（概率论与数理统计专业论文）基于boxcox变换的gamma模型.pdf

ag a m m am o d e lb a s e do nb o x c o x t r a n s f o r m a t i o n at h e s i s s u b m i t t e di np a r t i a lf u l f i l l m e n to ft h er e q u i r e m e n t f o rt h em s d e g r e ei nn a t u r a ls c i e n c e b y c a o y u z h a n g p o s t g r a d u a t ep r o g r a m s c h o o lo fm a t h e m a t i c sa n ds t a t i s t i c s c e n t r a lc h i n an o r m a lu n i v e r s i t y s u p e r v i s o r ：z h a oh u i a c a d e m i ct i t l e ：a s s o c i a t ep r o f e s s o r s i 印丝! z ! 丕心 a p r i l 2 0 1 1 硕士学位论交 m a s t e r st h e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名： 曹五本 日期：洲f 年广月i ；日 学位论文版权使用授权书 学位论文作者完全了解华中师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：研 究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属华中师范大学。学校有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许学位论文被查阅和借阅： 学校可以公布学位论文的全部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手 段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后遵守此规定) 保密论文注释：本学位论文属于保密，在年解密后适用本授权书。 非保密论文注释：本学位论文不属于保密范围，适用本授权书。 作者签名：曹玉璋 日期：t t 年f 月l b 日 导师娩币i 7 日期：如t 年歹月i 日 本人已经认真阅读“c a l l s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库 中全文发布，并可按“章程 中的 规定享受相关权益。 作者签名：曹玉 日期：2 ，u 年岁月f 1 ) 日日期：工。l 、年岁月眵日 = ： 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 中文摘要 在统计分析过程中，建立数学模型是一项十分重要的研究任务，如气象学家要 根据日降水量、大气压、风速的数学模型来预测天气；地震学家更需要建立一个包 括人口、污染、历年地震时间的数学模型，为人类的安全和社会的发展做出贡献。 我们通常对多指标的数据集应用回归分析的方法来建立模型。但是，对单变量的分 析，往往因很多不确定性因素，我们需要对数据拟合概率分布，从而可以对该变量 进行较深入的统计推断，如自然界及工程技术中的许多计数型随机变量服从p o i s s o n 分布；许多电子产品的寿命服从指数分布；在地震序列的有序性、地震发生率的齐 次性、计数特征具有独立增量和平稳增量情况下，我们可以导出地震发生i 次时间 的概率密度为g a m m a 密度函数。此外在建模过程中，原始数据不一定能与某种分 布吻合，此时可以对数据进行线性或非线性变换，对变换后的数据来拟合某种分布。 本文针对关于梦的不同程度的频数表，对年龄变量做b o x c o x 变换，拟合出 g a m m a 分布。第二章给出了解决参数点估计的两种理论方法：两步估计法、均匀 布点法。这两种方法相互弥补，基本上可以求出所有参数的估计值。第三章给出在 和互的相合性和渐进正态性及理论证明。第四章对表( 1 ) 中的数据进行分析，利用第 二章中的两种方法分别求出f 值和口、旯的估计值。此外，4 3 利用回归的思想方法， 得到口、a 的粗糙估计值。我们将三种方法的估计值记录在表( 5 ) ，结果证实表( 1 ) 中 数据基于b o x c o x 变换后可以建立g a m m a 模型。 