（应用数学专业论文）急流冲击波特性分析及计算方法设计.pdf

摘要 摘要 实际工程中，由于地形的限制或工程的需要，溢洪道、陡槽等泄水建筑物常需 布置一些扩散段、收缩段、弯道等，在这种条件下，槽中水流为急流时，由于渠槽 边壁偏转变化，将使水流产生扰动，使下游形成一系列呈菱形的扰动波，这种波称 为急流冲击波。急流冲击波可以分为陡冲击波与缓冲击波。当边墙向水流内侧转向 时，扰动线以下的区域内出现水面涌高，形成陡冲击波；当边墙向水流外部偏转时， 由于水流失去边墙的依托，水面出现跌落，产生绕动，形成缓冲击波。 本文主要对陡冲击波与缓冲击波的有关特性及计算方法分别进行分析探讨。对 于缓冲击波，在其基本理论v o nk a r m a n 积分的基础上，通过分析给出了缓冲击波附 体的偏转角条件，指出了缓冲击波理论关系式的适用范围，并分析给出最大边墙偏 转角的理论数值。同时在缓冲击波微分式的基础上给出一种缓冲击波数值计算方法， 并给出计算波后物理量的计算公式。 对于陡冲击波，文章对其反射情况进行了分析，提出陡冲击波反射停止的必要 条件，并在i p p e n 冲击波理论基础上，利用陡冲击波数值计算方法分析了偏转边墙长 度最大值的计算过程，并通过具体算例验证分析结果。 文章还对收缩段急流的水流流态特征进行了分析和探讨，对直线收缩段的长度 的取值及计算方法进行了研究。 本文的研究结果将为研究结构更为复杂的急流冲击波提供理论与计算依据。 关键词：急流，陡冲击波，缓冲击波，偏转角，计算方法 河海大学硕士学位论文 a b s t r a c t i np r a c t i c a lp r o j e c t s ，b e c a u s eo ft h el i m i t a t i o n so ft h et e r r a i no rt h er e q u i r e m e n t so f p r o j e c t s ，s o m es e c t so fp e r v a s i o n ，c o n s t r i c t i o no rb e n d i n gr i v e rc o u r s ea r ea r r a n g e dw i t h s u c hf l o o d - d i s c h a r g et u n n e l sa ss p i l l w a yo rc h u t e u n d e rt h i ss i t u a t i o n t h en o w w h e ni ti s t h et o r r e n tt h r o u g ht h ec h a n n e l ，w i l lb ed i s t u r b e dd u et ot h ev a r i a t i o n so ft h et r o u g hw a l l d e f l e c t i o n ；t h e r e f o r e ，a tt h ed o w n s t r e a mw i l la p p e a ras e r i e so fr h o m b i cd i s t u r b e dw a v e s c a l l e dt o r r e n ts h o c kw a v e s t o r r e n ts h o c kw a v e sc a l lb ed i v i d e di n t os t e e ps h o c kw a v e a n d f l a ts h o c kw a v e w h e nr i v e r s i d et u r n st ot h ei n n e ro fc u r r e n t ，i tc a u s e ss t e 印s h o c kw a v e w h e nr i v e r s i d et o r n st ot h ee x t e r i o ro f c u r r e n t , i tc a u s e sf l a ts h o c kw a v e i nt h i sp a p e ra n a l y s i sa n dc a l c u l a t i o nw e r ed i s c u s s e df o rt h e s et w ot y p es h o c kw a v e s s e p a r a t e l y a c c o r d i n gt ov a nk a r m a r l sf o r m u l ao fi n t e g r a t i o no ff i a ts h o c kw a v e ，a l l d e f l e c t i o na n g l ec o n d i t i o nf o rs h o c kw a v ea t t a c h i n gw a so b t a i n e d b a s e do nd i f f e r e n t i a l e x p r e s s i o no ff i a t s h o c kw a v ea n dr u n