（概率论与数理统计专业论文）布朗运动半群与一个分部积分公式.pdf

摘要 此文包括如下两个章节： 第一章：预备知识。本章介绍本文中要用到的一些基本概念和性质， 共分三个部分： 第一部分主要对布朗运动的起源和发展过程作一个简单的回顾，然 后介绍布朗运动的基本定义、一些等价定义和性质，以及如何寻找布朗 运动半群及其无穷小生成元。其中包括布朗运动的马氏性、转移函数与 半群。第二部分主要介绍马氏过程与半群，对于一般的马氏过程对应的 半群，怎样去求半群的无穷小生成元，以及如何由无穷小生成元去寻找 对应的算子半群。第三部分介绍s c h w a r t z 空间，主要是广义函数的一些最 基本的记号和一些基本概念和性质。 第二章：布朗运动半群和一个分部积分公式。这一章的是本论文的 核心，共分三个部分： 第一节：引言。主要介绍本章中要使用的一些定义和符号。第二节： 布朗运动半群的性质。通过对布朗运动半群的研究，我们得出了它的几 个非常有用的性质，这对于下一节的研究非常重要。第三节：分部积分公 式。我们在第二节的基础上，得出了布朗运动的一个分部积分公式。 关键词：布朗运动，半群，分部积分公式 a bs t r a c t t h i sp a p e ri n c l u d e st h ef o l l o w i n gt w oc h a p t e r s t h ef i r s tc h a p t e rt a l k sa b o u ts o m eb a s i ck n o w l e d g e ，i n c l u d i n gs o m eb a s i cc o n - c e p t s i tc a $ 1b ed i v i d e di n t ot h r c cp a r t , s ：i nt h ef i r s tp a r t ，i tl o o k sb a c ko nt h eo r i g i n a n dt h ed e v e l o p m e n to fb r o w n i a nm o t i o n t h e n ，i ti n t r o d u c e st h eb a s i cd e f i n i t i o n s o fb r o w n i a nm o t i o n ，s o m ee q u i v a l e n td e f i n i t i o n sa n dp r o p e r t i e s a tt h es a m et i m e ， i tt e l l su sh o wt of i n db r o w n i a nm o t i o ns e m i g r o u pa n di t se n d l e s ss m a l lg e n e r a t o r w h i c hi n c l u d e sm a r k o vp r o p e r t i e s 、t r a n s f e rf u n c t i o na n ds e m i g r o u po fb r o w n i a n m o t i o n t h es e c o n dm a i n l yi n t r o d u c e sm a r k o vp r o c e s sa n ds e m i g r o u p ，a sf o rt h e s e m i g r o u pw h i c hc o r r e s p o n d st ot h eg e n e r a lm a r k o vp r o c e s s t h et h i r di sa b o u tt h e s c h w a r t zs p a c e i tm a i n l yt a l ka b o u ts o m eb a s i cs i g n sa n db a s i cc o n c e p t sa b o u t g e n e r a l i z e df u n c t i o n t h es e c o n dc h a p t e ri sa b o u tb r o w n i a nm o t i o ns e m i g r o u pa n da ni n t e g r a t i o n b yp a r t sf o r m u l a i ti st h ec o r eo ft h i sp a p e r t h i sc h a p t e ri sa l s od i v i d e di n t ot h r e e p a r t s ：t h ef i r s tp a r ti st h ei n t r o d u c t i o n ，w h i c hm a i n l yt a l k sa