关键词：g a m m a 分布；b o x c o x 变换；极大似然估计；两步估计；均匀布点法 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s a b s t r a c t d u r i n gs t a t i s t i c a la n a l y s i sp r o c e s s ，e s t a b l i s h i n gam a t h e m a t i c a lm o d e li sa ni m p o r t a n t r e s e a r c ht a s k f o re x a m p l e ，m e t e o r o l o g i s t se s t a b l i s ha c o m p l i c a t e dm o d e lc o n s i s t i n go f d a i l yr a i n f a l l ，a t m o s p h e r i cp r e s s u r ea n dw i n ds p e e dt of o r e c a s tw e a t h e r ；t om a k ea c o n t r i b u t i o nf o rh u m a ns e c u r i t ya n d s o c i a l d e v e l o p m e n t ，s e i s m o l o g i s t s a r em o r e r e s p o n s i b l ea n de a g e rt os e tu pam a t h e m a t i c a lm o d e lc o n t a i n i n gp o p u l a t i o n ，p o l l u t i o n ， r e c o r d e dt i m e w eu s u a l l ya p p l yt h em e t h o do fr e g r e s s i o nf o rd a t as e t sw i t hm a n y i n d e x t oe s t a b l i s ham o d e l h o w e v e r , a c c o r d i n gt om u c hu n c e r t a i n t yo f u n i v a r i a t eo raf e wo f i n d e x ，t h ed a t a s e ts h o u l db ef i t t e dt oap r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o nf o rs t a t i s t i c a li n f e r e n c e f o ri n s t a n c e ，m a n yk i n d so fc o u n t i n gr a n d o mv a r i a b l e s i nt h en a t u r ef i e l da n d e n g i n e e r i n gf i e l df o l l o wa p p r o x i m a t e l yp o i s s o nd i s t r i b u t i o n ；t h eg a m m ad i s t r i b u t i o n o f f e r sag o o df i tt ot i m eo ft h ei - t h h a p p e n e de a r t h q u a k eu n d e rc o n d i t i o n so ft h e e a r t h q u a k es e q u e n c ew i t ho r d e r l i n e s s ，h o m o g e n e i t ya n dc o u n t i n gw i t hi n d e p e n d e n ta n d s t a t i o n a r yi n c r e m e n t a lf e a t u r e s d u r i n gm o d e l i n g ，w eo f t e nd e a ld a t aw i t hl i n e a ro r n o n l i n e a rt r a n s f o r m a t i o n s t h i sp a p e rc o n d u c t sas t a t i s t i c a la n a l y s i sa b o u tt h ed i f f e r e n td r e a ml e v e l so fs t u d e n t s b a s e do nt h ef r e q u e n c yt a b l e ，w em a k eab o x c o xt r a n s f o r m a t i o nt ot h e a g ev a r i a b l ea n d t h e ne m p l o yag a m m ad i s t r i b u t i o nt om o d e lt h et r a n s f