（应用数学专业论文）menger+pn空间中若干问题的研究.pdf

摘要 摘要 眦y 帆1 呲7 吣4 心眦7 叭0 叭0 i 2 l i 1 9 4 2 年，k m e n g e r 首创概率度量空间( p r d 施6 f ，西矗cm e t r i cs p a c e ，简称为 p m 空间，原名为统计度量空间s t a t i s t i c a lm e t r i cs p a c e ) 他用一个分布函数来 描述空间中两点间的距离，这样的“距离 通常称为概率距离根据他的理论， 通常的度量空间是概率度量空间的一种特殊情形，因此研究概率度量空间是非 常有意义的1 9 7 2 年，s e h g a l 和b h a r u c h a r e i d 【5 】首次成功地将b a n a c h 压缩原 理推广到完备的m e n g e rp m 空间中，开创了研究概率度量空间不动点理论的先 河众所周知，在赋范空间中，可以利用a p r o p e r 映射拓扑度理论来研究算子 所以人们自然要考虑能否利用a - p r o p e r 映射拓扑度理论研究概率度量空间中算 子的理论问题? 本文在前人的理论基础上，利用a p r o p e r 映射拓扑度研究概率 度量空间中算子的理论问题全文共分三章： 第1 章介绍了p m 空间中算子理论发展的历史背景、现状并且介绍了本 文所需的基本概念及性质，将要得到的结果和研究意义 第2 章在投影完备的z - p s 空间中，利用概率度量空间中a p r o p e r 映射 拓扑度的基本性质，研究一类算子的不动点问题和算子方程解的存在性定理， 得到了一些新的结果 第3 章建立了w - m - p n 空间，并提出了w - m p n 空间中固有值与固有元的 一个新定义利用概率度量空间中a - p r o p e r 映射拓扑度的基本性质，在投影完备 的w - m p n 空间中研究算子方程解的存在性定理和固有值和固有元存在的充分条 件，得到了一些重要定理 关键词：m e n g e rp n 一空间；z p - s 空间；w m p n 空间；a - p r o p e r 映射；固 有值和固有元；拓扑度；算子方程 a b s t r a c t a b s t r a c t i n1 9 4 2 ，k m e n g e rf i r s t l yc r e a t e dp r o b a b i l i s t i cm e t r i cs p a c e ( r e f e r r e dt oa sp m s p a c e ，f o r m e r l yk n o w n a ss t a t i s t i c a lm e t r i cs p a c e ) h eu s e dad i s t r i b u t i o nf u n c t i o nt o d e s c r i b et h ed i s t a n c eb e t w e e nt w op o i n t si ns p a c e ，s u c ha ”d i s t a n c e ”o f t e nr e f e ：r r e dt o t h ep r o b a b i l i t yo fd i s t a n c e a c c o r d i n g t oh i st h e o r y ，t h eu s u a lm e t r i cs p a c ei sa s p e c i a l c a s eo fp r o b a b i l i s t i cm e t r i cs p a c e s ，t h e r e f o r er e s e a r c h i n go np r o b a b i l i s t i cm e t r i cs p a c e i so fg r e a ts i g n i f i c a n c e i n1 9 7 2 ，s e h g a la n db h a r u c h a - r e d 【5 】5t h ef i r s t s u c c e s s f u l l yp r o m o t e dt h ep r i n c i p l eo fc o m p r e s s i o n t oc o m p l e t em e n g e rp m 。