（应用数学专业论文）求解对称非线性方程组的一种hestenessstiefel共轭梯度型算法.pdf

ah e s t e n e s s s t ie f e lt y p ec o n j u g a t eg r a d i e n tm e t h o df o rs o l v i n g n o n l i n e a rs y m m e t r i ce q u a t i o n s b y l i a oc h a n g l o n g b e ( h u n a nn o r m a lu n i v e r s i t y ) 2 0 0 5 at h e s i ss u b m i t t e di np a r t i a ls a t i s f a c t i o no ft h e r e q u i r e m e n t sf o rt h ed e g r e eo f m a s t e ro fs c i e n c e a p p l i e dm a t h e m a t i c s i n t h e g r a d u a t es c h o o l o f h u n a nu n i v e r s i t y s u p e r v i s o r p r o f e s s o rl id o n g h u i n o v e m b e r , 2 0 10 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名热量色 吼2 乩年，工月7 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 作者 导师 l 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密电 ( 请在以上相应方框内打“”) 日期：z ol o 年i2 - , 9 7 日 日期：) 。眸眵月- 7 日 求解对称非线性方程组上的一种h e s t e n e s s s t i e f e l 共轭梯度型算法 摘要 本文主要研究求解对称非线性方程组的共轭梯度型数值算法 共轭梯度法是求解无约束最优化问题的一种高效算法，由于其具有存储量小 收敛速度较快的特点，因此它是求解无约束最优化问题尤其是大规模问题的最受 欢迎的一类算法本文的主要目的是将求解无约束问题的h e s t e n e s s s t i e f e l 共轭 梯度法的思想加以改造，并应用于求解对称非线性方程组，提出一种求解对称非 线性方程组的h e s t e n e s s s t i e f e l 型无导数算法我们首先在g u 。l i q i z h o u ( 2 0 0 3 ) 提出的求解对称非线性方程组的一种g a u s s n e w t o n 型b f g s 拟牛顿法的基础 上构造方程组模函数的一种近似最速下降方向，在此基础上，结合求解无约 束最优化问题的h e s t e n e s s s t i e f e l 共轭梯度法，构造求解对称非线性方程组 的h e s t e n e s s s t i e f e l 型共轭梯度方向该方向具有使目标函数值下降的良好性质， 然后，我们利用一种无导数单调线性搜索技术设计算法，使得算法成为一种 无导数下降算法，即算法产生的模函数值序列单调递减在较弱的条件下， 我们证明算法的全局收敛性最后，我们通过数值计算对所提出的算法进行 数值检验，结果表明，本文提出的算法比求解对称非线性方程组的最速下降 型无导数算法具有明显的优势 关键词：对称非线性方程组；h e s t e n e s s s t i e f e l 共轭梯度法；无导数算法；全局收 敛性 硕一卜学位论文 a b s t r a c t t h i st h e s i ss t u d i e st h ec o n ju g a t e g r a d i e n t m e t h o df o r s o l v i n gs y m m e t r i c n o n li n e a re q u a t i o n s t h ec o n j u g a t eg r a d i e n tm e t h o d sa r ev e r yw e l c o m ei t e r a t i v em e t h o d sf o rs o l v i n g u n c o n s t r a i n e do p t i m i z a t i o np r o b l e m s d u et ot h e i rl o w e