（理论物理专业论文）近金属表面里德堡氢原子与锂原子的动力学研究.pdf

摘要 近年来，近金属表面的里德堡原子体系是又一个备受关注的重要的理论模 型，同时也是一个实验上可以实现和测定的系统。在此模型中原子与金属表面 间的距离和体系的能量对里德堡原子的性质起关键性作用。 在本文中，运用相空间分析的方法和闭合轨道理论方法，以近金属表面h 里德堡原子体系为基本模型，研究了l i 原子体系和外场下的近金属表面h 原子 的动力学行为，主要进行了以下几个方面的工作： ( 1 ) 给出近金属表面里德堡原子体系的理论模型和物理图像，并描述体系 的标度性质等。 ( 2 ) 选取距离一千个玻尔半径，作出氢和锂原子的p o i n c a r 6 截面，并用它 来描述局限于三维能壳中的经典运动，可以发现近金属表面里德堡原子体系的 动力学性质敏感地依赖于能量。同时通过p o i n c a r 6 截面，寻找出锂的原子实对 其体系的影响。 ( 3 ) 让体系处于一个沿z 方向的外场下，同样选取距离为一千个玻尔半径， 通过对h 的p o i n c a r 6 截面分析发现其体系的动力学行为不仅敏感依赖能量参数， 还敏感的依赖外场强度参数。 ( 4 ) 利用闭合轨道方法给出h 和l i 的部分周期轨道。通过比较氢和锂的轨 道寻找出原子实的散射对周期轨道的影响。 关键词：里德堡原子；p o i n c a r 6 截面；混沌；外场；闭合轨道理论；周期轨 道理论 a b s t r a c t r e c e n t l ym u c ha t t e n t i o ni sf o c u s e do nt h em o t i o no fr y d b e r ga t o md e a l a m e t a l b e c a u s ei ti sa n o t h e ri m p o r t a n tt h e o r e t i c a lm o d e la n di tc o u l dp r o d u c e e a s u r a b l ee x p e r i m e n t a le f f e c t i nt h i sm o d e lt h ea t o m w a l ld i s t a n c ea n de n e r g yo f s y s t e mp l a yac r i t i c a lr o l ei nt h ed y n a m i c a lp r o p e r t i e so f t h es y s t e m i nt h i sp a p e r , t h ed y n a m i c a lp r o p e r t i e so fr y d b e r gh y d r o g e na t o ma n dl i t h i u m a t o mn e a ram e t a ls u r f a c ea r es t u d i e db yu s i n go ft h em e t h o d so fp h a s es p a c e a n a l y s i sa n dc l o s e d o r b i tt h e o r y t h em a i nw o r ki sg i v e na sf e l l o w ( 1 ) t h et h e o r e t i c a lm o d e la n dt h ep h y s i c a lp i c t u r eo ft h er y d b e r ga t o mn e a ra m e t a ls u r f a c e a r ei si n t r o d u c e d ，a n dt h es c a l e dp r o p e r t yo ft h es y s t e mi sd e s c r i b e d ( 2 ) t h ea t o m - w a l ld i s t a n c ei s10 0 0b o h rr a d i u s ，a n dp o i n c a r dm a p so fr y d b e r g h y d r o g e na t o ma n dl i t h i u ma t o ma r ep l o t t e d i t sf o u n dt h a tt h ed y n a m i c a lb e h a v i o r o ft h e s y s t e md e p e n ds e n s i t i v e l y o ne n e r g y t h r o u g hc o m p a r i n gt h ep o i n c a r d s e c t i o n so fr y d b e r gh y d r o g e na t o ma n dl i t h i u ma t o m ，t h ee f f e c to ft h ea t o m sr e a l i t y i sf o u n d ( 3 ) l e tt h es y s t