b o u ts o m ed e f i n i t i o n s a n ds i g n su s e di nt h i sc h a p t e r t h es e c o n dp a r ti sa b o u tt h ep r o p o s i t i o no fb r o w - n i a nm o t i o ns e m i g r o u p w eo b t a i ns e v e r a lu s e f u lp r o p e r t i e sb ys t u d y i n gb r o w n i a n m o t i o ns e m i g r o u p ，w h i c hi sv e r yi m p o r t a n tt ot h es t u d yo ft h ef o l l o w i n gp a r t t h e l a s tp a r ti sa b o u ti n t e g r a t i o nb yp a r t sf o r m u l a w ec o n c l u d ea ni n t e r n a lb yp a r t s f o r m u l ao nt h eb a s i so ft h es e c o n dp a r t k e y w o r d s ：b r o w n i a nm o t i o n ，s e m i g r o u p ，i n t e g r a t i o nb yp a r t sf o r m u l a i i i 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行 研究所取得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做 出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到 本声明的法律后果由本人承担 学位论文作者签名：肷缘明吖年加阳 j 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权属湖南师范大学，同意学校保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和 借阅本人授权湖南师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编人有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学 位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密 ( 请在以上相应方框内打“ ) 篡嬲 刷醛轹伺彳励 徊中 月 月 多厂kv 侔件 纱 口 期 期 日 日 布朗运动、i ，群与一个分部积分公式 1 预备知识 1 1 布朗运动 1 布朗运动：定义 英国生物学家b r o w n 在1 8 2 7 年观察到花粉微粒在液面上作“无规则运动 而提出“布朗运动”。尔后，e i n s t e i n 首次提出了布朗运动的数学模型，该 模型给出了布朗运动的概率分布；w i e n e r ，l 6 v y 等进一步研究了布朗运动 的深刻而奇特的轨道性质( w i e n e r 在布朗运动轨道空间上定义测度与积 分的研究产生了w i e n e r 空间这个概念) 。对布朗运动及其泛函( 例如关于 布朗运动的随机积分) 的深入研究成了现代概率论( 例如随机分析) 的重 要基础。注意( i ) 诸多重要的随机过程可看作布朗运动的泛函或推广，( i i ) 自然科学、工程技术、金融与经济等中的基本“随机现象 均与布朗运动 有关，( 税i ) 布朗运动是概率论与其它数学分支相联系的重要纽带。因此布 朗运动是最重要、最基本的随机过程之一。 定义1 1 1 实值随机过程b = b t ( w ) ，t r + ) 称为布朗运动，若它满足 ( i ) b t ；一风对彼此不交的区间( 5 ；，如】是相互独立的； ( i i ) b t b s 服从正态分布n ( o ，t s ) ( s ) ； ( i i i ) 岛( ) 关于t r + 连续。 等价地，设b o = 0 ，则b = b 。( u ) ，t 瓞+ ) 是布朗运动当且仅当它是g a u s s 系且 e 【b t 】= 0 ，e b t b 】= ta8 ，v t ，8 0 硕士学位论文 高维布朗运动的定义如下： 定义1 1 2 称b = b ，r + ) 为d 维布朗运动( i d 之为b m d ) ，若 ( i ) b t = ( 研，剧) r d ， ( i i ) 【研，t r + ) ， 霹，t r + 是d 个独立的1 维布朗运动。 