（理论物理专业论文）随机外场和晶场作用下横场ising模型的临界性质和磁化行为.pdf

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_ - _ _ - _ _ - _ - _ i - _ i _ _ - _ _ i _ _ - - _ _ - 一 t h ec r i t i c a lp r o p e r t i e sa n dm a g n e t i z a t i o nb e h a v i o r so f t r a n s v e r s ei s i n gm o d e lw i t hc r y s t a lf i e l di nar a n d o m m a g n e t i cf i e l d a b s t r a c t w i t h i nt h ef r a m e w o r ko ft h ee f f e c t i v ef i e l dt h e o r y ( e f t ) a n dc u t t i n ga p p r o x i m a t i o n , f i r s t l y , w es t u d yt h ec r i t i c a lp r o p e r t i e so ft r a n s v e r s ei s i n gm o d e lw i t hc r y s t a lf i e l di na t r i m o d a lf i e l d t h ec h a n g eo ft r a n s v e r s ef i e l da n dt i r m o d a lm a g n e t i cp a r a m e t e rc a na f f e c t t h et r i c r i t i c a lp o i n t ( t c p ) ，t h es e c o n d - o r d e rp h a s ea n dt h em a g n e t i cf i e l dd e g e n e r a t i o na t g r o u n ds t a t e i nr hs p a c e m o r e o v e r , t h et r a n s v e r s ef i e l da n dap r o p e rt r i m o d a l p a r a m e t e rc a nd e p r e s st h et c eb u t t h el a r g en e g a t i v ec r y s t a lf i e l da n dap r o p e rt r i m o d a l p a r a m e t e rl e a dt oo c c u r r e n c eo ft h et c e i nt ds p a c e ，al a r g ee x t e r n a lm a g n e t i cf i e l d a n dap r o p e rt r i m o d a lp a r a m e t e rc a nd e p r e s st h et c pa n dt h e r ee x i s tr e e n t r a n tp h e n o m e n o n w h e nt r i m o d a lp a r a m e t e ri ss m a l l e r s e c o n d l y , t h ec r i t i c a lp r o p e r t i e so ft r a n s v e r s ei s i n gm o d e lw i t hc r y s t a l f i e l di n b i m o d a lf i e l da r ci n v e s t i g a t e d t h ep h a s ed i a g r a m st a k eo nn e wc h a r a c t e r i s t i c s t h et c p i s a l w a y se x i s t e n ti nt ds p a c e ，w h i c ht h et c pa p p e a r si ns m a l l e r o rl a r g e rr a n g eo f e x t e r n a lm a g n e t i cf i e l dh jv a l u e s i nt hs