（运筹学与控制论专业论文）奇异系统的干扰解耦.pdf

原创，眭声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本人完 全意识到本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：孟! 垒日期：丝堕：互：三j 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：j 主l 幺导师签名： 3 5 1 f 山东大学硕士学位论文 奇异系统的干扰解耦 王莹 ( 山东大学数学与系统科学学院，济南，2 5 0 1 0 0 ) 中文摘要 奇异系统是动态系统的一般描述形式，是比正常状态空间系统更为一般的系统，奇 异系统最早是由r o s e n b r o c k 在研究电网络时提出来的，它具有许多独特的不同于正常状 态空间系统的性质，奇异系统不仅具有微分方程所描述的动态约束，并且具有代数方程 所描述的静态约束，比起仅含有动态变量的正常状态空间系统来说，用它来描述的物理 系统更具有广泛性 本文主要讨论奇异系统的干扰解耦问题，干扰解耦问题是控制理论与工程应用中的 一个经典问题，干扰解耦问题可以这样描述：对于一个带有干扰输入的系统，设计一个 状态反馈控制器，使闭环系统的输出与干扰无关，即使输出与干扰之间的传递函数恒为 零，并且闭环内稳定正常状态空间的干扰解耦问题已经取得了相当完善的结果就线性 系统而言，自从m o r g a n 在1 9 6 4 年提出这个问题以来，人们已经利用几何方法及频域方 法做了许多研究工作，得到了通过状态反馈实现闭环干扰解耦且保证闭环内稳定的良好 结果但这些工作的一个共同缺点是给出的算法缺乏数值稳定性2 0 0 1 年，d e l i nc h u 利用矩阵柬的正交相抵给出了经状态反馈实现线性系统干扰解耦的充分必要条件，并且 设计了控制器，所给出的算法具有良好的数值稳定性这是线性系统干扰解耦问题的一 个新的突破对于奇异系统的干扰解耦问题，虽然也有文献用几何方法讨论过，但未得 到闭环的内稳定性，更缺乏一个数值稳定的算法 本文利用矩阵束的克罗内克尔形讨论线性奇异系统的干扰解耦问题得到了通过状 态反馈实现干扰解耦的充分必要条件，所设计的状态反馈控制器保证了闭环系统无脉冲 模，内稳定，实现干扰解耦且算法稳定文中首先给出了控制一状态对的一个特定坐标 变换，指出了在此变换下，奇异系统的干扰解耦问题等价于某个低阶正常状态空间系统 的干扰解耦问题，然后在正常状态空间线性系统的框架下，利用矩阵束的克罗内克尔型 给出了系统的一个压缩型( c o n d e n s e df o r m ) ，在此压缩型下讨论系统干扰解耦问题，给 出了通过状态反馈实现干扰解耦且保证闭环内稳定的充分必要条件，而且在证明过程中 构造性给出了状态反馈控制器的一族解 本文所考察的线性奇异系统为： 山东大学硕士学位论文 e ：三日a x z + + b 。u 。+ + g g l 。d d c ， 其中z 兄“为状态变量，“r p 为控制输入信号，d 印为外部干扰信号，2 r m 为 系统输出； e ，a r n “，b 卯。p ，h r m ：g 】r n x q ，g 2f t 1 r m x q r o 礼k e = r 亿 考察上述系统经状态反馈实现干扰解耦，且保证闭环无脉冲模，内稳定的问题讨 论过程中本文所用方法的特色是： ( 1 ) 控制一状态对的满秩变换针对问题需要，构造了一个特殊的控制一状态对的满 秩变换，使得上述系统的干扰解耦问题可以等价于一个低阶正常状态空间系统的干扰解 耦问题 ( 2 ) 矩阵束的正交相抵理论及由此引申出来的一个压缩型( c o n d e n s e df o r m ) ( 3 ) 关于干扰解耦所得闭环的内稳定性的一个基于秩条件新的证明 本文主要结果为文中定理2 3 ，定理2 4 ，定理3 3 及定理3 4 其中定理2 3 ，及定理 2 4 讨沦奇异系统的干扰解耦问题与一个低阶正常状态空间系统的干扰解耦等价的可能 性，给出实现等价的充要条件定理3 3 及定理3 4 讨论经状态反馈实现干扰解耦且保 证闭环无脉冲模，内稳定的充要条件，及控制器设计方法本文所设计的控制器具有以 下特点：( 1 ) 算法基于矩阵束的正交相抵，具有较好的数值稳定性；( 2 ) 控制器具有可调 的参数，便于应用中的调整 关键字：奇异系统，干扰解耦，正交矩阵，压缩型，稳定性 2 山东大学硕士学位论文 d i s t u r b a n c ed e c o u p l i n gf o rs i n g u l a rs y s t e m s y i n gw a n g ( s c h o o lo fm a t h e m a t i c sa n ds y s t e ms c i e n c e s h a n d o n gu n i v e r s i t y ) a b s t r a c t t h es i n g