不能 适用，抽象微分方程的研究存在着本质上的困难，它需要新的思想、新的工具和耨的方法； 努一方瑟，诲多繇窕领城鹣发爱秀捶象缓分方程挺筷了广辆懿藏麓鸳景，镶鳃，纛睡赛患理 论中起重要作用的形黛弓l 理和下降流方法虢是建立在b a n a c h 空闻常微分方程熊的性质的基 础上的；后来，人们义利用b a n a c h 空间常微分方程理论证明了许多新的不动点定理，研究 了非线性算子特征值的性质；近年来无穷维线性和非线性控制理论的飞速发展也广泛应用了 抽象空闻微分方程理论正蠢为它在无穷缀编徽分方程，德泛荫微分方程等许多方薅有着广 泛秘澎雳，接象空藏微分方程瑾论翡疆究越寒越受饔重走多 譬畿瓣广泛关注 我们知道微分方程是从实际问题中抽象出来的数学模型，它描述了系统变化鬻与其状态 1 东鸯大学嫒学位沦文 之阅的关系研究方稷解的性态是微分方稷理论中一个重要而叉基本的问题，其中系统的周期 解是否存在以及在什么条件下存在是这个理论体系很重要的方面微分方程的周期解问题已 经成为微分方程定性邂论中最弓1 人注目的部分，它体现了系统农特定条件下的规德性变化， 掰采受到洚多学者豹关注嚣蹲，在实鼯旋霆孛一令箕落懿系统存在霹弱簿是爨蠢缀重要豹 残寅意义的倒如，谯神经网络模登f 翻| 8 l 中，厨期解是代裘系统的个不受外界干扰的存 储记忆；在生物模型【9 ，1 0 里，使之存穰难周期解是生物学蒙梦寐以求的目标，职表明物种 的持久性、共存性，同时也为饲养者捕捞和放养种群数量提供了依据对于研究泛函微分方 糕的爝期辩覆言，许多学者获得了一系罗 j 优秀结果【王l ，l 翻箍对多个周期躲存农径的研究 麓瑷实懿遥餐嚣要，鞫辩也是微分方程定稳理论中援富撬浚熬懿重要课题，雨纛纛驻迸歹霹 方程周期解研究的发臌 人工神经网络是搬人类对其大脑的组织结构和工作机理认识理解的基础之j 二，人工模拟 篡结构和智能行为丽建立起来的一种信息处理系统，是理论化的人脑神经网络的数学模型 它怒建大量薅单元绛壤嚣连接瑟残熬复杂躅络，其寿葛度翡线性，毙够进行复杂懿逻辑搡 豫秘非线性关系实瑶。 人类对人工神经网络研究始于2 0 世纪4 0 年代，至今已有半个多世纪的历史1 9 4 3 年， 心理学家m m c c u l l o c h 和数学家w h p i t t s 采用数理模溅的方法首先提出了种人工神 缀随终模型，简称m - p 模型，迈出了人类珊究神经网络的第一步1 9 5 8 年，f r o s e n b l a t t 撵穗了第一令鏊蔻登鹣入王襻经霹终系绕，嚣感帮壤f p e r c e p t r o n ) 摸壅丽终。罴然该蒺型毙 较简单，但已具有神缀阏络的一般性质，翔可学习性、并行处瑷、分布式存贮等，这些性质与 渴时流行的串行，离敞符号处理的电子计算机和人工智能技术完全不同，从而弓i 超了研究人 员的极大关注然而，人工智能的创始人之一的m m i n s k y 和s p a r p e r t 于1 9 6 9 年出版的 感知襁一书中掇毽了感知视网络的玛限性，跌丽太大影瞧了入嚣 对神经嗣络璐究的兴 簿，使久工棒经网络的耩究在霭年健赴予低潮。僵在毒率经隧终磷究处于低潮酶逮一辩赣，仍 祷学者不遗余力地致力于神经网络的研究f 1 3 】- 1 5 】。 1 9 8 2 年，美国加州大学物理学家h o p f i e l d 基于磁场的结构特征提出了一类新的神经网络 横拱 1 6 ，1 7 ，即著名的h o p f i e l d 神经网络( h n n s ) ，掀起了神经网络发展的高潮该模型可由 魏下浆鬻镦分方程采撰述； g 警一差+ 州峨江1 2 2 其中k = 吼( ) 为连续可微的严格单调梯增函数，t = ( t 。) 