p a c e ，al a r g e ro ras m a l l e rn e g a t i v e c r y s t a lf i e l dc a na p p e a rt h et c e t h et c pi sd e p r e s s e dw i t hi n c r e a s i n go ft r a n s v e r s ef i e l d a n dt h es e c o n d o r d e rp h a s et r a n s i t i o nl i n ef o r m sam u s h r o o m - l i k eo rb o w l i k er e g i o nw i t h t h el a r g e rn e g a t i v ec r y s t a lf i e l d f i n a l l y , w es s c u s st h em a g n e t i z a t i o nb e h a v i o r so fm i x e ds p i nt r a n s v e r s ei s i n g m o d e l w i t hc r y s t a lf i e l di nb i m o d a lf i e l d i nm - ts p a c e ，ap r o p e rv a l u eo fc r y s t a lf i e l dc a l l p r o d u c es i n g l eo rd o u b l ec o m p e n s a t i o np o i n t t h ed o u b l ec o m p e n s a t i o np o i n ti sd e p r e s s e d a n dt h er a n g eo fc r y s t a lf i e l dt h a tc a nc a u s ec o m p e n s a t i o np o i n tb e c o m e ss m a l l e rd u et ot h e s m a l lt r a n s v e r s ef i e l d t h e r ea r en o ta n yc o m p e n s a t i o nb e h a v i o r si nt h ep r e s e n c eo fl a r g e r t r a n s v e r s ef i e l di nm hs p a c e m e a n w h i l et h em a g n e t i z a t i o nw i l lt e n dt oz e r ow i t h n 堕垫丛望塑曼堑堡旦! 堡堑! ! ! ! 兰堡型塑堕墨性质和磁化行为 英文摘要 一一 ：二：= = ： i n c r e a s i n go fc r y s t a lf i e l d t h e r ea p p e a r sd o u b l ec o m p e n s a t i o np o i n tb ym e a n so fb i m o d a l f i e l d i ft r a n s v e r s ef i e l di s l a r g ee n o u g h ，t h e r ei sn o ta p p e a r i n gc o m p e n s a t i o nb e h a v i o r h o w e v e rt h en e g a t i v ec r y s t a lf i e l dc h a n g e s k e y w o r d s ：c r i t i c a lp r o p e r t y ；c o m p e n s a t i o nb e h a v i o r ；t r a n s v e r s ei s i n gm o d e l ；c r y s t a lf i e l d ； b i m o d a la n dt r i m o d a lm a g n e t i cf i e l d i i i w r i t t e nb yl id u n r a n s u p e r v i s e db yy a ns h i l e i 口三； i = l冰 第一章引言l 1 1 理论模型2 1 1 1i s i n g 模型2 1 1 2b l u m e c a p e l 模型3 1 1 3 横场i s i n g 模型4 1 1 4 考虑晶场和横场作用的i s i n g 模型5 1 2 本文的主要工作5 第二章随机外场和晶场作用横场i s i n g 模型的临界性质7 2 1 理论推导7 2 2 三模外场分布的结果讨论一l o 2 3 二模外场分布的结果讨论15 2 4 本章小结一1 7 第三章二模外场和晶场作用的混合自旋横场i s i n g 模型的磁化行为19 3 1 理论推导1 9 3 2 结果和讨论2 2 3 3 本章小结。