s p a c e ， a n dc r e a t e dar e s e a r c hp r o b a b i l i t yt h e o r yo ff i x e dp o i n ti np r o b a b i l i t ym e t r i cs p a c e i t i sw e l lk n o w nt h a ti nt h en o r m e ds p a c e ，w ec a nu s et h ea - p r o p e rt o p o l o g i c a ld e g r e e t h e o r yt os t u d yt h eo p e r a t o r s oi ti sn a t u r a lt oc o n s i d e r t h ep o s s i b i l i t yo fu s i n ga p r o p e rm a p p i n gt o p o l o g i c a ld e g r e et h e o r yi np r o b a b i l i s t i cm e t r i cs p a c e t os t u d yt h e p r o b l e m so fo p e r a t o rt h e o r y ? i nt h ep a p e r ，b a s e do n t h ep r e v i o u st h e o r y ，u s i n ga - p r o p e rm a p p i n g o f t o p o l o g i c a ld e g r e et h e o r yt os t u d yo p e r a t o rt h e o r yi np r o b a b i l i t y m e t r i cs p a c e t h e r ea r et h r e es e c t i o n si nt h i st h e s i s i nc h a p t e ro n e ，t h eb a c k g r o u n dm a t e r i a l sa n dr e c e n td e v e l o p m e n t so ft h en o n l i n e a r o p e r a t o rt h e o r yi np m - s p a c e i sg i v e n m o r e o v e r ，w ei n t r o d u c e ds o m eb a s i cc o n c e p t s a n dr e s u l t sw h i c hw i l lb en e e d e di nt h i sp a p e r ，a n dt h er e s u l t st ob eg o t t e na n d r e s e a r c hs i g n i f i c a n c eo ft h i sp a p e r i nc h a p t e rt w o ，u t i l i z i n gt h ep r o p e r t i e so ft h et o p o l o g i c a ld e g r e ef o rt h ea 。p r o p e r m a p p i n g i nt h ep r o b a b i l i s t i cm e t r i cs p a c e s ，t h ef i x e dp o i n to fn o n l i n e a ro p e r a t o ra n d t h es o l u t i o n sf o rn o n l i n e a r o p e r a t o re q u a t i o n s i nt h ep r o j e c t i o nc o m p l e t ez - p - - ss p a c e a r es t u d i e d ，a n ds o m en e wr e s u l t sa r eo b t a i n e d i nc h a p t e rt h r e e ，an e wc o n c e p to ft h ew m - p ns p a c ei si n t r o d u c e d ，a n dan e w c o n c e p to ft h ei n t r i n s i cv a l u ea n dt h ei n t r i n s i ce l e m e n ti si n