（数学专业论文）具有公共值的亚纯函数及其相关问题.pdf

m e r o m o r p h i c f u n c t i o n ss h a r i n gv a l u e s a n dr e l a t e dp r o b l e m s at h e s i ss u b m i t t e df o rt h ed e g r e eo fm a s t e r c a n d i d a t e ：c h ug u a n g x u e s u p e r v i s o r ：p r o f l i iw e i r a n s c h o o lo fm a t h e m a t i c sa n dc o m p u t a t i o n a ls c i e n c e c h i n au n i v e r s i t yo f p e t r o l e u m ( e a s tc h i n a ) 9洲6肿6洲6 萋曼7，舢8iiii-y 关于学位论文的独创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在指导教师指导下独立进行研究工作所取得的 成果，论文中有关资料和数据是实事求是的。尽我所知，除文中已经加以标注和致谢外， 本论文不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含本人或他人为获得中国石油 大学( 华东) 或其它教育机构的学位或学历证书而使用过的材料。与我一同工作的同志 对研究所做的任何贡献均己在论文中作出了明确的说明。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文作者签名： 趣墨掌日期：”年6 月争日 学位论文使用授权书 本人完全同意中国石油大学( 华东) 有权使用本学位论文( 包括但不限于其印 刷版和电子版) ，使用方式包括但不限于：保留学位论文，按规定向国家有关部门 ( 机构) 送交学位论文，以学术交流为目的赠送和交换学位论文，允许学位论文被 查阅、借阅和复印，将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，采用 影印、缩印或其他复制手段保存学位论文。 保密学位论文在解密后的使用授权同上。 学位论文作者签 指导教师签名： 日期：砂f 年6 月纱日 日期：勿，年月孕日 摘要 亚纯函数理论起源于芬兰数学家r n e v a n l i n n a 所创立的值分布理论n e v a n l i n n a 理论的创立不仅奠定了现代亚纯函数理论的基础，而且对数学的许多分支的发展，交叉 和融合也产生了重大而深远的影响特别是它在复微分方程理论的研究中，提供了十分 重要的研究工具1 9 2 9 年，r n e v a n l i n n a 研究了确定一个亚纯函数所需的条件，得到两 个著名的亚纯函数惟一性定理，它们通常被称为n e v a n l i n n a 四值定理和n e v a n l i n n a 五 值定理从此，亚纯函数惟一性理论，特别地为亚纯函数公共值问题的研究拉开了序幕 本文以值分布理论为主要工具，研究了具有公共值的亚纯函数及相关问题，全文共 分五章 第一章，简要介绍了有关亚纯函数值分布理论的一些主要概念、基本结果和常用符 口 了 第二章，讨论了一类微分方程的超越整解及不动点，进而推得到有关定理 定理2 1 设是一个整函数，刀( 2 ) 是一个正整数，口是一个整函数，那么方程 f 一z = e a ( ，一z ) 有超越整函数解厂，且的形式： z f = c e 斤， 其中c 是非零常数 很明显，根据定理2 1 ，我们可以得到下面的结果： 推论2 1 设厂是一个整函数，胛( 2 ) 是一个正整数，如果”和( 厂”) 共享z ( 计重 数) ，那么定理2 1 的结论仍然成立 定理2 2 设厂是一个超越整函数，玎，k 是正整数，r n k + 2 ，如果厂”和( 厂”) 。 屹 共享z ( 不计重数) ，那么厂= i ，其中c ，w 是非零常数，且满足矿= 1 第三章，讨论了一类复微分方程的增长性 第四章，讨论了涉及不动点和亚纯函数惟一性理论问题，得到相关定理 定理4 1 设厂，g 是两个非常数亚纯函数，刀，k 是正整数rn 3 k + 1 0 如果( 厂”) 和 ( g ”) 。