（概率论与数理统计专业论文）倒向随机微分方程及其应用.pdf

嚣防科学技术大学研究生院学位论文 摘要 倒向随机微分方程的解悬一对过程( r ，z ) 满足 i 一孝+ l ：g ( e ，z ，一f ：z ，露崴 其中g 是生成予，毒是终端条 譬。 我们主要讨论上两倒向随机微分方程及相应的g 期望的性质以及它们在数学金融学方面的应用。 这孛争方程簧先是b i s m u t 研究了线饯情提下的解豹讨论，熬后p a r o d o u x 和p e n g 绘出了一般情况下的讨 论。 本文作者绘出一种推广的倒向随机微分方穰的解的存在性唯一性，并绘出由g 期望引出的一类摸 糊测度的概念。在论文的最掰，给如了侧向随机微分方程在龛融中的凡个应震。 关键谪：淘淘疆梳徽分方程争期鼙乎鞍g - 主j wg - 主鞍模糊测菠期投定徐 未定权益 一璧塑墼兰鳘查查兰竺鍪圭璧兰燕篓塞 a b s t r a c t t h es o l u t i o no fab a c k w a r d s t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n i sa p a i r 。f f o e e s s ( ，z ) s a t i s f y i n g 。 1 1 , = 孝| ：g 秘，誓，乏) d s 一| ：z 。d w w h e r e gi st h eg e n e r a t o la n d 善i st h et e r m i n a lc o n d i t i o n w ea r ec o n c e r n e dw i t ht h e p r o p e r t i e so f b a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dt h e i f a p p l i c a t i o nt of i n a n c e ，t h e s ee q u a t i o n sw e r ef i r s ti n t r o d u c e db yb i s m n t ( 1 9 7 3 ) i nt h el i n e a rc a s e a n db yp a r o d o u xa n d p e n g ( 1 9 9 7 ) i n t h eg e n e r a lc a s e ， i nt h i sa r t i c l e ，w eg i v et h ee x i s t e n c ea n d u n i q u e n e s so f t h es o l u t i o no f ak i n do f g e n e r a l i z e d b a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s , a n dg i v e ak i n do ff i a z z ym e a s u r ei n d u c e d b y g - e x p e c t a t i o n a tt h ee n do f t h ep a p e r , w eg i v et h ea p p l i c a t i o no f b s d e i nf i n a n c e k e yw o r d s ：b a c k w a r ds t o c h a s t i c d i f f e r e n t i a l e q u a t i o ng - e x p e c t a t i o np r i c i n g g - m a r t i n g a l eg - s u p e r s o l u t i o n g - s u p e r m a r t i n g a l ef u z z y m e a s u r e c o n t i n g e n t c l a i m 矗 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果尽我所知，除了文中特另0 加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表和撰写过的研究成果，也不包含为获得国防科学技术大学或其它 