g e k u t t am e t h o d ，an u m e r i c a la l g o r i t h mw a s e s t a b l i s h e d t h em e t h o dh a st h em e r i t so f c o n v e n i e n tc o m p u t a t i o na n de a s yp r o g r a m m i n g f o rs t e e ps h o c kw a v e ，i t sr e f l e c t i o nc a s ew a sa n a l y z e d t h ee s s e n t i a lc o n d i t i o no f r e f l e c t i o ns t o p p i n gw a sp u tf o r w a r db a s e do nt h ea t t a c h m e n tc o n d i t i o no fs t e e ps h o c k w a v e s a c c o r d i n gt ol p p e n ss h o c kw a v et h e o r ya n dt h ec o m p u t a t i o n a lm e t h o d so fs t e e p s h o c kw a v e s ，t h em a x i m a ll e n g t ho f t h ed e f l e c t i o nw a l lw a sa n a l y z e d a tt h el a s t p a r to ft h i sp a p e r , t h ec o m p u t a t i o n a lm e t h o df o rt h el e n g t ho ft h e c o n t r a c t i o n sw a sa c h i e v e d 耶1 er e s u l to fs t u d i e si nt h i sp a p e rs h a l lb et h eb a s i sf o rs t u d y i n gt h et o r r e n ts h o c k w a v ew i t hm o r ec o m p l e x i t ys t r u c t u r e k e yw o r d s ：t o r r e n t ；s t e e ps h o c kw a v e ；f l a ts h o c kw a v e ；d e f l e c t i o na n g l e ；c o m p u t a t i o n a l m e t h o d i i 学位论文独创性声明： 本人郑重声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工 作的同事对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示 了谢意。如不实，本人负全部责任。 学位论文作者( 签名) ：丝衄 一 泗f 年石月 学位论文使用授权说明： 河海大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、中国学术期刊 ( 光盘版) 电子杂志社有权保留本人所送交学位论文的复印件或电子文 档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内 容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被 查阅和借阅。论文全部或部分内容的公布( 包括刊登) 授权河海大学研 究生院办理。 学位论文作者( 签名) ： 丝缝加f 年占月日 第一章绪论 第一章绪论 1 1 急流冲击波的概念及研究的目的和意义 水工明槽急流中，由于渠槽边壁偏转角的变化，使水流产生扰动，在下游形成 扰动波，称为急流冲击波【”。急流冲击波又可以分为陡冲击波与缓冲击波。当边墙向 水流内侧转向时，扰动线以下的区域内出现水面涌高，形成陡冲击波；当边墙向水 流外部偏转时，由于水流失去边墙的依托，水面出现跌落，产生绕动，形成缓冲击 波。实际施工中由于工程上的要求需要设置收缩段或扩散段，此时槽中必然会发生 急流冲击波。 急流冲击波一方面会使局部水位增高，另一方面在下游出口处会使局部水流集 中，这些都会对工程起不利影响。因此对急流冲击波进行研究可以为施工设计提供 数据依据，可以预防或减轻其对水工建筑物等造成的灾害，具有深远的意义。另外 对于计算方法本身的研究，不仅适合于急流冲击波这一特殊领域的问题，它还具有 计算方法本身所具有的理论意义。 1 2 国内外的研究进展与现状 急流冲击波这种特殊的水流现象首先于1 9 3 0 1 9 4 0 年代初被当时的美国洛杉机 防洪局发现，他们在其管辖区内的排洪陡渠上发现不能用一般的排洪渠道设计方法 来计算，并开展了该课题的研究 2 1 。