（应用数学专业论文）一类二阶hamilton系统的周期解和次调和解.pdf

一类二阶h a m i l t o n 系统的周期解和次调和解宰 学科专业：应用数学 指导教师：唐春雷教授 研究方向：非线性分析 研究生，叶一蔚( 2 0 0 6 3 1 4 0 0 0 0 4 8 ) 摘要 考虑二阶连续的h a m i l t o n 系统 ：劣竺赫黑鉴0 口e 挺旧捌( h s i i z ( t 0 ) l 缸( o ) 一t 上( ? ) = 也( o ) 一 ) = ， 7 其中，t 0 ，a ( t ) 是连续的对称阶矩阵，f ：r r 一兄关于t 是弘周期的且 满足以下假设 ( a ) f ( t ，z ) 对每个z 冗关于t 是可测的，对a e t 【0 ，卅关于z 是连续可微 的，且存在n c ( r + ，r + ) ，b l 1 ( o ，t ；r + ) 使得 i f ( t ，z ) i a ( f x d b ( t ) ，i v f ( t ，z ) l n ( i z i ) 6 ) 对所有的z r 及a e t 【0 ，t 】成立 本文利用临界点理论中的极小极大方法研究了具有非一致强制位势和具有超二次 位势的以上二阶h a m i l t o n 系统的周期解和次调和解 首先，考虑a = 0 这种特殊情况，这时系统( h s l ) 变成了 霞嗖+ 叩( 。) ) = o ，n e 2 【o ，卅，( 日s 2 ) i 缸( o ) 一t l ( t ) = 心( o ) 一也( t ) = 0 ， ” 我们的主要结果如下： 定理1 设f ( t ，z ) = g ( x ) + h ( t ，z ) 满足条件( a ) 若存在7 0 的子集e 使得 f ( t ，z ) 7 ( t )( 2 ) 对所有的z r 及a e t 【o ，卅成立，且当川一。时， f c t ，正) + 。o 对a e t e 成立那么系统( h s 2 ) 至少有一个解 定理2 设f ( t ，z ) = g ( z ) + h ( t ，z ) 满足( a ) 和( 1 ) ，若存在，gel 1 ( o ，t ；r + ) 使 得 i v h ( t ，z ) l y c t ) l x l a + g ( t )( 3 ) 对所有z r 及a e t 【0 ，明成立如果当_ 。时， i z i - 融f ( t ，z ) _ + o 。 对a e t 【0 ，卅一致地成立则系统( h s 2 ) 至少有一个解 定理3 设f ( t ，z ) = g ( z ) + 日( t ，z ) 满足( a ) ，( 1 ) i ( 2 ) 和( 3 ) ，若存在【0 ，卅的满足 m e a se 0 的子集e 使得当一o 。时 - 2 a f c t ，z ) 一十。( 4 ) 对a e t e 成立则系统( h s 2 ) 至少有一个解 定理4 设f ( t ，z ) = g ( z ) + h ( t ，z ) 满足( a ) ，( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) 和( 4 ) 若存在6 0 ， 0 和正整数k 0 使得 一圭 + 1 ) 2 0 1 2 k 1 2s f ( t ，z ) 一f ( t , o ) 对所有z r 和a e t 【o ，刁成立，且 f ( t ，鬈) 一f ( t ，o ) s 一丢k 2 2 ( 1 + ) l z 2 对所有蚓6 和a e t 【o ，卅成立，其中u = 2 7 r 卢则系统( h s 2 ) 至少有个非零 解 2 其次，考虑一般的a ( t ) 为连续的阶对称矩阵的情形我们有以下定理： 定理5 议f 满足条件( a ) 放以卜条件： i 卓气铲= + o o 对a e t 【0 卅一致成立， l 蓦m 0 铲= 。 对a e t 【0 ，刁一致成立，( 5 ) 且存在a 2 和p 入一2 使得 1 器普气铲 。 对a e t 【0 卅一致成立，( 7 ) 如果0 为一c f 2 舻一a ( t ) ( 具有周期边界条件) 的特征值，那么也假设存在r 0 ，使得 当r 时，对任意的t 【0 ，卵，都有 f ( t ，z ) 0 ( 或f ( t ，z ) o ) 则系统( h s l ) 至少存在一个非平凡的t - 周期解 定理6 假设f 满足( a ) ，( 5 ) ，( 6 ) ，( 7 ) 及以下条件： 将蟮号挚 生譬竺u 2 对a e - t f 0 习一致成立， f ( t ，z ) 0对所有z r 和a e t i o ，刁一致成立 则系统( h s l ) 存在无穷多个不同的次调和解 考虑二阶离散的h a m i l t o n 系统 