教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文题目： 剑自堕扭邀金左焦区基座围 学位论文作者签名：丝：委垒日期：抛z ，年，1 月矽日 学位论文版权使用授权书 本人完全了解国防科学技术大学有关保留、使用学位论文的规定本人授权 国防科学技术大学可以保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 文档，允许论文被查阅和借阅；可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩e f 或扫描等复制手段保存、汇编学位论文 ( 保密学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文题目：倒自随也徽筮左焦区甚廑闺。 学位论文作者签名：鹆：拯 作者指导教师签名 日期：撕? 年i 月纱日 日期：加圯年，月叫日 嗣防科学技术大学研究生院学位论文 第一章绪论 已经成为缀典理论的正向随机微分方程描述一个受到随机干扰的客观对象在已知初始 条 牟懿清提下豹运动蔑律，当蘸l 重剡幸筝为耪始条髂戆数据是确定熬，嚣获缛豹囊晕是隧壤状态。 最近十年间，人们对倒向随机微分方獠产生了很犬的兴趣，其求解时间顺序正好相反：它研 究达翔牟冬来静j 燹定磊标，魏簿确定当蘸静状态窝策珞。俸为终端条律静嚣拣( 以及环境) 楚 随机的，而获得的当前时刻的解则是确定的，由于随机干扰环境下时间的不可逆性，则两类 方耩的数学结构帮研究方法都蠢本震的不露。 倒向随机微分方程的理论研究的历史虽然很短，但进展却很迅速，除了因为理论本身所 特裔的系统丽裔趣静性质之夕 ，还因为发璃了重鬃静寂惩鹜豢：d u f h e 裙e p s t e i n 发现了可 以用它来描述不确定经济环境下的消费偏好( 即效用丽数理论，遂是计羹经济学的基础) ： 彭实戈通过倒商随梳微分方程获得了非线後f e y n m a n - k a c 公式，觚两w 苏整理诸翔反应扩 散方程和n a v i e r - s t o k e s 方程等众所周知的重要非线性偏微分方程；k a r o u i 和q u e n e z 发现金 融市场中许多薰要的衍生诞券( 如期校期货等) 的理论价格可以通过倒向随视微分方程的解 来搂述【l 】。 1 1 数学金融学的发展历史 1 9 0 0 年，法国的巴谢剁耶发表了他的游士论文投机理论，这宣告了数学金融学的诞 生。在此论文中，他第一次给出了b r o w a 运动瓯严格酶数学描述。然而巴谢剿郓的工作没 毒弓l 起金融学界豹重视达5 0 年，按照默顿的说法，在2 0 年代上半叶金融学基本上照描述性 的，主要焦点在于市场的简单规范化类的活动中。5 0 年代。萨缮尔森通过统计举家萨法 吉霪毅发现了熙潺剥鄂鲍王馋，这据悫麓现代金融学的开始。现代金融攀随矮经历了两次主 要的革命。 第一次是1 9 5 2 簪，马尔橱维茨发表了媳敦媾士论文，提出了“瓷产组会豹均缓方差分 析”，它的意义在于原先人们期握寻找最好股票的想法g i 导至q 对风险和收益的藿化和平衡的 理解上来，绘是风险零平极大貔期望牧薤，绶考绘定麓滋牧蕊援小亿风黢，这就是掰谓豹“均 值方差理论”的主要思想，我们可以把它看成是个带约束的最优化问题。稍后，爱普和林 特辩递一步掘袋了马尔援继茨斡王终，摄爨了“瓷本赛产定徐模数”，它戆要点是建立每一 个股票和整个市场的相关性，于是对于上面的最优化问题，每个股梁的特有量可由股票的平 均潮报率帮该羧票鼹常爨翡摆关系数寒确定。 数学金融学的第二次革命发生在1 9 7 3 年，稚莱克和休尔斯发表了著名的b l a c k - s c h o l e s 公式，给出了敬式期粳酶定价黎显式形式。不久，麸镶给出了男外一令撵导方法，势且绘出 了推广。1 9 7 9 年，c o x - r o s s - r u b i n s t e i n 发寝了二叉树横型；同时，h a r r i s o n - k r e p s 提出了多 时段的鞭方法萃珏套利。1 9 8 1 年，h a r r i s o n - p l i s k a 瓣击了等侨鞍溅煮。这撩工佟本矮上罄楚为 风狳处理这个皇题服务的。 