o r m e dv a i l a b l e c h a p t e r2g i v e s t w ok i n d so fm e t h o d sa b o u th o wt os e e kf o rm a x i m u ml i k e l i h o o de s t i m a t e s ，s u c ha s t w o s t a g ee s t i m a t ea n dt h em e t h o do fd i s t r i b u t i n gp o i n t su n i f o r m l y b o t hs u p p l e m e n t e a c ho t h e ra n dc a ns o l v ea l m o s ta l l l o g l i k e l i h o o df u n c t i o n s c h a p t e r3d i s c u s s e s c o n s i s t e n c ya n da s y m p t o t i cn o r m a l i t y , a n dg i v e st h e o r yp r o o f c h a p t e r4s h o w st h a t p a r a m e t e r se s t i m a t e sa r ew o r k e do u tt h r o u g ht h ea b o v em e t h o d sf r o mc h a p t e r2 b e s i d e s w ec a na l s og e tt 1 1 ee s t i m a t e so ft h r e ep a r a m e t e r sb y u s i n gr e g r e s s i o ni n4 3 w er e c o r d t h er e s u l t so ft h et h r e em e t h o d st o g e t h e ra n dc o n f i r mt h a ta g a m m am o d e li sap e r f e c tf i t t od a t ai nt a b l elb a s e do nb o x c o xt r a n s f o r m a t i o n k e yw o r d s ：g a m m ad i s t r i b u t i o n ；b o x - c o xt r a n s f o r m a t i o n ；m a x i m u ml i k e l i h o o d e s t i m a t e ；t w o s t a g ee s t i m a t e ；u n i f o r md i s t r i b u t e dp o i n t 中文摘要 目录 a b s t r a c t 第一章引言 i i l 1 1 研究背景及现状1 1 2 准备知识2 1 2 1g a m m a 分布2 1 2 2b o x - c o x 变换3 1 3 本文研究概述3 第二章参数的点估计5 2 1 两步估计法。5 2 2 均匀布点法。9 第三章估计量的性质。 第四章实例分析1 3 4 1 两步估计算法14 4 2 均匀布点算法15 4 3 同归分析算法15 第五章小结与展望1 8 附录。1 9 参考文献2 0 致谢2 2 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第一章引言 1 1 研究背景及现状 众所周知，g a m m a 分布在可靠性、生存分析中有着极为重要的地位并得到广 泛的应用【l 】。在流行病学中，g a m m a 分布也是一种常见的分布，常被用于拟合时间 延迟分布，包括感染至发病、发病至入院、入院至出院以及入院至死亡的时间延迟 分布，如蔡全才( 2 0 0 5 ) 就中国内地s a r s 爆发资料分析，发现s a r s 潜伏期服从 g a m m a ( 2 1 ，2 3 3 ) 分布，潜伏期均值和方差的估计值分别为4 8 9 ( 9 5 c i4 4 3 5 3 5 ) 和 1 1 4 0 天2 ，9 5 的病人感染s a r s c o v 后将在1 1 4 2 天内发病【2 1 。在地震学中，若 在地震序列具有有序性、地震发生率具有齐次性、计数特征具有独立平稳增量 的情况下，则我们可以导出地震发生f 次时间的概率密度为g a m m a 密度函数 1 3 1 。在水文学中，d a s ( 1 9 5 5 ) 和s t e p h e n s o n ( 1 9 9 9 ) 都利用某区域的日降水量、a s h k a r 与b o b e e ( 1 9 8 8 ) 年da k s o y ( 2 0 0 0 ) 对水文学中数据集，建立了与g a m m a 分布相关的模 型1 4 , 5 , 6 , 7 1 。