（应用数学专业论文）集值变分包含的算法及其应用.pdf

中文摘要 变分_ ；等式理论在工程、物理学、经济学等纯粹和应用科学领域均有广泛的应用，已 成为应用数学的一个重要分支 期f 究涉及线性与非线性分析、b a n a c h 空间的几何理论以 及数值计算等学张具有相当的难度本文分别在r 6 空间、r i l b e r t 空问、b a n a c h 翻司和度 量空扣j 框架下，研究了集值变分不等式( 包含) 的解的存在性、迭代算法、误差分析及其 在最优控制和动力系统中的应用具体内容如下： 1 简要介绍了集值变分不等式( 包含) 问题研究的进展情况 2 提出了一个解( 一般) 线性和非线性单调变分不等式的新的预估一校j 下算法浚方 法使用了一一个非常有效的预估步长准则，每个步长的选取只需要计算一次投影，太大减 少了；f 镩她在算子堆调且l i p s c h k z 连续的条件下，建立了该算法的全局收敛性定王i l ! 数 值试验表明浚算法比最新文献中出现的投影类方法有效 3 ，利用算予扰动技巧建立了h i i b e r t 空间中广义集画昆合变分不等式与一类新的不动 点闷题的等价性利用这个等价性提出和分析了一类解广义集值混合变分不等式和相关的 优化问趣m 新算法在h i l b e r t 空州中，引入并研究了一类广义一般集值混合拟变分不等 工，证明了j “义一般集值混合拟变分不等式辅助问题的解的存在性利用辅助原理技巧 提出和分析了个预估校正方法对i - f i l b e r t 空侧中的集值变分包含，提出了个新的临 近点逼近算法。该算法的收敛性仅需算子是单调的即可提出了h i l b e r t 空间中广义集值拟 变分包含的全局( 局部) 预解类误差界的概念，并给出了广义集值拟变分包含的全局预解 类误差界，利用它可以分析各种方法的收敛性 4 提出了一个一致光滑b a n , 越h 空蚓中的集值拟变分不等式的新算法，改正若改进了 n o o r 的结果研究了一类更广泛的b a n a c h 空白j 中的广义集值变分包含，利用一些新的技 巧，给f l j 了光滑，一瞰光滑及q 致光滑b a n a c h 空闽中的广义集值变分包含的几个存在 性定理。建立了一些带误差项的摄动单步和多步迭代算法，并汪明了近似解序列强收敛 f 精确解在k 致光滑b a u a c h 空问的基础b 提出和研究了更广泛的局部和中点局 部k ，致光滑b a n a c h 空间的些重要性质，他们不仅具有重要的理论意义，丽且在算 子方程、不动点理论以及变分不等式及箕楣关的优化问题中都有重要应用 5 给出了f r e c h e t 空日j 中的几个重要不等式它们是i - f d b e f t 空问中的著名极化恒等式 在f r e c h e t 空间中的情形：推广了b a n , a c h 空间中的许多不等式，所得结果有广泛的应用利 | j 这峰不等式可容易地将许：多最新结果从b 妇n a c h 空间摊广。到f r e c h e t 空间，特茹q 是可以 将第4 章的部分结果加以推广在凸度量空间中，提出了一类集值变分包岔，井利用一些 新的技巧提抖 和分析了其摄动迭代算法 6 ，研究了h i l b e r t 空问中的变分不等式在最优控制中的应用利用辅助原理技巧，建立 了求解带年龄结构和空阏扩散的时变种群系统的最优边界控制的算法，并证明了由算法产 乍的迭代序萝u 的收敛性研究了b a n a c h 空问中的集值变分包含。利用预解方程技巧，提 出了b a n a c h 空间中的预解动力系统，研究了b a n a c h 空间的预解动力系统和b a n a c h 空间 - t 的撬值变分包含的关系 关键词：集值变分不等式集值变分包含算法h i l b e r t 空间 b a n a c h 空间 度量空阀 a b s t r a c t v a r i a t i o n a li n e q u a l i t yt h e o r yh a se m e r g e da s 锄i m p o r t a n t b r a n c ho fa p p l i e d m a t h e m a t i c sw i t haw i d er a n g eo fa p p l i c a t i o n si ni n d u s t r y , p h y s i c a l ，r e g i o n a l ，s o c i a l ， p u r ea n da p p l i e ds c i e n c e s i nr e c e n ty e a t s ，t h er e s e a r c ho nt h ea l g o r i t h m sf o ra l lk i n d s o f v a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s ( i n c l u s i o n s ) h a v eb e e np a i ds om u c ha t t e n t i o nt h a ti ti sn e