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连续时间非线性随机模糊系统的最优模糊控制 摘要 设控制对象是用t a k a g i s u g e n o ( t - s ) 模糊模型表示的非线性系 统，当模型参数受到统计特征已知的随机噪声干扰时，就成为一个随 机t - s 模糊模型，本质上它是一个非线性随机系统。由于连续时间随 机t - s 模糊系统是一个非线性i t 6 型随机微分系统，其最优控制问题 转化为一个二阶h a m i l t o n - j a c o b i b e l l m a n ( h j b ) 偏微分方程的求解，但 这类h j b 偏微分方程的解析解一般不存在，数值求解速度很慢且不 稳定。 本文的主要目的是综合运用随机最优控制理论和模糊控制的方 法，研究连续时间非线性随机模糊系统的最优模糊控制的设计问题， 并将研究的成果应用到过程控制和金融工程中。我们主要采用了三种 次优控制策略：局部概念最优控制，逆最优控制和最优保性能控制。 对于连续时间加噪声随机t - s 模糊系统，我们研究了它在n 6 意 义下的适定性问题，给出了存在唯一性定理的证明；举例说明了相关 文献中所使用的加噪声随机t - s 模糊系统模型解不具有均方积分意义 下的适定性，从而说明了i t 6 积分在加噪声随机t - s 模糊系统模型定 义中的重要价值；进一步，根据w u 和l i n ( 2 0 0 0 ) 对于确定性模糊 系统最优控制的局部概念设计思想，我们给出了有限区间上的连续时 间加噪声随机t - s 模糊系统在局部概念下的最优控制问题的解法；通 过一个数值例子说明方法的应用。 对于连续时问乘噪声随机控制系统，首先我们根据l y a p u n o v 随 机稳定性理论导出了连续时间乘噪声随机控制系统均方指数稳定意 义下的逆最优控制的两个定理；接着，将逆最优控制定理应用于连续 时间随机t - s 模糊系统的最优控制问题；分成相同输入矩阵和不同输 入矩阵两种情形给出了逆最优控制的线性矩阵不等式( l m o 设计方 法，并给出了数值例子。 另外，我们研究了连续时间乘噪声随机t - s 模糊系统关于二次性 能指标的保性能控制和最优保性能控制问题，给出了相应的线性矩阵 不等式( l m i ) 设计方法和数值例子；并讨论了他们在金融工程的汇率 稳定问题中的应用。 关键词：随机t - s 模糊系统，加噪声，乘噪声，局部概念下的最 优控制，逆最优控制，最优保性能控制 o p t i m a lf u z z yc o n t r o lo ft h e c o n t i n u o u s t i m en o n l i n e a rs t o c h a s t i c f u z z ys y s t e m s a st h ep a r a m e t e r so fan o n l m e a rt a k a g i - s u g e n o ( t - s ) f l l z z yc o n t r o l s y s t e ma r ep e r t u r b e db yr a n d o mn o i s e sw i t hk n o w nc o v a r i a n c em a t r i x ， t h es y s t e mt u r n st ob eas t o c h a s t i ct - ss y s t e m e s s e n t i a l l ys p e a k i n g ，i ti sa n o n l i n e a rs t o c h a s t i cs y s t e m s i n c et h ec o n t i n u o u s t i m es t o c h a s t i ct - s f u z z ys y s t e mi s an o n l i n e a ri t 6s t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，t h e r e l a t e d o p t i m a l c o n t r o li s s u er e d u c e st o s o l v i n g as e c o n do r d e r h a m i l t o n - j a e o b i - b e l l m a n ( 玎b ) p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n b u ti nm o s t c a s e s t h i sh j be q u a t i o