e mi ne x t e r n a lf i e l do f zd i r e c t i o n ，a n dt h ea t o m - w a l ld i s t a n c ed i s10 0 0b o h rr a d i u s b a s e do na n a l y z i n gt h ep o i n c a r 6s e c t i o n so fr y d b e r g h y d r o g e na t o mi ne x t e r n a lf i e l di t sf o u n dt h a tt h es y s t e md y n a m i c sb e h a v i o ri s d e p e n d e n t n o to n l yo ne n e r g yp a r a m e t e r sb u ta l s of i e l di n t e n s i t yp a r a m e t e r s ( 4 ) b yu s i n gc l o s e do r b i tt h e o r y , t h ep e r i o d i co r b i t so fr y d b e r gh y d r o g e na t o m a n dl i t h i u ma t o m & r ec a l c u l a t e dt oa l s of i n dt h ei n f l u e n c eo ft h ea t o m sr e a l i t y k e yw o r d s ：r y d b e r gh y d r o g e na t o ma n dl i t h i u ma t o m ；p o i n c a r ds u r f a c e ；c h a o s ； e x t e r n a lf i e l d ；c l o s e do r b i tt h e o r y ；p e r i o d i co r b i tt h e o r y h 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表 示谢意。 学位论文作者签名：杏咨 签字日期：妒? 年占月，日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解江西师范大学研究生院有关保留、使用 学位论文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和电子稿，允许论文被查阅和借阅。本人授权江西师范大学研究生 院可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以 采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者鎏名： 专台 签字日期：枷：7 年易月( 。日 导师签名： 、车遘二一室芗 签字日期：2 1 年6 月j 。日 近金属表面里德堡氢原子与钾原子的动力学研究 引言 一直以来，科学就承担着构建人们对于自然本质的根本想法的重任，这是 毋庸置疑的经典力学认为世界就像钟表机制，相互关联的各个部分和谐地工作， 并通过制定规则，来预定一个物体的初速度和初始位置以及决定其运动情况的 动力学信息，就可以很精确地这个粒子在任何时刻的位置。有人说，如果整个 世界确实遵循确定的规律，过去、未来和现在通过因果关系联系在一起，不能 作出精确预测的原因在于很难记录所有的相关信息，或者人们只能把对未来预 测的失败归结为人们掌握知识能力的有限性。 量子力学的诞生为探究自然世界提供了新的武器。量子力学中引进了几率 的概念，这与经典力学有很大的不同；比较有趣和比较有争议的是量子力学中 提出，实验者在实验中起着很重要作用，其中一个例子是实验者和实验对象之 间的作用决定光子的偏振情况：如果光予不以一定的角度通过起偏器，我们就 不能描述它的偏振情况；如果起偏器的角度变了，在没有进行新的测量之前， 就没有办法预测光子的偏振情况。每次新的测量，都会对先前的有关光子的信 息造成破坏，n i e l sb o h r 把这种现象称为为互关性。量子力学告诉人们，在进 行任何观察或测量时，都会对观察或测量对象产生干扰，也就是说观察者在理 解任何物理过程中都起着至关重要的作用。由此产生了一个问题：若没有观察 者，物质是否存在? 或者是否只有观察者的思想才是客观实在，而其他的一些 包括整个物质世界都是人们的假想。 1 8 9 0 年，h e n r ip o i n c a r 6 在研究三体问题时，发现不能用一个精确的公式 来描述三体运动问题，即使对于一个看起来非常简单的体系，也能够产生不确 定的行为，因而想要精确预测它们在某个时刻的位置也是不可能实现的，这就 是混沌现象。 体系中存在的混沌并不是“无序”的代名词，混沌体系虽然表面上看是杂 乱无章的，但实际上却由某些确定的方程式确定，并且能体现某些有序性。 硕士学位论文 混沌理论的发现引起了一场革命，这场革命不但给自然科学领域带来了新 的问题，而且也波及到了哲学等社会科学领域。