c e s s a r y t od of u r t h e rr e s e a r c ho nt h et h e o r y ，c o n s t r u c t i o na n da p p l i c a t i o no ft h ea l g o r i t h m s , t h e r e s e a r c ho nw h i c hi sc l o s e l yr e l a t e dt os u c hm a t h e m a t i c a lb r a n c h e sa sl i n e a ra n d n o n l i n e a ra n a l y s i s ，g e o m e t r yi nb a n a c hs p a c e sa n dn u m e r i c a lc o m p u t a t i o n t h e r e f o r e ， t h er e s e a r c hf o rt h e mh a sc e r t a i nd e g r e eo fd i f f i c u l t y i nt h i sp a p e r , w ed i s c u s st h e e x i s t e n c eo ft h es o l u t i o n ，i t e r a t i v ea l g o r i t h m ，a n de l l o rb o u n d sf o rac l a s so fv a r i a t i o n a l i n e q u a l i t i e s ( i n c l u s i o n s ) i nr ”s p a c e s ，h i l b e r ts p a c e s ，b a n a c hs p a c e s ，a n dm e t r i cs p a c e s r e s p e c t i v e l y f u r t h e r m o r e ，t h ea p p l i c a t i o n s o fs e t - v a l u e dv a r i a t i o n a li n c l u s i o n si n o p t i m a lc o n t r o la n dd y n a m i c a ls y s t e m sa r ca l s od i s c u s s e d d e t a i l sa r ea sf o l l o w s ： 1 ad e v e l o p m e n ts u r v e yf o rv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e si sp r e s e n t e d 2 am o d i f i e dp r e d i c t i o n - c o r r e c t i o nm e t h o df o rs o l v i n gf g e n e r a l ) m o n o t o n el i n e a r a n dn o n l i n e a rv a r i a t i o n a li n e q u a l i t yp r o b l e m si sp r o p o s e d ap r a c t i c a la n dr o b u s t p r e d i c t i o ns t e p s i z ec h o i c es t r a t e g yi sd e v e l o p e d ，w h i c hn e e d so n l yap r o j e c t i o nf o re a c h l i n e s e a r c hp r o c e d u r e t h eg l o b a lc o n v e r g e n c eo ft h ep r o p o s e da l g o r i t h mi se s t a b l i s h e d u n d e rt h es a m ec o n d i t i o n su s e di nt h eo r i g i n a lp r e d i c t i o n c o r r e c t i o nm e t h o d n u m e r i c a l r e s u l t sa n dc o m p a r i s o nw i t hs o m ep r o j e c t i o n t y p em e t h o d sf o ri m p r o v i n gk o r p e l e v i c h e x t r a g r a d i e n tm e t h o da r ea l s og i v e nt oi l l u s t r a t et h ee f f i c i e n c yo ft h ep r o p o s e dm e t h o d 3 n l ee q u i v