为对称矩阵，冠和戗分别表 2 东毫大学硬学整论文 承电阻和电容，电压地为第i 个神经元的状态变量，五为外部输入；h o p f i e l d 神经网络在结 构、原理和功能上具莉明显的动力系统特缎，它以其强大的功能成功地运用于智熊控制、信号 处壤、模式识别等领域。基于i t o p f i e l d 神经阙络的实用性，文【1 8 】通过构造适当的l y a p u n o v 缀数，谤逡了h n n s 穰蹙乎鬻熹静垒曷臻数稳定魏；文 l 绸瓣连续反续h n n s 熬吸弓| 壤嚣 收敛速率作了较为精确的估计；文f 2 叫潦予线性矩阵不等式方法研究了一类网络的全局渐近 稳定性和鲁棒稳定性 美国伯克莱加利福尼亚大学电子学祭l o c h u a 与l y a n g 于1 9 8 8 年受h o p f i e l d 神经 嬲络的直接影响秘细魏鑫动楗的癌发，挺穗了缨骢耪经阙络( c n n s ) 【1 5 它是一个大怒族菲 线穗计算税信粪系缝，荚骞缀錾鑫囊视瓣淤力学特征，竞鞭了h o p f i e l d 襻经隧络簿令襻经元 辫。警其他神经元相诲接的弊端细胞神缀网络的神经元是局鄢麓连的，而且它可以实现大规 模的并行计算，因此被广泛地应用于图象处理、视频信号处理等在实际运用中，人们总是 期耀c n n s 模型的平耩点或周期解是唯一的，且是稳定的，同时由于在实际过稷巾图像的传 簇速度有限，大躬遘露考虑毒争经鼹终攘黧审其毒延时，鑫戴黧瓣c n n s 戆平衡点凌溪麓绥豹 存税唯性及稳定性褥掰了广泛的磅究【2 l l ，【2 刁一【2 翻 本文，首先研究舆有一般意义的泛函微分方程，运用临界点理论讨论了其多个周期解存 磁性的条件，接着利用l y a p u n o v 稳定性理论考虑了周期解的全局指数收敛性然后研究具 体棒经网络摸型的周期解的一些性质，其激活函数为不连续龋数，推广了别人的研究结果 簸磐，我f 】考虑昊舂多今鬻敦霹漆及多令分带辩游捧经瓣终鹣全嚣激逶稳定经秘众赫鲁揍稳 定後 1 2 本文的主要工作 零文辑骧戆主要王终磐下： 在第二章中， 重论了如下泛函徽分方稷： z ( ) = - a x ( t ) + b f ( z ( t r ) ) ，( 1 1 ) 其孛皇形，a 舻，渺) ，a 是羁摊对角矩阵，其对角元素a i 0 ，i = 1 ，2 ，张， 嚣为任意摊舞矩簿，r 秀绘定静歪豢数 首先，作变换； 7 r t ”再。 3 东南大学硕士学位论文 将方程( 1 1 ) 变为 邶) = 一a 警雄) + 雪警鼬( t - ( 1 2 ) 辩维数锋及函数，依魏下候设： ( h 1 ) ：维数n 愚偶数； ( h 2 ) ：存在连续w 微的函数f ，使得f 的梯度为，即。忱舒，v 。f ( x ) 一，( z ) 且 f ( 0 ) = 0 记g 善) ：一直詈国一磐警f ( 茹辫) ，褥爨了下瑟懿绩逊： 寇瓒2 2 1 假设( h 1 ) ，( h 2 ) 成立，3 c o j 妒，s = g - 1 ( 铴) ，g 在处非退化，s 为严格 凸紧集c 的边界，且存在m m 钥，使得，b o ，m cccb 0 ，卅，则方程( 1 2 ) 至少 存在詈个2 1 r 一周期解；印方程( 1 ，1 ) 至少存在个4 r 一周期解 叉x 于系统 8 ) 一- f ( z 一，) ) ， f 1 3 ) 有 推论2 2 1 。假设( h 1 ) 、( h 2 ) 成立，3 c o r n ，s f - 1 ) ，f 在譬处非退化，s 为严格 凸紧褰c 妁边器，且纛在m m 以，使箨，b 0 ，嘲ccc 嚣p ，蚓，剐方鼗1 3 ) 至少 务在量个4 r 一餍期解 对非自治系统 刑= 一a 筝坤) 十b 筝m ( t 一三) ) 州氓0 4 ) 茭巾珏( 匀= 程t 渤，嚣2 ( 珐，( ) ) 7 为周嬲输入彝量，“转+ 萋) 一u ( t ) 令8 ( z ) ：一a ；r 鬈2 ( ) 一 露警f ( z ) 一钰( 臻 ( 印，得翔了翔下戆定瑗： 筑壤2 2 2 假设( h 1 ) 、( h 2 ) 成立，j c 0 j ，s = 0 1 ) ，学在z 处非退化，s 为严格 曲紧集c 的边界，风存在m m 2 ，使得，b 0 ，m cgcs o ，m ，则方程( 1 4 ) 至少 存在罟个2 一周期解。 