rs t o r a g er e q u i r e m e n ta n d f a s t e rc o n v e r g e n c er a t e ，t h ec o n j u g a t eg r a d i e n tm e t h o d sh a v eb e c o m eo n ei m p o r t a n t c l a s so fi t e r a t i v em e t h o d sp a r t i c u l a r l yf o rs o l v i n gl a r g e s c a l eo p t i m i z a t i o np r o b l e m s t h ep u r p o s eo ft h i st h e s i si st om a k es o m em o d i f i c a t i o nt oh e s t e n e s s s t i e f e l c o n ju g a t em e t h o da n dt h e ne x t e n di tt os o l v i n gs y m m e t r i cn o n l i n e a re q u a t i o n s b yt h e u s eo fa t e c h n i q u ei n t h eg a u s s n e w t o n t y p e b f g sm e t h o d p r o p o s e db y g u - l i q i z h o u ( 2 0 0 3 ) ，w ef i r s td e r i v e a na p p r o x i m a t i o nt ot h es t e e p e s td e s c e n t d i r e c t i o nf o r t h en o r mf u n c t i o no ft h ee q u a t i o n w et h e na p p l yt h ei d e ao ft h e h e s t e n e s s - s t i e f e lm e t h o df o ru n c o n s t r a i n e do p t i m i z a t i o nt oc o n s t r u c tac o n j u g a t e g r a d i e n tt y p ed i r e c t i o nf o rs o l v i n gs y m m e t r i cn o n l i n e a re q u a t i o n s b yt h eu s eo fs o m e m o n o t o n el i n es e a r c h ，w ep r o p o s eah e s t e n e s s s t i e f e lt y p ec o n j u g a t eg r a d i e n tm e t h o d f o rs o l v i n gs y m m e t r i cn o n l i n e a re q u a t i o n s t h em e t h o di sd e r i v a t i v e - f r e e ，b u te n j o y s an i c ep r o p e r t yt h a tt h ed i r e c t i o n sg e n e r a t e db yt h em e t h o da r en o r md e s c e n t c o n s e q u e n t l y ，t h er e l a t e dn o r mf u n c t i o nv a l u es e q u e n c ei sd e c r e a s i n g u n d e rm i l d c o n d i t i o n s ，w ee s t a b l i s ht h eg l o b a lc o n v e r g e n c eo ft h ep r o p o s e dm e t h o d w ea l s od o s o m en u m e r i c a le x p e r i m e n t st ot e s tt h ep e r f o r m a n c eo ft h ep r o p o s e dm e t h o d t h e r e s u l t ss h o wt h a tt h ep r o p o s e dm e t h o do u t p e