a l e n c eb e t w e e ng e n e r a l i z e ds e t - v a l u e dm i x e dv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s i nh i l b e r ts p a c e sa n df i x e dp o i n tp r o b l e m si se s t a b l i s h e db yu s i n gan e wa n di n n o v m i v e t e c h n i q u e b a s e do nt h ee q u i v a l e n c e ，ac l a s so fi t e r a t i v ea l g o r i t h m sf o rs o l v i n g g e n e r a l i z e ds e t v a l u e dm i x e dv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e sa n dr e l a t e do p t i m i z a t i o np r o b l e m s a r es u g g e s t e da n da n a l y z e d ac l a s so fg e n e r a l i z e dg e n e r a lm i x e dq u a s iv a r i a t i o n a l i n e q u a l i t i e si nh i l b e r ts p a c e sa r ei n t r o d u c e da n ds t u d i e d n l ee x i s t e n c eo ft h es o l u t i o n o ft h ea u x i l i a r yp r o b l e mf o rt h eg e n e r a l i z e dg e n e r a lm i x e d q u a s iv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s i sp r o v e d ，ap r e d i c t o r - e o r r e c t o rm e t h o df o rs o l v i n gt h eg e n e r a l i z e dg e n e r a lm i x e dq u a s i v a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e si ss u g g e s t e da n da n a l y z e db yu s i n gt h ea u x i l i a r yp r i n c i p l e t e c h n i q u e an e wp r o x i m a lp o i n ta l g o r i t h mf o rs e t - v a l u e dv a r i a t i o n a li n c l u s i o n si n h i l b e r ts p a c e si ss u g g e s t e d a n di t sc o n v e r g e n c en e e d so n l yt h em o n o t o n eo p e r a t o r n e c o n c e p t so ft h eg l o b a l ( 1 0 c a l ) r e s o l v e n t - t y p ee r r o r b o u n d sf o rs e t - v a l u e dq u a s i v a r i a t i o n a li n c l u s i o n si nh i l b e r ts p a c e sa r ep r e s e n t e d ，w h i c hc a l lb eu s e dt oa n a l y z et h e c o n v e r g e n c er a t e so fv a r i o u sm e t h o d s t h eg l o b a lr e s o l v e n t - t y p ee r r o rb o u n d sf o r g e n e r a l i z e dq u a s i - v a r i a t i o n a li n c l u s i o n sa r eg i v e nu n d e rc e r t a i nc o n d i t i o n s 4 an e wa l g o r i t h mf o rt h es e t v a l u e dq u a s i v a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e si nau n i f o