2 1 正( t 一1 ) + 6 ( t ) v v ( u ( t ) ) = 0 ，v t z ，( d h s ) 其中a u ( t ) = u ( t + 1 ) 一t ( t ) ，2 u ( t ) = ( u ( t ) ) ，b c ( n ，r ) 且关于t 是正周期的， 即，存在正整数t ，使得对任意的t z ，有6 ( t + t ) = 6 ( t ) v c 1 ( r ，r ) ，v v ( x ) 表示 v ( x ) 关于z 的梯度 本文利用临界点理论中的极小极大方法来研究具有变号位势的二阶离散h a m i l t o n 系统( d h s ) 的周期解的存在性主要结论如下： 3 定理7 假设函数6 ( t ) 和v ( z ) = a l x l + w ( z ) ，其中a 0 ，p 2 ，w c 1 ( 冗，r ) 满足下面的假设 ( b 1 ) b c c r ，r ) ：且存在正整数t 使得对任意的t z ，有b ( t + t ) = b c t ) ，圣1b ( t ) = 0 但b 0 ( 6 2 ) 存在- 周期函数e ：z r 使得e l z t l ，t l n 。= 0 ，t n xe c t ) = 0 ，e 0 且 r 6 ( z ) e ( t ) = 0 ， t = l 其中1 = z 1 ，卅：b c t ) o ) ( w 1 ) 存在o r 0 ( o ，2 b 。s i n 2 ( 子) ) 和r 0 0 使得 1 w c x ) i a o l z l 2 ，v l = l t o ， 其中b = m a x 6 ( t ) ：t z 1 ，卅) ，z n l ，n 2 】= zn n l ，n 2 】，n 1 ，他z 满足n l 砌 ( w 2 ) 存在常数g o 0 使得 i v w ( z ) j g o ， 比r 则系统( d h s ) 至少有一个非平凡的n 周期解 定理8 假定t 2 ，d c c a ，冗) 满足 ( d 1 ) 存在正整数t ，使得对任意的t z 有d 0 + t ) = d ( t ) ，乏ld ( t ) = 0 且d 0 c d 2 ) 存在以n 周期的函数e ：z 一冗使得e l z l l ，t i n 。= 0 ，t 1e c t ) = 0 ，e 0 且 t d ( t ) e ( t ) = 0 ， 其中l = o ) 假设日：z r _ r ，h ( t ，z ) 对每个z 关于z 是连续可微的，对每个z r 关于t 是弘周期的，使得 1 ) 乏lg ( t ，z ) 0 对所有的z r 成立 ( h 2 ) 存在q o ( 0 ，1 一c o s ( 2 ，r t ) ) 和r 0 0 使得 i h ( t ，z ) i q o l z l 2 ， v l x i r o ，v t z ( h 3 ) 存在常数m o 0 使得 l v h ( t ，z ) l m o ，v z r n , v t z 4 则系统 2 1 | ( 一1 ) + d ( t ) l u ( t ) l t 一2 u ( t ) 4 - v h ( t ，u ( t ) ) = o ，v t z ， 至少有一个非平凡的d 周期解 关键词 二阶h a m i l t o n i a n 系统；离散h a m i l t o n i a n 系统；超二次条件；( p s ) 条 件；( c ) 4 条件；周期解；次调和解；局部环绕；鞍点定理；广义山路引理 5 p e r i o d i ca n ds u b h a r m o n i cs o l u t i o n sf o r ac l a s so fs e c o n do r d e rh a m i l t o n i a n s y s t e m s l m a j o r ：a p p l i e dm a t h e m a t i c s s p e c i a l i t y ：n o n l i n e a ra n a l y s i s s u p e r v i s o r ：p r o f c h u n - l e it a n g a u t h o r ：y i - w e iy e ( 2 0 0 6 3 1 4 0 0 0 0 4 8 ) a b s t r a c t c o n s i d e rt h es e c o n do r d e rh a m i l t o n i a ns y s t e m s 二刖u ( t 力翌搽搿紫0 0 e 挺阳棚 c 删 lu ( o ) 一) = 也( o ) 一矗( t ) = ， v 7 w h e r et 0 ，a ( t ) i sa nn n s y m m e t r i cm a t r i x ，c o n t i n u o u sa n dt - p e r i o d i ci nt ，f ： r r “啼ri st - p e r i o d i ci nta n ds a t i s f i e st h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n ( a ) f ( t ，z ) i sm e a s u r a b l ei ntf o re v e r yz r na n dc o n t i n u o u s l yd i f f e r e n t i a b l ei nzf o r a e t 【o ，t 】，a n dt h e r ee x i s t 口c ( r + ，r + ) ，b l 1 ( o ，t ；r 十) s u c ht h a t f ( t ，z ) l a ( i xj ) b ( t ) ， l v f ( t ，z ) f a ( i x l ) b ( t ) f 打a l lz r a n da e t f 0 ，卅 i nt h i sp a p e r ，t h em i n i m a xm e t h o di nc r i t i c a lp o m tt h e o r yi s e m p l o y e dt os e a r c ht h e e x i s t e n c eo fp e r i o d i ca n ds u b h a r r n o n i cs o l u t i o n sf o rac l a s so fs e c o n do r d e rh a m i l t o n i a ns y s - t e r n sw i t hn o tu n i f o r m l yc o e r c i v ep o t e n t i a l ，a n dw i t hs u p e r q u a d r a t i cp o t e n t i a l f i r s t ，c o n s i d e rt h ec a s ea = 0 ，t h e ns y s t e m s ( h s i ) b e c o m e s 二w u ( t 溺：己。? 美0 引q c 础， l 仳( o ) 一) = 也( o ) 一吐( ? ) = ， r 1 。叫 o u rm a i nr e s u l t sa r et h ef o l l o w i n gt h e o r e m s 1 s u p p o r t e db yn a t i o n a ln a t u r a ls c i e n c ef o u n d a t i o no fc h i n a ( n o 1 0 7 7 1 1 7 3 ) 6 t h e o r e m1 s u p p o s et h a tf ( t ，z ) = g ( z ) + 日( t ，z ) s a t i s f i e sa s s u m p t i o n ( a ) a s s u m e t h a tt h e r ee x i s t7 0 s u c h 场8 f ( t ，z ) 一+ o 。8 , 8 叶o o f o ra e t e t h e np r o b l e m ( i - i s 2 ) h a sa tl e a s to n es o l u t i o ni n 日； t h e 0 1 1 e l l l2 s u p p o s et h a tf ( t ，z ) = g ( z ) + h ( t ，z ) s a t i s f i e sa s s u m p t i o n ( a ) a n d ( 1 ) ， a n dt h e r ee x i s t ，9 l 1 ( 0 ，t ；r + ) s u c ht h a t l v h ( t ，z ) isy ( t ) l z l n + g ( t ) f o ra l lz r a n da e t 【0 ，卅a s s u m et h a t ， z | - 2 a f ( t ，z ) 一+ ( 3 ) 鹊_ + 。