2 6 结束语2 7 参考文献2 8 攻读硕士学位期间发表的学术论文情况3 0 致谢31 随机外场和晶场作用下横场i s i n g 模型的临界性质和磁化行为第一章引言 第一章引言 相变问题始终是物理学中充满悬念和意外发现的一个领域，仅从1 8 6 9 年安德鲁 斯发现临界点算起，对相变的实验和理论研究已经有一百多年的历史。1 9 1 1 年发现 的超导现象，3 0 年代发现的液体氦的超流现象，铁磁，铁氧体和反铁磁相变等等， 通过对这些相变问题的探索，使我们对相变问题的认识也从最初的自然界相变现象发 展到物质的三态变化，进而又深入到了量子体系内的一些相变现象。相变问题现已经 成为当今凝聚态物理学研究的热点之一。相变分类多种多样，如根据相变前后热力学 函数的变化，可将相变分为一级相变、二级相变和高级相变；如按照相变产生机理区 分，一般主要可以分为成核一生长机理，斯宾那多分解，马氏体相变和有序一无序转变 四种。随着对相变研究的深入，一系列的相变理论建立起来，比如相变的平均场理论， 朗道的二级相变理论等。 在众多相变里，铁磁相变是众多相变问题中人们颇感兴趣的一个课题。众所周知， 在低温下，铁磁体内部的自旋在各个磁畴内部有序排列，具有饱和的自发磁化，但由 于各个磁畴的方向是无规的，所以整个磁体并不显示磁性。当磁体被置于外磁场中， 外磁场使磁畴方向一致，这时铁磁体显示出很强的磁性。但是当温度超过居里温度之 后，此时热运动开始压过磁矩间的相互作用，自旋的有序排列被破坏，使得磁性消失， 铁磁体转化为顺磁体，这种相变不伴随相变潜热的发生，所以是一种二级相变。1 9 0 7 年，法国物理学家w e i s s 首先提出了“分子场 和“磁畴 两个理论假说【l 】，对铁磁 现象进行了唯象的解释，但这个模型对分子场的本质没有做出合理解释。1 9 2 8 年弗 仑克尔和海森堡先后独立提出铁磁物质的自发磁化来源于电子之间的交换相互作用， 并给出了交换作用的哈密顿量为： h = - ) - a l s js jf 盯 ( 1 1 ) _ 其中墨 s j 为第，个和第，个格点原子的自旋算符， 称为交换积分，当a f 为正时， 自旋趋于平行而呈现铁磁性，当a ，为负时自旋趋于反平行而呈现反铁磁或亚铁磁性。 从交换作用模型出发，交换作用理论又发展为两个学派：局域电子模型和巡游电子模 第一章引言 随机外场和晶场作用下横场i s i n g 模型的临界性质和磁化行为 型。以局域电子模型为基础，为解释铁氧磁体，稀土金属的磁性，发展有超交换作用 理论和r k k y 作用理论；以巡游电子模型为基础，为阐明3 d 过渡金属的磁性，具体 发展有斯东纳能带理论等。两个模型从完全不同的角度来研究铁磁性，前者在自发磁 化与温度的关系以及对居里点高低的估计上比较成功，而后者在给出过渡金属原子磁 矩非整数的特性上比较成功。两种模型在长期相互对立又互相补充地说明物质磁性内 在规律的同时，都在不断地发展和深化【2 】。 1 1 理论模型 1 1 1i s i n g 模型 仑兹曾向他的学生i s i n g 建议研究铁磁性的一个简单原子模型。1 9 2 5 年，i s i n g 在其博士论文中提出了著名的i s i n g 模型【3 1 。在最初的i s i n g 模型中，晶格的每个格点 ，上有一个磁矩q ，它可以取向上( q = + 1 ) 或向下( q = - 1 ) 两种状态，也就是说每一 格点上磁性原子的自旋态只能处在两种状态中的一种。根据海森堡的铁磁性理论，铁 磁物质的自发磁化来源于不同电子之间的交换相互作用，所以i s i n g 模型可由以下哈 密顿量来描述： 日= 一j f 盯j 巧 ( 1 2 ) t , j 这里厶是交换积分，用来衡量交换相互作用的大小，西和盯；分别是格点f 和，处自 旋的z 分量，当自旋为1 2 ，它们可以取+ l 和一1 。i s i n g 模型是描述铁磁体的一种最简 单的理论模型，它可以近似描述单轴各向异性铁磁体，而且稍加改变，还可以描述反 铁磁体，气一液相变，二元溶液相变以及合金的有序一无序相变等。