r f o r m st h er e l a t e ds t e e p e s td e s c e n tt y p e m e t h o d k e yw o r d s ：s y m m e t r i cn o n l i n e a re q u a t i o n s ；h e s t e n e s s s t i e f e lt y p ec o n j u g a t e g r a d i e n tm e t h o d ；d e r i v a t i v e f r e em e t h o d ；g l o b a lc o n v e r g e n c e h i iii 求解对称非线性方程组卜的一种h e s t c n e s s s t i e f e l 共轭梯度型算法 目录 学位论文原创性声明和学位论文版权使用授权书i 摘要i i a b s t r a c t i i i 附表索引v 符号说明v i 第1 章绪论一l 1 1 非线性方程组的求解2 1 2 无约束最优化问题的非线性共轭梯度法4 1 3 本文的主要工作7 第2 章对称非线性方程组的无导数下降方向9 2 1 近似最速下降方向9 2 2 无导数共轭梯度方向1 1 第3 章一种修正的共轭梯度法1 3 3 1h s 方法及其修正形式1 3 3 2 求解对称非线性方程组的一种无导数m h s 方法1 6 3 3 全局收敛性的证明19 第4 章数值试验2 6 4 1 有关说明2 6 4 2 数值结果及其分析2 7 结论2 9 参考文献3 0 致谢3 3 i v 硕上学位论文 附表索引 表4 1 算例1 的数值结果2 7 表4 2 算例2 的数值结果2 8 v 求解对称非线性方程组卜的一种h e s t e n e s s s t i e f e l 共轭梯度型算法 r ： r ”： a ，： 厂( x ) ，日( x ) ： ： t x ： j ： v ： s i ： d k ： v f ( x k ) ： m a x ( x ，y ) ： ： 符号说明 一维实数空间； 捍维实数空间； 步长； 目标函数； 矩阵a 的e u c l i d e a n 范数； 问题的最优解； 存在； 任意； 使得； f ( x ) 在x 。处的下降方向； f ( x ) 在处的梯度函数； x ，y 中的最大数； 无穷求和 v i 硕士学位论文 第1 章绪论 在科学与工程计算以及工程，经济学等领域中，经常遇到求解多变量非线性 方程组的问题 考察如下非线性方程组【1 1 if 1 ( x l ，x 2 ，) = 0 ， ( 1 1 ) 【五( 而，x 2 ，) = 0 其中z ( 五，x 2 ，- ，而) = 0 ，( f = 1 , 2 ，珂) 是定义在r ”上的连续可微实值函数若 z ( 五，x 2 ，毛) 全为线性的则为线性方程组令 x = ( 西，x 2 ，) ，f ( x ) = ( 石( x ) ，五( x ) ，z ( x ) ) ， 则方程组( 1 1 ) 可改写为 ，( x ) = 0 ( 1 2 ) 与线性方程组相比，非线性方程组的求解问题无论在理论上或者解法上都不 如线性方程组成熟早在上个世纪七十年代以前，o r t e g a 和r h e i n b o l d t 2 1 就对牛 顿法，高斯赛德尔，延拓法等几种主要的迭代法作了详尽的分析迄今为止，关 于求解非线性方程组的牛顿法，拟牛顿法等的局部收敛性理论已日趋完善然而， 有关具全局收敛性的迭代算法，尤其是无导数算法( 如拟牛顿法等) 的具全局收敛 性研究尚不多见本文的主要工作是研究求解( 1 2 ) 的具全局收敛性的无导数算 法研究方程组( 1 2 ) 具全局收敛性的算法的一个重要途径是将求解无约束最优化 问题的具全局收敛性算法的思想加以改进，并应用于求解( 1 2 ) 不难看出，非线 性方程组( 1 2 ) 等价于下面一个全局无约束最优化问题： m i n 0 ( x ) ，x r ”， 其中 日( x ) = i 1 护( x ) n 表示e u c l i d e a n 范数因此，我们可采用求解无约束最优化问题的方法( 如最速 下降法，牛顿法，拟牛顿法，共轭梯度法等) 求解( 1 2 ) 然而，直接通过求解上述 等价的无约束最优化问题的方式不被广泛接受其主要原因在于函数0 的导数依 赖于对f 的雅克比矩阵的计算，计算量太大，利用二阶导数的算法的计算量更 大因此，研究求解( 1 2 ) 的具全局收敛性算法的主要途径是利用方程组自身的特 点，并结合求解无约束最优化问题的思想来构造算法牛顿法和拟牛顿法1 3 是典 型的求解( 1 2 ) 的具全局收敛性算法的例子 求解对称非线性方程组上的一种h e s t e n e s s s t i e f e l 共轭梯度型算法 1 1 非线性方程组的求解 求解非线性方程组的迭代法的一般过程如下： 给定初始点x o r ”，一般地，设已有迭代点耳，则迭代法按下面的方式产生 x k + 1 ： x k + l 2 x k + 口女破， 其中a 。