（运筹学与控制论专业论文）酒店收益管理中团队预定问题的研究.pdf

摘要 本文从收益管理出发，根据酒店客房销售问题的特点，特别讨论了酒店面临团队客户需求 下的存量控制问题。在决策期内，当顾客预定房间的请求到达时，酒店的客房经理必须立即 做出接受或拒绝该请求的决策。在做出决策前，客房经理无法确切知道未来几天到来的顾客 会是谁，以及对客房的偏好。针对这类决策问题，已经有许多人进行了研究，并给出了一些 很好的模型和算法。在学习和研究前人成果的基础上，本文针对这类问题建立了以当前时间 和剩余客房数量为变量的随机动态模型，并给出了最优销售策略。 对于团队方式到达的顾客，以往的文章往往将其视为多个散客的简单相加。但在实际中， 一方面，客房经理往往会对团队顾客给予某些优惠政策，如价格上的差补；另一方面，团队 顾客一般要求酒店能够充分满足其需求，即酒店提供的客房要能够满足整个团队的需求，否 则团队将集体取消预定。团队预定的这些特点往往使得问题的复杂性大大增加，历史上对于 该类问题一般做简化处理，即把团队预定视为简单的散客叠加。本文模型充分考虑了团队顾 客各方面的特点，更贴近实际，同时也解决了该类问题的历史盲点。 根据酒店客房种类和顾客到达方式的差异，本文分别建立了四个不同的随机动态规划模 型来描述问题，从而得到客房经理的最优销售策略。针对不同复杂程度的模型，本文发现并 证明了酒店存量控制问题中的重要性质。利用这些性质能够使解决现实问题的方法更加简单 易行。如在多种类型客房情形下，给定时刻，到达酒店的顾客类型为p ，存在一系列关于剩 余客房数的临界点妒( t ) ，当酒店的剩余房间数少于这个临界值，最大化收益的策略是拒绝顾 客，否则接受；若给定客房剩余n 和顾客类型p ，则可以找到一系列时间阀值护( 几) 来简化和指 导我们的销售决策。根据以上性质，我们只需要计算出这些关于时间或客房剩余数量的临界 点 t i p ( t ) ，妒( t 一1 ) ，妒( 1 ) ，或者 护( ) ，护( 一1 ) ，t p ( 1 ) ，酒店客房经理的最佳销售策 略就可以方便地得到。这种最优策略简单易行，可以大大提高客房经理的决策效率。 此外，基于上述性质和证明，本文给出了一种启发式算法，从而得到了计算”最优”策略的 简单方法。最后的数据算例证明，在大多数情况下，特别当酒店的客房供不应求时，利用本 n l 文给出的性质来设计算法能够有效提高模型的实际应用价值，提高计算机的运行效率。 关键词：酒店收入管理，随机动态规划问题，存量控制，泊松过程，团队预定，降级销售 a b s tr a c t i nt h i sp a p e r ，w ef o r m u l a t et h eh o t e lr e v e n u e p r o b l e ma 8as t o c h a s t i cd y n a m i cp r o g r a m m i n g m o d e la n dc h a r a c t e r i z et h eo p t i m a lp o l i c i e sa sf u n c t i o n so ft h ec a p a c i t ya n dt h et i m er e m a i n i n g o v e rt h ep l a n n i n gh o r i z o n w h e nar e q u e s tf r o mc u s t o m e rf o rar o o md u r i n gt h et a r g e td a t e a r r i v e s ，t h em a n a g e rh a st od e c i d ew h e t h e ro rn o tt oa c c e p ti t r e n t i n gp o l i c i e sa r ed e v e l o p e d t od e t e r m i n ew h e t h e rt h eh o t e ls h o u l dr e n tar o o mt o8 p a r t i c u l a rt y p eo fc u s t o m e rw h e na b o o k i n gr e q u e s tc o m e s a n di ft h er e q u e s ti sa c c e p t e d ，w h a tr o o ms h o u l db er e n t e d u n d e r t h eg i v e na r r i v a la n dt h ec u r r e n tc a p a c i t y , w ed e r i v e dt h eo p t i m a ls t r a t e g i e sf o rr e n t i n gp o l i c i e s d u r i n gt h et i m ep e r i o d r e v i e w i n gt h el i t e r a t u r eo ft h ep r o b l e m ，r e s e a r c h e sa r em a