r m l y s m o o t hb a n a c hs p a c e si sa n a l y z e d w h i c hc o r r e c t sa n di m p r o v e sn o o r sr e s u l t s ac l a s s o fn e ws e t v a l u e dv a r i a t i o n a li n c l u s i o n si nb a n a c hs p a c e sa r ei n t r o d u c e da n ds t u d i e d ， w h i c hi n c l u d em a n yv a r i a t i o n a li n c l u s i o n ss t u d i e db yo t h e r si nr e c e n ty e a r s b yu s i n g s o m en e wa n di n n o v a t i v et e c h n i q u e s ，s e v e r a le x i s t e n c et h e o r e m sf o rt h eg e n e r a l i z e d s e t v a l u e dv a r i a t i o n a li n c l u s i o n sa r eg i v e n a n ds o m ep e r t u r b e d ( o n e - s t e pa n dt h r e e s t e p ) i t e r a t i v ea l g o r i t h m sa r es u g g e s t e du n d e rt h es e a i n go f t h es m o o t ha n du n i f o r m l ys m o o t h a n dq - u n i f o r m l ys m o o t hb a n a c hs p a c e s t h ec o n c e p to fm i d p o i n tl o c a l l yk - u n i f o r m l y s m o o t hs p a c ei si n t r o d u c e d ，a n di t sp r o p e r t i e sa n dr e l a t i o n sb e t w e e ni ta n do t h e rk n o w n v a r i o u sk - s m o o t hs p a c e sa r ed i s c u s s e d 5 s e v e r a li n e q u a l i t i e so ff r e c h e ts p a c e sa r eg i v e ni nt h i sp a p e hw h i c hc a r tb e r e g a r d e d a st h ef r e c h e ts p a c e sv e r s i o n so ft h ew e l l - k n o w np o l a r i z a t i o ni d e n t i t y o c c u r r i n gi nh i l b e r ts p a c e s t h ei n e q u a l i t i e sd e v e l o p e dh e r eh a v ev a r i o u sa p p l i c a t i o n s i nan u m b e ro ff i e l d s b yu s i n gt h e s ei n e q u a l i t i e s ，m a n yk n o w nr e s u l t s ，e s p e c i a l l ys o m e r e s u l t si n p a r t4 c a nb ee a s i l yg e n e r a l i z e df r o mb a n a c hs p a c e s t 0f r e c h e ts p a c e s a c l a s so fs e t v a l u e dv a r i a t i o n a li n c l u s i o n sj nc o n v e xm e t r i cs p a c e sa r ej n t r o d u c e da n d s t u d i e d w h i c hi n c l u d em a n yv a r i a t i o n a li n c l u s i o n s v a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e sa n d f i x e d - p o i n tp r o b l e m ss t u d i e db yo t h e r si n r e c e n ty e a r s b yu s i n gs o m en