共享e ( z ) ( 计重数) ，其中p ( z ) 是聊次多项式，和g 共享o o ( 不计重数) 则 厂( z ) = q p 凹“，g ( z ) - - - - c 2 p 卅，其中g ( z ) = r 尸( f 矽f ， q ，c 2 和c 三个常数满足 ( 所+ l 枷2 ( q 巳) ”c 2 = 一1 ，或者厂兰t g ，常数r 满足，”= 1 理 第五章，涉及到亚纯函数或整函数及其微分多项式的唯一性问题，进而得到有关定 定理5 1 设刀和m 是两个正整数，= m i n 2 ，m ) ，设厂和g 是两个非常数的亚纯函 数，j l o ( o o ，f ) 如果满足 刀+ l 最( & ，”( 一1 ) f ) = 露( 最，g ”( g 一1 ) g ) 且满足下面条件之一： ( 口) 尼3 且刀 一8 + 3 ，( 6 ) 七：2 且，2 _ 2 1 + 3 ，( c ) 七：1r 聆 1 _ 8 + 2 ， mz mm 则f 三g 关键词：亚纯函数，整函数，导函数，分担值 m e r o m o r p h i cf u n c t i o n ss h a r i n gv a l u e sa n dr e l a t e dp r o b l e m s c h ug u a n g x u e ( m a t h e m a t i c s ) d i r e c t e db yp r o f e s s o rl ow e i r a n a b s t r a c t t h eu n i q u e n e s st h e o r yo fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n so r i g i n a t e sf r o ms o m ew o r k si nr n e v a n l i n n a t h en e v a n l i n n at h e o r yi si m p o r t a n tn o to n l yb e c a u s ei ti st h eb a s i so fm o d e m m e o r m o r p h i cf u n c t i o nt h e o r y , b u ta l s ob e c a u s ei th a sq u i t ea l le f f e c to nt h ed e v e l o p m e n to f m a t h e m a t i c a lb r a n c h e s ，a n do nt h ei n t e r a c t i o na m o n gt h e m e s p e c i a l l y , t h en e v a n l i n n at h e o r y s u p p l i e sav e r yp o w e r f u lt o o lt ot h er e s e a r c ho fc o m p l e xd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i n19 2 9 ， r n e v a n l i n n as t u d i e dt h ec o n d i t i o n sw i t l lw h i c ham e r o m o r p h i cf u n c t i o nc a nb ed e t e r m i n e d a n do b t a i n e dt w oc e l e b r a t e du n i q u e n e s st h e o r e m sf o rm e r o m o r p h i cf u n c t i o n s ，w h i c ha r e u s u l l yc a l l e dn e v a n l i n n a sf o u r - v a l u et h e o r e ma n dn e v a n l i n n a sf i v e 。v a l u et h e o r e m t h i s l a u n c h e dt h ei n v e s t i g a t i o no fu n i q u e n e s st h e o r yo fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n sa n di np a r t i c u l a r t h es h a r e dv a l u e so fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n s i nc h a p t e ro n e ，w eb r i