（运筹学与控制论专业论文）带robin边值条件的半线性奇异椭圆方程正解的存在性.pdf

摘要 - a u - 毫i 兰：_ 毗曼 这里n 是i p 中带c 1 边界的有界区域，其中n 兰3 ，0 a n ，0 p o ，2 r 等乎，2 + ( s ) = 刿n - 2 ，y = ( ，y 1 ，7 2 ，) 是a q 单位外法 向，a ( z ) 是非负的函数 最近，很多人对半线性奇异椭圆方程很感兴趣在2 0 0 0 年，g h o u s s o u b 研究 舢一p 筹u 刮扩i 2 u ，xef l , u = 0 茁a n p + ( s ) = 辫p ，p s r 尚他研究了当p ，q ， ，p ，取不同值时解的情况( 正解，变 f 也一嗨= 譬u 帆叱一， 【u = 0 ， z a n 他们研究的都是带d i r i c h l e t 边值条件的奇异椭圆方程，而本文考虑的是带r o b i n 边值条件的奇异椭圆方程 本文的思路是先证明解的一般存在性定理，然后对我们研究的方程的能量泛 函进行估计，验证它满足一般存在性定理的条件，进而证明方程的正解的存在 性在证明一般存在性定理时，因为2 ( s ) 是临界指标，函数，( “) 不满足( p s ) 条件，而且奇性也给我们带来相当大的困难，因此我们不能直接应用变分方法 我们通过最佳s o b o l e v h a r d y 常数的达到函数，应用拉直边界的方法，验证方程 对应的泛函满足( p s ) g 条件，从而证明了这个定理 关键词：奇性，s o b o l e v h a r d y 指标，h a r d y 不等式，( p s ) 条件 ，j【ll 程方了 硕士学位论文 m a s t e r st i 正s i s a b s t r a c t t h i sp a p e rd e a l sw i t ht h ee q u a t i o n ： 一嗨= 譬u 州圳h n d ，u + a ( 。) u = 0 ， z a n w h e r eni sab o u n d e dd o m a i ni nr “w i t hc 1b o u n d a r y ( 礼3 ) ，a n d0 a q ，0 p 0 ，2 r 型n 业- 2 ，2 ( s ) = 型n 型- 2 ，7 = ( 7 1 ，7 2 ，1 h ) i st h eu n i to u t w a r dn o r m a lt oa q ，o ( z ) i sap o s i t i v ef u n c t i o n r e c e n t l ym a n yp e o p l ea r ei n t e r e s t e di ns e m i h n e a rs i n g u l a re l l i p t i ce q u a t i o n s i n 2 0 0 0g h o u s s o u bi n v e s t i g a t e dt h ee q u a t i o n ， r 叫簟掣瑚虬三 w h e r e ，肛a r ep o s i t i v ep a r a m e t e r s ，ni sas m o o t hb o u n d e dd o m a i ni nr “c o n t a i n i n g oi ni t s i n t e r i o r ，l p n ，p 口p 十( s ) = n - s p ，p r 祟h ei n v e s t i g a t e dt h e s o l u t i o n so ft h ee q u a t i o nw h e n p ，g ，a ，卢，a r ed i f f e r e n tv a l u e s ( ap o s i t i v es o l u t i o n ，a s i g n - c h a n g i n gs o l u t i o n ，i n f i n i t e l ym a n ys o l u t i o n s ) y i n b i nd e n ga n gd o n g s h e n gk a n g i n v e s t i g a t e dt h ee q u a t i o n ， 一嗨= 竿州叭 “= 0 z a n w h a tt h e yc o n s i d e r e da r e 址ls i n g u l a re l l i p t i ce q u a t i o n sw i t hd i r i c h l e tb o u n d a r yc o n d i t i o n ，w h i l et h i sp a p e rc o n s i d e r ss i n g u l a re l l i p t i ce q u a t i o n sw i t hr o b i n b o u n d a r y c o n d i t i o n t h em a i ni d e ao ft h i sp a p e ri sa st h ef o l l o w i n g f i r s t l yw ep r o