俩商随梳微分方程囊睾由法国数学家b i s m u t 在研究陡臻最优控翻露提出，1 9 9 0 年，羧 冒学者彭实戈和法黧学者p a r d o u x 发现了一般非线性倒向随机徽分方程的研究方法，这在数 学金融学一般来定权益定价理论中有着重蘩的应震。 冒防科学技术大学研究生院学位论文 从上酾的历史可以看出，数学金融学本质上是围绕蓿风险处理和效用最优化这两个主题 开展豹【翻。 1 2 倒向随机微分方程研究现状 线煌馕提下懿型是疆枧微分方程骜先由b i s m u t 在露 f 究随机最优控制的时候提如，然后 p a r d o u x 和p e n g 研究了一般情况下倒向随机微分方程的解，得出倒向随机微分方程的解是一 对过程( yz ) 满足 蟛= f ( t ，i ，z 。) d r z ，a w , 在对g 满晟l i p s c h i t z 静条悔下涯锈了上瑟饲懿骧捉微分方程瓣熬存农难一牲定理瑟】 彭( 1 9 9 7 ) 通过倒向随机微分方程的研究，得出g 期撬以及g 条件期望的概念【4 】，他证明 了农适当静条粹下，沓麓蘩，g - 条件鬟嫠僳窝7 麓藿窝条箨麓颦熬丈罄分泣震( 滁线性毪) 。 利用g 条件期黧的定义，彭( 1 9 9 9 ) 引入了g 鞅的概念，并且给出了g 上鞅的d o o b m e y e r 分解【8 】。 倒向随机微分方程的理论迅速发展，彭实戈通过倒向随机微分方程获得了非线性 f e y n m a n k a c 公式，从而可以处璎诸如反应扩散方程帮n a v i e r - s t o k e s 方程等众掰震知的重簧 非线性偏微分方程；k a r o u i _ 葶口q u e n e z 发现鑫融市场中许多重要的衍生证券( 如期权期货等) 的理论价格可以通过倒向随视徽分方耩的解来描述。 1 3 预备知识 下面我们输出在零文审要餍劐的一些醚橇分群结栗，详缁迁饔请参冤文献f 2 】。 定理1 1 ( i t o 表示定理) 设善口( q 墨，p ) ，则存在唯一个随机过稷，( f ，c o ) v ( o ，7 1 ) 满 足掌= e 皤) 十l ；，( r ，c o ) d w , 其中，v ( o ，秘是满是下蟊条孛 懿爨数鹊集合 f ( t ，掰) ：【0 ，) o _ r ，s t ( a ) f ( t ，c o ) e ( b ) 毯f ；歹( ，c o ) 2 d t 】设材，蹙e - 秧，并置对t o , m ，( 延曩尹) ，剡存在难一一 个隧扭过程g ( s ，掰) 满足g v ( o ，t ) 劳旦 m 。= e ( m o ) + ij g “) 栅： 定鬓1 3 ( g i r s a n o v 定理1 ) 设l 皤过程y 蠢) r 。满足d r ( t ) = a ( s ；妫d t + 彤t t ， k = 0 ，令 m t = e x p ( - f ：a ( s ，) 撅：一毒f ：口 国) 2 d s ，t 假定口( s ，c o ) 满足n o v i k o v 条件 越e x p 暗鼻e 妨2 丞嚣， 离防科学技术大学研究生院学位论文 其中e = e ，是在p 意义下的数学期望。 在( g 零。) 主g r 硝2 = m ，d p 。剿v 螃是戮廑q 爨义下熬n 缎毒期运动。 l 。垂本文结孝每及作者主要王作 本文将介绍倒向随机微分方程及相应的g 期攫的相关性质以及在金融数学中得应用。 第一睾奔缓了金融数学豹发震瑟受班及缓囊髓褫微分方程熬发展历爱以及职突现状。 第二章介绍了倒向随机微分方程的定义、性质，给出解的存在唯一性定理以及两个倒向 隧瓤微分方程籁豹范较定璩。终者在瞧函数存在鹘壤猛下，绘赛了一类攘广懿键囊隧觊微分 方程的解的存在性唯一性定理。 第三章奔缡了囊饲商辕梳徽分方稷导爨豹争瓣望鹃有关性矮，绘出g - 条俘鞭絷及辐癌 定义下的g 鞅，g - 上鞅，g 下鞅的定义，在定条件下给出g - 上鞅的d o o b m e y e r 分解，并 给磁由g 瓣望诱导酶一类模糊涮度。 第四章介绍了倒向随机微分方程谯金融期权定价方面的应用，利用倒向随机微分方程推 导褥出了b l a c k s c h o l e s 公式，并给出了饲商随梳徽分方程在荚式期校定价方瑟的应蔫。 