i n l yf o c u s e do ns i n g l er o o mr e - q u e s t sw h i l eg r o u pr e q u e s t sw e r en e g l e c t e do rt r e a t e d 硒t h ea g g r e g a t i o no fs e v e r a ls i n g l er e - q u e s t s b u t ，i np r a c t i c e ，t h eh o t e lm a n a g e r sa r ei n c l i n e dt op r o v i d ep r e f e r e n t i a lp r i c e st og r o u p r e q u e s t s i nt h ep a p e r ，w ec o n s i d e rt h ep o i n t a sag o o da p p r o x i m a t i o no fr e a l i t yw et a k es i n g l e r o o mr e q u e s t s 鹪w e l la ss m a l lg r o u pr e q u e s t si n t oc o n s i d e r a t i o n a n dg r o u pr e q u e s t sa r ep a r - t i c u l a r l yt r e a t e d i na d d i t i o n ，h o t e l su s u a l l yh a v es e v e r a ld i f f e r e n tt y p e so fr o o m ss u c ha ss u i t ， d e l u x eo rs t a n d a r dr o o m ，w h i c ha r ed i f f e r e n ti ns i z e ，f u r n i t u r e ，s e r v i c ea n ds oo n n a t u r a l l y , t h e r ee x i s t sa no r d e rf r o mh i g hg r a d et ol o w e rf o rt h er o o m s t h er o o m sr a n k i n gh i g h e rc a l l s u b s t i t u t ef o rt h a ti nl o w e rr a n ki fn e c e 8 8 a l y , b u tt h es u b s t i t u t i o ni nr e v e r s ed i r e c t i o ni sf o r b i d - d e ni nt h ep a p e r u n d e rt h eh m i t e dc a p a c i t yo ft h eh o t e l m a n a g e r so f t e nu s ed o w n g r a d i n ga s a c o m p l e m e n t a r ym e t h o dt om e e tt h eu n c e r t a i n t yf r o md e m a n d i nt h ep a p e r ，w ep r e s e n td y n a m i ca n ds t o c h a s t i cp r o g r a m m i n gf o r m u l a t i o n sf o rd i f f e r e n t s i t u a t i o n sa n dc h a r a c t e r i z et h e i ro p t i m a lp o l i c yf o rr e n t i n gr o o m sd u r i n gt h ep l a n n i n gh o r i z o n m o d e l1a n dm o d e l2h a n d l e st h er e q u e s tf o rs i n g l er o o ma n dm u l t i - r o o m sw h e no n l yo n e t y p eo f r o o m sa r eo f f e r e di nh o t e l m o d e l3a n dm o d e l4a l l o wf o rm u l t i t y p er o o m sa n dd o w n g r a d i n g t h e p r o p e r t i e sw ed e r i v ef o rt h eo p t i m a ls o l u t i o ns i g n i f i c a n t l yr e d u c et h ec o m p u t a t i o n a le f f o r t v n e e d e dt os o l v et h ep r o b l e m ，y e