v eag e n e r me x i s t e n c et h e o r e ma b o u tt h i se q u a t i o n ，s e c o n d l yw eg i v ea ne s t i m a t eo nt h ee q u a t i o n s e n e r g yf u n c t i o n ，v e r i f yi ts a t i s f yt h ec o n d i t i o n so ft h eg e n e r a le x i s t e n c et h e o r e m ，a n d t h e r e b yp r o v et h ee x i s t e n c eo ft h ep o s i t i v es o l u t i o no ft h ee q u a t i o n i nt h ep r o o fo ft h e g e n e r a le x i s t e n c et h e o r e m ，b e c a u s et h ee x p o n e n t2 4 ( s ) i sc r i t i c a l ，t h ef u n c t i o nj ( ) i s l l 硕士学位论文 m a s t e r st t 正s i s n o ts a t i s 母t h e ( p s ) c o n d i t i o n s ，a n dt h es i n g u l a r i t ya l s oa t t r i b u t e st os o m ed i f f i c u l t y , w ec a n n o ta p p l yt h es t a n d a r dv a r i a t i o n a lm e t h o d s d i r e c t l yb yt h ea c h i e v i n gf u n c t i o n o ft h eb e s ts o b o l e v - h a r d yc o n s t a n ta n dt h em e a n so fs t r a i g h t e n i n gt h eb o u n d a r y ，w e f i n dt h ee q u a t i o n se n e r g yf u n c t i o n8 a t i 8 f yt h e ( p s ) cc o n d i t i o n s ，s ow ec a np r o v et h e t h e o r e m k e y w o r d s ：s i n g u l a r i t y ，c r i t i c a ls o b o l e v h a r d ye x p o n e n t s ，h a r d yi n e q u a l i t y ( p s ) c o n d i t i o n s 第一节序言 近几年来，有很多人对带h a r d y 项的半线形椭圆方程很感兴趣，比如说g h o u s s o u b 在2 0 0 0 年研究了下面问题( 参见【9 ) 卜簪哦。， 【“= 0 ，z a q ； 其中 ，芦是正的参数，n 是r “中的有光滑边界的有界区域，0 在其内部， 1 p n ，p q p + ( s ) = n - s p ，p r 芸他彻底的研究了p ，q ， ，卢，取不同值 时解的情况( 正解，变号解，无穷多个解) 邓引斌和康东升研究了如下问题( 参 见 1 0 ) f 一“一肛芒茜= 竺 + ，o ，u ) ，。q ， i。：。，l 。l。a n ； 1r 2 这里的区域n 是r n 中包含原点的有界光滑区域，0 s 2 ，2 4 ( s ) ：= ! g 兰乒是 临界s o b o l e v h a r d y 指数他们找出方程的达到函数，分析了各种情形时解的情 况以上都是研究的d m c h l e t 边值问题，对于此类方程的r o b i n 边值问题会出现 什么情况呢? 从 9 1 0 1 3 中受到启发，我们对于带r o b i n 边值条件的一类奇异 椭圆问题进行研究，证明了其正解的存在性 为了准确的说明本文的结果，以下给出一些符号和定义 在整篇文章中，我们用c ( 有时也用c 1 ，c z 或c 等) 表示正常数；它们在不同的 行或段落中可以不同；o ( t ) 和o ( t ) 表示l o ( t ) lsd 和掣_ o ( 当t _ 0 时) ； o r ( 1 ) 表示当t _ + 0 时趋于零的数我们始终定义2 + ：= 亲是临界s o b o l e v 指 标，2 ( 8 ) ：= ! 迎n - - 型2 是临界s o b o l e v h a r d y 指标 我们用础( n ) 表示通常的s o b o l e v 空间，在其上可定义三种模： 日：= ( i w l 2 ) d xh l u = 厶( 1 v u 卜p 晶) 如 5 ( p 鲥) ， = 厶( j v u l 2 一肛筹) 如+ z n ( m z ) u 2 ) d s 】5 ，p ) 硕士学位论文 m a s t e r st l 正s i s 我们在第二节证明了这三种模均为等价模( 旷在第二节中给定义) h _ 1 ( f 1 ) 是 嘲( n ) 的对偶空间，口( q ) 表示通常的妒空间，其模定义为 1 1 u 1 1 ，：= ( 五一出) ； 在后面的表达式中，我们有时省略掉积分变量出 以下我们定义一些最佳常数： i v u l 2d ：r ”2 矗誊； as：=。