等价地，b = b t ，r + ) 为b m d 当且仅当 ( i ) b 。一玩；) 对彼此不交的区间( s ；，t t 】是相互独立的； ( i i ) b t 一晚服从正态分布n ( o ，( t s ) i ) ( 8 ) ； ( 捌) 鼠关于t r + 连续。 其中i 为d 阶单位矩阵。此外，若8 0 = 0 ，则b = b ，t r + ) 为b m d 当 且仅当它是g a u s s 系且 e 鼠】_ 0 ，e 霹b e _ ( as ) i ，v t ，s 0 其中醒为鼠的转置。 命题1 1 3 若8 0 = 0 ，b = b t ，r + ) 为b m d ，则如下的随机过程均为0 初值的b m d ： 8 t + r - 研，r + ) ( v 丁 0 ) ， 。) ， o ) 命题1 1 4 设x = x t ，t r + ) 是b m l 令矗是与仃( 溉，让o ) 独立的盯 代数，五全磊uo ( x u ，u ) ，则如下随机过程是五一鞅： 懈，腿+ ) ， 霹肽+ ) ， e 埘一脚，r + ) ，p 讲犯r + ) ； 2 布朗运动半群与一个分部积分公式 其中i = ，j 。此外，一连续局部鞅 m t ，t r + ) 是b m l 当且仅当 聊一t ，t r + ) 是局部鞅。 2 布朗运动：马氏- i 生、转移函数与半群 布朗运动是时齐的独立增量过程，从而是时齐的强马氏过程。b m d 的转 移函数，) ( t ；z ，a ) 具有如下的表达式： p ( ；z ，a ) ：f ( 2 7 r ) 一g e 一止乒咖，t o ，z 瓜d ， 其中 p ( ；z ，可) ：( 2 7 r ) 一g e 一峥， 0 ，z ，可毫d ， 是d 维布朗运动的转移密度函数( d 维布朗热核) 。容易验证 o p ( 矿t ；x , y ) = 去。尸( ；z ，y ) = 互1 p ( ；z ，可) ，t o ，z ，秒r d 其中趣与锄分别表示l a p l a c e 算子：d 劈作用于变量z 与y 。 令b ( r d ) 表示r d 上有界可测函数全体，瓯( 础) 与q ( r d ) 分别表示 趔上有界一致连续函数全体与有界连续函数全体。用f i 1 i 表示b ( r d ) 上 的一致范数。 现在来考查b m d 的半群 r ，t r + ) ，其定义如下： p t f ( x ) = 尸( ；z ，y ) f ( y ) d y ，t 0 ，z 酞d ，f b ( 酞d ) r d 这里视只为从b ( 瓞d ) 到b ( 则) 的映射， r ，t r + ) 的半群性是指 r 只，= r + 。f ，v f b ( r d ) ，v t ，s 0 显然 r ，t r + ) 是强f e l l e r 的，即 r j r g ( r d ) ，v f b ( 低d ) ，v t o ； 3 实际上，只，是光滑函数。其次，( 只，t 爬+ ，在g ( r d ) 上是弱f e l l e r 的， 即 r ，瓯( r d ) ，拦器p r f ( x ) = ，p ) ，v f c i ( r d ) ，v t 0 ，v x r d 注意，存在f g ( r d ) 使 l i m s u pj j 只，一州 0 r - - o + 再次，容易验证 r ，t r + ) 在倪僻d ) 上是f e l l e r 的，即 只厂瓯( r d ) ，拦恐l l b ，一f l l = 0 ，v f g ( r d ) ，v t o ； 换言之， 最，对) 是b a n a c h 空间( 瓯( 彤) ，”s t ) 上的强连续算子半群。 令 诺 d ) = 则 。骧f f 掣_ 1 州_ 0 v ，暖( r d ) 注意嚷( 掣) 在( q d ) ，t l i t ) 中稠密。可见 是布朗半群在( 瓯( 酞d ) ，1 ) 中的强无穷小生成元( 生成算子) 。 1 2 马氏过程与半群 1 马氏过程对应的半群 设是p o l i s h 空间，是夕的b o r e l 口代数。令 b ( 夕) = ( 夕，) 上的有界可测函数全体 、 j 用”i i 表示b ( 夕) 上的一致范数： f i f l f = s u pi f ( x ) l ，f b ( 夕) 4 布朗运动半群与一个分部积分公式 定义1 2 1 ( 马氏过程的半群) 设= & ，t r + ) 是以( ，) 为状态空 间，以正则条件概率族 p ( t ，z ，a ) ；t r + ，z 夕，a ) 为转移函数族的右 连左极时齐马氏过程。令 ， r ，( z ) 全r ，( 】_ s ( y ) p ( t ，z ，咖) ，w b ( 夕) ，v t 0 ，z 夕 j9 视诸r 为从b ( j ) 到b ( y ) 的映射。