t r o d u c e di nt h ew m - p n s p a c e u t i l i z i n gt h ep r o p e r t i e so f t h et o p o l o g i c a ld e g r e ef o rt h ea p r o p e rm a p p i n gi n t h ep r o b a b i l i s t i cm e t r i cs p a c e ，t h es o l u t i o n sf o ro p e r a t o re q u a t i o n sa n ds o m ep r o b l e m s o ft h ei n t r i n s i cv a l u ea n dt h ei n t r i n s i ce l e m e n ti nt h ep r o j e c t i o nc o m p l e t ew - m p n s p a c ea r es t u d i e d ，t h e nw eg o ts o m en e wt h e o r e m s k e yw o r d ：m e n g e rp n - s p a c e ；z - p ss p a c e ；w m p ns p a c e ；a 。p r o p e rm a p p i n g ； t h ei n t r i n s i cv a l u ea n dt h ei n t r i n s i ce l e m e n t ；t o p o l o g i c a ld e g r e e ；o p e r a t o re q u a t i o n i i i 目录 目录 第1 章引论1 1 1p m 空间中算子理论发展的历史背景与现状1 1 2 本文主要的研究内容与研究意义3 1 3p m 空间中的预备知识3 第2 章z - p s 空间中一类算子的若干问题6 2 1 z p s 空问的有关概念和结论6 2 2z p s 空间中一类新的不动点定理6 2 3z p s 空间中一类算子方程解的存在性定理1 2 第3 章w m p n 空间中一类算子的若干问题2 0 3 1 基本概念2 0 3 2w m p n 空间中一类算子方程的解2 1 3 3w m p n 空间中有界连续算子的固有值与固有元3 2 致谢4 1 参考文献4 2 攻读学位期间的研究成果4 6 第1 章引论 第1 章引论 概率度量空间简称为p m 一空间，概率赋范线性空间简称为p n 空间本章阐述 了p m 空间中算子理论发展的历史背景与现状以及相关的预备知识并且介绍了本 文所需的基本概念及性质，将要得到的结果和研究意义 1 1p m _ 空间中算子理论发展的历史背景与现状 2 0 世纪初期l e b e s g u e 开创了可列可加测度的积分论，即实变函数论，也称实分 析在此基础上的概率论和随机过程论被称为现代分析复变函数论继续向纵深发展， 形成复分析以函数空间为背景的泛函和算了理论，开始了泛函分析的历程度量空间 的概念也早在1 9 0 6 年就由m f r e c h e t 提出了这个定义的特点是对空间中的任何两 点，都有一个相对应的非负实数，这一非负实数称为这两点之间的距离不容质疑，这 种结构对许多问题的处理是最恰当不过的但是，介于自然界中许多量是随机变量， 例如在测量中随机误差的存在，又如在量子力学中，基本粒子本身可以视为一随机 变量，它们之间的“距离 就不能用一个确切的实数表示所以，在许多场合，用一 个统计量或用概率来描述集合中两点间的“距离”比用一个非负实数更贴合客观事 实正是基于这种考虑，1 9 4 2 年，k m e n g e r 首创概率度量空间( p r o b a b i l i s t i c m e t r i c s p a c e ，简称为p m 空间，原名为统计度量空间s t a t i s t i c a lm e t r i cs p a c e ) 他用一个 分布函数来描述空间中两点间的距离，这样的“距离”通常称为概率距离从此， 一门泛函分析与概率论的边沿学科就应运而生了概率度量空间这一定义被著名的 统计学家a w a l d ，美国著名学者b s c h w e i z e r 与a s k l a r 及前苏联科学院院士 a n s e r s t n e v 所发展，并于1 9 6 4 年形成了p m 空间的最终定义作为赋范空间的 推广，1 9 6 2 年，a