e f l yi n t r o d u c es o m em a i nc o n c e p t s ，f u n d a m e n t a lr e s u l t sa n du s u a l n o t a t i o n sc o n c e m e dw i t ht h i st h e s i si nt h ev a l u ed i s t r i b u t i o n t h e o r yo fm e r o m o r p h i c f u n c t i o n s i nc h a p t e rt w o ，w es t u d yo nt h et r a n s c e n d e n t a le n t i r es o l u t i o n so fac e r t a i nd i f f e r e n t i a l e q u a t i o na n df i x e d - p o i n t sa n do b t a i ns o m er e s u l t t h e o r e m2 1l e tfb ea ne n t i r ef u n c t i o n ，z ( 2 ) b eap o s i t i v ei n t e g e r ，口b ea n e n t e r ef u n c t i o n ，t h e nt h ee q u a t i o nf 一z = e a ( ，一z ) h a st r a n s c e n d e n t a le n t i r es o l u t i o n a n dfa s s u m e st h ef o r m = w h e r eci san o n z e r oc o n s t a n t f = c e 行， c o r o l l a r y2 1l e tfb ean o n c o n s t a n te n t i r ef u n c t i o n ，胛( 2 ) b eap o s i t i v ei n t e g e r ， iff “a n d ( 厂”) s h a r ezc m ，t h e nt h ec o n c l u s i o no ft h e o r e m2 1i sv a l i d t h e o r e m2 2l e tfb eat r a n s c e n d e n t a le n t i r ef u n c t i o n ，刀，kb ep o s i t i v ei n t e g e r s ，a n d 刀k + 2 ，i ff ”a n d ( f ”) 。s h a r ezi m ，t h e nf = c en ，w h e r eca n dwa r en o n z e r o c o n s t a n t s ，a n dw k = 1 i nc h a p t e rt h r e e ，w es t u d yt h eg r o w t ho fac e r t a i nc o m p l e xd i f f e r e n t i a le q u a t i o n i nc h a p t e rf o u r , w es t u d yf i x e d p o i n t sa n du n i q u e n e s so fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n sa n d o b t a i ns o m er e s u l t s t h e o r e m4 1l e tfa n dgb et w on o n c o n s t a n tm e r o m o r p h i cf u n c t i o n s ，a n dl e t 刀，k b et w op o s i t i v ei n t e g e r sw i t h 刀 3 k + 1 0 i f ( 厂”) 。a n d ( g ”) s h a r e p ( z ) c m ，尸( z ) i sap o l y n o m i a lw i t hd e g r e em ，fa n dgs h a r e t a t ) i m ，t h e n 厂( z ) = c i e c q ( z ) , g ( z ) = c 2 e 一凹”， 、h e r e g ( z ) = r j p ( 孝) d 孝，q ，乞a n d ca r ec 。