ti nt h em u l t i p l ep r o d u c tc s s et h i si so f t e nn o te n o u g h t h e r e f o r e ， h e u r i s t i c s ，b a s e do nt h ep r o p e r t i e so ft h eo p t i m a ls o l u t i o n s ，a r ed e v e l o p e dt of i n d ”g o o d s o l u t i o n sf o rt h eg e n e r a lp r o b l e m c o m p u t a t i o n a le x p e r i m e n t ss h o wa s a t i s f a c t o r yp e r f o r m a n c e o ft h eh e u r i s t i c si nav a r i e t yo fs c e n a r i o su s i n gr e a ld a t af r o mam e d i u ms i z eh o t e li ns h a n g h m k e y w o r d s ：h o t e lr e v e n u em a n a g e m e n t ，s t o c h a s t i cd y n a m i cp r o g r a m m i n g ，c a p a c i t yc o n - t r o l ，p o i s s o np r o c e s s ，m u l t i p l er o o mb o o k i n g s ，d o w n g r a d i n g ， 论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。论文中除 了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或其它机构已经发表或撰写过的 研究成果。其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中作了明确的声明 并表示了谢意。 作者签名槛日期：j 型孕_ l 名l 论文使用授权声明 本人完全了解复旦大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内 容，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。保密的论文在解密后遵守此 规定。 作者签名：) 毪型：幺导师签名： 日期： 第一章 己i 考 、，1 日 1 1 酒店收益管理理论应用概述 收益管理( r e v e n u em a n a g e m e n t ，r m ) 是自2 0 世纪8 0 年代发展起来的一种现代科学营运管 理方法。它作为管理科学的一个分支迄今已有4 0 年左右的历史。2 0 世纪7 0 年代末美匡i 政府放 松对民航管制后，美国民航客运业经历了空前的激烈竞争，并推动收益管理理论迅速发展。现 今它的概念已经广泛地被其它领域吸收和应用，如在航空业、酒店、高尔夫、汽车租赁、滑 雪场、剧院等，它都得到了广泛应用。收益管理思想的核心是通过制定一套灵活的且符合市 场竞争规律的价格体系，同时结合现代化的微观市场预测及价格优化手段对资源进行动态调 控。从而使得公司在实现长期目标的同时，又在每一具体营运时刻充份利用市场出现的机遇 来获取最大收益。概括而言，收益管理目标是使公司产品能在最佳的时刻，以最好的价格， 通过最优渠道，出售给最合适的顾客，从而取得最大的经济效益。这一管理方法在许多信息 技术发达的国家，尤其是欧美，已经被许多行业采用，并累计创造了成百上千亿美元的效 益。据美国华尔街日报报道，价格和收益管理将是2 1 世纪最重要的和回报率最高的边缘产业 之一。 在酒店业，随着计算机和信息技术的迅速发展，多数酒店已经引入了计算机联网的预售及 客房管理系统，使得酒店管理进入了数字化阶段。相应地，酒店业的收益管理系统的功能也 日益显得重要。由于收益管理系统对公司决策和创利的巨大影响，世界许多著名酒店集团， 特别是欧美的主要酒店集团管理层都对收益管理高度重视，先后建立了专门的收益管理部 门，并配置了能进行大量数据分析和实时优化处理的计算机系统。这些系统和酒店的前台系 1 统、预售系统以及数据库相连为酒店管理提供了多功能、快速的决策辅助，使得酒店从被动 式的管理变为主动式控制，从而在市场竞争中获得先机。 关于收益管理在酒店业中的定义，国际上说法不一。h o r g a n ，r w ( 1 0 0 0 ) 认为酒店收益 管理是一种控制房价与收入出租率以实现最大化的方法。s a l o m o n ( 1 9 9 0 ) 认为酒店收益管理 是一种通过把现有客房以最合适价格，分配给已确定的细分市场，使利润和销售额实现 最大化的技巧。r e l i h a n ( 1 9 8 9 ) 定义其为经济学原则在房价制定与客房供应量管理方面的应 用。