u l a rs y s t e mi n c l u d e sd y n a m i cv a r i a b l e ，f u r t h e r m o r e ，s t a t i cc o n s t r a i n ta n d i m p u l s i x ec o m p o n e n t ，s ot h ep h y s i c a ls y s t e md e s c r i b e db yi ti sm o r ec o m p r e h e n s i v et h a n b 3 t h es t a n d a r ds t a t es p a c es y s t e mw i t hd y n a m i cv a r i a b l ea l o n e t h ec l a s s i c a ld i s t u r b a n c ed e c o u p l i n gp r o b l e mi st od e t e r m i n eas t a t ef e e d b a c kc o n - t r o l l e rs u c ht h a tt h et r a n s f e rf u n c t i o ni s z e r o a d d i t i o n a l l y o n eh l a vr e q u i r et h a tt h e c l o s e d l o o ps y s t e mi si m p u l s e f r e ea n ds t a b l e i nt h ec a s eo ft h es t a n d a r ds t a t es p a c e s y s t e m ，t h e r eh a v eb e e nq u i t ep e r f e c tr e s u l t sa b o u ti t s i n c et h ep r o b l e mf o rl i n e a rs y s t e mi s p u tf o r w a r db 5 m o r g a ni n1 9 6 4 ，g e o m e t r i ca p p r o a c ha n df r e q u e n c ya p p r o a c ht o t h ed i s t u r b a n c ed e c o u p l i n gp r o b l e mw i t hs t a b i l i t yh a v eb e e no b t a i n e d ，b u tan u m e r i c a l l y i m p l e m e n t a b l ea l g e b r a i ca p p r o a c hh a sn o tb e e ne s t a b l i s h e d ，i n2 0 0 1 ，as y s t e m a t i cn e w w a x + o fd i s t u r b a n c ed e c o u p l i n gp r o b l e m sf o rl i n e a rt i m ei n v a r i a n ts i n g u l a rs y s t e m sb ya m a t r i xp e n c i la p p r o a c hi s p r e s e n t e db yd e l i nc h um o r e o v e r ，t h ea l g e b r a i cs t a b i l i t yi s s u e h a sb e e nc o n s i d e r e d f o rt h ed i s t u r b a n c ed e c o u p l i n gp r o b l e mw i t h o u ts t a b i l i t yt h eg e o m e t r i ct h e o r yi sa l s od i s c u s s e df o rt h es i n g u l a rs y s t e m s ) h o w e v e r ，i td i dn o tg i v ear e l i a b l e c o m p u t a t i o n a lm e t h o dt os o l v et h i sp r o b l e me x p l i c i t l y i nt h i sp a p e r ，t h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n st ot h ed i s t u r b a n c ed e c o u p l i n g p r o b l e mw i t hs t a b i l i t yv i as t a t ef e e d b a