由马氏性，知 r 只，= p t + 8 ，v ，b ( 尹) ，v t ，s 0 可见( b ) 0 是b ( y ) 上的半群，称之为前述马氏过程的半群。 命题1 2 2 半群( 只) 幽具有以下性质： ( 1 ) p t 是线性算子； ( 2 ) p t 是压缩算子：i i p , i i 1 ； ( 3 ) p t 是正算子：任给非负，b ( 夕) ，p d o ； ( 4 ) p , 1 = l ； ( 5 ) p o = ( 恒同算子) ； ( 6 ) 只+ 。= p t0 只= 只0p t ，t ，8 0 。 令 风( 夕) = o 的无穷小生成元，简称生成元；称 v ( a ) 是算子4 的定义域。显然， d ( 4 ) 玩( 夕) 命题1 2 3 有如下的性质成立： 1 ) 刃( 4 ) 在( 玩( 夕) ，”i | ) 中稠；且v f 口( 4 ) ，4 ，岛( 夕) ； 2 ) r 口( 4 ) 口( 4 ) ； 3 ) v f 口( 4 ) ，只，对t 可微，且 _ c l p f t f ：p t a f ：a p t f ，0 班 。一一 由此命题立得 推论1 2 4 设c ( ) 岛( 夕) 。则 l ( j ) nd ( 4 ) 在( c ( ) ，”| i ) 中稠。 6 布朗运动、i ，群与一个分部积分公式 给定一生成元，能否确定对应的半群? 对这个问题，首先有下面的 命题1 2 5 设岛是( b ( ) ，i i i i ) 的一闭线性子空间，4 是( 玩，”1 1 ) 上的 一有界线性算子。令 咖e 吩薹学川，呱蛇。 则( r ) 脚是岛上以a 为无穷小生成元的唯一算子半群。 注意在众多应用问题中，往往是先知道生成元4 在某函数类上的取 值；而希望由此决定半群( b ) 脚与过程的转移函数族 p ( ；z ，咖) ) 。对d 维布朗运动，在它的早期研究中，物理学家们推导出：对具有有界一致连 续二阶偏导数的函数，其生成元4 满足4 厂= ，。由此可以推导出 p ( ；z ，咖) ：( 2 7 r 圹ge 一呼咖 但对于一般的马氏过程，问题并不简单。从理论上解决前述问题，需要用 h i l l e - y o s i d a 定理。 设彤是一b a n a c h 空间，4 是石上一线性稠定闭算子。设p ( 4 ) 是算 子a 的预解集；对任意的a p ( 4 ) ，令 兄( 4 ) = ( a a ) ， r a ( 4 ) 被称为算子4 的一个预解算子。于是h i l l e - y o s i d a 定理可以陈述如 下： 7 硕士学位论文 定理1 2 6 4 是z 上一压缩半群( 最) 伽的生成元当且仅当 ( i ) ( 0 ，o o ) p ( 4 ) ， ( i i ) i i r a ( a ) i l ，姒 0 此外，对应4 _ ( r ) 脚是一一的。 1 3 广义函数 对多重指标q = ( 0 1 1 ，n 。，q 竹) ，其中口。，o l z ，q n 0 是整数，令 l & l = 啦，q ! = o e l ! o l 21 a 钍! ， z a = x q l l z 呈2 z 嚣”( z = ( x l ，z 2 ，z n ) r ”) ， 沪= 贯1 露2 簖”； 对多重指标q ( 即岛，j = 1 ，2 ，礼) ，令 = 志= 设q 黔是一开区域；u c ( 回，其中豆是q 的闭包，c ( 固表示瓦上 的连续函数全体。称 f = z qiu ( x ) o ) 的闭包( 关于q ) 为“关于s 2 的支集，以s u p p u 记之；即钆的支集是在 此集外“恒为0 的相对于q 的最小闭集。对整数k 0 ( 可以是。o ) ，用 c 是( 回表示所有在q 内k 次连续可微的豆上的连续函数；用嘴( q ) 表示 支集在q 内紧的c 南( 豆) 函数全体。则 ( 孑( 2 ) c c 嘴+ 1 ( q ) c 嘴( q ) c c 磅( 1 2 ) 8 布朗运动半群与一个分部积分公式 1 广义函数：定义与基本性质 定义1 3 1 在曙( q ) 上定义如下的收敛性：序列 ) 收敛于伽，若( i ) 存在一相对紧集kcq ，使s u p p ( q o j ) k ( 歹= 0 ，1 ，2 ，) ；( z z ) 任给指标 o t = ( 0 1 ，a 2 ，o l n ) ， m 。a x i j ( x ) 一沪咖( z ) i 一0 d _ 0 0 ) 称带上述收敛性的线性空间昭( q ) 为基本空间刃( q ) 定义1 3 2 称d ( q ) 上的诸线性连续泛函f ：口( q ) _ r 1 为广义函数，记 广义函数全体为( q ) 。其中，满足 ( i ) 线性：v q o l ，妒2 d ( q ) ，v 久l ，a 2 r 1 ， ( 厂，a 1 妒l + a 2 妒2 ) = a 1 ( ，妒1 ) + a 2 ( f ，妒2 ) ， ( i i ) 对任意收敛于某伽矽( q ) 的序列 伤) cd ( q ) ， ( ，) _ f ，垆o ) 0 一0 0 ) 例1 3 3 任给q 上的局部可积函数，( z ) 。