最近的一些文章中，k o ，b u r g e ，n a r d e l l 和t h o m p s o n ( 2 0 0 1 ) 在研究社会动荡 引起的事故和风险时指出g a m m a 模型很好的拟合在社区医院等候室所花的时间数 据【8 1 ；m a x i m ( 2 0 0 6 ) 发现：植物中产生的绿色素和石油焦的碳纤维的浓度服从 g a m m a 分布1 9 1 。可见，g a m m a 分布在许多领域有着极其重要的地位。 表( 1 ) 中数据来源于m a x w e l l ( 1 9 6 1 p 7 0 - 7 2 ) ，他利用y a t e s ( 1 9 4 8 ) 中的方法得到 p e a r s o nz 2 的分解式。m a x w e l l 针对2 3 3 名中小学生的做梦情况进行5 4 列联表分 析，将学生的年龄划分为五个区间段，对做梦的严重程度分为四个等级：正常、较 轻、较重、非常严重；他还发现一种结果：做梦的程度越严重，学生越容易做梦。 j a n e l d e r ( 1 9 7 2 p 3 7 8 3 8 0 ) 对表( 1 ) 数据建立了有交互作用的方差分析模型，分 别拟合出年龄、梦的程度的主效应，以及在固定主效应的条件下，利用协变量( 频数) 对年龄和程度拟合出双线性负交互效应( 0 2 0 5 ) ，即做梦的程度随年龄的增大而降 低。 根据表( 1 ) 中的数据，我们得到图( 3 ) 中的三组频数直方图。由年龄区间及直方图， ： 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 我们猜测年龄变量服从g a m m a 分布，结果证实猜测是合理的。 表( 1 ：关于萝的不同程岛的擞表 箩啊广里崔匿 年龄区间 非常严重较重鞍轻 正常 总计 5 773472 1 8 91 31 l1 51 04 9 1 0 1 l7l l92 35 0 1 2 1 31 01 292 85 9 1 4 1 53453 2 4 4 总计 4 04 l4 21 0 02 2 3 1 2 准备知识 1 2 16 a m 唧a 分布 假设随机变量】，g a m m a ( y ；a ，a ) ，则其密度函数为 f ( y ；a , 2 ) = 高p 啼 其中口 。、旯 。分别代表形状参数和尺度参数。记普赛函数、壬，( 口) = ；等，其中 r ) 2 f j ，口_ 1 e - y 方，口 o 。 根据心理学的相关知识，我们可以将参数解释为：a 决定d r e a m 的强度( r a t e ) ，口决 定d r e a m 的严重程度( 1 e v e l ) 。即固定旯时，口越大表示梦越严重；固定口，旯越大 表示单位时间内做梦的次数越多。 王文军( 1 9 8 7 ) 巧妙的发现：若假设变量】，g a m m a ( y ；a ，允) ，其尺度参数6 = 1 2 等于随机变量及其对数的协方差值即b = c o v ( y ，l o g j ，) ，而且可以构造出其尺度参数 2 ： 硕士学位论文 m a s 丁e r st h e s l s 的自协方差估计量i = y l o g y 一一y l o g y ；此估计量计算简便、比矩法有效得多，非 常接近极大似然法。 1 2 2b o x - c o x 变换 在实际处理中，为了使数据有良好的解释性，或者为了使其接近一个理想的分 布，我们可能要对数据进行预处理，对处理后的数据进行建模、统计分析以及预测 控制。由于数据的线性变换只改变原点和度量单位，而不改变数据的分布形状，在 很多时候并不能够满足我们的要求，所以有时需要采用一些非线性变换。b o x 和 c o x ( 1 9 6 4 ) 提出了一种变换： f ，一1 y ( r ) 一j ，t 0 “ l l 。t gx ，f ：0 在数据进行变换时，值不值得、如何变换的问题自然的被提出来。通常，我们 会通过某个统计准则来对变换前后的数据作比较。b o x c o x 变换的优势在于对选择 变换的问题给出了一个系统化的处理方法，把寻找变换的问题转化为一个参数，的 估计问题。在建立回归模型时，我们常对数据进行诊断，通过对变量进行上述变换 使其满足一定的分布假设。实践证明，这种变换对许多实际数据都是行之有效的， 它可以明显地改善数据的正态性，对称性和方差相等性。本文针对g a m m a 模型， 采用如下修改了的b o x c o x 变换： x ( f ) ：jx t ，f 0( 1 ) 【l o g 工，f = 0 1 3 本文研究概述 假设变量x ( ) g a m m a ( x ( ；口，力) ，引进参数r 。本文第二章给出了参数点估计 的两种方法： 2 1 利用两步估计法，首先将对数似然函数中的t 看成已知值，分别对对数似然 函数关于口和五求导，从而可得到g a m m a 分布中两个参数口、旯估计量，此时估 计量都是关于t 的一元函数；再把这两个估计量代入原对数似然函数，我们发现新 对数似然函数是关于t 的一元函数，利用散点图法我们可以粗略估计出参数r ；最后， 硕士学位论交 m a s t e r st h e s i s 我们可得到参数f 、口及允估计值。