称为步长，它由某种线性搜索方式确定，以是一个方向，由算法确定 衡量一个迭代法的优劣有很多因素，其中收敛性和收敛速度是两个常用的重 要因素我们称一个算法如果对于任意给定的初始点都能够收敛，则该算法具全 局收敛性；如果只有当初始点接近或充分接近最优解时才有收敛性，则该算法具 局部收敛性关于收敛速度的定义请参考文献 3 】 牛顿法和拟牛顿法是求解( 1 2 ) 的迭代法的两个典型代表在牛顿法中，矾是 下面的线性方程组的解： f ( x t ) d + f ( x 女) = 0 ( 1 3 ) 其中f ( 讫) 表示f 在坼处的雅克比矩阵不难看出，由( 1 3 ) 确定的牛顿方向破满 足 v 9 ( 吒) r 畋= f ( x k ) r f 7 ( ) 或= - if ( x , ) 1 1 2 0 均成立因此，我们可在满足上式成立的a 中获得一个步长 因子口。 上面的牛顿法的一个重要性质是算法产生的函数值序列 臼( 砍) ) 单调递减我 们称具有此性质的算法为下降算法 上面的过程说明牛顿法是一个下降算法，而且在一定条件下，牛顿法具有全 局收敛性和二次收敛性 拟牛顿法中也是下面的线性方程组的解 反d + f ( x k ) = 0 ，( 1 5 ) 其中玩是f ( ) 的某种近似，通常满足下面的割线方程或拟牛顿方程： b k + l s k = y t ， 其中s t = x - - x t ，y t = f ( x ) - f ( x ) 拟牛顿法中矩阵反+ 。通常由对b 进行低秩修正产生常见的修正公式有： b r o y d e n 秩1 修正，即： b k + l = 反+ t 。v ， 其中j l l ，v r ” 2 硕十学位论文 由b r o y d e n 秩l 修正公式不难看出，b r o y d e n 秩1 算法产生的矩阵吼不具有 对称性对于对称方程组，由于f ( x ) 对称，可采用对称的修正方式b f g s 公式 和d f p 公式是两个著名的对称秩二修正公式，它们的修正公式如下： 聍= 吼一警+ 舞，s ；b k sky ；s k 及 b o r 。e = ( 一舞m 一差卜尝 由( 1 5 ) 得拟牛顿方向满足： v o ( x ) ，d = f ( x t ) 7 f ( x ) d t = 一f ( x i ) 7 f ( x t ) b i lf ( x 女) 由于矩阵f 7 ( ) 何1 一般不具有正定性因此，拟牛顿方向破不能保证是0 在坼 处的一个下降方向因而，拟牛顿法产生的函数值序列 o ( x d 不再保证单调递减 而且，满足( 1 4 ) 的o t 不一定存在因此为了使得算法具有全局收敛性，需要采用 不同于( 1 4 ) 的线性搜索 注意到拟牛顿法中无需计算f 的导数，即它是一种无导数算法因此，确定 步长a 的线性搜索方式也应该是无导数线性搜索方式 第一个适定的无导数线性搜索技术由l i f u k u s h i m a 4 j 提出设线性搜索中， 步长由下面的不等式确定： i l f ( 砟+ a 。以) 0 i i f ( 故) i 卜仃l i a 。喀1 1 2 + 7 。0 ，( ) 0 仃 o ( 1 6 ) 容易看出，上面的不等式对所有的a 0 成立因而，在求解( 1 2 ) 的拟牛顿法中， 我们可选取步长口。满足( 1 6 ) 利用线性搜索( 1 6 ) ， 4 中提出了求解非线性方程组的具有全局收敛性的 b r o y d a n 秩1 拟牛顿法，并在一定条件下证明了算法的超线性收敛性 除了上面的( 1 6 ) p b ，其他有关无导数线性搜索技术还可参看 5 7 值得指出的是，上面的拟牛顿法以及大多数无导数算法一般都不是下降算法， 即算法不能保证产生使o ( x ) 下降的方向研究具有下降性的无导数算法是一个重 要而且难度大的工作其主要困难在于算法的方向不含有p 的导数的信息 求解非线性方程组的第一个具有下降性的无导数算法由g u ，l i ，q i ，z h o u 8 1 提出我们将在下一章中对该算法作进一步介绍本文的主要工作是在 4 】的基础 上提出求解对称非线性方程组的一种无导数共轭梯度法，并使得算法是一种下降 算法 我们称非线性方程组( 1 2 ) 是对称非线性方程组，若f 的雅克比矩阵是对称的， 即f ( x ) r = f ( x ) ，v x r ”许多非线性问题的求解可转化为求解对称非线性方程 求解对称非线性方程组上的一种h e s t e n e s s s t i e f e l 共轭梯度型算法 组 我们构造求解对称非线性方程组的共轭梯度型算法的基本思想是利用 8 中 获得的最速下降方向的某个近似，借助于求解无约束最优化问题的共轭梯度法的 思想，产生求解对称非线性方程组( 1 2 ) 的迭代方向，进而设计算法，并研究算法 的相关收敛性理论 为此，我们在下一节先简单回顾求解无约束最优化问题的共轭梯度法及其改 进形式 1 2 无约束最优化问题的非线性共轭梯度法 本文的目的是将求解无约束最优化问题的共轭梯度法的思想加以改进，应用 于求解对称非线性方程组为此在本节我们简单回顾求解无约束最优化问题的共 轭梯度法及其改进形式 设厂：r ”专r 连续可微考察如下无约束最优化问题： m i n f ( x ) ，x r ”( 1 7 ) 求解无约束最优化问题( 1 7 ) 的共轭梯度法是1 9 5 2 年由计算数学家h e s t e n e s s 9 1 和几何学家s t i e f e ll 1 0 1 为求解线性方程组 a x ：b ， x r ” 而提出的经适当改进后，可将其推广至求解无约束最优化问题【1 1 1 该算法用于 求解( 1 7 ) 时的迭代过程如下： 一般地，在当前迭代点处，由下面方式确定+ 。： x k + l 2 x k + a 畋， 其中a 。为步长因子，反由下面的方式确定： 反= 一w - ( 稚v f ) ( + x 卢o ) 。, 巩一。，矿f 后k 2 拿l ( 1 8 ) 畋2 1 一w ( 稚) + 成 【l 8 ) 其中参数成的确定是使得算法用于求解如下问题时： m i n f ( x ) = 去x7 1 + g r z ， 以与d 关于q 相互共轭，即有： 瓯一1 = 0 k = 0 , 1 ， 其中，o r “”对称正定，q r ”如果选取不同的参数成的话，那么所得到的共 轭梯度法也不同我们常选用的反有如下几种方式： 卢t = 卢严= ! 篓兰善丢妥至暑锹， 4 硕上学位论文 肛肛黯， 耻矿= 迎篙学， 卢。= p 尸= 一j 5 圣毛多警宴， 卢。= 卢夕y = j 墨：i i 粤 把这五个参数代入( 1 8 ) 中，就得到了五种不同方式的巩我们把这五个参数 分别所得到的以，所形成的方法分别叫做：h s 方法【12 1 ，f r 方法【13 1 ，p r p 方法【1 4 1 ， c d 方法【15 1 ，d y 方法【16 1 采用精确线性搜索时，以上各公式的参数值对二次函数 是相等的下面仅列出h s 方法中的算法，其它方法的算法可以仿照列出 非线性共轭梯度法的算法如下： 算法1 1 【3 】：( 非线性共轭梯度法h s 算法) 步0 给出x o r ”，d o = 一v ( x o ) ，0 0 ，使得 f ( x k + a 以) f ( x k ) + c r l 口女巩 w o l f e p 。w e l l 线性搜索【3 】：给定常数仃l ，仃2 满足o q j 1 ，o 仃2 0 ，满足下面的两个不等式 求解对称非线性方程组卜的一种h e s t e n e s s s t i e f e l 共轭梯度型算法 l f ( x k + a 以) f ( x k ) + 仃l 口t g ：以， 【g ( x k + a 巩) 。巩叮2 9 ：巩 求解无约束最优化问题的共轭梯度法的收敛性研究已取得了许多重要进 展早期工作主要由f l e t c h e r 、p o w e l l 、b e a l e 等学者给出的近年来，n o c e d a l 、 g i l b e r t 、n a z a r e t h 、a 1 b a a l i 、s t o r e y 等学者在收敛性方面得到不少新结果，我国 的学者戴或虹、袁亚湘、韩继业、刘光辉、王长钰等也得到了非常好的一些结果下 面对己有的共轭梯度法的收敛性结果做一下叙述 f r 方法是最早的非线性共轭梯度法，它是由f l e t c h e r 和r e e v e s 1 3 】在1 9 6 4 年 提出的早期对f r 方法的收敛性分析是基于精确线性搜索p o w e l l 1 7 1 在精确线 性搜索下分析了f r 方法可能连续产生小步长的性质，即如果f r 方法在某一步产 生一个很小的步长，则相继的许多步长也可能非常小，p o w e l l 也给出了f r 方法 最简单的全局有效性分析他发现，当采取精确线性搜索的f r 方法进入到 1 一个a x ) 为二维二次函数f ( x ) = 去x r x ，x r 2 的区域时，搜索方向d 。和负梯度 z 方向一g 。