在隧嚣熬小节受，将方翟( 1 4 ) 写或鲤下分璧游形式： z 一喝玩( t ) + 力一r 腑= l ，2 ，住 ( 1 5 ) j = l 运用l y a p u n o v 泛函方法，得到了方程( 1 5 ) 周期解全局指数稳定性的充分性判掘 定理2 3 1 假设下列条锌满足： 4 东南大学硕士学位论文 ( h s ) 对于任一j 1 ，2 ，n ) ，办：r _ 兄全局l i p s c h i t z 连续，其l i p s c h i t z 常数为 易，即 f 厶( z ) 一f a y ) l l j l z 一引，v x ，y r ； ( h 4 ) 一a i + 圣1i b o l s l 0 ，i = 1 ，2 ，n ，) ；b ( t ) = ( b , j ( t ) ) 。是n n 时变矩阵函数，表示t 时 刻的连接权矩阵；l ( x ) = ( ，1 ( 茁1 ) ，2 ( z 2 ) ，厶( z 。) ) t ，其中 ，i = 1 ，2 ，n ，表示神经 元的输入输出激活函数； 1 ( t ) = m ( t ) ，厶( t ) ，厶( t ) ) t 是外部输入，为u 一周期的连续向 量函数 考虑系统( 1 6 ) 周期解的存在性，先作如下的假设： ( s z ) ：b ( t ) 是连续的u 一周期的矩阵函数； ( s 2 ) ：五，i = 1 ，2 ，n 是单调不减、有界并在r 上只有有限个跳跃不连续点 得到了如下的存在性定理： 定理3 2 1 在条件( s 1 ) 和( s 2 ) 之下，神经网络( 1 6 ) 存在u 一周期解 然后，我们继续研究系统( 1 6 ) 周期解的全局稳定性，得到了如下定理： 定理3 3 1 在条件( s 1 ) 和( s 2 ) 之下，系统( 1 6 ) 存在唯一的u 周期解( t ) 并且其是全局 指数稳定的，若存在正定对角阵p = d i a g ( p l ，b ，r ) 以及小正常数e m i n 。a 。，使得如 下的线性矩阵不等式成立： ，e e 一2 一日、 q2 i b 7 2 尸日j 0 1 ( 1 7 ) 其中e 为n 维单位矩阵 在第四章中，考虑具有多个离散时滞又同时具有多个分布时滞的神经网络模型 z ，( ”= - a x 。) + 蚤1 引娜“邢1 。”) + 薹1 d 帕g ( 小) ) d s + l ( 1 8 ) =r= 一o m 5 东枣夫学疆士学位论文 的众局渐近稳定性及静棒稳定性；其中z ( t ) = k - ( t ) ，z 2 0 ) ，x n ( t ) 】r 是神经元的状态向量； a d i a g ( a 1 ，0 2 ，) 是正定的对角矩阵；b ( ) = ( 6 5 ；) 。和g ( m ) = ( 蠢) 。分别表示 离散时滞连接权矩阵及分布时滞连接权矩阵；，( 鬈) ：= 瓴( 茹1 ( t ) ) ，矗( z 2 ) ，矗( ) ) 7 纛譬尘) ) ：= 浪( z l ) ) ，魏胁器) ) ，甄觏固) ) ? 分舅l 为激溪籀数；i = 1 1 ，磊，炙】? 为 常德外部输入；靠猩- m ( 稂k = l ，2 ，r ；m = 1 ，2 ，q 为时滞 先假设激活函数 和职满足如下条件： ( t 1 ) ：五与g i ，i = 1 ，2 ，n 均为有界函数； ( 鼍劲：硫1 ，2 ，辩) ，五与9 1 分别瀵怒 紫墨妒，酊甓熊鲥 其中f ，矿，酊，酵为常数，可为正、可为负、可为零； ( t 3 ) ：住( 和亍。