此外，我还利用蒙特卡洛法产生服从g a m m a 分布的随机数，进行估计参数f 、口及a ，散点图( 1 ) 和表( 2 ) 证实了通过两步估计法 求t 值、在和互表达式的合理性。假定t 已知，变量x 经过确定的b o x c o x 变换 】，= x ( ) 满足y g a m m a ( y ；口，旯) ，我们知道对对数似然函数进行求导，无法得到 参数口和a 的显示解，而只能通过循环迭代得数值近似解。 2 2 介绍了一种基于均匀布点的思想求极大似然解的方法：对每维参数设计一 个初始区间，这样就有一个初始的长方体，在这个长方体里采用均匀布点，也就是 按均匀分布随机取一定比例的点，计算每个点的似然函数值，再选似然函数值最大 的那个点为中心，缩小搜索范围，在它周围继续按均匀分布来取点，计算似然函数 值，等等迭代下去，至收敛为止。实际上，我们将三个未知参数看做三个因素、求 极大似然估计值看似寻找三个因素在不同水平下的最佳组合。这种方法通过计算机 进行简单的迭代求出极大似然估计值，避免了前方法复杂的求导和推导。 实际上，两步估计法和均匀布点法都来源于极大似然法的思想。 第三章给出2 1 中& 和互的相合性和渐近正态性，互的渐近无偏性，以及简单 的理论证明。 第四章对表( 1 ) 中的数据进行实证分析：首先假设变量( 年龄) 服从g a m m a 分布， 对其密度函数做变换( 见附录) ，由散点图( 2 ) 发现年龄对g a m m a 分布的吻合度较差： 于是，我们对年龄数据进行b o x - c o x 变换，引进参数，通过第二章中的两种方法 分别求出t 值和口、旯的估计值。此外，4 3 再次利用回归的思想方法，得到口、旯的 估计值。我们将三种方法的结果记录在表( 5 ) ，发现估计值较接近，也证实表( 1 ) 中 数据经过b o x - c o x 变换后的确可以拟合成g a m m a 分布。 4 2 1 两步估计法 第二章参数的点估计 第一步，假设随机变量x l ，x 2 ，以经过b o x c o x 变换后y = x 服从g a m m a 分布( 首先考虑当f 0 时的变换) 。已知样本观测值为而，x 2 ，矗，则似然函数 胤c 咖；” ，= 鱼志粤，a - 1 x i t - ie x p ( - - 孚) ，m 毗翱 。 = a 1 n 而a t n o - a ) ( 墨nx ，t 口一1 ) e x p ( 一孚至x ；) = 一i il 工j c x d i 一一厶工：， 两边同时取对数，并稍加整理得到： ，砧) 圭刀礼g 旯一讹一1 ) 1 0 9 ，一疗l o g f ( 口) 川口_ 1 ) 至1 。酗一孚三o ( 2 ) 对z 分别关于口、旯求偏导数，记甲 ) = ；等，令 g ( 口，力) ：i 兰：珂l 。g 力一行l o g t - n 甲( 口) + 曼l 。g x f 倪 i = l = 甏= 了n a i 兰= 1 王t 根据隐函数组定理，由g ( a ，旯) = h ( a ，旯) = o 可以确定形如口= a f t ) ，a = 旯( r ) 的 隐函数组。对( 3 ) 式稍加处理可以得到，、壬， ) 一o g a + 三墨1 。9 0 ，再结合( 4 ) 式得 f刀i = l 兰：_ 可得： ! 兰而， 1 1i = l 1 ii 甲( 口) - l o g 口2 i 瑚xi 。g x f t - l o g ( 吉三x f t ) 5 硕士学位论丈 m a s l e r st h e s i s 当口 0 时，、王，位) 一l o g a 是连续的严格单调递增函数( 见引理1 ) ，则存在口极 大似然解& = 西( f ) 且满足： 、y ( & ( f ) ) = l 。g 在( f ) + 去墨l 。g 工；一l 。g ( 吉i 参= l x ；)打f = l 刀 由( 4 ) 式可以求出参数a 的极大似然解互：互( f ) = 警尘，最后将& ，互代入( 2 ) 中， 二x ! 此时对数似然函数是关于t 的函数，记为e ( t ) ，进一步假定粤( r ) 在某定义区间内存在 最大值。 砸) 圭，2 & l 。西一& 一1 ) l 。眵一刀l 。萨) + o & 一1 ) 墨l 。既一孚至五。 = 聆研l o 西一1 0 9 t + l o g x + 殖l o 眵一l o 百) 一五i 一拿】 = n 讲l o g & + l o g x t - l o g x + n 1 0 9 t - l o g f ( & ) - l o g x 一翻 一1h 一1 一 其中x 圭二x f ，l o g x 圭一1 l o g x ；。 刀f = l 。”