作者主要工作： 作者在隐瀚数存在的情况下，推广了一般情况下鲍倒商黼杭徽分方禚，绘密了攘广的倒 向随机微分方程的解的存农性唯一性定理。 讨论了倒向随机微分方程强解弱解之闻的关系，并在满足l i p s c h i t z 条辞下，绘出了弱 解的唯一性定理。 讨论了由g - 期鋈引出的一类模糊测度以及在此意义下的模糊校分的概念，从而程此模颧 测度豹意义下必模攒积分瓣数缓诗算提供了严密的数学基础。 讨论了g 期望与经典数学期望的关系，给出了类g 期望变为另一等价测度下的经典 期璧熬_ 个充分必要条 牛。 国防科学技术大学研究生院学位论文 第二章倒向随机微分方程 本章介绍了倒向随机微分方程的寇义性质，给出解的存在唯一性定理以及两个倒向随机 微分方程瓣酶磁较定理。僚者在隐函数存在翡情嚣下，绘出了一类推广煞倒囱瓣橇微分方程 的解的存在性唯一性定理。 2 1 解的存在性唯一性 设 奴f ，p 为一个装备t 盯一代数流( 互) 戆穰率空阕，( 彬) 。怒茭上瓣一个d 一缎标准蠢 朗运动。我们设( 只) 是( 彬) ，。的自然拶一代数流 f = c r n ， 形；o s t ) ) 其中，辩是仃 形；o s 去 缮 正。 定毽2 4漫，z + ) 由下落 谴褥方稷( 2 。9 ) & s 残立，粼称( y ，z ，o ，) 建方程( 2 9 ) 熬弱瓣 9 。 我们称( 1 ) 中g 是漂移系数，利用g i r s a n o v 变换，要证明下面两个不同漂移系数的倒 向随视徽分方程弱解的存在性是等价静 定理2 6 设妒= 暾，0 f ) t 是d 维e 循序- 7 测j 遣程，且满晟n o v i k o v 条件，翔方禚( 2 。9 ) 存程弱群豹充分必要条俘怒倒囱随机微分方程 = 孝+ f ：【g ( s ，e ，z 。) 十z ，九】a b f ；五d 形 ( 2 t 0 ) 存在弱髓 证明：设( y ，z ，q ，缈) 怒方程( 2 9 ) 的个弱解，由条件，显然 m ，z 【p 0 ；蛾西l i 1j 。t 丸丸苏) ( 2 tl ) 是q 一鞅，由g i r s a n o v 定瑷，存在一个概率测度， q ，s t 黑：m o ，- l 她且 最= 彬+ fo c a s 是个委一b r o w n 运动，注意弱 国) ：z ，识= 囝f ：乏碱一f z 藏丞 ( 2 。1 2 ) 在( 2 9 ) 中的f ：z 。a r f l z 用 存在弱解。 定理2 8 当n = d = l 时，如果g 满足 活( f ，y ，乏国l 墨( 国删，a s t 弘：足o t t 这里( 足。) ) ( o t n 悬个循序可测过程，满足n o v i k o v 条件 e e x p ( 吉f ：e 2 科】0 0 受| j 方程( 2 t o ) 存在一个释解 证明；由鞅表现定理知，孝可唯一的确定一对过程( y ，z ) ，使得 r = 孝一f ：z ，d w s 令 盈* e x p ( 一f ：彰g 如奠，z 。彤一丢f ? 乏1 2 9 q ( ，t ) 2 a s 由g i r s a n o v 交换知方程( 2 t 0 ) 存在弱解。 1 下蕊我们讨论倒国随机徽分方程弱解的唯一性定理，这是作者自已独立取得的a 我们这 里的唯一性是揩有限维分布的一致性。 定理2 9 对i * 孝+ f ：g q ，e ，z 。) 凼一i ：z a w , ，如果g 满足( h 2 1 ) ( h 2 2 ) ，则上面倒向 随梳徽分方程存在难静弱解 一一 证明：设( y ，z ，彤，q ) 和( 曩乏瓦孬) 趋方程的两个弱解令( y 1 ，z 1 ) a n d ( y 1 ，z 1 ) 分别是在 璧堕登篓垫娄奎兰竺塞生蹩兰堡鎏兰 概率空间( 媳彬，q ) a n d ( g 彬，q ) 意义下的强解，则由定理2 2 ，我们知邋( y z ) = ( y ，z 1 ) ， ( y ，z ) = ( y 1 ，z 1 ) ，v t ，as ，因此( y z ) 罐( y ，z 1 ) 有限维分布肯定是相同的我们通过下面的推理可戳 简单的得到。设( y ，z 。) a n d ( y ，z ) 是在布朗运动( 形，q ) a n d ( 彰，百) 下由( 28 ) 定义的p i c a r d 逼 近，奚巷 y 。