则，( z ) 对应如下的广义函数 ， ( 妒) = ，( z ) 妒( z ) 如，v q o 口( q ) 2 广义函数：收敛性 在口7 ( q ) 上定义加法与数乘：v 妒口( q ) ，v a i ，a 2 r 1 ， ( a l + a 2 尼，妒) = a 1 ( ，q o ) + a 2 ( 止，妒) 则d 7 ( q ) 是一线性空间。 9 硕士学位论文 定义1 3 4 序列 乃) c 刃7 ( q ) 收敛到ocd 7 ( q ) 是指 ( 乃，妒) _ ( 矗，妒) ，v 妒d ( q ) 命题1 3 5 设 办( z ) b 是q 上的一局部一致有界的局部可积函数列。若 乃( z ) 一矗( z ) ，a e 一z q ，( j - o 。) ； 则 办b 作为广义函数列收敛到广义函数矗 3 s c h w a r t z 分布 设k 是q 中的紧集，以c ( q ) 表示q 上的光滑函数全体。令 d k = 妒c o o ( q ) l8 u p p ( _ p ) 冬k ) ， 赋予其如下的收敛性：一是指对任意的多重指标q ， m z t a 儿x 1 0 。( 一伽) ( z ) i _ 0 o _ o o ) ； 须注意此收敛性不能用一个模、但能用可数多个模来刻划。 定义1 3 6 设疋是一线性空间。称它为可数模空间，若在它上面有可数 个半模 | j f i m ) 产，满足 ( i ) l | z + 可i | 。| l z l l m + j l y l l m ；( i i ) i j a z f | m = l a i i i z i i m ； ( i 撕) l i z l l m 0 ，l i o l l m = o ； ( i v ) l i x l l m = 0 ( m = 1 ，2 ，) 仁号z = 0 注1 3 7 在上述定义中，可数个半模可以换成满足下列条件的可数个半 模： i i x l l ：l i z l | ；l f z l l z ，v x 疋 1 0 布朗运动j 卜群与一个分部积分公式 事实上，令i l x l l = m a x i l x l ，i l x l l 。，恻i m ) 即可。 定义1 3 8 用夕( 船) 表示集合 妒c 。( 叫i 裟i ( 1 仆1 2 ) 鲁沪出) i d 2 ，令 2 1 引言 办( z ) = ( 1 + 2 ) ，比r d 若函数，关于彬上的测度p 的积分存在，则记 ( p ，f ) = u ( f ) = f ( x ) u ( d x ) j r d 令m ，( 础) 是掣上满足( p ，c r ) + 的r a d o n 测度p 全体。赋予m ，( 掣) 如下的丁r 拓扑： 肛。弓p 当且仅当l i m ( 肛n ，f ) = ( p ，) ，v f c c ( 匙d ) u ，) ， 札 其中g ( 酞d ) 是刺上具有紧支撑的连续函数全体。 1 3 硕士学位论文 令圣：= 西( 础) 为则上满足如下条件的连续函数厂全体：当z _ 。 时，鹅的极限存在且有限。赋予西如下的范数： i i f l l 垂= f i f l 多，f i ，西， 其中”0 为一致范数。则( 西，”为一可分b a n a c h 空间。令 垂：= c ( o ，1 】，西) 表示所有圣值的连续轨道妒= ( 仇) 0 o 为具有生成算 子考的d 维布朗运动半群。则 2 ，令 西u = ，g ( 彬) fj 怒 ，( z ) ( 1 + h 2 ) “) 存在且有限) ， l i f l l 远, 。= s u pi ，( z ) ( 1 + h 2 ) u i ，v f 西u 冒r d 由c a u c h y - s c h w a r t z 不等式和 舅) 舢是( 西u ，”慨) 上的有界连续算子半群 ( 【3 2 】p 3 2 5 ) ，得 耳z ) 孝9 2z + z ) 筇2x ) d z ，r d ( 厶眦) 籼) 壹( 厶眦) 9 4 c d z ) 5 = 一c 1 ( ) ( l d 眦) 9 4 ( m 如) i c 1 ( 州舅 9 4 l l 蚧) 壹 o 是( 西，”) 上强连续半群，知 i l 兰学一善s 9 l l 币= l l 去z 器 詈野9 一善- 譬9 ) 函t l l 巾 s 去z l l 咒 詈研夕 一丢s f 9 l | 西d 让一。( 当九j ，。时) 因此舅9 d o r a ( a ) 。 口 令面是如下的g 魄( r d ) 全体： l 掣窑存在且有限，石g c g x ) 舀s ( 倒) 一早，r 赋予面如下范数”： 怕峙= 雕面 性质2 2 2 对任恿的g 西利t ( 0 ，o 。) ，衅9 虫 证明显然，舅9 a ( 剥) 容易验证 l 罂智存在且有限。 