最初i s i n g 本人证 明了一维条件下体系不存在相变，并错误认为对更高维度也不会出现相变。1 9 3 6 年， 英国物理学家佩尔斯指出i s i n g 模型在d = 2 时有自发磁化。1 9 4 1 年，克喇末河万叶 从对称考虑出发，严格算出二维正方晶格i s i n g 模型的相变点。1 9 4 4 年，昂萨格将此 方法发展，具体算出t - 维i s i n g 模型严格的解析解。而三维i s i n g 模型至今尚未有严 格解。由于i s i n g 模型的哈密顿量和本征值的计算相对简单，同时又相当好的描述各 向异性很强的磁性晶体，对于三维的i s i n g 模型，我们可以用m o n t e c a r l o 等方法进 行研究；对于一维、二维的i s i n g 模型，我们甚至可以精确地解析求解，而且我们还 2 随机外场和晶场作用下横场i s i n g 模型的临界性质和磁化行为第一章引言 可以针对不同的情况引入不同的物理参量，所以对i s i n g 模型的研究一直受到人们的 关注。i s i n g 模型不仅在磁性材料的研究中有着重要的应用，而且还被广泛地应用于 其他物理问题的研究。一维的i s i n g 链虽然不存在相变，但以1 r 1 + 盯形式衰减的长程 相互作用中的临界指数仃仍然是人们感兴趣的理论问题【4 ，5 1 。二维和三维的i s i n g 模型 具有铁磁相变，且随机交换相互作用在一定条件下与键稀疏的i s i n g 模型类似1 6 。 在i s i n g 模型中，只考虑自旋的一个分量，如果哈密顿量中包含两个方向的自旋 分量，这时称为二维的x y 模型；如果将x 、y 、z 三个方向的自旋全部考虑在内，此 时的模型就是海森堡模型，它常被用来讨论反铁磁体的相变性质【7 引。 但是在实际的问题当中，铁磁体的内部结构远比我们预料中的复杂，仅考虑晶体 内部的交换相互作用显然不能有效地表现真实铁磁系统相变的全貌。在以后的研究 中，人们在i s i n g 模型的基础上考虑了偶极相互作用、晶场、量子效应以及许多随机 分布后，得n t 大量有意义的结果【9 1 4 】。 1 1 2b l u m e - c a p e l 模型 i s i n g 模型的一个重要发展是b l u m e c a p e l 模型，在1 9 6 6 年由b l u m e 和c a p e l 各 自提出的【1 5 ，1 6 】，在以后的文献中就经常被简称为b c m 。该模型适用于自旋s 1 2 的低 维、三维和多层铁磁系统，除了考虑交换相互作用外，还考虑纵向( z 方向) 晶场作 用，这里的晶场是磁性离子的单离子各向异性的等效。当然各向异性也存在于磁性晶 粒或磁性复合晶粒体系中，如n d 2 f e l 4 b a f e 纳米复合永磁晶粒材料【1 7 1 。同时该模型 也适用于研究一元、二元或三元液体，三重合金，3 h e 和4 h e 的混合体【1 8 , 1 9 等。它的 哈密顿量可以写成以下形式： 何= 一匹砰西一d p j ) 2 ( 卜3 ) 盯 l 研究此系统的方法多种多样，如：平均场近似( m f a ) 【1 5 - 1 6 1 ，常数耦合近似( c c a ) 1 2 0 1 ，高温级数展开法( s e ) 【2 1 1 ，有限集团近似( f c a ) 2 2 ，2 3 ，集团变分结合对近似 ( p a ) 【2 4 】，重整化群方法( r g ) 2 5 。2 7 】，蒙特卡罗模拟技术( m c ) 【2 8 刎，有效场理 论( e f t ) 【3 们，相关有效场理论( c e f t ) 【3 1 1 等。 当各种随机分布被引入b c m ，相变特征有了很多的改变，特别是三临界点的存 在受到了很大的影响。1 9 8 5 年b e n a y a d 等将键稀疏和位稀疏引入系统，采用f c a 方 第一章引言 随机外场和晶场作用下横场s i n g 模型的临界性质和磁化行为 法对b c m 进行计算，发现二维系统随着键稀疏程度的增加，三临界点受到的影响， 并在随机浓度到达某一临界值时三临界点消失【2 3 】。1 9 9 2 年k a n e y o s h i 又用c e f t 计算 平方格子的上述系统，计算得到三临界点消失的区域附近会出现相变线的重入现象 【3 1 1 。又有很多作者在b c m 中引入晶场无序、键稀疏以及位稀疏并利用不同近似方法 如e f t ，r g 等 2 9 r 3 0 , 3 2 1 ，得到了一些有意义的结果。最近人们把b c m 又推广到随机 外场下混合自旋，采用如e f t ，m c 等方法进行了研究，取得了很多积极成果f 3 3 ，3 4 1 。 