这一阶段美国的克纳普( r t k n a p p ) 3 1 、卡门 ( t v k a r m a n ) 1 4 , 5 1 及伊本( a r t h u r t i p p e n ) 1 2 , 6 等做了大量理论研究工作，还有鲍曼 ( e b a t u n a n n ) 、哈特( c a h a r t ) 、道马( j h d o u m a ) 、罗斯( h r o u s e ) 等人也做了 许多有益的研究工作。其中3 0 年代v o nk a m l a n 首先推导得到缓冲击波积分式1 4 , 5 1 ， 到5 0 年代初，一套急流冲击波的水力计算方法相继被提出【2 , 3 , 6 , 7 1 。a r t h u r t 1 p p e n 在 己被承认的力学原理的基础上，对急流的主要特点和驻波图形的一般特性进行了系 统地阐明和解释，提出了冲击波理论，得到了冲击波的基本关系式，并根据其提出 的冲击波理论给出了渠道圆弧收缩段和直线侧壁收缩段的设计理论i 2 m j 。r t k n a p p 通过对明渠简单曲线段内急流水流特性的分析，概略地叙述了消减简单曲线段内急 河海大学硕上学位论文 流产生的扰动图形的两种基本方法，提出了急流渠道曲线段的设计理论f 3 1 ，并对其进 行了试验证明。徐国允、罗斯( h r o u s e ) 等人用基本的波动理论来分析明渠扩展段 内的高速水流，通过对急剧扩展段内的水面形状、扩展边界的有效曲度和过渡段末 端扰动的消除三方面问题的分析研究，提出了渠道扩展段的设计理论【7 】。以上所述设 计计算方法的提出很好的解决了明渠渠道内各种情况下的一些急流冲击波问题。 同时，特征线方法被一些学者从气体动力学那里借鉴过来，用来对急流进行计 算。用特征线法计算急流，是在自由水面上绘出一系y 0 - - 元水流微分方程的特征线， 沿着这些特征线，水深、流向和按水深平均的流速值都是已知的，同时特征线与表 面干扰波的传播方向也是一致的。伊本第一个把它应用于河渠水流( 1 9 4 2 年) 。h t 麦列辛科和t h 苏霍麦尔将特征线法用于平底渠槽中。c h 努曼罗夫成功地给出了 考虑摩擦力影响的解法，b l 弗兰克利将解答推广到具有较小纵坡和横向坡降的渠 槽中。b t 叶姆采夫得出了考虑纵坡和摩擦力的通解，他证明了特征线的方向与摩擦 力无关【4 】。对急流微分方程的特征线解法是一个对急流全流场的描述途径。卡门( 冯) ( k a r m a n ，t h v o n ) 伯兰斯维克( p r e i s w e r ke ) 等人建议，根据略去槽底坡度和摩 阻力的急流，其运动方程组与气体动力学中超声速气流的方程组相似，提出采用超 声速气流的比拟来解算明槽急流的特征线法口1 ，其后鸠估之【踟、许协庆例等分别提出 有底坡和摩阻力情况下的解法。 由于a r t h u r t i p l x j n 冲击波基本关系式比较复杂，求解困难，在实际应用中很不 方便。7 0 年代原苏联学者维索茨基等人【1 0 】提出了急流控制理论，它是一种控制急流 结构的水力设计方法。但是应用该法进行急流控制结构的设计需要进行大量的数值 计算。近年来随着计算机的发展和广泛应用，运用计算机对急流冲击波进行数值计 算和水力设计越来越多，对数值解的研究也在不断的发展中，推动了急流控制理论 研究工作的进展。我国在8 0 年代应用、改进和发展了前苏联学者的理论，并将其应 用于各种挑坎、扩散坎、收缩坎、扭鼻坎、过度段和弯道段的水力设计中。许多研 究工作者给出了急流冲击波的数值计算方法和计算急流冲击波的简化式。宁利中 1 1 , 1 2 1 提出了计算急流冲击波波角的一种近似解析解，即： 心一扣弓s 券卅丽( 4 f r l 2 + 3 ) t a n 0 ， 或 第一章绪论 c o t 反= r 1c o t p( 1 2 ) 其中：1 7 1 = 石是嚣差乡淼。黄细彬【l 卅从水流运动微分方程着手，导出了控 制急流冲击波的特征方程，利用特征线方法对急流冲击波进行数值求解，并对产生 及影响冲击波的因素进行了分析。黄细彬1 1 4 , 1 5 】还进一步分析和研究了斜面和曲面上 急流的特性，建立了离心压力、重力及阻力影响下边墙一带处的水深及佛汝德数的 计算式，利用该式可以计算偏折角较小的任意边墙形状及任意底部曲面的边墙附近 水深，通过对边墙附近水深及佛汝德数的计算可以对可能发生的冲击波进行估算预 测。刘韩生等【幡19 】在i p p e n 冲击波理论的基础上推导得到了新的冲击波简化式，即： s i 相2 击 ( 1 s ) 式中口为扰动线与边墙问的夹角，并在v o n k a r m a n 积分基础上建立了缓冲击波简化 积分式，即： 1 3 - ，一 、青“一啊) = 0 9 7 盘 ( 1 4 ) 式中吃为水流偏转口角( 单位取弧度) 时的水深，h 为口= 0 时的水深。这两个公式 形式简单，便于应用。王如云等【2 0 之2 1 在i p p e n 冲击波理论的基础上得到了急流冲击波 附体的必要条件，给出了波角的取值范围，并给出了冲击波附体的最大偏转角计算 方法，波角及波后物理量等的二分法设计。通过对冲击波附体进行亚临界角和超临 界角状态的划分，分别就不同状态给出了快速迭代计算方法，证明了计算方法的收 敛性，并分析指出方法的收敛速度至少是二阶的。