世界的本质是什么? 一切都是 完全确定吗? 按照经典力学的观点，如果一切都是确定的，那么人类还有作出 自由选择的时间吗? 若一切都由“神”来主宰，那么我们还能够改变未来历史 的进程吗? 一切是确定的世界就必然会导致未来发生的事件就一定能够得到很 精确地预测吗? 对混沌的动力学体系的探索为我们更好地理解现实世界中的种 种现象，提供了一种思路。 论文共分为五章。第一章为综述，主要从整体上介绍近金属表面原子体系 的特点及其研究进展情况。第二章介绍了近金属表面里德堡原子体系的理论模 型和物理图像，讨论了体系的标度性质。第三章介绍了对p o i n c a r 6 截面方法的 一些亲身体会。第四章通过坐标变换消除了哈密顿量的奇异性，并运用相空间 p o i n c a r 6 截面对近金属表面里德堡h 和l i 原子体系的动力学性质进行了分析， 可以很清楚地观察到原子与金属表面间的距离d 对于这个体系的性质起着至关 重要的作用。并且讨论了原子实对体系的动力学的影响，l i 在和h 的对比过程 中，尝试给出了l i 的类h 能量的临界点。最后作出在外场下基本模型的体系的 动力学行为的演化。第五章运用闭合轨道理论给出了里德堡原子h 和l i 部分周 期轨道。第六章是本论文的结束语，简要地对本论文进行了总结，并为今后的 工作提出了意见。 2 近金属表面单德堡氢原子与锂原子的动力学研究 第一章综述 1 1 体系的可积性质的判断 微观体系的量子力学性质是由线性波动方程薛定谔方程决定的，就接 的代数运算过程而言，理论上总是可积的。基于薛定谔方程的线性特点，初始 条件迭代后再演化一段时间t 和在同样的初始条件下先演化后，再在t 时刻迭 代，种情况下得到的结果相同。很显然，这与初始条件的准确度的概念是矛盾 的。为说明系统的可积性质与守恒量的数目之间的关系，以不含时的薛定谔方 程为例 访丢i y ) = 疗l y ) ( 1 1 ) 用希尔伯特空间的轨迹描述时，由薛定谔方程决定的动力学体系总是可积的， 因此没有混沌。这与经典哈密顿体系对于可积性的定义是不同的，后者是可观 测的守恒量的形式描述的。波矢只是给出可观测量( 以算符表示) 的可能取分 布。 可以用描述经典哈密顿系统可积性类似的方法来定义量子可积性，即用可 观测恒量的形式。如果一个具有n 个自由度的量子体系，有n 个算符 名( 盆，口：，口。，丘，丘，定) ，f = l ，2 ，并且这些算符互相对易，即满足 a i ，a 】= o ( i ，j = 1 ， ( 1 2 ) 这个体系就是一个可积体系；当体系的自由度的数目大于守恒量的数目时，体 系是不可积的。因为自由度的数目总是大于或等于守恒量的数目，所以不可能 出现自由度数目小于守恒量数目的情况。 因为能量守恒，一维不含时的哈密顿体系是可积的，除非加上一个含时的 势。 3 硕十学位论文 1 2 处理不可积系统的已有的方法 2 0 世纪初，新诞生的量子力学与经典力学产生了分歧。a l b e r te i n s t e i n 及其他一些人认识到，运用经典轨迹的量子化方法在处理多维及不可积系统时 遇到了很大的困难。以前用来量子化可积体系的不变圆环随着可积性的消失而 被破坏。适用于可积体系一维体系量子化过程的w k b 方法和延拓的多维体系的 e b k 方法只能解决很少量的问题，而且还没有发现适用于不可积系统的半经典 量子化过程。 从某种程度上说，讨论不可积体系在量子力学中的地位不是匪夷所思的。 对于不可积的经典体系也曾经存在过类似的僵局，例如，对于太阳系长时间的 运动行为的预测问题就曾经历过这样的困惑。h e n r yp o i n c a r 6 乜1 的工作对经典 的困难进行了猜想。p o i n c a r 6 指出，使很多人感到恐慌的是所有太阳系运动的 经典微扰展开由于共振而包含无法去除的奇点。实际上，可以设想，经过足够 长的时间后，一个力学体系将回到无限接近原先的某一点附近。然而，由于缺 乏象现代的这么强大的计算能力，p o i n c a r 6 原理使唯一可以使用的数值解法也 不可能实现。无论是在量子力学中，还是经典力学方面，近5 0 年中人们对于非 可积体系的理解进展得极为缓慢。 1 9 5 0 年到1 9 6 0 年，k o l m o g o r o v 口1 和a r n o l d “闷以及m o s e r 等人开始解释经 典不可积性质的本质，结果发现了k a m 原理响，这个原理对于随着对称破缺的 出现，相空间中的不变圆环是如何被破坏的做了详细的说明。同时，从e d w a r d l o r e n z 口1 开始，计算机技术为研究强不可积经典体系的性质提供了新的思路。 从本质上来说，经典混沌已经被发现。混沌体系的不变结构周期轨道占据 了相空间中的很小的体积。看起来，这似乎与根据量子力学的主要观点 h e i s e n b e r g 不确定原理所得到的相空间的体积受到基本常量的限制这一结论是 互相矛盾的。 从1 9 6 0 年到1 9 7 0 年，随着对经典混沌的研究的近一步深入，对经典混沌 体系进行半经典量子化成为可能。