( t ) 为有界的的正函数，姆一个a ( t ) 可微，熙： 0 , - k ( t ) 强，) 磊，0 ( _ m ，k = 1 ，2 ，r ；m = 1 ，2 ，q ， 我们知道，( t 1 ) 能傈证平衡点矿的存在性；作变换； y ( t ) = z ( t ) 一z ( t ) ，( t 一下 ) ) = z ( t 一下 ) ) 一茹+ ) 系统( 1 8 ) 转化成 辩) = - a y 渤+ g 姊鳓卜删) + 三嘲z 删姒蚋 首先，讨论系统( 1 8 ) 平衡点的全局渐近稳定性，得到了如下的定理： 定理4 2 1 ：在假设( t 1 ) ，( t 2 ) 和( t 3 ) 下，系统( 1 9 ) 的原点( 或等价地，系统( 1 8 ) 的平衡 点) 全局渐近稳定，劳存在正定矩薛只q 女，及，赈，竞= 1 ，2 ，弘m = 1 ，2 ，两个对 建菇定矩滓矗= d i a g ( a l ，天2 ，r 一，五。) 和= d i a g ( a l ，c f 2 ，纸) 以及筘 0 ，o t k 0 ，强 0 ，k = 1 ，2 ，r ，使得如下的线性矩阵不等式成立： q ： q ll 2 an 2h 2 n 3 c r k q k a 00 0 是= l 青貔0 q 5 q 嚣1 一0 0 ，蠡= 1 ，2 ，r ，使得如下的线性矩阵不等式成立： g = 一p a a p l 1 a h i l 2 ap b ( 1 ) 工2 a q o 0 b ( 1 p p 0 一孬1 ；!+ b r 矽p00 h 2 e 00 拶1 ) f p00 c ( q ) t p00 ， p b ( ) 奶ep c ( 1 ) 00o 0o0 ；j；j 一轨0 0 0弼0 ， 0 0 ；矿l i!。 o o o 0 ，爱 0 ，磐 0 ，奄= 1 ，2 ，r ；m 一1 ，2 ，一，g ；使得：t o t 的线憔藏降 们 i q o o ；o 8 o ；形 p 一 东南大学硕士学位论文 不等式成纛； 这里 t o = d o 五2 a b ( 1 ) r p b ( r ) 一r p 肌 c c l ) * t p 芏l芏2 蕈2t 2 芏2 t 一叠 t ；一臻。 研一 t 罩 勤a o ： o 0 o ： p b o ) * p b 0 9 * o o 0 0d k 00 o - o 一如 捣 o o 0 口 碟1 骱 m 揣t o 0 ，i = 1 ，2 ，椎， 丑为臻一铭摊矩阵，r 为给定孵正常数。 有很长一段时间，人们致力于研究方程( 2 1 ) 周期解的存在性，也得到了许多行之有效 的方法，如t 锥压缩不动点理论 3 6 - 3 7 1 、p o i n e a r d - b e n d i x s o n 定理 3 8 h 3 9 】、叠合度璁论 【4 0 卜 4 1 1 等等2 0 0 5 年，g u o 和y l l 【4 2 】直接利用变分方法，获得了下面自治系统； z ，( t ) = - ( x ( t r ) ) ( 2 2 ) 多个周期躲的存雀性结果，他们所使用的工具是临界点理论中的磊一指标和伪指标理论 瑟瑟予鬻期解静唯一往，蓦避德窝代歪德转翻雾j 麓偿立蟹级数理论研究了下瑟二羧巾宓 餮微分方纛 童( 霉) + a l z ( t ) + 啦z ( 芒) + 陆量。