i = l f l ：1 ( 6 ) 式，可得： “f ) = n c 即( & ) + n 1 0 9 t - l o g f ( ) 一l o 黟一】 我们采用对数似然函数极大化的方法，并假定f = 龟，则对( 7 ) 式关于f 求导，得： 掣：耐甲( & ) + ，z 抛匕棚t 1 ，一& 咐) 一& 】 优 f = 畸+ 耐匕) 对( 6 ) 式关于f 求导，得： 变形，可得： & 匕= 鲁+ 面一x t l o g x 口 v f 6 ( 其中甲口：o r _ ( a ) ) d 口 ： 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i $ 越一爱= & 一l o g x 一& 孥 爻 将上式代入( 8 ) 式得到： 由( 9 ) 得到： 一o g ( t ) ：玎( 二1 + & 一l o g x 一& 坐)o t、t x l j a = & ( ) = x t ol o g x t o - x t 0 l o g x t o 互= 互( b ) = ( 如l o g x x t o 一l o g x ) 一 ( 1 0 ) ( 1 1 ) 同理，当，= 0 时，即数据经过对数变换x ( o ) = l o g x ，我们可以得参数估计量的 表达式满足： 、l ，( 西) 一l o g 霞：l o gl o gx l o g l o gx 和要= l o g x 总之，随机变量墨，x 2 ，以经过召锻一c o x 变换后】，= x 7 服从g a m m a 分布， 口、a 的估计量满足： 州川。g 西= 驴- 1 0 9 万和署- l o 将( 1 0 ) 和( 11 ) 式结合( 1 ) 式，我们发现： 口2 x ( t o ) l o g x ( t 。) 一x ( t o ) 1 0 9 x ( ，o ) 互= ，o l o g x ( t o ) 一x ( t o ) 1 0 9 x f o ) 。1 ( 1 0 ) ( 11 ) 实际上，( 1l ) 式与王文军( 1 9 8 7 ) 发现的自协方差估计量【1 0 】一致，也证明白协方差估 计量的合理性。 第二步，为了方便解出t o 值，借用p a i r m a n ( 1 9 5 4 ) 分别给出函数甲和、玉，口的伯努 利级数展开式： 7 ： 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 其中欧拉常数y = o 5 7 7 2 1 5 7 - 2 匕= ( f + o r ) i = 0 j o r d a n ( 1 9 6 0 ) v 。分别给出了函数、王，和甲口的逼近式： 、王，( 口) l o g a 一 1 + 【l 一( 1 1 0 1 ( 2 l a 2 ) ) 口2 】( 6 口) “2 口) 么 l + 1 + 【1 一( 1 5 1 ( 7 a 2 ) ) 口2 ( 3 a ) ( 2 a ) a ( 1 2 ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) ( 1 5 ) 为了验证上述方法的合理性，我们通过产生两组随机数x ( 7 ) g a ( a ，五) ，估计 参数f 、口和旯。 表绍) 参勤盼估计值及均方误差咂潮毅个致强重氦定敦回 汰 ( x ( 扎，4 ) o a ( x ( 2 ) ；0 8 ，3 ) 豳谚星 钟= 5 0 0 0 ，g = 1 0 0 0 )心= 5 0 0 0 ，g = 1 0 0 0 ) 掰颤国 2 0 0 1 3 30 0 3 6 3 7 4 8 60 8 0 0 4 3 4 80 01 4 0 5 2 3 8 名掰甜( 乃 3 9 9 9 9 0 80 0 8 2 5 2 93 0 0 1 9 2 90 0 6 9 9 9 6 0 8 o 1 0 3 0 5 0 7 0 51 01 52 。02 5 囝( 1 ) = z 0 ) n 8 一 、，、， 口+ up = 匿 口+ 口 一 厂 一 = 、， 口 l 甲 o o 价r o 渤寸r o 寸r o 卜寸1 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 因此，通过表( 2 ) e e 的数据和散点图( 1 ) ，我们可以发现利用两步估计法求参数t 值具有应用上的合理性，以及另外两个估计量的表达式也具有一定的科学性。根据 数据实际处理的方便，t 不一定取精确的极大似然估计值，而取它的近似值。 2 2 均匀布点法 均匀设计是2 0 世纪8 0 年代初由方开泰教授和王元院士提出的一种能适应多因 素多水平的试验设计方法。张鹏( 2 0 0 1 ) 提出了基于均匀布点法的全局优化方法，把 实验设计中的均匀设计思想引入优化设计，这是一种将确定性和随机性相互结合的 优化方法。首先，根据均匀设计原理在优化模型的设计变量空间内均匀分布一系列 点；然后，将可行域内的上述系列布点作为优化计算的系列初始点、并选用常规优 化算法，分别开始进行优化计算，得到优化模型的一系列局部最优点；最后，比较 所有局部最优点的最优值。 