nc a nb es o l v e dn e i t h e r a n a l y t i c a l l y , n o r n u m e r i c a l l yw i t hs a t i s f a c t o r yc o n v e r g e n c ea n ds t a b i l i t y t h em a i np u r p o s eo ft h i st h e s i si sc o m b i n i n gt h et h e o r yo fs t o c h a s t i c o p t i m a lc o n t r o la n dt h em e t h o do ff u z z yc o n t r o l ，t oa t t a c kt h ed e s i g n i s s u eo no p t i m a lf u z z yc o n t r o lo fc o n t i n u o u s - t i m en o n l i n e a rs t o c h a s t i c t - s 吻s y s t e m sw i t ha d d i t i v en o i s eo rm u l t i p l i c a t i v en o i s e ，a n da p p l y t h e mt op r o c e s sc o n t r o la n df i n a n c i a le n g i n e e r i n g t h r e es u b o p t i m a l v a p p r o a c h e sa r eu t i l i z e d ：l o c a l c o n c e p to p t i m a lc o n t r o l ，i n v e r s eo p t i m a l c o n t r o la n do p t i m a lg u a r a n t e e d - c o s tc o n t r 0 1 w i t hr e g a r dt oc o n t i n u o u s - t i m es t o c h a s t i ct - sf u z z ys y s t e mw i t h a d d i t i v en o i s e ，i t s w e l l p o s e d n e s s i s s u ei ss t u d i e di n i t 6s t o c h a s t i c c a l c u l u ss e n s ea n dt h et h e o r e mo ft h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so f s o l u t i o n si sp r o v e d a ne x a m p l ei sg i v e nt os h o wt h ew e l t p o s e d n e s so f s o m em o d e l sa d d r e s s e di nt h er e f e r e n c e si si n v a l i di nm e a n - s q u a r es e n s e ， a n dt h e nd e m o n s t r a t et h ei m p o r t a n c eo ft h ei t 6 i n t e g r a li nt h ed e f i n i t i o n o ft h em o d e lo fs t o c h a s t i ct - s f u z z ys y s t e mw i t h a d d i t i v en o i s e f u r t h e r m o r e ，b a s eo nw ua n dl i n s ( 2 0 0 0 ) l o c a lc o n c e p ta p p r o a c ht ot h e o p t i m a lf u z z yc o n t r o l l e rd e s i g nf o rt h et - sf u z z ys y s t e m ，w ep r e s e n ta n o p t i m a lf u z z y c o n t r o l l e ri nl o c a l c o n c e p td e s i g nm e t h o df o r t h e c o n t i n u o u s - t i m es t o c h a s t i ct - sf