ou n i f o r m l yf o ra e t 【0 ，列t h e np r o b l e m ( i t s 2 ) h a sa tl e a s to n es o l u i t o ni n t h e o f e n l3 s u p p o s et h a tf ( t ，z ) = g ( z ) + i - i ( t ，z ) s a t i s f i e sa s s u m p t i o n ( a ) ，( 1 ) ，( 2 ) a n d ( 3 ) a s s u m et h a tt h e r ee x i s t se l , s u b s e teo f 【o ，卅w i t hm e a , se 0s u c ht h a t z l 一2 口f ( t ，z ) + + o o a , s i z i 0 0 f o ra e t e t h e np r o b l e m ( h s 2 ) h a sa tl e a s to n es o l u i t o ni n 珥 t h e o r e m4 s u p p o s et h a tf ( t ，z ) = g ( z ) + h ( t ，z ) s a t i s f i e sa s s u m p t i o n ( a ) ，( 1 ) ， ( 2 ) ，( 3 ) a n d ( 4 ) a s s u m et h a tt h e r ee x i s t s6 0 ， 0a n da ni n t e g e r 七 0s u c ht h a t 一丢( 免+ 1 ) 2 w 2 i z l 2 f ( t ，z ) 一f ( t ，o ) 7 f o ra l lz r na n da e t 【o ，t l ，a n d f ( t ，z ) 一f ( t ，o ) 一l ku 2 ( 1 + e ) l z l 2 f o ra l li z i 6a n da e t 【o ，卅，w h e r eu = 2 订t t h e np r o b l e m ( h s 2 ) h a sa tl e a s to n e s o l u i t o ni n 珥 t h e nw ec o n s i d e rt h eg e n e r a lc a s ew h e r ea ( t ) i sa nn ns y m m e t r i cm a t r i x ，c o n t i n u o u s a n dt - p e r i o d i ci nt t h e o r e m5 3 u p p o s ets a t i s f i e sl a ja n dt h et 0 1 1 0 w i n gc o n d i t i o n so i 慧掣= + u n i f o r m l y f o r 眦t 【嘲， 将掣= 。u 幽m l y f o ra e 川唧 a s s u m et h a tt h e r ee x i s ta 2a n d 口 a 一2s u c ht h a t 1 i m 。s u p 掣 o 吼i f o r m l y f o ra e t 悯 i x l - - , o o i 圳1 。一7 一” i f0i sa l le i g e n v a l u eo f - d 2 d t 2 一a ( t ) ( w i t hp e r i o d i cb o u n d a r yc o n d i t i o n ) ，a s s u m ea l s o f ( t ，z ) 20 ( o rf ( t ，z ) o ) ， v l x i r ，【0 ，卅 f o rs o m er 0 t h e np r o l j l e mf h s l lh a sa tl e a s to n en o n t r i v i a l l2 1 - d e r i o d i c8 0 1 1 1 t i o n ( 5 ) ( 6 ) ( 7 ) t h e o r e m6 s u p p o s et h a ta ( t ) = m 2 u 2 i ，w h e r em i san o n n e g a t i v ei n t e g e r ，u = 2 7 r t a n dii st h eu n i tm a t r i xo fo r d e rn ，a n dfs a t i s f i e s ( a ) ，( 5 ) ，( 6 ) ，( 7 ) a n dt h ef o l l o w i n g c o n d i t i o n sl 黜掣 竿u 2u n 1 y f 0 川唧， f ( t ，z ) 0v ( t ，z ) 【0 ，t 】xr t h e nt h e r ee x i s t sas e q u e n c e 【磅) cn ，如_ o 。