n s e r s t n e v 提出了概率赋范线性空间( 简称为p n 空间) 的定义二 十世纪六七十年代，p m 空间理论得到了蓬勃发展1 9 8 3 年，b s c h w e i z e r 与 a s k l a r 出版了在该领域最有影响的专著s e h g a l ，b h a r u c h a r e i d ，b o s c a n ， h a di c 等对概率度量空间的理论及应用，以及概率度量空间中映射的不动点定理及 其迭代逼近等问题均作过某些较为深入的讨论和研究 第1 章引论 在我国，西安交通大学已故数学家游兆永教授最先注意到这一方向1 9 7 9 年，游 先生发表了国内第一篇关于概率度量空间的论文 1 1 1 随后，西安交通大学的龚怀 云教授，四川大学的张石生教授，四川师范大学的丁协平教授等一批学者介入该领 域，他们还陆续指导了一大批研究生从事这方面的研究工作经过二十年的努力， 我国学者在该领域取得了不少深刻而独具特色的成果1 9 7 9 1 9 8 7 年左右，游兆永， 朱林户，龚怀云，郭铁信，林熙等人对p m 空间与p n 空间的基本性质做了大量研究， 诸如拓扑性质、有界性、概率赋范空间上的线性算子、概率内积空间的定义与性质 等在概率度量空间框架下映射的不动点及随机不动点的理论问题中，林熙，张石 生等作了大量的工作特别是张石生，在他1 9 8 4 年出版的专著不动点理论及其应 用中，单独列出了一章讲述“概率度量空间中的映射的不动点原理”，并系统地 介绍了国内外学者的成果此外，林熙、朱林户、郭铁信、朱传喜等对概率度量空 间中的各种问题也作了深入的研究 概率度量空间的不动点理论，是概率度量空间理论研究的重要组成部分由于 通常的度量空间可以看作是概率度量空间极为特殊的情形，所以人们自然要考虑如 何将度量空间中的一些重要不动点定理推广到概率度量空间中去? 随着概率内积空 间定义的引入，有关概率内积空间的研究逐步展开张石生在这方面做了一些卓有 成效的工作2 0 0 1 年肖建中讨论了m e n g e r 概率内积空间的线性拓扑结构，建立了 空间上较为一般的收敛、勾股定理和正交投影定理 1 9 9 5 年，文献 1 3 中建立了z - m - p n 空间，得到了若干不动点定理2 0 0 6 年，随 后在文献 1 4 e 1 5 中建立了新的定理，并引入固有值和固有元的概念2 0 0 8 年，文 献 1 6 在z - p - s 空间中，得到了若干新的不动点定理下面是文献 1 4 中给出的固 有值和固有元的概念： 设( e ，f ，) 是一个m e n g e rp m 空间，dc e ，p d 又设a ：d 呻e 是一个紧连 续算子，g a o 一口若a 是某个实数，x oe d 满足一口且氏( s ) ；氏( s ) ，v s 0 ， 则称a 是a 在d 中的固有值，是a 的属于a 的固有元 同时文献 1 5 得到了非线性算子存在固有值和固有元的一系列充分条件 2 第1 章引论 1 2 本文主要的研究内容与研究意义 众所周知，在赋范空间中，可以利用a p r o p e r 映射拓扑度理论来研究算子所 以人们自然会考虑能否利用a p r o p e r 映射拓扑度理论研究概率度量空间中算予的 理论问题? 本文在前人的理论基础上，利用a p r o p e r 映射拓扑度的基本性质研究 概率度量空间中算子的理论问题： 第一，在z - p - s 空间中，研究了一类算子的不动点的存在性； 第二，在z - p - s 空间中，研究了算子方程的解的存在性； 第三，建立w m - p n 空间，并提出w m p n 空间中固有值与固有元的一个新定义 利用p m - 空间中a p r o p e r 映射拓扑度的基本性质，在投影完备的w m p n 空间中研究 算子方程解的存在性定理和固有值与固有元存在的充分条件 1 3 预备知识 在本文中我们处处用尺表示一切实数所构成的集合，尺+ 表示一切非负实数所 构成的集合 定义1 3 1 【1 7 映射，：尺一r + 称为分布函数，如果它是非减的，左连续的，又满 足下列条件：边! 厂( f ) = o ，s u p f ( t ) 一1 f t = p 用形表示一切分布函数的集合，h ( t ) 表示一特殊分布函数，其定义如下： 一1 0 ，f l t s o 。