该方法克服了图解法、简化式法 和尝试法的不足，不但适合于编程计算，而且也可以手算。 对于急流过渡段也有众多学者进行了理论分析及试验研究。急流过渡段可以分 为收缩段、扩散段以及弯道段。对于急流收缩段，李炜2 3 1 通过对非均匀来流中的斜 击波进行分析，将急流收缩段流场分为发射波上游、反射波上游和下游三个沿程渐 变流区，并应用渐变流方程和斜击波方程进行计算，并对所提出的急流收缩段的分 析计算方法进行了实验验证。苟兴智 2 4 2 5 对如何控制溢洪道收缩段以及弯道段的急 流冲击波进行了理论及试验分析。寿伟冈，陈素文【2 6 1 对如何克服急流收缩段冲击波 进行了研究，提出了一种新的收缩段体形，扩大了适用范围，较为有效地克服了收 缩段冲击波。黄智敏，翁情达【2 刀对窄缝挑坎收缩段的急流冲击波特性进行了较详细 河海大学顾十学位论文 的分析研究，将窄缝挑坎收缩段的水流分为波前上游区和波前下游区两个不同流态 的区域，对波前上游区水力要素的沿程变化规律作了初步的探讨。同时在伊本等人 提出的急流冲击波计算公式的波前上游边界条件的基础上进行了修改补充，可用作 窄缝挑坎收缩段边墙水面线的计算，并作为确定窄缝挑坎边墙基本尺寸均依据。t e r r y w s t u l l n m a s c e 2 8 】为避免求解控制方程的图解法及试算法的不便使用，提出了一个 较为简单的急流收缩段的设计方法，可以快速的研究几个设计方案的可行性。 对于急流扩散段，宁利d p 2 9 1 对明渠急流扩散段的水流特性进行了研究，探讨了 平底明渠急流扩散段、陡坡明渠急流扩散段、底板为凸曲线的陡槽明渠急流扩散段 及溢流反弧凹曲面上的急流扩散段的水力特性，给出了不同扩散段的急流扩散边界 方程、水深方程和急流扩散角等，研究结果可以为急流扩散水力设计提供参考。刘 亚坤等d o 对陡坡渠道急流冲击波进行了分析研究，通过理论分析研究了底坡对急流 冲击波的影响，并提出一种近似方法计算急流冲击波的角度和深度之比，引进一个 动水压强修正系数来概括垂直冲击波波阵面方向的动量方程，在每一部分都提出了 确定佛汝德数的方法，并进行了相应的模型试验研究。李崇智 3 1 l 对陡坡明渠水流扩 散问题进行了研究。刘沛清【3 2 】研究了水跃段内水流的特征，对充分扩散段采用类似 射流的分析方法，在相似性的假设下，进行了理论探讨。 对于急流弯道段，田嘉宁1 3 3 】通过对水流运动的欧拉f e u l 刚方程和连续方程按小 扰动原理进行线形化处理，然后求其波动方程的解，导出了有纵向底坡时弯道急流 的二维解析解，给出了通过明渠弯道的水流波动周期、第一波峰位置及该点最大水 深的解析式，并进行了试验验证。田嘉宁p 4 】还通过对急流弯道的水力特性试验研究， 进一步揭示了急流弯道中f ，1 和，b 对占及i z ，i l l 的影响，提出了防止弯道出现干底 现象的界限，并给出了波角层的经验公式。刘清朝等口5 3 q 给出了明渠弯道急流的二 维数值计算方法，并在急流控制逆命题的研究基础上探讨性地提出了三维控制急流 的正命题解法，该方法与以往的求解法不同之处在于它不是在自由表面迭代，而是 在已知的固体底部边界，把其作为迭代的标准，层层数值差分迭代，计算精度高， 易于收敛，计算结果与试验资料颇为吻合。李桂芬等【3 7 】在维索斯基提出的急流控制 理论基础上，对等圆弧弯道急流进行了三维数值计算，通过对平面边界流线形式及 流线的纵剖面形式的详细分析，推求出了计算自由表面方程中所用的各种参数，最 后与试验资料做比较，取得了满意的结果。黄春花等【3 8 1 人提出采用双曲底板的方法 来消减急流渠道弯道段的冲击波，具体做法是在柱面坐标系中建立不可压缩粘性流 第一章绪论 体的运动方程，导出无量纲形式的自由水面方程并建立相应的连续性方程，通过迭 代法求解自由水面方程并计算出自由水面高程，由连续性方程求出水流深度，从水 面高程中减去水深得出底板高程。另外，还有众多学者【3 9 出】分别在窄逢挑坎、急流 扩散段、急流收缩段等水流边界条件下如何控制急流冲击波做了大量的水力设计、 计算和分析研究等方面的工作。 与此同时，外国学者也进行了不少这方面的研究工作。h a g e r 等人自上世纪八十 年代初开始致力于研究些具有特殊形状明渠中急流产生的水跃及其相互作用问 题，在急流冲击波的理论和计算研究工作方面取得了一系列成果4 鲥8 1 。瑞士学者罗 杰雷诺1 4 9 , 5 0 指出由于急流收缩时产生冲击波，边墙高度要比一元方程计算结果大很 多。当收缩段的边墙为直线时，收缩段内可产生3 种不同的波：( 1 ) 收缩段起始点下 游的波；( 2 ) 泄槽轴线上的波：( 3 ) 收缩末端以外的沿墙波。他引用激波数的概念，在 试验中针对不同的收缩比和底坡，研究了3 种波的特性，并寻求削弱冲击波的措施， 提出了一种将致偏体作为削波构件的建议，并对非设计水流和阻壅水流作了研究和 探讨。其他美国、英国、瑞士和俄罗斯等国的许多学者和研究人员，也围绕急流冲 击波进行了大量的理论研究、数值计算和模型试验研究工作，并取得了丰硕成果 i s i - 6 l l 。 1 3 研究的主要内容 本论文主要对急流冲击波中陡冲击波与缓冲击波的有关特性及计算方法分别进 行分析、研究和探讨。