，a n dc o r r e s p o n d i n gd i s t i n c tk j tp e r i o d i c s o l u t i o n so fp r o b l e m ( h s d c o n s i d e rt h es e c o n d - o r d e rd i s c r e t eh a m i l t o n i a ns y s t e m 2 u ( t 一1 ) + b ( t ) v v ( u ( t ) ) = 0 ，v t 互( d h s ) 8 w h e r e u ( t ) = u ( + 1 ) 一t ( t ) ，2 u c t ) = a ( z x u ( t ) ) ，b c ( r ，r ) a n dt h e r ee x i s t sap o s i t i v e i n t e g e rts u c ht h a tb ( t + t ) = b ( t ) f o ra l lt z ，zi st h es e to fa l li n t e g e r s ，v c 1 ( r ，r ) ， v v ( x ) d e n o t e st h eg r a d i e n to fv ( x ) i nz w eo b t a i ns o m ee x i s t e n c er e s u l t so fp e r i o d i cs o l u t i o n sf o rt h es e c o n do r d e rd i s c r e t e h a m i l t o n i a us y s t e m sw i t hac h a n g eo fs i g ni np o t e n t i a lb yt h em i n i m a xm e t h o d si nc r i t i c a l p o i n tt h e o r y o u rm a i nr e s u l t sr l et h ef o l l o w i n gt h e o r e m s t h e o r e m7 s u p p o s et h a tb ( t ) a n dy ( x ) = a l x l + ( z ) ，w h e r ea 0 ，卢 2 ， w c 1 ( 兄，兄) s a t i s f i e st h ef o l l o w i n ga s s u m p t i o n s ( b 1 ) b c ( r ，冗) ，t h e r ee x i s t sap o s i t i v ei n t e g e rt ，s u c ht h a tf o ra n yt z ，b ( t + t ) = 6 ( t ) ， ：lb ( t ) = 0a n db 0 ( 6 2 ) t h e r ee x i s t sat - p e r i o d i cf u n c t i o n a le ：z _ r s u c ht h a te l z t l 烈1 = 0 ， t le ( t ) = 0 ，e 0a n d 6 ( z ) e ( t ) = 0 ， t , - = - 1 w h e r e l = t z 1 ，卅：b ( t ) o ) ( w 1 ) t h e r ee x i s tg 0 ( 0 ，2 b qs 啦2 ( 子) ) a n dr o 0s u c ht h a t w ( z ) l a o l z l 2 ，v sr o ， w h e r eb = m a x b ( t ) ：t z 1 ，t i ) ，z n l ，n 2 】= z n n l ，n 2 】f o re v e r yn l ，n 2 zw i t h 礼1 哟 ( w 2 ) t h e r ee x i s t sac o n s t a n tg o 0s u c ht h a t v w ( x ) i g o ， v x r t h e ns y s t e m ( d h s ) p o s s e s s e sa tl e a s to n en o n t r i v i a ls o l u t i o n sw i t hp e r i o dt t h e o r e m8 s u p p o s et h a tp 2 ，d c ( r ，r ) s a t i s f y i n g ( d 1 ) t h e r ee x i s t sap o s i t i v ei n t e g e rt ，s u c ht h a tf o ra n yt z ，d ( t + t ) = d ( t ) ， ：1d ( t ) = 0a n dd 0 ( d 2 ) t h e r ee x i s t sat - p e r i o d i cf u n c t i o n a le ：z _ r ns u c ht h a te l z l l ，玳1 = 0 ， 蚝le ( t ) = 0 ，e 0a n d d ( t ) e ( t ) = 0 ， t = 1 w h e r e l = z 1 ，列：d ( t ) o ) a s s u m et h a t 日：z r _ r ，h ( t ，z ) i sc o n t i n u o u s l yd i f f e r e n t i a b l ei nzf o re v e r yt z a n dt - p e r i o d i ci ntf o ra l lz r n s u c ht h a t 9 ( 日1 ) t t - 1 日( t ，z ) 0f o ra u r ( h 2 ) t h e r ee x i s tq o ( 0 ，1 一c o s ( 2 r t ) ) a n dr 0 0s u c ht h a t h ( t ，z ) i q o l x l 2 ，v i z l t o ，v t z ( h 3 ) t h e r e 饮i s t sm o 0 s u c ht h a t t h e np r o b l e m v h ( t ，。) l m o ，v 。r n , v t z 2 u 0 1 ) + d ( t ) l u ( t ) l 一2 u ( t ) + v h ( t ，t ( t ) ) = 0 ， v t z ， p o 铀嘟e sa tl e a s to n en o n z e r o 弘p e r i o d i cs o l u t i o n k e yw o r d sa n dp h r a s e s s e c o n do r d e rh a m i l t o n i a ns y s t e m s ；d i s c r e t e h a m i l t o n i a ns y s t e m s ；s u p e r q u a d r a t i cc o n d i t i o n ；( p s ) c o n d i t i o n ；( c ) c o n d i t i o n ；p e r i o d i cs 伊 l u t i o n ；s u b h a r m o n i cs o l u t i o n ；t h el o c a ll i n k i n g ；s a d d l ep o i n tt h e o r y ；g e n e r a l i z e dm o u n t a i n p a s st h e o r e m 1 0 独创性声明 本人提交的学位论文是在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。论文中引用他人已经发表或出版过的研究成果，文中已加 了特别标注。对本研究及学位论文撰写曾做出贡献的老师、朋友、同 仁在文中作了明确说明并表示衷心感谢。 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生院( 筹) 可以将学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：洄不保密， 口保密期限至年月止) 。 学位论文作者签名：叶一蔚 签字日期：加o s 年f 月3 日 导师签名： 签字吼叫年如夕日 前言 h a m i l t o n 系统是非线性科学中的一个重要领域，由于这类系统广泛存在于数理科 学，生命科学以及社会科学的各个领域，特别是天体力学，等离子物理，航天科学以 及生物工程中的很多模型都以h a m i l t o n 系统( 或它的挠动系统) 的形式出现如：单 摆运动，三种群v o l t e r r a 模型，三体问题等等近二百年来，非线性h a m i l t o n 系统一 直是数学家和物理学家的重要研究领域，近年来这一领域中的新的研究成果已经在非 线性分析，代数拓扑，数学物理和微分几何( 特别是辛几何) 等诸多学科中产生了重 大的影响由于h a m i l t o n 系统具有变分结构，因此变分原理成为研究h a m i l t o n 系统 的一个重要原理，并且随着近2 5 年来临界点理论的飞速发展，数学工作者已在研究 h a m i l t o n 系统的解的方面取得了引人入胜的成果 本文利用临界点理论中的极小极大原理来研究二阶h a m i l t o n 系统的周期解和次 调和解，丰富和推广了以前的结论 二 文献综述 考虑二阶连续的h a m i l t o n 系统 苞( 。) + a ( t ) 乱( 。) + v f m ( 2 ) ) = o ，n e 。