u z z ys y s t e mw i t ha d d i t i v en o i s ei nf i n i t e h o r i z o nc a s e a ni l l u s t r a t i v ee x a m p l es h o w st h eu s a g eo ft h ep r o p o s e d a p p r o a c h a sf a ra sc o n t i n u o u s - t i m en o n l i n e a rs t o c h a s t i c s y s t e m w i t h m u l t i p l i c a t i v en o i s ei sc o n c e r n e d , t w o i n v e r s eo p t i m a lc o n t r o lt h e o r e m si n m e a ns q u a r e e x p o n e n t i a ls t a b i l i t y a r ed e d u c e df i r s t l yb yu s i n gt h e l y a p u n o vt h e o r yo fs t o c h a s t i cs t a b i l i t y t h e n ，t h ei n v e r s eo p t i m a lc o n t r o l t h e o r e m sa r ee m p l o y e dt od e a lw i t h o p t i m a lc o n t r o l l e rd e s i g nf o r c o n t i n u o u s - t i m es t o c h a s t i ct - sf u z z ys y s t e m t h ec o r r e s p o n d i n gl i n e a r m a t r i xi n e q u a l i t y ( l m i ) d e s i g nf o rt h ei n v e r s eo p t i m a lc o n t r o l l e ri nb o t h c o m m o nc o n t r o li n p u tm a t r i c e sc a s ea n dd i f f e r e n tc o n t r o li n p u tm a t r i c e s c a s e ，r e s p e c t i v e l y t h ed e s i g na l g o r i t h m sa r ee x p l a i n e db yn u m e r i c a l e x a m p l e s m o r e o v e r , g u a r a n t e e d - c o s t c o n t r o la n d o p t i m a lg u a r a n t e e d 。c o s t c o n t r o la r ea l s os t u d i e df o rc o n t i n u o u s - t i m es t o c h a s t i ct - sf u z z ys y s t e m ， w i t hr e s p e c tt oq u a d r a t i cp e r f o r m a n c ei n d e x t h er e l a t e dl m id e s i g n s k i l l sa r ep u tf o r w a r dt oa c h i e v et h ed e s i r e dp e r f o r m a n c ea n di l l u s t r a t e d v i ae x a m p l e s f i n a l l y , t h es t a b i l i t yi s s u eo ft h ee x c h a n g er a t ea st h e a p p l i c a t i o no ft h ep r o p o s e dc o n t r o lt e c h n i q u e i ss t u d i e di nf i n a n c i a l e n g i n e e r i n g k e yw o r d s ：s t o c h a s t i ct - sf u z z ys y s t e m s ，a d d i t i v en o i s e ， m u l t i p l i c a t i v en o i s e ，l o c a lc o n c e p to p t i m a lc o n t r o l ，i n v e r s eo p t i m a l c o n t r o l ，o p t i m a lg u a r a n t e e d - c o s tc o n t r 0 1 东华大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：我恪守学术道德，崇尚严谨学风。