e wa n d i n n o v a t i v et e c h n i q u e s ，ap e r t u r b e di t e r a t i v ea l g o r i t h mf o rs o l v i n gt h i sk i n d o fs e t v a l u e d v a r i a t i o n a li n c l u s i o n sa r es u g g e s t e da n da n a l y z e d 6 t h ei t e r a t i v ea l g o r i t h mf o r t h eo p t i m a lb o u n d a r yc o n t r o lo ft i m e - v a r y i n g p o p u l a t i o ns y s t e mw i t ha g e - d e p e n d e n c ea n ds p a t i a ld i f f u s i o na r ec o n s t r u c t e db yu s i n g t h ea u x i l i a r yp r i n c i p l et e c h n i q u e t h ec o n v e r g e n c eo fi t e r a t i v es e q u e n c e sg e n e r a t e db y t h ea l g o r i t h mi sa l s op r o v e d ac l a s so fs e t - v a l u e dv a i l a t i o n a li n c l u s i o ni nb a n a c h s p a c e sa r ei n t r o d u c e da n ds t u d i e d b yu s i n gt h er e s o l v e n te q u a t i o nt e c h n i q u e ，t h e r e s o l v e n td y n a m i c a ls y s t e m si nb a n a c hs p a c e sa r ei n t r o d u c e d t h er e l a t i o nb e t w e e nt h e r e s o l v e n td y n a m i c a ls y s t e m sa n dt h es e t v a l u e dq u a s i v a r i a t i o n a li n c l u s i o n si nb a n a c h s p a c e sa r ed i s c u s s e d 。 k e y w o r d s ：s e t v a l u e dv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s s e t - v a l u e dv a r i a t i o n a li n c l u s i o n s a l g o r i t h m s h i l b e r ts p a c eb a n a c hs p a c em e t r i cs p a c e 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成粱。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不 包含其他人已经发表或撰写过的研究成果；也不包含为获得西安电子科技大学或 其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做 的任何贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 本人签名：歪垂堡生童只期盏! z 五乡 关于论文使用授权的说明 本人究全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究| 托拨攻读学位期i n j 论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。本人保证毕! l k 离按后发表论文或使用论文( 与学位论文相关) 工作成果时署名单位仍然为西 安i 乜f 车斗按大学。学校有权保留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文：学校 i l r 以公卉i 论文的全部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存 论文。( 保密的论文在解密后遵守此规定) 本人签名： 导9 叮j 签名： 日期塾：兰：印 r 期垫咝查：垫鞋 眄安i 乜f 科技人学博寸：学位论文：巢值变分包含的算法及其应_ h ! 