对于缓冲击波，由于缓冲击波理论是在水流附体( 水流附着 边墙) 情况下推导出来的，但当边墙向外偏转角度大到一定程度时，在偏转点后面 会形成水流脱离边墙状况【“，在那里会出现回流漩涡、空蚀等复杂情况，从而致使缓 冲击波基本理论在这些区域不成立。而迄今为止，对于偏转角的限制只是在工程设 计中给定一些大致的范围1 5 1 ，还没有人给出保证缓冲击波基本理论成立的最大边墙偏 转角度。为此，本文在缓冲击波理论v o nk a m a a n 积分的基础上，通过分析给出了缓 冲击波附体的偏转角条件，指出了缓冲击波理论关系式的适用范围，并分析给出最 大边墙偏转角的理论数值。同时在缓冲击波微分式的基础上给出一种缓冲击波数值 计算方法，并给出计算波后物理量的计算公式，该方法计算简便，适于由计算机编 程实现，较好的解决了v o n k a r m a n 积分式不易应用以及简化式适用范围不广的不足。 河海大学硕士学位论文 对于陡冲击波，文章对陡冲击波的反射情况进行了分析，由陡冲击波附体的必 要条件得到反射停止的必要条件，并在l p p e n 冲击波理论基础上，利用陡冲击波数值 计算方法分析了偏转边墙长度最大值的计算过程，并通过具体算例验证分析结果。 同时本文还对收缩段急流的水流流态特征进行了分析和探讨，对直线收缩段的收缩 段长度的取值及计算方法进行了研究，给出了计算直线收缩段长度的计算方法及计 算过程，并通过算例进行分析检验。本文的研究结果可以为研究结构更为复杂的急 流冲击波提供理论与计算依据。 1 4 章节安排 本文的主要内容包括六章，章节安排如下： 第一章为绪论，简要介绍急流冲击波的形成，说明研究急流冲击波所具有的重 要性以及近些年来国内外学者对急流冲击波的研究动态，并说明本文研究的主要内 容及章节安排。 第二章对急流冲击波的基础理论进行介绍、论述，并对求解急流冲击波的不同 方法进行分析比较，为后两章的工作做铺垫。 第三章对缓冲击波进行分析研究，给出了保证缓冲击波附体的最大河岸偏转角 的理论数值，同时给出缓冲击波数值计算方法和波后物理量的计算公式。 第四章对陡冲击波反射情况进行分析，提出陡冲击波反射停止的必要条件，并 给出了确定偏转边墙长度最大取值的计算方法。 第五章对收缩段水流特征进行了简单分析，给出了计算直线收缩段长度的计算 方法及计算过程。 第六章为总结与展望，对本文的工作进行总结，提出不足之处，并对今后进一 步的研究工作提出自己的看法。 第二章急流冲击波基础理论分析 第二章急流冲击波基础理论分析 2 1 急流冲击波的形成 急流冲击波的发生，其外在条件一般是边界的改变对水流的扰动。取矩形断面 明槽边墙向急流内部作微小折转的情况下所发生的冲击波进行分析。因急流具有很 大的惯性，遇到边墙转向的阻碍，便对边墙起冲击作用，边墙也对水流旖加反力， 迫使水流沿边墙转向，产生动量变化，造成水面的局部壅高。这种扰动以波的方式 在明槽内传播。在急流中，当扰动到达时水流己前进一段距离，因此扰动的影响范 围必然在扰动开始发生地点的下游，并且随着距离边墙愈远而愈靠下游。这样在平 面上便形成一条划分扰动区域的斜线，称为扰动线，也称波峰。扰动线和原来水流 方向所夹的角度成为波角。当边墙向水流内部偏转时，扰动线以下的区域内出现水 面壅高；反之当边墙向水流外部偏转时，由于水流失去边墙的依托，水面出现跌落， 也是一种扰动，同样也形成扰动线，即在扰动线以下的区域内发生水面跌落。 发生急流冲击波后，水深、流速的变化及波角的大小显然与水流原来的性质及 造成扰动的外在条件有关，前者可用扰动前水流的佛汝德数凡表示，后者主要是边 墙的偏转角臼。对这个问题可应用动量定律进行分析，主要假定有两个：( 1 ) 水流的 竖向分速可以忽略，沿铅垂线上各点的压强可按静水压强分布考虑；( 2 ) 摩擦阻力 可以忽略不计。对于边墙偏转角不大或它的角度是逐渐变化的情况，实验证明这种 分析方法是有实用意义的【l i 。 2 2 陡冲击波基本理论及算法分析 2 2 1 陡冲击波基本关系式推导【4 】 陡冲击波是在边墙使急流向水流内侧方面急剧偏转时形成的。如图2 1 所示，啊 为波峰前的水深，见为波峰后的水深；v 。为波峰前的流速，v ，为波峰后的流速；目为 河岸偏转角，为波峰与流速初始方向的夹角，缱= 一口。b 。为波前两流线问的距 离，b ，为波后两流线间的距离。陡冲击波各参数之间的关系式可以由两条流线间的 流段的动量变化方程获得，为此，对在x 轴上的投影和对平行于波峰的轴线的投影 7 河海大学硕士学位论文 写出动量方程。 或 图2 1 边墙向水流内侧偏折产生的冲击波 如果渠底是水平的，压强按静水力学定律分布，则在x 轴上投影的方程为 考虑到 衍6 l 啊呐2 c o s o = 鹏萼一触。等 ( 2 1 ) 磁一砰= 兰g ( 啊v ? 一 z v ；鲁c 。s d。l 磅= 譬= 盟g = 绰g o (g ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 3 ) 式中表示临界水深，即当n = l 时，q = v h , n 3 赤2 i 岔2 l ，故此时 厅，：。