所呈交的学位论文，是本 人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已明确注明和引用 的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品及成果的 内容。论文为本人亲自撰写，我对所写的内容负责，并完全意识到本声明的法律 结果由本人承担 学位论文作者签名：徐夏 日期：年，2 月句日 东华大学学位论文版权使用授权书 学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅或借阅。 本人授权东华大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密口，在年解密后适用本版权书。 本学位论文属于 不保密面 学位论文作者签名： 日期：埘年明订日 稼夏 指导教师警参铉式 日期：枷多年月一日 第一章引言 1 1 非线性随机系统的模糊控制问题 对于线性随机系统最优控制问题，1 9 6 1 年约瑟夫和陶提出了分离定理，根 据分离定理可把线性随机控制问题分为两部分分别求解，一部分是状态估计器， 另一部分是求解最优控制策略。由分离定理得出了求解线性随机最优控制的表达 式。对于非线性随机控制，利用随机微分方程中的m e y e r 分解等方法得到了求解 最优解的h j b 方程，但所涉及的h j b 偏微分方程，对于工程求解很困难，且鲁 棒性能不好。近几年来，对于非线性随机系统的控制理论研究相当活跃【l 卅，特 别是p a n 与b a s a r 的反推( b a e k s t e p p i n g ) 方法【3 】受到了工程界的普遍关注。 模糊系统作为一类面向控制的非线性建模方法，已经被证明可以任意精度逼 近连续函数，由于它具有可解释性强、可利用语言信息等突出优点，特别适合应 用于难以建立精确数学模型的非线性问题【刀。由于t a k a 百s u g 咖( t - s ) 模糊系 统具有丰富的局部结构，便于用l y a p u n o v 函数分析全局稳定性和设计多变量系 统控制器，近来受到了很多关注。基于并行分布补偿( p d c ) 的t - s 模糊控制器 全局稳定性分析可以归结为线性矩阵不等式( l m i ) 问题，可以在工程上用内点 法方便地求解，从而为非线性系统提供了一类控制器设计l m i 方法。1 9 9 8 年， t a n a k a 放松了稳定性条件基于l m i 的设计提出了模糊纠正器和模糊观测器【”。 对于最优模糊控制w a n g 于1 9 9 8 年提出了线性模糊系统的最优控制问题【9 l 。p a r k 和t a h k 根据非线性确定性控制系统的逆最优控制器求解方法给出了t - s 模糊系 统的逆最优模糊控制器的l m i 设计【1 0 1 。w u 和l i n 于2 0 0 0 年提出了连续时问t - s 模糊系统在局部概念下的最优模糊控制器的研究方法，其实质是一种次优控制 f l l 】，同年他们又提出了连续时日jt - s 模糊系统在全局概念下的最优模糊控制器的 研究方法【1 2 1 ，2 0 0 2 年他们两人又提出了基于局部概念方法的全局模糊最优跟踪 器设计乃1 。 非线性系统的模糊模型受到统计特征已知的噪声干扰时，其模型近似恰当的 刻画是一个随机模糊系统，本质上它是一个非线性随机微分系统。c h e n 和h u 证明了任何连续函数随机系统在紧子集上可以用随机模糊系统任意逼近f “】。 c h e n 、s h i 和u a n g 在2 0 0 2 年提出了关于非线性随机系统的模糊微分对策：次优 化方法的研究”】。2 0 0 2 年c h a n g 和s h i n g 拓展了一类离散模糊随机系统的协方 差控制【坫1 ：同年c h a n g 和w u 又提出了带有结构化扰动的连续模糊随机系统的 上界协方差控制问题【 1 ：2 0 0 3 年c h e r t 、l e e 以及g u o 共同提出了随机模糊系统 的最优跟踪器设计【1 8 1 ；2 0 0 3 年叶道平和崔莉莉对于连续模糊随机系统的方差约 束控制进行了研究i ”1 ；同年崔莉莉又和杨志珍研究了有关连续模糊随机系统的 输出反馈控制器设计【2 0 i ；2 0 0 4 年李德权、孙长银和费树岷又对于不确定离散模 糊随机系统的鲁棒方差约束输出反馈控制进行了研究【2 “。