（理论物理专业论文）周期驱动的一维台球模型1dkbm的经典及量子扩散特性.pdf

a b s t r a c t w eh a v ec o n s t r u c t e dao n e - d i m e n s i o n a lm 凼e db i l l i a r d sm o d e l ( 1 d - k b m ) ， i n w h i c ha s p e c i a l k i n d o f s t o c h a s t i c w e b w a s f o u n d t h e e x i s t e n c eo fs t o c h a s t i c w e bl e a dp a r t i c l et of r e ed i f f u s ei np h a s es p a c e w en u m e r i c a l 坤c a l c u l a t e t h ed i f f u s ec o e f f i c i e n td = n l _ i r a 譬t h a tr e f l e c tt h ed i f f t m i o ns p e e di ns t o c h a s t i c w e b i t sd i f f u s ec h a x a c t e r j s t i cw d e t a i l e d l yd i s c u s s e di no u rp a p e r a f t e r t h a t jt h eq u a n t u m l o c a l i z a t i o nl e n g t hw a ss t u d i e df o rt ou n d e r s t a n d1 d k b m 日 q u a n t m nd i h 商o nc h a r a c t e r i s t i ca n dac r i t i c a lv a l u e f o r1 d - k b m t od i f f u s e i n g l o b a lp h a s es p a c el i k et h ec l a s s i c a lc a s ew a so b t a i n e d w h i c hw a sp a r t l y v e r i f i e db yf u r t h e rn u m e r l c a lc o p u t a t i o n s b yc o n t r a s t i n gw i t ht h ek i c k e d r o t o rm o d d ( m 讣j ) 1w eh a v ek n o w nt h ed i f f e r e n tt i m ee v o l u t i o nc h a r a c t e r i s t i c f o rd i f f e r e n tp a r to f t h e p h a s es p a c ea n dt h ev a r i a n tq u a n t u m l o c a l i z a t i o ni o n g t h w a sf o u n d 摘要 在我们所构造出的一维台球模型中，我们发现了其相空间中存在着随机 ，用结构f 随机网的存在导致了粒子在相空间中的自由扩散，我们数值计算了 其扩散系敷d = l i r a 等，通过与受击转子的对比、 我们详细讨论了该模型的 经典扩散性质随参敷变化的关系在这之后，为了理解该模型的量子扩散特 性，我们讨论了维台球模型的量子局域化长度，计算出了其能够在全相空 间中作半经典扩散的临界参数，并通过数值计算部分验证了的存在通 过与经典相空间的对比，我仃1 进一步理解了量子一维台球模型在相空间中不 同区域上的不同的时问演化特性，得到了与之对应的不同的量子局域化长度 2 前言 考虑般的近可积自治哈密顿系统th = 1 1 0 ，) + e 凰( 和。