, 定义1 3 2 【1 7 】概率度量空间( 简称为p m 空间) 是一有序对( e ，f ) ，其中e 是 一个抽象集，f 是ex e 到形的映射( 记分布函数v ( x ，y ) 为c c ，o ) 表示c ，在 te r 的值) ，并且假定e x ，y g e 满足下面条件： ( p m 一1 ) c ，( 0 ) = 0 ； ( p m 一2 ) e 。，o ) = n q ) ，v f r 当且仅当x = y ； ( p m - 3 ) c ，y ( f ) = c 一( f ) ，v f 尺； 3 第1 章引论 ( p m 一4 ) 若c ，瓴) = 1 ，e ，：0 2 ) = 1 则只，：( t l + f 2 ) = 1 ，y x ，y ，z e ，v t ，t 2e r 定义1 3 3 【1 7 】映射：【0 ，1 x o ，1 - - * 0 ，1 】称为三角范数( 简称为t 范数或t 模) ， 如果满足下面的条件，对v a ，b ，c ，d 【0 ，1 】： ( 1 ) ( 口，1 ) 一a ，a ( 0 ，0 ) = 0 ； ( 2 ) ( 口，6 ) 一( 6 ，n ) ； ( a 3 ) a ( c ，d ) a ( a ，6 ) ，当c 之口，d 苫b 时； ( 4 ) a ( a ( a ，6 ) ，c ) = a ( a ，a ( b ，c ) ) ； 三角范数有很多种取法，下面的三个是常用到的而且是最简单的t 范数： a 1 ：a 1 ( 口，6 ) ；m a x a + 6 1 ，o 2 ：a 2 ( 口，6 ) = a b a 3 ：a 3 ( 口，6 ) 一m i n a ，6 】_ 定义1 3 4 1 7 】m e n g e r 概率度量空间( 简称为m p m 空间) 是一三元组 怛，) ，其中( e ，f ) 是一p m - 空间，是t - 范数，而且满足下面的m e n g e r 广义不等 式： ( p m 一5 ) 对魄，y ，z e e ，t l ，t 2 e r ，有c ，：o ，+ f 2 ) ( e ，y 瓴) ，c ，：0 2 ) ) ； 定义1 3 5 【1 7 】m e n g e r 概率赋范线性空间( 简称为m p n 空间) 是一三元组 ( e ，f ，) ，其中e 是一个实线性空间，f 是e 到w 的映射( 记为分布函数f o ) 为 九，( f ) 表示丘在f r 的值) ，满足下列条件： ( p n 一1 ) ( o ) 一0 ； ( p n - 2 ) l ( t ) = 圩o ) ，v t 尺当且仅当x 一0 ( 其中p 表e 中零元) ； 佃m 3 埘任意实数 0 小从却5 ( p n - 4 ) 对任意的工，y e ，t ，t 2 尺，如果l ( t ，) = l f , q ：) ；1 ，则 六。( f 1 + f 2 ) n 1 ； ( p n 5 ) 对任意的x ，y e 以及一切f 1 ，t 2 尺+ ，有 无+ ，o ，+ f ：) a ( l ( t ，) ，厂y ( f ：) ) 4 第1 章引论 定义1 3 6 【1 8 称( e ，f ，) 是一个投影完备的m e n g e rp n 空间( 其中t 范数是 连续的) ，如果满足下列条件： ( 1 ) 存在e 的一串有限维子空间以o = 1 ，2 ，) ，并存在从e 到以的投影算子 q 伽一1 2 ) ，q ：e 呻以是线性有界算子，满足q 陋) = ，幺2 - q ； ( 2 ) 对任何的石e ，有! 受气一( f ) = 日o ) ，v t o ； ( 3 ) ( ，f ，) 是一个m e n g e rp n 空间； 引理1 3 1 【1 8 】a p r o p e r 映射的广义拓扑度d e g ( f ，q ，p ) 具有下列性质： ( 1 ) d e g ( 1 ，q ，p ) ；1 , v p q ，其中，表恒等算子； ( 2 ) 若d e g ( f ，q ，p ) _ o 】，则方程f ( x ) 一p 在q 内有解； ( 3 ) 同伦不变性：设连续h ：1 0 ，1 x q 呻e ，并且对每个固定的t e o ，1 1 ， 何( f ，) ：q e 是a 。p r o p e r 映射，牒，l 呻，i m 。