【0 ，卵，( h s i ) it ( o ) 一仳( t ) = 吐( o ) 一i z ( t ) = 0 ， 其中，t 0 ，a ( t ) 是连续的对称n 阶矩阵，f ：r r n r 关于t 是b 周期的且 满足以下假设 ( a ) f ( t ，z ) 对每个z r 关于t 是可测的，对a e t 【0 ，卅关于z 是连续可微 的，且存在a c ( r + ，r + ) ，b 三1 ( o ，t ；r + ) 使得 l f ( t ，z ) i a ( i x l ) b ( t ) ，i v f ( t ，o ) l a ( i z l ) b ( t ) 对所有的z r 及a e t 【0 ，列成立 早在1 8 9 2 年h p o i n c a r e 【2 3 】就开始用变分法研究二阶h a m i l t o n 系统，他考虑了 n = 1 且f 自治( 即f 与z 无关) 的情况1 9 1 5 年l l i c h t e n s t e i n 1 6 】考虑了n = 1 且 f 非自治( 即f 与t 有关) 的情况 用变分方法研究二阶h a m i l t o n 系统就是将求方程( h s l ) 的解的问题转换为求泛函 妒 ) = 丢z ? l 也( 圳2 d t 一去z r ( a ( ) u ( t ) ，缸( t ) ) 出一o rf ( t ，u ( t ) ) d t 在h i l b e r t 空间腓上的临界点问题，其中 磷= u ： 0 , t - - r n l ：盖翌蓑豸且也l 。，t ；冗，) 具有范数 陋i | - f o tl u ( t ) 1 2 出+ f o tl i - ( t ) 1 2 d t ) v 2 由文献【2 1 】的定理1 4 可知，当满足条件( a ) 时，妒c 1 ( 砩，r ) 且 ( ( ) ，钞) = ( 吐( t ) ，o ( ) ) 一( a ( t ) 乱( t ) ， ( z ) ) 一( v p ( t ，u ( t ) ) ，u ( z ) ) 出 对所有的u ，珥成立用变分法研究二阶h a m i l t o n 系统主要有极小作用原理和极 小极大方法，极小作用原理是寻求相应泛函的极值点，在此方面得到的相关结果可参 见文献【7 ，2 1 ，2 2 ，2 7 ，3 2 ，3 4 ，z t 极小极大方法侧重于求“鞍点型，的临界点用极小极 大方法研究h a m i l t o n 系统已得到很多可解性条件如t 强制性条件【7 ，2 1 ，2 7 ，3 3 ，4 4 ， 周期条件【2 1 ，3 0 ，4 0 ，超二次条件【6 ，9 ，1 7 ，2 5 ，3 5 】，次二次条件 2 5 ，2 9 ，4 1 ，次线性条件 【2 8 ，3 1 ，3 4 】，偶型位势【1 8 ，3 8 ，3 9 】，变号位势【2 ，3 ，6 ，1 0 ，2 6 等等 特别地，在一致强制条件下，即，当_ o o 时， f ( t ，z ) 一+ 。o( 1 ) 对a e t 【o ，纠一致地成立，1 9 7 7 年，m s b e r g e r 和m s c h e c h t e r 【7 】证明了系统 ja ( t ) = v f ( t ，u ( 啪， n e t 【0 ，明， i 乱( o ) 一乱( t ) = 也( o ) 一l ( t ) = 0 ， 至少有一个解 1 9 8 9 年j m a w h i n 和m w i l l e mf 2 1 】以及1 9 9 6 年c t t a n g 【3 3 】将其作了推广 进一步， 1 9 8 4 年a h m a d 和l a z e r 1 讨论了在一致强制性条件( 1 ) 下，当f ( t ，z ) = g ( 。) + h ( t ，z ) ，g ，日满足适当条件时，二阶h a m i l t o n 系统( h s i ) ( a = 0 ) 的解的存在 性 2 0 0 1 年，c l t a n g 和x p w u 2 7 】将f 3 3 】中的一致强制性条件减弱为局部强制性 条件，即，存在1 l 1 ( o ，t ) 和i o ，t 1 的满足m e a s e 0 的子集e 使得 f ( t ，z ) 7 ( t ) 对所有的z r n 及a e t 【0 ，t i 成立，且当叶。时， f ( t ，z ) _ + 对a et e 一致成立 受【1 ，2 0 ，2 7 1 的启发，本文讨论了在非一致强制条件下，系统( h s i ) ( a = 0 ) 解的 存在性和多解性问题，推广了a h m a d 和l a 。