以上六篇文章都是基 于加噪声随机模糊控制的研究。 连续时间加噪声随机t - s 模糊控制系统的状态方程： 出( f ) = ( 4 ) ，) 衍+ ( 红e ( r ) 讲+ ( d ) 毋，( f ) ( 1 i ) ，# lt = lt = l 其中x ( t ) r ”为状态向量，u ( t ) r ”为控制输入向量，以f ) r 。为标准维纳过程。 4 r “”，马r ，d r “，均为系数矩阵。z = ( z ( ，) ，z ，( ，) ) 7 为p 维前提变 量( 通常是x ( f ) 的函数) ，赡( z ( r ) ) ： 者+ 口西f ) 】 a x ( t ) = = l 一 以( z ( f ) ) 其中一( z ( ，) ) = 1 7 ( 乙( f ) ) ，( z ( f ) ) 为z ( f ) 对模糊集们j 的隶属度。通常鸬( z ( r ) ) 具有下列性质 h ( z ( ，) ) o ，h ( z ( f ) ) o ，i = 1 ，t o 记 ( z ( f ) ) ：鱼盟，f ：1 ， 一( z ( f ) ) 第二章连续时间加噪声随机t - s 模糊系统的适定性以及局部概念下的最优控制问题 这样( 2 2 ) 化为 ， ， 出( f ) = ( 岛o ( f ) ) 4 ) x ( f ) 出+ ( 吩o ( f ) ) 口) d h f ) ， ( 2 3 ) 1 = 1 扛i 称为连续时间加加噪声随机t - s 模糊系统。注意，由于 ( z ( f ) ) 通常是依赖x ( f ) 的， 所以它本质上是一个非线性随机微分方程。显然有 ， ( z ( f ) ) o ， ( z ( f ) ) = 1 1 - 1 2 1 2 解的存在唯一性 设( q ，f ，p ) 是具有自然滤波 。的完备概率空间，“f ) 为定义在该概率 空间上的s 维w e i n e r 过程，：r ”皿一r ”，g ：r 4x q j r 。考虑硒型随 机微分方程 出( f ) = ，( z ( f ) ，t ) d t + g ( x ( t ) ，t ) d w ( t ) ，f 0 ，x ( o ) = 而r “ ( 2 4 ) 显然( 2 3 ) 式为( 2 4 ) 式的特例，即连续时间加噪声随机t - s 模糊系统是一类特殊的 i t 6 型随机微分方程。 下面我们讨论( 2 3 ) 式解的存在唯一性： 定理2 1 ( 存在唯一性) 设模糊集 “的隶属度函数是局部l i p s c h t z 连续的， i = 1 ，r ，j = l ，p ；z g x 的局部l i p s c h t z 连续函数，则对任意初值条件 x ( o ) = x oe r “，存在唯一的轨道连续过程工( f ) 满足随机t - s 模糊系统( 2 3 ) ，且对 任意r 0 ，e r l “f ) 1 2 d t 。o 。 证明：令 f ( x ，f ) 皇 ( z ( f ) ) 4 工，g ( 五f ) 皇 ( z ( f ) ) d f ， 由于z 是工的连续函数，心是z 的连续函数，而 是的连续函数，从而i 是x 的连续函数，由此可得f ( x ，f ) ，g ( x ，t ) 是可测函数。对任意z ，y r 4 ，t 0 o l = l 鬼4 】1 m 卅岛学z i 懋i 】4 ， i t = lj i = 11 = 1 兰三兰堕丝堕堕垫堡兰堕垫! 兰堡塑墨竺塑堡塞竺坠墨星墅苎堡! 塑墨堕至型! ! 璺一 同理恬( 工，f ) 9 ，搿8d j i i 令k = m a x 黔0 4 i i ，m 。a x ，i l d ，时，则 t ) 1 2 + n g c x , , ) n 2s ( 学渺+ 嚣) 2 - k 2 ( 1 十m 这样，g 满足线性增长条件。又由题意知 是j 的局部l i p s c h t z 连续函数，记为 五( j ) ，当h 2 + l 叫2 - m 2 ，其公共l i p s e h t z 喾数为l u i f ( x , 沪m f ) l 跏( 州工一喜枷坳i 蔓l 杰五( 力4 x 一宅五( ) ，) 4 j + 丘( 力4 工一后( ) ，) 4 y i i l - ij l 扣il - i i 謦l - x 一喜恸4 j 瞧ii - i 砌伊1 - 1 五4 叫ii 扣i 弘( 功一i , - i l i 4 1 1 1 ，i + 善r 丘学x j ，l o ，且有岛( z o ) ) o ， ( z ( f ) ) = l 。 