i n ff n t ，力一h ) 0 ) = 日 ) ，v s 0 ，设 p 弓t h , ( o q ) ，0 墨f s l ，这里向o ) = n ( t ，x ) ，贝t j d e g ，q ，p ) 一d e g ( h o ，q ，p ) ，v o ts 1 5 第2 章z - p s 空间中一类算子的若1 二问题 第2 章z p s 空间中一类算子的若干问题 自从z - p - s 空间这一定义在文献【1 5 】中被提出后，相应的得出了许多新的不动 点定理，但大多是在紧连续算子的情形下得到的本章利用文献【1 8 】中概率度量空间 中a p r o p e r 映射拓扑度的基本性质，研究算子的不动点问题和算子方程解的存在性 定理，得到了一些新的结果同时，推广了一些重要结论 2 1z - p - s 空间的有关概念和结论 z p s 空间是2 0 0 6 年由朱传喜教授在文献【1 5 】中提出的本节给出这章所需要 的一些基本概念和引理 定义2 1 1 【1 5 】如果m p n 空间( e ，f ，a ) 满足_ t y u 条件： ( c 1 ) e 是实数集r 上的代数，即对任意的x ，y e e ，存在x y 使得 1 ) e 对乘法封闭，即v x ，y e e ，有工y e e ； 2 ) v a e r ，v x ，y e e ，( a ) 。y = x 。( 掣) = a ( x y ) ； ( c 2 ) e 中没有幂零元，即v x e e ，v ne n ，x 4 = 0 营z ；0 ， 则称e 为z p s 空间 在z p s 空间e 中，记善z 点一工4 ，其中x e ，咒为自然数 一。幂一 定义2 1 2 【1 9 】设x 为线性空间，acx ，称a 为凸的，如果对于任何 x ，y e a ，k ，y 】c a ，( i x ，y 】= t x + 0 - t ) y o s ts q ) 引理2 1 1 2 0 如果0 a o ， 则4 在d 中必有不动点 证明根据条件化) ，a 在o d 上没有不动点，即血一工，v x o d 作 j l l ，0 ) ：石一t a x ，z 万，f 【0 ，1 】，下面证明，p 萑j l l ，( 0 1 9 ) ，t e o ，1 】事实上，假设 o e h ，( 0 1 9 ) ，则存在f oe o ，1 】，x o a d ，使得 0 = x o t o a x o ( 2 2 1 ) 则气一0 ( 否则，若f oa 0 ， ( 2 2 1 ) 式为x o = oe d ，这与e o d 矛盾) ， t 。1 ( 否则，若f o 一1 ，( 2 2 1 ) 式为x 。一血o ，工oe o d ，与血- x , v x o d 矛盾) ， 故0 o 即厶( 南加厶( 南) ( 2 2 3 ) 因为，0 ，又但，f ，) 是一个z - p s 空间，x o “一0 又因为l o 形，则l 是非减的，根据( 2 2 3 ) 式得到： 南s 南，c s 0 , 0 o ，坛d ， 所以六址( ，一) ( s ) 1 一a ( v a o , t - t o ) ， 7 第2 章z p s 空间中一类算子的若干问题 那么i 神n f 正驰一川觯) ( j ) 1 一a o t o ) 根据a 的任意性，；卣一l i m 。i n ff h , ( ，卜 。( ，) ( s ) l i - l ( s ) ，v s 0 ，v x e d 又因为h ， ) 一z t a x ，x e d ，t 【0 1 】是一个a - p r o p e r 映射，根据3 礅 1 s l e 0a - p r o p e r 映射广义拓扑度的同伦不变性可知， d e g ( i - a ，d ，口) = d e g ( ，d ，口) = 1 因此，a 在d 中必有不动点，使得血。；x 。 定理2 2 2 设陋，) 是一个投影完备的z - p - s 空间，d 是e 中的一个有界开 集，o e d a ( t ，f ) 乏t , t c o ，1 】又设a ：d _ e 是有界连续映射，且对于任意的 t 【0 ，1 】，一t a 是一个a - p r o p e r 映射，k ( a ，t 0 ：( o d ( 0 ，1 ) - q + o o ) 是一个函数，同 时满足下列条件： ( k ) 脚，卢州。( s ) ，o ) ，n e n ，v x e o d ，s o ， 则4 在d 中必有不动点 证明根据条件( k ) ，a 在a d 上没有不动点，即a x 工，垤0 1 ) 作 吃 ) = 工一t a x ，x e d ，t 【o 川，下面证明，口诺 。( 0 1 9 ) ，t e o ，1 】事实上，假设 8 九，( 帕) ，则存在t o i o , l l ，x o a d ，使得 0s 工。一t o a x o ( 2 2 4 ) 如上易证f o - 0 且f o ，l1 ，故0 o ， 即厶面薪咖厶( 札 q 2 石) 因为一0 ，又但，f ，) 是一个z - p s 空间，有一0 又因为。