我们知道实际问题中的数学模型大多为结构复杂、变量维数偏高。若仅仅通过 繁琐的求导方法，即使是2 1 中两步估计法也难以解决所有的最值问题。本文也利 用均匀布点的思想来搜索极大似然估计值，其方法的实施步骤如下： 第一，设计参数的初始可行空间 o = 【a o , b o 】，按照某种均匀布点的思想( 如： 数论思想，最大对称差准则，等等) ，在 o 内均匀布伪个点岛l ，岛； 第二，计算上面伪个点的似然函数值，进行比较，得到似然函数的局部最优点 岛； 第三，通过岛重新构造参数可行空间 l = e l l , b l 】，口l = m a x a o , o l s 冬) ， 二 b l ：m i n b o ，岛+ s 兰) ，这里收缩系数s 为实数，其他小写字母均代表向量； 二 第四，在0 1 内均匀布刀2 个点如1 ，0 2 ，计算并比较似然函数值；按此步骤依 次迭代到第k 次，得到。足，使得b 尼一a 七 0 时，v ( a ) - l o g a 是连续的严格单调递增函数。 证明：由( 1 3 ) 式、圪2 薹( 口) _ 2 o + 口) - 2 出2 吉，所以当口 o 时，l = u一 ( 甲位) - l o g a ) 0 恒成立。再结合v ( a ) 一l o g a 的连续性，结论成立。 引理2 ( 王文军，1 9 8 7 ) 若随机变量x ( ) g a ( a ，a ) ，则 = c o v ( x f ，l o g x ( ) 。 l 根据p r o f i l e 极大似然的思想，若能得到，的极大似然估计f ，则我们可以由( 1 0 ) 式和( 1 1 ) 式( 或( 1 0 ) 并- f l ( 1 f ) ) 分别分别解出口和a 的极大似然估计。于是，我们可以总 结估计量的如下性质： 性质1 设随机变量x ( ) 一g a ( a ，力) ，口 0 ，旯 0 未知，f 0 己知，则口的极大似 然估计是强相合估计，即当刀一时，= x l o g x 一x l o g x 证明：由( 0 6 ) 式得甲( 在( f ) ) 一l o g 在( f ) = l o gj c 。一l o gx 7 。因为当刀一o o 时， l o g x 竺- e l o g x ，x 。! ：鸟凰7 ，l o g x 坠一l o g 及，所以我们有 一i o g x t - l o g 了与el o g x t - l o g 彤= e l 。叮x t l 。g 乜了x t 。 由y = 芋白( 口，允) ，得母= 羞i e i e l o g y = 甲( 口) 一l 。g 旯( 【1 2 】) ，得到 、王，( & ( f ) ) 一l o g 0 ) j ! - 、壬，( a ) 一l o g a ， 再由函数、= f ( a ) - l o g a 是连续的严格单调递增函数( 引理1 ) ，则有当r l 一时， 舀与口。 性质2 设随机变量x ( ) 一g a ( a ，a ) ，a 0 ，a 0 未知，t 0 已知，则 & 2 ilo南渐近地服从正态分布，南)ogxl o g x x 一x 刀l 口i ，口一l j 证明：( 参考文献 1 1 】p 1 2 0 ) 令p = ，旯) ，则p 的极大似然估计满足 痧一口与n ( o ，j 一1 ( 口) ) 。其中j ( 9 ) 为f i s h e r 信息矩阵： 于是 j ( 9 ) = ，一1 ( 口) = 口旯 嘏翟 a a w a 1 ) n ( a w 口 a 2 、壬， 一1 ) ，2 ( 洲 1 1 所以，修正的极大似然估计反的渐近正态分布为 ，丽葫i a 面) 。 性质3 设随机变量x ( ) g a ( a ，旯) ，口 0 ，允 0 未知，t 0 已知，则a 的极大似 然估计是强相合估计，即当刀j 时，互：( 面一了面) _ 1 竺：鸟旯；且岔1 的 无偏估计量为三一。 刀一l 证明：互的相合性可以由毋：等，有等_ 和舀相合性，通过s l u t s k y 定理可 九f以 证之。由引理2 ：_ 1 = c o v ( x ( ，l o g x ( ) ) = e ( x ( ) l o g x ( ) ) 一( 尉( ) ) ( e l o g x ( ) ) ， l e ( 于1 2 - 1 ) = e v ( 7 ) l o g x ( ) 一e ( x ( ) l o g x ( ) ) + ( e z ( ) ) ( e l o g x ( ) ) 一x ( ) 1 0 9 x ( ) = e x ( ) l o g x ( ) 一e ( x ( ) l o g x ( ) ) ) + e ( e l o g x ( ) ) 【以( ) 一义( 7 ) 】) + e ( x ( ) ) e l o g x ( ) 一l o g x ( ) 】) 1 2 一、 卫旯里矛 口哩一丸匕卫a 一 ，。