，翔，) ，这里 的e 是傲扰参数，凰为系统的哈密颁景中未扰动部分的可积哈密顿量对于其动 力学的长期稳定性行为，由柯尔莫哥洛夫、阿诺德租莫塞提出的k a m 定理首次了 定量而严格的回答，但是，k a m 定理成立的条件是其所研究的系统是非退化系 统，即- 圳器即 对于退化系统还有现在 们越来越关心的不连续保守系统，k a m 定理不再适用 对退化系统研究的熏要结果就是发现了随机网络结构以及随机网上的阿诺德扩 散，这是最早研究的随机网结构不连续系统是非线性系统中另类重要系统， 在近来的物理学发展中，越来越多的人开始注意碰撞、不连续势场等强非线性系 统，对于这类不连续物理系统的讨论已经成为非线性物理学的热点区域 本文所讨论的模型是个受约束的哈密顿系统，对该系统的研究发现了随机 网的存在，这引起了我们极大的兴趣对于我们所构造的系统，正是由于相空间 中的不连续导致了随机网的产生，这与传统随机网的产生机理以及动力学特性完 全不同，我们现阶段的研究工作主要分为两个部分，即分别在经典与量子情形下 研究随机网对系统扩散的影响以及系统的扩散特性 第一章模型 在哈密顿系统中，周期受击转子( k r m ) 是一个在哈密顿系统混沌理论中较早 被研究的模型，其哈密顿函数为t 日= 刍十竽一( 惦( 印 ( 1 】) 这里，p 是转子的动量，m 是转动惯量，k 是周期势场的作用强度，曲( t ) 是周期 为t 的6 函数序列引入无量纲量j = 器，并采用频闪取样轨迹，可以写出k r m 的递推公式： 嚣三1 + k 钿s i “如 ( 1 2 ) 该映射方程是个单参数的非线性扭转映射对k r m 的动力学行为过去已经有 很多人作过细致地研究【1 j 【2 【3 】当k = o 时，系统是可积的，相空间中粒子的运动 轨迹为，= c o n s t 的横贯相空问的直线；当o 凰，0 9 7 时，横贯相空间的最后一个k a m 环面破裂，转 子的运动进入整体混沌( 如图( 1 1 ) _ b ) 圈卜l 刚的相空间结构其中，( a ) ：k = 0 8 jc b ) ：k ：1 2 4 当k 凰时，洲进入了整体混沌，可以假设相空间中的规则岛和康托环 面对粒子的扩散不再有影响，粒子的扩散是完全自由的在转子的全位相空间中 ( 口c ( o ，2 “) ) ，粒子分布的概率是均匀的由式( 1 2 ) 很容易得t m ) = 厶一o = k s i n ( o n ) ( 1 3 ) n 蕾0 利用无规相位假设，由上式可以得到- 瓣= ( k s i a ( o n ) ) 2 r i = 0 = 譬 ( 1 4 ) 当k 极大时，这个结果与数值模拟符合的极好，但是当k 不是很大时，这个结果 与数值模拟相差较大这主要是当k 刚大于临界值甄时。相空间中还残存着许 多的规则岛，这些规则岛能够粘滞在其附近运动的粒子，这时利用无规相位假设 的误差就会很大如果对规则岛的吸附作用加以考虑。对t 面的结果进行修正， 可以得f 4 ： 面瓣= 编 ( 去) l c a ( 一警) i ( 1 5 ) 修正后的这个结果与数值模拟的结果符合得极好( 图( 1 2 ) ) 1 0 1 0 0 圈i - 2k r m 的扩敲遗率与参鼓k 的函数戋幕点垃为数值棋攒曲投变缦为 幢正后的拟台曲拽d = k 2 【1 ，2 - ( 狮聊2 c o s 忙5 】 我们的一维台球模型( 1 d k b m ) 是通过对k r m 进行一定的变形后得到的，对 于t m ，如果在转子的目= 0 ，a 处分别放置一块刚性挡板，致使转子不能通过挡板 而进入到另外一半轨道上，则这个变形后系统的哈密顿函数写为t 日= 翕十 c 徊一。) 曲( t ) 十w ( 吼”徊) = 0 十。： 三 0 。 7 2 r 。 ( 1 删 这里，o 是势场方向与口= 0 轴的夹角，式中其它各参数及动力学量的意义与式 ( 1 1 ) 相同该模型描述了一个被置于两个挡板之问的一维运动粒子，同时受到周 期为t 的脉冲势场v ( o ) = k a ，( o o ) 西( t ) 的作用，这就是我们构造出的一维台球 模型( 1 d - k b m ) 在我们模型中所加的势场为周期d 势场，但由研究周期驱动奠尔 斯振子的经验f 5 】我们相信，该模型的相空间结构与加其它形式周期驱动势场的 1 d - i ( b m 模型的相空间结构类似 6 第二章i d k b m 的经典扩散特性 写为t 为了讨论的方便，我们对这个模型作了相应的对称处理，可将哈密顿函数改 日= 妻：嚣矧凇 删0 s 0 曲 ” ， 若对 0 2 x 的情形作反射变换( 口_ + 2 1 r 一目，p + 刊 