c kf o rt h es i n g u l a rs y s t e mi sa c q u i r e db yam a t r i x p e n c i la p p r o a c h i na d d i t i o n ，an u m e r i c a l l yr e l i a b l ea l g o r i t h m sf o rt h ep r o b l e ma r ea d d r e s s e db yu s i n go r t h o g o n a it r a n s f o r m a t i o n s a tf i r s t ，t h es i n g u l a rs y s t e mi st r a n s l a t e d i n t ot h es t a n d a r ds t a t es p a c es y s t e mb yan o n s i n g u l a rc o n t r o l s t a t et r a n s f o r mm a t r i xp t h ed i s t u r b a n c ed e c o u p l i n gp r o b l e mf o rt h es i n g u l a rs y s t e mi se q u a lt ot h ed i s t u r b a n c e d e c o u p l i n gp r o b l e m f o rt h es m a l l e rd e m i s s i o ns t a n d a r ds t a t es p a c es y s t e mp r o v e db yt h e - o r e m2 4 t h e nu n d e rt h ei n f e r i o rd i m e n s i o ns t a n d a r ds t a t es p a c es y s t e m ，a l lr e s u l t sa r e p r o v e dc o n s t r u c t i v e l yb a s e d o nc o n d e n s e df o r mt h a tc a nb ec o m p u t e db yo r t h o g o n a lm a - t r i xt r a n s f o r m a t i o n s t h ep r o b l e mc a nb ec o m p u t e di nan u m e r i c a l l ys t a b l ew a yb a s e d o nt h i sf o r m m o r e o v e r w eg i v et h e n e c e s s a r ya n ds n f f i c i e n tc o n d i t i o n ss a r i s 句i n gt h a tt h e c l o s e d l o o ps y s t e mi si m p u l s e f r e e ，s t a b l ea n dd i s t u r b a n c ed e c o u p l i n g ，a n da l s o ，w eg e t t h ee x i s t e n c eo ft h es t a t ef e e d b a c kc o n t r o l l e rk d u r i n gt h ee x p l i c i tp r o o f o ft h e o r e m3 3 3 山东大学硕士学位论文 c o n s i d e rt h ef o l l o w i n gl i n e a rt i m e - i n v a r i a n ts i n g u l a rs y s t e m ： e ：三a x z + + b 。u 。+ + g g i ：d d c ， h e r ej r “i st h es t a t e “r pi st h ec o n t r o li n p u t ，d r qi st h ed i s t u r b a n c e ，z r mi s t h eo u t p u t ；e 4 r “。“b r “。p ，h r m 。“，g 1 r “。