k e v i nd o u g h y ( 1 9 9 5 1 则界定其为一种利润最大化策略，根据细分市场的不同特点，为数 量有限的客房制定合理价格，在适当地时间按适当的价格将客房销售给最适当的顾客。虽然 各家定义不尽相同，但有一点是一致的，即酒店通过实旌收益管理，可以提高客房销售额。 所以直观来说，酒店收益管理充分利用顾客的购买行为和客房销售等信息，通过对客房出租 率和房价的管理，来实现收益最大化。 1 2 酒店客房存量控制问题 目前，在酒店业中常用的收益管理方法主要集中在客房存量控制( c a p a c i t yc o n t r 0 1 ) 、需 求预钡i j ( d e m a n df o r e c a s t ) 、超量预( o v e r b o o k i n g ) 、定价策略( p r i c i n g ) 等四个方面。本文主 要从酒店客房存量控制这一方向上来研究收益管理理论在酒店业的应用。我们知道，酒店的 客房总数是一定的，在从低到高不同价格等级之间进行分配。低价客房数目多了势必会减少 高价客房的数量，影响酒店的最终收益；但是高价客房数目过多，又有不能全部售出的风 险，造成的低出租率会收益很难实现最大化。由于到达酒店的高价顾客不一定先于低价顾客 到达，所以酒店进行客房分配要解决的根本问题是：要为高价顾客预留多少客房，而这些客 房是不能事先出售给先到达低价顾客。对于这类问题来说，就是在酒店客房总数一定的前提 下，确定每个价格等级的客房预定上限，当某一个价格等级顾客的到达或预定数目超过上限 时，就拒绝后面的请求，但对于高价客房，我们一般总是会满足其需求。针对这类问题，本 文在学习前人文献的基础上做了相关的研究，并给出了一些比较好的结论。 有关存量控制闯题的研究较多，但主要集中在研究民航客运业中的舱位分配闯题，针对 酒店客房分配的研究则较少。b i t r a n 与m o n d s c h e i n ( 1 9 9 3 ) 假定需求确定且顾客可停留多天， 给出了一种用于酒店客房动态分配问题的启发式方法。b a k e r 和c o n i e r ( 2 0 0 0 ) 将超量预订和客 房分配有机集成，针对酒店的收益管理问题设计了两种启发式算法，并建立了仿真模型来模 拟实际的酒店运作环境。研究表明：不同算法的选择取决于酒店运作的不同环境，如：客房 需求的高低，已订房而不入住顾客的概率高低等。b e k e r ，m u r t h y 和j a y a r a m a n ( 2 0 0 2 ) 等人基 于顾客需求与可销售客房数目的相关性，采用静态竞价优化技术提出了一种将需求预测和客 2 房分配集成的方法。此外，b i t r a n 上= j g i l b e r t ( 1 9 9 6 ) ，l a d a n y ( 1 9 7 6 ) ，l i b e r m a n j f d y e c h i a l i ( 1 9 7 8 ) r o t h s t e i n ( 1 9 7 6 ) 以及w i l l i a m s ( 1 9 7 7 ) 等人也对这类问题做了相关研究。 对于酒店客房分配中的随机因素，历史上主要有三种处理方式。第一种是期望价值模型， 通过优化期望的目标函数满足一些预期的约束来处理随机规划中的随机参数。第二种方法， 即机会约束规划，由c h 锄e s 和c o o p e r ( 1 9 5 6 ) 率先提出，通过设定一个置信水平来处理不确定 性，要求在这个置信水平上随机约束是有效的。第三种方法，1 w a m u r a 和l i u 提出了一种基于 随机仿真的遗传算法来解决一般的机会约束规划问题。 1 3 酒店客房存量控制中的团队预定问题研究 本文主要采用上文提到的第一种方法，即建立期望价值模型，通过研究模型的结构和算法 来给出客房的销售策略。在决策期内，当顾客预定房间的请求到达时，酒店的客房经理必须 立即做出接受或拒绝该请求的决策。若接受顾客的预定请求，则客房出租，该决策期内的剩 余客房数量将减少；若拒绝，则该顾客流失，系统等待下一个顾客的到来。在做出决策前， 客房经理无法确切知道未来几天到来的顾客会是谁，以及对客房的偏好。针对这类决策问 题，已经有许多人进行了研究，并给出了一些很好的模型和算法。l a d a n y ( 1 9 7 6 ) 给出的模 型假定在目标决策期，所有顾客同时到达酒店，即假设客房经理掌握关于顾客偏好和到达时 间的确切信息，从而可以有效地对顾客实行差异价格销售。b i t r a na n dg i l b e r t ( 1 9 9 2 ) 对其模 型进行了拓展，将顾客同时到达的条件减弱为不同类型顾客按照一定的先后顺序以泊松过程 到达。但在实际运作中，不同类型顾客并不一定按照特定的顺序出现，而客房经理的销售决 策必须是实时的。本文充分考虑了这一现实特点，模型对不同类型顾客到达酒店的时间和方 式可以是实时的，而没有做出任何特别的假设。 针对酒店业客房存量控制问蘧的特点，本文特别讨论了酒店在面临团队客户需求情况下的 问题。对于团队方式到达的顾客，以往的文章往往将其视为多个散客的简单相加，如b i o t r o n a n dm o n a r c h i e s ( 1 9 9 4 ) 。