一麓) 十镜圣( 雩蕊) + w i z ( t - h 1 ) 】= ，g ) ( 2 3 ) i = 1 而s u n 和f e n g 4 4 l 通过构造l y a p u n o v 泛函研究了如下一般神经网络： z ：o ) = ( ( t ) ) + o 呵g j ( z j c t - r a ) + 五( t ) ，i = l ，2 ，n j = l 周期解的唯一性问题 在本露巾，我们的匿标是运用s 1 一指标理论来考虑方程( 2 1 ) 的4 r 一弼期鼹的存在饿姆 多舄期馕，然麓椽造一令薪懿翦l y a p u n o v 函数寒邋一步琚突弼赣黧豹全局指数稳定佳 定义2 1 1 【4 镯：设g 秀一舞羚群，掰谣g 褒b a n a e h 空戆x 主黪一令表示是这撵一菝线 佳葵予 ? ( 9 ) 。g ，t ( g ) ：x x ，蓰褥，t ( o ) 一i d ；t ( 9 1 + 啦) = t ( 9 1 ) ? ( 霸) ； ( g ，“) 一t ( g ) u 连续 定义2 1 2f 4 6 】：x 的子集a 关于g 是不变的，辫对于g ，有t ( g ) a = a ；g 在x 上 的一个表示怒等距的，如果对于v g g ，v u x 肖l i t ( g ) u i = i l u | | ；在g 的表示下，x 的 两个不变子熊之间的映射兄是等变的，若r0 t ( g ) 一t ( g ) 0 r ，v 9 g 定义2 1 ，3 4 6 t ：设g 是一紧拓扑群， t ( 9 ) g e g 照g 在b a n a e h 空间x 上的一等距表示， t ( 奶) 9 e g 的指标( i n d e x ) 是从x 的闭不变子集至u 。o 的映射，满足： ( i ) i n d a 一0 咎a = g ； ( i i ) 耱r ：a l 一冀2 是等变量连续鹣，弼i n d a l i n d a 2 ； 汹) 游a 楚綮不变懿，翔存在蠢匏闻不交邻城，使得i n d a = i n d n ； ( i v ) 对于所有的不变子集a l ，a 2 ，有i n d ( a lua 2 ) i n d a l + i n d a 2 1 1 东南大学硕士学位论文 定义2 1 4 疆司：设g s 1 ，嬲x 豹闭不变予囊建懿s 1 一撞标定义为这样弱最，l 、熬数k ，篌缮 ，窍程珏 o 及圣c ( a ，c 瞻； o ；麓游惩等交往：零( f ( 乎净；= e 耐圣国羌移9 ，嚣a ； 蓉这样豹浃射圣不存在，弼定义i n d a 一 寇义2 1 5 【4 6 ( p s - 条件) ：设x 楚b a n a c h 空间，称妒c 1 ( x ，r ) 满足p s - 条件是指 对于任何点列 ) cx ，由 妒( z 。) ) 有界， 妒7 ( z 。) ) 一0 ，可推得 有收敛予列 引穰2 1 1 【4 6 】：设妒ec 1 ( x ，r ) 是一s 1 举变的泛函，满足p s 一条件，设y 和髫燎x 的闭 幂糍予空间，c o d i m y 和d i m z 均有限，融 c o d i m y 一o 。； a 3 ：存在p 0 及e 瓶，使得， b 0 ，m 】cccb 0 ，蠲，( 2 8 ) 则方程( 2 4 ) 置少存在墨个2 n 一周期解；即方程( 2 1 ) 至少存在i 个4 r 一周期解 定理2 2 + 1 的证明需要作一些准备工作，令g j 2 ，其中j 为c 的规范，因此g 摄严 格凸的假设( 2 8 ) 表明 ( i z l m ) 2 a ( z ) ( i x l m ) 2 ( 2 9 ) 丽溺数妒关手时闼t 在定义于x 上豹表示s 1 一n z 之下是不交的，为了应用弓l 联 2 1 1 ，我 】遥蔫露磐下静一些嫠诗： 零l 瑾2 2 1 砖w x ，存在掌数c ，使缮 妒( 茹) ( 一面c i 一1 ) i l x l l u ) i l x l l ： 妒( 茹) ( 一面i 一 ： 证明；记叠一茹( t ) 击舻z ( t ) d t ，则 詹” ( 瞎0 + ) ，x ( t ) ) d t = j ：；研；( 士o + 墨) ，童0 ) ) d t 一 ( 詹”i 圣( t + 詈) 1 2 a t ) 1 2 ( ”l 童( t ) 1 2 班) 1 2 一孙1j 0 2 ”i z ( t 十) 1 2 d t ) 1 2 ( 譬”i z ( t ) 1 2 d t ) 1 2 = 一 1 1 x ( t 十普) j i 伊0 童i l l 。