l # l 下面，我们给出整个连续时问加噪声随机t - s 模糊控制系统( 2 。1 1 ) 在时间区 间 o ，明上的二次性能指标( 即二次值函数) ，似o ) ) = e r ，( s ) q l x ( j ) + 矿o ) q 2 “o ) 】d j + ，( r ) g x ( r ) ， ( 2 1 3 ) 其中q o r ，q le r n x , q 2 r ”“为加权对称阵，q o ，q 是非负定的，q 2 为正定 的。 根据w u 和l i n 11 】局部概念的方法，对每个随机模糊子系统i ，f = l ， d x ( t ) = a j f x ( t ) d t + b , u ( t ) a t + d a w ( t ) ，“( f ) = ，：( f ) ， 第二章连续时间加噪声随机t - s 模糊系统的适定性以及局部概念下的最优控制问题 可以找到一个模糊控制器+ ( f ) 使该子系统所对应的二次性能指标函数 ，( ( f ) ) = e r 【，( j ) q l 砸) + 矿o ) q ( s ) 】出+ x 7 ( r ) q z ( r ) ) 达到最小，我们希望能利用这些子系统的最优模糊控制器( f ) 找到整个随机模 糊系统( 2 1 1 ) 的一个模糊控制器“+ ( f ) ，能使整个随机模糊系统所对应的二次性能 指标达到最小。但是，我们所找到的模糊控制器“( f ) 未必能成为整个系统的最 只能使其达到比较小，这里我们称“+ ( f ) 为局部概念下的最优控制器，其实质是 根据动态规划体系的实质，可以在最小化( 2 1 3 ) 式中的，( ( ，) ) 时，进行如下 分解：任取te o ，t 】 n 和厂 ( f ) ) = 归e n ，o ) q l 工( s ) + 矿o ) q 2 “o ) 协+ r 扛7 。) g 地m 。) q 甜。凇+ ，鳓娴， ( 2 1 4 ) = m j n e f x t ( s ) q 1 x ( s ) + 甜7 ( s ) q | ( s ) 】凼+ x ( 7 ) q o x ( r ) + 埘归e 昏，( s ) q l x o ) + “7 ( s ) q 2 “( s ) 弘) 以 ( f ) ) = e r r o ) g x o ) + “7 ( j ) q 2 “o ) 】幽+ 矿( r ) 珐板n ) ， ( 2 1 5 ) 则根据( 2 1 3 ) 式以及( 2 1 5 ) 式，( 2 1 4 ) 式可以表示为 。咿， ( f ) ) = 哑n 以 ( f ) ) + “争e f 【，o ) q i x o ) + “7 0 ) q 2 “o ) 】出) ，( 2 1 6 ) 步求出局部概念下的最优控制器“( f ) 。 对于每个子系统i ，i = l ，r ，我们可以找到一个控制( ( d ，使得彳( f ) 能最小 化以( o ) ) 。由于整个随机模糊系统的能量为每个随机模糊子系统的能量和，根 据能量的加法性质，并根据前面的分析，可以得到在t 时刻局部概念下的最优模 糊控制器“( f ) ，“( f ) = ( z ( f ) ) 彳( f ) 第二章连续时间加噪声随机t - s 模糊系统的适定性以及局部概念下的最优控制问题 综上所述，给定随机t - s 模糊子系统( 2 9 ) 以及控制规则( 2 1 0 ) ： 1 ) 对每个子系统f ，i = l ，r 分别找到它在时刻t 的最优控制器彳( f ) 能最小化 值函数 以( ( ( f ) ) = e r ，o ) q l x o ) + 矿p ) q 2 ，；o ) 】凼十x ( r ) q o 工( 乃) ， ( 2 1 7 ) 2 ) 模糊“混合”每个子最优控制器彳( o ，得到时刻f 在局部概念下的最优控 制器“，它在局部概念下能最小化( 2 1 5 ) 式中的二次值函数以 ( f ) ) ， 即 “( o = 嚏( z ( f ) ) ，o ) ( 2 1 8 ) 2 2 2 连续时间加噪声随机t - s 模糊系统的二次最优模糊控制器设计 根据我们在第一部分的分析，将在以下部分给出连续时间加噪声随机t - s 模 糊系统局部概念下的二次最优模糊控制器设计。 为了解决这一问题，我们首先引入【3 2 】中连续时间l q 6 完全状态信息情况 的最优控制问题。 考虑连续时间随机状态模型l q g 完全状态信息情况 d x ( t ) = a x ( t ) d t + b u ( t ) d t + d d w ( t ) ， ( 2 1 9 ) 其中x ( t ) 为n 维状态向量，状态初始0 ) 为高斯( ，民) 向量；“( 力为m 维控 制向量；缸) 为s 维标准维纳过程；a 为n 阶状态矩阵，口为n m 阶控制矩阵； d 为n x s 阶系数矩阵；x ( t o ) 与d w ( t ) 相互独立。 