但在实际中，一方面，客房经理往往会对团队顾客给予某些优惠政 策，如价格上的差补：另一方面，团队顾客一般要求酒店能够充分满足其需求，即酒店提供 的客房要能够满足整个团队的需求，否则团队将集体取消其预定。本文模型考虑了团队顾客 的这些特点，更贴近实际。另外需要说明的是，本文仅考虑规模较小的团队，如2 5 人。一 般来说，大型团队会提早完成预定，酒店在决策期前就会给出预留。如会议类型的团队提前 六个月预定客房的情形很常见。所以。大型团队的预定属于战略决策，他们的存在只是让目 标决策期初酒店可预定出的客房总数减少，而不会影响当期的客房水平。鉴于如此大量的预 定，客房一般需要预付定金。因此，本文只考虑小型团队的条件符合实际情况。 3 我们假设来自不同细分市场的顾客按照泊松过程到达酒店，而酒店的客房数量有限。 不同的顾客对酒店客房有不同的偏好，我们可以对该市场进行细分，如分为：休闲客 ( t o u r i s t s ) 、商旅客( c o r p o r a t e ) 和团队客( g r o u p l 。若要对市场做更细致的划分，具体可参 考m e r l i s sa n dl o v e l o c k ( 1 9 8 0 ) 。文献中，提及细分市场时需要考虑的因素主要有：顾客的客 房需求类型、愿意支付的价格以及由于拒绝其需求带来的拒绝成本。但由于顾客对拒绝产 生的态度常常不仅涉及到金钱，有时还会涉及顾客对酒店的忠诚度等，拒绝成本很难确实 估量。本文考虑将市场细分为k 类顾客，鉴于论文研究重点所需，不去深究其内在的细分规 则。 根据酒店客房种类和顾客到达方式的差异，本文按难易程度分别建立了四个不同的动 态规划模型。首先，我们将目标决策期细分成足够多的子决策期，使得在每个子决策期 内最多仅有一个顾客( 可以是一个团队) 到达。给定时间，系统的状态由当期酒店剩余 客房数量和目标决策期内的剩余时间决定。模型1 和2 考虑了在酒店提供单一房型情况下， 不考虑团队需求和考虑团队需求的不同情形，并就模型的重要性质进行了细致的讨论和 证明。在此基础上，模型3 和4 考虑了酒店提供多种类型客房的情形，从而得到了酒店客 房的销售策略以及相关的重要性质。根据这些性质，我们只需要找到一系列关于剩余客 房数量或时间的临界值进行比较就可以做出是否出租客房的决策。如性质1 、6 说明，在 给定时刻t ，当某种类型顾客( 如p ) 到达时，我们可以找到一系列关于剩余客房数量的临界 点 妒( t ) ，缈( t 一1 ) ，t i p ( 1 ) ，来控制我们的策略，若其需求客房类型的剩余数量大于对应 临界值，客房经理的最佳策略是出租客房，否则拒绝。类似的，根据性质2 、7 、9 ，给定剩 余客房数量n ，我们可以找到一系列关于剩余时间的临界点 t p ( n ) ，t ：p ( n 一1 ) ，t p ( 1 ) ，当客 人到达的时刻早于临界点则接受，否则拒绝。在本文下面的章节中，我们将说明这些性质的 存在提高了模型的实际应用价值，能够大大提高计算机的运行效率。在最优策略的基础上， 本文还给出了一种启发式算法，从而得到了一般问题的”最优”可行解。最后给出的数据试验 证明，在大多数情况下，特别当酒店的客房供不应求时，该启发式算法的运行效果很好。 1 4 本文结构 本文结构安排如下。在第二章，根据酒店客房种类和顾客到达方式的差异分别建立不同的 动态规划模型，并就具体模型的重要性质进行了细致的讨论和证明。不同于以往的文章，本 文主要研究酒店在面临团队客户需求情况下存在的问题。结果表明，模型在考虑团队客户需 求情况下仍然存在一些很好的性质。应用这些性质来设计客房出租策略程序能明显提高计算 机运行效率，使得模型有很好的实际应用价值。在第三章，本文通过简单的数据算例说明了 4 模型的主要性质。最后文章给出了结论，并说明了值得继续研究和讨论的方向。 5 第二章 酒店团队预定问题的随机动态规划模型 在激烈的市场竞争下，酒店向不同顾客实行差别定价可以增加收益。不同顾客在预订方 式、价格敏感度、居住时段上等方面都有差别，酒店在制定价格策略时可以进行区隔，设置不 同的顾客群( b o o k i n gc l a s s ) ，以实现差别定价。同时，由于酒店向顾客出租一个客房的边 际成本大大高于其固定成本，所以改善入住率对提高酒店客房总收入有很大的影响。因而， 一方面，我们希望提高入住率来提高酒店收入；另一方面，我们希望将客房尽可能出租给那 些愿意出全价的顾客( f u l l - f a r e ) 。然而，那些只愿意接受打折房价的顾客( d i s c o u n t f a r e ) 往 往会先于全价房的顾客到达，所以客房经理必须在顾客到达时就决定是否将出租房间给 他她。本文从酒店业的实际问题出发，通过随机动态规划模型给出了客房经理在出租客房 时的策略。 在此，我们给出文章的基本假设： 1 酒店定义了类不同的顾客群( b o o k i n gc l a s s ) ，记为i ( = 1 ，后) 。对于顾客到达 方式，本文采用随机过程来进行描述，用需求概率碍来说明某时刻t ，顾客群t 的客房需求 率，不同顾客群的客房需求率随时间变化且相互独立。 