r b a l i a n ，c b l o c h 和m c g u t z w i l l e r 在这 方面作出了突破性的工作。r b a l i a n 和c b l o c h 一一仉1 说明了量子台球和电磁 腔中的态度的振荡特性能用经典周期轨道进行说明。m c g u t z w i l l e r n 乳1 3 4 h 町 创立了态度的周期轨道理论，这使得经典力学的许多概念在量子力学世界得到 4 近金属表面里德堡氢原子与锂原子的动力学研究 应用，从而进入半经典理论的发展。 1 9 6 9 年，美国阿贡( a r g o n n e ) 国家实验室的w r s g a r t o n 和f s t o m k i n s n 6 1 对磁场中的钡原子进行研究时，发现了低激发态形成的角量子数混合区( 1 一混 合) 、高激发态形成的主量子数混合区( n 一混合区) 以及在电离阈附近出现的 人们后来称之为“准朗道振荡”的现象。对于低激发态，即1 一混合区，可以 利用微扰论处理；但是对于高激发态，即n 一混合区，运动已经出现了混沌， 没有处理相应题的量子理论。英国的a r e d m o n d s 在1 9 7 0 年对准朗道振荡做出 了解释，认为荡与电子在磁场中运动的周期轨道密切相关，其结果与实验符合 得很好n7 1 ，但是他的解释对混沌这种情况不适合。直到1 9 8 7 年在实验上首先出 现了新的突破，德国的i e l e f e l d 大学的k h w e l g e 用h 原子作实验时第一次发 现了回归谱n 引，k h w e l g e 指出轨道对光吸收截面的贡献可以通过对实验得到 的光谱进行f o u r i e r 变换得到。 1 9 8 8 年，杜孟利和j b d e l o s 首先给出了回归谱的量子理论闭合轨道 理论n 们，其物理图像清晰、应用范围广泛，已经成为解决原子、离子、甚至是 分子在外场中的光吸收现象的主要工具。应用闭合轨道理论的统一近似和分区 迭代等方，不仅能够处理分叉点附近的振幅发散问题乜0 2 ，还能够处理“鬼轨 道的问题乜3 棚2 5 1 。适用于处理诸如：原子分子在强场中的光吸收、原子在环 境中的寿命、德堡波包动力学及离子光剥离显微术、腔输运等量子跃迁中的多 周期现象，奠了回归谱的理论基础，成为联系量子力学和经典理论的桥梁。 2 0 世纪8 0 年代到9 0 年代，m v b e r r y ，m r o b n i k 凹1 ，d u l l m o 嘲1 ， r w o b i n e t t 凹等人进行了微结构方面的研究。 1 3 近金属表面的原子体系的特点 近年来，里德堡原子在外场中的动力学行为受到广泛的关注，这是由于里 德堡子具有寿命长、碰撞截面大以及对外场敏感等特点。而近金属表面的原子 体系是个实验上可以实现和测定的系统，同时也是一个重要的理论模型啪1 在此模型中原子与金属表面间的距离d 和体系e 对原子的激发态性质起关 键性的作用，它能够体现多种动力学效应：e 取一个恰当的数值后，当d 较大 5 硕士学位论文 时，可以描述瞬态的偶极相互作用的v a nd e rw a a l s 力1 2 1 ，也可以模拟原子 在强电磁场中的s t a r k - z e e m a n 效应及强磁场中的抗磁效应，还可以模拟表面吸 附现象b 孔3 4 1 。由于其运动形式比较复杂：当原子和表面相互作用较弱时，微扰 论成立；当相互作用较强时，规则运动和不规则运动并存，从而出现混沌现象 【3 5 ，3 6 3 7 】 1 4 近金属表面的氢原子体系的研究现状 对于近金属表面的氢原子体系的研究，许多人从理论上和实验上进行了大 量的工作。主要研究有： 1 1 9 9 6 年，a l a n d r a g i n 和j y c o u r t o i s 等人测量了基态原子和电介质墙间的 v a nd e rw a a l 引力啪1 。 2 1 9 9 6 年，k g a n e s a n 和k t t a y l o r 对近金属表面的氢原子体系的哈密顿量通 过二次项展开，进行了二阶和八阶近似，分别做出了谱图，并对结果进行了 比较和分析口。 3 1 9 9 7 年，n s s i m o n o v i c 作了近金属表面的基态氢原子的p o i n c a r 6 截面，将 系统的相空间分为v i b r a t i o n a l ( v ) 区和r o t a t i o n a l ( r ) 区，并据此研究此体 系的经典混沌现象2 i 。 4 2 0 0 0 年，j p s a l a s 和n s s i m o n o v i c 对暂态的v a nd e rw a a l s 作用下的里 德堡态氢原子进行了量子力学、经典和半经典研究3 1 。 5 2 0 0 1 年，n s s i m o n o v i c 和j p s a l a s 用半经典方法对暂态的v a nd e r w a a l s 作用下的里德堡态氢原子进行了研究，发现结果与一阶微扰理论得到的结果 符合得很好。通过半经典计算和量子计算都可以看出，随着磁量子数m 的绝 对值的增加，振动能级会消失。这是因为这个体系的经典力学结构表明双音 叉分岔发生在临界值口4 1 。 