高、。，辟，。s p 0z n ( 1 3 ) 【d 1 u + q ( 。) u ：0 z o a o ； 2 硕士学位论文 m a s t e r st t 正s i s 其中q 是r ”( n 3 ) 中有界的区域，且具有光滑的边界a n ，0 a q ，2 + ( s ) = 2 ( n s ) ( n 一2 ) ，0 p 0 ，2 r 0 。n ( 1 5 ) d 1 “+ o ( z ) u = 0 。a a o ， 其中 ，p 是实数，n ( z ) 满足一定条件，2 r 0 使得 g 厶砰u 2 出厶| v u r ，+ u 2 出v “础( q ) ( 2 2 ) 因此，我们定义， 。= ：s 叩 e l e 上等出s 五i v u l 2 + u 2 如v u 嘲( n ) ) ， u + ：= m i n c ，皿一1 ) ( 2 3 ) 由( 2 1 ) ，( 2 2 ) 和( 2 3 ) ，我们可以推断下面定义的a l 是正的， 一“一崔# = a u z q ， i d 7 u + ( 。) 让= 0 z a q o ， 其中0 “ ( z f ) ) ，其中b 1 = b ( o ，1 ) 是r ，中的单位球， ( 。) 是一个定义在 z r “，川 2 - 鲁纠五臀】2 2 m ) ( 2 s ) 俐v 0 ，j d 0 仅依赖于，使得如果 v h i 6 ，那么有 五 v “卜等蛾( 2 _ 墨小烈厶警 2 2 邯) _ ( 2 6 ) 证明( 1 ) 由于u ( 。) 的值与。 0 是无关的，我们可以假定“( 。) 关于z 。是 偶函数，因此 厶i v 砰一等如= ；丘。l v u l 2 一筹出 知厶学和小，互凡j 五f p p = 。一魄簪】2 2 吣， ( 2 ) 根据( 2 5 ) 和坐标变换y = z 7 ，y 。= 。一 ( 一) ，将廖的边界拉直，我们立即可 以得到( 2 6 ) 5 硕士学位论文 m a s t e r st t 正s i s 引理2令( u 。) 。是硎( n ) 中有界序列，( 口。) 。是一个序列，且2 q n 2 4 ( s ) ， 当n _ o 。时q 。_ 2 + ( s ) ，那么存在子列( 不失一般性可仍然记为( u 。) 。) 使得俏 n _ 。时j j 口ju 。一u 在础( q ) 中 倒“。_ “在l ( q ) 中伽果1 o ) ，其 中满足引理2 的条件且2 o ，2 r 絮孚，如果 。 g 焉a 乒( 争舞， ( 2 7 ) o 0 我们可以选择充分小的常数r 0 使得当i t “1 1 0 因此，我们得到c 0 显然j ( u ) 满足山路引理的条件，所以 | u ns t ，( u 。) _ c 且，( u 。) _ 0 当礼_ 。即 川= 肭j v 训2 一样卜南紫肛；正k z + 抵州刮训：a s 2 c + o ( 1 ) ， f 29 1 0 若e 是任意小的正常数，让( 讥) ：l 是q 的单位分解，并且对每个 。d i a m ( s u p p 妒n ) d 其中d i a m ( d ) 是集合d 的直径由于a n c 。根据引理 1 耘i l l 右 i v ( 训2 叫警如 ( 2 一麓a s - 州厶掣z 7 硕士学位论文 i v l a s t e r st t i e s i s 假定d 是充分小的，所以 噱紫如j 南= 二 川p o = 1 d x l 葡 曼耋皈蚓捌南 = 瓤峰乒捌南 纠2 崇如1 ) - 1 1 ( 1 + ) 加砰一昂如+ 吒五嘲 故 6 ( 2 鲁如一) ( ；b ) 杰 ；蒜嚣曩篙喜纂b 兰；。笺篙迳鬻髫书n 泸髻由于 e 的任意性，我们得到( 2 一等爿。) 署f 2 1 等田曲 。 、” 。 e 芝( ；一高) 。赫a 芦( 争誉 零宴罴毫、誓n 垫a 、u “( ；) 兰，我们得到矛盾因此。是( 1 引的正解由 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ，我们有j c 定理1 证毕 。1 “”田 8 硕士学位论文 m a s t e r st t 正s i s 第三节问题( 1 4 ) 解的存在性 在这一节中，我们主要考虑问题( 1 4 ) 的解的存在性 定理2对任意的0 肛 矿( p 4 ( 2 3 ) 中给定的) ， 2 0 时，在q 上至少有一个正解 让明【14 ) 阴肼岢伢于迈个幽觋即非苓明l 陆界息， m ) = 躲v 小2p 砰u 2 ) 一；胪i 一南五掣( 3 - ) 如果我们证明了 = 毗洲矾，叫娴；u o ，“0 ) 0 , d ( 0 ，6 ) = b ( o ，6 ) n 。= o ) 我们可以知道 k = 蝴，州妣) 南重。百1 广n - 。2 ( 3 3 ) 当e 0 ，i h ( x ) 一9 ( z 引s j i 。