形，则正。是非减的，根据( 2 2 6 ) 式得到： 8 第2 章z p s 空间中一类算子的若干问题 否瓦薪s 文o 0 ，o “。 1 ，由于此不等式的左 边小于1 ，右边等于1 ，所以导出矛盾因此口喏j l l ，( a d ) ，v t 【0 ，1 】 因为h ， ) = x t a x ，x d ，t 【0 ，1 】是一个a p r o p e r 映射，且如上易证i i l 。o ) 满 j , 黾一l i m 。i 。n ff h , ( ，w ，= 日( s ) ，v s o 根据文献 1 8 1 e ea p r o p e r 映射广义拓扑度的同伦不变性可知， d e g ( i 一彳，d ，p ) = d e g ( i ，d ，口) = 1 因此，a 在d 中必有不动点屯，使得血2 一艺 定理2 2 3 设( e ，f ，) 是一个投影完备的z p s 空间，d 是e 中的一个有界开 集，oe d a ( t ，t ) 乏t , t 【0 ，1 】又设a ：d e 是有界连续映射，且对于任意的 t 【0 ，1 】，i t a 是一个a - p r o p e r 映射，k ( a ，) ：( 0 ，1 ) ( 0 ，1 ) 呻( 1 , + o o ) 是一个函数，同 时满足下列条件： ( k ) x ( 。，卢+ ，r o ) a 广0 ) ，n e n ，y x e a d ，j o ， 则a 在d 中必有不动点 证明仿照定理2 2 2 的证明过程可得结论成立 定理2 2 4 设陋，f ，) 是一个投影完备的z p s 空间，d 是e 中的一个非空开 凸子集，a ( t ，t ) t , ts o ，1 】又设a ：d e 是有界连续映射，且对于任意的 te o ，1 】，一纠是一个a - p r o p e r 映射，k ( a ，声) ：( 0 , 1 ) ( 0 , 1 ) - g + ) 是一个函数，而 0 d 且存在非零元素c l 。d ，同时满足下列条件： k 出，) - o ) o ，其中 a 卜l 0 】，则a 在d 中必有不动点 证明根据条件( e ) ，a 在徊上没有不动点，即a x z ，v x eo d 作 h ， ) 一o + a 肛o ) 一f ( h + a 肛o ) ，x e d ，t 【0 ，1 】 下面证明，口喏j i l ，( a d ) ，te e o ，1 】事实上，假设o e h ，( a d ) ，则存在 t o 【0 ，1 】，x o o d ， 使7 4 0 = ( x o + a o ) - t o ( a x o + a 肛o ) ( 2 2 7 ) 9 第2 章z p s 空间中一类算子的若干问题 则f o - 0 ( 否则，若f o 一0 ，( 2 2 7 ) 式为一一础o ，由于d 是凸集，og d ， p o6 d ，a 【一l o 】，有( 1 + a 妒+ ( 一础o ) d ，因此x oe d ，这与ea d 矛盾) ， t o _ 1 ( 否则，若f o = 1 ，( 2 2 7 ) 式为- a x o ，eo d ，与出工，v x 8 1 ) 矛盾) 故0 t o o ， 因为+ 舡o ，0 ，又但，f ，a ) 是一个z - p - s 空间，有 o + 础。) “一0 因为厂( + ) ，则厂( + 讥) 是非减的，根据( 2 2 1 0 ) 式得到 j l s 0 , 0 t o 1 ) i 丽p ( 1 一t o n ) 这与0 一t o ) “ 1 - t o ”g 2 , 0 一。n + 砜r i 毒历) ，厅，魄曲，s o ， 其中a 卜1 ，o 】，0 占_ 1 则彳在d 中必有不动点 证明根据条件( k ) ，a 在0 1 ) 上没有不动点，即a x x ，v x6 o d 作 h ， ) 一 + a j c o ) 一f ( 彳x + 九o ) ，z6 d ，te o ，1 】 下面证明，日喏办，( 0 1 9 ) ，t e o ，1 】事实上，假设口j l l ，( a d ) ，则存在 t oe o ，1 】，z o 0 1 ) ， 使? 4o = o + a p o ) 一f o ( a x o + a o ) ( 2 2 1 2 ) 贝, l j t o 一0 ( 否则，若f o = 0 ，( 2 2 1 2 ) 式为工。