写前的等价对于改写后的模型，我们可以理解为， 被置于电势场v ( o ) 中t rv ( o ) = k ( 口一s ( 口) q ) 曲( t ) i 即) = ! ，：；：强 则改写后的哈密顿函数与改 个自由带电的转动粒子， ( 2 , 2 ) 由改写后的哈密顿函数可以看出，当o = 0 时，该模型退化为k r m 由哈密顿函数( 2 1 ) 可以写出相应的正则运动方程t 空= 七扫缸( 扫一s ( o ) a ) + c ( 扫一s ( 鳓o ) 筹o 也( t )门m l0 = 品 令，= 留，耳= 器，在t 周期内对方程进行积分，可以得出模型的递推运动方程 为t ，+ l2 ，f 血徊一s ( 口) n ) ， 目o ，“ ( 2 4 ) l “+ 1 = 口n 十厶+ l 、n i d - k b m 与k r m 在动力学上的不同在于1 d 1 嬗m 是个不连续的哈密顿系 统，而t m 是一个连续哈密顿系统当0 k 垃= 0 9 7 时，k r m 的相空间被 k r m 环面分隔成互不连通的共振区，而在i d k b m 的相空间中，k a m 环面由于 不连续而破裂，继而生成随讥网结构。传统的随机网的生成是由个可积系统相 空间中的稳定流形与不稳定流形的分界线构成遍及相空问的网络，而对系统施加 的任意小扰动促使分界线破裂成随机动力学隧道，而1 d - k b m 相空间中随机网的 生成是由于不连续造成的，这是不同于传统随机网的 i n k b m 的相空间结构是不连续的，直线日= 和0 = o 为1 d - k b m 相空间中的 不连续边界，在边界线两边是两块不同的映射区，映射方程在不连续边界处发生 了突变，系统在边界两边有着不同的映射关系图( 2 - 1 ) 是将一 ；g 始点放置于( ”，o ) 附近，选取一组( k ，o ) 参数进行多次迭代所得到的，图( 2 1 ) 显示出了典型的随机 网结构映射在分区边界上是不连续的，由递推方程可以很容易得到，映射函数 在不连续边界处作了= 1 2 ks i n ( o ) 的相对平移，这里，可以用作为表征系统不 连续程度的量度对于i n k b m 来说，映射的不连续导致了k a m 环面的破裂，继 而! p _ n t 了随机网结构，也就是说，不连续是导致随机网产生的根本原因单就相 空间中不连续边界两边的任何一半相空间来讲，模型描述的只是个攮击转子， 它在相空间中有一阶稳定不动点( 目= w + s ( o ) a ，j = 2 n z ) ：当0 o ”时，一阶稳 定不动点处于另边相空间中，稳定不动点由于另边相空间的屏蔽作用而实际 上不存在了i 而当一“ n 0 时，一阶稳定不动点不能被屏蔽掉由于这一点的 差别，随机网的结构特性在两种情况下是不同的，我们将分别加以讨论，我们先 就0 o 的情况进行讨论 鬻 t o e2 e 圈2 一l1 d k b m 的相空问结掏其中，r = 04 k = 02 当o 1 0 以后基本重合特别当k 1 ，d = 军 口n 10f f1 nj o n 图2 - 31d - k 叫的扩散速率与参数k = k t 的关系其 中点线为数值模拟曲线点划线为利用随机相位 假设得到的扩散速率d = k 22 实线为参数k l ，其扩散特性与k r m 相同，可以采用 无规相位假设很容易得到， d = 警 数值模拟也验证了这个结论，以后我们将不再就这种情形加以讨论在k l 的 参数区段内，我们计算了这个分段线性模型的扩散系数d ，通过计算我们发现其扩 散系数d 的形式与式( 2 7 ) 相似，对照1 d k b m 的计算，我们对数值结果拟合得 蓦斟 岛鲻“删嵋枷以以昧 归徊 徊 一一 ，l艮 机 厶 靠 ( 如图( 2 8 ) ) d = d o ( n ) j f ，( 。) f 2 1 0 1 这里d 。= 0 3 8 0 2 ，由图( 2 - 8 ) b 可以看出，f ( a ) 与式( 2 7 ) 中的函数，( n ) 有类似的 形式通过与1 d - k b m 的对比，可以得出t d o a 。( 2 z 1 ) 这里的常数c 与具体的映射关系楣关，腻显示出了扩散的统计速率与相空间不 连续程度的一种定量关系 d 图2 - 7 由1 d - k b m 变形后的分段线性映射的相空间 结构其中c t = 02k = 02 ： ( a ) ! “。”