1 1 3 横场i s i n g 模型 横场i s i n g 模型( t r a n s v e r s ei s i n gm o d e l ，以下简写为t i m ) 最初是由d eg e n n e s 于1 9 6 3 年引入用来研究铁电体问题的。后来它被应用于一些其他的系统，如 c o o p e r a t i v ej a h n t e l l e r 系统【3 5 】，处于横场中的具有强单轴各向异性场的铁磁体【3 6 】等。 很显然，t i m 是在i s i n g 模型的基础上考虑了横场的作用。在这里，横场是对晶体内 部横向遂穿效应的一种等效。它的哈密顿量可以表示如下： 日：一j y s i s ；一q y s ? ( 1 - 4 ) j 一 ，j _ 一 p ， 除了对相变温度和磁化的讨论外，t i m 系统内部的其他性质，如：横向磁化强度， 平均自由能，激发能等也通过各种的近似方法( f c a ，e c c m 等) 进行了研究【9 ，3 7 捌。 另外，除去系统各种内禀场，外场对系统的作用十分重要。单一外场下t i m 的相图 无法直接给出，只有当外场满足对称随机分布时才能得到相图，一些作者给出了对称 分布外场下t i m 的相变行为和磁化性质的相关结果 3 9 , 4 0 。 除了考虑单自旋的情况，即系统中所有格点具有大小相同的自旋，但有些铁磁体 的内部具有不同的自旋，特别是在亚铁磁体中，系统的磁性大小就取决于不同晶格自 旋的差值，这时就需要考虑混合自旋的i s i n g 模型。因为混合自旋系统比单自旋系统 具有更小的平移对称性，并能更好的应用于某些类型的铁磁和亚铁磁问题，如混合自 旋亚铁磁系统的补偿问题【3 3 4 1 4 5 1 ，这一问题在磁光记录技术方面有重要的应用。所以 有大量的研究涉及混合自旋i s i n g 模型。t i m 在单自旋系统研究基础上，也被推广到 混合自旋系统的研究中，获得十分丰富的相变特性t 4 6 , 4 7 】。 4 随机外场和晶场作用下横场i s i n g 模型的临界性质和磁化行为第一章引言 1 1 4 考虑晶场和横场作用的i s i n g 模型 1 9 9 3 年，j i a n g 等人又在b c m 和t i m 的基础上首先提出了晶场和横场作用的 i s i n g 模型【4 8 ，4 9 】。它的哈密顿量可以表示为： h = - j - 譬譬一q 譬- d e ( s ；) 2 ( 卜5 ) b ii 结合晶场作用后发现，横场的增大会有效地抑制三临界点的出现，三临界点随着晶场 的增加而出现，但是当横场值大于某一临界值q 。时，不论晶场多大，也不会出现三 临界点。2 0 0 2 年，d e n g 在此基础上又详细计算了平方格子的随机晶场和键稀疏作用 的横场i s i n g 模型【5 0 1 。最近又有许多理论工作者对其做了研究，得到了一些有意义的 结果【5 1 , 5 2 】。 1 2 本文的主要工作 在阅读文献的过程中，我们发现无论是b c m 、t i m 还是后来结合b c m + t i m 的 研究大多考虑键稀疏、位稀疏或者随机晶场引入后对系统的临界性质和磁化行为的影 响，而对于随机外场和晶场作用的横场i s i n g 模型及混合自旋横场i s i n g 模型的性质缺 乏深入的研究，有可能存在一些新的临界性质和磁化行为，为了更好的了解随机外场、 晶场以及横场对系统的相变和磁化性质的影响，我们在b c m + t i m 的基础上对系统 在随机外场存在的情况下进行了研究，分别给出了随机外场和晶场作用的单自旋横场 i s i n g 模型的相图及随机外场和晶场作用的混合自旋横场i s i n g 模型的磁化行为。本文 工作是在h o n m u r a 和k a n e y o s h i 提出的有效场理论的基础上完成的【5 3 l 。 在第二章，首先研究了三模外场和晶场作用的横场i s i n g 模型的临界性质，在 t h 空间中横场和三模外场参数的变化对三临界点，二级相变以及基态时外场简并 均有很大的影响，横场与合适的三模外场参数能有效地抑制三临界点，较大的负晶场 和合适的三模外场参数导致体系又产生三临界点；z d 空间中较大的三模外场及合 适的三模外场参数能有效抑制三临界点，并且p 很小时再有重入相变发生。其次，研 究了二模外场和晶场作用的横场i s i n g 模型的临界性质，其相图表现出新的特征， 丁一d 空间在两个范围都会存在三临界点，分别对应较大外场和较d , g b 场处。