q ，g 2 r m 煳，r a n k e = r n t h ed i s t u r b a n c ed e c o u p l i n gp r o b l e mw i t hs t a b i l i t ya n di m p u l s e f r e ef o rt h es y s t e m 、i at l l es t a t ef e e d b a c ki sc o n s i d e r e d t h ec h a r a c t e r i s t i c so ft h i sp a p e ri nt h ep r o o fa r e t h a t ： f1 1t t i ef u l ir a n kt r a n s f o r m a t i o n sb e t w e e nc o n t r o la n ds t a t ea r ee s t a b l i s h e d ，t ot h e d i s t u r b a n c ed e c o u p l i n gp r o b l e m ，w ed e s i g naf u l lr a n kt r a n s f o r m a t i o nb e t w e e nc o n t r o l a n ds t a t ei no r d e rt om a k et h ed i s t u r b a n c ed e c o u p l i n gp r o b l e mf o rt h es i n g u l a rs y s t e m e q u a lt o t i l ed i s t m b a n c ed e c o u p l i n gp r o b l e mf o rt h es m a l l e rd i l n e n s i o ns t a n d a r ds t a t e s p a c es y s t e n l ( 2 ) t h eo r t h o g o n a it r a n s f o r m a t i o n st h e o r e mo ft h e m a t r i xp e n c i la r eu s e da n da c o n d e n s e df o r n lf l - o n lk r o n e c k e rc a n o n i c a lf o r mi sg o t ( 3 ) a n e wp r o o fb a s e do nt h er a n kc o n d i t i o nt ot h es t a b i l i t yo f t h ec l o s e d l o o ps y s t e m i s a c q u i r e d t h em a i nr e s u l t so ft h ep a p e ra r et h e o r e m2 3 t h e o r e m2 4 ，t h e o r e m3 3a n dt h e o r e m 34 w h e r et h et h e o r e m2 3a n dt h e o r e m2 4d e r i v et h ee q u i x a l e n c eb e t w e e nt i l es i n g u l a r s ys t e ma n dt h es m a l l e rd e m i s s i o n s t a n d a r ds t a t es p a c es y s t m n ，t h et h e o r e m3 3a n dt h e o r e n l3 4a t t a i nt i l en e c e s s a r ya n ds u 伍c i e n tc o n d i t i o n so ft h es y s t e mv i as t a t ef e e d b a c k s u c ht h a tt h ec l o s e d l o o ps y s t e mi si m p u l s e f l e e ，s t a b l ea n dd i s t u r b a n c ed e c o u p l i n g i n a d d i t i o nw ed e s i g nt h es t a t ef e e d b a c kc o n t r o l l e rw h i c hh a sc h a r a c t e r sa sf o l l o w i n g ：( 1 ) t h ep io b l e mc a l lb ec o m p u t e di nan u m e r i c a l l ys t a b l ew a yb e c a u s eo ft h eo r t h o g o n a l t r a n s f o r m a t i o nt h e o r e mo ft h em a t r i xp e n c i l ( 2 ) t h ef r e e d o mo ft h ep a r a m e t e r so ft h e s t a t ef e e d b a c kc o n t r o l l e rl e a d st ot h ef a c tt h a tt h ep r a c t i c a li m p l e m