系统( 2 1 9 ) 的- - - - 次性能指标函数由( 2 1 3 ) 式给出 规定容许控制( f ) 为状态向量x ( t ) 的线性函数，即 “( f ) = k ( f ) x ( f )( k 月)( 2 2 0 ) 其中，月为 f ，t 】_ z m x n 阶矩阵函数集合，其元素分段连续；k 为月的元素， 称为控制增益。 引理2 1 3 2 1 ：考虑由( 2 1 9 ) 式和( 2 2 0 ) 式所描述的连续时间l q g 问题，取时间区 第二章连续时间加噪声随机t - $ 模糊系统的适定性以及局部概念下的最优控制问题 间为【o ，刃，设月阶矩阵s ( f ) 是里卡蒂方程 - s = 鲥+ 4 t s + q l s b q ；1 b t s ( 2 2 1 ) 的有界对称解即；s ( t ) = s 7 0 ) 。且满足s ( 乃= 蜴，则控制器 “o ) = 一9 1 9 1 1 s q ) x ( t ) ( 2 2 2 ) 是最优控制，二次性能指标极小值为 ，( “( f ) ) = 蝣s ( o ) + 髓( o ) + f t r s ( t ) e , a t ， ( 2 2 3 ) 其中，r = d d 7 。 定理2 2 ：对于随机模糊系统 o 为给定的适维系数矩阵。如果对于每个模糊规则 i ，i = 1 ，r 在区间 o ，刀上存在一个九阶对称矩阵s ( f ) ，它是里卡蒂方程 一s 7 ( f ) = s ( f ) 4 + 4 t 墨o ) + q l - s ，( t ) b t 纺1 研s a t ) ( 2 2 4 ) 的解，且墨( d = 岛，t ，刃，则存在一个局部最优模糊控制器： 彳( 0 = 劣1 筇s ( f ) 工o ) ，f - l ，r ( 2 2 5 ) 其e p x * ( t ) 为系统( 2 9 ) 毛e t 时刻的最优状态向量，7 ( f ) 表示，( o 所对应的最优前 提交量，则整个系统在局部概念下的最优控制器为 砧+ ( f ) = ( z ( f ) ) 彳( f ) ， ( 2 2 6 ) l = l 其在局部概念下能最小化( 2 1 3 ) 式q b 的j ( u ) ) 。 证明：本定理由引理2 1 以及本节第一部分的问题陈述可以直接得到，因此不再 加以证明。 例2 2 考虑连续时间非线性加嗓声随机t - s 模糊控制系统( 2 9 ) 式以及模糊控制 ( 2 1 0 ) 式，取n = m = n = s = p = l ，r = 2 ，z ( t ) = x ( t ) ，时间区间为 0 ，1 】。模糊数满足 ( 2 ，5 ) 式的定义。二次性能指标满足( 2 1 3 ) 式。 令4 = l ，4 = - 1 ，且= 马= 1 ，d l = 1 ，d 2 - - - 1 ，q o = q 2 = l ，q i = o 工( o ) = 1 0 ，则( 2 1 1 ) 为 第二章连续时间加噪声髓机t - s 模糊系统的适定性以及局部概念下的最优控制! 里垦 一t ) d t + u ( t ) d t d w ( t ) 工 1 d x ( t ) = 一工2 ( t ) d t + u ( t ) d t - x ( t ) d w ( t ) - 1 x 1 ， ( 2 2 7 ) l x ( t ) d t + u ( t ) d t + 州f ) 工 o 使得对于任意而r “满足： e l x ( t ；t o ，而) 1 2sc l x o fe - 即吲t t o 引理3 1 哪】：若存在函数矿( 关于工有二阶连续导数，以及正常数c l ，q ，岛，满足 c , l x l 2 矿( x ) s 。jl 卅2 ，i 1 1 v ( x ) o ，x ( o ) = x o r “的零解是均方指数稳 定的，且有 e 批而) b 詈蚶麟卧c 3 f ) 砧o ，而硎 ( 3 5 ) 证明：由条件( 3 4 ) ：矿( 力c 2j 卅2 一c 3 墨c 矿2 矿( 曲s c 3 i 爿2 s l 矿( 功，l qc ， 0 屹 c 2 第三章连续时何非线性随机t - s 模糊系统的逆最优控制以及l m i 设计 则根据引理3 1 本引理成立。口 我们称系统( 3 1 ) 是均方指数稳定的，如果存在控制“= 口( x ( f ) ) 连续地离开初 始点，g a ( o ) = o ，使闭环系统的平衡点x ( t ) = o 是均方指数稳定的。 定义3 2 ：一个光滑的正定的径向无界的函数矿( 力，它关于工有二阶连续导数， 称为系统( 3 1 ) 的随机控制l y a p u n o v 函数( s c t f ) 如果满足 c t h 2 s 矿( c 2 阡， ( 3 6 ) i e i 。