一一a o ，由于d 是i l 集，口d ， o d ，a 【一1 ，0 】，有( 1 + a ) 臼+ ( 一和o ) e d ，因此6 d ，这与x o6 0 d 矛盾) ， t o ，1 ( 否则，若f o - 1 ，( 2 2 1 2 ) 式为一a x o ，z o 徊，与血x ，v l 徊矛盾) ， 故0 ( 1 - e ) 二k _ ( a 一, f 1 ) ，o 0 ，0 o 根据文献【1 8 】中a - p r o p e r 映射广义拓扑度的同伦不变性可知， d e g u - a ，d ，0 ) = d e g ( t + 础o ，d ，0 ) ( 2 2 1 5 ) 由于d 是凸集，o e d ，o e d ，k - l o 】，有( 1 + a 妒+ ( 一础。) d ，所以 d e g ( i + a o ，d ，0 ) = 1 由( 2 2 1 5 ) 式戋id e g ( 1 - a ，d ，0 ) 一1 因此，a 在d 中必有不动点黾，使得如- 毛 注1 用定理2 2 4 的证明方法可以类似证明下面的定理2 2 6 成立 定理2 2 6 设( e ，f ，a ) 是一个投影完备的z p s 空间，d 是e 中的一个非空开 凸子集，o ，t ) t , te o ，1 】又设a ：d _ e 是有界连续映射，且对于任意的 te 0 ，1 】，一t a 是一个a p r o p e r 映射，k ( a ，声) ：( 0 ，+ 0 0 ) x ( 0 ，+ o o ) 呻( o ，1 ) 是一个函数， 而0e d 且存在非零元素z 。e d ，同时满足下列条件： ( k ) 正血+ 砒r ( k ( 口，卢必) f 0 - , x , + 砜ro ) ，n e n ，v x e o d ，s o ， 其中a 卜l o l ，0 l , k e 0 ，1 】，f ( 0 ，1 ) 时，下列不等式成立： ( 七+ 旦) 2 4 ( 1 一竺) 2 “2 一+ 七2 n 力1 fz 证明z 拿f ( z ) ； + 譬) 2 一一( 1 一鲁) 2 4 知一七h ，其中厅之1 ，j lzl ，七【o ，1 】，f ( o ，1 ) 第2 章z p s 空间中一类算子的若t 问题 ，+ ( ) 一，( 肛) t 2 n ( k t + 丝t ) h - l 一2 ，l 肛孙一1 ( 1 一生t ) 知一呈竺t 笔= 【( 丝t + 1 ) 2 一( f 一七) 2 4 】 o -。-_ 于是f ( ) 是n + ) 上的严格单增函数 当肛1 时，有f ) f ( 1 ) = + 7 1 ) 2 一一0 7 k ) 抽一七h 要证f ( ) o ，只需证 + ! ) h ( 1 - 生) ：一+ 七h ( 2 3 1 ) tt 下面用数学归纳法证明当甩= 1 时，显然成立 假设当甩。_ ，l 时，有( 七+ 兰) z m ( 1 - 生) 抽+ 七z 一成立 tt 那么当r r a m + 1 时，有 + 7 1 ) 2 m + 2 ( 七+ 7 1 ) 2 ( 1 7 kj - 2 m + + 7 1 ) 2 七抽， 只需证 + 7 1 ) 2 ( 1 一一k 2 m + + 7 1 ) 2 后加 0 7 k ) 2 m + 2 + 七加+ 2 即可 而 + 7 1 ) 2 ( 1 7 kj 2 m + + 1 拥一( 1 7 k ) 一p 2 = 【( 七+ 詈) 2 一( 1 7 k ) 2 】( 1 7 k j 2 m + 【( 七+ 7 1 ) 2 一七2 弘2 “ 一了4 k + ( 1 一确咕一1 ) 】( 1 一争2 ”+ ( 等+ 砉2 ” o 因此， + 兰) 抽+ ： ( 1 一生) z m + ：+ 七2 艉“从而( 2 3 1 ) 式成立 tt 于是，( 肛) 0 ，即( 七+ 丝) h o - ! ) 知2 一+ k 孙，甩1 tt 定理2 3 1 设陋，f ，a ) 是一个投影完备的z p s 空间，d 是e 中的一个有界开 集，oe d a ( t ，f ) f ，f 0 ，1 又设a ：一d _ e 是有界连续映射，且对于任意的 f o ，1 】，一t a 是一个a p r o p e r 映射，同时满足下列条件： ( x ) h + 叙) z ( s ) 肛一胁) ：+ ( h ) ：( s ) ，v x o d ，l ，苫】，七【o ，1 1 ，s o ， 则算子方程触；p x 在万中必有解 证明可设出五城o d ，“21 ( 否则定理已获证、 第2 章z p s 空间中一类算子的若干问题 作红o ) = x - -