n s t a n t ss a t i s f y i n g ( m + 1 ) n 2 ( c 1 c 2 ) ”c 2 = 一1 ， o rf 三t gf o rac o n s t a n t ，s u c ht h a t ，”= 1 i nc h a p t e rf i v e ，w ec o n s i d e rt h eu n i q u e n e s so fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n so re n t i r ef u n c t i o n s a n dt h e i rd i f f e r e n t i a lp o l y n o m i a l sa n do b t a i ns o m er e s u l t s t h e o r e m5 1l e t ，za n dmb et w op o s i t i v ei n t e g e r s ，j = m i n 2 ，m ) ，l e t fa n dg b et w on o n c o n s t a n tm e r o m o r p h i cf u n c t i o n ss u c ht h a te ( o o ，厂) if n + l 邑( & ，厂”( 厂一1 ) f ) = 巨( ，g ”( g 一1 ) g ) a n do n eo ft h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n si ss a t i s f i e d ： ( 口) 后3a 1 1 d ，2 一8 + 3 ，( 6 ) 七：2a n d 聆 i 2 1 + 3 ，( c ) 七：la 1 1 d 刀 坚+ 2 ， mz mm t h e n f 三g k e yw o r d s ：m e r o m o r p h i cf u n c t i o n ，e n t i r ef u n c t i o n ，d e r i v a t i v e ，s h a r e dv a l u e 目录 第一章预备知识及常用记号一1 1 1n e v a n l i n n a 理论简介：1 1 2 亚纯函数惟一性理论简介一5 第二章一类微分方程的超越整解及不动点。6 2 1 引言及主要结果6 2 2 引理7 2 3 定理2 1 的证明7 2 4 定理2 2 的证明1 l 第三章一类复差分方程解的增长性1 2 3 1 引言及主要结果1 2 3 2 引理1 2 3 3 定理的证明1 3 第四章不动点和亚纯函数惟一性理论1 6 4 1 引言及主要结果l6 4 2 引理17 4 3 定理的证明1 7 第五章亚纯函数或整函数及其微分多项式的唯一性2 4 5 1 引言及主要结果2 4 5 2 几个引理2 5 5 3 定理的证明2 6 结论3 2 参考文献一3 3 攻读硕士期间取得的学术成果一3 5 致 谢3 6 中国石油大学( 华东) 硕士论文 第一章预备知识及常用记号 1 1n e v a nlin n a 理论简介 1 9 2 5 年，作为亚纯函数惟一性理论的主要工具，r n e v a n l i n n a 创立了值分布理论， 自该理论创立以来，值分布理论得到逐步发展完善，并在亚纯函数惟一性理论和复微分 方程振荡理论中得到广泛应用在下面将简要介绍n e v a n l i n n a 理论以及其常用记号本 文中，所有亚纯函数都是指在开平面c = z ：h ) 上的非常数的亚纯函数，并且 c = ( z ：i z l o o u o o 表示扩充的复平面 定义x 的正对数，当x 0 为 。g + x = i 。l o g ，x ：) 三妄三i 设函数厂( z ) 是h r ( o r ) 上的亚纯函数，对于o 7 0 ，则称口和6 ( 口，) 分别是厂的亏值和亏量 2 中国石油大学( 华东) 硕士论文 定理1 1 ( 对数导数引理) 设厂为圆h r ( o r ) 内的亚纯函数且厂( o ) o ，o o ，则 当0 ， p r 时，有 朋7 f ( k ) u g l u g 网1 + 2 l o g + 吾+ 3 l o g + p ，1 - - - l + l o g * p + 4 l o g + t ( 吖) 当f ( o ) = 0 或者f ( o ) = 0 0 时，可以通过适当修改式子右端前面两项以及各项的系数，定 理仍然成立 常记为 m 争叫“) ， 其中s ( r ，厂) 是满足s ( ，力= d ( 丁( ，j o ) ，p 