6 2 0 0 2 年，m i n a r r e a h e 和j p s a l a s 将静磁场和电四极矩场作用下的氢原子 体系的哈密顿量用两个参数表示，研究了三种可积情况，通过p o i n c a r 6 截面 研究了随着参数的变化，相空间的结构和演化情况及几个分岔的出现，进而 分析了混沌行为和电离性质口引。 6 近金属表面里德堡氢原子与锂原子的动力学研究 7 2 0 0 2 年，n j m h o r i n g 和l y c h e n 提出v a nd e rw a a l s 原子表面吸引 理论。在这个理论中，二阶v a nd e rw a a l s 能由动力学的非定域的象能所产 生的原子中的电子的关联能( 自能) 清楚地表现出来，而这种象能是在静电 极限下，由于束缚态的金属半导体表面体系的电子的极化而产生的。他 们描述了正背景表面的电子电荷分布发生弯曲情况下的量子磁场效应，这种 效应在有效地改变原子表面距离时起到一定的作用。他们的工作为应用 磁场力作为v a nd e rw a a l s 用的可调节参数，以及实验方面零点光子等离子 体能的潜在的基本的量子现象奠定了基础。 8 2 0 0 3 年m i n a r r e a h e 和j p s a l a s 运用量子力学、经典的和半经典的方法， 对均匀磁场和电四极矩场的里德堡原子的能谱进行了研究口 。 上述的研究虽然能说明系统的某些性质，但都不能实现量子与经典的对应， 因而也就不能给出直观、形象的物理图象。 鉴于原子的动力学性质敏感地依赖于体系的能量e ，当e 比较大，可以将原 子和表面作用看作微扰；e 较小时，则不能做微扰处理。本论文通过取原子和 板间距离d 的精确值，分别运用相空间理论和闭合轨道理论对近金属表面的里 德堡氢子的动力学性质进行了研究( 本文中，除特别说明外，一律采用原子单 位) 7 硕十学位论文 第二章近金属表面的里德堡氢原子体系的 理论模型及物理图象 2 1 近金属表面的里德堡氢原子体系的理论模型 近金属表面的原子体系，是一个重要的理论模型。原子与表面间的相互作用 主要与原子与表面距离d 和能量e 有关。e 较大时，原子与表面间的相互作用 相比能量e 比较弱，此时可将其视为微扰，可以用微扰论的方法进行处理；e 较小时，原子与表面间的相互作用比较强，不能将其作为微扰处理，此时规则 运动和不规则运动并存。 下面采用电镜像法理论，对这个体系进行具体分析。 争p z 奢( o ) 图2 1 距离金属表面距离为d 的原子和静电象模型 如图2 1 所示假设原子核位于原点，带电量为z e ，金属板置于d z 的平 8 近金属表面里德堡氢原了与锂原了的动力学研究 面，原子核的像电荷，带电量为一z e ，对称地位于金属板的另一侧，因此核和核 的象之间的距离是2 d ，原子中的电子带电量为一e ，位于距离原子核为f 的地方， 电子的像电荷位于金属板的另一面距离核的象电荷为r 的位置，因此电子与其 象间的距离为2 ( d + z ) 。考虑到其轴对称性，我们采用柱坐标系( p ，巾，z ) ， 定义x = pc o s 由，y = ps i n 巾，z = z ，则根据简单的几何关系，我们可以直接写出以 下各种作用势项： 原子核与其像电荷间的作用 y 亿，一磊) = 一1 z2 r e 2 ( 2 1 ) 原于核( 或兵冢电衙) 与电于( 或兵冢黾何) 乙1 日j 明作用 v ( z e ，一p ) ：v ( - z e ，p ) ：一丝 ( 2 2 ) 原子核( 或其像电荷) 和电子的象电荷( 或电子) 之间的作用 y c z e , e ) = v ( - 砷加万籍 亿3 ， 电子与其象电荷间的相互作用 y ( 岛一p ) = 一互i 手；五 ( 2 4 ) 对于氢原子z = i ，取原子单位e = m = h = l ，总的势能可以表示为 一万1 一吾+ 万南一丽1 ( 2 i5 ) 考虑到核比较大而足以忽略质量中心的运动，忽略自旋，只考虑非相对论的电 子 的哈密顿量，我们可以得到 2 t p 2 7 1 一石1 + 万杀丽一丽1 ( 2 6 ) 其中( ，：0 丽， p ：。2 十7 l z 2 + 2 ，l z = m h )为沿z 方向的 p 一 角动量南干茸轴对称件取m = 0 9 硕十学位论文 由于( 2 6 ) 式的第三项对于某个确定的距离d 而言是个常数，不影响哈密 顿正则方程的形式，故可以将哈密顿量h 的表达式，写为如下形式( 除特别说 明外，本文中各量均采用原子单位) h 细细，2t 一7 + 万磊丽一硒而 ( 2 7 ) h 肋缸，的后两项是由金属表面引起的，为镜象势。对( 2 7 ) 式的第三项进行二 项式展开，取到二级近似，可得到经典的v a nd e rw a a l s 作用下的哈密顿量 由( 2 7 ) 式， h t o t a i = 等丽1 ( p 2 + 2 2 2 ) h f o 细，2 ( 2 8 ) 一j 二：e( 2 9 ) 4 ( d + z ) 取( 允= _ 1 ) 则可以根据标度变换例的一般规律定义以下变量：( ，= i r 4 a p ：尸万占：尉) ：则( 2 7 ) 式的哈密顿量可以写成： h = 尉= g = t 一7 + 万鬲霉丙一百丽 ( 2 1 0 ) 使用标度变换有以下优点： ( 1 ) 具体运算中使用标度变量可以减少参量的个数。