将( 2 3 ) 式代入( 2 2 ) 式，得 g n ；一砰= z 磕( 去一专鲁c 。s 印 第二章急流冲击波基础理论分析 b b 厅，+ ：2 厅未( _ h z - h l 兰b 生l c o s o ) 1 即 也“一。2 磕卜 砑 l 一盈鱼c o s 护 w ”栌z 磅( ) ( 2 4 ) 用s 表示波峰动段的长度，则 b j , = s i n f l ，b s _ 2 = s i n ( 一目) 堕：! ! 呈笆 ( 2 5 ) b 2 s i n ( f l 一0 ) 、。 由于压力在平行于波峰的轴线上的投影等于零，所以有 , o r i b l 抚= p v 2 6 2 2 v r 2 。6 l = ：b ：岛 ( 注：沿波峰方向的分速为y t lv t ：，正交于波峰的分速为v 。及v n ：。由于水深只在 波峰的前后有变化，沿波峰方向的水流不受干扰作用，沿这个方向的分速不应改变， 即v n = v f 2 。) 上l ： 墅 堕：塑生 f 2 6 ) 2 t a l l ( 卢一印 、 v n l h i2v n 2 h 2 河海大学硕士学位论文 ( 注：着重研究正交于波峰方向的水流性质的改变。取单位长度的波峰，写出连续 方程为：q = h l v 1 = h 2 v ) 得到 鲁= 昔= 幽t a n 兰s ( 2 7 ) 心v n l 由( 2 5 ) 式和( 2 7 ) 式有 盟一u m ( 卢- o ) 旦：! ! ! 生 ( 2 8 1 2 6 2 t a n f ls i n ( f l 一0 ) c o s ( p 一口) 、 把( 2 5 ) 式和( 2 8 ) 式代入( 2 4 ) 式，得 2 ( 2 + 啊) = 2 h ；s i n 2 卢 ( 2 9 ) 求解( 2 9 ) 式 由于 所以 h l h ；+ h 2 h ? 一2 磕s i n 2 = 0 吃：二笪兰坐生霎螋( 负号舍去) 2 觑 ：一堕+ 堑：量竺兰 2 2 魄 = 一氆晒 = 粤c 舾柚 又因为_ = 击，而等笪g h ? = 暑卅删。矾w幽 1 h 2 = 鲁( x l + 8 f r l 2 s i n 2f l 1 ) ( 2 1 0 ) 式为共轭水深公式。将( 2 7 ) 式和( 2 1 0 ) 式联立，得 黑：三(正面_1)2 t a i l ( 卢一口) ”1 。 由( 2 1 1 ) 式确定后，再按( 2 7 ) 式求出h ：，并用( 2 8 ) 式从连续方程v l h 。b 确定n ： ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 。2 h 2 b 2 第二章急流冲击波基础理论分析 盟：堕：! ! ! 望 h 2 b 2v i c o s ( p 一口) 即 。，：v 生 21 c o s ( p - 0 ) ( 2 1 2 ) 按已知的 ：和r ：计算凡! ，并继续对后续的冲击波进行类似的计算。 由上述( 2 1 0 ) 式、( 2 1 1 ) 式及( 2 1 2 ) 式整理后得到陡冲击波基本关系式： 蔓一巫画二! 啊一 2 t a n ph 2 t a n ( p 一印魄 v 1c o s ( p p ) v 2 c o s f l 下面将对陡冲击波的算法进行分析比较。 2 2 2 陡冲击波算法分析与比较 d 2 ，h 2 f 2 1 3 ) 佗1 4 ) f 2 1 5 ) 图2 2 陡冲击波示意 如图2 _ 2 所示，当边墙向水流内侧偏转时产生陡冲击波。式( 2 1 3 ) 、式( 2 1 4 ) 以及式( 2 1 5 ) 构成了i p p e n 陡冲击波基本理论关系式6 2 1 。式中为波角，口为边 墙偏转角，凡为来流佛汝德数，聃为波后佛汝德数，式( 2 1 3 ) 、( 2 1 4 ) 及( 2 1 5 ) 构成非线性方程组，直接求解较为困难，在实际工程中不便于应用。下面给出几种 近似求解方法。 1 图解法 利用i p p e n 的诺模图h ，如图2 3 所示： 河海大学硕士学位论文 图2 3 诺模图 根据给定的偏转角目和来流佛汝德数，可以从诺模图中查到波角卢的近似值，再 经过查图可以确定波后佛汝德数n j ，同时可以求出如，啊的近似值。图解法能简化 对i p p e n 基本关系式的求解，得到波后各物理量的近似解，但图形数据误差较大，计 算精度存在问题，对工程设计有一定不利影响。 2 简化式方法 当边墙偏转角较小时，假定上下游水深相等，即啊= 如，代入式( 2 1 3 ) 整理可得： 蛆咿2 赢 q j 6 式( 2 1 6 ) 为典型的急流冲击波简化式。此简化式适用于偏转角较小的情况，并且由 于假定h ：= 啊，故产生误差较大。 3 改进简化式方法 为减少计算误差，提高精度，9 0 年代末，刘韩生等人对i p p e n 基本关系式进一 步分析，并利用比能不变假定，可以得到更为精确的简化式【1 6 j ，即为如下改进简化 式： 第二章急流冲击波基础理论分析 3 i 越胪印2 赤 q 1 7 改进简化式较之典型简化式在计算精度方面有了提高，同时也便于实际应用。但是 在计算量及适用范围方面还存在一定问题。 