1 2 ，z d ( o ，6 ) 所以 ir、，dx，h(x，)aza。nca厶，i；ii了；：；：j：j赫a。， i d ( o , v e ) 雨蒜蔫每浮副 。禹 所以，我们有 k ，出蔗柚一( e 尚卜 同样的有 k ) 如膨纰。_ 口( e 尚) ( i 乩2 ，3 ) 所以 1 1 ( ) = o ( e 南i ) 由( 3 9 ) 我们有 m i ( e ) = ；尬一( ) + o 忙若幻) 现在我们开始估计( s ) ，由于 所以 每磐s 。如南出 0 i t , 2 i v y 。卜皤出一筹工掣如) + ( ) ( e 错) = 赫c 篇舞舞甩啡一。 l 璇g - ( 3 1 0 ) ( 3 1 5 ) ( n 2 0 j ，戴l i j 碉 五i v 蚓2 一静2 如= ；( m ，一灿尬) 【1 一志( m ) 胛) + o ( $ 铲) + 。( e 焉) ，( 3 2 4 ) 厶吲出鼎= ( ；蚓一舞( - + 窘去( 圳+ 。( e 帮) 刊e 尚) _ ( 3 2 5 ) 既然r 0z n 、 d 7 u + a ( z ) u = 0z 8 n o 其中q 是r “m 3 ) 带光滑边界的有界区域o a n 2 4 ( 8 ) = 2 ( n s ) 一2 ) 是 l 描界的s o b o l e v - h a r d 3 指标，a l z ，p r ，口( 口) l o 。( q ) ，口( 工) 20 ，2 0 j ( 圳 0 充分小，根据定理l ，就得到( 1 5 ) 的一个解 尉v y r 阳z f d ( 0 , 6 ) d x o 州一附v y e 如。+ d ( e 磐) ；m f l t d x “? 概。一k ，如7 朦i v 蚓2 如棚( e 筹) 1 8 硕士学位论文 m a s t e r st i 正s i s 其中r = r “nx n o ) ，g ( 一) = a l = 7 r o 类似于( 3 9 ) 我们有 哪d d x 蔗i v 蚓2 出。_ o ( e 。焉) - 因此 蛆( e ) ；尬一球) + 。( e 。焉) ( ) 其中 m ) = 厶- id x i v 群i ：ld t t 厂尚出“口2 ( 卢一瓶) 2 1 x 1 2 ( b - 椎- - ) ( x - 4 - i x l 警) 掣 + 。2 4 槲i ( 4 一瓶1 + 警( 1 + 警) 掣一2 + 。2 4 ( 瓶一厣) 制2 ( 4 一摊一1 ) + 啄喧( 1 + 蚓韭茅) 攀笋一1 出。 沣煮碧 ，( ) = o ( 。叠铈) 类似的，我们有 州小l 副j 严ol 雠，r “一1陆f 2 ：，d 。，广尚，( 一) j r n 一1j o 。1 2 ( 饵一删( 1 + 蚓紫) 掣 m = r - ：d x r 骂掣 = d 一“一 r n 一1j o 面磊而瓦而丐野可 ：厶一，出，厂尚9 n 2 ( s ) z f ( - v 面一驴( 卅s ( 1 + 业铲) 鸡宰 i i ( ) = o ( 。禹) ，i i i ( ) ：o 妒焉) j j l ( ) = 。( a 焉) ，i i l l ( e ) ：。( s a 凼f ) 1 9 ( 4 6 ) 硕士学位论文 m a s t e r st t 正s i s 我们还有 尬( e ) = ；尬一i x ( e ) + 。( e n 禹) ， 慨= ；尬- i i z ( 出。禹) 尬：。0 高产) ( 4 7 ) ( 4 9 ) ( 4 1 0 ) 另外 m 5 ( e ) ；a ( 。) g ；d 5 j a n ! ；c f o n a 2 l 。l 一，。e ， ，2 - i ：s 。i f z i i 孺4 s 。l 、口2 i _ 堕1 可而列+ 。( 譬) o d ( o ，6 ) ( | z ，1 2 + h ( x ，) 2 ) 、伍一卢墨+ ( i x ，1 2 + h ( x ，) 2 ) 1 寸尹 鼍；产 矿2 鬲面羞两副+ 。( 第) ：。伊鸸诘1 联合( 4 。5 ) ( 4 ，1 0 ) ，同定理2 的证明，我们得到( 4 4 ) 定理( 3 ) 证明完毕。 硕士学位论文 m a s t e r st t 正s i s r e f e r e n c e s 1 j p g a r c i aa z o r e r o ，i p a l o n s o ，h a r d yi n e q u a l i t i e sa n ds o m ec r i t i c a le l l i p t i c a n d p a r a b o l i cp r o b l e m s ，j d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s1 4 4 ( 1 9 9 8 ) 4 4 1 4 7 6 【2 a d i m u r t h i ，g m a n c i n i ，s l y a d a v a ，t h e r o l eo ft h em e a nc u r v a t u r ei ns e m i l i n e a r n e u m a n np r