在标度变换后，哈密顿量 h 是个标度不变量，体系的经典动力学性质依赖于能量e 和原子与金属表面问 的距离d ，而只依赖于e = e d ，因此体系的性质只是标度能量= e d 的函数；在 不同的初始条件下，标度参量系的经典动力学性质就会完全一致，这有利于反 映体系的一般性质。 ( 2 ) 可以比较方便地进行经典极限分析。在原子单位制中，坐标和动量满足对 易的关系可以写成： r ，p = f 刁= i ( 2 11 ) 进行标度变换后的对易关系可以写成： l r ，p = i 2 2 1 0 ( 2 1 2 ) 近金属表面罩德堡氧原子与锂原子的动力学研究 l 令7 7 万= 允2 则对易关系( 2 1 1 ) 可以写为 r ，p = f 7 7 够 ( 2 1 3 ) 由，7 万一。对应经典极限情况，调节参数d ，使( 言) 2 专o ，即可实现经典与量 1 1 子间的对应。 ( 3 ) 使用标度可以很方便地实现理论与实验的对比。 实验结果经常是量子化的，只有在满足极限的情况下才能与经典结论对 应，因此，采用标度率可以给计算结果以实验证明。 2 2 近金属表面里德堡氢原子体系的物理图象 2 2 1 闭合轨道理论形成的历史背景 量子力学自诞生以来，由于其能够进行精确计算已经成为解决原子或分子 体系中的问题的重要工具。量子计算结果和实验测量结果的精确符合消除了人 们对量子力学基本概念的任何质疑，直到今天量子力学仍然是人们解决微观体 系的精确理论。事实证明，量子力学对于解决涉及低激发态的问题，由于体系 的空间运动尺度较小态密度较小，能级间隔较大，可进行变量分离，微扰论是 成立的，对角化也是有效的，对应的经典体系一般是可积的，量子化的方法( 如： e b k 方法等) 能够给出本征值和本征波函数。 人们认为量子力学似乎已经发展到了很完美的地步，一个完全的量子力学 解能够给出一个体系的所有的信息，很多人甚至认为量子世界不再需要经典物 理。然而对于某些复杂的体系，如涉及高激发态的原子在外场中的光吸收现象 等问题时，由于体系的空间运动尺度较大，态密度较大，能级间隔较小( 如外 加强场中高激发态里德堡原子情况，由于电子能级间隔较轨道角动量间隔小得 多，主量子数出现混合) ，体系不能分离变量，微扰论不成立，不能进行对角化 计算，且对应的经典体系一般是不可积的，e b k 等方法失败，由于量子态密集， 研究单个量子本征态已经没有实际意义。因为在有限分辨率下，人们通常关注 硕士学位论文 的是较大尺度范围内体系的物理性质，而不是单个本征态的性质，因此量子力 学解是模糊不清的。例如：对于原子中的电子在c o u l o m b 场和抗磁场的共同作 用下运动的情况，靠近电离阈附近的电子的运动轨迹是杂乱无章的，形象地说 象意大利面条( 如图2 2 ) ，而不可能将这种轨迹与一个光滑的矢量场联系起来， 因此也就没有办法通过轨迹来建立本征函数，量子力学似乎对此无能为力。 僦 口 撕) 曲霉 2 泌0一l t 籀瞳耢o - 4 0 0 o蝴嘲卿唯钧黼0 zl 的晒 图2 2 原子中的电子在c o u l o m b 场和抗磁场中的无轨迹图 近年来，越来越多的理论和实验工作n 钆加一1 4 2 已经证明，闭合轨道理论 方法是分析外场中激发态原子动力学性质的最有效方法之一，该理论适用于束 缚态至正能区的宽广能域，是研究量子混沌的成功理论方法。 2 2 2 近金属表面里德堡氢原子运动的物理图象 可以设想，氢原子受到连续激光的照射，由基态或低激发态跃迁到n = 2 0 的里德堡态。如图2 3 ，从电子的激发情况看，原子吸收光子，在库仑场中发 生散射，向外发射电子波。在近核区( r 几个a 。，口。表示玻尔半径) ，库仑作 用占支配地位，金属板的影响可以忽略；当电子波运动到离核距离大于约l oa 。 时，镜象势的作用变得重要起来，电子波可看作是在库仑场和镜象势的共同作 用下运动；电子波运动到更大距离时，核的影响可以忽略，电子波按照经典哈 密顿量正则方程所决定的轨道传播，镜象势的作用使轨道发生弯曲，这样就有 部分电子波被折转回到出射波附近，与出射波互相干涉，从而出现吸收谱中的 1 2 近金属表面里德堡氢原子与锂原子的动力学研究 相干现象。其图像如图2 3 所示 图2 3 近金属表面的物理图像 ( 1 ) 基态或低激发态原子受到连续激光照射跃迁到高激发态。( 2 ) 原子吸收光 子，在c o u l o m b 场中发生散射，向各个方向发射电子波。( 3 ) 当电子波运动到 离核距离大约1 0 a 。时，半经典理论给出很好的近似解，电子波按照经典轨迹向 外传播。( 4 ) 一簇轨道向外传播，分别遇到一个焦散点( 5 ) 和( 6 ) 和另外一 个焦散点( 7 ) 。这组轨道从图示方向出发，轨道在场中发生弯曲，又朝着原子 方向返回( 8 ) 。回到距离核约l o a 。时，我们视之为入射c o u l o m b 波( 9 ) ，入射 c o u l o m b 波继续沿着原子核方向向里传播( 1 0 ) ，直到与出射波( 1 1 ) 干涉。 