4 数值计算方法 上述图解法与简化式方法虽然便于实际应用，但都存在计算精度或计算量方面 的问题。近年来，王如云等人 2 1 】在i p p e n 冲击波基本理论的基础上，为了克服图解 法，简化式方法的不足，针对附体急流冲击波，给出了快速迭代计算方法，迭代格 式如下： 危矿瓦f l ：了_ f 琢- a ( g ( 两f l k ) ) i g - ( 顶f ( f l 丽k ) ) 叫) 其中：f ( f 1 ) = 乏：t 丽a r t ( f 1 ) ，g ( 卢) = 圭( f i i i 丽一1 ) 经过分析，可以证明该计算方法的收敛性，并且迭代格式( 2 1 8 ) 具有至少二阶的收 敛速度。由于该算法计算简便，收敛速度快，不仅适合于编程计算，也可用于手工 计算。 2 3 缓冲击波基本理论及算法分析 图2 4 缓冲击波示意 如图2 4 所示，假设来流为均匀急流，流速记为v ，水深为h ，来流佛汝德数为 丹：善一，且凡 1 ，受河道向外侧偏转的影响，产生负扰动即缓冲击波。缓冲击 、g 疗l 波可以看作是由连续分布的干扰线所组成。干扰线形成的波，波高总和为 。根据 河海大学硕士学位论文 两条流线之间线段的动量变化方程及经过一些变换，置利用比能不变假定可以得到 缓冲击波基本关系式： 一d h ：一2 ( h o - h ) q h ( 2 1 9 ) d o _ 2 ha 一3 h 1 k a r m a n 积分法1 4 对式( 2 1 9 ) 两边积分，可以得到k a r m a n 积分： 其中砩为积分常数， 吼= 2 查图法1 6 3 1 t a n 辱一a 压一 根据口= 0 时 = 髓的初始条件来决定 以删a n 晤一a r c 伽压 f 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) 图2 5 缓冲击波计算曲线图 由于k a m a a n 积分式较为复杂，不易直接求解，故常利用辅助曲线图进行求解。 第二章急流冲击波基础理论分析 如图2 5 所示，记日。：e ( 常数) ，由粤可以在曲线图上查出相应的横坐标岛值， b s 然后将岛与总偏转角口相减。再在曲线上由吼胡值查出相应的纵坐标争，从而定 出 ：和v ：。如果将逐渐转向的边墙分段求解，就能定出沿边墙的水面变化曲线。但 当边墙弯曲部分很长，受到对岸边墙的扰动波的影响时就不适用。 3 简化式法 为解决k a r m a n 积分不易求解的困难，刘韩生等人于9 0 年代末对其简化式进行 了探讨【1 6 1 。由于缓冲击波发生时能量损失不大，可以利用比能不变假定： 日n 2 + 1 2 9 ( 2 2 2 ) 对缓冲击波基本关系式( 2 1 9 ) 进行分析，在万j 时，可以得到简化积分式： 吾( 压一瓴) _ o 9 7 口 ( 2 2 3 ) 简化积分式计算简便，易于实际应用，但在万j 时存在较大误差，在适用范围 方面有一定问题。 4 数值解法的探讨 为避免上述方法存在的问题，有必要研究一种计算简便，适用范围广，易于编 程的缓冲击波数值计算方法。关于该问题的研究将在本论文第三章中具体给出。 2 4 边壁偏转角分析 2 4 1 陡冲击波附体的最大河岸偏转角 当边墙向水流内侧偏转时，如果偏转角过大，陡冲击波有可能脱离边墙，从而 成为脱体冲击波，此时适用于附体冲击波的i p p e n 基本关系式不一定成立，故要对边 壁偏转角条件进行分析研究。从诺模图可以看出，对于一个给定的凡，相应地有二 个确定冲击波波峰位置的p 角值和二个庶值。但正如试验所指出，只是位于极值点 以下和p 值较小的几段臼= 厂( ) 曲线才具有物理意义。诺模图说明，对于每一个 n 值，都具有某一个最大的边墙偏转 4 1 。王如云等人对边壁最大偏转角的存在唯 性进行了分析，并给出了最大边壁偏转角的迭代计算格式2 1 1 。 1s 河海大学硕士学位论文 2 4 2 缓冲击波附体的最大河岸偏转角 由于边墙向水流外侧偏转时，在转折点后面可能形成水流脱流边墙区，会出现 复杂的情况如回流漩涡，空蚀等，而这些情况下都无法使用k a r m a n 积分来计算，即 k a r m a n 积分仅适用于缓冲击波附体的情况，所以需要讨论使得缓冲击波附体的最大 河岸偏转角。关于最大河岸偏转角的分析研究将在第三章具体给出。 2 5 本章小结 本章首先介绍了急流冲击波的基本概念及特点，然后分别针对陡冲击波和缓冲 击波介绍了其基本理论，并对各自的计算方法进行了总结与比较，分析指出了各个 方法的特点与不足。急流冲击波中对于陡冲击波已有较为完善的计算方法，而对于 缓冲击波，本章提出了构造求解缓冲击波波后物理量的数值计算方法的设想，具体 分析将在第三章中介绍。同时本章对附体陡冲击波以及附体缓冲击波的最大河岸偏 转角进行分析，对于保证缓冲击波附体的最大河岸偏转角问题的研究与分析也将在 第三章中具体介绍。 第三章缓冲击波的分析与计算 3 1 引言 第三章缓冲击波的分析与计算 水工明槽急流中，当边墙向水流外部偏转时，由于水流失去边墙的依托，水面 出现跌落，产生扰动，形成缓冲击波。