e n t a t i o no fo u rr e s u l t i sm u c he a s i e r k e yw o r d s ：s i n g u l a rs y s t e m s ，d i s t u r b a n c ed e c o u p l i n g ，o r t h o g o n a lm a t r i x ，c o n d e n s e df o f m s t a b i l i t y 4 山东大学硕士学位论文 第一节前言 奇异系统( 又称广义状态空间系统，描述系统，微分代数系统，半状态系统) 是动态系 统的一般描述形式，是比正常状态空间系统更为一般的系统，奇异系统最早是由r o s e n b r o c k 在研究电网络时提出来的，它具有许多独特的不同于正常状态空间系统的性质，系 统不仅具有微分方程所描述的动态约束，并且具有代数方程所描述的静态约束，因而比 起仅含有动态约束的正常状态空间系统来说，用它来描述的物理系统更具有一般性 由于奇异系统的以上特性，近三十年来，对奇异系统的研究也就显得十分活跃正常 状态空间系统中的许多理论和结果被推广到奇异系统，但是，也正是因为奇异系统本身 的结构特性，处理正常状态空间系统的许多方法和手段在奇异系统中不能被直接利用， 需要发展并提出新的设计方法 本文主要讨论奇异系统的干扰解耦问题干扰解耦问题是控制理论与工程应用中的 一个经典问题，干扰解耦问题可以这样描述：对于一个带有干扰输入的系统，设计一个 状态反馈控制器，使闭环系统的输出与干扰无关，即使得输出与干扰之间的传递函数恒 为零，并且闭环内稳定正常状态空间系统的干扰解耦问题早在二十世纪七十年代就已 经取得了相当完善的结果就线性系统而言，这个问题最早是由m o r g a n 在1 9 6 4 年提出 来的吼7 0 年代以来，对于线性系统的干扰解耦问题，m o r s e ，w o n h a m 等用几何方法 a i l o n ，r a k o w s k i 等用频域方法】研究这个问题但是这些文献共同的缺点是给出 的算法缺乏良好的数值稳定性2 0 0 1 年，d e l i nc h u 利用矩阵束的正交相抵得到了经 状态反馈实现线性系统的干扰解耦的充要条件j ，并且设计了控制器，所给出的算法具 有良好的数值稳定性这是线性系统干扰解耦问题的一个新的突破但缺陷是未能给出 闭环稳定性的完整证明 由于奇异系统本身的结构特性，特别是静态约束所带来的系统状态轨线的脉冲特性， 因此与正常状态空间线性系统有着重大差别，尤其是脉冲成分的存在给奇异系统干扰解 耦问题的研究带来了很大的困难尽管如此，由于许多实际系统，例如电网络系统，机器 人机械臂控制系统，以及动态投入产出经济模型，都可以归结为奇异系统，这样在实际问 题需求的推动下，奇异系统问题在近年亦取得相当进展1 9 8 9 年，f l e t c h e r 和a s a r a a i 利用几何方法获得了奇异系统干扰解耦的充分必要条件，但未能得到闭环内稳定的结果 ，并且亦未能建立一个稳定的数值算法1 1 4 j d e l i nc h u 给出的利用矩阵束理论解决线性系 统的干扰解耦问题的方法，启迪了用该理论解决奇异系统干扰解耦问题的想法本文首先 论证了在控制一状态对的一个满秩变换下，奇异系统的干扰解耦问题可解和某个低阶正 常状态空间系统的干扰解耦问题可解之间的一个等价关系，然后在正常状态空间线性系 统的框架下，利用文2 1 中矩阵束的克罗内克尔形计算了系统的一个压缩型( c o n d e n s e d 5 山东大学硕士学位论文 f o r m ) 并在此压缩型下获得了经状态反馈实现干扰解耦，且闭环内稳定的充要条件，本 文着重论证了闭环系统的内稳定，同时给出了状态反馈控制器的一族解由于系统的压 缩型的计算及控制器的获得是借助于矩阵束的正交相抵运算，因此算法具有良好的数值 稳定眭，最后，对于所讨论的线性奇异系统，由于其干扰解耦问题可解等价于上述正常 状态空间系统的干扰解耦问题可解，并且，两者的实现干扰解耦的控制器之间存在某种 转换关系因此，奇异系统的干扰解耦问题即获解决 本文的组织分为五节：第二节叙述问题的背景，通过控制状态对的满秩变换：肾奇异 系统的干扰解耦问题可解等价转化为正常状态空间系统的干扰解耦问题可解；第三节利 用文2 1 给出的系统的压缩型，论证了系统干扰解耦问题有解的充要条件并给出控制器 的数值稳定算法；第四节是一个说明性的算例；第五节是结语 符号说明：符号r a n k 。阻( s ) 表示多项式矩阵a 的一般秩r n 他如阻( s ) j = r 是指 a ( s ) 中至少存在一个维数为r r 的子式不恒等于零，而所有维数大于r r 的子式均 恒等于零符号r a w , k 4 ( s ) 1 表示多项式矩阵a ( s ) 的标准秩，r a n k a ( s ) = ，是指( s ) 各阶子式中其值恒不为零的子式的最高阶数为r 符号( ) 7 表示矩阵( ) 的转置，符号c ( = r + 则分别表示复平面和闭右半复平面 6 山东大学硕士学位论文 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 一一一。 