2 模型考虑了酒店存在单一类型客房( s i n g l ep r o d u c t ) 和多种类型客房( m u l t i p r o d u c t ) 的不同情形。在单一类型客房情况下，本文假设酒店所有的客房没有差别，只是对不同 的顾客群实行差别定价。在多类型客房情况下，酒店客房有不同的等级t ( 如，可设 有k 类，对应顾客群) ，如标间、豪华标间、总统套房等，对各类客房征收不同的价格死， 设7 r 1 丌2 7 r k 。来自不同群的顾客对房间的需求不同，当顾客需求类型的房间剩余为 零的情况下，可以考虑将高级别的客房降级出租，如豪华标间可以作为标间出租给顾客。 6 3 模型给出了只考虑散客和同时接收团队顾客的不同情形。在接收团队顾客的模型中，我 们假设顾客以单个或团队的方式到达。来自顾客群i 的团队一次最多可以预定舰个客房。我 们假设，一个团队中，顾客对客房的需求类型一致。并且，当且仅当整个团队的需求被满足 时，该团队才会接受入住酒店；否则团队将集体离去。 变量说明： 几：剩余客房数量，存在k 类客房时n 为k 维变量； ? ：距离计划期末的剩余时间，有时也用以表示时刻，在此为了模型的简单性不加以区别； 几：对顾客群i 征收的房价； p t ：t 时刻，i 类顾客到达的概率； k ：顾客类型数或客房类型数； f ( n ，t ) ：t 时刻，剩余房间数量为竹的情况下可以得到的最大期望收益； 5 ( n ，t ) ：t 时刻，剩余房间数量为n 时，出租一个客房的期望边际收益； 如( n ，t ) ：t 时刻，剩余房间数量为几时，一个客房以团队m 的方式出租的期望边际收益； 嚷( n ，r ) ：t 时刻，剩余房间数量为n 时，一个p 类型客房以团队i 的方式出租的期望边际收 益。 f ( n ，t ) 一f ( 礼，t 一1 ) ：从t 时n n t 一1 时刻，客房剩余为n 时，拒绝出租一个客房的机会 成本。 2 1 模型1 ：单一房型、无团队需求的模型及性质 模型结合距离目标决策期末的剩余时间t 和酒店的剩余客房n 两方面来进行决策。在模 型1 中，我们假设酒店提供的所有客房是无差别的，但是客房经理将依据价格歧视策略对 不同顾客群收取不同的房价。此外，该模型仅考虑顾客以散客的方式到达的情形，团队 需求不在考虑中。当顾客需求以随机方式到达酒店后，客房经理必须针对顾客的具体情 况做出拒绝或接受的决定。记7 f i 为酒店对顾客群i 征收的房价，f ( n ，t ) 为t 时刻剩余客房 为几时，从t 到计划期末能够得到的最大期望收益。于是，接受一个顾客的客房需求能够得 到的期望收益为几十f 一1 ，t 一1 ) ；若拒绝，则期望收益为f ( n ，t 一1 ) 。所以，当且仅 7 当仉+ f ( n 一1 ，t 一1 ) f ( n ，t 一1 ) 时，我们才接受顾客i 的请求，否则拒绝。记掣为t 时 刻，来自顾客群的需求到达的概率。因此，当t 时刻酒店剩余客房为竹，可通过如下方式递 推得到： f ( n ，t ) = p o t f ( n ，t 一1 ) + 叁i 翠m a x 吼+ f ( n 一1 ，t 1 ) ，f ( n ，t 一1 ) ) 0 其中昭= 1 一笔。孽 n 0 ，t o ；( 2 1 ) a t h e r w i s e 在式( 2 1 ) 中令t = 1 ，我们得到对任意i ，有仉+ f ( n 一1 ，0 ) f ( n ，o ) 。这说明 当计划期末临近时，只要酒店客房还有剩余，顾客的需求就会被接受。令6 ( n ，t ) = f ( n ，t ) 一f 一1 ，t ) ，6 ( 礼，t ) 称为t 时刻，客房剩余为n 时，出租一个客房的期望边际收益。 根据式( 2 1 ) 和d ( n ，t ) 的定义，我们可以推出 f ( n ，t ) 一f ( n ，t 一1 ) = f ( n ，t ) 一f ( n 一1 ，t 一1 ) + f ( n 一1 ，一1 ) 一j ( 仃，2 一1 ) = 瑶f ( n ，t - 1 ) + 謦m a x 仉+ f ( n 一1 ，t 一1 ) ，f ( 礼，t 一1 ) = 1 一f ( 几一1 ，t 一1 ) 一6 ( 礼，t 一1 ) = f 乒f ( n ，t 一1 ) + 户f 7 r 1 一瑶f ( n 一1 ，t 一1 ) + p i t m a x 吼，f ( n ，? 一1 ) 一f ( n 一1 ，t 1 ) ) 一6 ( 乱，t 1 ) i = 2 知 = 瑶6 ( 札，t 一1 ) + 砰7 n + p t i n a x 7 f i ，6 ( 礼，t 一1 ) ) 一6 ( n ，7 1 ) i = 2 七 = 砰防z 一6 ( 罪，7 1 ) 】+ p t m a x t f i 一6 ( 礼，t 一1 ) ，o ) ( 2 2 ) f ( n ，t ) 一f ( 扎，t 一1 ) 可以理解为客房剩余为几时，从丁时刻到t 一1 时刻，拒绝出租一个 客房的机会成本。下面，我们通过( 2 2 ) 中的关系来说明给定t ，6 ( n ，t ) 关于礼非单调递 增；给定礼，6 ( n ，t ) 9 z f - t 非单调递减。