1 忌) 。1 二一。” 图2 - 8 根据1d - k b m 构造出的分段线性映射的扩散速率与参数在区间r 0 一2 内的关系 a = d f 值j 的函数曲线图中的点线为数值模拟结果实线为拟台曲线b - f ，d 1 的函数曲线 1 3 现在我们来看一看一“ o 0 的情况 与0 d ”的情形类似，当k 1 时，i d k b m 相空间中的扩散基本与k i q m 一致，我们不再就这种情况进行讨论当k 1 时，我们的计算说明( 如图( 2 9 ) ) ，在 一“ n 0 区间内，i d - k b m 的扩散系数依然和式( 2 7 ) 有着基本一样的形式，由数 值结果可以将d o 近似写为d a = 0 0 3 6 s l n 2 ( o ) “a 。，而函数，( n ) l 扮形式也与前一种 情形相似从结果可以看出，这种情况下的随机网的扩散性质与0 o ”情况下 类似，但是，扩散的速率要远比前种情况小，也就是说，在参数区间一” 1 的情形，利用 r a n d ( x mw a l k 假设1 1 1 ，可以简单推导得出d = 譬，这与k r m 是一致的通过这章 对1 d k b m 经典扩散特性的研究，我们对这类由不连续导致的随- 阢网扩散有了一 个初步的认识，这类系统的扩散系数可以般地写为d = d 。k ，k 为周期驱动力 的强度在下一章，我们将就该模型的量子扩散的局域化长度的作更进一步地研 究 1 6 第三章1 d k b m 的量子局域化长度 在第一章中，我们就一维台球模型( i d - k b m ) 的经典扩散性质作了详细的讨 论对于经典的1 d - k b m ，经过对称延拓后得到的动力学映射方程是一个二维扭转 映射 争+ ，三i 目+ k rs l n ( # 一s ( 目) n ) ( 日。，。qs 2 ) ( 3 1 ) 1 目n + l = 目n 十厶+ 1 、”7 ”。“。、 其中l 、f lo 日 l ，系统的特性与撞击转子( 州) 相似， d = 譬在这一章中，我们将就i i ) - k i ：i m 的量子特性作更进一步地讨论 一维台球模型的哈密顿函数表述为； ( 3 2 ) 扩散系数 日= 嘉+ t e o s ( 。叫删州既邢) = 罩。：差：。 ( 3 s ) p 是角动量，m 是转动惯量，为计算及表述方便，我们令m = l ，k 是踢打的作用 强度，日是转动角度。o 是作用场的方向与目= 0 轴的夹角，曲( 站是一个周期为 t 的6 函数序列该模型用以描述个被置于两个弹性挡板之间并同时被施以一 个周期踢打力场的带电粒子的动力学特性 对于周期驱动系统，c a s a t i ，c h i r i h o v ，i r z r a i l e v 和f o r d z 3 等首先作了详细地研究， 对于这类系统的量子化描述可以在每一个踢打周期内采用幺正时间演化算符加以 描述对于一维台球模型可以表述为t u ( ? ) ：e i t p 2 2 e n c ( 目一a )f 3 4 1 1 7 为了表述和计算的方便，普朗克常数 已被取为单位i 这样，量子一维台球模型 定义为， 妒。+ l ( 日) = u ( q 帆( d )( 3 5 ) 利用f l o q l 】e t 理论，可以利用准能量本征函数“和准能量e 。对维台球模型作完 全量的量子描述。准能量本征函数和准能量定义为t 盯( 幻如= e = e t q j n( 3 6 j 在能量本征态空间，准能量丞数可以用一组截断的能量本征函数作近似描述t 。= s i ( 棚) t i = l 相应矿( ? ) 可以表示为， ，： 。= ：e 一氓7 s i n ( 棚) 渤( 棚) e “埘“町幽 ) 一 五 对于经典的一维台球模型来说，其动力学特性只决定于参数k = 灯，而其量子动 力学特性分别由参数t 和k 决定计算表明，当参数k 较小时，大部分矩降元。 皆等于0 ，那些不是0 的矩阵元都分布于延对角线。