l = e ( x ( ) ) e ( 1 0 9x ( ) ) 一e ( x ( 7 ) 1 0 9x ( 7 ) ) ：e ( x ( f ) e ( 1 。g x ( f ) 一lx e 0 ，名 0 未知，f 0 已知，则 拈( 一x tl o g x _ _ v o g x ) 嘞龇服脏搠栅篆) 。 证明：由性质2 证明盲接可得。 1 3 ： 硕士学位论文 m a s l e r st h e s i s 4 1 两步估计算法 第四章实例分析 在实际应用中，由于求m l e 的计算公式中t 与口交织在一起，造成估计量没有 显式表达式，从而只能寻求数值解法或其他算法。但为了应用中的简便，人们对 b o x - c o x 变换常常选取一个恰当的较为简单的f 值( 比如整数或分数) ，因此我们这 里采用一种两步估计算法：首先根据散点图求出f 的一个近似估计值，然后代入 公式( 1 0 ) 和( 1 1 ) ，求出口和名的估计值。但需要说明的是这样得到的估计值虽然不 再是严格意义上的最大似然估计，但在实际应用中却是合理有效的。 i o n 叩 n q o 够 啦 哗 o “ 嫂 q o n 赡 q o 寸 q 呷 234 523 4 5 图( 2 ) ：e ( t ) 刀f 本文针对青少年做梦的不同程度的数据进行了相关的统计分析，根据生活的背 景知识，我们习惯性地将年龄区间划分为：【5 ，8 ) ，【8 ，1 0 ) ，【1 0 ，1 2 ) ，【1 2 ，1 4 ) ，【1 4 ，1 6 ) ， 1 4 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 再分别取区间的中点毛= 6 5 ，x 2 = 9 ，吻= 1 1 ，确= 1 3 ，x 5 = 1 5 ，由在四种程度下不同年 龄区间出现的频数，通过两步估计法求出，、口及a 的估计值( 见表( 5 ) ) 。 由图( 2 ) 可知 = 2 ，2 = 4 ，7 3 = 1 5 ，并且图( 2 ) 与图( 4 ) 中四组散点图对照比较，可 以发现表( 1 ) 前三组年龄数据经b o x c o x 变换后对g a m m a 模型的拟合程度较好，然 而第四组数据却没有这一特性。 4 2 均匀布点算法 由( 2 ) 式e ( a ，允，f ) ，我们选择未知参数的初始可行空间及初始点，以及a = 0 0 0 5 ， j = 0 6 ，咒l = 3 0 0 0 ，力2 = 3 0 0 如下表： 表0 ) ：三种程度对圈的爱型曲参数初蛤设计 毂三绷参曼的翩始可行空问 丰鼋严重3s 啦s 5 , 0 0 2s 丑0 0 4 ，1 2 l 蔓3 较重 1 兰钧蔓3 , 0 0 0 0 0 5 局s0 0 0 0 2 5 , 3 _ t 2 5 5 鞍轻 7 哟1 0 ，0 1 5 冬如0 5 5 ，0 5 - t 3 2 5 通过过2 2 方法，我们得到三组极大似然估计表( 5 ) ，即为表( 1 ) 中的前三组数据建立 了g a m m a 模型。 4 3 回归分析算法 当汜知，p ( x 纶焉x ( t ) a t - 1 e x p ( 一触 1 ，简记p ( x 协p 川一1 2 3 ，4 ，5 ) ， l o g 胪l o g 币2 a ，( a - 1 ) l o g x ；f ) 叫山g 等却- 1 ) 1 0 9 参叫x 络卅) 。 记第f 个年龄区间中的观测数为z ，第i 个年龄区间的长度为i ，通过频数与组 1 5 、 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 距的比值等于频率，来估计随机变量的概率密度：p ( x i ) = 鲁。 。g 等礼g 等叫x 搿一x t ) ) + ( a - 1 ) l o g 参，其中等= 每车磬 记川。g 百f + i _ 删卅呐礼g 参，根撕- 2 f 2 = 4 f 3 乩5 将都) 整 理如下表： 裹( 4 ) ：表( 1 旌癌唾 m x lx 2y 2x lx 2均川x 2 l o g ( 1 3 1 7 ) 1 9 40 6 5 0 8 b g ( 1 1 3 ) 1 1 9 413 0 1 7 b g ( 1 5 ；4 ) 6 9 50 4 8 8 1 b g ( t y l 3 ) 2 00 4 0 1 3 l o g ( 1 1 n 1 ) 2 0 2 0 0 8 0 2 7 】| 。惑9 n 5 ) 6 3 20 3 0 1 0 1 0 6 , ( 1 0 1 7 ) 2 40 3 3 4 1 o g ( 1 2 , t l1 ) 3 4 8 00 6 6 8 2 o g ( g s 9 ) 6 9 30 2 5 0 6 l o g ( 3 , t l o ) 2 80 2 8 6 2 o 贰4 n 2 ) 5 5 1 60 5 7 2 4 l o g ( s t 9 ) 7 4 80 2 1 4 7 表( 5 ) ：估计量的比较 、方苦 f lq丑2鲍屯f 3钝如 参露 两步估计 2 ：4