第一章绪论 1 1 集值变分包含的研究现状 数学，物理学，经济学和工程科学中的许多问题最终都可归结为变分不等式 问题i ，因丽变分坷i 等式理论得到了广泛的重视与研究i “3 川，在产生之后的短短 三十多年内，就得到了迅猛的发展，人们从不同的角度去深入研究它i 卜1 8 s 1 ，取得 了一系列重要成果 下面我们从变分不等式解的存在性、迭代算法、误差界及其推广等方面概述 一些与本文研究内容密切相关的结果 1 9 6 4 年h a r t m a n s t a m p a c c h i a 创立变分不等式理论时研究了如下经典变分 不等式问题( 记作w ( ，n ) ) ： 设q 是中的有界闭凸集，f ：t 2 一r “是一连续映象，求”e q ，使得 ( 1 1 一“) 7 f ( u ) 0 v q ( 1 1 1 ) 小少数学工作者就经她变分不等式的解的存在性羊| 】迭代解法进行研究，取得 了许多重要的成果1 9 - 2 0 1 近年来，通过对经典变分不等式问题的深入研究人们发现 其解的存在性与映射是否存在某种特殊的序列有紧密的关系可以通过这种序列 束判断解的存在与否s m i t h 和l s a c 等p 分别引入“例外序列”和“例外簇”的概 念为经典变分不等式的解的存在性研究丌辟了新的道路文【1 0 一1 2 】推广了文【9 】 的结果并对一类变分不等式提出例外簇的概念，给出解存在的一个充分条件且对 伪单调变分不等式而言它也是解存在的必要条件另外，经典变分不等式的算法研 究也一f 分活跃，出现了许多行之有效的数值方法【1 3 瑚l ，如牛顿类算法1 2 1 删和投影 算法等其中投影方法是一类特殊的迭代方法，尽管大多数投影类方法有时是无 效的，但由于它们具有全局收敛性和易于实现等优点因而这类方法得到了人们 的广泛关注对求解单调非线性变分刁；等式问题。豉简单的算法起 g o l d s t e i n l e v i l i n p o l y a k 投影法1 2 ”j ，它是一种显式法：对应的隐式法是逼近点法： 糕r 这两种方法，k o r p e l e v i c h1 2 提出了外梯度法，它实际上是种特殊的预估校 讵法：在预估过程中采用了g o l d s t e i n l e v i l i n p o l y a k 显式投影法，在校讵过程中使 用了隐式逼近点法：k h o b o t o v 瞄m 改进了外梯度法，得到k o r p e l e v i c h k h o b o t o v 法 最近何炳生教授等m 】用一个新的步长准则改进了k o r p e l e v i c h k h o b o t o v 外梯度 法 第一章绪论 i l 于理论发展和应用的需要，近年来，人们利用各种新的技巧从不同的途径对 v ( f q ) 进行推广，这些途径大致可分为四类： ( 1 ) 从刁i 等式的形式推广 经典变分不等式一一般变分不等式( 拟变分不等式，拟似变分不等式，隐变 分不等式，混合变分不等式等) ( 2 ) 从空b j 上推广 空自j h i l b e r t 空间一b a n a c h 空自j 一度量空自j ( 3 ) 从算子上推广 单值算予一集值算子，强单调算子一单调算子以及经典算子一模糊算子等 ( 4 ) 从变分不等式到变分包含近几年变分包含得到了长足发展1 2 2 , 2 6 。, 3 8 - 5 3 1 ， l 成为一个相对独立的研究领域 通常研究无穷维窀问中的变分不等式( 包含) 解的存在性有两种方法：其一 灵活地利埔几个经典的大定理如b r o w d e r 不动点定理、k k m 定理、k yf a n 极大 极小原理等，这利t 方法可以看作是经典不动点理论的一个重要应用【8 】；其二将变 分4 ：等式( 包含) 转化为等价的不动点问题，构造迭代算法然后利用空i - 日j 完备 惟证明迭代点列收敛到变分不等式( 包含) 的解近年来，第二种研究方法越来 越受到人们的青睐1 2 ”。这种方法的核心问题有两个：一、如何把问题转化为等 价的不动点问题? 常用技巧有辅助原理、预解方程和预解算子技巧【2 9 也i ；二、如 何掏进迭代算法? 常用方法有预估校正的多步迭代法、隐式方法以及对预解方程 或辅助变分不等式做适当变形后产生的迭代法 2 0 0 0 年，张打化睁9 1 存致光滑b a n a c h 空闯框架下研究变分包含的迭代算法： n o o r i ”托“反的致光滑b a n a c h 空问框架下研究一类交分不等式的迭代算法关 于在度境空日j 框架下变分不等式和变分包含的迭代算法的研究，作者尚未见到相 关文献b a n a c h 空间的凸性和光滑性在变分不等式( 包含) 问题的研究中起着重 要的作用它是b a n a c h 空闻理论的一个重要方向且被广泛应用于算予方程、变分 4 ：等式( 包含) 及不动点问题的理论和迭代逼近等领域近年来，k 凸性和k 光滑 性的研究h 益引起了人们的重视i “2 啦i n o o r l 2 9 j 4 1 和张石生嘲1 等研究的变分不等式( 包含) 都是关于强单调算子的 ( 统称为强单调变分不等式( 包含) ) 众所周知，在单调算子的情形下( 统称为 单调变分不等式) 研究变分不等式( 包含) 的算法与在强单调算子的情形下有着 本质的不同近年来，人们也利用不同的技巧研究了( 伪) 单调变分不等式的算法， 似仅局限于经典的变分不等式或者一般交分不等式参见文【1 3 1 6 j 众所周知，误差界可用来估量近似解对解集的逼近程度，也可以用来分析各种 迭代方法的收敛速率利用投影方程的自然余数( n a t u r a lr e s i d u e ) 。