专，仨e ) 的量，但是其每次出现时，并不一定 完全相同 定理1 2 ( n e v a n l i n n a 第一基本定理) 设厂( z ) 为i z i 尺( ) 内的亚纯函数若口为任 一有穷的复数，则对于0 ， 尺有 丁( ，士) = t ( r , f ) + l o g i c ：i + e ( a , r ) ， ( 1 一1 ) ，一a 其中气为7 丽1 在原点的l a w e n t 展式中第一个非零的系数，而 i ( q ，) i l o g + i a + l 0 9 2 通常将式( 1 - 1 ) 写为丁) = 丁( 厂，厂) + d ( 1 ) ，一a 定理1 3 设厂( z ) 为h r 内的非常数的亚纯函数，q ( = 1 ，2 ，g ) 是g 个判别的有 穷复数，那么当0 ， r 时有 m 喜者2 扣，南m ， 定理1 4 ( n e v a n l i n n a 第二基本定理) 设厂( z ) 为区域h 2 ) 个相互判别的有穷复数，那么当0 ， r 时有 第一章预备知识及常用记号 这里 ，z m 喜所击) 2 m - l ( ，) + 跗， l ( ，) = 2 厂) 一厂) + 7 1 ) ， 跗一争嘶嘉南m ， 其中，余项s ( r ，厂) 估计如下： ( 1 ) 当e ( f ) 3 ) 个相互判别的复数则 ( 即小喜_ ( ，南m ( ，力， 其中s ( r ，f ) = o ( 丁( ，厂) ) 定理1 5 设厂( z ) 为复平面内的亚纯函数，a l , a 2 ，a 3 为3 个相互判别的厂( z ) 的小函 数则有 m 3 ) 个相互 判别的小函数，可以得到 ( g _ 2 m 小喜，南m ( ，n 1 2 亚纯函数惟一性理论简介 在本小节中，将要介绍一些有关具有公共值的亚纯函数的一些基本概念、常用记号 以及主要定理 我们称厂和g 共同分担a c m ( c o u n t i n gm u l t i p l i c i t y ) ，若f - a 和g a 有相同的零点 并且每个零点的重数都相同( 其中f 和g 为非常数的亚纯函数，a 为任意复数) ；类似 地，如果f a 和g a 仅有相同的零点，不考虑零点的重数，则我们称厂和g 共同分担 a i m ( i g n o r i n g m u l t i p l i c i t y ) 如果厂与g 分担a i m ，并且一a 与g a 每个零点的重数都 不相同，则我们称厂与g 分担a d m 显然，厂与g 分担o o c m ，表明f 与g 有相同的极 点 5 第二章一类微分方程的超越整解及不动点 第二章一类微分方程的超越整解及不动点 2 1 引言及主要结果 在2 0 0 8 年，c l l e i 和m l f a n g 【4 】等人证明了下面的定理 定理a 假设厂是一个非常数亚纯函数，疗，k 是正整数rn k + 5 ，口是一个非零 常数如果厂”和( 厂”) 。共享口( 计重数) ，那么f = c e ”，其中c 是非零常数，w k = 1 最近，j l z h a n g 和l z y a n g 研究了一个幂次方整函数与其导数共享一个值的情 况，得到了下面的结果【5 】： 定理b 设厂是一个非常数的整函数，n 是一个正整数如果厂”和( ”) 共享1 ( 计 重数) ，_ rn k + l ，则f ”= ( f ”) 且有形式f = c e 一，其中c 是非零常数，w k = 1 通过上面的定理，我们就能提出一个有趣的问题：如果厂”和( 厂”) 。共享z ( 计重 数) ，会得到什么样的结果呢? 下面就是通过方程的超越整解来解决这个问题： f 一z = e 口( f z ) ，( 2 - 1 ) 其中f = f “，且口是整函数现在我们用一个不同的方法并且给出了下面的结果 定理2 1 设厂是一个整函数，刀( 2 ) 是一个正整数，口是一个整函数，那么方程( 2 一1 ) 有超越整解厂，且厂的形式： f = c e 坩， 其中c 是非零常数 很明显，根据定理2 1 我们可以得到下面的结果： 推论2 1 设厂是一个整函数，胛( 2 ) 是一个正整数，如果厂”和( 厂”) 共享z ( 计重数) ， 那么定理2 1 的结论仍然成立 很明显，推论2 1 改善t 5 1 中的结果，并且回答了上面的开问题 为了说明条件刀2 是不可缺少的，我们给出了下面的例子： 例1 设厂= p 。