考虑线性奇异系统 在状态反馈 第二节 2 1 问题描述及转化 问题描述 = a x + b u + g l d = 日z + d u + g 2 d u = z 下的干扰解耦问题，其中。r ”为状态变量， u 彤为控制输入，d r a 为外部 干扰，z 兄“为系统输出； e ，a 脚“，e 降秩，r a n k e ：r n ，b r n p ，h r m 。”，g 1 兄”。4 ，g 2 r m 。口兄p 。“ 本文所讨论的问题可以这样描述，对于系统( 1 ) ，要求寻找状态反馈( 2 ) 使f 1 ) 经状 态反馈( 2 ) 构成的闭环系统无脉冲模，内稳定且实现干扰解耦，即闭环的输出：与干扰 d 之间的传递函数g ：d ( s ) 满足： g ：d ( s ) = ( 日+ d k ) ( s e a b k ) 一1 g l + g 2 = 0f 3 ) 亦即输出不受干扰的影响 定义2 1 ( 1 ) 称 e ，a i 为无脉冲模的，若 d e g r e e d e t ( s e a ) ) = r a n k e( 4 1 ( 2 ) 称陋，a b 为脉冲能控的，若存在矩阵k ，使得 d e g r e e d e t ( s e a + b k ) = r a n k e( 5 ) ( 3 ) 称 e ，4 b 为r 一能稳的，若 r a n k s e ab 】_ n v s e +f 6 1 本文的目的是： 1 寻求实现干扰解耦的充要条件 2 设计状态反馈控制器，使之与系 统( 1 ) 构成的闭环实现： ( 1 ) 无脉冲模，( 2 ) 内稳定，( 3 ) 干扰解耦 7 山东大学硕士学位论文 2 2 问题转化 巳知r a n k e = 7 r a n k n 1 s 豆l l a 1 1 + 秀1 2 豆壶a 3 1 s 岛l 一五2 1 + 秀2 2 雪壶a 3 1 r a n k 0 n 君1 2 ( j 一直壶岛。) 豆。2 ( f 一豆麦雷3 z ) o 曼亢l + 元2 v s e + ( 8 9 ) r a n k ( i p 一，d 一雪壶亩3 2 ) = ( p r d ) 一元3 s e l l a 1 1 s 易l a 2 i s e l l a 儿 s e 2 1 一a 2 ： 一a 3 l a 3 l 口1 2 b 2 2 口3 2 k o 1 【廖壶a 。- 一。一百刍雪。：j ，f 厶。 竹帆2 l 鼓j 。 ( 9 0 ) 2 元l 十元2 + 佩3 + 几1 + ( ( p r d ) 一亢3 ) 一( 佗l + 一r d ) ) = 元1 + 宄2 ， v 5 e + ( 9 1 ) 联合( 8 9 ) ( 9 1 1 即知 r。nmss豆eul：1一五a2l：l一直-12亩-刍+a-seub 她b a 2 a 3 a 1 ： 1 此即式( 8 8 ) 成立以下找最2 ，晟。使得式( 8 6 ) 成立。由定理的充分性假设( 1 ) 及弓| 理2 1 知 r ：r o 几k s j a 豆l l j = r a n k ls ，一a = r a n k l s i 注意到d 。- 非奇异，故上式即 + 2 7 。”。i 一直l d o l l oo j s j a 豆1 豆2 i v s e +( 9 2 ) ! n n n 七n凸r = d r p +n ，【 一 1，j 弛 一日 + 驼 一b 0 “一 + 一csv 2 _ n+ _ 兕 = 1，j 、)、) 弛 观 一b 一日 + + s ； 一b 日 一 一f ， ，【j【 垤 弛 一口一日 豆 一b 山东大学硕士学位论文 亦即 s e l l a l l s e 2 1 一a 2 1 一4 3 1 0 0 s e l l 一, 4 i t s e 2 i a 2 1 一a 3 l 0 b lb 1b 2i d 1 l 00 1 兰岛0 岛0 ：】f 0 ； 一d 1 1 ll j i s e l 2 一a 1 2s e l 3 一a 1 3 s e 2 2 一a 2 2 s e 2 3 一a 2 3 s e a 2 一a 3 2 s e 3 3 一a 3 3 s e 4 2 一a 4 2s e , 1 3 一a 4 3 s e l 2 一a 1 2 s e 2 2 一a 2 2 s e 3 2 一a 3 2 s e 4 2 一a 4 2 上式导致 r a ，z t 言3 1 。s 。e 曩a 。2 - a a 。3 ，2 联系到豆3 2 行满秩，故有 0 一a 5 3 b 1 lb 1 2 b 2 lb 2 2 b 3 lb 3 2 b 4 1 0 00 v s c + ( 9 3 ) = 宄l + 而2 + 艽3 + f i 4 。