z e r 1 】的结果( 见3 1 ) 所谓超二次条件是指存在p 2 ，m 0 使得 0 0 使得 l i m i n f 幽号掣 0 ( 3 ) l 霉i i z l 关于a e t 【o ，刁一致成立受的【1 5 ，3 5 】启发，本文研究了系统( h s d ，其中a 不必 为零矩阵，在超二次条件( 3 ) 下的周期解和次调和解，推广了已有的结论( 见3 2 ) 考虑二阶离散的h a m i l t o n 系统 2 乱0 1 ) + 6 ( z ) v y ( u ) ) = 0 ，b t z ，( d h s ) 其中a u ( t ) = u + 1 ) 一u ( z ) ，a 2 u ( t ) = ( u ( t ) ) ，b c ( r ，r ) 且关于t 是弘周期的， 即，存在正整数? ，使得对任意的t z ，有6 ( t + t ) = 6 ( t ) v c 1 ( 兄，冗) ，v v ( z ) 表示 v ( x ) 关于z 的梯度 随着计算机科学的应用和发展，差分方程理论也越来越受到重视，对于离散h a m i l - t o n 系统的研究也越来越多近几年来，受临界点理论在连续的h a m i l t o n 系统研究中 所发挥的巨大作用的启发，许多学者也应用临界点理论来研究离散h a m i l t o n 系统的周 期解，并取得了一系列结果，详见文献【8 ，1 1 ，1 2 ，1 3 ，1 4 ，4 2 ，4 3 ，4 6 ，4 5 对于系统( d h s ) 更一般的形式 a 2 t 正 一1 ) + v f ( t ，t ( t ) ) = 0 ，v t z ，( 4 ) f 1 2 ，1 3 ，4 3 ，4 6 】考虑了当f 满足超二次条件时系统( 4 ) 周期解的存在性和多解性； f 1 1 ，1 3 ，4 2 】考虑的是f 次二次的情形结合极小极大方法和m o r s e 理论，【8 】考虑了 1 3 v f 拟线性的情形应用磊指标理论，【1 4 】给出了系统( 4 ) 的多解性条件特别地， y f x u e 和c l t a n g 4 2 ，4 3 】通过算子理论，建立了系统( 4 ) 的变分结构，研究了二阶 差分算子一2 的特征空间的相关性质，为我们深入研究系统( d h s ) 提供了方便 本文推广了【4 5 】的结论，利用广义山路引理，得到新的存在性定理( 见3 3 ) 二 预备知识 设x 是实b a n a c h 空间且具有直和分解 考虑下面两个子空间序列 且 x = x 10 x 2 ， 粥c 斟c c x 1 船cx c cx 2 一= u 嬲 j = 1 ，2 对于多重指标口= ( a 1 ，q 2 ) n 2 我们定义， x 口= 瑶。0 醒。 q p 骨q 1 角，x 2 危 设序列 a n ) n 2 ，如果对每个口n 2 都存在一个仇n 满足 则称( q n ) 为相容的 n m 弓q 定义1 设x 为b a n a c h 空间且具有直和分解，x = x 1ox 2 ，妒c 1 ( x ，r ) 如果 存在r 0 使得 妒( 钍) 0 ， v u x 1 ，i | t i i 7 ； 妒( u ) 0 ，v u x 2 ，l i u l i 7 则称妒关于( x 1 ，x 2 ) 在零点处构成局部环绕 1 4 定义2 泛函垆6c 1 ( x ，r ) 满足( c ) 。条件是指，对任意的序列( u q 。) 6x 满足 ( a n ) 相容的并且 s u p o ( u 。) s u p 。a q 妒( “) = a o ； 那么妒有临界值c q ，进一步c 可表示为 c = i n fs u p 妒( ( 乱) ) ， h e f t q 一。 其中 f = 6c ( q ，x ) i h d q = i d 文献【4 1 证明了在( c ) 条件下，形变引理也成立，从而广义山路引理中的临界点在( c ) 条件下同样存在 鞍点定理( 见f 2 1 】) 设x 是b a n a c h 空间，妒是空间x = x 一0 x + 上的c 1 泛 函，d i m x 一 0 使得 f ( t ，z ) 0 对所有的m 及a e te 【0 ，卅成立根据) 有 f ( t ，z ) 一a m b ( t ) 对所有的m 及a et f 0 ，卅成立，其中a m = m a x o 。m 口( s ) 从而在( 7 ) 式中 令，y ( t ) = 一a m b ( t ) 即可存在泛函f 满足我们的定理而不满足已有的结果例如， 1 6 设f ( t ，z ) = g ( z ) - t - h ( t ，z )