r e - e ( 1 - e t ) t d t ，那么厂是一z = e z ( f - z ) 的一个非常数解，_ h f n i 6 中国石油大学( 华东) 硕士论文 7 共享z ( 计重数) ，但是f f 7 例2 设厂= e 3 z 2 3 z - + 吾，那么厂是厂t - - z = 3 ( f z ) 的一个非常数解，且厂和厂共 享z ( 计重数) ，但是f f 定理2 2 设厂是一个超越整函数，刀，k 是正整数，r n k + 2 ，如果”和( 厂”) ) w g 共享z ( 不计重数) ，那么f = c e 一，其中c 是非零常数，w 。= 1 2 2 引理 为了证明上面的定理，我们需要下面几个引理： 引理2 1 ( 6 ，7 】) 假设厂是一个亚纯函数且在整个复平面上是超越的，满足 ，p t ，、) = q ( f 、) ， 其中p ( f ) 和q ( f ) 是的微分多项式，以厂的逼近函数作为系数j j q ( f ) 的度至多为刀， 那么 m ( r ，尸( 厂) ) = s ( r ，力 引理2 2 ( 【1 ，8 】) 设是一个超越的亚纯函数，那么 嘶，争叫切 对于任一正整数，都成立 引理2 3 ( 【l ，3 】) 设厂是一个亚纯函数，且q ( z ) ( f = 1 ，2 ，3 ) 是厂( z ) 的三个相互区别的 小函数，那么 m 翊击) 啊寿埘去m n 2 3 定理2 1 的证明 对( 2 一1 ) 进行微分得到： ，。一1 = 口7 e 。( f z ) + e 口( f 7 一1 ) ， 结合( 2 1 ) 和( 2 2 ) 得 7 ( 2 2 ) 第二章一类微分方程的超越整解及不动点 即 其中 ( f 一1 ) ( ，一z ) = o ( ，一z ) ( f z ) + ( f 一z ) ( f 一1 ) ， f f 一口f f - ( f ) 2 = ( 1 一口z ) ，+ 扩”- ( a z + z + 1 ) f + 口z 2 ( 2 3 ) 将( 2 - 3 ) 式用f = n f ”1 f ，f = f ”替换，得到 厂”厂”2 p = q ， ( 2 4 ) p = f f ”一1 1 0 i f 一n ( f ) 2 q = ( 1 - - 0 z ) f ”+ z n ( n - 1 ) f ”一2 ( 厂) 2 + n f ”一1 f 。) 一n ( a7 z + z + 1 ) f ”一1 f + 口7 2 2 ， 是厂的微分多项式，并且q 的次数是n 通过引理2 1 ，得到 m ( r ，f ”2 尸) = s ( r ，f ) ， 和 r ( r ，f ”2 p ) = s ( r ，厂) ( 2 - 5 ) 现在证明p 兰0 假设尸0 ，nn 3 ，根据( 2 5 ) 和引理2 1 ，得到r ( r ，厂) = s ( r ，厂) ， 这是不成立的假设刀= 2 ，得到 p = 2 i f ”一2 07 一2 ( f ) 2 ( 2 6 ) 根据( 2 4 ) 和引理2 2 得r ( ，尸) = s ( r ，门和m ( r ，p f 2 ) = s ( r ，f ) 上面的方程化为 嘶，手) = s ( 吖) ( 2 - 7 ) 此外，根据p 的表达式可到f 的零点一定是p 的零点，因此 n ( r ，1 f ) = ( ，1 f ) + s ( ，门再结合( 2 - 7 ) 和第一基本定理( 【3 ，定理1 2 ) 得到： 地舻盹尹1 眠力 ( 2 8 ) 通过( 2 6 ) ，我们得到 p = 2 f f ”- 2 0 ”i f 一2 0 i f ”一2 0 ( 厂) 2 2 f y ” 8 ( 2 9 ) 和 设气是厂的一个简单零点，根据( 2 6 ) ；g i ( 2 9 ) 得到 p ( z o ) + 2 f ( z o ) 2 = 0 p 7 ( 气) = - 2 口( z o ) ( ) 2 - 2 f ( z o ) f ( ) ， 表明z o 是p f 。+ ( 口p p ) 厂7 的零点设 g = 丛等型 因此，t ( r ，g ) = s ( r ，厂) 根据( 2 - lo ) 得到 f 1 = a l f + b l 7 ， 其中q = g p ，届= ( p 一口p ) p ，且 t ( r ，q ) = s ( r ，厂) ，t ( r ，屈) = s ( r ，) 将( 2 11 ) 代a ( 2 6 ) 式得到 p = 2 q 厂2 + 2 ( 屈一口) f f 7 2 ( f ) 2 根据( 2 1 1 ) 得到 f ”= a 2 f + 殷f ， 其中= 叫+ q 屈，屈= q + 屏+ 屏，和 t ( r ，) = s ( r ，力，t ( r ，屈) = s ( r ，f ) 再根据( 2 - 1 3 ) ，( 2 11 ) 和( 2 9 ) 得 ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 - 1 2 ) ( 2 - 1 3 ) 尸= 2 ( a 1 2 一口乜) 厂2 + 2 ( 屈一口溉一口一q ) 一2 ( a + 届) ( ) 2 ( 2 1 4 ) 通过( 2 一1 2 ) 和( 2 1 4 ) 得到 p = 2 ( 一a t z l ) f 2 + 2 ( p 2 一口饵一口一a , ) f f 一2 缸，+ 层) q 厂2 + ( 届一口) f f 一； 注意到p = 似+ 届) p ，据口：和屈的定义，可以从( 2 1 5 ) 推出 9 ( 2 1 5 ) 第二章一类微分方程的超越整解及不动点 ( 耐一2 口) 厂+ 群一口”一口红+ ( 口) 2 ) 厂= 0 ( 2 - 1 6 ) 假设叫一2 0 i o t ，兰0 ，那么= c e 撕，其中c 是非零常数如果e 8 三1 ，那么( 2 一1 ) 得到 厂= c e n 就是要求的结果如果矿1 ，结合( 2 一1 ) 得到n ( r ，i f ) = s ( r ，厂) ，这与( 2 - 8 ) 矛 盾现在假设叫一2 0 , o 0 ，同样的方法，( 2 1 6 ) 得到u ( r ，1 f ) = s ( r ，力，与( 2 - 8 ) 矛 盾因此，p 三0 然后根据( 2 4 ) 得9 = 0 ，再据( 2 - 3 ) 得 ，下一o7 f f 一( f7 ) 2 = 0 ( 2 1 7 ) 显然，根据( 2 1 7 ) 得到 ：口，+ 歹2 + 了。 整理得，f7 = d f e 。，其中d 是非零常数代入( 2 一1 ) 得到 ( d - 1 圹= 竽 如果d = 1 ，根据上式和方程( 2 1 ) 得到f = f 即厂= c e ”，其中c 是非零常数 如果d 1 ，( 2 - 8 ) 表明厂有无穷多个简单零点，厂的非零点是1 一矿的零点，且至少 是刀次，根据上面的方程和第二基本定理( 或引理2 3 ) 得到 m ) 肌，一+ 肌，古) + 矾，六) + s ( r , e a ) ， 这里行2 意味着e 。是一个常数假设e “= b ，那么 f 一b f = z ( 1 一b ) ( 2 - 1 8 ) 如果b = 1 ，那么f7 = f 导出f = c e ”，其中c 是非零常数 如果b 1 ，那么( 2 1 8 ) 表明n ( r ，1 门= s ( r ，f ) ，这与( 2 8 ) 矛盾这样就完成了定理 2 1 的证明 注意：通过细查定理2 1 的证明，这里作为定理2 1 的推广，有下面的问题： 猜想：设厂是一个非常数整函数，刀是正整数，如果厂”和( 厂“) 共享z ( 计重数) ， h _ n k + l ，那么f ”= ( 厂”) ，且厂的形式为厂= c e n ，其中c 是非零常数，矿= 1 1 0 中国石油大学( 华东) 硕士论文 2 4 定理2 2 的证明 m 肌+ 肌，芦1 + 研，击) 删吖) ( 厂，) + ( 厂，志) + s ( r ，厂) 鲰，抄m ，等m 门 鲰，抄肿，等m 亿门 刃( ，手) + z v ( ，7 1 ) + s ( 厂，) s ( 七+ 1 ) t ( r ，厂) + s ( r ，厂) ， 当i 1 k4 - ，时徂列矛盾1 天i 出f ：f ( 文扦窨融了定理的；币明 第三章一类复差分方程解的增长性 第三章一类复差分方程解的增长性 3 1 引言及主要结果 本文中，我们分别用记号p ( f ) 和j u ( f ) 表示亚纯函数f ( z ) 的增长级和下级( 见【l 】) 从s b a n k 和i l a i n e 的创始性工作开始，对于二阶复微分方程 。+ a ( z ) f + b ( z ) f = 0( 3 - 1 ) ( 其中彳( z ) ，g ( z ) 均为有穷级的整函数) 的复振荡，人们已经得到大量经典结果( 见【2 6 】) 最近，z h uj u n 和伍鹏程( 见 2 7 1 ) 讨论了a ( z ) 为有穷级整函数且具有有穷亏值时，方程 ( 3 1 ) 的任意非零解的增长性问题他们的主要定理如下： 定理a 假设a ( z ) 为有穷级整函数并且具有有穷亏值，g ( z ) 为超越整函数满足 ( b ) 1 2 ，则方程( 3 - 1 ) 的任意非零解都具有无穷增长级 自2 0 0 6 年以来，有大量文献涉及亚纯函数与其移动，差分的值分布性质人们发现， 对于有穷级亚纯函数而言，其移动和差分某些性质类似导数，比如说， m ( r ，f ( z + c ) f ( z ) ) 有类似于对数导数引理的结果成立 对于非零复常数叩，我们定义差分算子：a 。