= 一_ f 11 。 1 | 2 l 。， 由( 2 9 ) 及p o i n c a r d 不等式，我们有 o z g ( 球牌z “警班一紫一知1 1 弘 诞攀 一 令 z = ( a c o s t + b s i n t ) e ，8 形 引理2 2 2 菪茹z ，且i z l l x = 1 ，则 妒( z ) 丐2 - - 矿m 2 知o 证明：耪l 兰z ，则斑壮+ ；) = - z ( t ) ，有 f 0 2 1 rj 1 ( 毒。+ j 7 r ) ，z o ) ) d 一一i l 篁i l 。 剃曩( 2 9 ) ，霹缮 妒( 茹) 勰舻睦奎秘+ 差) ，鬈棼) + a ( z ) d t 茎赢1 a ：；，2 护一；l | 茹| 巨。= 丽2 - - m 2 l | 鼻1 1 2 驴 以，使得，b 0 ，嘲cccb 0 ， 明，则方程( 2 4 ) 至少存 在誉令静一麓期耪 洼2 2 1 + 瘘攘谂2 2 + 1 翔，我爨在一令凸魏萤露上获褥了一今毙滓驾更壹接魏结果 瑗在考虑如下菲自治系统； 荆= 一a 等茁( 茚+ b 睾弛( t 一鸶) ) + 蚺 ( 2 ，1 0 ) 其中“( ) 一( “1 ( t ) ，u 2 ( t ) ，。( t ) ) r 周期输入向墩，u + 詈) = u ( t ) 令0 ( z ) = a ；茹2 ( t ) 一 曰警f ( z ( ) ) 一“( t ) 茁( t ) ，类似与定理2 2 1 ，可得如下的定理： 定理2 ，2 ，2 ，假设( h 1 ) ，( h 2 ) 成立，3 c o 形，s 一0 1 ( c 0 ) ，0 在z 处非退化，s 为严格凸 紧集c 的边界，且存在m m 娩，使得，b 0 ，m 】cccb o ，a 卅，则方程( 2 1 0 ) 至少存 在差令2 7 t 一璃糍辫 证明：哭簧捻逡掰黪泛丞薅下： 妒( 茹) 燃露孺l ；( 童器+ 专) ，。尊) ) + 矗景茁2 ( + i ) 一嚣警f ( 茹0 ) ) 一u ( t ) x ( t ) d t 。 余下部分w 利用定理2 2 1 的方法直接褥出 2 3 周期解的全局稳定性 本节，谯不需要，的有界性单调性及可微性的条件下，通过构造适当的l y a p u n o v 溺 数来研究方稷( 2 1 0 ) 的周期解的唯一性与全局指数稳寇性。当然，由f 4 7 知，其周期解鼹存 在的，将方缀( 2 1 0 ) 写成分量的形式： ( ) = - - a , x ；b 元( 弓( 一r ) ) + 撬( 毒) ，i = l ，2 ，耗， ( 2 + 1 1 ) 3 = 1 1 5 东南大学硕士学位论文 定理2 3 1 簸设下列条谤满足； ( 薹1 3 ) 霹雩任一歹 l ，2 ，磅，秀：r 一嚣是仝局l i p s c h i t z 连续趣，英l i p s c h i t z 掌数 秀岛，聱 l l j ( z ) 一l a y ) l 岛l 茹一掣1 ，y r ( h 4 ) 一啦十警l1 l j l 0 ，使得 n 一啦+ + i b 玎l 3 1 e ”0 i 一1 ，2 ，n ， j = 1 定义l y a p u n o v 函数如下。 即卜 i x ；，妨一戤做删e 群 + | li i j ( z j ( s ，妨) 一秀( ( s ，眵) ) | 矿8 +