硕十学位论文 第三章p o i n c a r 6 截面 3 1p o n c a r e 截面的由来及特点 经典混沌动力学之父p o i n c a r 6 在研究“三体问题 时发现了混沌，因此他 被誉为是“一只脚站在1 9 世纪，一只脚站在2 0 世纪”的跨世纪天才学者，“是 最后一位传统科学家，也是第一位现代科学家 。 为了用几何方法直观地描绘运动的情况，p o i n c a r 6 发现可以用描述系统状 态的状态参量为坐标的“相空间”来描绘运动过程。某一时刻系统的状态在相 空间里用一个点表示；系统状态随时间的变化，即系统运动方程的解，对应于 相空间的一条曲线，称为“相轨道”( 或相曲线) ；如果物体做周期运动，它的 相轨道就是一条闭合曲线；如果曲线不闭合，则表示物体的运动是非周期的。 但是，为了确定系统的运动是不是周期性的，与其自始至终地跟踪系统运动的 全过程，不如只观察系统的相轨道是否总会通过同一相点。设想通过相空间中 一点a ( 初始状态) 作一个横截面，如果系统的相轨道总在同一点a 穿过截面， 那么系统的运动就是周期性的。 3 2p o i n c a r 6 截面选取的原则 p o i n c a r 6 截面方法是研究动力学系统的动力学行为的一种有效的方法。 可以简洁直观的分析系统动力学性质 定义如下动力学系统： x = 厂( 工) ，石r ” 构造p o i n c a r 6 映射p 工?p ：x 专x 则可以将原来的系统转化成n 一1 ，文献h 3 m 们有严格的数学证明。 1 4 近金属表面里德堡氢原子与锂原子的动力学研究 p o i n c a r 6 截面选取的原则是根据实际情况而定的，主要原则是 1 ) 相流与截面的横截： 那么这个问题就比较简单，直接取相流和截面上的交点就可以了， 2 ) 相流与截面不相切； 在实际计算我们可以随意做一个系统的相图，主要是看一下相空间内曲线的 大致的一个分布区域。图3 1 给出了一个截取的示意图，请注意看一下截面与流 的截取方法 a ) s x8 1 图3 1 不相切的截面的选取 3 3p o i n c a r 6 截面的实现 主要是以v d p 系统和齿轮间隙系统为例，来说明我们在实际计算分析时做 p o i n c a r 6 截面的实现方法，其方程如下： x + 2 ( 1 一x 2 ) 工+ 工3 = f c o s ( a ) t ) x + c ( 1 + c os i n ( c o o ) x + ( k o - i - k ls i n ( c o t ) ) f ( x ) = z + s i n ( a ) t ) ( 3 1 ) 其x l ：f ( x ) = x - 1 ：1 x 一1 ：f ( x ) = o ：x 0 ，q 。= 0 的截面，则由( 4 5 ) 式分别可以得到能量许可的范围。 近金属表面里德堡氢原子与锂原子的动力学研究 一卜e 一网q 2 2 + 碲q 2 他卜 8 ， 本文取d = 1 0 0 0 波尔半径：选取选取p 。 0 ，q 。= 0 的截面，随能量e 变化的 p o i n c a r 6 截面如下所示( 图中黑线为能量允许的范围) ( a ) e = 一0 0 0 1 5 0 ( c ) e = - o 0 0 1 2 0 ( b ) e 一0 0 0 1 4 0 ( d ) e = - o 0 0 0 6 图4 1h 的p o i n c a r 6 截面随不同能量条件下的演化图 给出的能量允许的区间也表示出来了 4 2 2 里德堡氢原子相空间分析 不论经典运动是规则的还是混沌的，相空间中都会有周期轨道存在。表征 规则运动的岛形结构出现在椭圆形周期轨道周围，这些岛形结构被双曲型周期 轨道组成的点分隔开，相邻的岛之间，还可以观察到岛链结构。在相空间的混 沌区域，密集地存在着大量的周期轨道，只要稍微改变势的大小，即若增大微 2 l 硕士学位论文 扰，就会增加整个体系的混沌程度，新的周期轨道会大量涌现n 引。 以下我们研究随着原子与金属板间距e 的改变，相空间结构的变化情况 从图4 1 中可以看出由围绕椭圆固定点的一系列椭圆组成的中心区域，这 些椭圆属于振动型一维周期轨道h5 l ，对称位于中心区域左右两侧的两个区域， 相应于二维转动型轨道。如图4 2 所示。在能量临界点e 附近相空间变化很大， e 由下式确定1 删) _ - 箐- _ o 0 0 1 4 9 2 ( 4 9 ) 转动型轨道 振动型轨道 图4 2h 的p o i n c a r 6 截面 当能量e 趋于负无穷时，系统是可积，镜像势可作为微扰处理，系统是完 全可积的。 随着能量e 的增大，当e 疋( d ) 时，截面被连接两个双曲固定点的分界 线分成了四个区域。由围绕椭圆固定点的一系列椭圆组成的中心区域是振动区 域盼驯，这些椭圆属于振动型的周期轨道，而对称地位于中心区域的左右两侧是 转动区域，相应为转动型轨道口3 1 在e = 疋( d ) 附近，相空间结构发生很大的变化，当e e ( d ) 时候，转动 近金属表面里德堡氢原了与锂原了的动力学研究 区和振动取开始分离，如图4 1 中的( a ) 和( b ) 所示，当能量在慢慢的增大后， 从图( c ) 到( e ) 可以看到，外部区域扩大，而处于其中的电子可能会被金属板所 所俘获，电子在俘获区各处均可能被吸附到金属表面上，因此轨道穿过截面在 上面留下的点迹非常密集，从( d ) 图可以看出已经出现了混沌的现象了。 