因此对任意的z r d ， 裂= 上。眦) 帮阮 上。帮眦 - 1 1 9 i 曛上。譬篆字碍( z ) 也i i 夕l l 驯舅睇】l l 蝣 o 。； 髻静) 。倒关于概率彬( z ) 出一致可积， i 段涨= 上。耽) i 帮拈i 躲貉 1 9 硕士学位论文 存在且有限。口 性质2 2 3 给定任意收敛于。的数列 k ) n c 【o ，1 】以及在( 丕，”) 中 收敛于某g 丕的任意序列 鲰) n lc 蚕。则对任意的0 n b o o ， l i m ( s u 0 6 】p s g n 一驯垂2 限l i m 。黼慨s o k 鲰一驯f 垂瓠 证明由s u p j i 舅协川垂 o 。，知 t e1 0 ，b + 1 1 因为 所 s u pj | 鄙鲰一影g l l 圣s u pj l t e ( 0 ，b + l 】f ( o ，b + l ji i | | 鲰一夕| i 蚕s u p t ( o ，1 j 舅【办川圣一0 ￥砒 蚝s u pi i , + k 鲰一髫圳圣。s ( 。u ，扣十p ，】| i $ 鲰一舅夕j l 圣+ 。s u f n 6 j p 1 1 跟h n g - - 霹圳圣， 以l i ms u p ”t e a ，6 】 坼l i l 。g s g l l 垂= 0 。对任意的t a ，6 】，由性质2 2 1 2 2 2 ，得 舅9 = s 小纠d a m ( a ) ， 因此当礼一时， 莲罱i i 啪一洲i 跟啪一譬9 = o k 一。昏刮d s 0 l 跟h 夕一譬9 = 跟i 导咒夕1 二j 一戮s u p 幡口 u 。s ，拉u p ，一口，1 1 5 ： 丢s ：9 i i 巾) ，t n 。 侈训卜 口 布朗运动半群与一个分部积分公式 2 3 分部积分公式 给定任意的u 雄和任意的满足如下条件的( m ) 。吲圣： 则有如下的 a 仇西，g t d o r a ( a ) ，t 0 ，1 】， ( a 9 t ) 。t 垂【。，t 】，( 三曰t ) 。 。 ，西f 0 ，1 足理2 3 1 ( 分鄙积分公式) ( w 1 ，9 1 ) 一( 蛐，卯) = z 1 + 0 1 班+ 肛国枷t = z 1 ( 也，矶) 出+ 1 ( 蚍，a 矶) 出 证明注意对任意的，口= c 字( 础) 和任意的0 o p 。i l g i i 西 ，熙错= 端， z r d ： 耐们c z ，= ( 譬) 酬z ，+ 出， 鲁( 譬) + 警( 譬) + 4 砉烈譬) 洲，地向脚d ， s 似u p i ia 9 0 1 ) l l 圣 ，熙帮= 篙，比r d 因此由控制收敛定理，对任意的0 a d c ) = 6 出+ 6 疵 ( 以，g ) d t 对一般的9 d o r a ( a ) ，我们可以用 s ；【9 】) 二。按下述意义逼近夕： l i m n + 。 = o 注意诸咒m d o m ( a ) n c 害。( 则) 满 则对任意的0 a b 1 ， 足一阶导数魏 s ；【9 】) 西( 性质2 2 1 ) 。 ( 夕) 一( ，9 ) = n l - - i m 。 0 0 一 d 布朗运动j t - 群与一个分部积分公式 为证明定理，我们需如下的性质 对任意的( 五) o 。1 西，( 蚍，五) 关于t 【o ，l 】是连续的。 事实上，对任意的0 s ，t 1 ，当t _ s 时， ( 恍， ) 一( ，五) i i ( u t ， ) 一( ，厶) i + iw t ，厶) 一( u 。，厶) f + _ 0 对定理中的( 仇) o t 1 ，令 则对任意的i n 一1 ， ( u c ，五一厶) i ( i 嚣- 帆叫1 0 t t ：三，i ：0 ，1 ，几； n ( u “1 ，g t g t 州) 一( ( m t t ，g t )i u 件1 ，冲1 7 一i t ，) = ( u 如+ 。，g t 件。) 一( 蚍；，g t ；+ 。) + ( u 幻g t 件。一矶；) i h | 2 上；p d ( f f ) t 一墨0 3 t ) ( 0 3 t ，c 9 l g t 山 ) d t s u p ( ，办) u 【o ，1 】 鲰件。 出+ z 缸“ 咄，三a g t ；+ z ) 以+ = z 如“ 出+ z 如+ 1 班+ 么21r1(ct，c，etj。t)dt+-上。t1f1 对i n 一1求和，可得 ( 0 3 1 ，9 1 ) 一( 岫，9 0 ) s u p o 。s 1 i t - s l 班一 o t g t ) d t i j 仇刊1 d ( 以一暑+ w t ) 咖 。s u p s 。 