厂( z ) = f ( z + r 1 ) 一厂( z ) ，当刀口，n 2 时 ：厂( z ) = ：。1 ( 叩厂( z ) ) 特别，如果7 = 1 ，我们采用用一般的差分记号：厂( z ) = a ”厂( z ) 很自然地，我们会考虑在方程( 3 1 ) 中用差分代替导数后，通过这样的步骤所得 到的差分方程具有怎样的振荡性，这是有趣的问题事实上，我们得到 定理3 1假设a ( z ) 为有穷级整函数并且具有有穷亏值，b ( z ) 为超越整函数满足 l a ( b ) 1 2 ，则差分方程 2 f ( z ) + 彳( z ) 矽( z ) + b ( z ) 厂( z ) = 0 ( 3 2 ) 的任意非零解( z ) 满足p ( f ) 1 3 2 引理 为了所得结果，我们需要下面引理 引理3 1 ( 2 8 】)假设f ( z ) 为亚纯函数满足p ( f ) = p 0 和整数0 k ，存在有穷线性测度集合ec ( 1 ，0 0 ) ，使得对于满足 zi _ ，硭e u 0 ，1 】的 1 2 中国石油大学( 华东) 硕士论文 ( 3 3 ) 引理3 2 ( 【2 9 】)假设g ( z ) 为整函数满足0 a ( g ) m ( r ) c o s z e t ， 其中r e ( r ) = i n f t z - ，l o gg ( z ) i ，m ( ，) = s u p l ：l = rl o gg ( z ) 1 引理3 3 ( 【2 7 】)假设g ( z ) 为整函数满足0 0 ，存在一 列趋于无穷的b ，使得 g ( r n e 印) i e x p 群g 一占) ，妒 o ，2 万) ； 川( e ) = ：聊 秒【o ，2 万) ：l 。gi 彳( r e 旧) 一口i 。 对于充分大的胛都成立，其中常数d 仅依赖于p ( 彳) ，( g ) 和万 ( 3 - 4 ) ( 3 - 5 ) 注释：首先由引理3 3 的证明过程可知，我t l , - - i p a 找到一列r 满足( 3 - 4 ) 和( 3 5 ) 式，同时 民仨e ，集合e 具有有穷对数测度当( g ) = 0 时，我们利用引理3 2 ，对引理3 3 的证明 过程做适当修改，可得( 3 4 ) 仍然成立，且( 3 4 ) 换为 l o gg ( r e 印) i ( c o sr c a ) l o gm ( r ，b ) ，矽 o ，2 z ，( 3 6 ) 其中m ( r ，b ) = m a x 川；，ib ( z ) i ，口( 0 ，1 ) 3 3 定理的证明 假设差分方程( 3 2 ) 具有一非零解厂满足p ( f ) 0 我们将( 3 2 ) 改写为 阶一等讹巾圳等， 1 3 ( 3 - 7 ) 第三章一类复差分方程解的增长性 闰帮i + ( - 口i 小等| ( 3 - 8 ) 利用引理3 1 ，对于0 占 m a x o p ，i 1 ( b ) ) ，存在一有穷线性测度集合巨c 0 , o o ) ，使 得对于满足iz | - r 舞局w o ，1 】的所有z ，我们有 i a 俐2 f ( z ) 削川，i 箸i 1 ( 3 - 9 ) 接下来，我们分两种进行讨论 情形1 0 + l 口i 2 i 口i ( 3 1 4 ) 中国石油大学( 华东) 硕士论文 另一方面，由于b ( z ) 为超越整函数，我们有 l i m 单坐塑：佃 il o g r 这与( 3 1 4 ) 式相矛盾 综合上述两种情况的讨论，我们知道必然p ( f ) 1 ，定理得证 1 5 第四章不动点和亚纯函数惟一性理论 4 1 引言及主要结果 在值分布论中，下面的著名结果是由h a y m a n 【9 提出的，并且几乎同时有几个 作者 1 0 ，11 解决了 定理a 设为非常数整函数，f 1 是正整数贝1 j f ”f 一1 有无穷多个零点 f a n g 【1 2 和y a n g 1 3 1 根据定理a 得到唯一性定理： 定理b i r f ，g 是两个非常数的亚纯函数( 整函数) ，九1l ( n 6 ) 是正整数如果 厂”厂和g ”g 共享l ( 计重数) ，贝l j f ( z ) = c i e e zg ( z ) = c 2 e 一，其中c 1c 2 和c 三个常数 满足( c i l 7 2 ) ”1 c 2 = 一1 ，或者f 兰t g ，常数，满足，州：1 f a n g 1 4 通过共享不动点推广定理b 得到： 定理c 设厂，g 是两个非常数的亚纯函数( 整函数) ，疗1l ( n 6 ) 是正整数如果 ”f 和g ”9 7 共享z ( 计重数) ，则厂(