4 3 里德堡锂原子的相空间分析 4 3 1 里德堡锂原子的p o i n c a r 6 截面图 对于l i 原子有原子实的存在，所以会对电子的运动带影响，本文取v c ( r ) 为 h = 一吾+ 万丽1一丽1 2 丽堋，) ( 4 1 0 ) 厂 p 2 + ( 2 d + z ) 2 4 ( d + z ) 。、7 、。 上式中取原子实势邮为屹( ，) = 一_ ( z - o e x p ( 一凹) ；z 是原子核的电量，对于l i ，z 取3 ，口是量子亏损带来参数，通过坐标的变化，取一个赝势，可以得到如下方 程： 疗=华一e(q12+q22)-i。丽雨q丽12+q22 4 ( d + q 1 2 一q 2 2 ) 一芷乓一2 ，口( n 彩) 兰1 由方程( 9 ) 可以得到l i 体系的能量所允许范围为 萨8 卜弘南+ 硒q 叫；，l - 2 e - a ( q 2 + q 2 2 ) j 0 然后根据( 4 11 ) 可以得到正则方程 q t 。才 ( 4 1 1 ) ( 4 1 2 ) 露2 gt(2e一芒乙j：14：d5(2_d：+：q云2_：3而q22) + 互忑f d f - 瓦丁2 q 研2 2 4 口e ( 一口( 卵+ 费 ) l ( 吼2 + 9 2 2 ) 2 + 4 d ( d + 吼2 一9 2 2 ) 1 2 二、“卞q 1 一q 2j 顾士学位论文 孑：= 鲁 息=q2(2e-i：ii：_：_4di(i2：d+3q22：-：q；丽22)+ji嵩一4cze(一口(们2+922)q q i ( 1 2 + 2 2 ) 2 + 4 d ( d + 吼2 - q 2 2 ) 1 2 q 一7 ( 4 1 3 ) 这里d 取1 0 0 0 玻尔半径，口取2 1 3 ，作出l i 原子在不同能量下的p o i n c a r 6 截面图如下 ( a ) e = - o 0 0 2 8 ( c ) e = 一0 0 0 2 5 啦 ( b ) e = - o 0 0 2 7 t ( d ) e 一0 0 0 2 4 图4 3l i 的p o i n c a r 6 截面随不同能量条件下的演化图 给出的能量允许的区间也表示出来了 4 3 2 里德堡锂原子相空间分析 从p o i n c a r 6 截面图上可以看出，由于原子实的存在，其截面比h 的要复杂的 多，首先截面中间的部分非常明显的随机层，并且随机层随能量的增大越来越不 明显，如图( a ) 到( d ) ，随机层的上下两部分有很尖锐的突起。当体系的能量 比较低时，运动在原子实附近的电子，受到金属扳的作用远小于原子实的作用， 近金属表面里德堡氢原了与锂原子的动力学研究 使得其截面图中间始终会有一片混沌区，在原子实附近，由于原子实强散射的作 用形成两个尖锐的突起当体系的能量逐渐变大的时候，见图4 3 中( a ) 到( d ) 。 当电子运动金属板附近时，金属板的对电子作用原子核的作用越来越大而，图 4 3 ( c ) 和( d ) 随机层就变弱另外从图4 3 中可以看出l i 原子也有一个类似 的h 体系能量临界点在这个临界点的，转动型的轨道和振动型轨道分离因为 原子实场的存在，使得这个临界点要远小于h 体系( d 取1 0 0 0 波尔半径) 的能量 e 。( d ) ，通过其相空间的p o i n c a r 6 截面图可以分析可以判断锂的e ，( d ) 能量大概 在一0 0 0 2 6 左右，明显小于h 的e 。( d ) 能量，这个正是l i 的原子实带来的结果。 4 4 近金属表面里德堡h 原子在外场下的相空间的分析 4 4 1 有外场下里德堡h 原子p o i n c a r 6 截面图 当把近金属板h 原子体系放在一沿z 方向的外加电场中，那么体系的动力学 行为敏锐地依赖d ，e 和外场参数f ，体系的哈密顿量变为 日：一! + 2 ， + 乒 ( f 为场强)( 4 1 4 ) 因为有外场参数f 的存在，则基本模型中原来有的标度丢失， 新的标度。比如文献呻1 采用厂。：；尸：d 净i ：以及 p = z z = ( u 2 - - v 2 ) 2 2 2 然后得到有外场体系的哈密顿方程。 因此要寻找一个 ( 4 1 5 ) 因为要和前面的基本模型中的变化保持一致性，因此直接采用4 3 式变 换，得到其变换后的方程。 疗= 华谢+ 丽彰一砺q 2 + 鬲q 2 2 埘 ( 4 1 6 ) 根据方程( 4 1 6 ) 可以得到正则方程组，选取合适的初始条件利用m a tl a b 求 硕士学位论文 出其数值解，在d 为1 0 0 0 波尔半径时，标度能量下一0 0 0 1 5 下体系的p o i n c a r 罐戋面演化图 ( a ) f = o 0 0 0 正 ( c ) f = o 0 2 1 畦 ( b ) f =