早在2 0 世纪3 0 年代v o nk a r m a n 首先推导得 到缓冲击波积分式【4 ，5 1 ，该积分式目前被各教科书普遍采用，但是由于该积分式较复 杂，直接求解较困难，故常利用辅助曲线图进行求解 6 2 1 ，但图形数据误差较大，且 不便于应用。为解决k a r m a n 积分不易求解的困难，9 0 年代刘韩生等人对缓冲击波 计算公式进行了研究，得到简化积分式【m 1 。简化积分式虽然计算简便，易于实际应 用，但是在适用范围和计算精度方面都存在一定问题。为此本文分析给出一种缓冲 击波的数值计算方法，并给出计算波后物理量的计算公式。该方法计算简便易于编 程实现。 我们知道缓冲击波理论是在波前附体( 波前附着边墙偏转点) 情况下推导出来 的，但当边墙向外偏转角度大到一定程度时，在边墙后面会形成水流脱离边墙状况【4 j ， 在那里会出现回流漩涡、空蚀等复杂情况，从而致使缓冲击波基本理论在这些区域 不成立。而迄今为止，对于偏转角的限制只是在工程设计中给定一些大致的范围“，删， 还没有人给出保证缓冲击波基本理论成立的最大边墙偏转角度。为此，本文在基本 理论关系式的基础上，通过分析给出了缓冲击波附体的偏转角条件，指出了最大边 墙偏转角的理论数值。 3 2 缓冲击波关系式的简单分析 缓冲击波是指边墙向水流外侧偏转产生的水流扰动现象。图3 1 所示为一明渠扩 散段，河道偏转起始点为a ，在a 点之后河道向水流外侧偏转，偏转角度记为0 ， 由于向外侧偏转，为便于理解计算，偏转角取负值，即0 1 。 g n l 受河道偏转影响，产生缓冲击波。 河海大学硕士学位论文 图3 1 缓冲击坡不蒽 1 9 3 5 1 9 3 6 年间，卡门首先推导出缓冲击波的计算公式 4 , 5 1 。缓冲击波可以看作是 由连续分布的干扰线所组成。干扰线形成的波，波高为善，其总和为缓冲击波的波高 a h 。第二章中推导陡冲击波时有如下公式： ：z h iz ：三( 囊。：一 2 v ：z 善c 。s 回( 3 1 ) 笼= 面c o s 丽p ( 3 2 ) 2 6 2 c o s ( p 一口) 、7 如= v ，丽c o s f l ( 3 3 ) 和推导陡冲击波时一样，列出两条流线之间线段的动量变化方程。在每条干扰 线后流线改变较小的a o 角。以a 0 代替上面中的口，边墙向水流外侧偏转时，角a o 是负值。用口代替p 。即： h 2 z h iz ：三( 啊v l z 一也v ：z 鲁c 。s a o )( 3 4 ) 芸=而cosatcos(at ( 3 5 ) 吃6 2 一印 、7 v z2 v - 面c 云o s a t 丽 ( 3 6 ) 由( 3 4 ) 式得 ( z 一：+ 抚) = 三v 1 2 一百h 2 丁”22 百b 2 h o ( h v 1 2 h t ( 1 n 2 p 2 d29 c 0 s p )( 3 7 )( 2 2 + 抚) = 三 一_ i _ c o s p ) ( 3 7 ) 啊v l 一吼 将( 3 5 ) 式、( 3 6 ) 式代入( 3 ) 式，得7 第三章缓冲击波的分析与计算 ( h 2 - h i 胍= 三v 1 2 堋一而c o s 2a 堂半c o s a 0 9 c o scos) 【口一j 口 =三gvl2郴一糕cosz x e , ) ) ( 3 8 ) 一 其中h ：一h ，= f ；h ：+ 啊= 2 h , + f ，掌的符号取决于口前面的符号。 经变换后，( 3 8 ) 式变为： 孝( 2 啊+ f ) = 三v 1 2 h l ! 堡燃 (399c o s ( o ca v ) )孝( 2 + f ) = 二竺号攀( 3 ) 一 因为偏转角a o 很小，所以c o s ( g o a 0 ) “c o s o r ，s i n a o “口。与2 鱼相比，f 值可以 略去不计，则 ， 22s i n a a o 掌一2 h , v lh l 即 f ：l t a n 盯a o( 3 1 0 ) g 在f = 砌，口= 棚得极限情况下，得 2 d h ：1 t a n 口d o r 3 1 1 ) g 在符合水头风珊丢= 常数，比能不变的情况下，v = 莉。因为 当：盟，而在急流中，流向和波峰之间的角度( 波角) 口满足s i n 口：盟：当， 卜rvvp r 口：盯c s i n i l ，所以 ，r t a l l 口：兰坐：墅兰：。! 丝： c ：o s 0 5 l s i n 2 口v 2 一g h ：三墅器 ( 3 1 2 ) 式代x ( 3 1 1 ) 式得 d _ h ：v i 2 t a l l 甜：2 9 ( h o - h ) ：竺：一2 ( h o - h ) q h d o gg 4 2 h o 一3 h2 风一3 h 1 9 ( 3 1 2 ) 一一 f 河海大学硕士学位论文 层i | 一d h ：2 ( h o - h ) , h f 3 13 ) d o 2 h o 一3 h ( 3 1 3 ) 式就是缓冲击波微分式。 对式( 3 1 3 ) 进行积分，令矗：2 h o ， 舭= 竿，砌一器出，代入扪1 3 埔 i d z ：一坠毕盟 ( 3 1 4 ) 历一 一 l j 令r ：一1 ，则出：一粤，再令“：以，代入式( 3 1 4 ) ，得 而u 希丽3 u