i n f l ，, 矿+ t r g l t 罟9 1 ) + 哪咱m v x 0 ，( 3 7 ) 其中c l ，c 2 ，岛为正数。其中，l f va _ v , , f ( x ) , k r g v , 9 2 ( x ) ， 随机控$ 1 l y a p u n o v 函数的存在性保证了系统( 3 1 ) 是均方指数稳定，下面的 定理就说明了这一点。它的证明将隐含在定理3 2 以及定理3 3 的证明中。 定理3 1 ；若存在定义3 2 中描述的随机控制l y a p u n o v 函数，则系统( 3 1 ) 是均方 指数稳定。 3 1 2 非线性随机控制系统达到均方指数稳定的逆最优控制问题 首先，介绍z 乙函数的定义： 定义3 3 连续函数，：墨寸墨称为瓦函数，如果它满足严格递增并且，( o ) = o 。 连续函数y 称为亿函数，如果y 瓦并且当r 一有，( r ) 斗。 定义3 4 称系统( 3 1 ) 在均方指数稳定下的逆最优控制问题是可以求解的，若存 在2 乙函数托，且其导数杉也是咒。函数；一个函数值为矩阵的函数恐( z ) 且对 任意的x 满足疋= 如( 妒 0 ；一个正定的径向无界的函数，o ) 以及一个反馈 控制= 口( 力，且口( 连续地离开初始点口( o ) = o 。满足以上条件就能保证系统 ( 3 1 ) 在平衡点工= o 达到均方指数稳定并且能最小化值函数 ， ) = e f ，( x ) + 矿托弓i 足( x ) 怛“1 ) 】d f ，2 ( 3 8 ) 第三章连续时间非线性随机t - s 模糊系统的逆最优控制以及l m i 设计 接着，对于( 3 8 ) 式我们先给出当= 2 ，乃( r ) = = i ，2 时，非线性随机控制系统 达到均方指数稳定的逆最优控制定理。显然，托为瓦。函数，且托r ( r ) = 三，也是 比函数。 定理3 2 ( 非线性随机控制系统达到均方指数稳定的逆最优控制定理i ) 考虑以 下控制 譬= a ( 力= 一写1 扛) ( ”7 ， ( 3 9 ) 其中矿( 功为l y a p u n o v 函数，是( 工) 是一个函数值为矩阵的函数且满足对任意的工 有恐( 曲= 马( 曲1 o 。若( 3 9 ) 式使系统( 3 1 ) 关于y ( z ) 达到均方指数稳定，且有 ，皇。矿+ 扣 g l t 罟岛) + k 吲力- c ，i x l 2 ，( 3 1 0 ) 则控制 “= 口( x ) = - 2 p k - 1 ( 力( k 矿) 7 ， ( 3 1 1 ) 使系统( 3 1 ) 在平衡点x = 0 达到均方指数稳定且最小化性能指标函数即值函数 ， ) = 以f p ( 力+ f 7 岛“j 打) ， ( 3 1 2 ) 其中 z = 叫易矿+ i t r g , 7 窘蜀) 】+ 4 ( 乞以曲) 巧b ) ( 欠矿( 坳( 3 1 3 ) 证明：根据条件( 3 1 0 ) 式得 三矿l 均皇t 矿+ 三t r 蜀7 丽9 2 v 蜀) 一( k y ) 巧1 ( 蝴( k 7 - c 3 1 x 1 2 ，( 3 1 4 ) 则有 j ( 力= _ 4 工y b ) - 4 q h 2 ， ( 3 1 5 ) 由于i 爿2 o ，q o ，l ( x ) g i e 定。因此( 3 1 2 ) 式对值函数- 厂( “) 的定义是有意义 的。 在证明控制器( 3 1 1 ) 式能最小化值函数( 3 1 2 ) 式前，我们先来证明( 3 1 1 ) 式使 系统( 3 1 ) 达到均方指数稳定。 第三章连续时间非线性随机t - $ 模糊系统的逆最优控制以及l m l 设计 工矿h 。= 。矿+ ；t r 弛7 窘g l + ( 乞矿) - 2 p h - ( k 矿) t 】 = - 矿+ 圭t r 7 瓦a 2 v i g l - 2 ( k 矿) i g ( k 矿) t ( 3 1 6 ) s 上y i 均咚i z l 2 ，o 所以( 3 1 1 ) 式使系统( 3 1 ) 达到均方指数稳定。 现在，我们来证明最优性。首先，让我们回忆矿( x ( f ) ) 皇v ( x ) 的i t 6 微分形式， 可以得到 d v ：l v ( x ) d t + o _ v 蜀o ) d w ， ( 3 1 7 ) 根据硒积分的性质【2 9 】，我们有 e 矿o ( o ) ) 一y ( 工( f ) ) + f y ( x ( f ) ) d f - - - 0 ( 3 1 8 ) 然后，将，( 力代入，( “) ，我t f 有 ， ) = 耳f 【，( 功+ “7 是“】d r ) ， = 4 e y (