，z k 彬，q ，( y ，z ，髟，盆) 辩所鸯静k 就有楣捌豹有隧维分毒，取极限哥以搿到 ( ，z ，彬，q ) a n d ( y ，z ，孵，q ) 其有确同的有限维分布 2 3 眈较定理 考虑下面的问题：求一对过程( r ，z ) m ( o , t ；r “) 满足b s d e = 善+ j ：g q ，巧，z ，x 红+ 以一k j ；z ，d 敝 其中( f ) 是虹下给定豹r c l l 过程 ( 一) 毫m ( o ，t ；r ) j i s u p 。，目矿1 2 m 今蜃我 f 3 用嚣( o ，爻固表示满足( h 2 ，3 ) 的r c l l 过程全体 ( 2 t 4 ) ( h 2 3 ) 命遂2 1 0 设( h 2 1 ) ( h 2 2 ) 2 3 ) 残支，更对￥善五2 ( q s ，p ；r ) 存在唯一的( ，z ，) m ( o ，t ；r “。)，满足b s d e ( 2 1 4 ) 并且( r + 1 ) 是连续的，我们还裔如下的估计 e s u p “，g t r , 1 2 0 情形诞明类似一 雄浓2 。1 2 对b s d e 满照善善，p a 。s 曩l 嚣t f l 衰t t l = 孝+ f ：g ( 墨t ，z ，) 凼一j ：z ，d w , e 孝+ f ：喜o ，t ，z ，) a s f j 互讲t g ( s ，e ，z ，) 雪( s ，t ，z ，) d p 圆d t a s 2 ，4 反磁较定瑾 对苫( f ，卫z ) ：q 【o ，t x r x r 4 _ r ，我们有下面的假定 心ik o ，s t j p 一8 s v t ，v ( y ，y xv 0 ，：) 有 毫，y ，：) 一g e ，y ：棚鬈9 一y 卜黟一： r r1 b ) 剖 量0 ，只：) 】2 馥| c o l jj e ) v o ，y xg ( f ，y p ) ；0 ，p a j d ) p 一口矗v ( y ，z ) ，t _ 譬( f ，y ，= ) 连续a 引理2 1 3 ：设善芒口她中r ，p ，r ) ，并臆a ) ，b ) 成立，则如果瓴。z 。l r 【0 ，t 是b s d e t = 年女执：洒一z , d w , o g ；0 携：) 其中，2 ( ，。z4 ) 是下澜b s d e 的解 r 4 = 氍+ 秘b p ，z ? 讧f z ：班 g p 档k 醵| f l j ， g 。e ，只：) ： 另一方面，由假设，我们得出 h 蟊。 亭l f i 一_ y j 揩。 六l r l y 取极浆我键褥裂 。 p 哦s g l ( ，儿z ) g ：( ，m z ) 壶建续性，我稍得到 ( f ，y ，z ) 【o ，r 】x r r 4 ，9 1 ( f ，y ，z ) 蔓9 2 ( f ：y ，z ) 弓| 穗2 1 8 ：假设g ：氆) ，c xd ) 成囊t 遴步鬣定 ，v 善蒜r 惦) ，垤足v t e 【o ，t 】 吣瞎一x 暇) = 屯碚嘛) 一x ，则g 不依赖于y 。 证舔：侄欷每，y ，z ) e 和，r x r r 4 ，我释j 春 g 垂，弘= ) = 躲圭毡+ z + ；一形i s ) 芦；其孛极限是援在2 意义下熟极限。 另一方薅裔毛+ z 帆；一彬) 墨) = y + 屯( z + 。一彬) b ) 推出 苫以儿z ) = ；l + i r a 。l - - e 一( z + 。彬】墨) 所以不依赖于y 。 下面我们考虑，对j = l ，2 ，g ，：f l x 0 , t r 。，s t g ，( s ，z ) 。【。r l 是循序可测的 定瑗2 1 9 假设j 于虽：趣) ，c ) ，d ) 成立，进步假定v 毒2 ，) ，8 。g ) 。g ) ，则 v t o , r l v ( y ，：) r r 。，g 。( f ，只：) s g ：( f ，弘z ) i 歪甥洋霓参考文黻f 7 】。 2 5 b s d e 的推广 本节我们考虑下面形式的b s d e t = 孝+ f ：g t ，z , ) a s i ：s 0 和o ，。) r r 4 ，g ( y ，z ，) 是( 只) 一循序可测的。我们还假设 g ( y 0 ) ；0 ，砂r( 3 2 ) 注意这个假设等价于：v a f ，v o ，z ) r r 4 ，我们有 g ( 。