o b l e mi n v o l v i n gc r i t i c a l e x p o n e n t ，c o m m p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a - t i o n s2 0 ( 1 9 9 5 ) 5 9 1 - 6 3 1 3 a d m i m u r t h i ，f p a c e l l a ，s ly a d a v a ，i n t e r a c t i o nb e t w e e n t h eg e o m e t r yo ft h eb o u n d - a r ya n dp o s i t i v e s o l u t i o n so fas e m i l i n e a rn e u m a n np r o b l e mw i t hn o n l i n e a r i t y ，j f u n c t a n a l 1 1 3 ( 1 9 9 3 ) 3 1 8 - 3 5 0 4 h b r e z i s ，l n i r e n b e r g ，p o s i t i v es o l u t i o n so fn o n l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n si n v o l v i n g c r i t i c a ls o b o l e ve x p o n e n t ，c o m m p u r ea p p l m a t h3 6 ( 1 9 8 3 ) 4 3 7 - 4 7 8 f 5 5 p c a l d i r o l i ，a m a l c h i o d i ，s i n g u l a re l l i p t i cp r o b l e m s w i t hc r i t i c a l g r o w t h ，c o m m p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s2 7 一( 2 0 0 2 ) 8 4 6 - 8 4 7 6 p c a l d i r o l ia n dr m u s i n a ，o nt h ee x i s t e n c eo fe x t r e m a lf u n c t i o n sf o rw e i g h t e d s o b o l e ve m b e d d i n gw i t hc r i t i c a le x p o n e n t ，c a l v a r p d e ，8 ( 1 9 9 9 ) ，3 6 5 3 8 7 7 jc h a b r o w s k ia n dm w i l l e m ，l e a s te n e r g ys o l u t i o n so fac r i t i c a ln e u m a n n p r o b 1 e mw i t ha w e i g h t 、t oa p p e a ri nc a l v a r p d e 8 】d c a oa n ds j p e n g ，ag l o b a lc o m p a c t n e s sr e s u l tf o rs i n g u l a re l l i p t i cp r o b l e m s i n v o l v i n gc r i t i c a ls o b o l e ve x p o n e n t ，p r o c a m e r m a t h s o c ，1 3 1 ( 2 0 0 3 ) ，1 8 5 7 1 8 6 6 9 n g h o u s s o u ba n dc y u a n ，m u l t i p l es o l u t i o n sf o rq u a s i l i n e a rp d e si n v o l v i n gt h e c r i t i c a ls o b o l e va n d h a r d y e x p o n e n t s ，t r a n s a m e r ，m a t h s o c ，3 5 2 ( 2 0 0 0 ) ，5 7 0 3 5 7 4 3 1 0 d - s k a n ga n d y bd e n g ，e x i s t e n c eo fs o l u t i o nf o ras i n g u l a rc r i t i c a le l l i p t i ce q u a - t i o n ，j o u r n a lo fm a t h e m a t i c a la n a l y s i sa n da p p l i c a t i o n sn o ，2 8 4 ( 2 0 0 3 ) 7 2 4 7 3 2 1 1 p g h a na n dz x l i u ，p o s i t i v es o l u t i o n so fe l l i p t i ce q u a t i o n si n v