t h 空 间较大的负晶场和较小的负晶场都能产生三临界点，横场的增大将抑制三临界点，较 5 第一章引言 随机外场和晶场作用下横场l s i n g 模型的临界性质和磁化行为 大负晶场存在时二级相变线呈现出类似蘑菇形或拱形曲线。 在第三章中进一步讨论了二模外场下晶场作用的混合自旋横场i s i n g 模型的磁化 行为，并给出了相应的磁化曲线。研究发现，在m 一丁空间，合适的负晶场取值可以 使得系统出现单或双温度补偿点，横场的引入使得系统出现单温度补偿点和双补偿点 的晶场区域发生变化。在m h 空间，二模外场的引入使得系统出现双磁场补偿点。 与m 一丁空间类似，横场与负晶场的共同作用使系统呈现丰富的补偿现象。 6 随机外场和晶场作用下横场i s i n g 模型的临界性质和磁化行为第二章随机外场和晶场作用 第二章随机外场和晶场作用横场i s i n g 模型的临界性质 本章中我们讨论具有随机外场和晶场作用的横场i s i n g 模型的临界性质，随机外 场分别考虑三模分布和二模分布两种情况，晶场、横场、外场三个因素对系统的相变 和磁化行为的影响，给出简立方体系铁磁材料在t h 和r d 空间的相图，以及其临 界性质与晶场、横场和外场之间的关系。 2 1 理论推导 对于自旋s = 1 三模外场和晶场作用横场i s i n g 模型的哈密顿函数可表示为： 日= 一，群譬一d 僻罗一q 譬一曩群， ( 2 1 ) 其中酃和分别是i 格点z 方向和x 方向的自旋分量，是最近邻格点间的交换相互 作用，取j 0 系统是铁磁性的。d 代表晶场，是沿z 轴方向的单轴各向异性参数， 取d 为负值。q 为体系的内禀横场，代表了量子遂穿效应，因此方程( 2 - 1 ) 是一个量 子i s i n g 模型。h i 是平行于z 轴方向的外场，并满足三模分布： p 眠) = p 万( ) + 去( 1 一p ) 【万( 绣+ 办) + 万( 忽一办) 】( 2 2 ) 其中p 为三模外场分布参数，取值范围是0 p 1 ，为了解方程( 2 - - 1 ) ，需将哈密顿 改写为与i 格点相关的有效哈密顿e ， e = 一j s ：z s ；一d ( 5 _ y q 烯一魂砰 ( 2 3 ) 从统计物理出发，自旋系统的磁化m 可表示为： 朋= ( 孵) ) = 篆娑 ( 2 - 4 ) 而四极矩由下式给出： g = 僻) 2 ) = 1 t r , ( s 矛：) 2 e r - 科, ( 2 5 ) 这里= 1 k b t ，死表示对i 格点求迹，( ) 表示求正则热平均。利用有效场理论 7 ! 第二章随机外场和晶场作墅： 堕垫丛堑塑曼塑堡旦! 塑堑! ! ! 竺墨堡型塑堕墨丝垦塑堡竺! ! 塑 一一 ( e f t ) 研究目前的问题时，引入微分算子v ：昙。这样在有效场理论的框架内，可 o x 将系统的m 和g 写成如下表达式： 肌= i ：i 岭c 。s h ( 月) + s js i 出月) “一( s 】) f ( 刮脚 g = g ( 刮，t o 其中函数f ( x ) 和g ( x ) 可定义为： f g ) = f p ( h ，1 厂g ，伽， g g ) = f p ( h ，k g ，h j ) d h ， 这里p ( 魂) 是磁场的三模随机分布函数，f ( x ，h j ) 和l g ( x ，h ) 可写作如下表达式： 瓜：扣，掣响，+ 寺翌竺等垫型 其中： 3 岛( 刀) 】【即z ) 】以 ( 2 - 6 ) ( 2 7 ) ( 2 - 8 ) ( 2 - 9 ) ( 2 1 0 ) g 仗啊) ：喜t 耳功c 言暑q c刀，+刍三兰三二!二竺三二二二：二二三耋一 1 吲卅扣嘻酬。1 占。( 行) = c 。s 0 + _ 2 9 广( n - 一i ) ， 以加s i i l 掣， 彳一1 2 7 d s + 1 3 圳2 一吉加2 召= 吉【3 ( 。2 0 + 魂) 一o + ) 3 ) 2 + 三。2 q 4 + 1 5 。2 q 2 0 + ) 2 + 9 f 2 4 0 + 绣) 2 8 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 随机外场和晶场作用下横场i s i n g 模型的临界性质和磁化行为 第二章随机外场和晶场作用! + 9 q 2 0 + 绣) 4 + 3 q 6 】l ，2 ( 2 1 5 ) c = 吉d 2 + 吾q 2 + ( x + 以) 2 】2 ( 2 1 6 ) e ( 刀) = e x p 2 d c e , ( 刀) + 2 f 1 d ( 2 - - 1 7 ) 0 = a r c c o s ( a c 3 ) ( 2 1 8 ) 显然方程( 2 6 ) 和( 2 7 ) 为多自旋相关表达式，在数学上难以处理，通常引入切 断近似，即： ( s ；p j ) 2 s ；) ( s ；) ( j 2 ( s ；) ，( 2 1 9 ) 有f _ ，七。