p a n 9 1 4 9 1 针对线 性约束强单调变分不等式问题给出了一个全局误差界；l u o f l l 9 1 针对带线性约束的 i l l i 安屯子科技人学博士学位论文：集值变分包禽的算法及其虑v j! t 2 一强凸最优化问题提出了一个全局投影型误差界；m a t h i a s 和p a n g 1 3 7 i 对带有p 矩阼的线性互补问题给出了一个全局投影型误差界，m a n g a s r i a n 和r e n ! b 剐对带有 心甜i 眸的线性互补问题给出了同样的误差界：l u o 和t s e n g ! 9 i ，g o w d a 4 0 j 分别讨 论了线性互补问题和分段仿射方程存在全局投影型误差界的充分必要条件：c h e n 和h a r k e r i “”，c h e n i l 4 2 l 又将m a t h i a s 和p a n g ，以及m a n g a s a r i a r l 和r e n 的结果推广 到带有p - 函数和心函数的非线性互补问题上；x i u 和z h a n 9 1 5 0 l 针对一般的广义 强凸变分不等式问题以及带有广义一致p 性质和广义凡性质的非线性互补问题 提出了全局误差界2 0 0 2 年，x i u 和z h a n g l 5 0 】提出并证明了一股变分不等式的全局 投影类误差界此外读者还可参看综述文献m 】 另外，交分不等式和变分包含在种群边界最优控制、动力系统和经济学中的平 衡问题等领域中也有广泛的应用，有兴趣的读者可参看文献 1 4 3 1 8 8 1 第一章绪论 1 2 常见的几种变分不等式和变分包含 如无特别说明，本文通篇假设日是一个实h i l b e r t 空间足是h 中的一个非 空闭凸集；c b ( h ；和c ( 功分别表示中的所有非空有界闭集组成的集簇和h 中 的所有非空紧子集组成的集簇：e 是一个b a n a c h 空间，c b ( e ：j 是中的所有非空 柯界闭集组成的集簇令烈，) ：h x h 寸r u + 嗡是一个不可微的非线性双泛函 下面介绍几种常见的集值变分包含和变分不等式 ( 1 ) 令7 f ：e - + c b ( e ) 为两个集僮映射，爿：d ( a ) 一2 5 为一个r a 增生映射， 求q e 1 , 1 ，啊v 砌使得 f n ( w ，v ) + u ( g ( 叮) ) ， ( 1 2 1 ) 张石g i 教授 6 0 1 引入并研究了这一问题 ( 2 ) 对给定的单值映射( ，- ) ：e e _ 和点集映射k ：“_ k ( u ) ，求”e ， n 1 v u 使祚 0 ，( 1 2 2 ) 这骧，：啼是一个对偶映射n o o r , m o u d a f i ，和x u l 5 4 1 提出并分析了问题 ( 1 2 2 ) ，并称之为b a n a c h 空间中的集值拟变分不等式 ( 3 ) 令7 v ：h _ c b ( h ) 是两个集值映射，g ：h 啼是一个单值映射， 爿( ，) ：h h _ + 2 ”是关于第一个变量m 增尘的映射，而且( ，) ：h h 呻 是一个非线性映射，求h h ，w e t ( u ) ，y e v ( u ) 使得 0 ( w y ) + 爿( g ( “) ，h ) ( 1 2 3 ) n o o r l 3 4 i 引入并研究了这一问题 ( 4 ) 给定粲值映射t v ：h 呻c ( h ) ，求h h ，w 仨r ) ，y ev ( u ) 使得 ( j ( w y ) ，v 9 0 ) ) + 似v ) 一伊( 9 0 ) ) 0 ，对所有的v h 成立 ( 1 2 4 ) n o o r1 2 9 l 引入并研究了这一问题 由这几类最新文献中出现的问题可繁衍出许多集值变分包含和交分不等式问 题本节只列举一部分 ( 5 ) 如果e = h 是一个h i l b e r t 空自j 那么问题( 1 2 1 ) 等价于 求q w e r q v e q 使得 一交电子科技人学博士学何论文：集值变分包含的算法及其麻h |! f n ( w ，v ) + z 4 ( g ( q ) )( 1 2 5 ) n o o r 2 9 , 6 2 i 对这一问题进行了研究 ( 6 ) 如果g ；，f = 0 ，t = ，s ：e e 是一个单值映射且n ( x ，y ) = s x ，那么 问题( 1 2 1 ) 等价于求q d ( 一) 使得 ，s q + 2 a q ( 1 2 6 ) j u n g 和m o r a l e s 6 3 1 引入并研究了这个问题 ( 7 ) 如果e = h 是一个h i l b e r tf q ，五= l 且爿0 ) = a 妒( “) ：一r u + o o 是 真凸下半连续泛函妒0 ) 的次微分，那么问题( 1 2 1 ) 等价于求q ，w e 昀v 脚 使得 妒( g ( 口) ) 一p ( x ) ，x 日( i 2 7 ) n o o r l 2 9 1 引入并研究了这一问题 ( 8 ) 如果爿( ，) = 一( ) ：d ( a ) 一2 “是一个最大单调映射，q c h 是一个非守闭 l 。