通过6 ( 礼，t ) 关于n 和t 的单调性，我们可以找到一系 列l l 缶界点 允( t ) ，亢汀一1 ) ，危( 1 ) ) 或 ( ) ，( 一1 ) ，反1 ) ) 来为我们的决策提供依据，从而 大大提高决策效率。 性质1 给定t ，6 ( n ，t ) 关于n 非单调递增，即6 ( n ，t ) d 一1 ，t ) 。 8 证明：由于 6 ( n ，t ) = f ( n ，t ) 一f ( n 一1 ，t ) = f ( n ，t 1 ) 一f ( n 一1 ，t 1 ) 一f ( 礼，t 一1 ) + f ( n 一1 ，t 一1 ) + f ( 扎，砷一f ( 扎一1 ，t ) = 6 ( n ，t ”+ 【f ( 礼，t ) 一f ( n ，t l 一 f ( n - 1 ，t ) f ( n 一1 ，? 一1 ) 根据式( 2 2 ) ，有 跏，t ) = 6 ( n , t - 1 ) + 咖，刈n , t - 1 ) 】+ 砉垮一”6 ( n , t - 1 ) i o ) ) 一 砰防。一万( n - l , t - 1 ) 1 + 妻芹m a x 仉一占( n - l , t - 1 ) ，0 ) ) = 6 ( n ，t 一1 ) + 砰眵( n l ，t 一1 ) 一6 ( n ，t 一1 ) 】 + 掣l m a x 死一6 ( t 一1 ) ，o 卜m a x 仉一6 ( n 一1 ，t 一1 ) ，o ) j ( 2 3 ) 同理有， 6 ( 竹一1 ，? ) = 6 ( n l ，t 一1 ) + 芹1 6 ( 礼一2 ，t 一1 ) 一6 ( n 一1 ，t 一1 ) i + 圭殍f 一 亿叫n - 1 , t - 1 ) ，o 卜一机一6 加- 2 , t - 1 ) ，o 下面，我们用数学归纳法证明， 当t = 1 时，6 ( 1 ，1 ) = 坠1 碍仉0 = d ，1 ) 若n 1 假设6 ( n ，t 一1 ) 关于n 非单调递减 给定n ，存在使得当i k 时死一d ( 仃，t 一1 ) 0 。t 0 时，我们有 v ( n ，t ) = 瑶f ( n ，t 瑶f ( n ，t 一 = f ( n ，t 一1 ) 奄 1 ) + = 1 1 ) + i = 1 露m a x m 。z ，白g 仉+ f ( n - e l , , t - 1 ) ，f ( n ，t p t f ( n ，t 一1 ) 口 ( 2 1 0 ) 口 下面我们来证明扩( 扎，丁) 关于剩余客房数几的单调性。通过这个性质，我们可以找到一系列 关于n 的临界点来指导客房经理的销售决策，从而提高决策效率。 性质6 给定t ，对于任意p 和q ，扩( 礼，r ) 关于乱非单调递增，即扩( n ，t ) 扩 一e 。，t ) 。 证明：即要证明f ( 竹，t ) 一f ( 他一勺，t ) f ( n e g ，一f ( n 一一e p ，t ) 。由于 酽，t ) = f ( n ，t ) 一f 一e p ，? ) = f ( 死，t 一1 ) f ( u 一勺，t 1 ) + f ( n e p ，t 一1 ) 一f ( n ，t 一1 ) + f ( n ，t ) 一f ( n 一白，刁 = 扩( 仃，t 一1 ) + f ( n 一勺，? 一1 ) 一f ( n ，t 一1 ) p o t f ( n , t - 1 ) + k 碍m 缸f m n g 。! ，型 仉+ f ( n - e n , t - 1 ) ，f ( n , t - 1 ) l i = l l， 一p o t f ( n 一勺，t 一1 ) 七 ，、 一善掣础i 舢，鲻 f ( n - e p - e q , t - 1 ) ，f ( n - e n , t - 1 ) ) 1 5 令m = m a z q l l q i ，s t n ( q ) o ，啦= m o z q 1 1 qs i ，s t ( 扎一勺) ( g ) o ) ，容 易推出吼q 2 。于是类似性质1 中的( 2 2 ) ，我们有 6 p ( n ，t ) 下面用归纳法证明。 先证t = 1 时性质6 成立， 1 当几= 勺+ e q 时， ( 1 ) 若p q ，则 f ，1 ) = f ( n e p ，1 ) = 坠口碍仉； f m e g ，1 ) = t k - p 碍以；f ( n e q 一勺，1 ) = o ； 于是 f ( n ，1 ) 一f 一e p ，1 ) = ( 2 ) 若p q ，则 o ) ，不妨设p q ( p q 时可以同样讨 论) ， ( 1 ) 若8 q ，则有 f ( n ，1 ) = f ( n e p ，1 ) = f ( n e g ，1 ) = f ( n 一岛一e p ，1 ) = 笔。碍7 q ； 于是f ( n ，1 ) 一f ( 礼一e p ，1 ) = f ( n e 。，1 ) 一f ( n e 口一e p ，1 ) = 冬。p ? t r i 一笔。砰仉= 0 。 ( 2 ) 若q p ，则 f ( n ，1 ) = f ( n e p ，1 ) = 冬。