的个狭长带子中，带子的 宽度近似为缈12 k ，( 3 7 ) 的半经典极限为k t = o m d t ， _ o c ，t _ 0 为了能在相空间中研究模型的动力学特性并与经典的扩散相对照，我们可以 将波函数构造成粗粒化h 、m i m i 分布，任意波函数妒的h 砸m i 分布定义为【1 1 ： p ( s o ，p 0 ) 2 云i 1 2 b 是相干态渡函数，h 皿血分布可以理解为经典相空间中的几率密度分布，当 然这只是种对应，而并不就是真正的几率密度分布在能莺本征空间中，h m 砌 分布可以很容易表述为， 摹 p ( a o ，伽) = ( 券) v 2 l 咖( 删e 吲“咿“幽l ( 3 8 ) 7 “ o 这里，；如( 棚) 无踢打时的能量本征函数， i c 。 m = l ，2 ，1 是波函数 在能量本征空间中的矢量表述 量子混沌系统的扩散普遍存在着量子抑制现象，抑制程度可以用量子局域化 长度加以表征过去对瑚的讨论发现【1 4 ，混 屯系统的量子局域化长度与其相应 1 8 的经典扩散系数之间存在着定的关系，对于i d - k b m ，是否也可以找出量子局域 化长度与经典扩散系数d 之间的关系? 我们这章的工作就是要回答这个问题 由于我们的模型是从k r m 变形后得到的，它在动力学上与k r m 有着很多的 相似的特性，我们先来回顾一下k r m 的量子特性 肝础其晗密嚆器篓杀十竽。唧) ( 3 。) h ( t ) = 一j i 丽百萨十丁。伽抛( ” 爿 引进无量纲参数o = 器和无量纲置j = 矗p r = 亭t ，令矿( 为第k 次蹰打前的状 态，定义k r m 的时间演化算符霉锄仰) ( 3 1 0 ) 讪”1 ( 们= u 妒。( 8 ) u ) 这里 o = 酬；象) 酬一 芸c 删 ( 3 1 1 ) 在角动量表象下 妒( 鳓：万1 露。【p t 枷 v z 丌= 妒m ( 口) 。= u m 。妒( o ) 。 n = 赢1 唧( 一i 枷) u 唧( 湖瑚 f r1 ：( 一t ) 一n j m 一。( 菩) e 砷( 一t 呼) 这里， 是n 阶贝塞尔函数，k r m 的行为由参数k = k t 和k 同时决定对于 ( 3 1 2 ) ，其非零的矩阵元也都处于沿对角碥，分布的个宽度为2 k 的狭长带子中， 而那些远离对角线的矩阵元迅速衰减为o ，其典型的本征矢量的的特点是所有的分 量局域化于某一个分量n l l 5 附近，远离n 的分量指数衰减由此可以看出( 3 1 2 ) 与( 3 7 ) 在结构上存在着相似性，可以预料，1 d k b m 的演化特性将与k i l m 的演 化特性存在很多的相似性，所以我们对i d - k b m 的讨论将基于与泓的对比 对于k r m ，当k = k t l 时，对经典扩散的研究指出t 叫砰e 譬t 1 3 ) 而对于k r m 的量子能量扩散，实际的计算结果与经典情形有很大的不同，这要分 成两种情形来讨论，一种是嚣是有理数的情形，还有一种就是嚣为无理数的情 形 当嚣是有理数时【1 3 ) ，不论参数k 为何值。k r m 的目旨萤呈现出与演化时间的 平方成正比增长而趋向无穷( 图p 1 ) ) 这纯粹是由于量子干涉效应造成的，这就是 所谓的量子共振( 这类似与量子的能级跃迁) ，这种情形在我们的模型中依然存在 ( a ) 圈( a - 1 ) ( a ) ：k r m 的蕾量囊化螭- ( b ) ( b ) ：k i i m 发生量子共摄时的麓量演化蕾锋 7 l 。 ， i i 图3 - 2 根据k r m 的量子演化特性将k r 翔的参数空 葡划分成六个不同的参数区域i 处于经典混沌区域 的纯辑量子扩散区这个区域内的量子扩散在一定的时间标度舟与经典扩散一致：参数k i j 于经 典k r _ 过渡到全局混沌的l 临界值k 参数k 1 ：参数k 小于经典k r m 过渡到全局混沌的临界值k 参数 k 1 ) 内的量子稳定医( k 1 ) v lk r m 既是经典稳定的，也是量子稳定的 当嚣是无理数时，这种情况下蝴的能量扩散就比较复杂，其具体的扩散特 性与参数毛t 相关根据扩散的特性，将参数空间大致分为六个区域( 如图p 2 ) ) 对于区间i 和，当扩散的时| 可小于某个时间尺度 t d 时，其能量是随时间的延长 而扩散的，特别是在区域，其量子的扩散与相应的经典情形下的扩散致，而当 时间大于仞，其扩散受到明显的抑制，这种抑制来源与纯粹的量子效应，量子干 涉导致了量子抑制的发生由口赢的特性可以看出，当 l 的情形，非扰动能 级同的跃迁机率很小。这种情形下体现出极为强烈的量子抑制而眉 l 时，i d k b m 和瞰的扩散特性 是基本一致的，我们没有把我们的工作重点方在这个区间上我们讨论重点主要 是在参数区间k t 1 上。