，z ，) sg ( y ，z l 。) ；i a g ( y ，z ，) ( 3 3 ) 对于任何一个给定的x 苣e ( o ，f ，p ；r ) 和t 0 ，我们引进下面的x 的相应的g 的g 一期望 以及与之相应的( f ) 条件下的g 一条件期望的概念。 设t 【0 ，) 为使得x 为f 一可测的。这时 0 ，t 上的b s d e 一啦= g ( t ，五，s ) 凼一z ；d w s 的满足终端条件= x 的解是有意义的： ( ，z 。) 磊( o ，乃r ) x 层( o ，t ；r 4 ) 定义3 1 对于每一个z 露，e 户；固，我们称 f 。i x 】- r o 为x 的g 一期望 注：x 为一可测，则对于任意的五 t ，x 也是吒一可测：x 层( q ，只固 可以由8 g 【x 】= 坩来定义，其中( 印) 。是如下b s d e 的解： c 程：= 一g 翠：，z ：。s ) d s + z ：硎i t0 s s s t y 。1 。= x 但是由于假设( 3 2 ) ，占。( 】的定义不会产生二义性，实际上容易验证 ( f ，z ；) = ，z 。) 当0 t t 钟，z 1 ) = 瞄o ) 当t o ，存在常数c ，使得对于r ( q ，辱，p ：r ) 中任意的墨和x ：，我们有 m x ，卜毛 x 2 1 c r e i x l x 2 1 2 证明：( 1 ) 由定义可得 ( 2 ) 由比较定理2 “可得 ( 3 ) 由定理2 3 ，令t = 0 可得 我们再引进随机变量x e ( q ，f ，p ；r ) 在f 一条件下的g 一条件期望的概念。与经典的情 况相似，我们要找一个随机变量叩瑶( q f ，p ；r ) ，它满足 ( i ) 玎l 2 ( q 只，p ) ，即玎是e 可测的： ( i i ) 对于任意的a e ，6 g ，。捌= 巳【，们 事实上，我们有 定理3 3 任给x l 2 0 ( n ，f ，p ) ，存在唯一的叩( q e ，p ) 满足上面条件( i ) ( i i ) ，而这 个，7 实际上就是b s d e ( 3 4 ) 的解在时刻t 的值一 证明： 唯一性 设聃，叩：都满足( i i ) 对于任意的a ，占。i s z 】- s ? 【， 仉】- 6 9 i j 叩2 】 令爿= 【口l 2 】，我们有毛【，。r l 】= 占p v 叩2 】，t l l t m ：m l 叩2 ，i ：b l ，则有g - 期望的严格单调 性，知道q t i t m hj = 叩2 m m 】a s 相似的 仉，【现s _ 2 1 = r 2 1 1 仇s 玑l a - s 从而仉= 7 7 2 ，a s 存在性 设( t ，z ，) 是_ = 善+ r g ( t ，z 。) 出一f ：z ，飒的解，则w f l ，有 e l = l 善+ f ：g o ，e ，l z ，) 出一f ：l z ，d 睨，f s ，刃 则 8 a ，x 】= 巳【，一只】 定理得证 定义3 4 我们称满足( i ) ( i i ) 的随机变量，7 为x 的只条件下的g 一条件期望，且记为 占。i x l 只】2 ，7 g 一条件期望保持了( 除线性性外) 经典意义下的条件数学期望的性质。 引理3 5 ( 1 ) 当x 为e 一, - ：r 测时；f f e , x i f , - - - x ，特别的占。 0 1 只】；0 e s 1 1 只】2 1 ( 2 ) 对任意的t 和r 都有占。【占。1 只】l c 】= 巳【x 1 只，】 ( 3 ) 若x ，z ：，则占# 【x 。1 只】巳 x ：ie 】，并且如果进一步假设p ( x x ：) 0 ，则 p ( 占? 【x 。i f 】s 。 z 21 只】) o ( 4 ) 对于任意的b 只，巳【l 彳j e 】= 厶f x i e 】 证明：( 1 ) 因为v a 只巳 ，。x 】= 咯 ，。x 】，又因为x 只，由唯一性可以知道 s 2 x 1 f 】= a s ( 4 ) s g i x i f 】f ，从而，b 占。 x l f f ，由( l ) 知，成立 ( 2 ) 如果，则占。【z i f 】tc f ，由( i ) 知道成立 如果f ，则v a fc f ，只需证明s ， ，。