， v s e 寸 ( 9 4 ) v s c +( 9 5 ) 0 2 = 磊。+ 磊t ，v s e + ( 。s ) 上式表征矩阵三元组c 象： ， a a ”4 2 ， b 鱼3 。1 繁2 ，r 谨稳 毙鼠 7 非 奇异，故必, n n np l z ，最2 存在，使得矩阵对 c 皇i ， 差薹 + 耋：雩2 是： ， 的有限特征根全部落在左半平面，亦即式( 8 6 ) 成立 至此，我们已确证存在z ，矗2 ，忌2 使得式( 8 6 ) ，( 8 7 ) 成立，亦即系统( 6 0 ) 经状态反 馈( 6 1 ) 实现干扰解耦并使闭环内稳定式( 6 1 ) 中的k 可按以下步骤计算：1 ) 用m a t l a b 计算z ，r 2 及局2 i2 ) 取r 。= 0 ，并按( 7 8 ) 计算是1 ；3 ) 按( 8 0 ) 计算k ，其中f 1 3 ，b 3 可 任意选取定理证毕 定理3 3 及其证明指出了问题p t 可解的充要条件及干扰解耦控制器的设计方法前 2 5 a 。 一一日 一鼠订一 盯一 u 嘶 = l i 一礅+堍 = 1，j ， 一玩0 一玩一反 ：如盈 一 一 2 2岛反 s s ，l 帆 山东大学硕士学位论文 已提及，干扰解耦问题p 等价于问题p 4 ，并且p 的干扰解耦控制器( 2 ) 的反馈阵k 与 p “的干扰解耦控制器( 6 1 ) 的反馈阵霞之间存在如下关系： k = fk 琏l _ 1 ( 9 7 ) 式中_ 如( 8 ) 所示， 蟛保证a 2 2 + b 2 j 砭非奇异，并且满足秩条件( 2 6 ) 归结上述结 果，有： 定理3 4 奇异系统( 1 ) 经状态反馈( 2 ) 实现于扰鼹耦，并使闭环无脉冲模，内稳 定的充要条件为： ( 1 ) 系统脉冲能控且r _ 宥b 稳 ( 2 ) 式( 6 4 ) 一( 7 0 ) 成立 若上述充要条件被满足，则干扰解耦控制器的反馈阵可按式( 9 7 ) 设计 2 6 山东大学硕士学位论文 考察下述奇异系统 经状态反馈 的干扰解耦问题式中 b = 1o 0 1 0o oo 0o oo 第四节算例 e ：三日a x z + + b 。u + + g g l 。d d 00o o 1ooo 11o o 0l00 oooo oo00 411 6 224 o 621 一o812 120 o01 = k z 4 = 一2o0068 033oo一2 1 60o 40 6一o 8一o 2 1 202 2 一o 8 一o6 1 4 1o0o2o 011o1o 日= i 1。138281118 2 8 4 4 ：篇7 0 7 1 3 113 1 卜= j 一0 l 熟知，必存在非奇异矩阵m ，使得 m e ：l 厶ol j 00 j 式中 m = ， n = 1o00 0 o o一111o o oo110 0 o001oo ooo o10 00o 0 01 铋 山东大学硕士学位论文 因而 j _ 1 1 ，4 、 b 一20oo一68 030002 16 0o41一o 80 2 12o 一2230 61 4 1o0o2o 010010 411 6 224 0621 0812 12o o0l m g l 4 2 0 0 2 0 112 8 2 8 42 1 2 1 333 删2 l 1 12 8 2 8 42 1 2 1 311 j l 一 1l 显然，系统( i ) 受限系统等价( r s e ) 于下述系统 式中 荔t x 芝l - 1 - a 篡1 2 x 2 亲+ b l u 拶+ g r i d 一2000 o一30o 一1 6oo 41 1202 23 垴= b 1 取 ；= 一4 2 0 6 一o 8 22 11 01 一l1 6 24 21 12 6 o 一0 8 0 6 8 2 0 2 1 4 ”卜- 1 4 1 4 2 。1 艘4 1 。4 纠2 耻0 ) 吼= 使得a ；：= a z 。+ b ：蟛= ； 也- = 卜i 蚓 岛= = 2 0 蹴觞非奇异且弼满足 山东大学硕士学位论文 秩条件 r a n k 2 2b 2g 1 2 一i ；i p 0 c 2 d g 2 设文中式( 2 4 ) 取p 计算p ，得 = r a n k 20 l 120 i 2 10 l 0 01l0 22 l 100 l 0 11 1 010 l 0 0-1l001 l 0 33 f 00 2 f 2 11 l 00 2 i 2 一a 苏1 岛l k 2 , 4 2 2 1 8 2 + 昂l 耻 兰01p12=1 兰蚓愚= 做状态一控制对的满秩变换 经计算得 z l z 2 珏 d i ，0 0 p 1 1 0 忍1 00 00 p 1 2 0 b 2 0 0 i q z l z 2 “ d 一2 0 1一l 051 = n + p r = a p 2 2 = x 1 p 1 1 孔+ p 1 2 豇 易i 孟2 + 马2 五 d ：。b z p 2 。1 ；： 2 如。 _ 。b - p = 【a t 。