l 互6 r 纨一丢吼l i 币) 1 ( 咄，拆) 出+ 一s i 丢 l 萎厂“+ l li = o ，t i l 曼厂如+ l ii = 0i ，t i ：= i 鼍- i - i 譬+ ( u ，o t g t ) 一( u 如，优9 s l 。：“) ) d t ( ；，1 9 t g t o , g s l 删。) ) d t i 蔷+ i 鼍 耳+ 蟹+ s u p _ 1 ( 蚍，o t g t ) 一( u 。，绣鳊) i ) + k s u p ；i l a , g , - a , g , l l , k 似川 _ 0 ( 当他_ o o 时) 因此定理成立。 2 4 | 钆) d t - i - | + 口 布朗运动、卜群与一个分部积分公式 结语 超布朗运动( s u p e rb r o w n i a nm o t i o n ，简写为s b m ) 是由e b d y n k i n 在上世纪8 0 年代末命名。诸多概率名家深刻地研究了此( 类) 过程( 【7 】， 1 8 】， 1 9 】，【s t ，【3 0 】) 。它是最基本的测度值分枝过程。 在本文中，我们主要研究布朗运动半群的一些性质和一个与布朗运 动及测度值路径有关的分部积分公式；前者对布朗运动本身是有意义的， 而后者对超布朗运动的轨道大偏差是非常有价值的( 超布朗运动的轨道 大偏差被诸多文献广泛地研究( 3 1 3 2 ，【2 0 - 2 2 ，【1 2 1 3 】) ) 。 参考文献 f 1 】b e b e r n e s ，j & b r i e h e r ，s f i n a lt i m eb l o w u pp r o f i l e sf o rs e m i l i n e a rp a r a b o l i c e q u a t i o n sv i ac e n t e rm a n i f o l dt h e o r y j s l a m3 m a t h a n a l 1 9 9 2 2 3 ：8 5 2 8 6 9 【2 】b e na r o u s ，g l e d o u x ，m s c h i l d e r sl a r g ed e v i a t i o np r i n c i p l ew i t h o u t t o p o l o g y j p i t m a nr e s e a r c hn o t e si nm a t h 1 9 9 3 ，s e r i e s 2 8 4 - 1 0 7 - 1 2 1 【3 】c e r r a i ，s r s c k n e r ，m l a r g ed e v i a t i o n sf o rs t o c h a s t i cr e a c t i o n - d i f f u s i o n s y s t e m sw i t hm u l t i p l i c a t i v en o i s ea n dn o n - l i p s c h i t zr e a c t i o nt e r m j a n n p r o b a b 2 0 0 4 ，3 2 ( 1 b ) ：1 1 0 0 - 1 1 3 9 【4 】4c h u n g ，k l z h a o ，z f r o mb r o u m i a nm o t i o nt os c h r s d i n g e r se q u a t i o n m s p r i n g e r 1 9 9 5 【5 】c r a m 4 r ，h s u ra nn o u v e a ut h o 爸m el i m i t ed el at h 6 0 r i ed ep r o b a b i l i t 6 s a c t u a l i t 6 ss c i e n t i f i q u e se ti n d u s t r i e l l e s j c o l l o q u ec o n s a c r dal at h d o r i ed ep r o b a b i l i t d s ，v 0 1 3 ，h e r m a n n ，p a r i s 1 9 3 8 ，7 3 6 ：5 - 2 3 【6 】d a w s o n ，d a f l e i s c h m a n n ，k g o r o s t i z a ，l g s t a b l eh y d r o d y n a m i c l i m i tf l u c t u a t i o n so fac r i t i c a lb r a n c h i n gp a r t i c l es y s t e mi nar a l l d o mm e d i u m j a n n p r o b a b 1 9 8 9 ，1