在这个区阅内。1 d - i m m 的经典相空间中存在着i 癌帆网 结构，其动力学特性与k i l m 完全不同，我们也期望在量子情形下看到两者之同的 差异 在区问0 a 2 和一2 n o 上，i n k b m 的相空问结构以及扩散性质是 不同的，因而。类似于经典系统的讨论，我们也分别在这两个区间内讨论1 d k b m 的盖子特性，首先，我们先讨论区间0 o ”2 1 c i 珈的参数空间( 如图( 3 - 2 ) ) 由量子演化特性可以被分成6 个区间，其中在区 间1 和1 1 ，i d k b m 和k b m 的经典扩散特性基本一致，我们对这个参数区间内的 1 d - k b m 的最子特性没有投a ：k - j c 的兴趣i 而区间v 和区间，是系统的量子稳 定区，k r m 在这两个区间内表现为强烈地量子抑制，我们也没有对这两个区间 作更深入的研究i 我们感兴趣的是区间和m ，这两个区间所对应的i k b m 的 经典相空间中存在着随机网结构，而相应的k r m 的量子演化特性主要表现为经 典的准周期运动，我们期望经典的随机网将影唬此区间上的1 d - k b m 的量子稳定 性，其所呈现出的量子演化特性应有别于相应的k r m 我们定义系统在t 时刻的能量期望值e ( t ) 为， 1：0 21 俐= 一；妒( 哪品妒彬= ；m 2 i 尸 ( 3 1 4 ) 0 m 同时定义量子系统演化的局域化长度l ，为t 牡厍刑钏2 是1 l f 以能量基展开的系数鉴于随机网在0 n ”2 和一”2 oso 两种情 形下行为的巨大差异，我们分别对这两种情形加以讨论，我们先就o = = 三= 一 j 28 i n 2 ( n 口 而当n _ 0 ，( o ) 2 ，式( 3 1 8 ) 变为： 4 瓣1 ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) 对于k r m ，相空间发生扩散的临界条件为：k j c r = 毒不难看出，如果 肆， 1 d - k b m 与k r m 的萤子扩散特性应该是一致的，量子稳定性边界条件为 肆，但 如果 k ，1 d - k b m 的相应临界条件应为k ，而不再是k ( k - ，这取决于n 的 取值由式( 3 1 8 ) 和( 3 1 9 ) 可以看出，o 的取值较小时，相应的临：睁值就较大， 这样，1 d k b m 的时间演化特性在很大程度上与k r m 一致，相反，如果a 的取 值较大时，临界值就较小，这样，在我们所感兴趣的参数区间内，i d - k b m 与 k r m 的时间演化特性应该出现明显的差别 我们取演化的初始波函数妒。为一波包【17 ： 伽( ，瑚) = ( ；) e 一墨8 一如2 e 一概一执珈2 ( 3 2 0 j 这里，( 先，翔) 对应于波包在相空间中的中心位置，波包在口和p 方向上分布的宽 度分别为t 、，i 7 函和0 硪，该波包满足最小测不准原理t z a p = ；图( a - a ) 显 示了个波包在最初几次踢打下的演化过程，波包碰到边界后会被弹性挡板反弹 回来，在演化过程中，波包经过多次蹋打后逐渐地扩散 按照定义( 3 i 5 ) ，当l e t l ，t = 0 0 0 1 和k t 1 ，t = 0 0 1 时，对于不同的参数。和 k ，我们计算了1 d - k b m 的量子局域化长度我们先将波包的初始位置选在分界线 附近，计算结果如图( 3 _ 4 ) _ a i b d i e 当。很小时( 圈( 3 - 4 ) a ) ，计算结果与前面的讨论 致。1 d - k b m 的量子演化特性与m 相似，能量随时间演化作类似准周期的振 荡i 当n 较大时( 图( “) b ，c ，d ，e ) ，从计算结果可以看出，当k k 时，系统的量子局 域化长炭可以近似表示为0m 弧7 互而当 k k 和一个k 时的能量演化过程( 如图 ( 湖) ) ，( a ) 与( b ) 的差别是明显的，但最大的差别是在演化的初期t 当月 时，系 统在整个演化过程中都是在做准周期地振荡i 而当k 女 1 t ，在最初的有限时 间内，系统的演化类似于经典系统随机网上的扩散，能量随演化的时间作线性增 长e ( t ) 一d t 2 ，d 是经典随机网的扩散系数，而演化超出一定时间限度后，由于 黉子局域化作用，系统会长久地停留在某一能量附近平稳地振荡 图3 - 3 对于i d - k b m 当参数k ：4 0t = o0 1 2 5 ：o7 时一个波包演化初期的h u s i m i 分布( a 为初始波包的h u s i m ；分布r b 一e 1 分别为经过其卜4 次踢打后波包的h u s ；m i 分布可以明显 地看出波包在最初演化过程与经典情形粒子的演化是相似的 2 4 00 01 0 0 0 留a 1 0 x 屹参教区阔“d ，2 上的量手局域化长度与参数时函数差系苒中的直缉为估计值l - i - t ) 1 门点划线为 l ，l n 2 口，k 2 f k n l ，2 ( - ) _ ( i 将初始杖包的中。置亍章共靠区内而在圈中麓置于王并撼区卟：即 ，卜洲： b ：a - t ，i - a ，2 - ：d ：a ，i t h ：d 昨，2 t h ；：d 5 卜耕 f o ( a ) 23 隧蒸荔囊黪 00 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 8 00 0 0 0 0 6 00 0 0 0 0 4 00 0 0 2 e ( b ) 图3 - 5 不同初始条件下的波包经过长时间演化后的平均h u si m j 分布与经典下 系综演化分布的对比图中的等高线为平均h u s i m i 分布的等高线这里d = 01 k = 6 0 t = o0 1 0 0 02 0 。o3 0 0 04 0 0 0 【a )f b ) 图( 3 - 6 ) 量子1d - k b m 的能量随时间的演化过程( aj= 05 k = 2 2 t = o0 1 f b ) 也：o5 k = 7 8 t = o0 1 图中的实线为相应经典的扩散过程 0 3 2 1 0 ， 2 3 现在我们来看一看系统在区间一”2 n 0 上的演化特性与上面的计算相 同，我们计算了系统的局域化长度( 如图( 3 _ 7 ) ) ，结果与0 o t 2 的情形很不一 样，在整个区问t k l 归内，系统没有出现期望的堆周期运动向半经典量子扩 散的过渡，特别当0 1 - + 一时，量子局域化长度远小于由半经典方法所得到的估 计值对于这个结果，我们还不能给出适当的解释，更进步的工作有待继续 d7 fb ) 图3 7d - k b m 在参数区间一2 c t 0 上的量子局域化长度与参数k 的函数关系 af 一2 t = 00 1 b ：c 6 = 一05 t = 00 1 通过我f n 对i d - k b m 的计算，可以看出，量子i d - k b m 量子扩散特性在不同参 数区域内以及在不同相空间区域内有很大的不同，般来说，经典相空间的稳定 性依然对相应的量子系统的相空间稳定性产生一定的影响，这也给我们提供一条 理解量子系统道路对于具体的i d k b m 系统来说，其演化算符的矩阵结构成沿 对角的条带状分布，这个特点类似于撞击转子的时间演化算符的结构，对予此类 系统可以统一归并到r a u d o m - b a a d e dm a t r i c e s 理论【1 8 加以更广泛的讨论 结语 对于i d - k b m 的研究，我们这个阶段的工作主要放在了其统计扩散特性的研 究上 1 d - k b m 经典相空间中的典型结构是随机网结构，其对不连续性程度的变化极 为敏感，在不增加作用强度的情况下，只是单纯地增加相空间的不连续程度( 即增 加a = 1 2 k 咖( o ) i ) ，相空间中随机海的区域也随着迅速扩张。随机网的区域向网络 中心萎缩在这个过程中，随机网的结构也发生明显的变化，随着不连续程度的 增加，处于随机网中心处的规则岛逐渐向外膨胀，直到被随机海吞噬掉，在这个 过程中，我们能够看到不同周期的稳定岛从产生到消亡的整个过程这种随机网 结构与传统的随机网结构在成因以及动力学杼隆上都是有区别的，一些传统研究 方法不能应用到i d - k b m 的研究上我们主要是利用统计的方法研究了i d k b m 的系综扩歆特性，以求从大的轮廓上研究这类随机阿的扩散性质 通过对其经典扩散特性的大量计算，我们得到了其扩散的般特征我们计 算了其经典的扩散系数，并根据数值结果给出了扩散系数的比较好的拟合公式， 