集那么问题( 1 ，2 3 ) 等价于求z ，譬( “) q w t u y v u 使得 0 ( w y ) + ，l ( g ( “) )( 1 2 8 ) 这个问题称为h i l b e r t 空l b j 日中的广义集值变分包含n o o r 2 9 6 2 1 对眩问题进行了研 究 ( 9 ) 如果爿、“) = a p ( ，“) ：h h 寸r u + m 足真凸下半连续泛函妒( z ，) 的 次微分那么问题( 1 2 3 ) 等价于求“h ，w 7 “xy v ( u ) 使得 + 妒( g ( v x 9 0 ) ) 一妒q 0 1 9 0 ) ) 0 ，对所有的v h ， ( 1 2 9 ) 这个闷题称为广义集值混合变分不等式，n o o re ta 1 4 8 1 对该问题进行了研究 ( 1 0 ) 如聚爿( 川) = o 妒( z 小呻足u + m ) 是真凸下半连续泛函，2 t ) 的 次微分，r ( ，- ) z7 ( ) ，那么问题( 1 2 3 ) 等价于求h e 片，w e7 0 ly 矿0 ) 使得 + p ( g 扣l g ( “”一妒( g 以1 9 0 ) ) 0 ，对所有的v ( 1 2 1 0 ) 这个问题称为广义集值混合变分不等式，n o o r e t a l 3 9 1 对该问题进行了研究 ( 1 1 ) 令r e ( u ) = “一g ) ，那么问题( 1 2 4 ) 等价于求引! h ，w e7 ( 帕，y ，( “) ，使 得 ! 堡：二茎竺堕 + 妒( y m ( u ) ) - t p ( u - r e ( u ) ) 2 - 0 ，对所有的y h ( 1 2 1 1 ) 义t ：i 0 1 题0 , 2 11 ) 的应用背景可参看n o o r 和o t e l l i t 3 ” ( 1 2 ) 如果g ；，为上的恒等映射，那么问题( 1 2 4 ) 等价于求h ，w et u ， y v u 使得 ( n ( w y ) ，v 一“ + 妒( v ) 一妒( “) 0 ，对所有的v h ( 1 2 1 2 ) n o o r1 3 0 3 2 1 利用辅助原理和预解方程技巧研究过这个问题 1 3 苯文的主要研究工作和内容安排 n ：符种空n 1 j 框架f 对变分不等式( 包含) 解的存在性、迭代算法、误差界及其 心 | j 进行系统综合的研究无疑是一个有价值的、崭新的和重大的课题 木文其分六章，分别在尺”空间、h i l b e r t 空间、b a n a c h 空问和度量空间框架下， 自j 宄丁奠二虹变分矸i 等式( 包含) 的解的存在性、迭代算法、误差界及其应用 第啦为绪论介绍了集值变分不等式( 包含) 研究的进展情况； 筇：啦提 1 ：了一个解线性和非线性单调变分不等式的新的预估一校难算法，并 建? ，：了斩竹法的令硒收敛性定理： 筑? 氍利j 1 | 一个新的技巧建立了h i l b e r t 空削中广义集值混合变分不等式与 新的，f ；动点n l 题的等价性利用这个等价性提出和分析了一类解集值混合变分不 式f i 天的优化问题的新算法在h i l b e r t 空i b j 中，引入并研究了一类广义一般 缎值混合拟变分不等式，证明了广义一般集值混合拟变分不等式辅助问题的解的 存m 。摊h 和分析了一个预估校f 方法提出并分析了求解集值变分包合的一 个新的逼近点算法引入了h i l b e r t 空问中集值拟变分包含的全局( 局部) 预解类 误麓界的概念，并给出了广义集值拟变分包含的全局预解类误差界 第四章给出了b a n a c h 空i 中的广义集值变分包含的几个存在性定理，建立了 蝗带误差项的摄动单步和多步迭代算法，并证明了近似解序列强收敛于精确解 旃f i 瀑给i 了f r e c h e t 空间中的几个重要不等式，利用这些不等式，可将第四章 所述的部分结果推广，并在凸度量空间中，提出了一类广义集值变分包含，利用一 必新的技巧提m 琦1 分析了其摄动迭代算法 第六章建立了求解带年龄结构和空制扩散的时变种群系统的最优边界控制的 算法，证明了由算法产生的迭代序列的强收敛性，研究了b a n a c h 空间中的集值变 分包含利用预解方程技巧，提出了b a n a c h 空间中的预解动力系统，研究了b a n a c h 孙l j 的颅解动力系统和b a n a c h 空蚓中的集值变分包含解的关系 拍安电子科技人学博十学何论文：集值变分包含的算法及其府心! 第二章r ”空间中的单调变分不等式的数值算法 2 1 1 弓i言 2 1r ”空间中的单调变分不等式的一个 改进的预估一校正算法 变分不等式( 1 1 1 ) 的算