毛 工l f a = 占。【，。e g i x i f 】，由( 4 ) 知， 只需证明占。 s ，【，。lf a = 毛 占。【，。zif a ，由b s d e 解的唯一性，显然成立 ( 3 ) 有严格比较定理知道，成立 定义3 6 称过程( ) 毋( o ，t ；r ) 是一个平方可积g 一鞅( 相应的，g - 下鞅，g - 上鞅) ，如果 对于每一个s t t ，都有占，【置i e 】= x ，( t h r 立自q ，以，x ，) 下面我们考虑，。f 】可表示成为另一个等价鞅测度q 下的数学期望，即巳f 】= 岛f 】时， g 要满足的条件。 当g = 6 ，z 时，其中是( 6 ，) 。个一致有界的适应过程，则显然 p 。( a ) = 巳( ，。) = e q ( j 。) = q ( a ) 其中( ) 是由岛( x ) = e ( 蜴z ) 定义的数学期望，而 q ，= e x “一f ：屯讲_ 一寺fa 屯1 2 凼】 这由倒向随机微分方程解的唯一性可以得到。从而可以看出，g 一期望推广了经典的 g i r s a n o v 变换。 我们有下面的定理 定理3 7 如果”r ( q b ，p ) ，巳【x 】= x l ，则我们有s ，【x i e 】- 岛【i f 】 证明：v a f ，占。【，。岛i x i e 】= e 口【，一e e i x l 只】 2 e 矗i x 1 。巳【，。x 】 得证。 定理3 8 如果存在q p ，v 肖2 ( n ，岛，j p ) ，巳 z 】= 岛【z j ，则g 与y 无关 证明：v y f ，我们有 占。【x + y i e 】2 e 口【x + ，i e 】2 岛 x l f , l + r 2 占j x l e 】+ y 从而由上面的定理 2 1 8 ，可以知道g 与y 无关，即g = g ( s ，= ) 引理3 9 设 ：r “专r 是一个凸函数，如果 上有界，则 是一个常数 证明：因为h 是凸的，则我们有对每一个y ，口“o ，l 】， ( 嘲冬动o ) + 0 - a ) h ( o ) ，另外 对于每一个x ，口叫o ，1 】，令y = 言，则我们有 纂1 6 页 嗣防科学技术大学研究生院学位论文 西( d a h ( 二- ) + ( 1 一口) ( o ) 又因为h 是上有界的，假设h g ：( j ，z ) 是凹的) ，则如果v 孝l 2 ( q 露，p ) ，气【翱巳，【引，则存在一个循序可测的有 界过程( 口，) t f l ，使得p - a s g s “0 ，刀，v z r 4 ，9 1 ( s ，z ) = 9 2 ( 5 ，z ) = a ，z 具体证明，请参阅参考文献 7 综合上面，我们有下面得定理 定理3 1 1 设g 满足( a ) ，( c ) ，( d ) ，我们进一步假定对每一个s ，z j g ( s ，：) 是凸的， 如果v 孝l 2 ( q 5 ，尸) ，毛 翱s 。【善】，其中g ：= 口，z 存在q p ，使得v x l 2 ( q ，尸) 巳 】= 毛 x 】，则g = 9 2 = 口，z 3 2g - 上鞅的d o o b m e y e r 分解 考察下面形式的b s d e e = 舌+ i ：g o ，z 。逑+ 巧一k ij z ，d w , 这里，g 满足通常条件( h 2 1 ) ( h 2 2 ) ，k 是r c l l 增过程v o = 0 并且eq ：k ) z m ，如果( y ，z ) 是上式的解，则我们称( 1 ) 是b s d e 的g - 上解，特别的 当v = 0 ，y 称为【0 ，t 】上的g - 解 我们有下面的假设( h 3 1 ) ( 1 ) g ( y ，z ，) 辟( o ，7 ；固，对每一o ，z ) r “4 ( 2 ) 善l 2 ( q 辱，p ：固 ( 3 ) ( k ) p ( o ，7 1 ；固r c l l 并r e m p 。r i v , i 0 0 ( 4 ) g 关于( y ，z ) l i p s e h i t z 定理3 1 2 我们假设( t t 3 1 ) ，) 是右连续g - 上鞅，并且有e 娜p 目k 1 2 m ，则( ，：) 是【o ，t 】 上的g 上解，也就是说：存在唯一的r c l l 增过程形) ，v o = o ，并且e 畋1 2 m ，s t ( e ) 与 下面b s d e 的解o ，) 一致： y 。