豆- = 01 i 一2 l0i 一1 0 0 0 00 1 0 31 0o 0 80 6 0 6 一o 8 q 。 尸= 岛。 = 二。；：二。 34 2 111 0 51o 粝酬 f p 山东大学硕士学位论文 于是系统i ) 经控制一状态对的满秩变换转换为下述系统 式中 ff 1 = ( - 1 1 一a 1 2 a 2l ) z l + _ 日1 豇( g t l a t 2 g 1 2 ) d 。= ( c l c 2 a 2 1 ) z 1 + d ( l + ( g 2 一c j g l 2 ) d i 毒2 = 一4 2 l x l 一g 1 2 d 一21 13 160 1 。20 r 一，l 002 8 2 8 4 _ l 。2 h 2 1 _ 【o o2 ，8 2 8 4 简写系统( i ”) 为 式中 00 0o o 41 2 2 3 翟1 3 ， g 。也。g 1 2 ： 2 。1 2 1 3i f 叠l = a z l + 后面+ g d 一一 i z = h x l + d i 一2 1oo 一130o 一1 60o 41 1 202 23 弛28284：121002 8 2 8 41 2 1 3 3f ，肚。一2 1 一 作正交阵0 1 ，j 使得 b = 耻旧7 0 7 1 ：7 0 7 7 0 7 17 0 7 1 1 ， ” io 0 1 “d t i = f 一23 1 1oo 0o 8o 6 00 6 一o ，8 ( 讹) 西= 二， 2 3一l 一1o 0 0o 8o 6 00 6 0 8 。= 二。 00 1 o1o 一100 ( u ) 1i一 0 0 0 0 n 0 1 l = 1，l_ 0 0一巩0 山东大学硕士学位论文 直。岛 _ 廖k = 1 f 0l 一0 6 i o 8i 据引理3 2 ，计算正交矩阵阢v 得 则 32 o1 o 8o 0 6o 100o0 o10o0 oo0 80 60 0 0一o60 8o oo001 礼1 5 官一a ：【，( s ，一2 ) v ：? 2 n 3 n 4 r d e = 式中 n 1 后。岛17 2 o0l 2 礼3 。 礼d r d e 1 le 1 2 e 2 le 2 2 0 e 3 2 0 肠2 = u 1 b = ：； v = 1 5 70 l 7 7 2 s + 21 |0 0 l 1s + 3 10 0 l 20 lo 8 s + 1 - 0 6 s + 1 | 00 1 0 6 s + 20 8 s + 3 l 00 j 00 1 p 一 b 1 1b 1 2 b 2 lb 2 2 b a l b a 2 b 4 1 0 00 璺o 1y ：恤 氆0 jl 0 10 0 01 1 0 0 0 1 0 8 0 0io 6 h 1 2 一 昱2 2 0 0 - 0 6 0 8 1 i 32 o1 1o 0 o 0 1 00 u g = 鼠3 0 0 1 00 lo 凰3j 【o o j 4 3 j oj r d o o 14 1 4 2 g l 0 0 0 0 0 】v = 访， _ 厶10 元1 + 而2 = n l 。2 ，r d2 1 -。，【 u 山东大学硕士学位论文 并且 r a n k r a n k s e l l 一al lb 1 2g l s e 2 1 一a 2 1b 2 0 0 - a 3 1b 3 2 0 s e i i a 1 l s e 2 l a 2 l a 3 l b i z b 2 2 一 b 3 2 = r n n 疗 = r a n 尤 s + 21l 1s + 3 l 20 l s + 2l 32 1s + 3101 20 1 10 2i4 1 l 0 0 1 0 = 元1 + 而2 + f i 3 = 3 v s c = 而1 + 而2 + 艽3 = 3 v s e + 上述关系式表明，系统( u ) 满足定理3 3 所述的充要条件以下设计控制器 u = k x ( v i ) 以使得系统( ) 经控制器( v i ) 作用实现干扰解耦，并使闭环内稳定计算矗- ，扇1 ，r 。扇。 推得 f 1 1 = 10 耻 蚓 l0 0l 10 及 ，1 鼍e r a u 一2 搬f 2 i ：l 蚪2 。1i - 2 1 v。eanke +r l 一一一一l = r o n 托ll = z ， v su i s 如1 一a 2 1 一日2 2 f 2 l ll 4s + 2 l m l8 e 3 ：卅3 z b 3 1 2 一，z f 2 2i ：嘲1 0 8 8 + 1 _ 0 6 8i ：2 ，v s e + m 眺i一，一一d ，一一扁2i 叫鲫81 0 6 + l08se4a b 4 i 6 s8 s + 3i “ 扎 i 2 4 2 一f 1 2 ii + l+ i 以上两式表明。蟊l ，r 。及扇。满足文中关系式( 8 5 ) ，( 8 6 ) ，故按文中式( 8 0 ) 构造露： k = 31 20 00 10 01 10 并由此得到干扰解耦的控制器( 训