的夹角始终保持不变由于这个角度可任意接近鲁，因此f r 方法可能 z 收敛非常慢这些分析在很大程度上解释了为什么f r 方法在数值计算中并不十 分理想虽然f r 方法可能收敛非常慢，但z o u t e n d i j k t l 8 1 证明了采取精确线性搜 索的f r 方法对一般非凸函数总收敛在实际计算中，人们通常使用非精确线性 搜索，而不使用精确线性搜索第一个非精确线性搜索的全局收敛结果是由 a 1 b a a l i 1 在19 8 5 年给出的，他证明了使用参数仃 0 充分小时，( 2 4 ) 的每个解都是函数0 在的下降 方向 特别地，当鼠= i 为单位矩阵时，( 2 4 ) 产生的方向当a 0 充分小时是臼在坼处 的下降方向在此基础上，l i w u l 3 3 1 在2 0 l o 年提出了一种求解对称非线性方 程组的无导数最速下降法，其过程如下 方程组f ( x ) = 0 的模函数的导数为： v o ( x ) = f ( x ) 1f ( x ) ( 2 5 ) 我们注意到： v o ( 加加娥坐警a 竽型， ( 2 6 ) u 当a 护( x ) o 足够小时，旦堕土鲨竿幽是方程组模函数的导数v a o ) 的一个 很好的估计基于这样的关系，我们得到方程组模函数的一个近似下降方向： 令： 一g ( a ) 一f ( x + a f j ( x _ ) ) - 一f ( x ) ， 颤( 九) ：f ( x k + ；l f ( _ x k ) ) - 一f ( x k ) l ( 2 7 ) 易知，当a 充分小时，有： 一v p ( ) 。g k ( a ) 0 令a = p7 ，f = o ，1 ，记如为p 满足 1 0 硕士学位论文 o ( x k - x g k ( x ) ) o ( x i ) - c r 。( f ( x k + a f ( 吒) ) 一f ( ) ) r g t ( z ) - a ：i i z f ( x i ) 1 1 2 的最小整数f 记g k = g k ( p k ) 说明：过程1 提供了一种方式得到方程组模函数的下降方向一矾，它是最速 下降方向的一种近似，我们称之为近似最速下降方向同时，不等式( 2 8 ) 特别包 含了： o ( x k 一九) 0 充分小时，可得到共轭梯度法的一个下降方向以( 允) ，另 外，我们可以通过下面的不等式来选择a ： f ( x i + a 矾( 允) ) 厂( ) + 叮，( ，( x 。+ a ，( ) ) 一f ( x 。) ) 7 d k ( x ) - o ：i i z f ( x 。) 0 2 0 3 i l z a , ( z ) 1 1 2 ( 2 9 ) 其中仃l ( 0 ，1 ) ，仃2 0 ， ( 3 r 3 0 下面的引理说明当九 0 充分小时，上述不等式成立 引理2 1 设，连续可微，其雅克比矩阵f7 ( x ) 是对称的，对v x r ”那么不等 式( 2 9 ) 对所有充分小允 0 都成立 在下一章，我们将给出m h s 的无导数法，在一定条件下，证明其全局收敛 性 1 2 硕= j ：学位论文 第3 章一种修正的共轭梯度法 在上一章的基础上提出求解对称非线性方程组的一种修正的h s 算法，并证 明其收敛性 3 1h s 方法及其修正形式 h s 方法是由h e s t e n e s 和s t i e f e l 在1 9 5 2 年提出的一种非线性共轭梯度法，其 迭代格式见第一章 方 于 确 了 敛 在 并 求解对称非线性方程组上的一种h c s t e n e s s s t i e f e l 共轭梯度型算法 其中t o 是一个常数如果采用精确线性搜索，则v f ( x ) 正交于& 一，此时，d l 方法变成了h s 方法同样，由于p o w e l l 的反例，d l 方法在精确线性搜索下不 一定全局收敛类似于h s + ，为了保证算法的全局收敛性，d a i 和l i a o 对上面的 公式进行了修正，其修正形式如下： p ：一t 导堕 如果目标函数的导数是l i p s c h i t z 的并且水平集有界及矾满足充分下降条件， d a i 和l i a o 3 6 1 证明了修正方法在强w o l f e 线性搜索下具有全局收敛性基于z h a n g ， d e n g 和c h e n 及z h a n g 和x u 提出的新的割线方法【3 7 础】，y a b e 和t a k a n o 在参考 文献 3 9 】中，利用d a i 和l i a o 在文献 3 6 】的思想，提出了一种非线性共轭梯度法： 酽k = m a x 靛十r 糕t ， 其中 让。强一文彘。) ， 【h k l = 6 (