日吼； f 一e q ，1 ) = 笔，鼍死：f ( n e q e p ，1 ) = 笔，碍以， 1 7 巩 以 碑。 球。 。7目 l l q 。由假设条件，6 p ( n ，t 1 ) 的递减性，我们有堪。一印礁。一。，瑞q l 咱 碟l 。k q 2 。群曼。，鳍，所以碟乞勺一印碟，- 。研巴q 姆简记为詹1 k 2 k 3 k 4 。 将( 2 1 1 ) 式重新排列，我们得到 b 扩( 毡t ) = 扩( 嚣，t 一1 ) + 掣【6 啦( 竹一p ，t 一1 ) 一6 啦( t 一1 ) i = 1 h + 芹k 一酽1 ( 啊，一1 ) 】 = 酽n ，t 1 ) + 垮【6 。( n 一勺，? 一1 ) i = 1 h h + 覃一掣酽1 ( t 1 ) i = k a + l i = 1 h 1k 2 = ( 1 一砰) 酽帆t 一1 ) + 垮6 。伽一唧，? 一1 ) + 掣6 。2 伽一勺，t 一1 ) i = 1t ! l i = k l + l bh + 掣6 。一勺，t 一1 ) + 孽以 t = b + 1l = b + 1 h + 乎【酽，? 一1 ) 一6 驰，? 一1 ) ) i = k l 1 8 ( 2 1 2 ) 酽一岛，t ) = 七 扩( n 一，t 一1 ) + p t m a , x 7 1 i 一耐( 佗一e 。，t 一1 ) ，o ) i = i 七 一芹m a x 巩一膨一e p 一t 一1 ) ，0 ) i = 1 幻 = 酽( 凡一e 。，t 一1 ) + 掣6 吐( 他一一，t 一1 ) t = l +t + b 毋舛 一t 1 ) i = k l + 1i = k 2 + l h 一谬膨一e p e 。，t 一1 ) + 幻 砰仉+ p i t 6 d 1 ( n e p ，t 一1 ) i = k 1 4 - 1i = k 2 + l k + 碍【酽e 。，t - 1 ) 6 q i ( n e 。，r 一1 ) 1 ( 2 1 3 ) i = 1 根据归纳假设，推论1 及七1 ，k 4 和q l ，q 2 ，西，西的定义，比较上面( 2 1 2 ) 和( 2 1 3 ) 的各 个对应项，我们得出扩( n ，t ) 6 一e p ，t 一1 ) 。证毕。 口 在性质7 中，我们将i t t f l j 6 9 ( n ，t ) 关于? 的单调性。 性质7 给定拓，对于任意p ，6 p ( n ，t ) 关于? 非单调递增，r p 6 p ( n ，t 一1 ) 6 p ( n ，? ) 。 证明：根据( 2 1 2 ) 第一个等号， b 酽，t ) 一6 p ( n ，t 一1 ) = 掣陋。m 一勺，t - 1 ) 一伊1 ，t 一1 ) 】 i = l h + 掣k 一俨1 ( 站，t 一1 ) 】 扛= b + 1 根据9 1 ，9 2 定义，我们有护一e p ，t 一1 ) 护( 礼，t 一1 ) 和，( 仃，t 一1 ) ，并且当+ 1 i 时，总有仉6 口- ( n ，t 一1 ) 。 于是扩( n ，t ) 一扩( n ，t 一1 ) 0 。证毕。 口 b 一r 一 勺 一 n俨 甲 h ：i + d t 勺 一扎 叮矽乎 。h m # 一 0 = b 通过性质6 和性质7 中扩( 札，t ) 关于n 和t 的单调性的证明，我们可以得出以下结论： 1 给定时n t ，到达酒店的顾客类型为p ，我们可以找到一系列关于剩余客房数的临界 点妒( t ) 。记顾客到达时酒店状态为伊( d ，若n p ( t ) 缈( 幻，则接受顾客请求，否则拒绝。 2 。给定客房剩余他和顾客类型p ，我们可以找到一系列时间阀值扫) ，若顾客到达 时t p ( n ) t v ( n ) 则接受请求，否则拒绝。 3 此外，性质6 的证明说明了对于给定的n 和t ，存在一个关于顾客类型的临界点烈竹，t ) ， 当p 类顾客到达酒店时，我们比较，若p ( 仃，t ) 声，t ) ，则接受p 类型顾客；否则拒绝。 4 更进一步，对于给定的顾客类型p ，假定是酒店客房总数目，t 是目标决策总期长， 则有如下关系存在： ( 1 ) 妒( t ) 宄9 ( 丁一1 ) t i p ( 1 ) ； ( 2 ) 护( ) t p ( n 一1 ) 护( 1 ) ； ( 3 ) 痧( 礼，1 ) 筘( 礼，2 ) p ( n ，t ) ； ( 4 ) p ( u ，t ) i s ( n 一1 ，t ) 多( 1 ，t ) a 根据以上性质，我们只需要计算出这些关于时问或客房剩余数量的临界点 f l y ( t ) ，妒旧一 1 ) ，a p ( 1 ) 或者 护( ) ，护( 一1 ) ，护( 1 ) ，酒店客房经理的最佳销售策略就可以按照如下 方式得到：对于时刻t 到达的顾客p ，我们比较矿( t ) 和临界点缈( t ) ，若n p ( t ) 缈( t ) 则接受顾 客请求，否则拒绝；或者，当客房剩余为n 时有顾客p 到达，我们比较护( 仃) 和时间阀值护( 礼) ， 若t p ( n ) 护( 佗) 则接受请求，否则拒绝。这种最优策略的好处在于非常简单易行，可以大大 提高酒店客房经理的决策效率，并且减少计算机的存储空间