在切断近似下方程( 2 6 ) 和( 2 7 ) 可以表示为下列形式： 朋= qc o s h ( j v ) + m s i n h ( j v ) + 1 一g rf 例枷 ( 2 2 0 ) q = qc o s h ( j v ) + m s i n h ( d v ) + 1 一g 】2g b 】，o ( 2 2 1 ) 联立方程( 2 - - 2 0 ) 和( 2 - - 2 1 ) ，可得到关于磁化m 的自洽方程： 肌= a m + b m 3 + c m 5 + ( 2 - - 2 2 ) 根据l a n d a u 理论，二级相变线附近m 很小，因此只需保留线性项，可得到二级 相变方程： a = 1 和b 0( 2 - - 2 3 ) 平均磁化表达式可写为： 所2 ：坐( 2 - - 2 4 ) ，纷= 一 j d 在二级相变情况下，方程( 2 - - 2 2 ) 的右边必须是正的，当b 取负值时，贝j j ( 2 - - 2 2 ) 没有实数解，对应为一级相变情况；这样口= 1 和b = 0 是三临界点。方程( 2 - - 2 2 ) 的 口和b 分别表示为： 口= z s i n h ( d v ) q 。e o s h ( j v ) + 1 一q 。】卜1f g 】j ；。= 1 ( 2 2 5 ) b = z ( z 一1 ) q 1s i n h ( d v ) c o s h ( d v ) 一1 】【1 + g oc o s h ( d v ) - q o 】2 f ( x ) l 工卸 + z ( z - _ 1 ) 犷( z 一72 ) s i i l l l 3 ( 月) 【l + 9 。c o s h ( 月) 一g 。】一f ( x ) l 工l o ( 2 2 6 ) 9 第二章随机外场和晶场作用随机外场和晶场作用下横场i s i n g 模型的临界性质和磁化行为 这里q o ，q 。要求满足： q 。= k 。e o s h ( j v ) + 1 一q 。】。g g 】，卸， ( 2 2 7 ) q l2 函j(2-28) e 和厂的表达式分别为： p = z e o s h ( d v ) - i i + q oc o s h ( d v ) - q o 广1 g ( x ) f 脚，( 2 - - 2 9 ) = 掣s i i l l l 2 ( 月) 【q oc o s h ( 月) + 1 一q o 瑚g ( 址。( 2 - 3 0 ) 现已导出t - - 模外场和晶场作用的横场i s i n g 模型的相变方程和磁化的一般表达 式，可适用于任意配位数晶格。为计算简单，这里选取配位数z = 6 的简立方格子作 为讨论对象，因为三维系统是实验上最相关的体系，而简立方是三维系统中最简单的 情况。下节我们通过解方程( 2 2 3 ) 一( 2 3 0 ) ，给出数值计算结果及相应的相图及讨 论。 2 2 三模外场分布的结果讨论 这一节主要讨论三模外场和晶场作用下横场i s i n g 模型的临界性质 图2 2 1 ( a ) - _ 1 ( c ) 给出t h 空间中晶场d j = 一l ，横场分别取q ，= 0 ，l ，2 时的 相图，曲线上的数值为三模外场参数p 。图2 2 1 ( a ) 表明随着三模外场参数p 从0 开 始增加，三临界点对应的温度不断降低。当0 p 0 3 3 3 时体系存在三临界点，而 p 0 3 3 3 时三临界点消失。另一方面，经过详细计算，当三模外场参数处于 0 3 3 3 p 0 5 1 2 范围内二级相变线在h j 轴上交于四个点，这意味着当系统处于基 态，三模外场参数p 处于一定范围内部分格点的自旋态被冻结。此外在 0 3 3 3 p 0 5 1 2 的一些小区间内观察到重入相变。当p 值继续增加，二级相变线趋 于h jjo o ，但临界温度总是有限值。所以当p 0 5 1 3 时系统在低温始终处于磁有 序态，格点自旋仅处于s = 1 两种状态。图2 2 1 ( b ) 是横场o j = l 的情况，随着横 场的引入，相变温度降低，存在三临界点的三模外场参数p 的取值范围明显减小，仅 在0 p 0 2 7 8 内存在三临界点，重入相变现象全部消失，基态时外场简并消失，有 1 0 随机外场和晶场作用下横场i s i n g 模型的临界性质和磁化行为第二章随机外场和品场作用 效的抑制了系统的二级相变等。