这样我们对i d k b m 的相空间的扩散就有了一个定性的认识在作了其经典扩散 特性的研究后，我们还研究了量子i d k b m 的动力学演化特性，通过对i d - b b m 量 子系统的演化特性的研究，我们找到了其量子局域化长度与相应经典系统扩散系 数之间的联系，并由此了解到了量子相空间中结构特点 我们对于1 d - k b m 的研究还只是作了部分工作，我们现阶段的工作重点放在 了对其统计扩散性质的研究上，对于其量子系统也只是研究了其时间演化特性和 其相空间的稳定性可以说，我们对于i d k b m 的认识还是初步的，更细致的研 究工作还有待继续 2 8 致谢 在这里，我要特别地感谢我尊敬的导师顾雁教授，他在教学过程中所表现 出来的独特见解和对我科研工作的耐心指导使我在这三年中受到良好的基本科研 训练，积累了一定的实际科研工作经验，使我接触到了个崭新的科研领域，他 独特的教学方式和严谨的科研作风使我受用终生 最后，我还要特别地感谢我的同学王矫、自再桥、张飞舟和段斌，我要感谢他 们在工作、学习以及生活上对我的热情帮助 b i b l i o g r a p h y | 1 b v c h i r i k o v i au n i v e r s a l s t a b i l i t y o fm a n y - d i m e m o n a lo e i l l a t c e s y s t e m ，p h y s r e p 5 2 ( 1 9 7 9 ) 2 6 3 1 2 2j m g r e e n e ，am e t h o df o rd e t e r m i n i n ga s t o d m s t i ct r a n s i t i o n 】j m a t h p h y s 2 0 ( 1 9 7 9 ) 1 1 8 3 f 3 r s m a c k a y ，j d m e l s a a n d i c p e t c i v a ，t r a n s p o r t i ni i 圃t j a n s y s t e m s ，p h y s i c s 1 3 d ( 1 9 8 4 ) 5 5 ；酗o n a n c e 8 i na r e a - p r e s e r v l n gm a p s p h y s i c a2 7 i ) ( 1 9 8 7 ) 1 【4 】a j l i c h t e n b e r ga n dm a l i e b e r m a n n jr e g u l a ra n ds t o c h a s t i cm a t i is p r i n g e r - v e f l a g 】 n e wy k 1 9 8 3 【5 y g ua n dj m y u a n ，c l a s s i a ld y n a m i c sa n di e c e s t r u c t u r e si nl a s e r i n d u c e dd i s s o d a t i o n0 fam c f s e i i j a t o r ，p h y s r e v a 3 6 ( 1 9 8 7 ) 1 6 】i d a n aa n dt k a l i s k y s y m b o l i cd y n a m i c sf o rs t r o n gc h a o s0 ns t t x h a s t i cw e b s ：g e n e r a l q u a s i s y m m e t r y p h y s r e ve 5 32 ( 2 5 ( 1 0 0 6 ) 【7 a j l i c h t e n b e r ga n dm a l i e b e r m a n n ，r e g u l a ra n ds t o c h a s t i cm o t i ( m is p r i n g e r v e f l a g j n e wy 矗k 1 9 8 3 【8 】f b 篮驴a 订l o c a l i z a t i o ni nd i s c t m t i n u o u sq u a n t u ms y s t e m s p h y s r e v l e t t 8