= 耳+ r g ( 叫，弦+ 巧一巧一：。d i g , 曼塑型主茎查奎兰芝壅生堕兰垡笙塞 定理的证明，请参阅参考文献【8 】 定理3 1 3 我们假设条件同定理31 2 ，我们还假定g 不依赖于y 并且g ( y 一0 ) ；o ，彤，r 。设 ( ) 是 o ，t 】上满足e s u p 。f z ，1 2 。的g - 上鞅，则( 置) 有下面的分解 x ，= m ，一i ，其中( m ，) 是形如m ，= s 。 善i f 】的g 一鞅，( _ ) 是右连续增过程，满足= 0 ， 并且剧rco o 。这种分解是唯的 证明：由定理3 1 2 ，【0 ，t 上g - 上鞅( 置) 有下面的形式：存在唯的r c l l 增过程 ( _ ) ，= 0 ，并且e l y , 1 2 0 0 ，使得 ，= x ，十f ：g ( s ，j ；，t 灿+ 一k f ；z ，d 彬 我们令 m t = x t + y t ， 则 m ，= ( x r + ) + fr g ( z 。，x 。，s ) 出一f ：t d 则由上面定义的( a t ，) 为【0 ，t 】上g 鞅，并且 m 。= 毛障+ 巧f 只】 证明完毕。 3 3 由g 一期望引出的模糊测度 定义3 1 4 v a f ，定义段( 4 ) = 6 s i 。】，我们称以( ) 为( q f ，p ) 上的一个g - 测度 定理3 1 5g 一测度是一个模糊测度。 在证明定理3 1 5 之前，让我们首先回忆一下模糊测度的概念 定义3 1 6 f 上的一个非负广义实值函数，p ：f 寸【0 ，。】称为模糊测度，如果它满足 ( 1 ) ( 妒) = 0 ( 2 ) a f ，b f ，ac b = u ( a ) p ( b ) ( 3 ) a lc a 2c c a 。c ，彳。f ，”= 1 , 2 j l i r a ( 彳。) = ( u a 。) ( 4 ) a l3 a 23 。a 3 ，a 。f ，门= 1 , 2 且j 胛。，s ，( 爿 ) o i 锺磊卜d 易l sc j 禹一善：怯，v 翕，易口( n ，耳，尸) 证明参见参考文献 4 我们在下面的讨论中，研究满足下面条件的f 一期望 d x + 1 7 i e 】= d z l f a + r , v x r ( q b ，p ) ，叩r ( q e ，尸) ( h 3 3 ) 引理3 2 5 如果f 是满足( h 3 1 ) ( h 3 2 ) 的f 一期望 ( i ) 我们考察& z 】= 占 x + 翱一蟛】，则毛i x 也是满足( h 3 1 ) ( h 3 2 ) 的f 一期望，并 且毛【x 1 只】= 镊x 十善i f 】一d 善1 只】 ( 2 ) 对t t ，我们有占- a 【x 1 只】s 毹x i e 】【x 1 只】，a s 设q 岛 是满足( h 3 1 ) ( h 3 2 ) 的f 一期望，如果 v x r ( q ，弓，尸) ， 柳乞 z 】，则我们有 v t ，口s q 【x 1 只】占：【x l e 】，咐r ( g 昂，p ) 存在非负常数c ，s t ，r 口( g e ，聊，t 0 ，我们有 d 吐z + 叩f 卜赶z f e 盯砷7 l | l t 证明参见参考文献 4 定义3 2 6 过程( 置) 。；，砟( 0 丁) 称为s 一鞅( 相应的s 一上鞅，占一下鞅) ，如果v o 蔓5 t t ， x 。= d x ，i f a ，( 相应的，d x ，1 只】，d x ，1 只】) 定理3 2 7 对每一x r ( q 辱，p ) ，令j ，( f ) = d 石i e 】，则存在满足k ( 叫川z 刚的一对 ( ( g ( ) ，z ( ) ) 耳( o ，t , r x r 4 ) ) s t y ( f ) = x + r g o ) d s 一：z ( s ) 彤，进一步我们有，x e 三2 ( q ，p ) ，令y ( f ) = c x i f , ， 并且( g f ( ) ，z ( ) ) 毋( o ，t ；r x r 。) 是相应的对，则我们有 旧( f ) 一g ( f ) i l ：( f