这些改变显然是横场引入后的产生的效应。可以推断 当横场继续增大，相图的改变与图2 2 1 ( a ) 比较将进一步加大，图2 2 1 ( c ) 确实也证实 了这一点，系统在低温下的相变特征变得十分简单。在横场较大的情况下原来 h j - 9 , o o 的二级相变线，受到抑制并与横坐标相交于有限外场值处，同时体系的磁 有序相进一步受到抑制，可从图2 2 1 ( a ) ，l ( b ) 和l ( c ) 中标有0 6 的曲线比较中清晰地 看出。通过对图2 2 1 ( a 卜一1 ( c ) 的分析，充分显示横场对三临界点、重入相变和磁有 序相有明显的抑制作用。 图2 2 - k a y - - k c ) ：临界温度随外场变化关系，晶场d j = 一l ，横场分别取( a ) q ，= 0 ， ( b ) q ，= l ，( c ) q = 2 ，曲线上为三模外场参数p 值。 图。有意义的是，当三模外场参数较小时，负晶场的增加可以有效地抑制三临界点， 较大的负晶场和适合的三模外场参数可以使三临界点出现。从图2 2 2 ( a ) 可以明显看 到负晶场的改变对临界性质的影响，负晶场变大后出现三临界点的三模外场参数范围 为0 4 2 8 p 0 7 4 7 时存在三临界点，并且其对应温度随三模外场参数的增加呈现一 个弧形的变化，这与图2 2 1 ( b ) 形成鲜明的对比。此外，负晶场的增加也破坏磁有序。 图2 2 2 ( b ) 是横场q j _ 2 情况下的相图，在三模外场参数0 7 7 4 p o 8 7 1 内出现三 临界点，但变化范围有所收缩。在0 p 0 7 7 4 和p o 8 7 1 范围内系统完全是二级相 变区。这些结果来自于晶场，横场及三模外场之间的竞争。 图2 2 - 2 ( 砂2 ( ”：临界温度随外场变化关系，晶场d j = - 2 ，横场分别取( a ) f 2 j = l ， c o ) q j = 2 ，曲线上为三模外场参数p 值。 图2 2 3 ( a 卜- 3 ( b ) ：当外场h j = 1 5 ，临界温度随负晶场的变化关系，横场分别取 ( a ) q ，= l ，c o ) q ，= 2 ，曲线上的值为三模外场参数p 。 1 2 随机外场和晶场作用下横场i s i n g 模型的临界性质和磁化行为第二章随机外场和品场作用 图2 2 3 ( a 卜3 ( b ) 取h j = 1 5 ，横场分别取q j = l ，2 的情况。图2 2 3 ( a ) 展示出 整个丁一d 空间中都存在三临界点，其临界温度和三临界温度均随三模外场参数减小 而降低，显然小的三模外场和较小的横场使体系在低温时总是一级相变区。图2 2 3 ( b ) 为取横场q t ，= 2 的情况，三临界点出现在0 3 8 8 p 1 0 的范围内，而0 p 0 3 3 8 是二级相变区，同时注意到p = 0 3 3 8 曲线与p = 0 曲线存在一个交点，在较高温度区 p = 0 3 3 8 曲线与p = 0 曲线相比有较大的磁有序相范围，而在低温区则反之。这说明 在一定的三模外场分布下，横场对磁有序相的抑制也有反常行为。 图2 2 - 4 ( a ) - - 4 ( e ) ：临界温度随负晶场的变化关系，外场h j = 2 9 ，横场分别取( a ) q = 0 ， ( b ) q ，= l ，( c ) q j - m _ 2 ，曲线上的值为三模外场参数p 。 图2 2 4 ( 州( c ) 为h j = 2 9 ，横场分别取q j = 0 ，1 ，2 时临界温度随负晶场的变 化关系，曲线上为三模外场参数p 值。图2 2 4 ( a ) 的相图显出：无横场存在时，当三 p = o 5 0 1 时三临界点被完全抑制；当三模外场参数继续减小到0 3 附近时，二级相变 线出现重入相变现象。特别是p = 0 时在较小负晶场方向出现三临界点，居里温度随 负晶场的增加先缓慢上升然后下降。经过计算，在较小负晶场方向出现三临界点的p 的范围仅仅在0 p 0 o l 的狭小区域，事实上，p 专0 是二模外场条件( 下一节还将 详细讨论二模外场分布下的临界性质) ，由此可以认为外场的分布是导致这一现象的 主要原因。此外，体系在三模外场参数0 p 0 5 0 1 范围内，温度趋于零的体系处于 基态时外场简并。图2 2 4 ( b ) 中，存在三临界点的三模外场参数范围在o 4 5 3 p 1 0 ，